（应用数学专业论文）向量优化与向量对策问题解的存在性与稳定性的若干结果.pdf

摘要 摘要 向量优化理论己被广泛地应用到u 许多领域，如工程设玑经济与管理，军事 与政治，生产与计划，资源的合理利用以及生态环境保护而在解决这些实际问题 时，总要牵涉到许多因素，如买卖商品的过程中不仅仅只看商品的价格，还要考虑 商品的质量和商品的使用价值等等因素，而这些问题所涉及到的优化模型很大程 度上是向量优化问题 令向量优化问题为 ( p r o 尸)m i l l 厂( x ) s ， z 其中厂：爿4e 为向量值函数，e 为向量空间 近些年来国内外对向量优化及向量对策问题的研究已绎有了许多成果，主要 是研究向量值函数，：x 寸e 最优解的存在性与稳定性，其中包括弱有效解，有效 解和加权解等解的存在性与稳定性，及向量对策平衡点的存在性与稳定性问题 本文主要对向量优化及向量对策问题解的存在性与稳定性问题作进一步的 研究，共分为四部分： 在第一章中，在而一定理的基础上，讨论半连续实值函数的通有连续性令 为拓扑空i h j ，：一月为上半连续的实值函数对于有界函数的情形，我将把 实值函数，转化为集值映射，：寸2 ”，证明此集值映射为材j c o 映射，由而，r 定理，推出，在爿的某一剩余集q 上连续，从而得出在z 上通有连续的结论： 对于无界的情形，通过借鉴凡一定理的证明方法，给出有关结果 在第二章中，我们将讨论向量优化问题在满足一定连续性条件的基础上解的 存在性问题在奉课题中，我们将针对向量优化问题的弱有效解，研究此解存在的 充分必要条件 在第三章中，分别在向量值函数锥一连续的条件下和无限维空间的情形下研 究向量优化问题弱有效解和有效解的稳定性 在第四章中，将分别采用向量优化问题中理想解，满意解及分层次p a r e t o 有 效解的概念，给出理想一n a s h 平衡点，满意一n a s h 平衡点及分层次p a r e t o n a s h 平 贵州大学硬士学位论文 衡点的概念，并研究它们的存在性 关键词：集值映射，弱有效解，可转移弱f 毕连续，锥一连续，理想一n a s h 平衡点，满意 一n a s h 平衡点，分层次p a r e t o n a s h 平读i 点 a h s t m c t a b s n a c t v b c t o ro p t i m i z a t i o nt h e o r yh a sb e e n 印p l i e di nm a l l yn e l d s ，f o re x a r n p l e ，t h e d e s i g no fp r o j e c t ，p m d u c t i o na f l dp l a i l ，t h ee 历c i e mu s eo fr e s o u r c e ，e c t w h e nu ，e c o n s i d e rt h e s ep r a c t i c a lp m b l e m s ，t h e r ea r cm a n yf a c t o r st ob ec o n s i d e r e d i np r o c e s s o fb u s i n e s s ，w ec o n s i d e rn o to n l yt h ep r i c eb u ta l s ot h eq u a l i t yo fc o m m o d i t i e sa l l dt h e u s i n gv a l u eo fc o m m o d i t i e sa ss p e c i a lc a s e n l eo p “j 1 1 i z a 石o nm o d e j st h a tj n v o 】v e di n t h e s ep r o b l e m sa r ev e c t o ro p t i m i z a t i o np m b l e m s t h ev e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e mi s ( 加尸) m i n ，( x ) s lx x w h e r e ：x 斗e i sv e c t o r f - 岫c t i o na n d e i sv e c t o rs p a c e i nr e c e n ty e a r s ，m a i l yr e s u l t sh a v eb e e nr e s e a r c h e do nv e c t o ro p t i m i z a t i o na 1 1 d v e c t o re q u i l