（应用数学专业论文）几类plaplacian差分方程正解的存在性.pdf

梦 r 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文几类p - - l a p l a c i a n 差分方程正解 的存在性，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进 行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的 研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确 的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：刁垄、日期：乒呷、铲 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 几类p - - l a p l a c i a n 差分方程正解的存在性系本人在曲阜师范大学攻读 硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜 师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解 曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交 论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可 以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 储硌i 班、 导师签名； 园 啉勘穸、弘 日期：为口7 岁、i d 曲阜师范大学硕士学位论文 几类p - l a p l a c i a n 差分方程正解的存在性 摘要 根据内容本论文分为以下五章： 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，主要研究如下 ， j 奶( u ( t 一1 ) ) + a ( o l ( u ( t ) ) = 0 ，t 【1 ，t + 1 】 ia u ( 0 ) = u ( t + 2 ) = 0 正解存在性的相应结果的新的证明方法 第三章在这一章中，主要研究如下 ， j 咖( 乱( t 一1 ) ) + o ( ) ，( 扎( t ) ) = 0 ，t 【1 ，t + l 】 iu ( o ) = a u ( t 十1 ) = 0 正解的存在性，利用锥拉伸压缩不动点定理在非线性项满足超线性与次线性条 件下讨论了问题 第四章在这一章中，主要研究如下 ， j 如( u ( t ) ) + a ( t ) f ( t ，u 0 ) ) = 0 ，t 【l ，t + 1 】 lu ( o ) 一b o ( u ( o ) ) = u ( t + 1 ) + b i ( a u ( t + 1 ) ) = 0 三个正解的存在性，用不动点定理证明方程在边值条件下三个正解的存在性 第五章在这一章中，主要研究如下 ， i 讳( u ( ) ) + a ( t ) f ( t ，牡( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，t + 1 ) iu ( o ) = u ( t - i - 1 ) = 0 至少有两个正解的存在性，其中非线性项y ( t ，u ) 能变号一类非线性项变号的 p - l a p l a c i a n 差分方程两点边值问题正解的存在性 关键词：边值问题；差分方程；正解；不动点定理；锥 o nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fk i n d s o fp - l a p a c i a nd i f f e r e n c ee q u a t i o n s a b s t r a c t t h ct h e s i si sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，p r e f a c e ，w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fp - l a p a e i a n d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n ds o m en e wa p p r o a c h e a s f 讳( a u ( t 1 ) ) + o ( t ) 厂( “( t ) ) = 0 ，t 【1 ，t + 1 】 ih u ( o ) = u ( t + 2 ) = 0 i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fp - l a p l a c i a n d i f f e r e n c ee q u a t i o n sb