（应用数学专业论文）单位球上具bmo符号的toeplitz算子的有界性和紧性.pdf

单位球上具b m o 符号的t o e p l i t z 算子的有界性和紧性 摘要 函数空阕上的算子理论是泛蘧分析学科研究的重要分支之一本篇论 文主要研究单位球b e r g n m n 空间上的t o e p l i t z 算子的有关性质着重考虑 t o e p l i t z 算子的有界性，紧性，主要是利用b e r e z i n 变换的有关性质来完成 的 第一章，综述t o e p l i t z 算子的研究背景，并说明本文研究的内容及意 义 第二章，在单位球b e r g m a n 空间上，本文分别刻画了带b m o 符号的 t o e p l i t z 算子的有男性，紧性，铡震b e r e z i n 变换的有关性质，得刭了毅下结 论： 王：设，b m 0 1 反k 刘t o e p i i t z 算予乃在i 懿) 上是毒界的当虽仪当 雪! 兵有界。 2 ：设f b m 0 1 & ) 则t o e p l i t z 算子乃在：( 玩) 上是紧的当且仅当 b f i ( z ) 州o z 一乳 关键词：b e r g m a n 空闻，t o e p l i t z 算子，b e r e z i n 变换，有乔性， 紧性，单位球 t o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hb m o s y m b o l so i lt h eu n i tb a l l a bs t r a c t t h e o p e r a t o rt h e o r y o nf u n c t i o ns p a c e si so n eo ft h es i g n i f i c a n tb r a n c ei nr e s e a c hf i e l d o ff u n c t i o n a la n a l y s i s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a j n l ys t u d yt h et o e p l i t zo p e r a o r so nt h e b e r g m a ns p a c eo ft h eu n i tb a l l t h eb o u n d e d n e s so rc o m p a c t n e s s o ft h et o e p l i t zo p e r a o r s a r em a i n l yc o n c e r n e d ，w h i c hc o m p l e t e db yt a k i n ga d v a n t a g eo ft h eb e r e z i nt r a n s f o r m s i nc h a p t e ro n e ，w es u m m a r i z e dr e l a t e dr e s e a r c hb a c k g r o u n d so ft h et o e p l i t zo p e r a o r s ，a n di n t r o d u c et h ec o n t e n ta n ds i g n i f i c a n c eo ft h er e s e a r c h i nc h a p t e rt w o ，w ec h a r a c t e r i z et h eb o u n d e d n e s so rc o m p a c t n e s s o ft o e p l i t zo p e r a o r s w i t hb m os y m b o l so nt h eb e r g m a ns p a c eo ft h eu n i tb a l lr e s p c t i v e l y , o b t m n i n gt h e f o l l o w i n gt w or e s u l t s ： 1 l e tfb e l o n gt ob m o i ( b ) t h e n 乃i sb o u n d e do n 鹾( 玩) i fa n do n l yi fb f 1 i sb o u n d e d 2 l e t ，b e l o n gt ob m 0 1 ( 玩) t h e n 乃i sc o m p a c to n 二：( 风) i fa n do n l y i f b 【烈：) _ 0 ，a 8z 一& k e yw o r d s ：b e r g m a ns p a c e ；t o e p l i t zo p e r a t o r ；b e r e z i nt r a n s f o r m ； b o u n d e d n e s s ；c o m p a c t n e s s 内蒙古民族大学硕士学位论文作者声明 本人声明：本人呈交的学位论文是本人在导师指导下取得的研究 成果。