i b r i u m t h em a i nr e s e a r c h e sa r et h ee x i s t e n c ca i l ds t a b i i i t yo fs o l u t i o n o n ( 聊) n a m e l yw e a k l ye m c i e ms o l u t i o n ，e 伍c i c n ts o l u t i o na 1 1 da d d i t i v ew e i 曲t e 衢c i e n ts o l u t i o na ss p e c i a lc a s e s a sa p p l i c a t i o n ，w es t u d yt l ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t y o f t l l ee q u i l i b r i u mp o i n tf o rv e c t o rg 锄e s i n t h i sp 叩e r w ew i hr e s e a r c hi n t e n s i v e l y 山ee ) 【i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo ft h e s o l u t i o n sf o rv e c t o ro p t i m i z a t i o na n dv e c t o re q u i l i b r i 岫p r o b l e m s t h e r ea r ef o u r c h a p t e r si nt h i sp a p e l i nc h a p t e ro n e ，w ew i l ld i s c u s st h eg e n 耐cc o n t i n u i t yo f r e a lv a l u e 如n c t i o n l e t b eat o p o l o g i c a ls p a c e a n d ，b e ”s ca n d r e a lv a l u e df h n c t i o no n 工w e t r a n s l a t er e a lv a l u e d 如n c t i o n 厂i n t os e tv a i u e dm 印p i n g ，a n dp r 0 v et h a t ，i sa ”s c m a p p i n g t h e n 、p r o v et l l a tt l l e f ee x i s t s af e s i d u a ls e tq o n z ，s u c ht h a t 厂i s c o n t i n u o u so nq ，i e 厂i sg e n e r i cc o n t i n u o u so nx i nc h a p t e r t w o ，、ew i l lr e s e a r c ht h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no nv e c t o ro p t i r n i z a t i o n p r o b l e mw i t hv c c t o rf h c t i o ns a t i s 毋i n gc c n a i nc o n t i n u 吼l nm i sp a n ，w e 、v i l ls t u d y 1 es u m c i e n ta 1 1 dn e c e 豁a r yc o n d i t i o no fm ee x i s t e n c eo fw e a i 【l ye 街c i e n ts o l u t i o n s 】 贯州大学硕士学位论文 f o rv e c t o ro p t i m i z a t i o np m b l e m i nc h a p t e rt h r e e ，t t l e r ea r et i l r e ep a n sw e 、v i l ld i s c u s s i nt h e6 r s tp a n ，w ew i l l r e s e a r c ht h es t a b i l i t yo fw e a k l ye m c i e ms o l u t i o nw h e nm es e tc ：( x ) c o n s i s t so f m u l t i o b j e c t i v em n c t i o n ：爿斗r “ w h i c hi sc o n e c o n t i n u o u s i ns e c o n dp a n ，w e w md i s c u s st h es t a b i l i t yo fw e a k l ye f h c i e n t s o l u t i o ni nt l l e s p a c ec ( 工) w h e r et h e 啪g eo f s p a c eo f t l l ev e c t o r 如1 c t i o ni si n 五n n 】yd i m e n s j o n a l i nt l l et l l i r dp a n ，w e 诵i j r e s e a r c ht h es t a b i l i t yo fe m c i e ms 0 1 u t i o ni nt h es p a c e c ( x ) f o rt h es 甜n ec a s ei n s c c t i o n2 i nt h ef o u r mc h a p t e r ，w ep m p o s et h en o n t i o n so fi d e a l - n a s he q u i l i b r i u mp o i n t ， s a l i s f a c t o r y _ n a s he q u i l i 确砌p o i n ta 1 1 dl a y e r c dp a r e t o n a s h e q u i l i b r i u 玎lp o i n t a c c o r d i n gt ot h ed e f i 王1 i t i o n so fi d e a ls o l u t i o n ，s a t i s f k t o r ys o l u t i o na 1 1 dl a y e r e dp a r e t o e 搦c i e n ts o l u t i o ni nv e c t o ro p t i m i z a t i o n t h e nw er e s e a r c ht h ee x i s t e n c eo ft h e s c e q u i l i b r i 啪p o i m s k e yw o r d s ：s e t l v a l u e dm 印p i n g ，w e a ：i ( 1 ye m c i e n ts 0 1 u t i o n ，t r 吼s f e rw e a k l yl o w e r s e m i c o n t i n u i t y c o n e c o 曲枷t y ，i d e a l _ n a s he q u i l i b r i 啪p o in t ，s a t i s f a c t o r y 悄a s h e q u i l i b “u mp o j n t ，1 a y e r e dp a r e t o n a s he q u i l i b “啪p o j n t 4 第一章半连续实值函散的通有连续性 第一章半连续实值函数的通有连续性 第一节引言 ：( 或下) 半连续概念自提出以来已得到广泛应用，如最优化问题、变分不 等式问题、相补闻题及对策论闷题等等在此基础上，t i a n 和z h o u 等学者还提出 了可转移上( 或下) 半连续的概念，并用于最优化理论、对策平衡、变分不等式 等有关问题 1 9 5 1 年，而一证明了二( 或下) 半连续的集值映射定是通有连续的这一 结果被广泛应用于解的通有稳定性和通有唯一性的研究近几年来国内外学者在 通有连续性方面已经做了大量工作，得出了许多问题解的稳定性与难一性的结果 在解的稳定性的研究中，不少结果是研究通有稳定性，邵讨论绝大多数情形的解 的稳定性问题( 肋眦纲意义下) “通有”性是指：度量空间彳上的性质 j p ( x ) x ) 称为通有的，如果使性质p ( x ) 成立的点构成的子集q 是x 中一稠密 剩余集事实上，“通有”的方法在非线性分析及相关领域已有了相当的运用，如 无限维形式的踟耐定理( 即s 切口艮定理) ，微分拓扑中著名的横截定理，最优化问 题解的通有难一性和2 一人零和对策鞍点的通有唯一性( 参见 1 6 2 6 2 8 2 9 3 1 ) 在而一定理的基础上，本文讨论了半连续实值函数的通有连续性令x 为拓 扑空间，厂：j 一矗为上半连续的实值函数对于有界函数的情形，我将把实值函 数转化为集值映射f ：斗2 。