（应用数学专业论文）几类边值问题正解的存在性.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明t 此处所提交的硕士论文几类边值问题正解的存在性，是 本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得 的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的 研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的 法律结果将完全由本人承担 作者签名t 友 日期： 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 几类边值问题正解的存在性系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间， 在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本 论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保 存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子 版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复 制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名t 致咻 导师签名。嬲梅 日期。 , i j 曲阜师范大学硕士学位论文 几类边值问题正解的存在j 陛 摘要 常铹t ! f f 方程边值问题的研究是微分方程的个重要领域，线性常微分方程的 多点边值问题的研究起源于i i i n 和m o i s e e v ，其后g u p t a 研究了非线性三点边值 问题随着近代物理学和应用数学的发展，各种各样的非线性问题日益涌现，因 其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象，它已成为目前非线性泛函分析 中研究最为活跃的领域之一，而抽象空间中的非线性微分方程边值问题又是近年 来讨论的热点，受到了国内外数学界的重视 本文主要利用迭代方法，上下解方法和不动点理论对两类二阶非线性边值问 题和一类抽象空间中的三阶边值问题进行了研究，得到了一些新的结果 本文共分为三章； 在第一章中，我们主要研究如下二阶非线性边值问题 ， ( ) + 蛔( 啪，让( ) ，( 。) ) = o ，。( 0 ，1 ) ( 1 1 - 1 ) i a u ( o ) 一肛，( 0 ) = 0 ，7 u ( 1 ) 一( f c ( 1 ) = 0 ， 其中a ，q ，p ，y ，6 o ，p = q 6 一q ，y 一所 0 ，并且s ( t ，z ，y ) c ( 【o ，1 1 0 ，+ c o ) 【0 ，+ o 。) ，【0 ，+ o 。) ) 本章主要利用锥拉伸不动点定理证明了存在参数”，使得当a ( 0 ，”) 时，边值问题( 1 1 1 ) 至少有一个正解，当入 ”时边值问题( 1 1 1 ) 没有 解 在第二章中，我们主要研究如下奇异二阶边值问题 ， ( 。) + m ，钍( 。) ，( t ) ) = o ，。( 0 ，1 ) ，( 2 l 1 ) l “( o ) = 0 ，5 u ，( 1 ) = u ( 叩) 正解存在的充要条件，其中0 叼 0 ，p = q 6 a ，y 一所 0 ，a n df ( t ，z ，y ) c ( o ，1 】 0 ，+ o o ) 【0 ，+ o o ) ， 0 ，+ o o ) ) w eu s ec o n ee x p a n s i o n f i x e dp o i n tt h e o r e mt oo b t a i np a r a m e t e r a 。