（应用数学专业论文）区间值模糊推理.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 自从1 9 6 5 年z a d e h 教授建立了模糊集理论，数学的理论与研究范围便从精 确问题拓展到了模糊现象的领域。1 9 8 6 年t u r k s e n 提出了区间值模糊集的概念。 区间值模糊变量的隶属值范围比较容易确定，其隶属值不仅包含了变量属性的确 定信息，还包含了不确定信息，使得它在对事物属性的描述上提供了更多的选择 方式，在处理不确定信息时具有更强的的表现能力。近年来区间值模糊推理备受 人们关注，至今为止，已提出了多种模糊推理方法。本文主要研究了区间值模糊 推理，并在此基础上提出了一种新的区间值模糊推理算法。 本论文的结构和主要研究内容如下： 第一章介绍了区间值模糊推理的研究现状及区间值模糊推理理论的基本概 念。 第二章介绍了区间值模糊推理及其还原性，并对多重多维区间值f m t 还原 性的定义进行了讨论，给出了满足一定条件的f m t 还原性的概念。接着讨论了 区间值模糊推理的几种算法，对各推理算法的还原性，以及还原性满足条件进行 了分析。 第三章提出了一种新的基于区间值模糊产生式规则的推理算法，证明了该算 法在多重多维推理时满足区间值f m p 还原性条件。最后通过例子说明这是一种 性能较好的算法。 关键词：区间值，模糊推理，近似度量，还原性 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e s c o p eo fs t u d ya n da p p l i c a t i o no fm a t h e m a t i c sh a se x t e n d e df r o ma c c u r a c yi n t of u z z y s i n c ep r o f z a d e he s t a b l i s h e df u z z ys e t st h e o r yi n1 9 6 5 t u r k s e np r o p o s e dt h ei n t e r v a l v a l u e d f u z z ys e t si n1 9 8 6 t h em e m b e r s h i pf u n c t i o no fi n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e t sw a se a s i e rt oa s s u r e t h a nt h a to ft h ef u z z ys e t s b e c a u s ei t sm e m b e r s h i pf u n c t i o nc o n t a i n e dn o to n l yt h ep o s i t i v e i n f o r m a t i o no fv a r i a b l eb u ta l s ot h en e g a t i v ei n f o r m a t i o nt h a ta c c o r d e dw i t ht h el i f e ，i tp r o v i d e s m o r ec h o i c e sf o rt h ea t t r i b u t ed e s c r i f i t i o no fa l lo b j e c ta n dh a ss t r o n g e ra b i l i t yt oe x p r e s s u n c e r t a i n t yt h a no r d i n a r yf u z z ys e t s i th a sg a i n e de x t e n s i v ea t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r sa n dv a r i o u s f u z z yr e a s o n i n gm e t h o dh a v ea l r e a d yp u tf o r w a r d t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ys t u d i e sv a r i o u sf u z z y r e a s o n i n gm e t h o d s ，a n dak i n do fn e wi n t e r v a l - v a l u e df u z z yr e a s o n i n gm e t h o di sp r o p o s e do nt h i s f o u n d a t i o n t h em a i nr e s u l t s ，o