（应用数学专业论文）分形的维数特征及其在应用中的规范化处理.pdf

摘要 本文对经典的各类分形维数做了详细综述，并综述了盛中平给出的维数计算中的规 范化方法。 分形维数作为科学研究的重要工具之一，它是描述自然界与非线性系统中不光滑和 不规则几何体的有效工具，其计算方法有很多种，应用领域也十分广泛。本文首先对常 用的分形维数计算方法进行了系统的综述：简单的自相似维数；基于h a u s d o r f f 测度的 t t a u s d o r f f 维数；盒维数。它们都有很多等价定义，文中还介绍了各种维数之间的关系。 以上对于维数计算方法的定义都要求测量尺度趋于极限，在现实测量中很难实现， 因为实际分形物体的结构层次是有限的。而且文献中有些实际估算的维数特征，实质上 是测度特征，而不是维数特征。盛中平分析了其机理，给出了一系列新概念，提出了分 形维数特征应具备的两个准则，由此建立了规范化方法。基于拼贴定理的思想，并根据 实际意义，将分形划分为几个大体相似的部分来处理。核心的概念是引入的规范精度维 数和规范拟合维数。它们作为维数特征，可以应用于一般分形的聚类研究，而且具有与 自相似分形兼容的伸缩不变性和局部不变性。 关键词：分形；自相似维数；h a u s d o r f f 维数；盒维数；规范精度维数；规范拟合维数 a b s t r a c t t l l i sp a p e rh a sm a d eas u m m a r yo fa l lk i n d so fc l a s s i c a lf r a c t a ld i m e n s i o n s a tt h es a m e t i m e ，t h i sa r t i c l es u m m a r i z e st h en o r m a l i z e dm e t h o d so fd i m e n s i o nc a l c u l a t i o nw h i c hw a s o f f e r e db ys h e n gz h o n g p i n g f r a c t a ld i m e n s i o ni sa l li m p o r t a n tt o o lf o rs c i e n t i f i cr e s e a r c h i ti sa ne f f e c t i v ew a yt h a t u s e dt od e s c r i b et h en o n s m o o t ha n di r r e g u l a rg e o m e t r i co b j e c t si nt h en a t u r ea n dn o n l i n e a r s y s t e m s t h e r ea r em a n yk i n d so fm e t h o d sa b o u tc a l c u l a t i n gt h ef r a c t a ld i m e n s i o n s i t s a p p l i c a t i o n i s g r e a t l yw i d e t h i sp a p e rf i r s t l ys t u d i e s a n di n t e g r a t e st h e s em e t h o d s s y s t e m a t i c a l l y ：t h es i m p l es e l f - s i m i l a r i t yd i m e n s i o n ；t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o nb a s i n go n h a u s d o r f fm e a s u r e ；t h eb o xd i m e n s i o n t h e ya l lh a v em a n ye q u i v a l e n td e f i n i t i o n s w eh a v e a l s oi n t r o d u c e dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ev a r i o u sd i m e n s i o n s i t r e q u i r e st h a tt h es c a l eo ft h em e a s u r e m e n tt e n d s t 0l i m i tf o rm a n yd i m e n s i o n c a l c u l a t i o nm e t h o d si nt h ea b o v e t h a f sv e r yd i f f i c