（应用数学专业论文）含杂质ginzburglandau超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系.pdf

含杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 中文提要 中文提要 本文研究含杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚 度之间的关系，并得出了如下结果： 1 ) 当导体材料的体积不大于超导体材料的体积时，该模型在充分小的 外加磁场下，总存在非平凡解 2 ) 当导体材料的体积大于超导体材料的体积时，存在一个临界值矿 如果g i n z b u r g - l a n d a u 参数k k ，则在任意的外加磁场下，该模型只有平 凡解；而如果k k ，则存在一个临界磁场h + = 舻( 七) ，使得当外加磁场小 于h 时，该模型总存在非平凡解 3 ) h - - - - 40 ，当七一驴+ 0 关键词：含杂质g i a z b u r g l a n d a u 超导模型，非平凡解，变分问题 作者：沈小华 指导老师：余王辉 t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ee x i s t e n c eo ft h en o n - t r i v i a ls o l u t i o n s a b s t r a c t t h ei k l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ee x i s t e n c eo ft h en o n - t r i v i a ls o l u t i o n s a n dt h ev o l u m eo fn o r m a lm a t e r i a l sf o rt h e g i n z b u r g - l a n d a nm o d e l so fs u p e r c o n d u c t i 、，i t yw i t hn o r m a lm a t e r i a li n c l u s i o n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ee x i s t e n c eo ft h en o n - t r i v i a l s o l u t i o n sa n dt h ev o l u m eo fn o r m a lm a t e r i a l sf o rt h eg i n z b u r g - l a n d a um o d e l so f8 1 1 - p e r c o n d u c t i v i t yw i t hn o r m a lm a t e r i a li n c l u s i o na n do b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 、t h ev o l u m eo fn o r m a lm a t e r i a l si sl e s st h a no re q u a lt ot h ev o l u m eo fs u - p e r c o n d u c t i n gm a t e r i a l s ，t h em o d e la l w a y sh a sn o n - t r i v i a is o l u t i o n sw h e nt h ea p p l i e d m a g n e t i cf i e l di ss m a l le n o u g h 2 1i ft h ev o l u m eo fn o r m a lm a t e r i a l si sg r e a t e rt h a nt h ev o l u m eo fs u p e r c o n - d u c t i n gm a t e r i a l s ，t h e r ee x i s t sa c r i t i c a lv a l u ek + i ft h eg i n z b u r g o l a n d a up a r a m e t e r k k + ，t h em o d e lh a so n l yt r i v i a ls o l u t i o n sf o ra n ya p p l i e dm a g n e t i cf i e l d ；w h i l e ，i f 膏 k ，t h e r ei sa n o t h e rac r r i c a lv a l u eh + ： + ( 后) s u c ht h a tt h em o d e la l w a y sh a s n o n - t r i v i a ls o l u t i o n sw h e nt h ea p p l i e dm a g n e t i cf i e l di sl e s st h a nh 。 3 ) h + _ 0 ，a sk _ k + 0 k e y w o r d s ：g i n z b u r g - l a n d a um o d e lo fs u p e r c o n d u c t i v i t y , n o r m a lm a t e r i a li n c l u s i o n ， n o n - t r i v i a ls o l u t i o n ，v a r i a t i o n a lp r o b l e m i i w r i t t e nb ys h e nx i a o h u a s u p e r v i s e db yp r o ly uw a n g h u i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 9 5 7 0 8 3 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以嘎确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名：邀剑鳖日期：竺：兰 学位论文使用授权声明 苏卅i 大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名 导师签名： 谴丛垒日期：生! 塑 日期望堕：盘桦 禽杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 第一章 第一章引言 本文研究含导体杂质的g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与 参数卢的关系，其中卢为导体材料体积与超导材料体积之比假设总材料所 占区域q 是形中勰光滑的有界集，导体材料所占区域q 。c cq 且a 光 滑，q 。