对前人及其他人员对本论文的启发和贡献已在论文中做出了明 确的声明，并表示了感谢。论文中除了特别加以标注和致谢的地方磐， 不包含其他人已经发表或撰写的研究成果。 本人同意内蒙古民族大学保留并向国家有关部门或资料库送交 学位论文或电子版，允许论文被查阅和借阕。本人授权内蒙古民族大 学可以将本人学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：压蝎型 日期：母上月日 内蒙吉瑟族大学硕士学位论文 ( 一) 、研究背景 绪论 在上世纪二、三十年代，般的线性算子理论及它靛生成的算子代数 有很大的发展同时伴随着它们在量子物理，概率论，信息控制论等学科 中的深入应用，算子理论及代数成为一个非常活跃的研究方向 t o e p l i t z 算子是现代算子理论中最重要的特殊算子类之一一方面，它 为一般的算子理论的研究提供了模型同时，它对算子理论，函数论，指 标理论及算子代数的发展起着纽带的作用比如，著名的不变子空间问题 可以转化成b e r g n m u 空间上算子尥不变子空间格的饱和性质的研究 t o e p l i t z 算子理论开始于t o e p l i t z 矩阵的研究，所谓t o e p l i t z 矩阵是指在 对角线上为常值的单向无穷矩阵t o e p t i t zo 1 1 】等人对此类矩阵的研究作了 开拓性的工作。随后的几十年中，h a r t m a np 和w i n t n e ra 。3 】在这方面徽 了很多工作，研究了t o e p l i t z 矩阵谱，特别是给出了解析t o e p l i t z 算子的谱， 谱包含定理等重要结论1 9 6 4 年，美国数学家b r o w na ，和h a l m o sp 。【4 】利用 算子语言给出了经典h a r d y 空闻上的t o e p l i t z 算子的定义，并将h a r t m a np 和v v i n t n e ra 。的许多结果推广到一般的有界t o e p l i t z 算子，并得到刻画有界 t o e p l i t z 算子和解析t o e p l i t z 算子的方程，并系统地研究了它的代数性质此 后，d o u g l a s 又开始用代数的方法去研究这些同题，使得对t o e p l i t z 算子和 h a n k e l 算子的研究，无论是从方法上，还是在理论上，都有了很大进展关 于经典的t o e p l i t z 算子理论可参见【5 】 h a r d y 空间上的乘法算子定义为歹= 妒，它的性质是比较容易解释 的特别地，映射妒一心是一个非常好的等距代数同态由于等式( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) ( 具体定义详见第六页) 中定义的算子都是乘法算子寐投影算子的复 合算子，从而使得t o e p l i t z 算予和h a n k e l 算子的研究变得非常复杂，也因而 引起更多数学家的关注 从上世纪五十年代开始，h a r t m a n 和w i n t e r 研究了t o e p l i t z 矩阵和t o e p l i t z 算子的谱【2 ，3 】；从六十年代开始，b r o w n 和h a t m o s 4 通过对映射妒一乃很好 的刻画，系统地研究了t o e p l i t z 算子的代数性质；p o w e r 6 ，7 】等人系统地研究 了h a n k e l 算子的代数性质由此，t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子理论成为算子 2 单位球上具b m o 符号的t o e p u t z 算子的有界性和紧性 理论中一个非常活跃的方向，历时半个多世纪，经久不衰此后，d o u g l a s 又开创了用代数的方法去研究这些问题，使得对t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子 的研究，无论是从方法上，还是在理论上，都有了很大进展 这种对t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子兴趣不断增长的势头至少有以下两个 方面的原因：一方面t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子与物理、概率论、信息控制 论等别的学科中的问题有着广泛而重要的联系；另一方面，除了微分算子 外，t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子组成了最重要的非自伴算子类，它们与算子 理论、函数论、b a n a c h 代数等数学分支中的问题相互联系、相互影响、相 互推动，从而成为这些学科必不可少的重要组成部分 