u l tt oa c h i e v ei n r e a l i t y b e c a u s et h e s t r u c t u r a ll e v e lo ft h ea c t u a lo b j e c t si sf i n i t e f u r t h e r m o r et h ec h a r a c t e ro fd i m e n s i o n st h a t w a se s t i m a t e di nt h em a n yl i t e r a t u r e si st h ec h a r a c t e ro fm e a s u r ei nf a c t s h e n gz h o n g p i n g a n a l y z e st h em e c h a n i s mo ft h ed i m e n s i o nc h a r a c t e r h ea l s og i v e sas e r i e so fn e w c o n c e p t i o n sa sw e l la st w or u l e st h a tt h ed h n e n s i o nc h a r a c t e rm u s th a v e t h e r e o u th e e s t a b l i s h e st h en o r m a l i z e dm e t h o d s b a s e do nt h et h e o r e mo f c o l l a g et h i n k i n ga n dt h ea c t u a l s i g n i f i c a n c e w eh a v et h e 台a c t a ld i v i d e di n t os e v e r a lp a r t sb r o a d l ys i m i l a r n ec o r e c o n c e p t i o n sw e r et h ei n t r o d u c e do ft h en o r m a t i v ep r e c i s i o nd i m e n s i o na n dt h en o r m a t i v e f i t t e dd i m e n s i o n a sad i m e n s i o nf e a t u r e ，t h e yc a nb eu s e df o rg e n e r a lf r a c t a ld u s t e rs t u d y i t i sc o m p a t i b l et e l e s c o p i ci n v a r i a n c ea n dl o c a li n v a r i a n c ew h i c hi ss a m ew i t hs e l f - s i m i l a r f r a c t a l k e y w o r d s ：f r a c t a l ；s e l f - s i m i l a r i t yd i m e n s i o n ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；b o xd i m e n s i o n ； n o r m a t i v ep r e c i s i o nd i m e n s i o n ；n o r m a t i v ef i t t e dd i m e n s i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：望垒塑2 翅臣日期：趁丑：壶：j 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：盘 e l 期：幽：i ：l 电话： 邮编： 訾 引言 分形理论是非线性科学研究中的一个主要分支。它研究的对象是自然界中和非线性 系统中出现的不光滑和不规则的形体。“规则”本质上指的是逐段可微或者更确切地说 是逐段光滑的图形。分形理论的数学基础是集合论、测度论和函数论【1 l o 早在1 8 7 2 年，维尔斯特拉斯( w e i e r s 仃勰s ) 证明了一种连续函数( 如图0 1 ) 在任意 一点均不具有有限或无限导数，这对经典几何产生了极大的冲击，它被认为是病态函数。 但人们通过研究对这类曲线进行了推广，例如冯科赫( y o nk o c h ) 曲线，它的构造过程 1 如图o 2 ，设是单位长直线段，e 是由e 。除去中间喜的线段而代之以底边在被除去 3 的线段上的等边三角形的另外两条边所得到的图形，当k 一* 时，曲线序列伍。 