b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ，m a yb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，a ni n t r o d u c t i o nw a sf i r s tg i v e nt ot h ed e v e l o p m e n to fi n t e r v a l - v a l u e df u z z y r e a s o n i n g t h e nt h eb a s i sc o n c e p t so fi n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e t sw e r er e v i e w e d i nc h a p t e r2 ，i n t e r v a l - v a l u e df u z z yr e a s o n i n gt h e o r ya n dr e d u c t i v ep r o p e r t yw e r es t u d i e d a d e f i n i t i o nt h a ti ss a t i s f i e dt h ec e r t a i nc o n d i t i o ni sp r o p o s e do ft h er e d u c t i v ep r o p e r t yo f i n t e r v a l - v a l u e df m tw i t hm u l t i p l er u l e s a n dt h e nr e s e a r c ho nt h ee x i s t i n gf u z z yr e a s o n i n g m e t h o d s i nc h a p t e r3 ，ak i n do fn e wi n t e r v a l - v a l u e df u z z yr e a s o n i n gm e t h o dw i t ht h er e d u c t i v e p r o p e r t yi sp r o p o s e d t h ep r o c e s so fr e a s o n i n gi si l l u s t r a t e dw i t ha ne x a m p l e t h er e s u l t ss h o w t h a tt h en e wm e t h o dw i t ht h er e d u c t i v ep r o p e r t yi sag o o df u z z yr e a s o n i n gm e t h o d k e yw o r d s ：i n t e r v a lv a l u e d ，f u z z yr e a s o n i n g ，s i m i l a r i t ym e a s u r e s ，r e d u c t i v ep r o p e r t y i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：虚圣缝指导教师签名：握! i 垄 口司年多月岁日多卯7 年z 月夕日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：力客娉 a 柳年石月岁日 西托大学 硕士学位论文 1 。1绪论 第一章绪论及预备知识 1 1 1 区间值模糊推理的背景与研究现状 1 9 6 5 年，美国加利福尼亚大学控制论专家l a 7 a d e h l l 】教授发表了关于模糊 集合的第一篇开创性论文f u z z ys e t s ，由败建立了模糊集理论。假在现实问题 中，人们穗往在确定褥素属于菜檠含的隶属稳度时又不燕有绝对的积捶，出璃茹 素对模糊概念既有隶属情况，又有非隶属情况，且同时表现出一定程度的踌躇性， 传统瓣蒺瓣集理论蠢浚楚淫这耱踌躇毪。1 9 8 5 年d g s c h w a t 2 2 i , 季论了语言囊袋 的区间表示，1 9 8 6 年i b t u r k s e n l 3 1 研究了基于范式的区间值模糊集，很好地解决 了踌躇性这一问题。1 9 8 9 年a t a n a s s o v 与g 黼黔一将这一概念推广巍蹇觉模糊豢 领域，提出区间值直觉模糊集的概念，并于阐一文献中指出区间值模糊集等同予 直觉模糊集。1 9 9 3 年g a u 和b u e h r e r 【5 1 定义了v a g u e 集，1 9 9 6 年b u s t i n c e 和 b 诋l l o l 6 獾滋v a g u e 繁兹概念与a t a n a s s o v 豹袁觉模糊集豹概念实璇士是穗嗣豹， v a g u e 集实际上就是盥觉模糊集。