yt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m i nt h i sp a p e r ，t h ee x i s t e n c e o ft h r c cp o s i t i v es o l u t i o n sf o rp - l a p l a c i a nd i f f e r e n c ee q u a t i o n s3 x ee s t a b l i s h e d b yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m ，a sa l la p p l i c a t i o n ，o n ee x a m p l ei sg i v e nt o i l l u s t r a t et h em a i nr e s u l t f 如( 让( 一1 ) ) - 4 - n ( ) ，( u ( t ) ) = 0 ，t f 1 ，t + 1 】 lu ( o ) = a u ( t + 1 ) = 0 i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n so fp - l a p l a c i a nd i f f e r e n c ee q u a t i o n sb yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m ，a sa na p p l i - c a t i o n ，o n ee x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h em a i nr e s u l t f 讳( a u ) + a ( t ) ( t ，让) = 0 ，t 【1 ，t + 1 】 l 札( o ) 一风( u ( o ) ) = u ( t + 1 ) + b i ( a u ( t + 1 ) ) = 0 i nc h a p t e r5 ，b yu s i n gad e v e l o p e df i x e dp o i n tt h e o r e m ，s o m en e we x o i s t e n c ec r i t e r i af o rp o s i t i v es o l u t i o n so ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma r ep r e - s e n t e d ，e s p e c i a l l y , t h en o n l i n e a rt e r mf ( t ，u ) i sa l l o w e dt oc h a n g es i g n f 如( 让( t ) ) + a ( t ) f ( t ，u 0 ) ) = 0 ，t ( 0 ，t + 1 ) 【u ( o ) = u ( t + 1 ) = 0 l 曲阜师范大学硕士学位论文 w ee s t a b l i s hs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e s o l u t i o n so ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ， k e yw o r d s ：b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ； t i o n ；f i x e dp o i n tt h e o r e m ；c o n e e x i s t e n c eo fa tl e a s tt w op o s i t i v e p o s i t i v es o l u t i o n ；d i f f e r e n c ee q u a - 一一 鱼皇塑蕉奎堂堕堂笪迨窒 1 8 口j i 日永 绪论1 一类p - l a p l a c i a n 差分方程正解存在性的注记3 引言3 主要结果3 一类带有两点边值条件的p - l a p l a c i a n 差分方程正解的存在性9 引言9 主要结果9 问题( 3 1 1 ) 在锥中的解1 1 一类带有边值条件的p - l a p l a c i a n 差分方程兰个正解的存在性 4 1 引言1 8 4 2 主要结果1 8 4 3 例子2 9 第五章 一类非线性项变号的p - l a p l a c i a n 差分方程两点边值问题的正 解3 1 5 1 引言3 1 5 2 主要结果3 1 u l 啼 j 蚍 m 尊 蚍 靴 娜 嘴 第 第 第 第 第一章绪论 从二十世纪七十年代以来，非线性差分方程理论得到了广泛的研究，同时 差分方程的边值问题( b v p s ) 受到许多学者的更多关注，在经济学，控制论，神 经网络，物理学等应用数学领域提出了大量的由差分方程描述的具体数学模型 并发挥了重要作用，引起了更多地国内外学者的研究兴趣，随着这一理论研究 