趋于一 个极限的曲线f ，称f 为冯科赫曲线。 图0 1 ( 0 砉s i n 姻f ) t - 0 甩- 1 一 r i 2 刀i 七 图0 2 冯科赫f v o n k o c h ) 曲线 再例如康托集( c a i l t o r ) ，它是一类刁x 一 一，i 一f ，又称为三分康托集( 如图0 3 ) 。 它的构造过程如下，设是单位长直线段，e 。是由除去中间；的线段所得到的图形， 它包含4 个线段。对e 。的每个线段都进行同一个过程来构造e ：，依次类推。于是得到 一个曲线序列慨) ，它当七一m 时，曲线序列忙。) 趋于一个极限的曲线f ，称| f 为康 托三分集。 图0 3 三分康托集的构造 以上三个例子中的图形若用整数维数来刻画，便出现了问题。我们知道，在欧氏几 何星，点是o 维，直线是1 维，平面是2 维。测量几何图形，若是长度，便用1 维的单 位长线段；若是面积，便用单位面积的正方形。而以上图形，用单位长线段来测量长度 为* ，用单位面积的正方形来测为0 。这说明经验维数在这里不适用。 早在1 9 1 9 年，豪斯道夫( h a u s d o r f f ) 就提出了基于h a u s d o r f f 测度的分数维的概念。 当时是为了解决如下矛盾【2 】： 经验维数都是整数维，其数字与单独挑选的变数数和自由度是一致的，也就是说， 直线上的任意点可用1 个实数表示，平面上的任意点可用2 个实数对表示。如果把维数 作为自由度数，那么对任意非负的整数r l ，作为h 维空间考虑时，在数学上是完全可以 的。但是我们也可以只用一个实数表示2 维的正方形的任意点，即可用一条曲线把平面 完全覆盖，这条曲线称为皮雅诺( p e a n o ) i 曲线。下面我们来看一下p c a n o 曲线的构造( 如 2 惫凳 图o 4 ) 。设e 。为单位长直线段，e 】是由磊在其中间的；长线段上沿垂直方向添加一个 长为詈，宽为三的矩形构成，e 共含有9 条线段。然后对每条线段实施同样的操作来构 造易，依次类推。于是得到一个曲线序列忙。 ，它当七一* 时，曲线序列仁。) 趋于一 个极限，为了出现一条曲线，将交点作一下处理，得到极限曲线f ，称f 为p e a n o 曲线。 一 ，产轰i 甏i 翟魏籀霉鬻簪蛩凝：雪：警梦学艺尹畸瞄。f 2 鼍譬鬃 ；一 o i 弓每 囊? 篓。熵劳! 熬。嘉。毫巍。茹鬟 图0 4p e a n o 曲线 p c a n o 曲线的考虑方法也可适用于3 维以上，那么从自由度的角度考虑，也可以把 再维看作1 维。为了解决这一矛盾，分数维的概念应运而生。这个概念实际上指出了测 量一个几何对象，必须依赖于测量方式及测量所采取的尺度。 1 9 7 5 年，曼德尔布罗特( m a n d e l b r o t ) 总结前人成果，发表了分形：形状、机遇和 维数专著，从而开创了分形几何这一独立学科。时至今日，人们已经把以上三个例子 中的集看作是典型的分形几何图像，而且关于分形图的研究也越来越广泛。维数是研究 分形集的主要工具，它刻画了分形集的复杂程度。 关于分形的定义是描述性的，我们一般认为若称集f 为分形。即认为它有下面的典 型性质： ( 1 ) f 具有精细的结构，即有任意比例的细节； ( 2 ) f 是如此的不规则以至于它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述； ( 3 ) f 通常具有某种自相似的形式，可以是近似的或统计的： ( 一般地，f 的“分形维数”( 以某种定义) 大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，f 以非常简单的方法定义，可能由迭代产生。 冯科赫曲线及康托三分集是分形的典型例子。 由于分形集的复杂性，对于不同的测量对象需用不同的测量方法，便产生了不同的 维数定义。一般的，对于自相似或相似集，可以用相似维数计算。豪斯道夫维数是基于 豪斯道夫测度而建立起来的一种分形维数，但计算复杂而困难。盒维数是一种广泛应用 的维数，计算过程主要依据观察和估计。 目前还没有对所有分形都适用的维数定义，大多数分形维数的定义是基于“用尺度 6 进行度量”的思想。设f 是一个分形集，对于每个6 ，0 ，忽略尺度小于6 的不规则 性，并且考察测量值m 。陋) 在6 0 时的情况。如果存在两个非负数c 和s ，使得肘。( ，) 满足幂定律 m 6 、c 6 “ 则称f 具有“维数”s ，而c 可以看作是集f 的s 维长度。 分形是人们在自然界和社会实践活动中所遇到的不规则事物的数学抽象，随着新的 数学方法和数学工具的提出，分形理论将得到更充分的发展。 本文第一章回顾了自相似分形集的两种维数定义；第二章复习了h a u s d o r f f 测度和 维数，以及h a u d o r f f 维数的几个等价定义；第三章又总结了盒维数及其等价定义，还 有修改的盒维数定义。