（应用数学专业论文）半直线上奇异微分方程三点边值问题.pdf

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s c h a u d e r 连续定理，得到了其解的存在性本文则增 加了非线性项奇异f l l 变号，且对于，的限制条件进一步减弱，利用不动点指数理 论得到了正解的存在性，解决的问题更广泛，所以本文是对半直线上二三点边值问题 正解存在性理论的发展，具有霞要的理论意义和应用价值。 在研究，t 述l 口j 题正解存在性时，丰要参考了文 2 0 ，2 1 ，2 4 ，2 5 我们首先研究了 山东师范大学硕上学位论文 问题( 1 ) 的正解不存在时的情况，然后分别讨论了，在z 7 = o 奇异但在z = 0 不 奇异时正解的存在性，以及在o = 0 和z = 0 都奇异时正解的存在性研究方法 是首先构造适当的积分算子，然后提出新的条件克服奇异和变号，利用不动点指数 理论得到所研究方程的近似解，其极限就是原方程的解 在第二章中，我们给出了半直线上微分方程三点边值问题 ， lz + n ( ) ，( ，z ) = o ，o + 。， ( 2 ) 1z ( o ) = a z ( 叩) ，。l i 碑z 7 ( ) = o ， 、 十 正解存在的简单判定准则，其中o 0 ： 1 ，7 7 ( 0 ，+ o 。) 在文 1 9 中b i n gl i u 研究了如下方程 ， i 以) + n ( ) ，( 可( ) ) = o ，o 1 ， 气 i 可7 ( o ) = o ，可( 1 ) = 夕可( 叩) 一个及多个正解的存在性这里我们将问题推广到无穷区间来研究 为了克服区间的无界性给我们造成的困难，我们构造了极限函数 ，厶和，o ，o o 对于非线性项奇异所造成的困扰，我们则提出新的条件加以解决值得指出的是引 理2 1 4 的证明为我们以下的讨论提供了重要的理论条件 首先，我们在厂o = 0 ，晟或者 = ，= 0 的条件下，得到了问题( 2 ) 至 少一个正解的存在性然后，在知= 。= 。o 或者，o = ，。= 0 的前提下，给 出了问题( 2 ) 两个正解的存在性条件接着，我们给出了知，厶，o ， 0 ，o 。 时，问题( 2 ) 正解存在性的判别准则最后，我们给出例子来进行说明在研究七 述问题时，我们主要利用的是锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理 关键词：三点边值问题，奇异性，变号，不动点指数，正解 分类号： 0 1 7 5 8 2 山东师范大学硕士学位论文 t h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hs i n g u l a r i t yo na h a l fl i n e j i 玎y a nz h o u i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a 七h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t yj i n a n ， s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t s e c o n d o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v p s ) o ni n 丘n i t ei n t e r v a l s ，a r i s i n gf r o mt h es t u d yo fr a d i a l l ys y m m e t r i cs o l u t i o n so fn o n - l i n e a re 1 1 i p t i ce q u a t i o na n dm o d e l so fg a sp r e s s u r ei nas e m i i n f i n i t e p o r o u sm e d i u m 【l | ，h a er e c e i v e dm u c ha t t e n t i o n ，s e e 【1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 7 ，2 9 ，3 0 】 a n dt h er e f b r e n c e st h e r e i n m u l t i p o i n tb o u n d a 叮v a l u ep r o b l e m so fs e c o n d _ o r d e rl i n e a rd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n so naf i n i t ei n t e r v a l r e r e i n i t i a t e d b yv a i l i n a n de i m o i s e e v 【1 0 ，1 1 】a n d 七h r e e p o i n tb v p so fn o n l i n e a rd i h e r e n t i a le q u a t i o n sw e r es t u d i e db yc p g u p t a 【1 2 ，13 1 s i n c et h e n ，m o r e g e n e r a ln o n l i n e a rm u l t i