直觉模糊熊，v a g u e 熊和区间值模糊集之间为 等徐关系。 模糊推理是信息科学中一个进行模糊倍息处理和实现计算机智能的重要 具，以模糊推理为基础的模糊推理系统等有关内容是计黪机科学、控制科学和人 文决策等学科懿重要研究课题。 区间假模糊推理怒区间值模糊集( 以下简称l v f s ) 的推理，在寓际应用中， 一令霹象瓣隶属度毯缎苓容易确定，瑟区闻镶隶属度援瓣瑟言较易璐定，曼区阕 值模糊推理方法可以减少推理过程中模糊信息的丢失。t u r k s e n 3 1 等人基于b o o l e 范式理论掇出了区间德近似推理的模式，随即又提出了慕予区间值模糊集的模糊 推理理论。与此同时，q ，m l c z a n 7 l 潮翻等入对区闻值穰糊推理避符了系统静研 究，提出藻本算法m _ a i i - 、，f ( m c t h o do fa p p r o x i m a t ei n f e r e n c e 册t h eb a s i so fi - v f u z z ys e t s ) ，该算法弓l 入辕入嚣瓣镶模赣集会磊矮露藤 譬魏槎容度( c o m p a t i b i l i t y ) 1 - 西北大学硕士学位论文 指标，并据此去截割相应的后件，然后用各种合成方法求得输出。b u s t i n c e 在其 长篇文献【1 0 l 中引入区间值包含度和区问值相似度量，并据此讨论近似推理算法， 该算法的基本思想与g o r z a l c z a n y 的m a i i - v f 算法是相同的。c o m e l i s ，d c s c h r i j v e r 及k e r r e 【1 1 l 借助直觉模糊蕴涵及直觉模糊t 模也将z a d e h 的c r i 算法推广到直觉 模糊环境下的推理，但没有对其作进一步的讨论。国内，吴望名教授1 1 2 】1 1 3 】在其 专著中对g o r z a l c z a n y 等人的算法作了总结，提出了两种新的区问值模糊推理算 法，并指出区间值模糊推理并不是普通模糊推理的简单推广。王国俊教授【1 4 l 【1 5 l 讨论了基于3 i 算法的区间值模糊推理，给出的模糊推理模式不同于传统的区间 值模糊推理，且算法最终将区间值模糊推理转化为普通模糊集的模糊推理。王向 云【1 6 1 将3 i 思想直接用于区间值模糊推理，但算法中的三角模是限于吴望名意义 下的。2 0 0 2 年李凡教授【1 7 1 提出基于模糊匹配函数的区间值推理以及基于v a g u e 集的元素间相似度量的近似推理。此外还有很多学者提出了不同于以上提及的新 方法。 1 1 2 主要研究内容 本文主要研究了几种主要的区间值模糊推理，对各个区间值上的模糊推理算 法进行了讨论。对各推理算法的还原性，以及还原性满足条件进行了分析。对已 有区间值推理算法的研究，为我们提出新的区间值模糊推理算法打下了基础。新 的基于区间值模糊产生式规则的推理算法在启用多条推理规则时，仍然满足多重 多维区间值f m p 还原性。文章讨论了几种情况下所提出新算法的变换，拓宽了 算法的应用范围；讨论了算法的合理性，并将其与现有算法作了全面比较。 文章的内容安排如下： 第一章介绍了区间值模糊推理的研究现状，接着给出了区间值模糊推理理论 的基本概念。 第二章介绍了区间值模糊推理及还原性，并对多重多维区间值f m t 还原性 的定义进行了讨论，给出了满足一定条件的f m t 还原性的概念。接着讨论了区 间值模糊推理的几种算法，对各推理算法的还原性，以及还原性满足条件进行了 分析。 2 西北大学硕士学位论文 第三章提出了一种新的基于区间值模糊产生式规则的推理算法，讨论了几种 情况下算法的变换，拓宽了算法的适用范围。证明了该算法在多重多维推理时满 足区间值f m p 还原性条件。最后通过例子说明这是一种性能较好的算法。 第四章结论和展望。 1 2预备知识 1 2 1 区间值 定义1 2 1 嗍称闭区间二- 【口一，q i o 4 一4 + 1 ) 为区间值，记区间值的全 体为，m # 【口一，4 + 】i ( o 墨口一n + 1 计。显然口【口，n 】为特殊区间值。 定义1 2 0 嘲( 1 ) 二的否定：一云- b 一口+ ，1 一口一】； ( 2 ) 二，b 一的逻辑和；一a v b 一一 4 一v b _ ，qv6 + 】； ( 3 ) a 一，b 一的逻辑积：二 云一k 6 - ，q 6 + 】； 定理1 2 1 嗍对任意：，b 一，；， 0 ，1 】，以下各式成立。 ( 1 ) 二v b 一b y 二，； 占。b a a 一： ( 2 ) 仁v 云) v c 一：v 每v ；) ， 仁一石) 一一c 。二一仁一；) ； ( 3 ) 一av 占一；) 仁v i ) 一仁v 苫) ， 二一每v ：) 。仁一否) v 仁一：) ； ( 4 ) 二v a t 。二，二 ：。二： ( 5 ) 一av 仁一云) 。