（应用数学专业论文）加权分支过程的单调性对偶性和feller性质.pdf

西南大学硕士学位论文 中文摘要 加权分支过程的单调性，对偶性和f e l l e r 性质 应用数学专业硕士研究生丁水琴 指导教师李扬荣教授 摘要 关于m a r k o v 过程理论的研究通常有概率方法和分析方法近年来，数学家 用分析的方法来研究m a x k o v 过程理论，并取得了丰硕的成果本文着力于用分 析的方法来研究一类重要的m a x k o v 过程一加权分支过程 主导分支过程的基本性质是分支性质，即不同的粒子在出生或死亡之时都 是相互独立的但在很多实际情况下，分支性质不总是能反映粒子运动的真实情 况事实上，不同粒子之间是相互影响的，所以许多数学家都致力于推广已有的 分支过程，其中特别有趣的一类广义分支过程是加权分支过程 加权分支过程是一类重要的时间连续m a r k o v 链，它的状态空间是e = 厶三 071 2 ，) ，其转移函数是e ( t ) = 肋( z ) ；l ：歹e = 4 ) 并且满足k o l m o g o r o v 前 项方程： p ( t ) = p ( t ) q 面其争矩阵q = ( q o ；i ，j e ) 定义为： 1 q 圹。 j w i d 奶21 一( d + 6 ) 叫t 其中： 幻o ( j 1 ) ，d o ， o d 1 ) ，0 b = b j = i | 1 1 1 mhm一他 z 善 2甘足 西南大学硕士学位论文 中文摘要 在文献f 3 1 中导出，但由于这里q 是保守的，所以我们给出的证明比文献1 3 j 简 单得多；接着在第三章里我们介绍了加权分支过程并给出一些结论为下面讨论其 性质做准备；然后加权分支过程的对偶性，单调性和f e l l e r 性的判别准则就在第 四章给出；最后给出一些容易判断其性质的充分条件本文的主要结果有。 定理4 1 2 ( 单调性) 加权分支口矩阵q 的最小q 函数f ( t ) 是单调的当且 仅当以下条件成立； ( 1 ) w i ( b 一b k ) w i + l ( b 一b k ) ，i 芝1 ，j 1 ；b k = 0 ( 2 ) 以下条件之一成立t ( a ) d m b ( b ) d m b + 。并且去= + 。c + ( c ) m b = + 并且等= + o 。 定理4 1 3 ( 对偶性) 加权分支q - 矩阵q 的最小q 函数f ( t ) 是对偶的( 相 对于某单调函数) 当且仅当以下条件成立。 ( 1 ) w i ( b 一b k ) sw i + l ( b 一b k ) ，i21 ，j 1 ，b k = 0 ( 2 ) 以下情况之一成立： ( a ) e 击= + 。c ( b ) e 壶 + 并且d r n b s + o 。 ( c ) 三击 + 并且er t i = + 。o 其中，r o = 1 ；r = 赤+ 薹茅札。? ( n 1 ) ；：芸 定理4 1 4 ( f e l l e r 准则) f ( t ) 是加权分支俨矩阵q 的最小q 一函数，有以下 结论成立t ( 1 ) 当d m bs + o r ，f ( t ) 总是f e l l e r 的 ( 2 ) 当d m b ，r ( t ) 是f e l l e r 的当且仅当= + 其中， r o = l ；= 赤+ 篓等风乩( n 21 ) r n = 譬幻 备注如果上l 3 n = + 。，则f ( t ) 是f e l l e r 的 当q 为比较简单的矩阵时，验证r = + 比较容易但在一般情况 g = - - 1 下，验证= + o c 不总是容易的，因为给出的序列 r n ；n 1 是递推的形 式因此我们给出以下充分条件判断： i i 西南大学硕士学位论文 中文摘要 定理5 1 1 对于加权分支q - 矩阵q ，设q 是u ( s ) 在i o ：1 上的最小解，那 么有： ( 1 ) 如果l i r a s u p 移瓦石 i 1 ：则q 是非零入 ( 3 ) 如果熙惭= w 存在，并且如果t t ， 百1 ，q 是非零入的 推论5 1 2 对于满足w 7 。