第四部分也是本文的核心部分，主要是对应用中的维数特征作规 范化处理。为了便于研究，根据拼贴定理的思想给出了一些新的概念，并引入了r 一精度 维数和规范拟合维数。同时证明了它们满足与自相似分形兼容的伸缩不变性和局部不变 性。为了便于定理的理解，作为应用，举出了4 个简单易懂的例子。 4 1 分形的自相似维数 1 1 预备知识 由于许多分形都可以看作是度量空间中一组特殊的函数一迭代函数系的不变集，因 此在对分形进行研究时建立了一种特殊的度量空间，称为分形空间。正如前面所说，分 形的研究离不开集合论、函数论和测渡论的知识【1 卅，故而先讨论一下与分形有关的集 合、映射和度量空间的一些知识和性质，这里只对较常用的概念和性质作以介绍，为后 面的内容作铺垫。 在分形集中，常常需要集合序列的极限的概念，人们通常在n 维欧氏空间彤上讨 论问题，分形集通常也是彤的子集。 定义1 1 1 假设 4 ) 是一列集合，称集合n u 4 与u n 4 分别为序列 4 1 ) 的上 月- l m 。n - i m l 限集和下限集，并分别记 l i n 以- l i r a s u p 4 l i _ _ m _ m 4 t l i m i n f 4 如果t i m 4 - 堕4 i ，则称 4 l 有极限或收敛，并且将l i m 4 称为 4 的极限，记作 。 。 l i m 4 对这个定义稍作一个说明：不妨设x n u 4 ，则对任意n ，有x u 以，故存 n - 1 m h 在m ，使x 以，先取 。l ，则存在某个，1 1 ，使x 气，再令也 m a ，则有x u 以， 因此存在研：，吃，使z 气，依此过程继续下去，可得到一串 ) ，使对任意 ，x 厶， 这就是说! 蜘以中的点一定在无穷多个4 中。反过来，如果x 属于无穷多个以，不妨 设工厶 - 1 , 2 , 一9 ，且研2 鸭 ，则对任意珂，总存在k ，使摊， 于是x cu a ，由n 的任意性立得石巫驰。因此，我们又可将甄4 ，叙述为 类似分析可得： 同时由分析可得： 一t i m a , = x i x 属于无穷多个4 l i r a a , = x1 只有有限个n ，使x 不属于4 坚4c 牌4 一 定理1 1 1 设 4 ) 是单调上升的集列，则 列，则l i m 4 - f q a 舰4 - u ；如果 4 1 ) 是单调下降集 n = l 现在我们可以提到r “中的波雷尔( b o r e l ) 集类。首先看一个定义： 定义1 1 2 假设x 是一个给定的集合，f 是以z 中的一些子集为元素的一个集合， 称s 的子集簇，如果它满足： ( 1 ) g f ， ( 2 ) 当4 ，时，c e f ， ( 3 ) 当4 ，4 4 是f 中的一串元素时，有u4 l f ， n = l 称f 为s 的一些子集构成的一个。一域。 在群中所有开集经过可数次的交、并、差运算后得到的仃一域称为r “中的b o r e l 集类，其中的元素称为彤中的b o r e l 集。 说到b o r e l 集，我们知道它是l e b e s g u e 可测集。测度本质上只是赋予集以数值“大 小”的一种方式，如果集是以合理的方式分解为有限或可数个部分，则整体的数值应该 是所有各部分数值之和。 定义1 1 3 称p 为彤上的测度，如果对于彤中的每一个子集，芦赋予一个非负数， 也可能为m ，使 ( 1 ) p ( o ) = 0( 1 1 1 ) ( 2 ) u ( a ) s u ( b ) ，若a c b ( 3 ) 若4 ，4 为一可数或有限集序列则( q 4 ) 善肛( 4 ) 若4 为互不相交的b o r e l 集，则( 1 1 3 ) 式取等号。即 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 弘( u 4 ) 一肛) ( 1 1 4 ) i - 1i - 1 正如前面所说，许多确定性分形都是一组迭代函数系的不变集，一般的，这些函数 都为相似变换。 定义1 1 4 1 1 l 设q c r 。是一个非空集合，：q 一是一个函数。如果存在一个非 负数c ，使得对任意的工，y e q ( x 一“，x 2 ，) 7yi ( y ，) ，：，靠) r ) ，有 l f ( x ) - f o o t = c l x - y i 成立，则称，是一个相似变换，c 称为，的相似比。特别的，若c - 1 ，即对任意x ，y e f 2 i f ( x ) - f ( y ) l = l x - y i 成立，则称，是一个保距变换。 定义1 1 5 函数，：科一掣称为仿射变换，如果存在一个n 阶方阵a 以及一个n 维 向量b ，使得厂 ) - a x + 6 ，x 在分形的研究中，分形集一般都是紧集，它只有在一定的空间结构中才有意义。 