经典的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子理论是关于h a r d y 空间上的算子， 关于这部分理论可见专著【6 】以及 8 】近几十年来，经典的t o e p l i t z 算子和 h a n k e l 算子理论已被拓展到了各种不同的函数空间上，在不同的函数空间 上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子理论得到了广泛的研究，取得了长足进展 比如对b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子的研究由伊中不 同类型的区域就构成了不同类型的1 3 e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子关于单位圆盘b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子理论可见( 9 】关于各种 类型区域b e r g m a n 空间上的t o e p | i t z 算子理论可见【1 0 】关于b e r g m a n 空间上 的h 蛆k e l 算子理论可见【1 1 】 迄今，经典h a r d y 空间上t o e p l i t z 算子的代数性质和谱性质研究己经取 得了很多成果，可见 2 - 5 】特别地，b r o w n 和h a l m o s 4 】给出了t o e p l i t z 算子可 交换的条件，证明了h a r d y 空间上不存在非零的紧t o e p l i t z 算子，也只有以 有界函数为符号的t o e p l i t z 算子才是有界的g o r k i n 和z h e n g 1 2 】讨论了h a r d y 空间上t o e p l i t z 算子的本性交换性，而对单位圆盘上的b e r g m a n 空间，a x l e r 和c u 芒k o v i d 1 3 1 给出了以有界调和函数为符号的t o e p l i t z 算子可交换的充分 必要条件，即必有下列三条件之一成立：( 1 ) ，和g 都是解析函数；( 2 ) 和g 都是解析函数；( 3 ) 存在不全为为零的常数a 和b ，使得口，+ 6 9 是常数 s t r o e t h o f f 1 4 】研究了以调和函数为符号的t o e p l i t z 算子的本性可交换性近 来，a x l e r ，e u 琶跏亡和r a o 1 5 】又证明了：若两个t o e p l i t z 算子可交换，且其中 一个算子的符号是非常数的解析函数，则另一个算子的符号也是解析的 众所周知，与t o e p l i t z 算子密切相关的一类算子是h a n k e l 算子对h a n k e l 算子的研究也是起源于h a n k e l 矩阵，所谓h a n k e l 矩阵是指在反对角线上为 悫蒙古受族大学硕士学位论文 3 常值的单向无穷矩阵经典h a r d y 空闻上h a n k e l 算子的有界性和紧性有着非 常整齐的刻画：当且仅当符号为有界可测函数和连续函数，对应算子是有界 的和紧的在h a n k e l 算子理论中的一个非常重要的定理是n e h a x i 定理：若日 是h a r d y 空间上的一个有界h a n k e l 算子，那么存在妒沪( ? ) ，使得h 一母， 并且1 1 | i = = 出s t ( 妒，h ) 此定理有着广泛的应用，比如在日控制理 论中的模型匹配离题，就是由n e h a r i 定理将其转化为裰应的h a n k e l 算子的 范数估计关予h a n k e l 算子的其它结果可参见f 6 】 近年来，由于实际应焉的需要，对经典h a r d y 空闻上的t o e p l i t z 算子， h a n k e l 算子有了各种推广( 此时t o e p l i t z 算子的矩阵已不再是t o e p l i t z 矩阵) 这些推广主要包含两个方匿：一方面是函数空间所在的域的推广，比较常 见的有伊中的单位球，多圆盘，拟凸域和有界对称域等等另方面是测 瘦的推广和改变，比如加权l e b e s g u e 蒺度，以及从h a r d y 空阖的弧长测度到 b e r g m a n 空间和d i r i c h l e t 空间的面积测度关于多变量t o e p l i t z 算子理论可 参见蚓【l o 】，关于单位圆盘d 上b e r g - m a n 空闻和加权b e r g m a n 空闻的t o e p l i t z 算子理论可参见【9 】f 1 6 】，关于d i r i c h l e t 空间的t o e p l i t z 算子理论可参见【1 t - 2 3 对于t o e p l i t z 算子的各种形式推广，一个自然的问题是经典的t o e p l i t z 算子理论是否仍然成立事实表明，在很多性质得到推广的同时，他们之 间也存在着巨大差异比如w i d o m 的谱连通定理在高维球面的h a r d y 空间 上不再成立【2 3 】，但对+ c 符号的t o e p l i t z 算子本质谱之连通性还是成立 的【2 4 】关于经典的t o e p l i t z 算子的局部化方法可以推广到b e r g m a n 空间及 多变量的h a r d y 空闻婆5 】 2 6 】但在h a r d y 空闻和b e r g n m n 空闽上的谱的差距 还是巨大的，比如h a r d y 空间上不存在非零的紧算子，但b e r g m a n 空间上有 菲零紧算子，其谱为离教集，而d i r i c h l e t 空闻上亦存在非零紧算子。