，证明此集值映射为甜s c o 映射，由而定理，推 出f 在爿的某一剩余集q 上连续，从而得出，在z 上通有连续的结论：对于无界 的情形，通过借鉴凡 ，定理的证明方法，给出有关结果 第二节预备知识 首先，给出关于集值映射的一些基本概念( 1 2 3 ) 定义1 z 1 设x 为拓扑空间，f ：x 42 7 ，中为集值映射 贵州大学硬士学位论文 ( f ) f 在x z 点上半连续( “j c ) ，如果对任意的开集g ，f ( j ) c g ，存在工的 邻域0 ( j ) ，使得对任意的x 0 ( x ) ，有f ( x ) c g ：f 在x 上上半连续，如果对任 意的x ，f 在x 点上半连续： ( f i ) f 在x 点下半连续( ，且c ) ，如果对任意的开集g ，f ( x ) n g ，存在 x 的邻域0 ( x ) ，使得对任意的z 0 ( x ) 有f ( x ) n g 巾：f 在x 上下半连续，如 果对任意的x z ，f 在工x 点下半连续： ( f f f ) f 在x x 点连续甘f 在j j 点既上半连续，又下半连续：f 在j 上 连续，如果对任意的x x ，f 在x 点连续 定义1 2 17 设x 为拓扑空间，y 为度量空间，f ：爿_ 2 7 ，为集值映射 ( f ) f 在x x 点s 一上半连续( “ c ) ，如果对任意的s 0 ，存在x 的邻域 0 ( x ) ，使得对任意的x d ( z ) ，有f ( x ) c 吃( f ( x ) ) = s + f ( x ) ： ( f f ) f 在z 爿点s 一下半连续( ，而c ) ，如果对任意的占 o ，存在x 的邻域 0 ( 工) ，使得对任意的一d ( 工) ，有f 0 ) c 眈( f ( x7 ) ) = 占+ f ( x ) ： ( 胁) f 在x x 点m 螂如连续甘f 在x 点既“自r ，又，厅r 定义1 2 2 设j 为拓扑空间，厂：z 斗月为实值函数，在z 点上半连 续，如果1 i m ，( x ) 茎，( x 。) ，即对任意的占 o ，存在的邻域0 ( x 。) ，对任意的 1 加 x 0 ( ) ，有， ) 一，( ) o ，存在z 。的邻域0 ( ) ，对任意的工o ( ) ，有 ，( 工) 一，( x o ) 一占 定义1 2 3 设为拓扑空间，f ：x _ 2 7 巾为集值映射f 为闭的，如果对 任意的 x 。) c 肖，x 。斗x ，对任意的儿f ( x 。) ，儿斗j ，必有y f ( 工) 下面给出通有性质的概念( 参见彳甜6 加一e 妇砌耐 1 ) 定义1 2 4 设石为拓扑空间，x 的子集q 称为剩余集( r e s i d u a ls e t ) 或g j 6 第一熏半连续寰值硒魏韵疆有连壤性 集，若q 包含z 中至多可效个开稠密集的交 定义1 2 5 设为拓扑空间，如果存在彳中的个剩余集q ，使得对任意的 z q ，关于x 的性质p 都成立，则称性质尸是在x 上的通用性质( g e n e r i c ) 下面的结果是而r ， 7 给出的： 引理1 2 1 ( 凡定理) 设z 为拓扑空间，】，为度量空间，r ：z 斗2 7 m 为 集值映射如果r 为x 上的“s c o 映射，则r 在x 上的某一剩余集q 上连续，即r 在z 上通用连续 第三节有界情形半连续实值函数的通有连续性 设：_ r 为有界的上半连续实值函数，令m 为的下界作集值映射 f ：x 2 8 ，使得f ( = ，r ：m s ，s ，( x ) ) 对任意的一，x ：e x ，定义2 8 空侧的度量： p ( f ( x i ) ，f ( x 2 ) ) = m a x fs u pd ( ，f ( z 2 ) ) ，s u pd ( ，2 ，f ( z i ) ) ， n c i i ) e f i o t ) d “，f ) = 。甄i k 一i 引理1 3 1f ：工呻2 8 为闭的，即f 的图象g j 螂f 是闭的 证明：用反证法假设f 在x 上不闭，则由定义1 2 3 知，存在 ) cx ，_ 工e ，( k ) ，斗，有，f 0 ) 。即有m r 一，阮) ，但 ，( 工) ，或， 脚 若r m ，由_ r 与保号性，知厶 玳与厶m 矛盾! 若，( x ) 0 ，使得八算) o ，存在f l ) c z ，当_ x 时，有 厂( 矗) 一，( 曲 j ，即，( ) ( 工) + d ，又八x ) ，一巧则 ，( k ) 士毋。赛，一声t 参；， 7 贵州大学硕士学位论文 即，( x 。) ，： 而出，( x 。) o ，j z ，j x 一爿 o ，作 c ( 若) = p 月：v o 3 勋的任意邻域矿( p ) ，3 9 e 矿( p ) ，靓鼋) 一厂( p ) 一占 首先，证明c ( 占) 为闭的实际上，对于 见 cc ) ，儿寸p ，只要证明 j 口c ( 占) 即可 对于v o i ，有儿y ( p ) ：再 o 第一章 t 连续实值函数的通有连续性 由儿c ( ) ，则对v 0 2 时，自 结合( 4 1 ) 与( 4 2 ) ，当n m “ ，：) 时，有 ，( g 。) 