定义1 1 6 设z 是一个非空集合，d ：xx x 只是一个映射。如果d 满足度量公理： ( 1 ) 非负性对任意工，y z ，d g ，y ) 芑0 ，并且d o ，y ) 一0 当且仅当x = y ， ( 2 ) 对称性对任意x ，y x ，矗o ，y ) 一d ( y ，工) ， ( 3 ) 三角不等式对任意x ，y ，z x ，d ( x ，) ，) d ( x ，z ) + d ( z ，y ) ， 则称d 是z 上的一个度量或者距离。( 工，d ) 称为一个度量空间a 我们给出紧集的定义。 定义1 1 7 设a 是度量空间暖，d ) 的一个点集，如果a 中任何点列在x 中有收敛的 子列，则称a 为紧集。 紧集的特征性质：a 是紧集等价于a 是有界闭集，a 是紧集当且仅当a 的任意一个 开覆盖都有有限子覆盖。 定理1 1 2 t 6 1 ( 巴纳赫不动点定理) 完备度量空间中的压缩映射必然有唯一的不动 点。即存在z ，使f ( x ) i 工。 7 1 2 严格自相似分形 我们先来研究一些简单而典型的分形集的维数，这些结论m a n d e l b r o t l 3 j 已经作了到 位的总结，后人的不断努力使它更加完善。 考虑具有自相似性的简单几何对象，描述它的欧几里德维数的一个基本性质。我们 知道一条直线的欧几里德维数e 一1 ，从而对任意的整数k ，由半开线段0 s 毒c x 所构 成的整体，恰可被一k 个“子集”，形为堡 等s z t 警( t 从l 变至l j k ) 的半开线 段“铺满”( 每一点被覆盖一次且只有一次) a 每个子集可从整体上通过比值r ( ) 。专的 仿射变换导出。 同样，由于平面的欧氏维数e ；2 ，从而对任意k ，由长方形0 s z c x ，0 y y 组 成的整体可被n = k 2 个子集，即有 ( k - 0 xs 工 一k x ( h - 1 ) y5v ( 坚 一s 工 1 ) 个相等且与f 相 似的部分，则称f 为自相似集。如果每部分与，的相似比为r - ( 专) ；，则称d 为自相 似集f 的相似维数。记为d i m ，ft d a ；叩一等一等 2 动 例1 ( a ) 一直线段4 可以被分成4 段相等的，比列系数都为主的与原线段相似的相似形， 因此直线段的自相似维数为 。t d i r a , a - - 1 l o o g _ _ _ 9 4 4 言。1 c o ) 一个正方形丑可以分成4 个比例系数为丢的小i e 力- r e ，于是正方形的自相似维 数为 肌m m ，n 一鼍以 一般的，光滑的自相似集，它的自相似维数就等于它的拓扑维数。 例2 如图o 4 的p e a n 。曲线月可以看成全体缩小成原来丢的4 个图形构成，因此自 相似维数 幽叫一鼍越 例3s i e r p i n s k i 海绵是由单位立方体经过无穷次迭代生成的，每次迭代都是把正方 体等分成2 7 个小正方体，并且去掉中心的一个和每一面中央的一个，共去掉7 个小正 方体，保留下2 0 个小正方体。所以 一2 0 , r j 1 d i m f 。一l o g 2 0 l o g 2 0 2 7 3 。3 l o g l 0 9 3 1 3 正交自相似分形 分形理论与应用问题的研究，总是在一个假定的理想空间中进行的，一个完备的 度量空间常常能够满足我们的要求。从严格的数学观点分析，分形集一般是妲“，如) 或 p ，p ，) 空间的紧子集，并且要研究分形，必然要考虑( z ，p ) 上的非空紧子集构成的空间 ，( x ) ，我们也可以把分形集看成空间( f ( x ) ，h ，) 的子集，这里矗，是下面定义的豪斯道 9 夫距离。 定义1 3 1 设( x ，p ) 是完备度量空间，x e x ，b f ( x ) 一称 p 0 ，口) 一m i n p ，) ，) ：y 口 为点工到口的距离。 定义1 3 2 如果一f ( z ) 是度量空间皤，p ) 的子集，则称爿的6 平行体是与a 的 距离小于6 的点的闭集，即a 。一缸x ：p ( x ，4 ) s6 ) 定义1 3 3 设( x ，p ) 是完备度量空间，爿，b f ( x ) ，称 ，b ) - i i i f 6 ：爿c b 。且 b c a 。) 为a ，b 间的豪斯道夫距离。 很容易验证| l l 。是空间，( x ) 上的一个度量，并且如果在x 的非空紧子集空间f ( _ z ) 上赋予度量 ，( f ( 工) ，h ，) 就是一个度量空间，我们称为“分形空间”。下面我们所要 说的正交自相似分形就是以分形空间为舞台的集的变化和迭代。“分形空间”是一个完 备的度量空间l 鄂。 本节将要研究的正交自相似分形是自相似分形的推广，是由一类迭代函数系( i f s ) 产生的。下面我们给出迭代函数系( i f s ) 的概念。 