，w h e na ( 0 ，a + ) b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 1 ) h a so n ep o s i t i v es o l u t i o na t l e a s ta n d 入 a + b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 1 ) h a sn os o l u t i o n i nc h a p t e r2 ，w em a i n l ys t u d ys i n g u l a rs e c o n d - o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m a sf o l l o w s ( t ) + f ( t ，u c t ) ，( 亡) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， u ( o ) = 0 ，6 0 ( 1 ) = u ( 7 ) ， ( 2 1 1 ) w h e r e0 叼 0 ，p = q 6 0 f ，y 一所 0 对于二阶边值问题正解的存在性，已经有不少结果文【1 】利用上下解方法 和不动点理论研究了边值问题 l ( t ) + ，( 亡，“( 亡) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， ia u ( o ) 一z u ( o ) = 0 ，9 , u ( 1 ) + 6 ( 1 ) = 0 ， 得到了在f ( t ，u ) 关于钍单调递减时正解的存在性文【2 】利用了不动点指数定理 研究了边值问题 i 札( t ) + a ( o i ( t ，牡( 亡) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， i ( o ) = 0 ，u ( 1 ) + q ( 叼) = 0 ， 得到了在i o = l i r a z 。叶掣，厶= l i m z 。掣g o ，) 的情况下正解的存在 性，相关的文献还有【3 5 】 受以上文献启发，本章主要通过范数形式的锥拉伸不动点定理证明了存在常 数入。，使得当a ( 0 ，a 。) 时边值问题( 1 1 1 ) 至少有一个正解，当a a 幸时边值 问题( 1 1 1 ) 没有解 1 2 预备知识 为了方便，我们先列出本章的假设条件如下 ( - 1 ) ，( 亡，z ，y ) c ( 【0 ，1 】【0 ，+ o o ) 【o ，+ o o ) ，【o ，+ o o ) ) ，且f ( t ，z ，y ) 关于z 是增的 第一章含有参数的二阶边值问题正解的存在性 ( 皿) a ( t ) c ( ( o ，1 ) ， 0 ，+ o o ) ) 并且a ( t ) 满足0 层a ( s ) d s + o o ( 凰) l i r a i 窭i + 1 训o 镨崭= o ，l i r a i 正可i + 篙崭= 十o o 关于t 一致成立 令i = 【0 ，1 】，e = c o ，1 】 e 1 = c 1 o ，1 】，其中e 上的范数i iu0 = m a x t ii u ) i ，e 1 上的范数l luld - - m a x t ，l 牡( 亡) l + m a x t j ri ( 亡) i 引理1 2 1 【2 7 1 ( 范数形式的锥拉伸不动点定理) 设e 为序b a n a c h 空间，p 表 示ed e 的零元素，p 是e 中的锥q 1 ，q 2 是e 中的有界开集使得臼q 1 ，鬲c q 2 ，a ：pn ( 蕊q 1 ) _ p 全连续如果满足条件 那么，a 在p n ( 蕊q 1 ) 中必具有不动点 ( t ) + a 畎t ) ， ，u ( t ) ( t ”= 0 t c 0 , 1 ) ( 1 2 1 ) 【a u ( o ) 一肌( o ) = o ，7 u ( 1 ) 一乩7 ( 1 ) = 0 u ( 亡) = a a ( s ) g ( t ，s ) f ( s ，乱( 8 ) ，( s ) ) d s ， ( 1 2 2 ) f 坐塑迎型，o s 亡1 ， g ( t , s ) - - ! 竺壁垒二! ! 兰2 。 