一( p ) 一占 于是对p 的任意邻域y ( p ) ， g 。矿( p ) h 厂( g 。) 一( ，) 一占 成立 敝p c ) ，从而c ( ) 为闭的 再考虑下面的集合 q ( s ) = c ( f ) n m i 显然每一c 。( s ) 闭另外，再证每一c 。( s ) 为疏朗集，即证c ( s ) 无内点 用反证法若c 。 ) 有内点，设为p i n t q p ) ，于是存在p 的邻域y ( p ) ，使得 y ( p ) c c 女( s ) 山p g ( 占) ，从而p c ( s ) ，则由c ( s ) 的定义，对于v 0 。 o ，则有有理数，o s 一占 一占 即，在处下半连续证毕 故l 厂在的剩余集q 上连续，即厂在爿上通有连续证毕! 同样可得到以下结论： 定理1 4 1 设爿为拓扑空问，：爿_ r 为下半连续的实值函数则存在x 上 的剩余集q ，使得，在q 上连续，即厂在x 上通有连续 贵州人。 硕十学位论文 第二章关于可转移连续性与向量值函数弱有效解的存在性 第一节引言 - 叮转移f ：( 或f ) 半连续的概念臼t i a n 和z h o u 【8 】两位学旨提出以来已得到 。泛的应川在最优化理论、对策平衡、变分不等式等有关问题上做出了许多著 名的结果，如【9 卜 1 4 住对策论研究中，有小少的结果是研究支付函数是向量值函数的对策模型 ( 即阳鳋对策) 我们要研究向量列策h a s h 、f 衡点的仃办i 性问题，则要涉及向量值 幽数白效解或弱有效解的存在性，在这些解的存在性巾，阳量值函数的连续性是 个夔要的条件，如何削弱向量值函数弱有效解存在的连续性条件呢? 田国强曾 就实值函数厂：叶尺的情形给出了可转移卜半连续的定义，得出厂舀：上得到 最小值的充分必要条件是厂为可转移弱卜半连续的结果这一结果将实值函数的 最优值的存在性条件削弱为t 叮转移卜半连续的情形针对向量值函数的情形，如 何建立一个新的较弱的连续性概念，并由此给出向量值函数厂在上弱有效解 存在的充分必要条件? 这是第二章所要讨论的主要问题 第二节预备知识 令x 为拓扑空间的紧子集，_ 厂：x 斗压为向量值函数，e 为向量空删，c 为e 中的闭凸尖锥向量优化问题 ( p r 0 尸一c )m i n ，( x ) s ，x 当e = 尺“时，c = 月? ，可定义多目标优化问题为 ( y 0 尸一只? )m i n 厂( x ) j ，x 定义2 2 1 令z 为拓扑空闯，：_ 占为向量值函数，占为向量空间，c 为 压中的闭凸尖锥， 1 4 第一二章关- 可转移连续性与向量值函数弱有效解的存在性 工为在x 中的有效解，如果不存在，使得八工) 一( y ) c x 为厂在x 1 1 1 的弱有效解，如果不存在y x ，使得厂( x ) 一- 厂( y ) i n t c j 为厂在爿中的绝对有效解，如果刘任意的y x ，有l 厂( y ) 一厂( x ) c 当= 月“，c = 足? 时，可定义多目标优化的有效解，弱有效解的定义 定义2 2 2x r ”为有效点，如果不存在y 尺”，使得 尖锥 一，v f = l ，h _ _ 一 战 r ， f 0 = l ，n x 月“为弱有效点，如果不存在y 月”，使得 h x ，v f _ 】，” z7 r ”为绝对有效点，如果对于任意的y r ”，有x ；s 儿，v f _ 1 ，” 定义2 2 3 令x 为拓扑空间厂：一r “为多目标函数，r ：为尺”中的闭凸 x 为在工中的有效解，如果不存在y j ，使得 ，( y ) ，( x ) ，v f2 l ，2 ，几 ( ( j ) ，j 岛= 】，2 ，月 x 为，在x 中的弱有效解，如果不存在y ，使得 z ( ) ，) z 0 ) ，v f _ 1 ，2 ，疗： z 为，在x 中的绝对有效解，如果对于任意的y x ，有 ，( y ) z ( x ) ，v f _ l ，2 ，胛 引理2 2 1 ( 凸集分离定理) 设e 为线性拓扑空间e 为e 的共轭空间令 爿，口c e ( 或尺“) ，且一中，i n t ( 占) m ( 或r j ( 曰) 巾) ，一n i t l t ( b ) = 垂 ( 或爿n ，f ( 占) = 中) ，刚存在p e ，使得p ( x ) 兰0 妒( x ) ，存在y 的 邻域n ( y ) 和工，使得妒( z ) 2 妒( z ) ，协 