定义1 3 4 度量空间僻，p ) 与定义在其上的一有限个压缩映射：z z ， 一；l 2 n ，组成一( 双曲) 迭代函数系，其中一4 x + 丸，用i f s 表示它，记为 弘：w n ，n 一1 ，2 ，) ；如果的压缩比是c n , n 一1 ，2 ，n ， 则称 c - m a x ( c 。，n 一1 ，2 ， 为此i f s 的压缩比。 定义1 3 5 完备度量空间( x ，p ) 上的迭代函数系 x ：，l 一1 ，2 ，) 是正交函数 系，如果仿射- a , x + 瓯( n 一1 , 2 n ) 的变换矩阵以( r l * 1 , 2 n ) 彼此正交。 把压缩映射原理应用到完备度量空间f ( x ) ，h 。) 上，可以得到在分形空间上的一个 压缩映射原理。 定理1 3 i 设 工：，n 一1 , 2 ， r ) 是完备度量空间( x ，p ) 上的( 双曲) i f s ，压缩比 是c ，变换：w ：f ( x ) 一f 僻) 由下式定义： 彤) ；u p ) ，v 口f ( x ) 1 0 则矽是伊( 石) ，h ，) 上，压缩比是c 的压缩映射，且存在唯一的不动点( 不变集) a e f ( x ) 满足彳一似) - u ) ，并且对任意b f 省) a - l i m w “( 口) 定义1 3 6 定理1 3 1 中i f s 的不动点爿f 僻) 称为这个i f s 的吸引子。 i f s 的吸引子一般都是分形，称为确定性分形。 定理1 3 2 设怛4 ，w 1 ，w 2 ，w , a 是双曲型的i f s ，其中m 0 = l 2 ，) 分别是相似 比为c i 的相似变换。如果i f s 的函数系是正交仿射系( 显然满足全不连通的或者是网接 触的) 川，则对它的吸引子a 有 d i m i a t d i m h a s 其中s 是由方程 c ，。_ 1 ( 1 3 1 ) 的解给出，并且对这个s 值，成立 0 o ) ( 1 3 2 ) 这个吸引子分形也称为正交自相似分形。 本定理的证明将在下一章给出。 这个定理也即m a n d e l b r o t 给出的广义自相似维数公式，假设一个图形可以分成 个子集。且每个子集没有任何公共点，但对每个子集可以找到一个比例为的相似变换， 通过该相似变换，我们可以将整个图形变成该子集。在所有相等的情况下，即有自相 似维数d 鼍警；若不同，d 是满足耋c ；- l 的，的值。 logr筒 在( 1 3 1 ) 式中，令c im cg 一】，) 则变为c 1 1 ，取对数得j 一等，即自 相似维数。故正交自相似分形是自相似分形的推广。 饲4 对于三分康托集，对应的自相似迭代系统可构造为： 112 m j x w 2 。j z + 一3 因此。2 ，c ，c ：三 解：由 1 3 1 ) 式专5 + ( 。1 ，得 1 0 9 3 sl 1 0 9 2 例5 考虑例3 中的s i e r p i n s k i 海绵的分形维数，这个分形可以看成刚触及的双曲i f s 但3 ，嵋，w 。) 的吸引子，每个w f 都是相似比为；的相似变换，由( 1 3 1 ) 式可得 2 0 。6 ，1 解得 j 。丝垫7 3 2 7 3jl l _ 1 0 9 3 例6 考虑双曲w s r3 ，w l ，w ：，m ，w 。 吸引子，其中m ，w 2 ，w 3 是相似比为0 5 的相似 变换，w 4 是相似比为o 3 的相似变换，w l ，w 2 ，屿分别把以( o ，o ) ，( 1 ，o ) ，( 五1 ，争为顶点的三 角形变成左下角，顶部以及右下角的三个小三角形，而w 4 把以( o ，o ) ，( 1 ，o ) ，( j 1 ，警) 为顶 点的三角形变成中心的边长为杀的小等边三角形，容易看出这个i f s 是刚触及的。因 此由定理1 3 2 ，对吸引子彳有 d i m ，a 。d i m 日a j 其中s 由指数方程( 1 3 2 ) 的解给出，即 3 0 5 + 0 3 一1 由数值解法可知s 。d i m 。a - d i m h a 一1 7 8 6 2 分形的h a u s d o r f f 维数 2 1h a u s d o r f f 测度和维数 我们知道，在r 2 中，开矩形i - o ，y ) i at 工 b , cc yt d 的面积为 p - a ) ( d c ) ，在r 3 中开长方体，一 o ，y ，z ) 1a x b , c y d ， z o ，有 i f ( x ) - ，( _ ) ，) l 宣c k 一_ ) ，l “ ，) ，f ) 则对每一s ，日兄( ，( ，) ) s c 形日俨) 。 所以 定义2 1 2f 的h a u s d o r f f 维数d i m j ：rf 为 d i m _ l j r f z i l l f 如：h ( ，) 一0 ) 一s u p s ：日( ，) 。) 