w l j ( n 1 ) 的加权分支哥矩阵q 这时 熙师2 叫存在，设q 是u ( s ) 在【o ：1 】上满足0 q 1 的最小解，那 么有 ( 1 ) 假设d2 佻 ( a ) 若w 1 ，则f ( t ) 是单调，但是既不对偶也不f e l l e r ( 2 ) 假设d m b + o c ( a ) 当加 ；1 时，并且 若满足上w n + 。c 则f c t ) 是对偶且f c l l e r 若满足上i o n = + o c ，则f ( ) 单调 ( 3 ) 假设m b = + ( a ) 当伽 = 1 时，并且 若满足量击 o , w j o ( j 1 ) ，0 b = 幻 1 j 狙叫胁e 0 b k ：oa l n d ， 膏一 k = 1 k一-12)( o n eo ft h ef o l l o w i n gc a s h o l d s ( a ) d m b ( b ) d m 6 + o 。a n d 爱去：+ o o ( c ) m 63 + o ca n de 等= + 。c l t h e 。r e m4 l 3 f o raw j b q - m a t r i xq , t h em i n i m a lq - f u n c t i o nf ( ) i sd u a l ( o fs o m cm o n o t o n eo n e ) i fa n do n l yi f b k ) ，i l ，j 1 ，：lb k = 0a n d ( a ) e 击= + 十o o ( b ) ：去 十：d m 6 + 。 n = = j + o 。 ( c ) 去 + ：箸r 祀= + w h e r er o = l ；5 两1 + 薹 等r k _ l 1 ) ；：套 j = n t h e 。r e m4 1 4 f o raw b q - m a t r i x q ，l e tf ( t ) i st h em i n i m 甜q f u n c t i o n ，w e h a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： ( 1 ) i fd i 1 7t h e nqi sn o n z e r 0 - e n t r a n c e ( 3 ) i f 恕师2t l j 嘶t s ，a n dt h e ni f 伽 j ，铀 n o n z e r o - e n t r a n c e v 董总 一 h 肿一 似 培 眶 垫一 卜 瞅 蚶蝴 m豇船炳舞 m 硼=唧撕悃龇 = 眦 r h 誉罨 瞅 一 篡 扎 委 蝌 醐= 西南大学硕士学位论文 英文摘要 c o r o l l a r y 5 1 2 f o raw b q - m a t r i xqs a t i s 6 i n gw n 加t l + l ，( n21 ) ，s o l i m 惭= w e x i s t s ，qi st h em i n i m a ls o l u t i o no fu ( s ) i n 【o ? 1 】s a t i s f l - i n g0 口 1 r i - 呻o 。 。 ( 1 ) s u p p o s ed m b ( a ) i f 伽 1 ，t h e nf ( t ) i sm o n o t o n e ，b u tn e i t h e rd u a ln o rf e l l e r ( 2 ) s u p p o s ed m b + ( a ) i f 仞 吾1 ：f u r t h e r m o r e i f e 击 + ，t h e nf ( z ) i sd u a la n df e l l e r ， + o o i fe 去= + ，t h e nf ( t ) i sm o n o t o n e ( 3 ) s u p p o s em b = + o c ( a ) i fw j ：f u r t h e r m o r e i fe i t h e r 堇丽1 1 歹：t u j 1 0 其他 其中： 0 ( j21 ) ，d o , w j f 1 0 1 ) ，o kj k 定义1 3 8 ( 见【4 】)( 对偶函数) 无限维非负矩阵f ( t ) = ( 向( t ) ；i ，j e ) 称 为对偶函数，如果f ( t ) 满足。 