二，二一仁v i ) ；一a ； ( 6 ) 一( 二) = 二； ( 7 ) 一仁一五) ，- 一av - - 一b ，一仁v 五) 。一二一写； 气 西北大学硕士学位论文 ( 8 ) 一a 1 二，一a v 0 。一a ： ( 9 ) i v l 。1 。： 0 ；0 。 定义1 2 3 嗍称满足下列条件( 1 ) 一( 4 ) 的映射孬：j o ，1 】， 0 川一，【o ，1 为，【o 1 上的r 一模。对任意的二，一a 1 ，b 一，瓦，c e i o ，1 】， ( 1 ) 面。面； ( 2 ) 丽6 夏) 面蓐； ( 3 ) - 当a 一 c a i 且五瓦时，蕊s a l b 1 ； ( 4 ) 面二。 、 若孬满足( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 和( 5 ) 厕- 一a ，则称否为，b 】上的s 一模。为 区别起见，s 一模用石表示。 定理1 2 2 t i n 设：一k ，口+ 】，舌一 西一，6 + 】， 0 ，1 】，o 是m 上的丁一模，记 ：瓦一k 一圆6 一，4 + 0 6 + 】，则虿是，0 咖上的r 摸，且孬| 【0 q 一 。这里孬i 【0 加表示 虿在阻 上的限制，即对任意的口，6 阻】，4 面b - a o b 。 1 2 2 区间值模糊集 我们先介绍投票模型1 1 9 1 。十个人投票，五人投赞成票，三人反对，两人弃 权，如果用传统模糊集合表示赞成的隶属度为0 , 5 ，或反对的隶属度为0 3 ，或弃 权的隶属度为0 2 ，每一种描述方式均丢弃了整个事件三分之二的信息。 i b t u r k s e n 于1 9 8 6 年提出了基于范式区间值模糊集概念。在一个区间值模糊集 a 中，是用一个真隶属函数g ) 和一个假隶属函数厶b ) 来描述其隶属度的边界 的，这两个界构成 0 加的一个子区间融b 1 1 一l b ) 。对于上面投票的例子 一正- 西北大学硕士学位论文 一i i | ，e e ! 曼! ! 自! 目| e e 目j j e 目日_ t a x ) - 0 5 ：s a x ) 一0 3 ，1 - g ) 一丘b ) 一0 2 ，从区间 0 5 ，0 7 】可知赞成5 票， 反对3 票，不确定信息即弃权2 票。 下面我们介绍一些基本概念【刎【2 l 】。 定义1 2 4 令( ，是一个点( 对象) 的空间，其中的任意一个元素用“表示， u 中的一个区间值模糊集a 用一个真隶属函数和一个假隶属函数厶表示， ) 是从支持“的证据导出的隶属度下界，厶 ) 则是从反对“的证据所导出 的h 的否定隶属度下界，q ) 和厶o ) 将区间【o 中的一个实数与【，中的每一个 点联系起来，即 ：u 一 o ，1 】，厶：u - - o , d 其中o s s 1 一厶1 ，+ 丘s 1 区间值模糊集4 中元素“的精确隶属度值心“) 可能不知道，但是知道心0 ) 界限o ) 二心0 ) s1 一厶0 ) 。所以区间值模糊集合元素隶属度相对容易确定。 定义1 2 5 孙x ( u ) - i 一0 ) 一厶0 ) 为元素h ( ，相对于区间值模糊集4 的不确定性( 或踌躇性) 。 如果该差小，说明我们相当精确的知道h ；如果该差大，则表明，关于i 1 我 们知道得很少；如果1 一l 0 ) 一f 。q ) ，则表示我们精确的知道“，此时区问值模 糊集就退化为模糊集；如果1 一l 0 ) 和0 ) 同时为1 或o ，这取决于u 属于或不 属于区间值模糊集a ，此时我们关于u 的信息是很精确的，也就是说区问值模糊 集已退化为普通集合。 设a 为一区间值模糊集， 当u 是连续域时，有 5 0 西北大学 硕士学位论文 ，e u ) ，u ) 定义1 2 6 一个区间值模糊集爿的补j 定义为： f - 0 ) - 厶“) ，1 一厶0 ) 一l t 。0 ) 为讨论方便，将缸) ，厶“) 分别记为，厶。 o l u ) ，u ) 定义1 2 7 对任意的c 厂，当且仅当一，1 - 厶- 1 一厶时，区间值模 糊集a 和曰是相等的，即a b 。 定义1 2 8 对任意的“u ，当且仅t xt b ，1 - l l 一厶时，区间值模 糊集a 为曰所包含，即彳b 。 定义1 2 9 两个区间值模糊集a 和口的交集是区间值模糊集c ，记作 c 一爿n 口，其真、假隶属函数分别记为0 和，c 那么对任意的e u t c m i n ( t a ，t b ) ，1 - ，c - m i n ( 1 一厶，1 一厶) 。 也就是，对任意的e u ， i t c , 1 一f a l ，1 一f a k 1 一厶】 【m i n 也，t 。r a i n ( 1 一厶，1 一厶) 】 定义1 2 1 0 两个区间值模糊集a 和b 的并集是区问值模糊集c ，记作 6 叱 、毗 似 厶 厶 一 一 j 卜 沮 ) “ 忡 b 铲有。