。 ( 2 1 7 ) 日( ，) - 【。o 。当当5 s 。 1 6 证明：由单调性，对每一j ，必然有d 峨u 辱芑d i m ，e ，所以 t m l d i m u ( u e ) 苫s u p d i m e ； j - 1 一 另一方面，对所有的，- 若d i m 。( u e 卜s u p d i m 。e ，则存在f ，o 介于上式两个 ；一1 “ 数之间，使对任一，日( e ) - o ，则日( u i - 1 e ) s 日( e ) - o ，但这与日( q e ) _ 相矛盾，故d i m 。( u 最) 主s u p d i m * 曩 ，证毕 f 1 l 鲥 性质5 ( 可数集) 若f 是可数的，则d i m 。f - 0 。 证明：若只是一单点，则日o ) - 1 ，所以d i m 。et 0 ，由可数稳定性， d i m 。( u e ) - 0 i - 1 性质1 和性质2 保证了h a u s d o r f f 维数是经典维数的推广，同时h a u s d o r f f 维数是双 李h 希兹变换下的不变量。 下面我们来证明第一章留下的定理1 3 2 中( 1 3 1 ) 式的正确性。 证明：根据h a u s d o r f f 测度的性质，通过仿射变换但“，w 2 ，_ 把全集f 变成 了个子集墨，e ，目，n 个子集的并为f ，故 日1 旷) 。善日5 ) 善。净。旷) 等式两边同时除以日( f ) 可得艺c ；一1 ，即( 1 3 1 ) 式。所有的c j 。c ( i - l 2 ，) 则为自 相似分形的维数公式，故在自相似分形中 d i m h f t d i m 。f s 。 例1 康托尘是将单位正方形等分成1 6 个完全相等的小正方形，经过无穷次迭代得 到的，每次迭代只在每行( 列) 保留下一个小正方形，并且把同样的做法在留下的小正 方形上重复至无穷次。试求极限集康托尘f 的h a u s d o r f f 维数。 解：显然f 可被第k 次选中的4 个边长为4 “的正方形覆盖，于是 h ：旺) s 4 4 一压s 压 1 7 这里取6 4 - 2 互，当七一* 时，6 0 ，此时日1 ( f ) 芝，所以d i i l l 。f 1 ，又因为 f 在x 轴的射影p r o j ( f ) 一 0 , 1 l ，还因为射影不增加距离，即对任意x ，y e r 4 ， p ( p r o j x ，p r o j y ) sp 0 ，y ) 所以1 一l e n g t h o ，1 】= h 1 ( 【o ，1 】) 一h ( p r o j f ) g h l ( ，) 故 d i m 口f 1 1 2 ，2h a u s d o r f f 测度的等价定义 h b u s d o r f f 维数有一些等价定义。在说等价定义之前，我们先给出等价的定义。 定义2 2 对不同的测度定义得到的测度a 和暑，称a 和8 是等价的，如果存在常数 c 。，c 2 使它们满足如下关系： c , ag bs 。2 a 1 用球覆盖定义的测度导出的h a u s d o r f f 维数。 设f c r ”是一个非空集合，佃。 是r “的一个n 维球族，如果满足，c u 且，并且 i 每个球b i 的直径最大是6 ，则称 b ，) 是f 的一个6 一球覆盖。定义 b ；( f ) - i n f z i b 。1 ： 口， 是f 的6 - 球覆盖) 则可以得到一个测度 艿( f ) 。摹写磁( f ) 我们可以证明这个测度和h a u s d o r f f 测度等价。 证明：f 的任意一个6 球覆盖都是f 的6 覆盖，所以 日；( f ) 雕( f ) 另一方面，如果饥，是f 的一个d 覆盖，则 e ) 也是f 的6 覆盖，这里对于每一f ， 选取包含“，的半径为k 0 6 的某个球作为层，所以 附5 ( 斗，沪2 5 蚶 取下确界：口玉( f ) s2 日；但) 令6 0 ，得日5 ( ，) 5 8 5 ( ，) s2 4 h ( f ) l i 由于h a u s d o r f f 维数是双李卜希兹不变量，故日5 ( ) 与b o 在同一数值上由m 跳跃 到0 。 2 网测度。为了简化，设f 为区间【0 羽的子集，二进制区间是指形如p 2 一，( ，+ 1 ) 2 4 】的 闭区间，这里k o , l 2 ，；r - o , l ，2 k 一1 。我们定义 店( f ) 一i n f x 缸- 1 5 ：恤； 为，的二进制区间的6 一覆盖 由此可导出网测度( ，) 。恕以( ，) 因为任何区间“c 【o 羽都包含在至多为举i 的两个连续的二进制区间内，故 h 妒) s 旷( ，) s 2 ”1 日( ，) 故网测度与h a u d o f f f 钡l j 度等价，并且弘( f ) 从* 跳跃到0 的数值s 与f 的h a u s d o r f f 维数相同。 