同时， d i r i c h l e t 空间上的t o e p l i t z 算子又有很多性质不同于h a r d y 空间和b e r g m a n 空 闻，比如d i r i c h l e t 空闻上的( 符号为) 非零函数可诱导零t o e p l i t z 算子i 2 7 】，但 在h a r d y 空间和b e r g m a n 空间上，t o e p l i t z 算子为零算子治且仅当符号为零 因而当前各种形式推广的t o e p l i t z 算子的研究受到广泛关注，一直很活跃 除了对b e r g m a n 空间和h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子的研 究，人们也对d i r i c h l e t 空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子进行了研究在 d i r i c h l e t 空间上，r o c h b e r g 和w u 等人f 1 9 - 2 1 】首先探论了以非负测度为符号 的t o e p l i t z 算子之后曹广福等人【1 7 - 1 s 研究了不同类型区域的d i r i c h l e t 空 4 单位球上具b m o 符号的t o e p l i t z 算子的有界性和紧性 间上t o e p l i t z 算子的紧性、凸性、f e d h o l m 性质、谱性质和若干代数性质 t o e p l i t z 算子理论还有许多基本问题没有解决，它们的解决不仅依赖于 函数空间及其所在区域边界几何性质外，还有赖于b a n a c h 代数，伊代数， 代数拓扑及l i e 代数等方法的丰富和发展 ( - - ) 、研究内容及意义 记c 为复平面，t ，d 分别为c 中的单位圆周和单位圆盘l 2 ( t ) 表示 t 上的平方可积函数空间，则h a r d y 空间铲( t ) 定义为： 日2 ( t ) = ，l 2 ( t ) ：去z 知，( e 羽) e 枷枷= 帅- - 1 ，2 ， b e r g m a n 空间鹾( d ) 定义为： 厶：( d ) = l 2 ( d ) n 日( d ) ， 其中厶2 ( d ) 表示d 上( 依正规化的l e b e s g u e 面积测度拍) 的平方可积函数空 间，h ( d ) 为d 上的解析函数全体此时，l ：( d ) 是l 2 ( d ) 的闭子空间 对，l ( d ) ，即为d 上的本性有界可测函数，定义b e r g m a n 空间l ：( d ) 上的t o e p l i t z 算子乃的定义如下： 乃( u ) = p ( f u ) ，t | l ：( d ) ， 其中p 是l 2 ( d ) 到l 2 ( d ) 的正交投影 对任意的u l 2 ( d ) ，正交投影p 可表示如下： ( p u ) ( z ) = t ( t t ，) 恐( 埘) 烈( 叫) ， 其中恐( 伽) = 丽1，称为磋( d ) 上的b e r g m a n 再生核，其正规化为也( 叫) = 1 i z l 2 百研 事实上，根据b e r g m a n 投影p 的积分表达式可知，其定义域可扩张到 l 1 ( d ) 空间，因此t o e p l i t z 算子乃在日( d ) 是有定义的，其中日( d ) 是d 上 的有界解析函数所构成的空间易知，日( d ) 在鹾( d ) 是稠密的，故t o e p l i t z 算乃子在l ：( d ) 上是稠定的 b e 删空间上的t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算子和h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算子是有本质区别的以我们最熟悉的单位圆盘的b e r g m a n 空 间来看，它与h a r d y 空间的区别是众多的比如：h a r d y 空间上不存在非零的 紧t o e p l i t z 算子，但b e r g m a n 空间上存在大量的紧t o e p l i t z 算子；h a r d y 空间 