kk 局( ) 五+ 1 j ( ) ，珑：j e ，t 0 j = o j = o 并且满足 南( t ) l0 ，i 一。c ， vj e ，t 0 定义1 3 9 ( 见【3 】)( f e l l e r 函数) 无限维非负矩阵y ( t ) = ( s i a t ) ；i ，j e ) 称为f e l l e r 函数，如果f ( t ) 满足： 1 i m 岛( ) = 0 ，v j e ：t 0 1 o + 定义1 3 1 0 ( 见【4 】)( 单调口- 矩阵) 口- 矩阵q = ( q i j ，t ，j e ) 称为单调的， 如果q 满足不等式 q i j 口t + 1 j ， k i + 1 j 2 kj k 定义1 3 1 1 ( 见【4 】) ( 对偶口- 矩阵) 口- 矩阵q = ( j ，j e ) 称为对偶的， 如果q 满足不等式 定义1 3 1 2 ( 见【3 】)( f c u e rq - 矩阵) 口矩阵q = ( ，z ，j e ) 称为f e l l e r 的， 如果对于e 叼一0 当i 一。o 命题1 3 1 3 ( 见【4 】)对于给定的q 矩阵q = ( ，z ，j e ) ，其最小q 一函数 f ( t ) = ( 岛( ) ；i ，j e ) ：那么有以下两式等价； 5 * 七 +仇 七：li 一 。舢 西南大学硕士学位论文 第1 章前言与文献综述 定义1 3 1 4 ( 见 5 】) 称一个g - 矩阵q 在k 空问或者在毪空间上是零流 出的，如果它分别满足k ( a ) = o ) 或珐( 砷= 0 ) ；称g 矩阵q 在z 1 空间上是 强零流入的，如果它满足i ( a ) = o ；q - 矩阵q 在2 + 空间上是零流入的，如果它 满足z - ( a ) = 0 其中： l 。( 入) = z l o o i ( a j q ) z = o ) ? z 三( 入) = z i 。( a ) z o ) z 1 ( a ) = l l l y ( m q ) = o ) ，z - ( a ) = y z l ( a ) i z ，o ) 注意：一个g - 矩阵q 在k 空问是零流出的与在珐空间上是零流出之间是 等价的因此，我们将它们统称为零流出但g 矩阵q 的强零流入性与零流入 性之问不一定存在等价关系，而对于向下跳跃的g - 矩阵强零流入与零流入是等 价的( 见文献【3 】) 定义1 3 ，1 5 ( 见1 6 】) ( s i e g m u n d 定理) 一转移函数p ( t ) 是单调的当且仅当存 在一个对偶的函数p ( t ) ，即存在另外一个转移函数p ( t ) 使得 j 0 0 赢( t ) = 巧七( ) ， v i ：j e ；t 0 k = ok = i 等价地可以陈述为tp ( t ) 是对偶的当且仅当存在一个单调函数p ( t ) 使得上 式成立 本文所用的其它定义、定理直接参考对应文献 6 “ 七!豆 一 0 向 七触 吼 老舢 一 七：豆 西南大学硕士学位论文 第2 章矩阵q 保守时其最小q 一函数的基本性质 第2 章矩阵q 保守时其最小q 函数的基本性质 2 1 矩阵q 保守时其最小q 函数的基本性质 定理2 1 1 ( 单调性) 对于给定的保守俨矩阵q ，其最小q 函数f ( t ) = ( 向( z ) ，i j e ) 是单调的当且仅当以下两个条件成立： ( 1 ) q 是单调的 ( 2 ) q 是零出的 定理2 1 2 ( f e l l e r 性) 对于保守的单调的( 对偶的) g 矩阵q ，那么其最小 9 函数f ( t ) 是f e l l e r 的当且仅当以下之一成立： ( t ) q 是f e l l e r 和强零流入 ( 2 ) q 是非零出 定理2 1 3 ( 对偶性) 对于给定保守口矩阵q ，其最小9 函数f ( t ) 是对 偶的当且仅当以下都成立： ( 1 ) q 是对偶( 单调) ( 2 ) 以下之一成立： ( a ) q 是f e l l e r 且强零流入 ( b ) q 是非零出 2 2 证明 定理2 1 1 的证明 我们先证明必要性假设r ( t ) 是单调的，则对固定的 砖e 和o ，我们有 局( t ) s ，i + l j ( t ) j kj k 设i = 0 ，k = 0 ：则得到对于m 1 , t 之0 ，有 