（应用数学专业论文）单位球上bmoa空间中的volterra算子.pdf

中文摘要 本文主要讨论了单位球上b m o a 空间中的v o l t e r r a 算子的性质，给出了v o l t e r r a 算子有界和紧的充分必要条件全文共分为四部分 第一部分，简要介绍了本文的研究对象及近些年在这个领域内的一些主要工 作，相当于是一个前言 第二部分，给出了本文所涉及到的一些重要概念及其性质 第三部分，给出了证明本文主要结果所需要的一些重要命题 最后一部分，利用第三部分给出的命题得到了文章所需要的一些引理，给出 了本文主要定理的证明，并得到其推论 关键词：v o l t e r r a 算子；b m o a 空间；有界性；紧性 a b s tr a c t t h et i t l eo ft h i sa t t i c l ei sv ol f i e ：r r ao p e r a t o ro nb m o as p a c ei nt h e u n i tb a l l a n di tg i v e st h es u f f i c i e n t l ya n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h eb o u n d e d n e s s a n dc o m p a c t n e s so ft h ev o l t e r r ao p e r a t o r so nb m o as p a c e t h ea r t i c l ei sd i v i d e di n t o f o u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w ei n t r o d u c eb r i e f l yt h eo b j e c to ft h ea r t i c l e ，a n ds o m eb a c k g r o u n d i tc a nb et a k e na sap r e f a c e i nt h en e x tp a r t ，s o m ei m p o r t a n tn o t i o n sa n dt h e i rp r o p e r t i e sa r eg i v e n i nt h et h i r dp a r t ，s o m ei m p o r t a n tp r o p o s i t i o n s ，w h i c ha r er e l a t e dt ot h em a i n r e s u l t s ，a r eg i v e n i nt h el a s tp a r tw ep r o v es o m el e m m a su s i n gt h ep r o p o s i t i o n si nt h et h i r dp a r t ， g i v et h em a i nt h e o r e m sa n dt h e i rp r o o f s ，a n dg e tt h e i rc o r o l l a r i e s k e y w o r d s ：v o l t e r r ao p e r a t o r ；b m o as p a c e ；b o u n d e d n e s s ；c o m p a c t n e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得丕盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：炙、) 拖 签字日期： 细7 年 月。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤盗太鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 炙j 榴 签字日期：加1 年月o 日 导师签名： 闻鳓 签字日期枷7 年f 月。