砖蘩吉民簇大学硕士学位论文 5 上的h a n k e l 算子是紧的当且仅当其号在e ( q + 日( 功中，但在b e r g m a n 空间 上存在大量酶蠢嚣有界符号诱导的紧h a n k e l 算予；h a r d y 空闻上的t o e p l i t z 算子的谱总是复平面上的连通子集，但容易找到b e r g m a n 空间的t o e p l i t z 算 子，它的谱是离散的( 紧算子鄂翔此) 另外，h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算和h a n k e l 算子若是有界线性算子，则 它酶符号一定是本性有界的，但在b e r g m a n 空阉，鞋无界函数为符号完全 可以确定一个有界的t o e p l i t z 算予或h a n k e l 算子更为引入注目的区别还有 h a r d y 空阊上鲍t o e p l i t z 算子完全是圭一个算子方程决定，但b e r g m a n 阕上不 存在刻画t o e p l i t z 算子的这样的方程【2 8 】_ 这使得b e r g m a n 空闻上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子理论更复杂，出此也变得更精彩 一般来说，h a r d y 空间上符号为无界的t o e p l i t z 算予也是无界的；而紧 t o e p l i t z 算子仅在平凡的情形( 零算子) 出现但在b e r g m a n 空间上，符号为无 界的t o e p l i t z 算予却可麓是有界的或紧的因此研究t o e p l i t z 算子的有界性和 紧性是大家感兴趣的课题k z h u 2 9 获得了对具非负乞1 符号的t o e p l i t z 算 子的有界性帮紧性的梨祗。t 9 9 8 年，a x l e rs 。积z h e n gd + 冷送迁鳃了b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子的有限乘积的有限和是紧算子当且仅当其b e r e z i n 变 换在边界趋子零n 。z o r b o s k a 3 1 获碍了具b m o 符号的t o e p l i t z 算子的有赛性 紧性的刻画在此基础上我们研究了当符号在b m o t ( 风) 空间( 具体定义将 会在下文孛出现) 中药t o e p l i t z 算子为有界和紧的条件，推广了上述两种情 形 为叙述我们的结果，先绘趱些需要用到的基本概念。 对髓+ ，令伊表示船维复欧氏空闻记伊中的开单位球为反= 0 ：捌1 ，单位球面= 。伊：h = l 丑( 风) 表示段上的所有解析函 数所组成的空闯记面为r 上酌满足移( 臻= 1 的正规化l e b e s g u e 测度， 定义l 2 ( 玩) 为玩上关于测度咖的平方可积的可测函数所组成的h f l b e r t 空 阉。b e r g m a n 室闻霹f 磊) 是童满足下述条件翦葫数丘 ， ，日( 砍) ，0 ，l i ；：= l ，( z ) 1 2 a v ( z ) o o _ ，口h 掰梅成斡空闻容易看舞磋( 爵) 是f ( 玩) 的闭子空闻，因此成为h i l b e r t 空 间 令p 为l 2 ( 取一鹾( 鼠) 的蠹交投影，记鹾( 风) 上灸甓( 玩) 在铲f 磊) 中 的直交补 6 单位球上具b m o 符号的t o e p l i t z 算子的有界性和紧性 对，己( 风) ，t o e p l i t z 算子：鹾( 风) 一瑶( 晶) 定义为 t a g ) = p ( f g ) 。 g l 2 。( b , o ( 1 2 1 ) h a n k e l 算子h i ：l ：( 风) _ l ：( 风) 上定义为 嘶( ) = q ( ， ) ，h l ：( 艮) ( 1 2 2 ) 我们的主要结果如下： 定理1 ：设，b m o t ( b , 。) ，则乃在三：( 展) 上有界当且仅当b s i 有界 定理2 ：设，b m o i ( b n ) ，则乃在三：( 玩) 上是紧的当且仅当b 门( z ) _ o ，z 一晶 b m o 空间和b e r e z i n 变换的定义第二章给出 内蘩古民族大学硕士学位论文 7 二，单位球上具b m o 符号的t o e p l i t z 算子的有界性和紧性 ( 一) 、引言 对牲+ ，令伊表示诏维复欧氏空闻记c 帆中的开单位球为反= z 伊：引 1 ) ，单位球面为& = z 伊：川= 1 ) 日( 风) 表示风上的所有解 析函数所组成的空闻记如为鼠上的正规化l e b e s g u e 测度，对p 【1 ，o 。) ， 定义护( b n ) 一l c s ，d v ) 为风上关于测度d vp 次可积的可测函数所组成的 l e b e s g u e 空间。