的进一步深入，研究内容和研究方法不断得到丰富，无论是线性问题还是非线 性问题都获得了许多研究成果，发现了很多有价值的理论和方法，比如l e r a y - s c h a u d c r 连续理论，l e r a y - s c h a u d c r 非线性变换，不动点理论，叠合度理论 为研究从两点边值问题到多点边值问题提供了强有力的科学依据 带有不同边值条件的非线性差分方程正解的存在性是差分方程理论的重要 组成部分，利用不动点定理在b a n a c h 空间的锥中研究不同边值条件的非线性 差分方程一解，二解，三解及多个正解的存在性取得了重要成就，近年来，带有 不同边值条件的非线性差分方程正解的存在性得到了广泛而有深入的研究，不 动点定理在表现形式上灵活多样，不断被推广应用，一些新的成果备受关注并 在理论上迅猛发展，这方面的工作可参见文献【1 1 8 】及其参考文献 本文利用锥拉伸压缩不动点定理在非线性项满足超线性与次线性条件下 讨论了几类带有不同边值条件的p - l a p l a c i a n 差分方程正解的存在性， 根据内容本论文分为以下五章： 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，我们主要研究如下 j 奶( a u ( t 一1 ) ) + q ( t ) ，( 乱( t ) ) = 0 ， t 【1 ，t + 1 】 ，o ，1 、 1 u ( o ) = u ( t + 2 ) = 0 p j j 正解存在性的相应结果的新的证明方法 第三章在这一章中，我们主要研究如下 j 如( 乱 一1 ) ) + 口( t ) ，( u ( t ) ) = 0 ， t 【1 ，t + 1 】 ，口，1 、 1 钍( o ) ：a u ( t + 1 ) ：0 p j 第一章绪论 正解的存在性，利用锥拉伸压缩不动点定理在非线性项满足超线性与次线性条 件下讨论了问题 第四章在这一章中，我们主要研究如下 ! a c p ( 钆( 。) ) + 。( 2 ) m ，让( 。) ) = 0 ，t 咿+ 1 】( 4 1 1 ) 【钆( o ) 一b o ( “( o ) ) = u ( t + 1 ) + b i ( a u ( t + 1 ) ) = 0 、7 三个正解的存在性，用不动点定理证明方程在边值条件下三个正解的存在性 第五章在这一章中，我们主要研究如下 c p ( 牡( 。) ) + n ( 。) m ，让( 。) ) = 0 ，( o ，t + 1 )( 5 1 1 ) 【u ( o ) = u ( t + 1 ) = 0 、。 至少有两个正解的存在性，其中非线性项f ( t ，u ) 能变号一类非线性项变号 的p - l a p l a c i a n 差分方程两点边值问题正解的存在性 2 第二章一类p - l a p l a c i a n 差分方程正解存在性的注记 2 1 引言 2 0 0 3 年，文 1 】作者利用锥拉伸压缩不动点定理在非线性项满足超线性与 次线性条件下讨论了问题 a a a 、u ( t ：”掣o ”刨 1 , t + 1 1 ( 2 1 1 ) 【a u ( 0 ) = u ( t + 2 ) = 0 、 正解的存在性，得到了若干好的结果受文【2 】的启发，本文给出了文【1 】中关 于问题( 2 1 1 ) 的相应结果的新的证明方法 对问题( 2 1 1 ) ，我们作下列约定： ( a ) ，：厅。一j 矿是连续的，( r + 是非负实数) ( b ) a ( t ) 是定义在【1 ，t + 1 】上的正值函数 其中讳( s ) 是p - - l a p l a c i a n 算子，即( s ) = l s l _ 2 s ，p 1 ，( 讳) - 1 = 砂口， 1 p + 1 q = 1 且a u ( t ) = u ( t + 1 ) 一u ( t ) ，整数t 1 是固定值，用区 间来表示离散集合：如果整数a b ，【0 ，6 】= 0 ，如果存在两个不同的正数a ，b 使得 1 1 ，r + 1 1 ( i ) f ( u ) ( 署) p 一1 ，仳【o ，0 】且，( 珏) ( 告) p 一1 ，u 【2 ，b 1 或 ( i i ) f ( u ) ( 虽) p 一1 ，仳【o ，o 】且，( 牡) ( 鲁) p 一1 ，u 【互b ，6 1 ， 则边值问题( 2 1 1 ) 至少存在一个正解u + p 并且m i n a ，6 ) i l u l i m a x a 6 ) 证明设a b ，1 2 1 = 让e ：i l u l i 0 ，当u 0 ，。t 】时， 黔( 击) 一，从而 f ( u ) ( 等) p ( 2 2 1 ) 5 第二章一类矿l 塑鳖垫璺叁坌查矍垂堡查查丝堕壅望 一 由k = 。熙咎生= 。，知存在d - o ，当u 【d - ，o 。) 时，有黔( 吾) p ， 从而，、 ，( 札) z 。u p _ 1 可知l i m ，( u ) ：o o ，由，在【d 1 ，) 上连续知存在一列一o 。使得，( 警) = 一旯u ) ，令；。，2dmin b li i l a x a l1 则有，( ) ( 告) p ，表明存在 ，( u ) ，令= 。 ，1 j 则碉，【蛩j 2l 苫j ，衣明竹位 蛩曼t s 口1 b 1 o ，当缸( o ，d 2 】时， 掣( 吾) 旷1 如果l i m ，( 仳) = 0 ，由厂在【o ，o 。) 上连续知存在一列一0 ( c n 0 ) 使得厂( 鲁i 兰+ m i n ，( u ) ，令啦：。 m i n 。l ，d ：) ，有，( 警) ( 警) p ，表 使得，( 等) 2 审窭，( u ) ，令啦5 。 m m 。l d 2 有八警) 2 警，衣 明存在0 0 ，当u 【o ，d 3 】时， p l = 。s r a 。i s n d 。，( u ) o ，令6 2 0 设 当u 【鲁，b 2 】 综合结论( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 知必存在0 m a x a ，2 d 4 ，m a ，这表明 存在口 b m a x a ，2 d 4 ，当乱【2 ，6 】时， l ，( u ) y ( b ) ( 丢) 州 ( 2 2 6 ) 综合结论( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 知必存在a b 0 ，使得0 乱p ，时，( u ) ( 夤) p ， 那么问题( 2 1 1 ) 在p 中至少存在两个解u l ，u 2 且0 i l u l l l p 0 ，当0 u p 时，有，( u ) ( 夤) p ，所以存在 0 a 2 a 1 p 从而 钆【0 ，o l 】，( u ) ( 等) p _ 1 ； 让【0 ，0 2 】，y ( u ) ( 等) p 由( i ) 知，如= z = 。0 ，结合定理2 2 1 中的( i ) ( i i ) 分析得到的结论( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 知，存在 b 2 a 2 a l p b l 满足引理2 2 2 ，所以问题( 2 1 1 ) 在p 中至少存在两个正解札1 ，坳且0 i i 让1 i l ( 告) p ， 那么方程( 1 ) 在p 中至少存在两个解u 1 ，u 2 且0 i l u l l l ( 暑) p ，所以存在 g b 2 ( 鲁) 一； ，( 札) ( 警) 州 由( i ) 知知= k = 0 ，结合定理2 2 1 中的( i ) ( i i ) 分析得到的结论( 2 2 1 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 知，存在a l ，a 2 且 0 。 鲁 6 2 b j d 眈 满足引理2 2 2 ，所以问题( 2 1 1 ) 在p 中至少存在两个正解u l ，u 2 且0 i l u l l i 0 并且f ( u ) ( 8 u ) p ，v 0 0 满足 目。( o ( i ) ) 1 s - - - 1i = a 因此v u p 且l lul i = h 1 ，意味着 t+1tt + 1 l t u 1 1 = 咖。( 。( i ) ( 钆( i ) ) 州) - l l 钆f ip 咖。( 。( ) ) 剑u s = li = 85 = 1i = s 因此 i lt ui i 0 满足 t + 1 专p 咖。( n ( t ) ) 1 1 2 y = 胙z ：t t + 2 t + 1 ) 令吼= m a x ( 2 h 1 ，2 吼】，且定义q 2 = u b ：i lu0 0 使得，( u ) ( 缸) p ，其中0 0 满足 1 t + l 去。( o ( z ) ) 1 1 3 因此地p l lul l = - 1 ，有 o ( t ) ，( u ( i ) ) ) o ( i ) ，( 仳( i ) ) ) ( o ( i ) ( u ( i ) ) 州) 扣孥c 薹 0ul l 因此 l lt u1 1 _ 1 1ul | ，u p a 0 f l l ，( 3 3 4 ) 其中q 1 = u b ：| iul l 0 使得f ( u ) ( a 乱) p ， 其中v u h 2 ，a 0 满足 r + 1 a 如 s = 1 o ( z ) ) 1 有两种情形：( a ) f 是有界的，( b ) f 是无界的 情形( a ) ：假设m 0 使得厂( u ) m p ，其中0 u 0 0 令 那么，v u p0 札i l = 2 ，有 t + lt + l 因此 t + l 如( t = 8 o ( ) ) t + l丁+ 1 t ui i = 九( 。( i ) 似( z ) ) ) m 。( 。( i ) ) 2 = 1 1 8 - - - - 1 i - - 88 = li - - 8 t u1 1 一 叫 r m 1 ， m 州 m日 口 呔m = 巩 曲阜师范大学硕士学位论文 其中q 2 = u b ：i | 乱i i m a x 2 h 1 ，_ 2 ) 使得厂( u ) ，( 凰) ，其中 0 “兄选乱p i i ul l = 尻， t ul i = 咖。( n ( i ) 衔( i ) ) ) 8 - - - - li = s 丁+ 1t + 1 九( 。