日 第一章背景知识简介 第一章背景知识简介 最近几年，人们对于v o l t e r r a 算子进行了广泛的研究，并得出了显著的 理论成果这里所说的v o l t e r r a 算子，又被称为r i e m a n n s t i e l t j e s 算子，或者 广义的c e s 吞r o 算子 对于单位圆盘上解析函数空间之间的v o l t e r r a 算子的有界性和紧性，我 们已经有了很多不错的结论例如，文章 1 1 】、 1 2 】分别给出了v o l t e r r a 算 子在h a r d y 空间h p ( 1 p ) 和b e r g m a n 空间a p ( 1 p ) 上的有界性和 紧性的充要条件文章【1 3 】介绍了对数c a r l e s o n 测度，并利用其性质得出了 该算子在b l o c h 空间和b m o a 空间上的紧的条件，而文章【1 6 】则给出了其在 b m o a 空间上有界和紧的充要条件 近几年，v o l t e r r a 算子在单位球上的解析函数空间之间的情况引起了 很多人的兴趣在【l7 】中，作者给出了v o l t e r r a 算子在单位球上的b l o c h 空 间及小b l o c h 空间中有界和紧的充分必要条件，他又在文章 1 8 】中对于该 算子在加权的b e r g m a n 空间中的有界性和紧性，给出了相应的结果之后 文章 1 9 】得到了v o l t e r r a 算子在单位球上加权的b e r g m a n 空间及b l o c h 空 间中有界和紧的充要条件，文章 2 0 】则介绍了该算子在q b l o c h 空间上的 有界性的情况而在另一篇文章【2 1 】中，作者对于v o l t e r r a 算子从广义的 f ，q ，s ) ( o p ，s ，一竹一1 = 喜勺酗 表示，的径向导数，其定义如下 r f ( 垆咖l i m 监掣，r u 7 - 其中r 是实参数，我们有 r f ( t z ) = t ( ) ，t ( 0 ，1 ) ，2 b n ， 及 化h ( 0 ) = 0 1 掣出，z 玩 单位球玩上的全纯自同构的全体记为a u t ( b n ) 对a 玩，设 俐= 气笺等警，z 玩， 其中轳乒砰，砟) = 箐。， 则c p a ( z ) a u t ( b 。) ，且有以下性质； 一一管。 九( o ) = a ，九( o ) = 0 ， o0 o ( 2 ) = z ，z b n ， ，制列2 = 掣辫， 圳牡( 嵩) 叶1 3 第二章基本概念介绍 设机a u t ( b n ) ，记影，( z ) = v ( f 。以) ( o ) 为，在z 的不变梯度，则i v f ( z ) 是m s b i u s 不变的，即 f v fo ( z ) f = l ( v f ) o ( 2 ) l ，妒a u t ( b n ) 2 b l o c h 空间 对f 日( 风) ，单位球风上的b l o c h 空间定义为 b ( b n ) = ，日( b n ) ：s u p ( 1 一2 ) l v f ( z ) l 0 ，使得对任意的f x ， 有l i f l i b c i i f l l 3 h a r d y 空间 我们用品表示单位球玩的边界，如表示岛上正规化的l e b e s g u e 测 度，满足口( 晶) = 1 对0 p 。o ，单位球取上的h a r d y 空间定义为 ， h p ( b n ) = ，日( 玩) ：l i f l i p p = s u p i f ( r c ) l p 如( ( ) o 。) ， u r 0 ，集合 q ( ( ，r ) = 岛：1 1 一 1 1 2 0 显然，c a r l e s o n 测度必然是有限测度 一个有限的正b o r e l 测度弘是c a r l e s o n 测度，当且仅当 ( p ) = s u p 丛掣：e 岛，o r 叩 0 ，使得 t x l l r m i i x l l x ( v z x ) 紧算子设x ，y 是b a n a c h 空间称线性算子t ：x _ y 是紧的，如果对 任意有界点列 z n ) cx ， t x 。) 中存在其收敛子列( 或者，对于x 中的任 意有界集b ，霸可在y 中是紧集) 6 第三章几个重要命题 第三章几个重要命题 在本章中，我们给出c a r l e s o n 测度与b m o a 空间、消没c a r l e s o n 测度与 v m o a 空间之间的关系由于这些结论是大家熟知的，所以不再给出其证 明，详细内容见参考文献【6 1 下文中，我们说a ，b 是可比较的，如果存在常数c ，使得：a bs c a 命题1 设p 是晶上正的b o r e l 测度，则p 为c a r l e s o n 测度当且仅当 s u p p ( a ，z ) 批( z ) o o ， a e b nj b “ 其中 脚，= 芒拦皋口玩 是p o i s s o n 核 而且，上式与胪( p ) 是可比较的 命题2 设f 日( b n ) ，d 是岛上正规l e b e s g u e 测度，则下列条件等价 ( 1 ) f b m o a ； ( 2 ) 【i 寺，( z ) 1 2 ( 1 一i z l 2 ) 】d ( z ) 是c a r l e s o n 测度； ( 3 ) ( 1 一例2 ) l w ( z ) 1 2 d u ( z ) 是c a r l e s o n 测度； ( 4 ) ( 1 一l z l 2 ) i r ，( z ) 1 2 d u ( z ) 是c a r l e s o n 测度 命题3 设f 日( b n ) ，则f b m o a 当且仅当 fo 九( ( ) 一f ( a ) 1 2 如( ( ) ，( ( ) 一f ( a ) 1 2 p ( a ，( ) 打( ( ) 而且，”0 g 是b m o a 上完备的m 6 b i u s 不变的半范数 记l i f i 。