嚼 时域 散是 当 必 吡 ， 知 0 叫 一 j 删 厶 驴 有中。有。嘻 时 时 域 域 续 散 连 离 是 是 u u 当 当 西北大学硕士学位论文 c = 爿u b ，其真、假隶属函数分别记为f c 和，c 。那么对任意的口e u t 。- m a x ( 。，t 。) ，1 一，c m 戕( 1 一厶1 一厶) 。 也就是，对任意的“【， b 。1 一，c 】一l ，1 一l v k ，1 一厶 - m a x ( , ，t 。m a x ( 1 一l ，1 一厶) 】 定理1 2 3 对任意的区间值模糊集a ，b ，c ，有如下性质： ( 1 ) 交换律么a b = b a a ，a u b b u a ； ( 2 ) 结合律a n ( b n c ) 一( a n b ) n c ， a u ( b u c ) 一( a u e ) u c ； ( 3 ) 对偶律c 玎可动- , 一4 u b ，石亓乃习- j n 面； ( 4 ) 保序性若a 口，则爿n c b n c ， a u c b u c ； ( 5 ) 零壹律a n o 。一0 ，a u 石。a ； a n i 。彳，a u i 。i ： ( 6 ) 分配律a n ( b u c ) 一( , t n b ) u ( a n c ) ， 爿u 陋n c ) - 0 u 占) n 0 u c ) ； e h 上述定义可看出：区间值模糊集的包含、交、并、补等运算与实际情况下 的“投票模型”是一致的。 0 4 ，0 7 表示支持的证据为4 ，反对的证据为3 ，弃权 的证据为3 ；【o 5 ，0 8 】则表示支持的证据为5 ，反对的证据为2 ，弃权的证据为3 。 o 4 ，0 7 】s 【0 5 ，0 8 】就表示一种包含关系， o 5 ，0 8 】的支持数大于【o 4 , 0 7 】的支持 数，而 0 5 ，0 8 】的反对数小于 o 4 ，0 7 】的反对数，所以 o 4 , 0 7 】5 o 5 , 0 8 】。区间值 模糊集的其它运算也可以进行类似的解释。关于区间值模糊集合的知识可进一步 参阅文献 1 8 2 2 - - 2 4 。 7 西北大学硕士学位论文 1 2 3o w a 算子介绍 定义1 2 n 阅假设f ：r “一r ，有一与f 相关联的n 维加权向量， - ( m ，) ，w j o ，1 】，1 f s 玑且羹毗- 1 使得： f 如：，) 善m 岛 其中钆是数组( 口，4 ：，) 中第f 个最大的元素，则称f 为n 维的o w a 算子( 有 序加权平均算子) 0 w 婵子是一种介于最大和最小之间的算子 ( 1 ) 当 矿一也0 ，o ，o ) 时：，( 口。，口：，4 一) 一m a x g ，4 ：，口。- b , 此时o w a 算子相当十模糊还算甲的”或”算于o ( 2 ) 当y - ( o ，o ，o ，1 ) 时：，仁。，4 ：，q ) 二m i n ( a 。，口：，口。) - 吒 此 f j o w a 算子相当于模糊运算中的“与”算子。 c ，) 当形一( ! ，一1 ，i l nn ，三n ) 时：f g - ，4 ：，口。) ；耋：- ! n 妻n t 、 h ，箭甩舒 此时o w a 算子相当于算术平均算子。 o w a 算子满足以下四种性质： ( 1 ) 单调性：f 如- ，口：，n 。) 2 ，( 孟，乏，z ) 4 tz 盂，t 1 1 2 ，刀； ( 2 ) 交换性：f 仁，4 ：，n 。) - ，( i ，乏，蠢) ，i 是吒的另一种排列； ( 3 ) 有界性：m i n ( a ，) s ，“，吒，) s m a x ( a ，) 5 ( 4 ) 幂等性：f 仁。4 ，口。) 。a ，i 。1 乞，行。 8 西北大学硕士学位论文 1 2 4 相似度量的公理化描述 定义1 2 1 2 阗设彳，口，【o 1 】，若映射f ：， o 1 】x ，阻】一，如 满足条件： ( 1 ) f ( a ，口) - f ( b ，a ) ( 2 ) ，乜，爿) 一1 ( 3 ) f ，1 l 妒) 一0 ( 4 ) a b _ c c 一，0 ，c ) s f 缸，口) ，f ( a ，c ) s f ( 8 ，c ) 则称f 0 ，口) 为区间值模糊集彳与b 之间的相似度量。 9 一 西北大学硕士学位论文 第二章区间值模糊推理 2 1区间值模糊推理的含义 2 1 1 区间值模糊推理 模糊推理方法是针对带有模糊性的推理而提出的，通过模糊集表示模糊概 念。模糊推理是根据一定的原则，从一个或几个已知命题或判断引申出一个新命 题或判断的思维过程。一般来说，推理都包含两个部分的判断，一部分是已知的 判断，作为推理的出发点，叫做前提( 或前件) 。由命题所推出的新判断叫做结 论( 或后件) 。模糊推理又称模糊逻辑推理，是指由已知命题推出新的模糊命题 作为结论的过程。