( i ) ，( 凰) ) 8 = 1t = s r + 1t + 1 ( ，( 也) ) 州九( o ( i ) ) 8 - - - - l t = 8 t + 1丁+ 1 a 吼c q ( o ( i ) ) _ _ _ _ l 一 8 - - - - li = s 飓= l | 钍j | 因此 i l t u1 1 _ 1 1u 0 ，仳pn a q 2( 3 3 6 ) 其中q 2 = u b ：l lui l 0 使得，( u ) ( v p f _ 1 其中 那么在p 中至少存在问题( 3 3 1 ) 的两个解 l , 1 和u 2 ，使得0 i iu l0 p 让21 i 1 5 一 川0 0 m 汹 m 脚 i l 叩p o 满 足 丁+ 1 如( 口( i ) ( 高) 州) 1 s e y yi = s 。 1 6 t 曲阜师范大学硕士学位论文 如果u p i iul i = r ，那么 t ul l = ( n ( i ) ，( 乱( i ) ) ) s y i = s ? + 1 九( o ( z ) ，( 钍( i ) ) ) 8 y i = 8 t + 1 咖。( n ( z ) ( 乱( i ) ) p 1 ) ni j 让f 0 乱f i 因此，i ( t ，p r ，p ) = 0 如果让p l l 让| l = p ，那么 t + 17 + 1 7 + lr + 1 i | t ui l = 如( o ( i ) ，( 让( i ) ) ) 7 7 j d ( o ( z ) ) = p = l l 乱i | 8 - - - - - lt = ss = li = 5 因此i ( t ，只，p ) = 1 因此i ( 正p r 巧，p ) = 一1 ，i ( z 0 一p d ，p ) = 1 所以问题( 3 1 1 ) 在p 中至 少存在两个解珏l 和u 2 ，使得0 l l 让li i ( a | p ) p - 1 其中 吾p 让p ，a ：匹( t + i 口( i ) ) 】_ 1 y ：胙z ：半t f + 2 ) 那么问题( 3 1 1 ) 在p 中至少存在两个解? 2 1 和? 1 2 ，使得0 i i 让1i f p 1 ， ( 九) _ 1 = 九，l i p + 1 q = 1 且a u ( t ) = 乱( + 1 ) 一让( t ) 整数r 且t 1 是固定 值，用区间来表示离散集合：f 1 ，t + i 】= 1 ，2 ，t + 1 ) ，( 0 ，t + i ) = 1 ，2 ，t ) 等， l z 笋1 表示小于或等于丁t + i 的最大整数 对方程( 4 1 1 ) 约定：( h ) ，c ( 【o ，t + 1 1 r + ，r + ) ，f ( t ，0 ) o ； 丁+ 1 a ( t ) c ( ( o ，t + 1 1 ，r + ) ，：a ( i ) 0 ，0 t b i ( t ) sm t 2 ， ( i = 0 ，1 ) 【1 ，2 ，4 ，6 ，1 4 - 1 6 】通过运用不动点定理得到p - l a p l a c i a n 差分方程边值问题多 个正解的存在定理，本文主要从f 4 ，1 4 ，1 5 ，1 6 】用不动点定理证明问题( 4 1 ，1 ) 在 边值条件下三个正解的存在性 4 2 主要结果 在这一段里，我们先提供b a n a c h 空间中锥理论中的相关知识，然后阐述 不动点定理 1 8 穆 曲阜师范大学硕士学位论文 定义4 2 1x 是一实b a n a c h 空间，如果一个非空的，闭凸集kcx 满足以下条件称为锥： ( i ) 如果z k 且a 0 ，那么a z k ； ( i i ) 如果k 且一z k ，那么z = 0 任意z ，y x ，锥kcx ：z y 铮y z k 定义4 2 2x 是一实b a n a c h 空间，锥kcx ，如果o e ：k _ 0 ，o 。) 是连续的且任意z ，秽k ，t 【0 ，1 】，有a ( t x + ( 1 一t ) y ) t a ( x ) + ( 1 一t ) q 白) ， 那么影射。称为在锥k 中的一个非负的，连续的凹泛函 相似地，x 是一实b a n a c h 空间，锥kcx ，如果q ：k 一 0 ，) 是连续 的且任意z ，y k ，t 【0 ，1 1 ，有a ( t x + ( 1 一t ) y ) t a ( x ) + ( 1 一t ) q ( 可) ，那么 影射o 称为在锥k 中的一个非负的，连续的凸泛函 定义4 2 3 一个算子t ：k k 如果它是连续的且影射有界集k 成相 对紧集k ，那么t 就被称作完全连续的令 k ( a ，a ，b ) = z k ：n q ( z ) ，z i l 6 k c = z k ：i l z l | c 】 一k c = z k ：l c ) 我们定义x = 让：【0 ，r + 1 】_ r ) ，i l u i l = z m l 。