= i ，( o ) i + i f 1 c ，b m o a 在此范数下是b a n a c h 空间 7 厶厶 堆风 巾风 ， 泖一 呻一呱 | | = 2 g ， 第三章几个重要命题 i f l i e = 恶 厶脚糊钏2 ( 1 荆州) 1 2 唧 小1 2 d # f ：小2 如= ，) 1 2 及 i f r i g 之间是相互可比较的其中， 酬垆黼酬础 其中 或者 命题5 设f h ( b n ) ，则下列条件等价 ( 1 ) f v m o a ； ( 2 ) 【l 亏，( z ) 1 2 ( 1 一i z l 2 ) 咖( z ) 是消没c a r l e s o n 测度； ( 3 ) ( 1 一i z l 2 ) l v f ( z ) 1 2 d u ( z ) 是消没c a r l e s o n 测度； ( 4 ) ( 1 一h 2 ) i r ，( z ) 1 2 d u ( z ) 是消没c a r l e s o n 测度 命题6 对f h 2 ，下列条件等价 ( 1 ) f v m o a ( 2 ) f 满足 l a u l m - 1j s p ( n ，2 ) 舡( z ) = o ， 、， ( 3 ) f 满足 嘶) = 哗酬办 。l i i m ，f s i f 。( ( ) 一，( 。) 1 2 d 盯( ( ) = 。， 。l i m m 厶i ，( ) 一m 斤脚如( ( ) _ o 8 第四章主要定理及证明 第四章主要定理及证明 在本章中，我们给出主要定理的证明，即证明v o l t e r r a 算子在b m o a 空 间上有界和紧的充要条件 下文中，我们用c 表示一个有限的正数，与z ，a ，e 等无关，但可能随着 一些范数以及某些参数，如n ，f 等的变化而发生变化，在不同的地方其值可 能不同 引理1 设g h ( b n ) ，那么对于任意的f h ( b n ) 和2 b n ，有下式成立 r 怛，) 【z ) = i ( z ) r g ( z ) 证明设( f r g ) 有t a y l o r 展开式 ( ，励) ( z ) = o 口z 。， i a l 1 那么我们有 媚，) ( 小r z l i 毛嘣纠n 警 = r 1 毛箐 = o a z a ， 所以 r ( 马，) ( z ) = y ( z ) n g ( z ) 引理2 设f h ( b n ) ，则 ( 1 一i z l 2 ) l r f ( z ) l ( 1 i z l 2 ) t v f ( z ) f 寺，( z ) i ，z 晶 证明因为n f ( z ) = ，由c a u c h y s c h w a r z 不等式得 i r f ( z ) l l z l l v f ( z ) isi v f ( z ) l ，( 1 ) 由f 6 】知， i v f ( z ) 1 2 = ( 1 一i z l 2 ) ( i v f ( z ) 1 2 一i r f ( z ) 1 2 ) ， 9 第四章主要定理及证明 于是结合( 1 ) 式得 i 寺f ( z ) l ( 1 一i z l 2 ) l v f ( z ) 1 引理3 设，b m o a ，则对任意z b n ，有 i f ( 2 ) is c i l f l l l o g 南 证明设，b m o a ，因为b m o ac8 ，故 i m ) 一，( o ) i = if 0 1t r f ( t z ) 班l f 0 1 i v ，( 如) i 疵 钏州b 0 1 南 去l i f t 8 l o g 剖， 由第二章中的介绍知，l i f l i b c i i f l l c ，又l l f l l 。= i ，( o ) i + i i f l l a ， 所以 f ( z ) l i f ( 0 ) l + c i l f l l g1 0 9 剖 c i l ，i | 山g 南，z eb n 定理1 算子马在b m o a 空间上有界当且仅当 地) ：州s u 叫p ， 譬l 俐1 2 ( 1 _ i 卵涉( z ) ) 1 2 州呱 而且，i j 乃l | 与f ( 9 ) 是可比较的 证明先证充分性设f b m o a ，要证f = t g ( ，) b m o a ，由命题2 知，只要证明 d # f ( z ) = f r g ( z ) 1 2 ( 1 一汗) d u ( z ) 是c a r l e s o n 测度 设0 6 j 2 n 若t ( g ) 。