亡 0 ，则6 一，y 譬 0 ，即c ( t ，s ) 0 显然，u ( t ) = 入片n ( 8 ) g 1 ( 亡，s ) ，( s ，乱( s ) ，( s ) ) 如其中 f 掣， o s 亡 3 7 + q t s 垒! p( q + p ) 6 二( 0 + p ) 巧二( q + p ) 6 若t s ，则 坐p 塑南鼎( q + p ) 6 一( q + ) 6 g m 8 ) 鼎半= 塑p 引理1 2 4 若( 玩) ，( 凰) 成立且札( ) 是边值问题( 1 1 1 ) 的正解，则 邱) 矧警蛾牡他) 鼎学u ) 证明若乱( 亡) 是边值问题( 1 1 1 ) 的正解，则由引理( 1 2 3 ) 知 乱( 1 ；) = 入z 1 。( 8 ) 印，s ) ，( s 乱( s ) ，m ) ) 畦s 入而z ( a - - y ) z 1n ( s ) g ( 1 ，s ) ，( 8 ，让( s ) ，也7 ( s ) ) d s a 一【3 q ( b 十- p 7 j 。) m 。a ，x ， 。1 。( s ) g ( t ，s ) ，( s ，乱( s ) ，u 7 ( s ) ) d s 绷学婶) 4 曲阜堕整盔堂亟主堂垡迨塞 一一一 又 川h z 等竽n ( s s 删州) d s + 入f t i 华0 ( 8 ) m ，u ( s ) 删) d s 入塑厂1n ( s ) ，( s ，u ( s ) ，( s ) ) d s pj o = 入鼎z 1 学0 ( s s “s 加，( s ) ) d s a 熬学z 1 眦s m s ) m 删巾s 熬搿仳协 令 k ： u ee 1 蛇搿学邮胁) 南警以坍 定义算子乃：k e ，使得 ( 酬= 入z 1 。( s ) g s ) m ，u ( s ) 袱s ) ) d s 容易证明孔：k k 引理1 2 5 若( 研) ，( 飓) 成立，则a ：k k 全连续 证明定义算子死：k _ k ，满足 u ) ( t ) = 入z 1 ) g m ) m ，u ( s ) 州s ) ) 幽，礼 2 - 其中 5 第一章含有参数的二阶边值问题正解的存在性 由a s c o l i a r z e l a 定理知道瓦全连续所以 ，工 ( 矗乱) ( 亡) 一( 死u ) ( 亡) i = ia n ( s ) 一( s ) g ( t ，s ) ，( 8 ，u ( s ) ，心，( s ) ) 如l d 0 入崩) 刊s ) l g ( 1 埘( s 巾加，( s ) ) d 8 + 入仁击1 0 ( s ) 一) i g ( 1 1 1 ) ，( s ，“( s ) ，札，( s ) ) d s 所以( 孔钍) ( 亡) 是全连续的 一0 一o 。) 1 3 主要结果 定理1 3 1 若( - 1 ) ，( 飓) ，( h 3 ) 成立，则存在常数a 0 ，当入( 0 ，入+ ) 时， 边值问题( 1 1 1 ) 至少有一正解，当a a + 时边值问题( 1 1 1 ) 无解 证明( 1 ) 因为 。矧一o ， 所以垤1 0 ，| 6 1 0 ，使得当川+ | y i n 时，有，( 亡，z ，掣) 1 ( 蚓+ l y l ) 定义开集 q 1 = u e 1l | l 钆i i + i | 乱，i i 以) ， 6 堂皇塑整盔堂塑主堂垡迨塞 w ( t ) kna q l ，有 所以当 有 又由于 j i 仳d2 罨箩l 【2 乱) ( i + m t a f xl ) ( 亡) i = m 州a xi 入0 1 。( s ) g ( 亡，s ) 邝，缸( s ) ，u ，( s ) ) 如i + m 。a 。xi 入o 。等华巾) 帅删蛳) ) d s + a 1 掣小) m 删，u ，( s ) ) d s i 螋厂1n(s)m，礼(s)，州)dsp jo 、。、7 7、77 2 a e l ( o t + f i ) c f 厂1 n ( s ) ( i 让( s ) i + i 缸，( s ) i ) d s pjo 、7 。、7 半忆i i d 1 0 ( 3 ) d s a o ，【0 ，1 】，使得当h + m m 时， 有y ( t ，z ，y ) m ( i x i + i y l ) 定义开集 q 2 = u e 1 让i i + 憎i i m ) ， 7 第一章含有参数的二阶边值问题正解的存在性 v u ( t ) k n o f l 2 ，有 i it ui i o2 m 矧a x i m ) ( t ) i + 鼍乎im ) 协) i i ( t u ) ( t o ) i = 入o ( s ) g ( ，8 ) ，( s ，u ( s ) ，( s ) ) 如 、 i m a ( s ) g ( t o ，s ) iu ( s ) l + i ( s ) i 】d s a m z 1 巾) 3 ) i 粼学u i + i 鼎学蚓冲 訾i l ui i 。