（应用数学专业论文）几类高阶差分系统周期解的存在性.pdf

博上学位论文 摘要 微分方程、差分方程作为现代数学的一个重要分支，广泛应用于计算机科学、 经济学、神经网络、生态学及控制论等学科领域中，因此对微分方程、差分方程解 的性态的研究不仅有着重要的理论意义，而且具有重要的实用价值几十年来， 许多学者对微分方程周期解的存在性与多重性应用不同的方法进行了深入广泛的 研究，这些方法主要有临界点理论( 包括极小极大理论、几何指标理论与m o r s e 理论) 、不动点理论、重合度理论、k a p l a n y o r k e 藕合系统法等在这些方法中， 临界点理论已成为处理这类问题的强有力的工具但是应用临界点理论研究差分 方程周期解的存在性的文献很少，其主要原因在于难以找到适当的变分结构本 博士论文应用临界点理论研究了几类高阶差分系统的周期解的存在性和一类椭圆 系统的解的存在性，得到了一系列全新的结果，主要内容如下： 首先，简要介绍了变分法的历史，回顾了与所研究问题相关的椭圆方程、哈 密尔顿系统的历史背景与发展现状，并对本文的工作进行了简要的陈述 其次，构建了几类新的高阶差分系统( 或方程) 模型，并通过构建恰当的变分 结构，将两类高阶差分系统( 或方程) 的周期解和一类椭圆系统的解的存在性问题 转化为适当函数空间上对应泛函的临界点的存在性问题，拓展了原有的二阶差分 方程( 或系统) 模型 在第二章中，我们讨论了一类高阶差分系统首先，利用m o r s e 理论结合i 临 界群的计算等方法研究了高阶差分系统在非线性项是渐近线性的和超线性的两种 情形，得出以下结论：当非线性项在无穷远处是渐近线性时，如果变分泛函在无 穷远处的m o r s e 指标和原点处的m o r s e 指标不同，则系统在共振和非共振两种状 态下都存在非平凡周期解当非线性项在无穷远处是超线性时，系统至少存在三 个不同的周期解然后，分别利用环绕定理、对称山路引理得到了该高阶差分系 统存在多个和无穷多个非平凡周期解的结论，部分结果推广了已有文献的结论 再利用m o r s e 理论结合l y a p u n o v - s c h m i d t 约化方法、三临界点定理研究该高阶 差分系统，将原有的对微分方程的研究方法推广到差分方程，并获得了该高阶差 分系统多个和无穷多个非平凡周期解的存在条件 在第三章中，我们利用环绕定理研究一类高阶泛函差分方程的周期解的存在 性，得到了该方程至少存在一个非平凡周期解的若干充分条件 在第四章中，我们考虑一类高阶差分方程在非线性项是共振的情形，我们 利用临界点理论中的局部环绕及无穷远处的角条件获得了该高阶差分方程多个非 平凡周期解的存在条件 在第五章中，我们结合畴数理论，利用推广的山路引理研究了一种椭圆系统 的解的存在性，所得结果推广了某些文献的结论 几类高阶差分系统周期解的存在性 关键词：高阶差分系统；周期解；m o r s e 理论；环绕定理；推广的山路引理 博上学位论文 a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n tb a n c ho fm o d e r nm a t h e m a t i c s ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dd i f - f e r e n c ee q u a t i o nh a v eb e e nw i d e l ya p p l i e di nt h ea r e ao fc o m p u t e rs c i e n c e ，e c o n o m y ， n e u t r a ln e t ，e c o l o g ya n dc o n t r o lt h e o r y ，s oi t i sm e a n i n g f u lf o rt h es t u d yo ft h e s o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s i nt h el a s td e c a d e s ， m a n yr e s e a r c h e r sh a v ed e e p l ys t u d i e dt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i c s o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd i f f e r e n ta p p r o a c h e s ，s u c h8 8c r i t i c a lp o i n t t h e o r y ( w h i c hi n c l u d e sm i n i m a xt h e o r y , g e o m e t r i c a li n d e xt h e o r ya n dm o r s et h e - a r y ) ，f i x e dp o i n tt h e o r y , c o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y ，t h ek a p l a n y o r k em e t h o da n d s oo n a m o n gt h e s ea p p r o a c h e s ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r yi sap o w e r f u lt o o lt od e a lw i t h s u c hp r o b l e m h o w e v e r ，r e s u l t so np e r i o d i cs o l u t i o n so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sb y u s i n gc r i t i c a lp o i n tt h e o r ya r ev e r ys c a r ei nt h el i t e r a t u r eb e c a u s eo ft h ed i f f i c u l t y o ff i n d i n gt h es u i t a b l ev a r i a t i o ns t r u c t u r e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rs o m ec l a s so fh i g h e ro r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n ( s y s t e m ) a n d o fs o l u t i o n sf o ra ne l l i p t i cs y s t e mi ss t u d i e db yu s i n gc r i t i c a lp o i n tt h e o r y , a n da s e r i e so fn e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d t h ec o n t e n t so ft h ed i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e d a sf o l l o w s ： f i r s t l y ，w es k e t c ht h ed e v e l o p m e n to fm e t h o d so fv a r i a t i o n t h eh i s t o r i c a l b a c k g r o u n da n dt h er e c e n td e v e l o p m e n to fe l l i p t i ce q u a t i o n s ( s y s t e m s ) a n dh a m i l t o n i a ns y s t e m sr e l a t e dt oo u rp r o b l e m sa r ei n t r o d u c e d a tt h es a m et i m e ，t h e m a i nc o n t e n t so ft h ed i s s e r t a t i o na r eo u t l i n e d s e c o n d l y ，w ec o n s t r u c ts o m ec l a s so fh i g h e ro r d e rd i f f e r e n c es y s t e m ，a n dc h a n g t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fs o m eh i g h e ro r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n ( s y s - t e r n s ) a n do fs o l u t i o n sf o ra ne l l i p t i cs y s t e mi n t ot h ee x i s t e n c eo fc r i t i c a lp o i n t s o fc o r r e s p o n d i n gf u n c t i o n a lo ns u i t a b l ef u n c t i o ns p a c ea f t e rf i n d i n gt h es u i t a b l e v a r i a t i o ns t r u c t u r e w eh a v ed e v e l o p e dt h es e c o n do r d e rm o d e l s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yah i g h e r o r d e rd i f f e r e n c es y s t e mi nt h ec a s et h a tt h e n o n l i n e a