三( 取) 表示玩上所有关于l e b e s g u e 测度本性有界的函数组 成的b a n a c h 空间，其范数定义为 | 州。一e s s s u p t f ( z ) | ：玩 易知，由l 2 ( 风) 中的所有解析函数所构成的b e r g m a n 空间工：( b n ) 是乙2 ( 反) 的闭子空闻b e r g m a n 空闻l ：( b n ) 的再生核亩下式给出： ( 。) = 1 ( 1 一( z ，叫) ) 1 ， 其中( z ，w ) = 墨，忍霹， t o ，：鼠若用( ，) 2 表示l ：( 鼠) 中的内积，则对任意 的h 也2 ( 鼠) ，w 风，有h ，) 2 = 九( 伽) 空间三2 ( 最) 到b e r g m a n 空闻三：( 反) 的直交投影由下式给穗： ，一 ( e h ) ( w ) = ( h ，j o ) 2 = 。h ( a ) j ( a ) d t ，( 入) ，w b _ 一工，住 对于f l ( 岛) ，糯应的t o e p l i t z 算子巧：l ：( 鼠) - 啼l 2 a ( b , , ) 由下式定义： 乃( 夕) 一p ( f g ) ，g l 2 ( b n ) 在证明定理之前，我 订先陈述一些将要用劐的基本事实。对于w 最， u 0 ，单位球上的自同构纯定义如下： 嘶) = 型紫艇玩， 且定义) 一一叫，其中只是从伊到由z 生成的伊的一维予空间吲的直 交投影，= l 一淄2 ，q = i 一只。根据自同构忱的定义可知有如下性质。 详见文p 9 j ： ( i ) 妒；1 = 气，妒：( o ) = z ，( z ) 一0 8 单位球上具b m o 符号的t o e p l i t z 算子的有界性和紧性 ( i i ) 对任意的z 鼠和w 反，下述等式成立； l i 妒。( 伽) 1 2 = 鱼二右譬鞯 ( i i i ) 忱是从赢到瓦的同胚映射，自同构忱的实j a c o b i a n 行列式靠如 下： ( 概) _ ( 端r l _ 似叫) 1 2 zq 风 这里也( 加) 表示b e r g m a n 空间l ：( 晶) 的正规化再生核g ：o o i i i g ：1 1 根据变量变换公式可知有下述积分等式成立： 厶，i ( 忱( 入) ) 咖( a ) 2i 8 , , h ( , x ) l k z ( a ) 1 2 如( a ) ，z 玩 接下来我们再给出b e r g m a n 空间上算子的b e r e z i n 变换的定义设a 是 定义在日0 0 ( 风) ( 日( 风) 表示鼠上的有界解析函数全体所构成的空间) 上有 定义的算子，则a 在风上的b e r e z i n 变换b a 】的定义由下式给出： b a 】= ( a 也，也) 2 对于，l 1 ( 风) ，相应的t o e p l i t z 算子乃的b e r e z i n 变换j e 7 阢】由下式给出： 厂垒b 洲：) 垒b 陬= 厶f ( , x ) l k ：( a ) ( a ) 在研究量子力学的相关问题时，b e r e z i n 3 3 1 首先引进了算子的协变符号 和反变符号的概念b e r g e r 和c o b u r n 3 4 - 3 5 1 使用了t o e p l i t z 算子的b e r i z i n 变 换的概念研究t o e p l i t z 算子问题目前b e r i z i n 变换已成为研究b e r g m a n 空间 上t o e p l i t z 算子和h a n k e l 的最有力的工具之一b e r e z i n 变换有许多有用的 性质，下面我们列出比较重要的几条 ( 1 ) 映射a _ 五是一对一的 ( 2 ) 函数a 沪( 风) ( 3 ) 若，l l ( 风) ，则，是调和的当且仅当，= ， 目前已有很多文献对不同空间上的t o e p l i t z 算子的有界性和紧性做了大 量讨论特别是对t o e p l i t z 算子和其符号的关系作了很多研究如文【2 9 】对 符号为三- ( 既) 中非负函数的t o e p l i t z 算子为有界和紧的条件作了研究，a x l e r 和z h e n g 在文【3 0 1 中对符号在l 中的t o e p l i t z 算子为紧时的条件也作了研 究，他们证明了b e r g m a n 空间上的有界符号的t o e p l i t z 算子的有限乘积的有 限和是紧算子当且仅当其b e r e z i n 变换在边界趋于零n z o r b o s k a 3 1 】获得了 痰蒙古瑟族大学磺士学位论文 馨 具b m o 符号的t o e p l i t z 算子的有界性纛紧性的刻画。