，a 丁x + 1 1l ( 。) l ，那么( x ，l | i l ) 是一个b a n a c h 空间，锥k = z x ：z ( t ) 0 是凹的，t 【0 ，t + 1 1 令 6 ( o ，【孚1 ) 扛硷 【( m t i n 一司m ；) ) 刊；”】 r = ( m 十1 ) 九( 口( i ) ) q ( 钍) = u ( 5 ) + u ( 2 t 一+ l - 6 ) 1 9 引理4 2 1 如果kcx ，v z k ，钆( t ) 其中e l ，2 和c 2 m 根据边界条件在r 2 丁是完全连续的算子 t 一1 0 = c - ，善+ 妒。( c 2 厂。( i ) 巾，z ) ) ， s = 0 i = 0 内被唯一确定，那么t ：k _ x ， s 砂。( c 2 ，z 一a ( ) 巾，z ) ) ， i = 0 证明比。k ，假设z n k ，z n _ 如，我们注意乱。( t ) ：( t x n ) ( t ) ， 仳。( 。) = ( r 知) ( t ) ，我们将证明t 在z 。是连续的，即( c l , z ，c 2 , a c ) _ c l , z o ，c 2 , z o ) 因为( c l , x n , c 2 ，z 。) ：n = 1 ，2 ) 是有界的，我们假设( c l , z ，c 2 , z ) _ ( 西，西) c l , z oc 2 m ) ，我们注意i c 2 , z ni m ， i x n ( ) l r ， 研( t ) ：t - 1k ( s ) ， m 和 r 是正常数，那么珥( t ) 是在【o ，t + 1 】上的连续泛函从 。 其中 t 一1 。( c 2 m 一 0 a ( i ) f ( i ，z ) ) f c q ( m + 研( s ) ) 。( m + 珥( s ) ) o 。，惭) 巾，z ) i ， 0 根据控制收敛定理， 。l i r a u n ( ) = n k ( z ) o o 0 t - 1 8 丘+ 熙如( c 2 加一。( i ) 巾 ) ) t - 1 s。 西+ 三如( 舀一l i mz 口( 蝴删 t - 1 8 。 鲫 + 茁q i i 、l ，、- ， z丁 ，i 曲阜师范大学硕士学位论文 根据连续的边界条件： u ( u ) = ( 阢( 让) ，u 2 ( 让) ) = ( 矾( 面) ，u 2 ( 面) ) ，当z = x o ( t ) ， u ( t ) = c 声+ ( c 2 声一。( i ) ，( i ，z ) ) 有两组常数( c i , z oc 2 加) 和( 蠡，面) 8 - - 0i = o 满足u ( u ) = ( 仉( u ) ，观( 乱) ) ，这是与条件矛盾因此( c l 却c 2 ，。) _ ( 6 ，西) = ( c l ，卸，c 2 渤) 1 i mt x n = 7 k o 我们得丁是连续的 我们去证明丁在k 是相对紧的假设v 1 2ck ，q 是有界集，v o q ， 蚓l 。( i ) ，( i ，z ) 时，f ( ) 0 ； 当 i = 0 c x 0 时， f ( ) 0 可知 3 c 2 ，z ，f ( c 2 ，。) = 0 ，因此这个方程能唯一 丁 确定c 2 m c 2 声( o ，o ( i ) 厂( z ，z ) ) ， 因为t ：k _ k i = 0 t - 18 ( t z ) ( t ) = 玩( 钆( c z ，。) ) + 。( c 2 ，。一。( i ) 巾，z ) ) s = o i = 0 从引理0 2 1 ，我们知道t 在k 中是完全连续的算子， | 吼【1 ，t 】使得 c 2 萨a ( i ) f ( i ，。) ，那么 仉it - 1 仃。 ( t z ) ( t ) = 玩( 如( 。( i ) 巾，z ) ) ) + 妒。( 。( i ) 巾，z ) ) ， i = 0 s = o s + l 从结论( 4 2 1 ) 仃tt 口乜t 岛( 。( n ( i ) 币，硼) + 九( 。( i ) 巾，z ) ) 一b ，( 。( 。( i ) 巾，z ) ) ：o 。2 0 s = o s + l a u + l 口u 风( 。( a ( i ) f ( i ，z ) ) ) i = 0 t - 1 口” + ( n ( ) 巾，z ) ) t 8 t + 九( 。( i ) 巾，圳一b 1 ( 九( 。( i ) 巾，z ) ) = 0 a tt - 1口“t 岛( a ( 。( z ) 加，z ) ) ) + 幽( 。( i ) 确，z ) ) = b 。( 九( 口( t ) ，z ) ) 。2 u s = o s + l a u + l 一( 口( ) 饰，z ) ) 第四章一类带有边值条件的p - l a p l a c i a n 差分方程三个正解的存在性 因此，我们能表示 ( t u ) ( t ) = 那么问题( 4 1 1 ) 的正解当且仅当( t u ) ( t ) = u ( t ) ，“( t ) k 证毕 引理4 2 3k 是在一实b a n a c h 空间x 一个锥，假设存在正数a ，b ，c 和d ，且0 a b 6 ) ( i i ) 当忪l l b 那么t 至少有三个不动点x l ，x 2 ，x 3 使得忪l | j