j ! 0 1 a ( s ) g ( s ) d 3 所以当 q 6 入mfl，、floa(s)g(to,s)ds 有 0t u | i d | i i i d 由引理1 2 1 知，当 心蜀i 丽p 孺丽；，胁面瓦意耘丽 时，边值问题( 1 1 1 ) 在kn ( 蕊q 1 ) 中至少有一正解 ( 2 ) 下面证明当入很大时边值问题( 1 1 1 ) 无解 假设当入很大时边值问题( 1 1 1 ) 有解，取 a a m ，u ( s ) ，州) 钍( s ) ，a = 硒f l ( , 5 丽- 上i g ( 1 ，s ) n ( s ) d s ， 则 u ( 1 ) = 入g ( 1 ，s ) n ( s ) ，( s ，u ( s ) ，u ，( s ) ) 幽 去z 1 g ( 1 s s m s ) d s 丽1f l ( q , ，+ - p ) ) t m a ，xu z 1 g ( 1 s ) 口( s ) d s = 也( 1 ) 8 曲阜师范大学硕士学位论文 矛盾所以当a 很大时边值问题( 1 1 1 ) 无解 ( 3 ) b = al 边值问题( 1 1 1 ) 至少有一个正解) ，由( 1 ) ，( 2 ) 知b 西， 且”= s u pb 0 0 下面证明v b 乱。( 亡) ， 0 u ( t ) u 。( t ) ， 仳( t ) 牡：( 亡) 0 u 他) u ：( 亡) ， “他) 0 由于f 。( 亡，t ( t ) ，( 亡) ) 有界，则由s c h a u d e r 不动点定理知边值问题( 1 3 1 ) 有正 解，记为u b ( t ) 下面证明u b ( t ) 乱c ( 亡) ，0 呓( t ) ( t ) 假设u b ( t ) 菇u o ( t ) ，那么存在t o 【0 ，1 】，满足 1 z b ( t o ) 一乱c ( t o ) 2o m o ，u ：( o ) 一叱( o ) 0 ，所以o , u b ( o ) 一u c ( o ) 】一 p 心( o ) 一嘭( o ) 】 0 ，与a u 6 ( o ) 一z , 4 ( o ) = 0 ，q 札。( o ) 一p u ：( o ) = 0 矛盾 ( 3 ) 若t o = 1 ，则u b ( 1 ) 一u c ( 1 ) 0 由 知 f f u b ( 1 ) 一她：( 1 ) = o ，y u c ( 1 ) 一轧：( 1 ) = 0 u 一牡= 孑( 1 ) 一让c ( 1 ) 】 o ， 所以 牡：( 1 ) 一牡：( 1 ) = z 11 幽p n ( s ) 6 f ( s ，u a ( s ) ，让：( s ) ) 一c ，( s ，u c ( s ) ，疋( 8 ) ) 】d 8 。 记m ( 8 ) = a ( s ) b f + ( 亡，乱6 ( s ) ，呓( s ) ) 一盯( 亡，乱c ( s ) ，u ：( s ) ) 】，从而由 p = a 6 一n 7 一p ，y 0 ， 知 呓( 。) 一呓( 。) = 0 1 丛竽m ( s ) d s 2 z 1 等半脚，如 0 所以u d o ) 一u c ( 0 ) 0 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 又 缸。( 亡) 一仳。( t ) ：6 厂。熊土丛生工业。( s ) p ( s ，仳。( s ) ，让) d s j 0p 。 + 6 厂1 丝型巡二型型口( s ) f ( 刚。( s ) ，仳) d s , i t p 、。 同理 一c 厂堕塑监业2 n ( s ) m ，u 航呓( s ) ) d s j op 。 一c f ti 堕掣) ，( s m ( s ) “( s ) = z 堕掣脚冲+ 1 坠掣脚灿 z 华脚汹+ 1 半脚汹 = z 1 掣脚，幽 = 钆b ( o ) 一 t c ( o ) 乱：( t ) 一乱：( 亡) 乱：( 1 ) 一( 1 ) 0 所以p8 ，牡6 ( s ) ，u ：( s ) ) = ( s ，乱。