z a d e h 于1 9 7 3 年提出了著名推理合成规则算法，即c r i ( c o m p o s i t i o n a l r u l e o f i n f e r e n c e ) 算法 2 7 1 。2 0 世纪7 0 年代以后各种模糊推理方 法纷纷被提出，并被应用于工业控制和家电的制造中，取得了很大的成功。2 0 世纪8 0 年代初波兰学派提出了区间分析学【2 哪，用闭区间表示不确定的数据，区 间分析与模糊分析方法结合使用有了更好的效果，区间模糊集的概念被提出并被 用于模糊推理。区间值模糊推理的基本形式类似于一般模糊集模糊推理的基本形 式，其一为区间值模糊取式推理，即区间值f m p ，形式如下： 已知 彳一口 且给定 彳 求 口+ ( 2 1 ) 其中彳，彳，b ，口+ 都为区间值模糊集。 区间值模糊推理的另一核心问题为区间值模糊拒式推理，简称区间值f m t ， 形式为： 已知 爿一曰 且给定口 求4 1 0 ( 2 2 ) 西北大学硕士学位论文 与经典逻辑推理不同，一个模糊逻辑推理系统往往是多条推理规则相互作用 的。通过f i t a 或f a t i 2 9 1 方法，把多重前提约化为单一前提和将多条规则约化为 单一规则即公式( 2 1 ) 形式。 区间值模糊推理的一般形式： 规则 只 i f p n a n d p l 2 a n d a n d p h t h e n q 1 只 i f 只一以只2 a n d a n d p , t h e nq 求 其中弓，q j ，p 及q + 均为区间值模糊集。 2 1 2 区间值模糊推理还原性 ( 2 3 ) 在模糊推理理论中，对于一个算法的好坏的评价，尚没有一个统一的标准。 目前为诸多专家学者唯一公认的标准是，保证模糊推理算法的还原形，这种要求 体现了算法的相容性或和谐性。区间值模糊推理算法还原性是一般模糊集算法还 原性1 3 0 j 概念的推广。下面我们先来了解一下区间值模糊推理算法还原性的定义。 定义2 1 1( 单一规则下区间值f m p 问题的还原性) 一个模糊推理算法， 在有单一规则式( 2 1 ) 情形下，若能由a - a 推出口一口，则称这种算法具有 单一规则的f m p 问题还原性。 定义2 1 2( 单一规则下区间值f m t 问题的还原性) 一个模糊推理算法， 在有单一规则式( 2 2 ) 情形下，若能由b - 口推出a 一a ，则称这种算法具有 单一规则的f m t 问题还原性。 在个实用的模糊推理系统中，单条规则进行推理的情况是少见的，往往都 西北大学硕士学位论文 是几十条甚至更多规则共同作用进行推理，因此，我们有必要研究模糊推理算法 在多重多维情形下的还原性。 定义2 1 , 3( 多重多维情形下区间值f m p 问题的还原性) 一个模糊推理算 法，在有多条规则多个前提推理式( 2 3 ) 情形下，若对于f ，1 f 墨玎，能由巧弓 推出q = q i ( v j , 1 s ，s 肌) ，则称该算法具有多重多维情形的f m p 问题还原性。 条件2 1 1 对于多重多维情形下的模糊推理而言，可能出现对于不同的规 则前件，推出相同规则后件的情形。也就是当只只( 即对于不同的规则前件只 和最，至少存在一个，使得日一p 目) 时，推出后件q - q k 。 定义2 1 4( 多重多维情形下区间值f m t 问题的还原性) 一个模糊推理算法，在有多条规则多个前提推理且条件2 1 1 不成立( 即当 只一只时，一定可以推出q j q k ) 规则 置 i f p n a n d p l 2 a n d a n d p h t h e n q l 昱 j f 最l a n d p z 2 a n d a n d p z t h e n幺 只 i f 只l a n a e 2 a n d a n d p t h e n见 事实 r 0 若对于f ，l i 皇以，能由q 。- q f 推出巧一弓( ，1 sj e r a ) ，则称该算法具 有多重多维情形的f m t 问题还原性。 2 2几种主要的区间值模糊推理 2 2 1 模糊匹配区间值推理 多输入单输出的推理规则： 1 2 西北大学硕士学位论文 规则 毋 i f 只1 a n d p t 2 a n d a n d p u , t h e n q 1 只 i f 只l a n d p , , 2 a n d 册d t h e nq 事实 r p a n d p 2 a n d a n d p ：, 我们用霉一【慰j。一l乙，n，表示第z条规则前件，其中咯为真隶属度 值，1 一f ；：为假隶属度值( ，。1 ，乏，埘) ；用月。i 皇：y y z 】 y n ，。：】 队。】 表示匹配事实，其中j ，月 为真隶属度值，1 - y j ：为假隶属度值( j - 1 , 2 , ，肌) 。它们分别为两个玎1 矩阵a 其相应的转置矩阵为： 号一位，r ：1 ，t ) - 也i ，矗j i ；，r 乞j ，i 二，：d ( f l 2 , ，以) ； r - ( ) ，。