r i t yi sa s y p t o t i c a l l yl i n e a ra n ds u p e r l i n e a rb yc o m b i n i n gm o r s et h e o r y w i t hc o m p u t a t i o no fc r i t i c a lp o i n tg r o u p sa tf i r s t w ec o n c l u d et h ef o l l o w i n g r e s u l t s ：i nt h ec a s et h a tt h en o n l i n e a r i t yi sa s y m p t o t i c a l l yl i n e a r ，t h ee x i s t e n c e o fn o n t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e du n d e rt h ec o n d i t i o n so fr e s o n a n c e o rn o n r e s o n a n c ei ft h em o r s ei n d e xa ti n f i n i t yd i f f e r e n tf r o mt h eo n ea tz e r o ；i n t h ee a s et h a tt h en o n l i n e a r i t yi s s u p e r l i n e a r ，a tl e a s tt h r e en o n t r i v i a lp e r i o d i c s o l u t i o n sa r eo b t a i n e d t h e n ，m u l t i p l ea n di n f i n i t em a n yp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h e i i i 几类高阶差分系统周期解的存在性 h i g h e ro r d e rd i f f e r e n c es y s t e ma r eo b t a i n e db yu s i n gl i n k i n gt h e o r ya n ds y m m e t r i c m o u n t a i np a s sl e m m ar e s p e c t i v e l y , a n ds o m er e s u l t si m p r o v eo re x t e n dt h er e l a t e d r e s u l t si nt h e1 i t e r a t u r e s a tl a s t ，b yc o m b i n i n gm o r s et h e o r yw i t hl y a p u n o v - s c h m i d tr e d u c t i o nm e t h o d a n dt h r e ec r i t i c a lp o i n t st h e o r y ，m u l t i p l ea n di n f i n i t e l ym a n yp e r i o d i cs o l u t i o n sf o r t h eh i g h e ro r d e rd i f f e r e n c es y s t e ma r eo b t a i n e d t h em e t h o do fs t u d y i n gd i f f e r e n t i me q u a t i o nh a sb e e nd e v e l o p e dt ot h a to fd i f f e r e n c ee q u a t i o n i nc h a p t e r3 ，t h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n so fah i g h e ro r d e r f u n c t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o ni sc o n s i d e r e db yl i n k i n gt h e o r e m n o n t r i v i a lp e r i o d i c s o l u t i o n sa r eo b t a i n e d t h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n so fah i g h e ro r d e rd i f f e r e n c ee q u a - t i o nw i t hr e s o n a n c ei sc o n s i d e r e di nc h a p t e r4 s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h e e x i s t