1 9 3 分形的盒维数 3 1 盒维数及其等价定义 由于多数情况下计算分形集合的h a u s d o r f f 维数复杂而困难，导致实际应用的不便。 根据分形维数的定义是基于尺度测量的思想，又在实际问题中所遇到的具有分形性质的 几何对象大多可以用欧氏空间r ”中的紧集作为数学模型，人们经常用实验的方法算出 分形的近似维数。 例如，当f 是平面曲线，用m 。泸) 表示用两脚距离长度为6 的两脚规度量整个f 所 需要的步数，而f 的维数则由m 。旷) 服从的幂定律决定，即当6 0 ，如果对常数c 和 m 。( f ) 一c 6 ” ( 3 1 1 ) 可以说f 具有“维数”s ，而c 则可以看成是集f 的“s ，维长度”。取对数得， l o g m d ( ，) - l o g c s l o g d( 3 1 2 ) 在上式两端的差随6 趋于0 的意义下，有 。l i r a 等乎 ”) d - 0 一i n 口 由于s 可以利用6 值的适当范围内( 1 0 9 - - l o g ) 图的斜率来估计，因此常用 于试验和计算中。 为了使式( 3 1 1 ) 给出的s 值像一个维数，测量的方法就必须与测量的集成比例。一 般的，如果m 。( ，) 是d 次齐次的，即m d ( f ) 一6 。m l ( f ) ，则形式为m 。( f ) - c s “的幂 定律对应的是s 。 为确定一个量能否作为维数，通常是去寻找它的某种类型的比例性质。我们遵循这 一原则给出盒维数的定义。 定义3 1 1 设f 是尺“上任意非空的有界子集( 紧集) ，n 。但) 是直径最大为6 ，可 以覆盖f 的集的最少个数，则f 的上、下计盒维数分别定义为 d i m b f - 商l i r a 等笋 l 一d i m 小甄等 叫) 如果这两个值相等，则称这共同的值为f 的计盒维数或盒维数，记为 b f - 姆笔乎 ( 3 1 6 ) 定理3 1 1 设皤，d ) 是一个度量空间，f 是x 中的一个有界闭集( 紧集) 。0 r 0 即 “l 枷i m 等笋 所以d i m f d i m 口f d i m s f 盒维数有与h a u s d o r f f 维数类似的性质： ( 1 ) r ”上光滑的m 维子流形f ，d i m 。f m ； ( 2 ) d i m 口与d i m s 是单调的； ， ( 3 ) d i m b 是有限稳定的； ( 4 ) d i m 。与d i m s 是李卜希兹不变的； 由以上性质可知，若盒维数存在，它有一个问题，即不满足可数性，也即不满足 d i m 口( u e ) ts u p d i m 。互。 我们再来看一种与盒维数定义形式相当不同，但却完全等价的定义，称f 的6 - 平 行体为下列形式的集 兄一协彤：k - y i 主6 对某个y f 成立) 它即是与集f 距离小于6 的点的集合。我们有下面的结论： 命题3 1 1 如果f 是r ”的子集，则 蜘s f - n - 面。，等笋， 面b f - n - 而l i m 掣l o , 9 06 - 0 这里e 是f 的6 - 平行 证明：如果f 能被。仃) 个半径为6 的球覆盖，则咒能被同样多的半径为2 d 与前 面的球同心的球覆盖，因此 v o l ”( 兄) n 6 ( f ) c 。( 2 6 ) 4 其中，c 。是r “上单位球的体积，取对数 得 logvol“(f6)sl092“c+nlogj+logn6(f) 一l 0 9 6 一l 0 9 6 地堕鲨掣；卅+ d i m 。f 石i l 0 9 6 。 对上极限也可以得到类似的不等式。另一方面，如果是。陋) 个球心在f 上，半 径6 的互不相交的闭球，则 取对数即得 得 d ( f ) c 。( 2 6 ) “sv o l ”( 兄) l092c+nlogj+logn,，(f)slogvol(fd) 一l o g l o g d 利用盒维数的定义命题得证。 3 2 修改的盒维数 一玎+dimbfl。im。等10o 6 - 0 一g 在盒维数性质的讨论中，我们知道d i m 。( u e ) - s u p d i m 。e 一般不真，我们可以看 j 1 i 一个命题 命题3 2 1 用f 表示f 的闭包( 即包含f 的r ”中的最小闭子集) ，则 d i m 日f d i m 口f 及a i m 口一f 一一d i m 口f 。 证明：设且，吼是半径为6 的闭球族，如果闭集0 噩包含f ，它同时也包含f ， 因此覆盖f 的半径为6 的最少的闭球也足够覆盖稍大的集i ，结论获证。 这个命题的一个直接推论是，如果f 是r ”上的开区域的稠子集，则 d i m 。f d i m 口f - n 例如，设f 是0 、1 之间的有理数集( 可数集) ，则，一【o ：1 ，因此 堕照。f -