，_ ) ，：，y 。) 一眇。，y 。1 【) ，。l ，【) ，。，y 。：d 。 它们分别构成两个l x n 的区间矩阵。 区间值模糊匹配函数【3 m ( r - 糕 旺s ， 该函数给出了规则前件只与匹配事实r 的相似程度，在m 条控制规则中选择 匹配程度最高规则只。m a x - l 2 ，以) 并触发启动该规则，结论为： q + 一m 陋，) q 一( + 为乘法运算符) 。 在上式中，m i ，册：，m ：，肘；分别定义如下： k ，研小m 如，层舭 瞳i ，m ；】。m a x k 只，弓r ，r r j 其中 只叫( 挚) ( 华肛力】 叫( 掣) ( 掣肛以， 只叫一m m l 一帆班】 il k ，小：】- 幽幽，只舭叫 - m i i l 协乏j k k 乏k 1 瞰y 2 】 ，【m i n 研，巧y ，k l m i n 雠，贮i 砭，k ) j r1l ， i i 矽i ，肘；卜m a x 诈c ，只昂，p o 咒f m a x 正t 砖l l t , v , r t r ：l r , r ： l ：i m a x ( z ；，五；l r ，x l m a 】【眈，贮k ，k ) i 定理2 2 1 ：模糊匹配区间值推理算法满足区间值f m p 还原性。 证明：模糊匹配推理算法中结论为：q + - 肘( r ，p 呱) q 一，其中m 伍，p 眦) 及q 一为m 条控制规则中匹配程度最高的规则。 设第i 条控制规则为m 条控制规则中选择匹配程度最高的规则，那么 q 一m ( r ，只。) q 一。要模糊匹配区间值推理算法满足区间值f m p 还原性， 即r ；只时，q = q 。 只要证规则前件露与匹配事实r 的相似程度区间值模糊匹配函数 m ( r ，只) 糍满足条件f - 1 0 因为k ：，m ：】，m i n k 层，霉7 r ，r 7 月j ，k ：，m ； 。m 觚k7 只，只r ，r r o j ，当 r 。弓时，k ：，肌；j 。k ：，肘；j ，显然满足上述要豪，模糊匹配区间值推理算法满 1 4 西北大学硕士学位论文 足区间值f m p 还原性。 例子2 2 1 区间值模糊控制规则如下： 规贝h 只i f4 0 1 1 1 1 , 0 1 5 7 9 】a n de c o 1 1 1 l 0 1 5 7 9 】t h e n l - 一2 昱i f4 0 1 l l l o 1 5 7 9 a n de c o 1 8 1 8 , 0 2 5 0 0 t h e n “2 - 一2 只i f4 0 1 1 1 l 0 1 5 7 9 】a n de c o 2 4 2 4 ，0 3 2 4 3 t h e nh 3 - 一2 只i f 出0 0 0 0 ，1 0 0 0 0 a n d 1 0 0 0 0 , 1 0 0 0 0 】t h e n - 一2 事实晶4 0 1 l l l o 1 5 7 9 】 a n de c o 1 7 2 3 , 0 2 3 7 9 求 “o ) 依上述过程计算事实晶与只控制规则的匹配程度得： m 峨，墨) - 0 6 0 1 9 ，m ( 只，4 ) - 0 9 3 0 7 ， m ( e o ，4 ) - 0 6 1 3 7 ，m 瓴，只) 一0 3 0 9 比较可知，事实昂与最匹配程度最高，则触发第二条控制规则，此时 “( f ) = m ( 昂，b ) ：一0 9 3 0 7 ( 一2 ) - 一1 8 6 1 4 2 2 2 相似度量区间值模糊推理 j g x 2 2 1 设x = b ， 1 一九】，y = i ，1 一j 是两个区间值模糊集a 记区间值 模糊集真、假隶属度之差为s 函数，即s b ) 一一丘，s t y ) - , , - l 。则x 和y 之 间的相似程度可由函数md 2 i 进行计算。 砘y ) - - 一i s t y ) - 广s t y l 一生毕型 ( 2 js ) 定义2 2 2 设4 和曰是论域u 缸。，“：，“。 上的两个区间值模糊集，其中 1 5 西北大学硕士学位论文 彳一弘m 厶o ，氍智 峨 口一弘厶。此 设k 缸，) ；【f 。仁；n 一厶0 ；) 】表示区间值模糊集爿中的“，的隶属度值， 0 。) t k 仁；姐一厶0 ，) 】表示区间值模糊集口中的蚝的隶属度值， 则有s 眈0 ；) ) 一缸；) 一，j o j ) ，s 帆0 。) ) 一t 。缸，) 一厶缸；) 这里的f - 1 , 2 ，开。 区间值模糊集一和口的元素甜；的相似程度可由函数丁测量： 丁0 ，b ；) 一m ( 0 ；1 0 ，) ) 小堕坠剑二! 吆蛐一匕鱼! 如垫! j ! ! 厶熊! ：盘蛐 44 ( 2 7 ) 显然，r 0 ，曰；) o ，1 】。r 0 ，曰。) 的值越大，则表明区间值模糊集4 和b 的元素“；的相似程度就越大。 