并且有 i 曩f m a t ) 0 j = o 这就得到q 是正则的( 由文献【7 】) ，这时候f ( t ) 是忠实的且 k七 ，j ( t ) ，t + 1 1 j ( z ) 7 水 舢 k 定理2 1 2 的证明这个定理的证明参考文献【3 1 ( n 为它是文献【3 】的特殊情 况q 保守时的情形) 定理2 1 3 的证明我们先证明必要性，因为f ( t ) 是对偶的，即满足 并且 + l j ( ) ，v i j e ，t 0 ( t ) 10 7i o c ， vj e ：t 之0 那么由f e l l e r 函数定义知y ( t ) 也是f e l l e r 的再由命题1 3 1 3 ，q 也是对偶的，又 因为q 是保守的，所以q 也是单调的再利用定理2 1 2 容易证得。 再来证明充分性，因为q 是对偶的( 单调的) ，那么 8 +吼 。剧 一 嘶 。瑚 +岱 。舢 一 吼 奄触 。伽 一 岛 七舢 七捌 一 七舢 西南大学硕士学位论文第2 章矩阵q 保守时其最小q 一函数的基本性质 由定理2 1 2 充分性可知，f ( t ) 是f c l l c r 的，即 1 i m 凡( ) = 0 l + o 。一 我们定义一转移函数f ( z ) 使其满足 厕：壹( 僦“删) j ( 叫哪o ) k = 0 那么有 五( t ) s 赢( t i 2 七f 詹 和 ko o 岛( t ) = 焉( ) j = 03 = i 成立，再由s i e g m u n d 定理得到f ( t ) 是对偶的，证毕 9 西南大学硕士学位论文第3 章加权分支过程的介绍 第3 章加权分支过程的介绍 3 1 加权分支过程的介绍 普通的分支过程是随机过程中重要的组成部分，其中主导分支过程的基本性 质是分支性质，即粒子在运动变化过程中是相互独立的分支性质在很大程度上 简化了普通分支过程的研究；从而也使得普通分支过程成为随机过程中结论最丰 富的一个分支然而在很多实际情况下，各粒子之问是相互作用的，所以有必要 把普通分支过程进行推广，其中比较有趣的一类分支过程是陈安跃在1 9 9 7 年首 先提出的加权分支过程加权分支过程的状态空间设为；e = 4 = o ，1 ，2 ，) ， 它的无穷小生成元即所谓的q - 矩阵的定义为； l 叫l 屯一i i21 j i ， 1 w i di 1 ，j = z 一1 ， 2 1 一( d + 6 ) 毗l 1 ，j ：瓦 1 0 其他 其中t6 j o ( j 1 ) ，d o , w 3 0 0 1 ) ，0 0 1 0 西南大学硕士学位论文第3 章加权分支过程的介绍 ( 2 ) 当d m b + 。c 时，u ( s ) 在【0 ，1 】上只有两个解q 和1 并且满足 0 g 0 ，对任意的s ( q ，1 ) ，有v ( s ) 0 定义 g i ( s ) - - 蒜 把g l ( s ) 简记为c ( 8 ) 定理3 1 3 ( 见文献【2 】) g ( z ) 在圆盘协i 。l l 上解析，并且作为实函数可 以展开成t a y l o r 级数t ( 1 ) g ( s ) = 鲰s 七， i s l 1 其中：g k = 垡挚且满足0 鲰9 0 ( 2 ) g 出) ：宝牮六h 其中；g k 满足c i 鲰s 垡q 鲰，七o ，这里的q ，q 都是正常数并且只 依赖于i 由于在文献【2 】的定理3 5 中，讨论加权分支q - 矩阵存在唯一的加权分支过 程的充要条件时，在证明过程中根本不需要e 击 + 和d m b 这两个条 件，所以我们可以得到以下定理( 当然也可以利用文献【5 】的结论得到) ： 定理3 1 4 ( 见文献 2 】) 对于加权分支g 矩阵q ，y ( m q ) = 0 在z 1 上只 有零解( 即强零流入) 当且仅当 凡= + o o 其中t r o = 1 ；r n = 瓦鬲1+ 三鼍 瞰- l ，1 ) ；= 葛吻 十十。c 拧= l7 - - - - n 备注对加权分支q - 矩阵q ，若满足击= + ，那么q 是零入的 定理3 1 5 加权分支争矩阵q 是保守的，因此q 是正则的当且仅当( 入j q ) z = 0 在k 上只有零解( 即零流出) ，那么 ( 1 ) q 是零出当且仅当以下之一成立 ( a ) d m b ( b ) d m b + o 。