p o i n tb v p so nf i n i t ei n t e r v a l sh a v eb e e nd i s c u s s e de x t e n s i v e l y 【1 4 18 1 t h em e t h o d st h e r e i nm a i n l yd e p e n do n t h el e r a y s c h a u d e rc o n t i n u a t i o nt h e o r e m ，c o i n c i d e n c ed e g r e et h e 卜 o r y h o w e v e r ，f e ww o r k sa r ed o n ef o rs e c o n d o r d e rm u l t i p o i n tb v p s o na ni n f i n i t 百i n t e r v a la n dt h e s er e s u l t sa r em o s t l yo nfw i t h o u t s i n g u l a r i t y l 2 0 ，29 | f i e wp a p e r ss t u d ye x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf 6 r 3 山东师范大学硕士学位论文 t h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ni n f i n i t ei n 七e r v a l sw h e nn o i 卜 1 i n e a r i t yd e p e n d so nz 7a n dm a yc h a n g es i g na n dm a yb es i n g u l a r 1 、o f i l lt h eg a pi nt h i sa r e a ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es 0 1 u t i o n s f 6 rt h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nh a l f 1 i n e ，u s i n g 七h ef i x e d p o i n ti n d e xt h e o r y t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w es t u d y t h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u e h a l f - l i n ea sf o l l o w s t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r p r o b l e m sf o rd i 髓r e n t i a le q u a t i o n so n w h e a 土z w h e r eq 1 ，叩( o ，+ o o ) w i t ht h eh e l po ft h ee s t a b l i s h e dg r e e n f h n c t i o na n dt h el e r a i y s c h a u d e rc o n t i n u a t i o nt h e o r e ms u i t a b l ec o i 卜 d i t i o n si m p o s e do nf ( w h e r ei ，( 亡，u ，秒) i p ( 亡) l 钆i + g ( 亡) i 口i + r ( 亡) ) a r e p r e s e n t e df 6 rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s i nt h i sp a p a r ，、ec o n s i d e r t h ec a s et h a 土fm a yb ec h a n g es i g na n d s i l ：i g u l a r u s i n gt h e6 x e dp o i n t i n d e xt h e o r yo nac o n e ，w ed i s c u s st h ee x i s t e l l c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s 4 山东师范大学硕士学位论文 w i t hl e s sc o n d i t i o n si m p o s e do nf s oi t su s e dm o r ew i d e l yt h a nt h e p a s s a g ea b o v ea n di t i st h ei m p r o v e m e n to ft h e o r yf o re x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h r e e p o i n tb o u n d a 巧v a l u ep r o b l e m s i th a sa g r e a i tr o l ei nt h e o r ya n dp r a c t i c e s o m ei d e a sc o m e 仃o m 2 0 ，2 1 ，2 4 ，2 5 】a n dr e f e r e n c e st h e r e i n t h e d a d e ri so r g a n i z e da sf l o u o w s f i r s t l v ，w es t u d yt h en o n e x i s t e n c eo f d a p e rl so r g a n l z e da st o 儿o w s 上1 r s t l y ，w es t u d yt n en o n e x l s t e n c eo t p o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 ) ，t h e nw ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v e s 0 1 u t i o n sw h e nfi ss i n g u l a ra 七z = ob u tn o ta l tz 7 = oa n ds i n g u l a r b o t ha tz = oa n dz 7 = 0 t h em e t h o dw eu s e di sf i r s t l yc o n s t r u c t i n g p r o p e ri n t e g r a lo p e r a t o r sa n du s es o m en e wc o n d i t i o n st oo v e r c o m e t h es i n g u l a r i t ya n ds i g nc h a n g i n g f i n a l l y u s i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e x t h e o r yo nac o n e ，陀c o n s i d e rt h es e to ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s a n do b t a i nac o n v e r g e i l ts u b s e q u e n c e t h el i m i ti sap o s i t i v es o l u t i o n f o re q u a t i o n ( 1 ) i nc h a p t e r2 ，w ee s t a b l i s hs o m es i m p l ec r i t e r i o 璐f o rt h ee x i s t e n c eo fs i n g l ea n dt w op o s i t i v es o l u t i o n so ft h et l l r e e p o i n tb v p f o r d i f k r e n t i a le q u a t i o n so nh a l fl i n e z + 口( ) ，( 亡，z ) = 0 ，0 亡 + o o ， z ( o ) = q z ( 7 7 ) ，。1 i 翟z 讹) = o ， _ + 0 0 w h e r eo q 1 ，7 7 ( o ，+ o o ) ( 2 ) i n 1 9 】，b i i l gl i u s t u d i e dt h ee x i s t e n c eo fs i n g l ea i l dm u l t i p l ep o s a 山东师范大学硕士学位论文 i t i v es o l u t i o n st ot h et h r e 争p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma sf o l l o w s 分( 舌) + 口( 亡) 厂( 夕( 亡) ) = 0 ，o 亡 f i n a l l y ，w eg i v es o m ee x a m p l e st oi l l u s t r a t eo u rr e s u l t s w h e nw es t u d yt h ea b o v ep r o b l e m s ，w em a i n l yu s e dt h ek r a s n o s e l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e mi nac o n e k e y 、v o r d s ：t h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，s i n g u l a r i t y ， s i g nc h a n g i n g ，行x e dp o i n ti n d e x ，p o s i t i v es 0 1 u t i o n s 6 c l a s s i f i c a t i o n ： 0 1 7 5 8 山东师范大学硕士学位论文 静士 日i j昌 半无穷区间上二阶边值问题起源于对非线性椭圆微分方程对称径向解以及半 直线上中间多漏洞的煤气压力模型的研究【l 】现在人们越来越关注半无穷区间边值 问题正解的存在性，并取得了许多优秀成果，参见文 1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 7 ，2 9 ，3 0 及相关文 献 有限区间上二阶线性微分方程多点边值问题是由v