引理2 ，2 2 为拓扑空间的紧子集，：寸r 为实值函数，则，在x 上有 最小值的充分必要条件是，在是可转移弱下半连续的 问题 第三节有限维向量空闯火一中弱有效解的存在性 设爿为拓扑空删的紧子集，_ 厂：x 叶月“为向量值函数，考虑如下多用标优化 ( 脚一只? ) m i n 厂( z ) s f x 爿 定义2 3 1 设厂：xj 尺”，对于v 雕， f ( ，出) ( x ) = 国，工( x ) ，v x x ， i 为- 厂关于脚r ：的加权函数，其中国e 彤为权因子 定义2 3 2x 为关于权因子的加权解，如果 f ( - 厂，) + ) = 1 翌乎f ( j r ，) ( 工) 引理2 3 1 ，：x 斗月“为向量值函数，则，的加权解为弱有效解 证明：令x 为，关于权因子出戤的加权解，即为f ( 厂，) 的最小值点，则有 f ( ，) 0 ) f ( 厂，脚) ( ，v _ x x ， 由f ( ，) ( x ) = 嘶；( z ) 。知 6 第二章关于可转移连续性与向量值函数弱有效解的存在性 脚。：( z ) q ：( x ) ，地 f if ，l 卜证x + 为厂的弱有效解若甭，则存在某一r x ，使得 则可推d 即 ，( x 7 ) ，f ( x ) ，v f = l ， q ： ) q ，o ) ，( ，脚) 0 ) ，( ，国) ( z ) 与x 为关于权凶予彤的加权解矛盾! 故x 为厂的弱有效解证毕! 定理2 3 1 名为拓扑空间的紧子集，_ 厂：x 寸胄”为向量值函数，若对向量 优化问题( 比) p 一埘) 的每弱有效解z + ，有 c o ( 厂( x 4 ) 一，( ) ) n i n t r ：= 巾 则厂在中存在弱有效解的充分必要条件是存在某一权因子曲e 雕，使得加权 函数，即 f ( ，吐) ( 砷= m 。工( x ) - i 为可转移弱下半连续的 证明：必要性，令x 为，在x 上的弱有效解，则有 ，( x ) 一厂( 砷仨i m r ：，v x x 厂0 ) 一( 彳) 为月“中的子集，叩( 八x ) 一，( x ) ) 为厂 ) 一( z ) 的凸包，则 c d ( ( 工) 一，( x ) ) 为尺”中的凸子集，且彤为凸集，又有 c 0 ( ，( x ) ，( ) ) n i n t 群= 中， 由引理2 2 1 ，知存在震“中的闭超平面 1 7 贵州入学硕士学位论文 h = x e 尺”1 ( m ，x ) = o ，。er “ 将c d ( 厂【x ) 一厂( ) ) 与月? 分离，即 ( 珊，c o ( ( x ) 一( 工) ) ) o o ，则对v 口矗：，有 ( ，a ) o 下证e 只? ，否则假设m = ( m i ，吐，。) ，其中国k o ，取 口= ( o ，l ，o ) q ，则有( ，口) = 吼 o ，此与扣，a ) 2 0 ，v 口哎矛盾 故甜e 彤 因此 nn f ( ，) ( x ) = ，( x + ) 。z ( x ) = f ( ，山) ( x ) ，v x 工 t l l l 即x 为f ( ，珊) 的最小值点，由引理2 2 2 ，知f ( 厂，脚) 为可转移弱下半连续的 充分性，由f ( ，) 为可转移弱下半连续和引理2 2 2 ，知f ( ，) 有最小值， 设x 为f ( 脚) 的最小值点，从而工为( m 卯一矗：) 的加权解，由引理2 3 1 ，知x 1 8 第二章关于可转移连续性与向量值函数弱有效解的存在性 为 厂的弱有效解证毕! 由定理2 3 1 可推出如下结果 推论2 3 1 为拓扑空恻的紧子集，厂：爿斗r ”为向量值函数，厂( ) 为r ” 空| 日j 中的f j 集，则在中存在弱有效解的充分必要条件是存在某权因子 甜e 月? ，使得加权函数，即 尸( ，珊) ( 砷= q ：( r ) 为可转移弱f 半连续的 推论2 3 2 为拓扑空间的紧子集，- 厂：斗r ”凸，即每个，为凸函数， f ：1 ，n 则厂在x 中存在弱有效解的充分必要条件是存在某一权因子t 群 使得加权函数，即 f ( ，m ) ( x ) = 吐，。，( r ) 为可转移弱下半连续的 题 第四节一般情形有限维向量空间月“中弱有效解的存在性 设z 为拓扑空间的紧子集，：爿斗r ”为多目标函数，考虑如下最优化问 ( 阳尸一r ：) m i n ，( z ) j f 工x 定义评价函数如下： 定义2 4 1 设伊：月“_ r ，称妒为月”上的评价函数，如果妒为连续单调增函 数，也就是说 并且满足 p ( x j ，x 2 ) 蔓妒( y i ，y ) x ，y ，v f = l ，阿 9 贵州人学硕 ：学位论文 妒( x j 、一，x2 ) 妒( y l ，) 甘， y ，了f = 1 ，竹 定义2 4 2 设厂：爿r “，称，为次”f 转移卜、f 连续的，盘果仃n 。