和量击= + 西南大学硕士学位论文 第3 章加权分支过程的介绍 ( c ) m b = + o 。和等= + 7 i = 1 ( 2 ) q 是非零出当且仅当以下之一成立 + 0 c c a ) d m b + o 。和e 赤 + o 。 n = i + ( b ) m b = + 和壶 + 。 ，l = 1 + 。o+ ( c ) m b = + 。，击= + 和堇等 + 3 1 证明 定理3 1 5 的证明我们先来证明( 2 ) 因为当d 时q 是正则的，我们 只需考虑q 是d 1 ) 和 1 i r af i o ( t ) = q s e - 我们得到 恕枷) = 1 一q ? 0 从而必有 f 9 n - 1 ：+ n _ = l 训，l 而特别地，如果 f 土 + 。 n - = l w n 则 r 9 n - 1 + 鲁w n 这样( 2 ) 就得证 现在我们来证明( 1 ) ，其中( a ) 和( b ) 是文献【2 】的直接结果由第一部分的 证明，( c ) 的必要性证明很容易 在充分性部分，如果假设q 是非零出，由( 2 ) 2 必有下式成立t f 丝兰 + n 。= 。l w n 这与条件( c ) 矛盾，所以假设是错误的，证明完毕 1 2 西南大学硕士学位论文 第4 章加权分支过程的基本性质 第4 章加权分支过程的单调对偶和f e l l e r 性质 4 1 加权分支过程的基本性质 我们讨论的加权分支q 矩阵就是向下跳跃的，所以下文在讨论加权分支过程 时我们把零流入和强零流入统称为零流入 引理4 1 1 加权分支俨矩阵q 是单调的当且仅当 0 其中：b k = 0 k = l 定理4 1 2 ( 单调性) 加权分支酽矩阵q 的最小9 函数f ( t ) 是单调的当 且仅当 ( 1 ) w i ( b 一b k ) w i 十a ( b 一b k ) ，i21 ，j 17 b k = 0 k = a七= lk = l 并且满足 ( 2 ) 2 以下条件之一t + ( c ) m b = + o c 和e 等= + 。c ，l = 1 定理4 1 3 ( 对偶性) 加权分支口- 矩阵q 的最小9 函数f ( t ) 是对偶的( 相 对于某单调函数) 当且仅当 ( 1 ) w i ( b 一b k ) 7 1 j i + l ( b 一6 七) ，i 之l ：j 1 ，b k = 0 并且满足 ( 2 ) 以下情况之一， ( a ) 壶= + o c + 。 ( b ) 去 + 和d 一 七 6 脚 一6 + 一 k ，m 一6珊 + l | 上 悃垂 和 + 一 k o 。 把加权分支q 矩阵的元素代入，再利用0 b = 幻 + 。c 得 j = l 果 定理4 1 2 的证明结合引理4 1 1 ，定理3 1 5 和定理2 1 1 ，容易证得结 定理4 1 3 的证明先由定理2 3 1 得到，p ( t ) 对偶的充要条件是( 1 ) q 是对 偶( 单调) 和( 2 ) q 是f c l l e r 且强零流入或者q 是非零出都成立由q 的定义我 们知道它是f e l l e r 的； 由定理3 1 4 的备注知当击= + o 。时q 必是零流入的，由此有得到( a ) ； 而由定理3 1 5 ，我们得到( b ) ； 由定理3 1 4 可知，( e ) 成立时q 是零流入的，所以( c ) 也得证 定理4 1 4 的证明( 1 ) 设f ( t ) 是加权分支q 矩阵的最小q - 函数并且圣( a ) 是其最小9 预解，则我们有以下等式成立，对任意的s 【0 ，1 ) ( 见文献【2 】) 如果d m b + 。c 那么u ( q ) = u o ) = 0 ，0 一 七 6 ”胁 一k u + w 一 七 6 ， 一 6 一 k s 七 a 诸 垂 栅柑 su+矿 | | sa 一玎 l e i 协舢 入 西南大学硕士学位论文 第4 章加权分支过程的基本性质 因为i 圣巧( a ) 矿ls 譬和j 量= o 垂玎( a ) 矿玎南 利用控制收敛定理得到 o = 恕口熙a 圣q ( a v = a l i m 圣巧( a ) 一 = u = u 所以 恕虫巧( a ) 矿= 0 从而有 1 i m 圣巧( 入) = 0 l 0 0 这样f ( t ) 是f e l l e r 的( 见文献【1 】) ( 2 ) 当d m b 时，那么e 是正则的，此时得到f ( t ) 是忠实的并且是唯一的 我们先来证明必要性假设f ( t ) 是f e l l e r 的，那么q 是零入的( 见文献【1 】) 相反地，由定理3 1 4 可知， = + o 。 