e n c eo fa tl e a s tt h r e eo rf o u rn o n t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e db y u s i n gl o c a ll i n k i n ga n da b s t r a c ta n g l ec o n d i t i o n sa ti n f i n i t y i nt h el a s tc h a p t e rw ec o n s i d e ra ne l l i p t i cs y s t e mb yu s i n gt h eg e n e r a l i z e d m o u n t a i np a s sl e m m a ，a n ds o m er e s u l t si m p r o v eo re x t e n dt h er e l a t e dr e s u l t e si n t h e 】i t e r a t t i r e s k e yw o r d s ：h i g h e ro r d e rd i f f e r e n c es y s t e m ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；m o r s e t h e o r y ；l i n k i n gt h e o r e m ；g e n e r a l i z e dm o u n t a i np a s sl e m m a i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：胡巷咩 日期：二卯扩年胆月必日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打”) 作者签名：胡墓珲 导师签名 日期：二舾踔多月衫日 日期：绗厂z 月爰妇 博士学位论文 1 1 问题研究的背景 第1 章绪论 众所周知，微分方程是现代数学的一个重要分支，近几十年来关于微分方程 解的性态的研究有了迅速地发展，其研究成果在几何学、力学、天文学、物理学、 生态数学、控制论、空间技术、计算机技术等学科领域有着广泛的应用，极大地 促进了这些领域的迅速发展，因此对微分方程解的性态的研究不仅有着重要的理 论意义，而且具有重要的实用价值目前，关于常微分方程、时滞微分方程定性 性质的研究方法很多，例如变分法，将求e u l e r 方程的解转化为寻求对应泛函的 临界点临界点理论( 包括极小极大理论、几何指标理论与m o r s e 理论) 作为变 分理论在超线性椭圆边值问题、超线性弦振动的周期解问题及h a m i l t o n 组的周 期轨道问题的研究中，取得了很有意义的新结果关于常微分方程、时滞微分方 程定性性质( 如稳定性、渐近性、振动性与边值问题、混沌等) 的研究成果很多， 见【1 】- 【1 3 1 在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况 下都不可能给出解的解析表达式，为了得到近似解来研究解的性质，这时需要把 方程加以离散化，研究相应的差分方程同时在实际情况中，一些系统其动力学 规律不是连续过程，他们不能用微分方程表述，而是直接用差分方程表述差分 方程与其对应的微分方程有时有相似的性质，而有时则有本质的区别，所以系统 地研究差分方程非常有必要 几十年来，非线性差分方程已广泛应用于研究计算机科学、经济学、神经网 络、生态学及控制论等学科中出现的有关问题的数学模型建模在最近三十年中， 差分方程理论有了迅速的发展，如文献 1 4 卜【1 6 】，国际文献中也相继发表了许多 论文，如差分方程的振动性，周期性和稳定性等，见文献 1 7 卜 3 2 】，并陆续出版了 一系列专著，广泛的应用背景促使这一理论迅速而深入地发展 关于差分方程周期解的研究的主要方法是各类不动点理论的应用，成果相对 较少，其主要原因是缺乏必要的工具处理离散系统周期解存在性问题另一方面， 许多学者对微分方程周期解的存在性与多重性应用不同的方法进行了深入广泛的 研究，这些方法主要有临界点理论【3 3 】一【4 7 i 、k a p l a n y o r k e 藕合系统法【4 8 】，重 合度理论【4 9 】等在这些方法中，临界点理论已成为处理这类问题的强有力的工 具它的主要方法在于构建恰当的变分结构，将对微分方程周期解的研究转化为 对相应泛函临界点的研究由于微分方程与差分方程有很好的类比性，自然地， 我们考虑将临界点理论应用于证明差分方程周期解存在性的研究迄今为止，由 于h a m i l t o n i a n 方程( 系统) 、波动方程、椭圆方程具备很好的变分结构，因此临 界点理论已广泛应用于h a m i l t o n i a n 方程( 系统) 、波动方程、椭圆方程( 系统) 等 一1 一 几类高阶差分系统周期解的存在性 解的研究，已取得了丰硕的成果，与此同时，临界点理论也得到了进一步的发展 1 1 1 椭圆方程 考虑边值问题 ! 