某 评价 阑数妒，使干 妒厂越町转移f + 1 二适续的 4 i 难知道，有卜面的结论 引理2 4 1x 为( 阳j d j r ：) 的弱有效解的允分必要条件为存在某评价函 数妒，使得是单目标最优化问题 ( o p )n l i n 妒、厂( r ) 的最优解 证明：”仁”用反证法设妒为某评价函数，x 为( p p ) 的最优解，向非 ( 肿j 1 ) 一r ? ) 的弱有效解，则存住某。y ，使得 ；( y ) ：( x ) ，v b i ，h 从而 伊，( y ) 伊厂( 工+ ) ，v f = 1 ，- 门 此与x 为( d p ) 的最优解矛盾! 故x 为( 比 户一彤) 的弱有效解 ”j ”设工为( 比) p 点：) 的弱有效解，则对任意的y 爿，总有某“，使得 兀( y ) 厶( z ) 构造评价函数妒：尺“o 月如下 伊( z 】，- 一，z 。) = m a x z l 一一( z + ) ，z 。一 ( x ) ，v z = ( z 1 ，z 。) r ” 不雌验证妒为连续单调增函数，且对任意的z = ( z ；，z ：) o 第二章荚r 可转移连续性与向量值函数弱有效解的存在性 p 。厂( x ) p 。，( 工) ， j x 为厂关丁广义权冈了- p c 的加权解矛盾 敝x 为- 厂的弱有效解证毕! 定理2 5 1 爿为拓扑空间的紧予集，厂：x 斗e 为向量值函数，若对向量优 化问题( 加尸一c ) 的每一弱有效解工+ ，有 c d ( 厂0 ) 一，( 爿) ) n i n t c l = 巾 则，在xq j 存在弱有效解的充分必要条件是存在某一广义权因子p ( 1 ，使得 广义加权函数，即 f ( ，p ) ( x ) = po ，( x ) 为次可转移弱下半连续的 证明：必要性，令x 为在x 上的弱有效解，则有 - 厂( x ) 一，( x ) 硭i m c ，v x x ，( x ) 一，( x ) 为e 中的子集，c o ( - 厂0 ) 一，( 爿) ) 为厂o ) 一( x ) 的凸包，则 c o ( i 厂“) 一厂( ) ) 为e 中的凸子集，且c 为凸集，又有 ( “+ ) 一，( 工) ) n i n t c = ， 由引理2 2 1 ，知存在e 中的闭超平面 = 备占i p 。z = o ，p e 占 将c d ( ， ) 一厂( x ”与c 分离，即 p 。c d ( ，( x ) 一，( x ) ) 0 0 知，p 。c o ，v c c 故p c 因此 f ( ，p ) ( x ) = p 。，( x ) p 。厂( x ) = f ( ，p ) ( x ) ，v x x 即z 为广义加权函数，( 厂，p ) 的最小值点，由引理2 2 2 ，知f ( ，p ) 为次可转移 弱f 半连续的 充分性，由f ( - 厂，p ) 为次可转移次弱下半连续和引理2 2 2 ，知，( ，) 有最 小值，设z 。为f ( 厂，p ) 的最小值点，从而x + 为( m 尸一c ) 的广义加权解，山引理 2 5 1 ，知z + 爿为厂的弱有效解证毕! 由定理2 5 1 可推出如下结果 推论2 5 1 工为拓扑空间的紧子集，：寸e 为向量值函数，( z ) 为e 空 间中的凸集，则，在工中存在弱有效解的充分必要条件是存在菜广义权因子 p c ，使得广义加权函数，即 f ( ，m ) ( x ) ；p 。，( x ) 为次可转移弱下半连续的 推论2 5 2x 为拓扑空间的紧子集，厂：爿寸e 关于锥c 为凸的，则厂在x 中存在弱有效解的充分必要条件是存在某一广义权因子pec + ，使得广义加权函 数，即 f ( ，国) ( z ) = p 。厂( x ) 为次可转移弱下半连续的 第三章向繁优化问履的本质有效解与本质弱有效解 第三章向量优化问题的本质有效解与本质弱有效解 第一节引言 针对向量优化问题解的稳定性( 连续性) 问题，1 9 7 9 年，p 、h n a c c a c h e ( 2 7 得 出多目标优化问题的稳定性结果：1 9 8 8 年，s d o l e c k i 和c 姚l i v e r t 2 9 证明了 有效解集的稳定性：1 9 8 9 年，d t l u c 4 做了向量优化理论方面的研究 令为度量空间的非空紧子集，厂：x 斗r “为向量值函数围绕解的稳定性， 已有研究结果表明： ( 1 ) 上半连续性：弱有效解是具有的1 9 9 2 年，y u 【1 6 得出向量优化问题弱有 效解上半连续性的结果：加权解也是具有的，1 9 9 7 年，x j a n g 3 0 得出了多目标优 