n = 1 充要条件是q 是零流入的，很显然由q 的定义它是f e l l e r 的，那么f c t ) 也是 f e l l e r 的( 见文献【1 】) 备注：如果e 赤= + 。，则f ( z ) 是f e l l e r 的 1 5 堕宣盔堂堡堂垡鲨奎第5 章判断加权分支过程基本性质的一些充分条件 第5 章判断加权分支过程基本性质的一些充分条件 5 1 判断加权分支过程性质的充分条件 + o q 对于般情况，验证，蚤= + 不总是容易的，因为给出的序列 ：诧之 1 ) 是递推的形式因此我们给出以下充分条件判断： 定理5 1 1 对于加权分支口矩阵q ，设q 是u c s ) 在【0 , 1 】上的最小解，那 么有： ( 1 ) 如果l i m s u p 惭 百1 ：则q 是非零入 ( 3 ) 如果熙衢= 叫存在，并且如果加 百1 ，q 是非零入的 推论5 1 2 对于满足w n 伽n + 1 ，( n 1 ) 的加权分支g 矩阵q ，这时 熙师= 伽存在，设q 是u ( 5 ) 在【o ，1 】上满足0 q 1 的最小解 ( 1 ) 假设d m b ( a ) 若w 1 ，则v ( t ) 是单调，但是既不对偶也不f e l l e r ( 2 ) 假设d m 6 + o c ( a ) 当伽 ；1 时，并且 若满足去 + o c ，则f ( ) 是对偶且f e l l e r 若满足e 击= + o c ，则f ( t ) 单调 ( 3 ) 假设m b = + ( a ) 当 ；1 时，并且 若满足瓦1 + 0 0 或者n 誉- = l 去= + 和蔓等 + o o ，那么f ( d 是对偶且f e l l e r 若满足ej 馨= + o c 则f ( t ) 是单调的 1 6 西南大学硕士学位论文 第5 章判断加权分支过程基本性质的一些充分条件 5 2 证明 定理5 1 1 证明我们只需证明( 1 ) 和( 2 ) 假设d m b ，因为d m 6 + 。 的证明过程相似的 ( 1 ) 假设( 1 ) 是不正确的， + 0 0 那么j k + o c 我们得到 n = l l i m s u p 钔i 1 n + o 。 定义h 。= 尼。叫。+ l ( n 0 ) ，那么有 则其生成函数 l i ms u p 镢 i m s u p 佤1 i r a s u p 瓶；鬲 1 n 一。t l 一 n - - * o o + o 。 冒( s ) = k s n 在【0 ，1 】上定义良好并且h ( 1 ) + o c 由和日( s ) 的表达式，我们得到对任意s f 0 ，1 】，有 也可以写成 d三k_sn。而100【s + s 日( s ) ( 6 一0 0 堋 十一+ n = 1l = l u ( s ) h ( s ) = s + d w l ( 1 一s ) 令s = 1 ，注意到u ( 1 ) = 0 ，所以h ( 1 ) = + 这与h ( 1 ) 0 对于8 【0 ，1 ) ：我们得到 因此，对于s f o ，1 ) ，有+ c ok s n + o 。并且 l i m i n f w e e 鬲+ l i i m s u p 影冗，l l i r a s u p 兄n 叫n + 1 1 n 一。o n 一n 一 1 7 脚 击等 h - l 一 n s n h 脚 西南大学硕士学位论文第5 章判断加权分支过程基本性质的一些充分条件 所以有 从而 由定理3 1 4 ，q 是非零入的 1 i m s u p 瓶： 1 n 一 推论5 1 2 的证明( 1 ) 当d m b 时，则q 是正则的( 零流出的) ，此时u ( s ) 在f 0 ：1 上的最小解是1 ， ( a ) 若伽 1 由定理5 1 1 知o 是非零流入的，同样利用第二章的定理就 得到f ( t ) 是单调，但是既不对偶也不f e l l e r ( 2 ) 当d m b + 时，设q 是u ( s ) 在【o ，l 】上满足0 q 1 的最小解， ( a ) 当叫 百1 时，由定理5 1 1 知q 是非零流入的，并且若满足击 + ， 则q 是非零流出的，这时由第二章定理知f ( t ) 是对偶且f e l l e r ；否则，即满足 去= + 。