a i l i n 和e i m o i s e e v 【1 0 ，l l 】 提出的然后c p g u p t a 1 2 1 3 j 针对二阶三点边值问题进行了研究此后，许多学 者对非线性无穷区间多点边值问题相继发表了大量的研究成果【1 4 - 18 l ，采用的方法 主要有l e r a y s c h a u d e r 连续定理和迭合度理论等但目前关于半直线上多点边值 问题的文章很少，且研究的大多是非线性项，无奇异时正解的存在性f 2 0 ，2 9 i ，非线 性项既依赖于一又奇异变号的文章尚不多见针对这个现状，本文主要利用不动 点指数理论研究了无穷区间上三点边值问题( 1 ) 正解的存在性全文共分两章 在第一章中首先研究了问题( 1 ) 的正解不存在时的情况，然后通过构造适当的 积分算子，利用不动点指数定理得到问题( 1 ) 在菲线性项奇异且变号的情况下其正 解的存在性 在第二章中，我们构造了极限函数厶，厶和广，o o ，首先在，o = o ，厶或 者如= o 。，厂= o 的条件下得到了问题( 2 ) 至少一个正解的存在性，然后在 局= 厶= o 。或者，o = 广o = o 的前提下得到了问题( 2 ) 两个正解的存在性条 件最后，我们给出了矗，厶，厂o ，广。譬 o ，o 。 时问题( 2 ) 正解存在性的判别准则 在研究上述问题时，我们主要利用的是锥上的k r a s n 0 8 e l s l c i i 不动点定理 7 山东师范大学硕士学位论文 第一章半直线上非线性项依赖于导数的三点边值问题的正 解 1 1引言及预备知识 利用锥上的不动点指数理论，本文主要研究了奇异三点边值问题( 1 1 1 ) 正 解的存在性 iz ( ) + o ( ) ，( t ，z ( ) ，z 7 ( ) ) = o ，o z 1 ，、 ( 1 1 1 ) lz ( o ) = q z ( 7 7 ) ，。l i 璎z 7 ( ) = o ， 其中o q 1 ，? 7 ( 0 ，+ 。) ，在z = 0 和= 0 处奇异 文献 2 0 】中，h a i r o n gl i a n ，w b i g a 0g e 研究了半直线上三点边值问题 ， lz + o ( ) ，( ，z ，z 7 ) = o ， o + o o ， i z ( o ) = 乜z ( 7 7 ) ， 。l i 理z 7 ( ) = o ， 其中q 1 ，0 0 8 山东师范大学硕：t 学位沦文 简记为c 巴 令 p = z c 丧【o ，o 。) ：z ( ) o ，z 7 ( ) o ，v o ，。c ) ， 由文 2 2 2 3 易知c 乞是一个b a n a c h 空间且p 是c 乞中的锥 引理1 1 1 f 2 1 】设( ) 是定义在 o ，。) 上的连续函数，i n f 咖( ) o 且l i m 掣= c ，u+ 。 1 ，则存在常数k o 使得对于任意z ( ) 及z 7 c o ，o 。】有 炬器，黜掣+ k ( f ) 且熙器= z 7 ( 。) 引理1 1 2 【2 2 】 设m c 0 ，+ o o 】，则m 在c 0 ，+ o 。】上相对紧当且仅当其 在c 【o ，+ o o 上有界且在 o ，。o 】的每点都连续； ( o ) s u p l i z l l ：z m ) o ，都存在幻的一个邻域，使得对于任意的 ，z m 有i z ( ) 一z ( 幻) i 0 ； ( a 2 )i 厂( ，钆，z ) l 危( 乱) 9 ( z ) ，其中，c ( ( o ，+ ) 【o ，+ o 。) 2 ，r ) ，危，9 c ( o ，+ ) ，r + ) 且在( o ，+ 。o ) 连续； ( a 3 ) 后焘= + o o ，z ( o ，+ 。o ) 且付。( s ) 。二罢瓢。) ( z ) d 3 0 恒成立 定理1 2 1 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立，则( 1 1 1 ) 不存在正解 证明假设z o ( ) 是( 1 1 1 ) 的一个正解，则有 iz ：( ) + n ( ) ，( ，知( ) ，z ；( ) ) = o ，o o ( 否则z ；( ) o ，( o ，+ ) 有 z o ( 0 ) = q z o ( 叩) t o i z 6 ( s ) o ，v s o ，】 ，显然+ o o 且硝( ) o ，耽 幻，矿) 若扩 o ，使得m a ) 【 z o ( o ) ，硝( ) ) m ，耽 ( o ，+ ) ，则有 o z o ( ) = z o ( o ) + z ：( s ) d s m ( 1 + ) ，v ( 幻，+ ) 。 ( 1 2 1 ) 又若+ = + o 。，则由1 i 雹z ：( ) = o ，同样可得存在一充分大的m 0 使得( 1 2 1 ) 成立 由( a 2 ) 可得 一z ：( ) n ( ) i ，( ，z o ( ) ，z ；( ) ) i o ( ) ( z o ( ) ) 9 ( z ：( ) ) ，v t ( o ，+ ) ， 于是有 淼纠啪) ， 耽咄( 1 2 2 ) 对( 1 2 2 ) 从o 到积分有 嚣高肛州圳吲 1 0 山东师范大学硕上学位论文 令_ 矿可得 + = f ：。斋片。( s ) 危( z 。( s ) ) d s 铲口( s ) 。s z 璺精+ 。) ( z ) d s 0 ； ( 凰)i 厂( ，札，z ) i 危( 钆) g ( 名) ，其中，c ( ( o ，+ 。o ) o ，+ 。