，由命题2 易知，g b m o a ，再由命题1 和命题4 知道， 圳g c z ( g ) 因为i v f ( z ) 具有m s b i u s 不变性，即 v f o ( z ) i = i ( v ，) o ( z ) | ，砂a u t ( b n ) 对a b n ，设 俐= 气攀，z 玩， 其中 s 。= 川可， 则咖。( z ) a u t ( b n ) 砟) = 箐n ，) = - - - z 一箐n 忐南导 第四章主要定理及证明 可得 得到 于是利用l 亏，( z ) i 的m s b i u s 不变性和积分变换，由引理2 和命题4 ， 以执( c ) l 北h j 2 | 眦铲( 1 制) 篇酬z ) c i b ni f ( 沪m 汗黠芒岩皋州z ) c l f b ni f ( z ) 一，( 。) 1 2 熬( 可f 鹄) n + 1 d ( z ) = c ，f b , i f 。( 伽) 一，( 。) 1 2 獬d ( 伽)l 工一l l 一， = c 1 f b ni f 。a ( 伽) 一，( 。) 1 2 上里辫d 矿( 叫) l 上一l c u l 一， q 怕o 。惦i fo 九( e ) 一f ( a ) 1 2 打( ( ) t ，s n 仍蚓幽i 川各 g l lf l l l l 2 ( o 、 下面对比进行估计由引理3 i f ( z ) i c i r f l l 山g 南，名玩， 如= 警k 酬j 2 ( ，荆炒 c 2 忖幛学1 0 _ 2 2 l 刚列2 ( 1 制涉 c 4 1 1 f t l 2 1 2 ( 9 ) 因为t g f ( o ) = 0 ，所以由命题1 和命题4 ， i i 乃( 删i + = lj f i i g a v ( 船) sc “刘。f ( 夕) 反之，若马：b m o a b m o a 是有界的，下证对任意 & ，有 矧s u 叩p ， 譬如眦炉卜2 渺) 1 2 第四章主要定理及证明 令厶( 2 ) = 1 0 9 f 去，则根据命题2 ，易知厶( z ) b m o a 设a = ( 1 6 ) ( ，则对2 锄( e ) ，有1 1 一 i 髓，所以 厶( 列= i l o g f 兰万 1 昭正 i l o g 去l c l o g ；2 ， 0 故由引理1 ， 吲s u 叫p ) 警l 刚列2 ( 制渺5 = - 1 2 q 6 ( e ) j l l f q 。( e ) i a ( z ) j 2 i r a ( 名) j 2 ( 1 一1 2 j 2 ) d ( z ) 赤石讯) 吲马，0 ) ( 砷1 斗1 2 ) 州z ) c 7 h t 9 ( a ) i i ： c 乃i | 2 l l 厶幢 c j j 弓j | 2 定理2 若马：b m o a b m o a 是有界算子，则乃( v m o a ) cv m o a 证明设乃在b m o a 是有界的，由定理1 知， 吲s u 叩p ， 譬如愀圳2c ，坩涉) 小品 则根据消没c a r l e s o n 测度的定义及命题5 得，g v m o a 因为t g ( 1 ) = 9 ( z ) 一夕( o ) ，乃把常值函数映入v m o a 设川1 ，因为( ，) ( z ) = 詹z f ( t z ) d t ，由分部积分得 t g ( 柙= 小矿t r g ( t z ) 出 = z i a i t l 。lz g z ( t ) d t = z i 口i t l q i g 。( ) l ：一i q l 1t l a l 一1 9 ：( t ) d t = z l 。 g z ( 1 ) 一川z 叫少1 9 ( t z ) d t = z f a l 9 ( z ) 一i q o 观口i 一1 9 ( z ) ， 1 3 第四章主要定理及证明 由乘子z 和积分算子的有界性知，t g ( z 。) v m o a 所以对任意的多项式p ，有毛p ) v m o a 对任意，v m o a ，存在多项式序列 p m ) ，使得| i ，一p m 队一0 ，m o o 又由 i i 马( ，) 一弓 仇) 1 1 + = i i t o ，( ，一p m ) l i + l l 马i ii i 一p m 0 。， 得到 i i 乃( ，) 一马0 r n ) 队一0 ，m _ 因为v m o a 是闭的，所以弓( ，) v m o a 空间b m o a 与v m o a 的一个重要性质是其与h a r d y 空间日1 的对偶性 在积分配对 = 1 1 毋，( 7 e ) ( ( ) 打( e ) ， r 。