下面我们给出基于上述算法的相似度量区间值模糊推理表述： ( 1 ) 单规则情况 己知4 一口 且给定 爿4 求口 其中，彳和4 是论域u - 量，“：，“。) 上的区间值模糊集，口和曰是论域- y 一 v 。，y ：，v 上的区间值模糊集。 设a ，a 和口分别为： 爿一砉l 厶。此 口一m 厶缸此 1 6 西北大学硕士学位论文 小步鼬听缸此 为了讨论的方便，将相似度量r 缸，爿) 和矽“，爿) 分别记为r 和，则可得 到如下的推理结果： 儿弘“m 厶o j 彬i 留 或儿薹呲m 厶哦箭 7 显然，当a - a 时，则有t - w 一1 ，从而有b 。- b 。单一规则下f m p 问题 满足还原性。 ( 2 ) 多规则情况 规则 只 i f 4 t h e n 旦 只 i f a 2 t h e n b 2 弓 事实 晶 求 b o ( 2 8 ) 4 ，4 ，a ：，4 是论域u 0 ，“：，“。 上的区间值模糊集， b 。，b l ，b ：，b q 论域y 一 v 。，：， 上的区间值模糊集。 假定4 一乒吣一丘缸此 即争蛐一厶。叱 1 i q 1 j q 为讨论方便，将相似度量r ，4 ) 和，4 ) 分别记为l 和彤，1 f s 9 ， 根据上述算法可得到每条控制规则的推理结果： 一1 7 - 1 9 4 让 西北大学硕士学位论文 戤一 雠_ o t i 互( 1 一厶( v - ) 杉+ 窿- d ：l l 【1 一厶p z ) 形+ - - - + k _ o 。l ic 【一厶“) 少 ，t，v 1 7 - 或研一 嘛d - l 彬q 一厶d ，) 少+ 眈_ d ：i 彬1 1 一 d ：) 吵”+ 眈_ kx 彬c l 一厶d 。) 少 v lv 2 v 。 例子2 2 2 ： 规则4 【0 0 ，0 0 1 o 0 , 0 2 1 1 0 204 1 1 0 4 , 0 6 1 1 0 6 , 0 8 1 1 1 o j 0 1 o 6 , 0 8 】t h e nb ， 4 0 0 , 0 2 1 o 2 , 0 4 1 1 0 4 , 0 6 1 0 6 , 0 8 1 1 1 010 1 1 0 6 , 0 8 1 1 0 4 ，0 6 】t h e nb ： 4 o 2 , 0 4 1 1 0 4 , 0 6 1 1 0 6 ，0 8 l 【1 o , 1 0 1 o 6 , 0 8 1 o 4 , 0 6 1 1 0 2 , 0 4 】t h e n 马 a 【0 4 , 0 6 1 1 0 6 , 0 8 1 1 1 o j o i o 608 1 1 0 4 , 0 6 1 1 0 2 , 0 4 1 o 0 , 0 2 】t h e nb 4 以【o 6 , 0 8 1 1 1 0 , 1 o l e o 6 ，0 8 1 1 0 4 , 0 6 1 1 0 2 , 0 4 1 1 0 0 ，0 2 1 1 0 o , o 0 】t h e nb s 事实 【0 2 , 0 4 1 1 0 4 ，0 6 1 1 0 6 ，0 8 l 1 0 , 1 o i o 6 , 0 8 1 1 0 4 , 0 6 1 1 0 204 】 求 上面例子中 皿一4 ，b 2 - a 4 ，b 3 - 4 ，b 一以，b s 一4 根据算法所求相似度量为： 正- r “，4 ) - o 6 4 3 毛一r ，4 ) 一1 互一r “，4 ) - 0 6 4 3 疋一r “，4 ) 0 7 7 1 l - r ( a ，a 。) 一0 7 7 1 玩 分别得出5 条规则的推理结果： 目- 蕾0 3 8 6 ，0 5 1 4 0 6 4 3 , 0 6 4 3 1 o 3 8 6 , 0 5 1 4 o 2 5 7 ，0 3 8 6 1 1 0 1 2 9 ，0 2 5 7 1 1 0 ，0 1 2 9 1 0 , 0 1 彤一1 0 3 0 8 , 0 4 6 3 1 1 0 4 6 3 , 0 6 1 7 1 1 0 7 7 1 ，o 7 7 1 1 1 0 4 6 3 , 0 6 1 7 1 1 0 3 0 8 , 0 4 6 3 1 1 0 1 5 4 ，0 3 0 8 1 o , o 1 5 4 丑；一 0 2 , 0 4 1 1 0 4 ，0 6 1 1 0 6 ，0 8 1 1 1 o ，1 o i o 6 ，0 8 1 1 0 4 ，0 6 1 o 2 ，o 4 】 口：一也o 1 5 4 1 1 0 1 5 4 , 0 3 0 8 1 1 0 3 0 8 , 0 4 6 3 1 1 0 4 6 3 , 0 6 1 7 1 1 0 7 7 l 0 7 7 1 1 1 0 4 6 3 ，0 6 1 7 1 6 3 0 8 , 0 4 6 3 1 1 8 二 西北大学硕士学位论文 乓一和，0 1 o ，0 1 2 9 1 0 1 2 9 , 0 2 5 7 1 1 0 2 5 7 ，0 3 8 6 1 1 0 3 8 6 , 0 5 1 4 1 0 6 4 3