乱= m ，乱) ，v z q ； ( 1 1 1 ) 【乱= 0 ，z a 5 2 ， 、 这里qcr 是一个具有光滑边界a q 的有界区域，满足某些特殊的假设条 件 长期以来，问题( 1 1 1 ) 受到广泛关注，主要在于许多数学物理问题，如源于非 线性源的非线性扩散理论，热力学中的气体燃烧理论，量子场论和统计力学以及星 系中的重力平衡理论等都与问题( 1 1 1 ) 有着极大的渊源而数学中的许多分支，如 几何中的y a m a b a 问题，和等周不等式，调和分析中的h a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e v 不等式及人口动力系统等问题都与( 1 1 1 ) 有着深刻的联系 对于问题( 1 1 1 ) 的研究，重点之一是在s o b o l e v 空间硪( q ) 上正解及多解 的存在性其研究方法主要是非线性分析中的度理论和变分理论，而且变分理论 越来越被实例证明为最有力的工具之一变分理论的基本思想在于将求微分方程 的解转化为求解对应泛函的临界点对于问题( 1 1 1 ) ，当f ( x ，u ) 关于( z ，u ) 满足 连续性条件，对u 满足某些增长性条件，如u _ + o o ， f ( x ，u ) = o ( 1 u l p - 1 ) ，对x q 一致( 1 1 2 ) 那么寻求问题( 1 1 1 ) 在s o b o l e v 空间硪( q ) 上的非平凡解等价于寻求下面变分 泛函的非零临界点 1r， i ( u ) = 去，| v u l 2 d x 一f ( z ，u ) d x ，u 础( q ) ， ( 1 1 3 ) 厶t ，n，q 这里1 p 2 4 全而2 n ，f ( z ，乱) = 石f ( x ，s ) d s 是厂( z ，u ) 的原函数 为寻求i ( u ) 在明( q ) 上的非零临界点，一种典型的方法就是按照p a l a s i s 和 s m a l e 的想法进行如下过程： ( i ) 利用i ( u ) 的结构导出p s 序列 u n ) ：当佗_ 时，i ( u n ) _ c ，d i ( u n ) _ 0 ： ( i i ) 证明p s 序列 u 佗) 在明( q ) 中强收敛 我们称i ( u ) 满足( p s ) 。条件，如果每一个p s 序列 札n ) 对某一个c 收敛 在( 1 1 2 ) 中如果p 2 ，我们称f ( x ，u ) 为次临界增长这时，由于嵌入 嘲( q ) q 扩( q ) 是紧的， ( 1 1 3 ) 的任何p s 序列都满足( p s ) 。条件，因此任何 p s 序列都收敛到( 1 1 3 ) 的一个非平凡解 但是，p = 2 + 时，我们称，( z ，u ) 为临界增长这时，由于嵌入硎( q ) q ( q ) 是非紧的，这就使得泛函i ( u ) 的p s 序列可以不满足( p s ) c 条件，因而问题变 一2 一 博士学位论文 得复杂得多克服失紧困难的经典方法源于h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 的著名文 献 5 0 】在文中，h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 首先证明了如果c 丙1on z _ ( 这里s 是 最佳s o b o l e v 常数) ，则此p s 序列满足( p i s ) 。条件，这时i ( u ) 有非零临界点，然 后通过酞的最佳常数的达到函数作为检验函数可以证明满足条件c 可1on 。的 ( p s ) 。序列是存在的1 9 8 4 年，通过对( p s ) 。序列的仔细研究，m s t r u w e 5 1 l 获得了比局部紧性更强的结果，即( p s ) 。序列全局紧性结果该结果不仅给出了 ( p s ) 。序列失紧的原因，而且对失紧序列的能量分布和序列的渐近行为也作出了 深刻的刻画此后，近二十年来，依据他们的方法，在临界增长的椭圆问题方面， 包括d i r i c h l e t 边界条件，n e u m a n n 边界条件和混合边界条件，也出现了许多精 彩结果，关于多个正解和变号解的存在性问题，其思想也是基于这种紧性分析原 理 对于问题( 1 1 1 ) ，很多学者通过对它的非线性项赋予不同的条件，利用不同 的理论研究了椭圆边值问题( 1 1 1 ) 解的存在性 令0 a 1 a 2 a _ j c 是一在d i r i c h l e t 条件下的特征值序列 如果 入七 0 和p 0 ，c 1 一。