1 ，s n 下，对，h 1 ，h b m o a ，有旧1 ) + 皇b m o a ；对，v m o a ，h h 1 ，有 v m o a + 竺日1 设g 是一个符号使得马在v m o a 有界，如是马的共轭算子，由上结论 可知其作用在日1 上，又设a ；是如的共轭算子，同理它作用在b m o a 上 那么对任意，v m o a ，h h 1 ，有 = = = = 因为v m o a ”= b m o a ，所以弗作为b m o a 上的算子，有a ；= 马 故毛在b m o a 上有界 结合定理2 ，我们得到下面的推论 推论1 下列条件等价 ( 1 ) 马在b m o a 有界； ( 2 ) 乃在v m o a 有界； ( 3 1 e 等吕。1 ) 翼岛水) l 哟( 圳2 ( 一h 2 ) 咖( 2 ) ) 1 4 第四章主要定理及证明 为了得到马在b m o a 上的紧性，我们引入对数c a r l e s o n 测度的概念 设p 是晶上有限的正b o r e l 测度， ( 1 ) 如果 淄s ( 1 0 9 罢0 ) 2 掣 0 ，存在 叩( 0 ，1 ) ，使得当6 ，7 时，有 1 l o g 产22 弘( 骗( ( ) ) e 则 l 0 9 2 南厶p ( 舡( z ) 一9 2 南( l + k 抵，) 脚州 1 5 第四章主要定理及证明 先看以因为对z b n q 叼( ( ) ，有1 1 一 i 2 r ， 所以 如= 蚍2 南厶协篇嘶， 菩( 1 刊i 0 9 2 南炳) _ 0 ，l a i 一1 下面估计 令( = a l l a l ，5 k = 2 k ( 1 一i a l ) ，k 1 ， 设q o = 毋， q 知= q 6 。( e ) = z b n ：1 1 一 l 2 k + l ( 1 一l o i ) 】，k = 1 ，2 ，k ， 其中k = k ( a ) 是满足叩 2 k ( 1 一i o i ) 1 的最小自然数 当z q k q k 一1 时， 2 k ( 1 一i a l ) 1 1 一 i 2 k + l ( 1 一i n i ) ， 由 我们得到， 1 一 = 1 一l a l = 1 一 + - l a i = 1 一 + ( 1 一i n i ) 其中k = 1 ，2 ，k 于是有 1 一 i 2 k ( 1 一l o i ) 一( 1 一i a l ) 2 七一1 ( 1 一l a l ) ， 尝1 za 2 而2 2 k 一 i 2 ( 1 一| n 1 ) 1 6 第四章主要定理及证明 乞彬，p c 。翻咖c 名，= k 三- i 二。、饥一。p c 口一咖c z ，+ 厶槲，旧k 一，p c n 咖c z ， 南篆刍# ( q k q t 。- i ) + 南赤俐叭叫 南篆刍舞+ 南赤最 尚叁刍舞 于是 由2 知( 1 - 1 得，2 k + i l o g 而2 ( 1 + l o h g 鼍三1 ) 1 ， 2 2 而1 昭f 雨 k 以 侠去( + 1 ) 2 k = l 。 ，。o ( k + 1 ) 2 侠等 k = l 。 0 ，存在r ( o ，1 ) ，使得当， j a l 1 时，有 ，嚣忌，1 0 9 2r 厶p ( 。，z ) 舡( z ) e ， 由引理3 得， l y k ( 。) l c l o g 南，。 已知 ) 在b m o a 有界，所以 s u p i ( n ) 1 2 p ( o ，z ) 咖( z ) 鲴r 眦l a p l l l0 9 2 南厶p ( n ，力批o )1 一f o f ，& c l e ； ( 4 1 ) 当h r 时，因为 ) 在既内闭一致收敛于0 ，从而当k 充分大时， 再由命题1 有 i 罂厶i a ( n ) j 2 p ( 。，z ) 批( z ) e s u p ，p ( a ，z ) 咖( z ) l a l rj b n q ( 弘) e 结合( 4 1 ) ( 4 2 ) ，得到 。l i m supi(a)lp(a，2)咖(z)=0io - - - | o o a e b nj b n 则 ( o ) i 0 ，存在7 ( 0 ，1 ) ， 使得胁= 肛i 碗，文是c a r l e s o n 测度，且n ( u r ) e 设 - 是b m o a 中的有界序列且满足在玩中内闭一致收敛于0 固定a 玩，令g k , a ( z ) = ( a ( z ) 一a ( o ) ) p m ( o ，z ) ，由命题3 知，其是日2 中 的有界序列，且其日2 范数与a 无关 所以 ， s u p i a ( z ) 一九( n ) j 2 p ( n ，z ) 咖( z ) a e b njb n r b n ， = s u p i a ( z ) 一a ( a ) 1 2 p ( o ，名) d 胁( 名) a e b n ，b ” cs u p ( 胁) l l g k ，o 幢 a e 魄 c e ： 因为 ) 在玩中内闭一致收敛于0 ，则当k 足够大时，根据命题1 有 s u p _ i a ( z ) 1 2 p ( o ，z ) 础( 名) es u p _ p ( a ，名) 毗( 名) a e r b nj r b n e 厂) e ， 又由引理5 知， s u p _ i a ( a ) 1 2 p ( o ，z ) 咖( 名) c l o g 瓦2 得 阢| 2 ( 1 0 9 南) 1 ( c 魄期2 = c 2 ( ，。