在此基础上我们研究 了当符号在b m o t ( 巩) 空间中的t o e p f i t z 算子为有界和紧时的条件我们的 主要结果如下； 定理1 ：设，b m 0 1 ( 风) ，则巧在磋( 风) 上有界当且仅当露有界 定理2 ：设，b m 0 1 ( 焉k 则t s 是玉：( 最) 上的紧算子当且仅当b 阴z ) _ 0 0 叶瓯) ( 二) 、预备引理 在下文中，我们统一用字母e 来表示不同的正常数设众，召是两个变 量，若存在正常数c 使得c - i b a c b ，则我们称量a 和b 是可比较的，记 为a b 设，l t ( 风) ，当，满足下述条件 s u p | i 0 纯一艿( ：) l | 口 ， ：廿“ 则我们称，b m o p ( b , , ) 。其中p 芝1 。l | k 是p ( 玩) 空间巾的范数， b 【爰是， 的b e r e z i n 变换下面我们进一步给出相关定义 歹1 8 膨。，一s u p 1 t o ：一b f ( z ) i i 聱， ：t 廿“ | | | ，i l l 一l l ， | 8 掰。，+ | 8 【爿( o ) | 根据上述定义，不难得到下述关系： 己cb m o p ( 岛) cl p ，v p 芝1 ， b m o q ( b , , ) cb m o p ( b n ) cb m 0 1 ( 魄) ，v 1 冬p q 。 具体证明可见 潞3 9 1 。为简便起觅，我嬲将用记号b m o p 来代替b m o p ( b n ) 。 引理2 2 1 设，l 1 ，在厶d 2 ( 风) 有界则有下式成立： ( 乃必二) ( 程) = = i 匕( 秘) 夕( ，0 妒；) ( 妒：( 牡) ， 其中z 风 o 单位球主吴b m o 符号的t o e p l i 娩算子的鸯巽幢翔紧性 证明：利用再生核的性质，可得 ( 1 7 k z ) ( 钆) = ( p ( f k z ) ，k u ) = 心x ；tk 0 2 厶，( 训) 也( 叫) 风( 加) 幽( 彬) 2 厶如：恐( 纯f 移) 瓣| ( 移) | 2 d r ( 移) 再证明如下两个等式： 鲥( t o 冲：( 计2 南 和 希l 用 虬，( ：) = 1 ( 1 一：删，) ”。 k ( ：) = a 缸t 朋比i 一( 1 一m 2 ) 孚又杜( ： 删= 型掣艇风， 先证( 2 2 2 l 钞一两高蒜 。! ! 二噬2 竺 ( 1 一襞挚) 州( 1 一秒，名) ) 州 一碡啬 一 ( 1 一i z l 2 ) 孚 一焉野画f 丽 1 ：= - - _ - - - - - - - - - - - - 一 ( 1 一学 一个类似的计算可以证明( 2 2 3 ) 。 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 内蒙古民族大学硕士学位论文 因此，我们可得下述等式：， ( 乃酬牡) = 厶舷) 赤脚) 瓣( ) 一j l ( 让) 厶，( ( ) ) j 0 ：( 扣) 咖( 叫) ，d 住 = 疋( 珏) ，o 诬，鳓；f 毯) ) 一亿( u ) ( p ( ，o ) ，缸：( q ) ) 一托( t ) 尸( ，0 级) ( 纯( 牡) ) 引理2 2 4 设，b m 0 1 ，则有 ( & ) 暑f ，o 妒：】( 诬) 一艿【曩( 汐：( 镏) ) 。( b ) s u p ：氐( 1 ，l ( z ) - l ( z ) 1 ) o o 证观：( 8 ) 利用( 2 2 3 ) 式，可得 b fo 妒：】( 叫) 一止fo ( u ) i k ( “) 1 2 d v ( u ) a = 7 歹( 秽) l ( 妒：( 移) ) | 2 l k - ( v ) j 2 d v ( v ) 2 厶m ) l k 州”删2 d v ( ) 一器；联：( 掰) ) ( b ) 对于：& ，我们有 艿嗍( ：卜i b v ( ：) | 。厶埘) | 哪j ：) t ) j k ：( 仞) | 2 d v ( w ) s 是 ，( 脚) 一b f l ( z ) l f k ：( 山) 1 2 d v ( t o ) = l fo 妒：( 口) 一b f ( z ) 1 ) d v ( v ) jb “ 一1 t 2 o 纯一，| | 。 再由题设b m 0 1 即可知s u p z e b n ( 1 两乏) 一i 冗。) 1 ) n + 2 ，；1 一1 ，c 0 根据文【3 9 】的定理1 1 2 ，即可知引理成立 下面的s c h u r 测试定理是研究积分算子的有力工具 引理2 2 7 令( x ，p ) 为测度空间，k ( ，) 为xxx 上的可测函数，且r 是 扩( x ：p ) 上由k ( ，) 诱导的积分算子： ( t f ) ( x ) = 1 ，g ( x ，v ) f ( v ) d p ( y ) ，v f 护( x ，p ) 对1 p 。