使得 ( i i i ) s u p u h n s p f ( u ) 6 ； ( 庀) 厂在( b ，0 ) 上满足条件( b ) 那么，如果m = d i m h 一一c o d i m h + 0 ，则，至少拥有m 对不同的临界点，对 应的临界值在( b ，0 ) 中 应用定理a ，文 7 3 】基于指标理论，在s ( x ，t ) = a k t + p ( x ，t ) c ( q 酞，r ) ， p ( x ，t ) 是奇函数及相关条件下，获得了问题( 1 1 1 ) 多解的存在性 张恭庆在文 7 4 】中，获得了( 1 1 1 ) 的一个非平凡解 在文 7 5 中，苏家宝、唐春来对非线性项，赋予以下条件 ( 9 之) 存在r 0 ，r ( 0 ，1 ) 和常数c 1 ，c 2 0 使得 ( s ( x ，t ) 一入七) 0 ，c l l t l 7 i f ( z ，) l c 2 1 t l r , v x q ，l t i r ， ( 夕二) 存在r 0 ，r ( 0 ，1 ) 和常数c l ，c 2 0 使得 一( ，( z ，t ) 一a k t ) t 0 ，c l l t l 7 i ，( z ，) l c 2 l t l ，v x q ，l t i r ， 分别获得了( 1 1 1 ) 的一个非平凡解 邹文明在文【7 6 】运用极大极小理论和m o r s e 理论，l i a p u n o v s c h m i d t 约化 法、临界群的计算等方法分别考察了问题( 1 1 1 ) 在共振和双共振情况下多解的存 在性，并获得以下结论： 定理b 若l i m n 等盟= k ，设夕( z ，t ) = ，( z ，t ) 一a k t ，k22 ，g 满足 ( a 1 ) g ( x ，0 ) = 0 ，i 夕( z ，) l c 1 ( 1 + i 引a ) ，a e z q ，c 1 0 ，o t ( 0 ，1 ) ； 一4 一 博士学位论文 ( 口2 ) 存在( 2 a ，2 ) ，1 盯 0 使得 f ( x ，t ) c 2 i t l 口，a f ( x ，t ) 一t ，( z ，t ) 一g i t l ，a e x q ，t 瓞， 其中2 + = 2 n ( 一2 ) 当n 3 ；2 0 ，n n 使得 ， 一g ( x ，u n ) v n d x j ，n n ， 其中g ( x ，t ) = ，( z ，t ) 一a k t ，“n = n + w n ，v n v = k e r ( 一a a k ) ，w 几v 上 ( 付) z ( z ，0 ) = a m ，存在6 0 使得 ( 2 f ( x ，t ) 一a m t 2 ) 0 ，z q ，i t i 6 ； ( 石) ( z ，0 ) = 入m ，存在5 0 使得 一( 2 f ( z ，t ) 一a m t 2 ) 0 ，z q ，i t l 6 针对不同的条件，运用m o r s e 理论临界群的计算并结合极大极小理论( 如山路引 理、局部环绕等) 获得了( 1 1 1 ) 的多个非平凡解存在的多个结论 当f 与z 无关时，考虑边值问题 u a u ：= 。，p z ( u ) , a v q z ，q ； c 1 1 3 ， 设定 几类高阶差分系统周期解的存在性 ( p 1 ) p c 1 ( rxr ，r ) ，p ( o ) = 0 ，p ( o ) a 1 p o o = a m ，其中p = l i me t l ，。华i r ； ( p 2 ) 存在- y r ，p ( t ) ，y 0 ，2 冬p 2 n ( 一2 ) ，当n 3 或2 p o 一致地口e z q ； ( h 3 ) ( i ) h ( x ，u ) 0 ，v u = ( 钆，v ) r 2 一致地a e x q ； ( i i ) l i m l u i 。0h ( x ，u ) i i u l 2 = 0 一致地a e z q ， 获得了不合作型椭圆方程( 1 1 5 ) 的一个非平凡解 强不定泛函：x r 的研究源于对大量的数学物理问题，如哈密顿系统、一 维波动方程周期解以及椭圆方程边值问题( 弱) 解的研究中很多学者对此做了大 量的研究，如文献 5 1 】， 8 7 卜 8 9 ， 9 1 】最初，由于强不定泛函的极值点有无穷多个 下降的方向和无穷多个上升的方向，即有无限m o r s e 指数此时，通常的临界点理 论( 通过水平集拓扑结构的变化来判断临界点) 不能直接使用，因此对它的研究遇 到了很大的困难直至1 9 7 8 年，r a b i n o w i t z 5 3 j 发现在一个恰当的希尔伯特空间的 集合中强不定泛函可以写成一个非退化二次项与一个具有紧梯度非线性项的和， 临界点理论才得到进一步的发展，新的理论得以产生，如b e n c i 和r a b i n o w i t z 的 环绕定理、a m a n n 的鞍点约化方法和g a l e r k i n 约化方法，尤其是鞍点约化方法和 g a l e r k i n 约化方法与m o r s e 理论的结合，为临界点的多重性研究提供了一个非常 好的工具a m a n n ，z e h n d e r 【4 4 】，b e n c i 9 0 l ，c o s t a 和m a g a l h a e s 【9 2 】，s z u l k i n 【9 7 】 等分别应用鞍点约化、不同的指标理论、伪指标理论、相对畴数理论、m o r s e 理 论等研究了具对称性的强不定泛函 在文献 8 7 中，b e n c i 假定义是一个h i l b e r t 空间，泛函= ；( l 也，钆) + 西( u ) 满足p s 条件，其中l 是有界自共轭算子，圣紧在【8 8 】中，c o s t a 假定砂= ；( l 乱，u ) 一( u ) ，其中q 是有界域， u