( s ) ，“：( s ) ) ，从而乱：( 1 ) 一u ：( 1 ) 0 矛盾 综上可以证明u b ( t ) 扎。( t ) 接下来证明0 u b ( t ) 乱：( 亡) ，假设u b ( t ) g 让：( 亡) ，那么存在t o 0 ，1 】，满足 乱抵) 一缸娥) 2 晌m a 0 ， 则有三种情况( 1 ) t o ( 0 ，1 ) ，( 2 ) t o = 0 ，( 3 ) t o = 1 ( 1 ) 若t o ( 0 ，1 ) ，则仳：( 亡o ) 一u ：( 亡o ) = 0 ，所以 乱：( 如) = - b n ( t o ) f 。( t o ，u b ( t o ) ，u b ( t o ) ) = - b a ( t o ) f ( t o ，u b ( t o ) ，c o ( t o ) ) = u ：( ) = - c a ( t o ) ( t o ，u c ( 亡o ) ，c o ( t o ) ) 则 与 与 1 2 第二章奇异三点边值问题正解存在的充要条件 2 1 引言 本文主要研究边值问题 州d “ 一 ) ”- 0 。( 0 1 ) ， ( 2 1 1 ) 【钍( o ) = 0 ，6 ( 1 ) = 乱( 叼) ， 其中0 叼 6 1 ，在t = 0 ，t = 1 两点有可能奇异 近年来，对于奇异三点边值问题正解存在的充要条件，已经有不少文献，并 且得到了很多结果 文【9 】9 分别得到了边值问题 i u ( 亡) + 厂( 亡，牡( 亡) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， i 耐( o ) 一t ( ) = 0 ，u ( 1 ) = 0 c 1 o ，1 】正解和c 0 ，1 】正解存在的充要条件是0 詹f ( t ，1 一t ) d t + o o 和0 詹( 1 一t ) i ( t ，1 ) d r + o o ，其中6 ，0 1 文【1 0 】讨论了边值问题 i z + 地十夕( z ) = h ， iz ( o ) = o ，z ( 叩) = z ( 7 r ) 正解存在的充要条件，其中入，叩为实参数，相关的研究还有文【1 1 1 6 】 受以上文献启发，本文主要利用了迭代和上下解方法讨论了边值问题( 2 1 1 ) ， 得到了其c 1 【0 ，1 】正解和o o ，1 】正解存在的充要条件 现提出下列条件 2 2 预备知识 1 3 第二章奇异三点边值问题正解存在的充要条件 ) + 以力_ 0 ( 0 ，1 ) + ( 2 2 1 ) 牡= o lg s ) 巾) 幽一南z 1 ( s 刊巾) d s ( 2 2 2 ) f 塑 业，o s 亡 1 ， - 尊蕞基： l 6 一刀 。一。一。一 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 则 也( o ) = u ( 1 ) 一( 1 ) 一s v ( s ) d s ， “( 叩) = 钆( 1 ) 一u 7 ( 1 ) + ( 1 ) 7 一( s r i ) v ( s ) d s 由边界条件有。 让( 1 ) 一u ，( 1 ) = s v ( s ) d 8 ， 乱( 1 ) + ( 叩一1 6 ) 乱7 ( 1 ) = ( s r 1 ) v ( s ) d s 整理得 川) = 而1 序刊s ) d s _ 击小刊巾汹， m ) = 南z 1 ( s 刊s 汹一击小刊巾) d s + f 0 1 8 v ( s ) 缸 所以 心( 亡) = 牡( 1 ) 一( 1 ) + u ( 1 ) 艺一( s t ) v ( s ) d 8 = 卜( s ) 蚺南z 1 ( 川m s ) d s 一南小刊巾) d s 一，1 ( s 叫巾) d 8 = z 。