c 且；1 + i 1 = 1 ，若存在常数c ，岛和一个x 上的正可测函数h 满 足： 7l k ( x v ) t h ( v ) 霉d l 吐( y ) c i 五( z ) 譬 一 、，f k ( x y ) i h ( x ) p d v i z ) g ( z ) ， 关于几乎处处成立，则丁是扩( x p ) 上的有界积分算子且l i t i l c ；西 详见文献f 9 1 ( - - ) 、定理证明 定理1 的证明：根据引理2 2 5 即可知充分性显然下证定理的必要性 由题设知丁，有界，因此有 l d k z ( 掣) l = i p ( f k ：) ( 铆) l = i l k o i i l ( f k = ，) l c l l 也| 1 令z = w ，则显然有 p ( f k w ) ( 叫) = i l i l ( ，k ，k ) = i l l it ，( 久) l k ( a ) i 2 d m ( , k ) c 艮 ，工，n 再结合正交投影的定义即知：氏，( a ) i k ( a ) 1 2 d v ( x ) c ( 1 一川2 ) 1 ) 2 ，故b 阴 有界综上可知，定理成立 定理2 的证明：对于定理2 的证明，我们将分以下几个步骤进行 结论1 ：设f b m 0 1 ，有界，则 s u p | i 乃呐i f l p ，v p2 1 z e ，n 结论1 的证明：我们先陈述几个用到的基本事实，具体证明可见文【3 9 】对 于解析函数g ，它的p 范数捌i p 等价于l 夕( o ) i + ( 1 一i z l 2 ) ivg ( z ) l p 内蒙古民族大学硕士学位论文 b l o c h 空间b 由满足下述条件的函数所组成： b = 9 日( b 。) ；s u p ( 1 一l z l 2 ) iv 夕( z ) l o o ：丘h 设g b ，记l i g l l b = 1 9 ( o ) i + l i ( 1 一l z l 2 ) i g ，( z ) l l l ，则有下述关系成立： l i g l l p c ( i g ( o ) i + l i ( 1 一l z l 2 ) 夕，( z ) l i p ) c ( 1 夕( o ) i + i i ( 1 一i z l 2 ) 夕，( z ) l l ) = c l l g l l b ， 当p 1 时，正交投影p 是从空间b m o p 到b 空间的有界算子，且对于 z 风，o 纯b m 0 1 ，故有p ( fo ) b 因此 i i p ( fo 妒：) 1 1 p c | l p ( ，o 妒：) l i b t i l l o 妒：i i i , = c ( i b fo 妒：】( o ) i + s u pi i fo 妒：o 妒加一b fo 妒：】( 叫) 1 1 1 ) = c ( i b f l ( z ) i +s u pl i fo 妒妒；( 埘1 一b 【门( 妒：( 叫) 川1 妒 ( ) k = c ( f b 胀：) l + s u pl i fo 仇一b f l ( u ) l l , 再由f b m 0 1 和b f 】的有界，我们可得下式成立 s u p i t ：。恍1 1 1 p = s u p | i p ( fo # ：) 忆 x 即21 ：d 忭：d n 结论2 ：设乃为l ：( 风) 上的有界算子，且当：_ 呻品，b f l ( z ) 一0 则有当 ：_ & 时，乃嘞1 弱收敛于0 结论2 的证明：该结论的证明只要应用l ：( 风) 上的算子的变换的级数展 开形式即可，可见【4 0 】或文【4 l 】事实上，对z 风，定义以：l ：( 风) 一l ：( 尻) 如下： 以f = ( fo 忱) 也，f l 2 ( 风) 由于( 如仡) = 忆( 伽) 1 2 ( 文献【3 2 】中定理2 2 6 ) 作变量代换p = 纯( 叫) ，则由 积分变换可知 ( 玩，以9 ) 2l ( f 。) ( 伽) 也( t t ，) ， 而面瓣( 叫) = 厶m ) 夕( p ) 咖( p ) = ( 加) ， 其中，g 鹾( b ) 再利用也。忱( 伽) = l k , ( w ) ( 根据相关函数定义直接验证即 坐一 单位球上具b m o 符号的t o e p l i t z 算子的有界性和臻性 可) 可知 u 。u z 9 、：1 ，b 。 ，( 础) ( 夕0q o ：) ( 们) 也( w ) d v ( w ) 2 厶。( ，。忱) ( p ) k ( p ) 夕( p ) d 口( p ) = ( 以，夕) ， 从而以为自伴的酉算子由b f l ( z ) _ 0 0 _ & ) 可知眈乃玩1 弱收敛于 o ( z _ 岛) ，即乃oq o ：1 弱收敛于o ( 名_ 晶) 综上，结论成立 结论3 ：设f b m 0 1 ，且当z _ & 时，有引似名) _ 0 ，则有当2 _ & 时， i l 乃。仇1 l l 。收敛于0 结论3 的证明；由题设和结论2 可知，在风的紧子集r 瓦：z b n ： h r 0sr 2 1 ，故只需再结合结论3 和结论1 ，即可知该结论成立 令0 i i t i 叩。11 1 ，( 1 一i z l 2 ) 州= c 2 ( z ) ， 其中c 2 = c s u 蹦i l t ：- i i ，同理可得2 3 2 式成立，其中c 。= c s u p ：风l l 乃