o ) ( o ，+ o c ) ，r ) ，危( u ) o 且在 o ，+ o o ) 连续，9 ( 名) o ，且在( o ，+ 。o ) 连续，对任意c 1 有廿n ( s ) 。 曼怒。1j z ( z ) 如 l ， 其中，( z ) = 岳鼎 0 满足厂( ，u ，z ) 卢( z ) ，v ( ，u ，z ) 【o ，+ 。o ) 0 ，+ o o ) ( o ，司 对于任意礼 1 ，2 ，) ，z p ，定义算子 ( 删归击z ”叫。，佃时抓丁一r ) j | 以丁) l + 扣d s + z 。m a x 。，+ 。( 丁) ，( 丁，z ( 丁) ，i z 7 ( r ) i + 丢) 打 如 引理1 3 1 假设( 日1 ) 一( 鹄) 成立，则对上述算子有a 礼z 尸且a ：尸_ p 是连续且完全连续算子 证明对v z 尸，有 ，c osz ( ) = z ( o ) + z 7 ( s ) d s z ( o ) + 圳z | i ( 1 + ) i l z i l ，v o ，+ 。) j o 由( 凰) 可得 l ，( 7 ，z ( 丁) ，i z 7 ( 7 ) i + 去) i ( z ( 7 - ) ) 9 ( i z 7 ( 丁) i + 7 去) ( z ( 丁) )s u p9 ( 2 ) ，( 1 3 1 ) 丢：i i z | i + 击 1 2 山东师范大学硕士学位论文 结合( 凰) 有 且 。( 删= 击z 7 一 o 佃m 小郴凇协) i + 扣如 + z 叫。，r咖) m ，如) | 川丁) l + 丢) 打) 如 击z 刁佃w m ) 1 i 以删+ 扣d 3 + z 。+ i n ( 下) ，( f ，z ( 丁) ，i z 7 ( 丁) i + 丢) i d 丁幽 0 ，满足i l z 仇i l m 对任意m 成一证 ( 且f | z o i i m ) 由基本不等式lm a ) 【 o ，u 一m a x o ，秽 f l 札一u f ，可得 f ( a n ) 7 ( ) 一( a 几z o ) 7 ( ) 口( 丁) 叭丁而( 丁) ，| z 名( 丁) l + 丢) 一m 砌凇：( 丁) i + 丢) j 打 。( 刊竹( 味l z 乞( 丁) i + 丢) 一m 砌( 吐j ( r ) l + 丢) 类似( 1 3 1 ) 可得 l ，( 7 一，z 。( 7 - ) ，i z 幺( 7 ) l + 丢) 一，( 7 ：z 。( 7 ) ，l z ：( 7 - ) f + 去) l 2 j z ( z )s u p9 ( ：) ， 击5 。0 2 0 + 击 1 3 + + ，z 是有界的由愉堋) l r 。( s ) 峰搿+ 。) 如丢婴+ 击夕( 名) 易知( a n z ) 7 ( z 秒 ( a n z ) 7 ( ) = m a x 0 在 i l _ 。点连续下证其在任意o 0 ，) 连续事实上，由 1 口( s ) ，( s ，z ( s ) ，坝s ) i + 砉) d s 0 ( s m s s ) ，( s ) l + 扣+ f 巾小s s ) 1 州s ) l + 扣 司得 ，幻1 i ( a z ) 他) 一( 九。) 他。) l 0 ，( 0 ，+ 。) 证明由，_ 1 和，的连续性，取r 1 及0 l ， ( 1 3 2 ) ( 器+ 1 ) j 一1 ( 讹) + 时。( s ) 峰辫+ 。) d s ) 、 伽 l ，2 ， 满足击 m i n e ， ，且设o = 伽，佗o _ 卜1 ， 由引理1 3 1 知对任意n 0 ，l n ：p p 是全连续算子 令 q l = z c 也( o ，+ o c ) ：i i z i l o ， t o ，+ 。o ) 设b = ( o ，+ 。) i 瑶( s ) o ，s 【，+ 。) ) 显然亡o b ，故b 是非空 的设+ = i n f ( o ，+ ) l z ；( 3 ) o ，s 陆，+ 。c ) 下证t 4 = o ，也就是对于 ( o ，+ 。) ，z ：( ) 0 ，即 o o ，则z j ( 圹) = o 且对于( ，+ 。) ，z 3 ( ) o ，即 o z ：( ) = 肋m a x o ，i 厂+ 口( s ) ，( s ，z 。( s ) ，i z ；( s ) i + 丢) d s o z ：( ) = 肋m a x o ，口( s ) ，( s ，z o ( s ) ，瞄( s ) i + 三) d s -， = 弘。+ n ( s ) ，( s ，z 。( s ) ，z ：( s ) + 丢) d s ，( + ，+ o 。) 又去 讲 ( 1 3 5 ) ；，z ；( ) 在+ 连续，故存在一个；( + o ，对于【o ，+ ) ，有z o ( t ) o 对( 1 3 4 ) 微分， z ； ) + 肋。o ) ， ，z “幻，z ； ) + 丢) = o o 。 + 。； ( 1 3 6 ) 【z o ( o ) = d z o ( 7 7 ) ，z i ( + 。) = o 所以 一z 5 口( 亡) 巾，孙( ) ，z + 云) 口( m ，。( t ) ，z + 云) l a ( 帅( z 。( ) ) 9 ( z 搁+ 寺) ，v ( o ，+ o 。) ；乏器。()危(z。()，v(。，+o。) 从到+ o 。积分有 搀) + ) 佃巾m 州s ) ) 如等r 巾) 哟燮甜d s 且 堆搀) + 扣心) + 厂巾) 峰猕删油 1 6 z ：( ) ，一1 ( ，( ) + z + o o 口( s ) 。