，则q 是零流出的，则f ( t ) 单调 ( 3 ) 当m b = + o c 时，设q 是u ( s ) 在【o 1 】上满足0 q 1 的最小解， ( a ) 若满足w 百1 时，则q 是非零流入的，并且若满足丽1 + 。c 或 钉= l + n n+ 者e 击= + o 。和呈等 + o o ，则由定理3 1 5 知q 是非零流出的，所以 n = 1t l = 1 4 - f ( ) 是对偶且f e l l e r ；否则，即满足导晕= + 。c 时，则q 是零流出的，所以 f ( t ) 是单调的 1 8 + 佃脚 西南大学硕士学位论文 第7 章进一步的问题 第7 章进一步的问题 还有一些值得我们思考和进一步讨论的问题： 1 本文在讨论加权分支过程的单调性和对偶性时有这样一个结论：w 。是递 增列时q 总是单调的，要是w 。为一般形式时，那么又该如何简单验证这个不等 式是否成立呢? 2 本文在讨论f e l l e r 性时得到：当d m b 时， f ( t ) 是f c l l c r 当且仅当 如= + 其中：r o = 1 ；= 而鬲1+ 三码 r k 吐( 佗之1 ) ：v n = 如 我们给出的r 是一个递归的形式，而本文已经给出了当w 。递增时的判断条件， 若w 。为一般形式，又是怎样把这个验证过程简化? 1 9 西南大学硕士学位论文 参考文献 参考文献 f 1 】w j a n d e r s o nc o n t i n u o u n st i m em a r k o vc h a i n s m n e wy o r k ：s p r i n g - v e r l a g ：1 9 9 1 2 】a y c h e n ，j p l i ，n i r a m e s h u n i q u e n e s sa n d e x t i n c t i o no fw e i g h t e dm a r k o vb r a n c h i n gp r o c e s s j 。m e t ha n dc o m pa p p lp r o b ，7 ( 2 0 0 4 8 9 - 5 1 6 【3 】y rl i d u a la n df e l l e r - r e u t e r - r i l e yt r a n s i t i o nf u n c t i o n s j jm a t ha n a la p p l ，2 0 0 6 ， 3 1 3 ( 2 ) ：4 6 1 4 7 4 【4 】h j z h a n g ，a y c h c n s t o c h a s t i cc o m p a r a b i l i t ya n dd u a lq - f u n c t i o n s j jm a t ha n a l a p p l ，1 9 9 9 ，2 3 4 ：4 8 2 - 4 9 9 【5 5 a y c h c n ，p p o u e t t ，h j z h a n g ，e t a l u n i q u e n e s sc r i t e r i af o rc o n t i n u o u n s - t i m em a x k o v c h a i n sw i t hg e n e r a lt r a n s i t i o ns t r u c t u r e j ja d va p p lp r o b ，2 0 0 5 ：3 7 ( 4 ) ：1 0 5 6 - 1 0 7 4 6 】a p a z y s e m i g r o u p so fl i n e a ro p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n st op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a ，- t i o n s m n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g 