等字+ 1 等茅一上br 1 c m s 灿 = z 1g 咖( s ) d s 一上5 - 7 1 小刊巾灿 反之，把u ( t ) 代入边值问题( 2 2 1 ) 也成立 注 尚 g ( 抽) 等学 ( 2 2 3 ) 引理2 2 2 若仳( 亡) 是边值问题( 2 1 1 ) 的c 1 o ，1 】正解，则牡他) 是减的， 且u ”) t u ( 亡) u i ( o ) 亡 证明由仳( 亡) 是边值问题( 2 1 1 ) 的正解，知u ( t ) = 一，( 亡，似( 亡) ，u 心) ) 0 ， 即u 他) 是减函数 1 5 第二章奇异三点边值问题正解存在的充要条件 由l a g r a n g e 中值定理知j ( ( 0 ，1 ) 满足 掣：( ( ) ， 所以 ( 1 ) 掣u ，( 0 ) ， 即( 1 ) t 钆( 亡) ( o ) t 在b a n a c h 空间o o ，1 】中定义范数忙l l = m a x o 一 t 一li u ( t ) l ，构造集合k = u o o ，1 】i 存在非负常数入1 ，入2 满足入l t u ( 亡) a 2 亡 定义t ：k _ x 使得 ( ) = j o x g ( 亡， ，u ( s ) ，乱，( s ) ) d s 一矿t , t u ) c ts ) f ( 8 j 0 j1 ( 3 一，7 ) 邝，u ( s ) ，牡( s ) ) 如 () =( 亡， ，u ( s ) ，乱，( s ) ) d s f ( 3 一，7 ) ，( s ，u ( s ) ，牡( s ) ) 如 u 2 3 主要结果 定理2 3 1 若( 风) 成立，则边值问题( 2 1 1 ) 有c 1 【o ，1 】正解铮0 詹，( t ，t ，1 ) d r + o o 证明必要性设u ( t ) 是边值问题( 2 1 1 ) 的c 1 【0 ，1 】正解，由引理2 2 2 知， 心”) 亡u ( t ) ( o ) 亡 假设f ( t ，t ，1 ) 兰0 ，由于 0 1 时， ( o + ) 一牡7 ( 1 一) l ( t ，亡，1 ) d 亡， 即 ，( t ，t ，1 ) + o o 当( 1 ) 1 时， 牡7 ( o + ) 一u ( 1 - ) ( ( 1 ) ) 盯，( 亡，t ，1 ) 疵， ，0 亦有 ，1 1 ，( t ，t ，1 ) + 综上可以证明0 y 2 f ( t ，t ，1 ) + o o 充分性定义尬= 扣ki 存在非负常数a x , a 2 满足a 1 让他) 入2 ) v u ( t ) g l ，有a l t ( ) a u t ，a 1 ( t ) t 6y l - 叼h l i n 州坩 c o ( t 2 - t 1 ) f 2 3 4 、 令 j 1 - 焉m i n n n 郇。mf 2 _ 等掣m 叩，( 盯) 0 1 m s 1 ) d s ， 所以t ：k 叫k 又 ( t u ) ，( 牡o 两8m 删删) d s + 1 等，( s 删州s ) ) d s 一南z 1 ( s 刊邝州s ) 删瓠 由( 2 2 3 ) ，( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 得 ( 酬蛏0 1 南m ，u ( s ) ，删d s + 0 1 等m 删川s ) ) d s 叫1 i ( 糊口) z 1 等字m ，s ，1 ) d s m 邮舢2 n 等0 1 作，s ，啪s ， 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 驯, - o 南m ，u ( s ) ，诉) ) 幽+ 1 南m ，牡( s ) ，啪) ) d s 一志小刊m 州8 ) ，删d s = f 0 1 矿三，( 8 ，乱( s ) ，缸，( s ) ) d s 一矿1 - z 1 ( s 一叼) 厂( s ，缸( s ) ，u ，( s ) ) 如 南r 2 m 似s 胁) ) d s 忐曲n 洲a 1 ) 盯 c 0 ( t 2 - - t 1 ) 令 m ，= 写觚n 1 ，( a t ) 口) c ；o ( t 2 一m ，m 2 = m a x n ( a 2 ) 口) 等z 1 ，( s ，s 1 ) d s ， 所以t ：硒_ 尬 取 k = 8 u p 2 。f 0 1 g ( 亡，s ) ，( s ，s ，1 ) 幽一二6l r z 1 ( 8 一，7 ) ，( s ，s ，1 ) d s ) ， 饥= i n 她 。