hcl 2 ( q ) ，l 是l 2 ( q ) 闭子集日上的 无界自共轭算子，紧，b e n c i ，c o s t a 分别获得了椭圆方程 多重解的存在性 在文献 8 9 】中，李永清引入极限指标理论研究边值问题 p v 一p 秒i 触 ( 1 1 6 ) r ( z ，v ，w ) = f 0 ( z ，u ，训) ，z q( 1 1 7 ) w l o n = 0 其中v ，w 孵p ( q ) ，q r 是具光滑边界的有界区域，1 p n ，获得了一 个无穷解序列 在文献 9 l 】中，黄戴文和李永清利用极限指标理论证明了如下存在性结论 一7 一 “r 【i；：一q址嘞 口 廿 旷州眇 一 u = 一 舻印吒 却越叩 几类高阶差分系统周期解的存在性 定理c 假设非线性项f 满足以下条件 ( a 1 ) f c 1 ( 【o ，+ o 。) r 2 ，r 2 ) ； ( a 2 ) 对某些p p ，c 3 0 使得对每一个7 0 ，8 2 + t 2 g 0 0 和1 p 2 ，r 0 使得 f ( z ，u ，w ) 0 1 i 伽i p l 一a 2 ，对于所有z q o ，v ，w r ； ( r ) 存在* 2 y ( p 一1 ) 2 当n 2 时( 或p 2 p 一1 当n = 1 时) 使得 l i m i n f 型型善掣n 0 ，z 叽 i u l o ol 札i p 2 一 ( r ) f ( z ，v ，) = f ( z ，v ，w ) 或f ( x ，一v ，- - w ) = f ( z ，v ，w ) 对所有z q ，钉，w 1 5 e ； 则方程( 1 1 8 ) 拥有无穷多个解 2 0 0 5 年，h i r a n o 9 4 l 通过计算对应问题( 1 1 8 ) 的泛函的水平集的同调群和 同伦群获得了问题( 1 1 8 ) 无穷多个解的存在性 一8 一 博士学位论文 1 1 2 哈密尔顿系统 天体力学中质点的运动规律通常可归结为一个非线性的常微分方程组，常称 为哈密尔顿系统天体运动的轨道即可由此系统描述出来例如天体运动的最简 单方式周期运动，即对应于系统的周期解许多学者对哈密尔顿系统作了大量 的研究，如文献 1 0 1 一 1 2 8 考虑一阶哈密尔顿系统 面d x = j h = ( t ，z ) ， ( 1 2 9 ) 其中hcc 2 ( o ，1 】r ，r ) ，h ( t + t ，x ) = h ( t ，z ) ，t 为正整数， j = ( 羔j ) 我们称( 1 2 9 ) 是渐近线性的，若存在一个2 n 2 n 连续对称t 周期矩阵b o o ( t ) 使得 i 厶乙( ，z ) 一b 。( t ) z l = o ( i x l ) ，当l z i _ o o ( 1 2 1 0 ) 令h ( t ，z ) = h ( t ，x ) 一j ( b 。o ( ) z ，z ) ，若( 1 2 9 ) 是渐近线性的，b o 。( ) 是退化 的且满足 h ( t ，x ) _ o 一致地关于t ，一o 。， i k ( t ，z ) i _ o 一致地关于t ，l x i _ o o ， 则称( 1 2 9 ) 是强共振的 令b o ( ) = h x z ( ，o ) a m a n n 和z e h n d e r 4 4 】首先研究了当b ，岛是常数矩 阵，b 非退化，且i ( b o 。) i 【i 一( b o ) ，i 一( 玩) + 仡( 玩) 】时，( 1 2 9 ) 非平凡周期解 的存在性其中i ( b ) 表示算子一j 象一b 与一j 鲁的负空间维数的差，当b 非 退化时，z ( b ) = i 一( b ) ，n ( b ) 表示算子一j 警一b 零空间的维数，当b 退化时， i ( b ) = l i mi ( c ) ，c 非退化 随后， c o n l e y 和z e n h d e r 【4 5 1 ，张恭庆、李树杰和刘嘉荃 7 4 , 1 0 3 】等推广了上 述结论 李树杰和刘嘉荃( 见文献 6 6 ) 利用m o r s e 理论研究了渐近线性哈密尔顿系统 ( 1 2 9 ) 的2 7 r - 周期解的存在性，并获得了 定理e 令hcc 1 ( r 瓞轨，r ) ，h ( t + 2 7 r ，z ) = h ( t ，z ) ，存在一个2 n 2 n 连 续对称丁周期矩阵b ( ) ，b o ( ) 使得 皿( ，x ) 一b 。( ) z l = o ( i x l ) ，当_ o c ； 也( t ，z ) 一b o t ) x i = o ( i x l ) ，当_ 一9 几类高阶差分系统周期解的存在性 如果佗( b o ) = n ( 民) = 0 ，i ( b o ) i ( b 。) ，那么系统( 1 2 9 ) 至少有一个非平凡周 期解 考虑离散哈密尔顿系统 扎1 ( n ) 一鼠：( 邺1 ( 咒+ 1 ) 心( 凡) ) ，( 1 2 1 0 ) ia u 2 ( n ) = 月乙。( 礼，u l ( n + 1 ) ，u 2 ( 咒) ) ，n z 其中u l ，u 2 r ，a u in ) = u i ( n + 1 ) 一u i ( n