1 9 8 3 ： 7 】z t h o u ，f g u o t i m e - h o m o g e n e o u sm a r k o v p r o c e s sw k hc o u t a b l es t a t es p a c e m s p r i n g e r - v e r l a g b e r l i n n e wy b r k 1 9 8 8 【8 1 a y c h e na n der e n s h a w t h em m q u e u ew i t hm 8 , s s e x o d u sa n dm a s sa r r i v a l sw h e n e m p t y j j o u r n a lo fa p p l i e dp r o b a b i l i t yv 0 1 3 4 p p 1 9 0 - 2 0 7 ，1 9 9 7 【9 】y r l ia n dj l i t h ef e l l e rp r o p e r t yf o rg e n e r a l i z e db r a n c h i n gp r o c e s s e sw i t hr e s u r r e c - t i o n j f l o j t e h a x r i s t h et h e o 珂o fb r a n c h i n gp r o c e s s e s i m s p r i n g e r ：b e r l i n ，1 9 6 3 【11 】k b a t h r e y aa n dp e n c y b r a n c h i n gp r o c e 铀e b 【m 】s p r i n g e r ：b e r l i n ，1 9 7 2 f 1 2 】a y c h e r t a p p l i c a t i o n so ff e l l e r - r e u t e r - r i l e yt r a n s i t i o nf u n c t i o n s j j o u r n a lo fm a t h e - m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n sv 0 1 2 6 0 p p ，4 3 9 - 4 5 6 ，2 0 0 1 【1 3 k b a t h r e y a a n d p j a g e r s c l a s s i c a l a n dm o d e mb r a n c h i n g p r o c e s s e s m s p r i n g e r ：b e r l i n ，1 9 9 6 【1 4 】a y c h e n u n i q u e n e s sa n de x t i n c t i o np r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dm a r k o vb r a n c h i n gp r o - c e s s 【j 】j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n sv 0 1 2 7 4p p 4 8 2 4 9 4 ，2 0 0 2 a 【15 】a p a z y s a s m n s s e na n dh h e r i n g b r a n c h i n gp r o c e s s e s i m l b i r k h u n s e r ：b o s t o n ，1 9 8 3 【16 】r d e l a u b e n f e l s e x i s t e n c ef a m i l i e s ，f u n c t i o n a lc a l c u l ia n de v o l u t i o ne q u a t i o n s m b e r l i n ： s p r i n g e r - v e r l a g ，19 9 4 【1 7 w a r e n d t v e c t o rv a l u e dl a p l a c et r