化问题加权解的上半连续性有效解是不具有上半连续的性的，很容易给出反例 ( 2 ) 下半连续性：弱有效解，加权解和有效解都不具有，很容易给出反例 ( 3 ) 通有下半连续性：1 9 9 2 年，y u 【1 6 根据f o r t 定理 7 得出了弱有效解在 b a i r e 纲的意义下具有通有下半连续性1 9 9 7 年，x i a n g 3 0 证明了加权解具有通 有下半连续性上述结果的证明均采用“ 叩的方法+ 因为有效解不具有上半连 续性因此上述方法不能推出有效解的通有下半连续性 ( 4 ) 有效解具有上半连续性的条件：2 0 0 4 年，x i a n g 3 2 通过加权的方法证明 了有效解具有部分上半连续性，并由此推出有效解具有通有几乎下半连续性另 外，2 0 0 4 年，x i a n g 3 3 就有限维的情形，证明多目标优化的有效解具有上半连续 性的充分必要条件是有效解集等于弱有效解集，即& ( 厂) = s ( 厂) ( 5 ) 有效解与弱有效解具有下半连续性的条件：有效解，弱有效解在满足一 定条件的基础上是具有下半连续性的，2 0 0 4 年，x i a n g 3 3 】给出了有效解，弱有效 解具有下半连续性的充要条件 ( 6 ) 有效解与弱有效解之间的关系：利用本质解的方法，2 0 0 4 年x i a n g 3 3 得 出了在满足一定条件的基础上本质有效解，有效解，本质弱解及弱有效解之间的 关系 在本章将对上述问题作进一步的讨论在研究上述向量优化问题解的稳定性 时，所考虑的是连续的多目标函数所构成的集合空间已( x ) ，其拓扑结构是由一 贵州大学硕士学位论文 致度量产q 的对于向量函数厂，g c 。( x ) ，一致度量定义为 p x ( ，g ) 2 呀z ) 一g ( x ) 0 本文将推7 “上述结果，分别就多目标函数为锥一连续条件下和无限维空间的 情形，讨论向量优化问题弱有效解和有效解的稳定性 往本课题研究中，主要分三部分进行讨论： ( 1 ) 针对月? 一连续且有界的多目标函数构成的集合空i 日j c ( ) ，其上的拓扑 结构仍为一致度量产生，从而研究有关弱有效解的稳定性问题 ( 2 ) 针对无限维空间向量优化问题，同样在一致拓扑结构下研究有天弱有效 解的稳定性， ( 3 ) 针对无限维空间向量优化问题，讨论有效解映射s ( ) 的稳定性，即s ( 厂) 卜- 半连续的充分必要条件 第二节预备知识 设x 为度量空间的非空紧子集，2 。为的所有非空子集组成的集合 令e 是向量空间，c 是e 中的一个锥，口表e 的零元素，如果c 十c = c ，则称 c 为凸锥：如果c n ( 一c ) = 口) ，称c 是尖的：若爿是e 的一个子集，则记i n t 彳为爿 的内部设c 为e 中的一个闭凸尖锥，i n t c 中r ”是有限维的向量空问 引理3 2 1 令e 是向量拓扑空间，c 是中的一个闭凸尖锥，且i n t c 巾， 则 i m c + c c i n t c 定义3 2 1 设肖是拓扑空间，c 是e 中的闭凸尖锥，：x j e 是一向量值 函数，在z 。处是c 一连续的，如果对e 中目的任意开邻域y ，存在x 。在中的丌 邻域己，使对任意的x ( 厂，有厂( x ) e 厂( z o ) + 矿+ c 现给出以下几种集合： c 二( 爿) 为从x 到月“的r ? 一连续且有界的多目标函数组成的集合，在c 二( x ) 第三章向量优化问题的本质有效解与本质弱有效解 i ：定义一致度量 其i 1 1 厂，g q ( 爿) p 一( ，p ) 2 学岍x ) 一g ( x ) | i c ( 爿) 为从爿到占的连续向量函数组成的集合，在c ( 柳：定义一致度量 p r ( ，g ) = 黔帆工) 一g ( x ) 0 其巾厂，g c ( ) 现给出一些定义( 1 2 ， 2 9 ) 记一般的向量优化问题为 ( m 0 尸一c )m i n - 厂( x ) s ，z x 有限维守1 1 日j 的多目标优化问题为 ( y d p 一尺? ) m i n 厂( z ) j f x 并 令s ( 厂) ，s ，( 厂) 分别为，( x ) c ( ) ( 或c ( x ) ) 的所有有效解和弱有效解组成 的集合并记 棚n ( ，) = ，( x ) ：x s ( 门) ) 阿： 卉 ( ，) = 厂( x ) ：工s 。( ，) ) s ( ，) ，s 。( ，) 分别为从c ：( j ) ( 或c ( z ) ) 到2 。的有效解和弱有效解的集值映 射 定义3 2 2 对任意的厂( x ) c 二( ) ( 或c ( z ) ) ， ( 1 ) x s ( ，) ( 或工s ，( 厂) ) 为