g 拼 所以有 此与假设矛盾 警慨m 一 引理6 ( 【2 】) 赋范空间x 上的线性算子t 是紧的，当且仅当对任意弱收 敛于0 的序列 ) ，有l j t a i i 一0 t 定理4 乃在b m o a 上是紧算子的充要条件是 i i 力“ 出一 、， ) 加 9 r 厂如 n i | d 一 萨万 b m 加 h 扣 芷 成致一岛对 第四章主要定理及证明 证明因为在自反b a n a c h 空间上，序列弱收敛当且仅当其范数有界， 且内闭一致收敛于0 故由引理6 ，乃是b m o a 上的紧箅子的充要条件是，对 b m o a 上任意的弱收敛有界序列 ) ，有l i 马( ) 忆一0 ，k o o 因为+ t g ( f k ) l l + = n s u 取p ， 豌i r ( 乃 ) ( z ) 1 2 ( 1 一i z l 2 ) p ( n ，z ) 咖( z ) = s u p l ( z ) 1 2 r g ( z ) 1 2 ( 1 一i z l 2 ) p ( o ，z ) d u ( z ) ， a e b nj b “ 记d 如( 2 ) = i r g ( z ) 1 2 ( 1 一i z l 2 ) 咖( z ) ，则由定理3 即得结论成立 推论2 下列条件等价 ( 1 ) 在b m o a 是紧的； ( 2 ) 乃在v m o a 是紧的； ( 3 ) l i 卟- 1 0 s 2 南mi n g ( 圳2 ( - 荆) 咎筹舞酬牡。 证明因为v m o a 作为b m o a 的子空间，其有相同的范数，故由死 在b m o a 的紧性可得乃在v m o a 是紧的；又若马在v m o a 是紧的，则由 巧+ v m o a = 蜀知其在b m o a 是紧的 2 1 参考文献 参考文献 【1 】史济怀，多复变函数论基础，高等教育出版社，1 9 9 6 【2 】张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，高等教育出版社， 1 9 8 7 3 周民强，实变函数论，北京大学出版社，2 0 0 1 4 】w r u d i n ，f u n c t i o nt h e o r yi nt h eu n i tb a l lo f 伊，s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ， 1 9 8 0 5 k h z h u ，o p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o ns p a c e s ，m a r c e ld e k k e r ，n e wy o r k ， 1 9 9 0 【6 】k h z h u ，s p a c e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si nt h eu n i tb a l l ，s p r i n g e r ，2 0 0 4 7 】j g a r n t e e ，b o u n d e da n a l y t i cf u n c t i o n s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 8 1 【8 】p l d u r e n ，t h e o r yo fh ps p a c e s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 0 【9 】c c c o w e na n db d m a c c l u e r ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so ns p a c e so fa n a l y t i c f u n c t i o n s ，c r cp r e s s ，b o c ar a t o n ，f l ，1 9 9 5 【1 0 】a a l e m a na n dj c i m a ，ai n t e g r a lo p e r a t o ro nh va n dh a r d y si n e q u a l i t y , j a n a l m a t h ，8 5 ( 2 0 0 1 ) ，1 5 7 - 1 7 8 1 1 】a a l e m a na n da g s i s l m k i s ，ai n t e g r a lo p e r a t o ro nh p ，c o m p l e xv a r i a b l e s ， 2 8 ( 1 9 9 5 ) ，1 4 9 - 1 5 8 【1 2 a a l e m a na n da 。