z 萎嚣奄+ 。) ( z ) d s ) ( 1 3 7 ) d 1 一佗 zzs ，j m “ l 一仃 + 一 咕卅厂如 0 + 瞄 幽 我三n “ + z ) ， s s ，l ，j z 0 曲0 ，a 。 孙f 弛 仉 曲 山东师范大学硕士学位论文 所以有 和 于是 醐) = 击z ”球帕 击p + 厂0 ( s ) 0 z 猕) = 墨一卅厂0 ( s ) 0 z 搿删 如( 。) 2 铷( o ) + 上z 出 厂 z o ( o ) + 九( z ) d s ) 纩+ 厂巾) 0 o ，( o ，+ o 。) ，且 圳= 厂0 ( s 洲小) + 扣扎州( o 问) z ：( ) = o ( s ) ( s ，z n ( s ) ，z ：( 3 ) + 三) d s ，扎a 七，( o ，+ 。) ， 。 ( 1 3 1 0 ) 1 7 山东师范大学硕士学位论文 考虑 z 乞( ) ) n 0 ，因为| j z n l | r 1 ，有 z ：( ) 在( o ，+ 。) 一致有界 类似( 1 3 6 ) 的证明可得 ，z z ( ) + 。( ) ，( ，z n ( ) ，z ：( ) + 击) = o ，o o ，如果1 ，2 o ，丁】，且1 2 ，我们有 阶+ 寺) 一+ 寺) l 冬z 。n ( 。) 。z 茹卅九( 撒 11，c 2 由( 1 3 1 2 ) 可得 一z = n ( ) 邢，z 佗( ) ，z + 云) i o ( ) 弛，z n ( ) ，z + 寺) l a ( 删( z n ( ) ) 夕( z + 寺) ，v t ( o ，+ o 。) ， 和 z = 一o ( ) m ( ) ，z + 寺) i 。( t ) 作，z n ( t ) ，z + 寺) i 。( 删( z n ( ) ) 9 ( z + 云) ，v ( o ，+ 。) - 于是有 丽蔫 o ，满足 l ，一1 ( s 1 ) 一，一1 ( s 2 ) l 0 ，满足 i ：l ( 2 ) + 云) 一：( 1 ) + 云) l s 7 ，v i 1 一2 i d 7 a f 2 0 ，卅 ( 1 3 1 7 ) 由( 1 3 1 6 ) 和( 1 3 1 7 ) 可得 11 嘲2 ) 一( t ) i = 姒2 ) + 寺一( z 飘) + 寺) i = i 一1 ( ，( z ：l ( 幻) + 寺) ) 一，一1 ( ，( z ：( 1 ) + 寺) ) 1 0 ，满足 l j ( z ：( 亡) + 丢) 一j ( 丢) i 0 ，存在t ( ) 0 ，当z 丁( ) 时，我们有 f z m z 二( + o 。) l = i z + 丢一( z ：( + o 。) + 三) f = i ，一1 ( ，( z ：l ( 2 ) + 三) ) 一，一1 ( ，( 丢) ) i 0 ，z n ，( ) 0 ，( 0 ，+ o c ) ，j 1 ，2 ， ，且z n ，p 所以z o ( o ) = f o o ，z ；( ) = ( ) = 1 i 攀z ：，( ) o 下证z ；( ) o ，( o ，+ 。) 因为( ) 在= + o 。连续和。l i 理z 3 ( ) = o ，存在 。，o 。 o ， 幻，+ o 。) 记玩= t o ，+ 。) ( s ) o ，s ，+ o 。) ) ，因为幻玩，所以玩是非空 的设+ = i n f ( o ，+ o 。) i z ；( s ) o ，s 厶+ o o ) 下证矿= 0 假没+ o ，则z ：( + ) = o 且z 6 ( ) o ，( 六+ ) z ：( ) 在+ 连续保证了存在t ；，+ ； 0 又因z o ( o ) o ，则z o ( ) o ， o ，+ o 。) 于是 黔黜jz ( s ) ，置( s ) i o ，。 1 ，+ 。) ， 磐置岛z ( s ) ，惑栌( s ) i ) o ，。( o ，1 2 0 山东师范大学硕士学位论文 因为 z 乇( ) 一z z ( 1 ) = 一，。( s ) - 厂( s ，z 唧( s ) ，z ( s ) + 去) 如，( 。，+ 。) ， 设j _ + o 。，由l e b e s g u e 控制收敛定理可得 z ；( ) 一z ：( 1 ) = 一o ( s ) ，( s ，z o ( s ) ，z ：( s ) ) d s ，( o ，+ o o ) 直接微分有 z ：( ) + 口( ) ，( ，z o ( ) ，z ；( ) ) = o ，o 亡 1 + 玩0 m 1 ，0 口 0 ，0 6 l l t t j、 t - k d u 1 + 9 ( u ) 南a u + 【l + 夕( 札) 一。1 3 + 札一8 3 + u 一8 3 + u 一8 机+ l l l + g ( 札) 3 + 乱n 砒+ 。击d u 砒+ l n 半， 危( z ) d s = z 1p s m ( 1 + c 6 ( 1 + s ) 6 ) d s + o 。 对任意选定的c 0 ，我们取弘足够小，可使得 ，( c l q q 7 7 + l q p s 一亿( 1 + c 6 ( 1 + s ) 6 ) d s 1 山东师范大学硕：t 学位论文 1 4，在= o 和z = o 都奇异时正解的存在性 本节我们假设，在一= o 和z = 0 处都奇异且下列条件成立 + o 。： ( p 1 )n ( ) c 【o ，+ o 。) n l l o ，+ 。) ，o ( t ) o ，【o ，+ 。) ，设l l 口o =；u p