1 皿f o lg s ) 馋s 1 ) d s 一上6 - 7 7z 1 ( s 刊m s 1 ) 埘 由( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) 知“，l k 有意义 令 0 m m i n 1 ，t ：- ；) ，m a x 1 ，l 产) m ， 蛐= m t ，= 2 k 一1 ，v o = m t ，= t 一1 ，n = 1 ，2 贝0 有w l ( t ) = ( t w o ) ( t ) = t ( m t ) m 口t t m l k t m t = 蛐，同理v l ( 亡) ) 如此迭代下去得到 蛐u 1 移1 加， ( t ) = ( t o ：o ) c t ) = t n ( m t ) ( ) n t c t ) ， ( t ) = ( p 伽) ( t ) = t n ( m t ) ( m 口) n p ( 亡) 1 9 第二章奇异三点边值问题正解存在的充要条件 任意取自然数n ，p 有 o + p 一一( m 口) 住p ( 亡) - ( m 盯) n p ( 亡) = ( m 口) n p ( 亡) 1 一( ( 嚣) 口) n 】 m 邱扩 1 一( ( 署) 仃) n 】_ o ( 佗_ ) 所以存在乱+ ( t ) k 1 ，使得( ) _ u ( t ) ，( t ) 一t 。( t ) m _ o o ) 即u 。( ) 是t 在中的不动点 显然( t u ) ( t ) c o ，1 】n o - c o ，1 ) ，且 i ( t u ) ，( 0 + ) 1 - 1 0 1 等m ，u ( s ) ，仳，( s ) ) 如l 尝m a x 1 ，( a 2 ) 盯) 厂1m ，s ，1 ) d s o 一，7 。- ，o + o o ， 即( t u ) ( o + ) 存在，边值问题( 2 1 1 ) 有c 1 【o ，1 】正解 定理2 3 2若( 风) 成立，则边值问题( 2 1 1 ) 有c o ，1 】正解铮0 詹t f ( t ，t ，1 ) 班 + o o 证明必要性若让( t ) 是边值问题( 2 1 1 ) 的c o ，1 】正解由( t ) 一心他) o ，( 1 ) 一u ( 1 ) 0 ，所以存在t o ( 0 ，1 ) ，满足v ( t o ) = 心( t o ) 假设，( t ，1 ，1 ) 三o ，耽( o ，t o ) ，当( t ) 1 时， 0 f ( t ，乱( 亡) ，u 7 ( t ) ) f c t ，( t ) ，( t ) ) f ( t ，1 ，1 ) 三0 ， 当( t ) 1 时， 0 1 盯， ， ，让 ) ，u 7 q ) ) f c t ，u ) ，t ( t ) ) ( 扎 ) ) 盯( u ) ) 一口f ( t ，1 ，1 ) ( 萄一口( u ) ) 盯f ( t ，1 ，1 ) ， 当u ( t ) 1 时， 1 ( t ，u ) ，( t ) ) ，( t ，缸( t ) ，钍0 ) ) ( u c t ) ) 盯，( t ，1 ，1 ) 于是 f ( t ，u ) ， ) ) r a i n 1 ，( 蜀一口) ( 钆 ) ) 矿f ( t ，1 ，1 ) = 石( “ ) ) 口f ( t ，1 ，1 ) 所以 t of r o 牡7 ( 亡) 一乱( 如) = ，( 8 ，u ( s ) ，乱7 ( s ) ) 幽石( u ( 亡) ) 盯，( s ，1 ，1 ) d s j tj t 即 1 t o ，( s ，1 ，1 ) d 8 - 1 ( 札( 亡) ) 吖阻印) 一乱( 铴) 】 - ，t 同理( ，1 ) ，( s ，1 ，t ) d s 一1 ( ( t ) ) 一 u c t o ) 一( t ) 】，所以 r 州s l 1 ) d s r m 1 1 ) d s 矿( 岬) ) 吖o ) _ 州】 + o o 又 z 幻s m 1 ，1 ) d 8 z 幻o 。m 1 1 s = z 幻幻作 1 郴s 出 f _ 1 ( 乱) 可m 垆乱) 】出 ( 司一1 o “( u ( 亡) ) 一盯乱印) 出 而( a - ) - iu ( 硼1 一盯 z 1s ，( s ，1 ，1 ) d s 于是，由( 2 2 3 ) 知 喇南z 1 ，s ，1 ) d s ， 喇南z 1 ，( s ，s ，1 ) d s ， 喇等亡0 1 m ，1 1 ) d s ， 喇等0 1 邝 1 1 且 毗( 亡) c o ，