g s i s k a k i s ，i n t e g r a t i o no p e r a t o r so nb e r g m a ns p a c e s ，i n - d i a n au n i v m a t h j ，4 6 ( 1 9 9 7 ) ，3 3 7 - 3 5 6 【13 】a g s i s k a k i sa n dr h z h a o ，av o l t e r r at y p eo p e r a t o ro ns p a c e so fa n a l y t i c f u n c t i o n s ，c o n t e m p o r a r ym a t h ，2 3 2 ( 1 9 9 9 ) ，2 9 9 3 1 1 ( 1 4 a s i s k a k i s ，c o m p o s i t i o ns e m i g r o u p sa n dt h ec e s d r oo p e r a t o ro nh v ，j l o n - d o nm a t h s o c ，3 6 ( 1 9 8 7 ) ，1 5 3 1 6 4 参考文献 f 15 】a s i s k a l d s ，s e m i g r o u p so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r so ns p a c e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s ，ar e v i e w ，c o n t e m p o r a r ym a t h ，2 1 3 ( 1 9 9 8 ) ，2 2 9 - 2 3 2 【1 6 】b m a c c l u e ra n dr h z h a o ，v a n i s h i n gl o g a r i t h m i cc a x l e s o nm e a s u r e s ，i l l i - n o i sj m a t h ，4 6 ( 2 0 0 2 ) ，5 0 7 - 5 1 8 【17 z j h u ，e x t e n d e dc e s 矗r oo p e r a t o r so nt h eb l o c hs p a c e si nt h eu n i tb a l lo f c n ，a c t am a t h s c i ，2 3 b ( 2 0 0 3 ) ，5 6 1 5 6 6 1 8 】z j h u ，e x t e n d e dc e s d r oo p e r a t o r so nb e r g m a ns p a c e s ，j m a t h a n a l a p p l ，2 9 6 ( 2 0 0 4 ) ，4 3 5 4 5 4 【1 9 】j x i a o ，r e i m a n n s t i e l t j e so p e r a t o r so nw e i g h t e db l o c ha n db e r g m a ns p a c e s o ft h eu n i tb a l l ，j l o n d o nm a t h s o c ，7 0 ( 2 0 0 4 ) ，1 9 9 - 2 1 4 【2 0 s s t e v i 6 ，o na ni n t e g r a lo p e r a t o r so nt h eu n i tb a l li n 伊，j i n e q a p p l ，1 ( 2 0 0 5 ) ，8 1 8 8 【2 1 】s x l i ，r e i m a n n - s t i d t j e so p e r a t o r sf r o mf ( p ，q ，s ) s p a c e st oq b l o c hs p a c e s o nt h eu n i tb a l l ，j i n e q a p p l ，2 0 0 6 ( 2 0 0 6 ) ，l 一1 4 【2 2 】w s y a n g ，c a r l e s o nt y p em e a s u r ec h a r a c t e r i z a t i