= q 一是超导材料所占区域在本文中，我们考虑n = l 、2 ，3 的 情形，且记日1 ( q ) 为实值标准h 1 空间，冗1 ( q ) 为复值h 1 空间，h 1 ( q ) 为礼 维实值向量h 1 空间根据g i n z b u r g - l a n d a u 理论，在稳态情况下，超导材料 的序参数妒( 茹) ( 复值) 和诱导磁势a ( x ) 维实值向量场) 是g i n z b u r g - l a n d a u 泛函： 刚，= 朋c 。；v 删妒1 2 + 2 【卅2 ) 如+ r 2 叫如+ | 2 d z ( 1 i ) 在咒1 ( n ) h 1 ( q ) 上的最小元，这里h 舻是外加磁场，k 0 是g i n z b u r g - l a n d a u 参数，i = ，= r 上述模型通常称为含杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型，其物理意义请参看 【1 】- 【2 】当q 。= o 时，相应地称为不含杂质g i r m b u r g - l a n d a u 超导模型不 含杂质的g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型已有大量研究结果，参见【3 】【1 6 】及其参 考文献含导体杂质的g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型的研究在数值模拟方面也 有很多工作发表，但严格的数学理论结果目前还比较少其中，在二维情形 下，丁，刘和余在【1 7 】中研究了无磁场情况下k 一+ o 。时最小元的极限及 涡旋的收敛情况，他们还在 1 8 】中研究了给定边界切向电流时最小元的渐进 含杂质g i n z b u r g - l a a d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 第一章 性态及涡旋的钉轧机制；h o f f m a n 、姜等人在【1 9 】中研究了一个含杂质层状 发展型g i n z b t t r g - l a n d a u 超导方程组，并建立了一个便于计算的模型；杜和 a e m s k i ( 2 0 ) 对【1 9 】中的模型作了改进并进行了数值模拟；在一维情形下，当 导体材料位于超导材料的一端或两端时，余( 【2 1 】) 研究了最小元的渐近性态 且证明了解的极限的唯一性；同样在一维情形下，当导体材料位于超导材料 中间时，余、姚和杨( 【2 2 】) 研究了当k o 。时对称解的极限所满足的方程的 解的结构 本文研究( i i ) 的非平凡临界点与导体的大小之间的关系为方便起见， 我们先将( 1 1 ) 化为定义在实空间日1 ( q ) h 1 ( q ) 上的泛函因为( 1 1 ) 具有 规范不变性，所以我们不妨假设a 还满足：在q 上，d i v a = 0 ；在a q 上， a n = 0 ，其中竹为砌上的单位外法向量( 参见【3 】) 令妒= 妒e 坩，其中 妒= 0 ，口为妒的辐角则( 1 1 ) 可改写成如下形式： ( 妒，a ) = 2 0 2 i a l 2 + 鑫i v p l 2 + 2 1 c u r l a 一日1 2 + 妒2 ( 护一2 ) + r 2 咖2 ( 1 2 ) 由基本变分方法和偏微分方程的解的正则性理论，易知( 1 2 ) 的临界点 即最小元( 妒，a ) 满足下述边值问题： 妒= 七2 妒( 妒2 + l a l 2 1 ) ， 妒= k 2 妒( i a l 2 + 1 ) ， 筹- o ， 妒c 1 ( 功， a a = 一a 妒2 + c u r i h ， d i v a = 0 ， a n = 0 ， c u r i a n = hx n ， a 伊( _ ) 2 霉q 5 ， 茁q n ， z 踟， q ( 1 3 ) q ， 锄， a q ， 古杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡懈的存在性与杂质厚度之间的关系 第一章 我们知道，任意给定一个q 上的光滑向量场h ( x ) ，存在砭上唯一的光 滑向量场f ( z ) ，使得： c f u r 1 n f ：= 。h ，击口f = 0 ：i 三 c a ， 易见( 0 ，f ) 是方程组( 1 3 ) 的解设( 仍a ) 是( 1 3 ) 的解，如果妒( z ) 兰0 ，我们 就称之为平凡解，否则称之为非平凡解所以( 1 3 ) 的平凡解总是存在的 在物理上，平凡解对应于纯导体态，而非平凡解对应于纯超导态( 妒三1 ) 或混合态( 0 妒1 ) 本文的目的是要研究其非平凡解的存在性与导体区 域大小之间的关系为简单起见，本文总假设外加磁场日为常向量，且记 卢= 涮 ( i - 5 ) 首先我们有如下结论， 定理1 。存在一个唯一的正常数k + ，只与q 有关，与k ，卢无关，使 得： ( 1 ) 卢 1 且k 舻铮对v h 舻，方程组( 1 3 ) 只有平凡解； ( 2 ) ps1 ，或者卢 1 但k k +静存在h o 0 ，当0 0 ，则 当1 日l 足够小时样品都将呈现出纯超导态( 参见，如【3 】) 这一现象反应了 导体材料在样品中对超导态的排斥作用，或者说是对导体态的吸引作用( 即 钉轧现象) 台杂质g i n z b u r g l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之问的关系 第一章 按照定理1 中( 2 ) 的结论，若记 h + = i n f 0 ，i h l = h 时方程组( 1 3 ) 只有平凡解) ， 则h 0 h 显然与k 靠近k + 的程度有关我们将证明， 定理2 ，如果卢 1 且k k + ，则当k k + 时，扩( 七) 一0 口 本文的安排如下在第二章中，我们将首先用类似于参考文献【1 4 】中研 究不含杂质的g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型的非平凡解时所采用的方法，即通 过引入适当的变分问题，将非平凡解的存在性问题化为比较k 。与一个特征 值问题的最小特征值的大小问题，然后通过选择适当的比较函数得出该特征 值与k 。的大小关系，并由此得出定理1 ；接着我们证明当卢 1 ，k k 4 - 0 时，( 1 3 ) 的解趋向于平凡解，并由此得出定理2 在最后一章即第三章中，我 们对一维问题进行了仔细的计算，得出了k 与超导材料的长度( 即2 ( 7 一d ) ) 的精确关系我们希望日后能将这个关系推广到高维的情形 4 舍杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 第二章 第二章定理的证明 这一章，我们将给出定理的证明 2 1 定理1 的证明 如引言中所述，我们将通过引入适当的变分问题，将非平凡解的存在性 问题化为比较k 。与一个特征值问题的最小特征值的大小问题，然后通过选 择适当的比较函数得出该特征值与k 。的大小关系，并由此得出定理1 我们先来看变分问题： ( ) = m i n ( 妒) ， ( 2 1 ) 其中 ( 妒) = 门v 妒1 2 + 七2 厂妒2 + 七2 妒2 ， ( 2 2 ) 4 = 妒l 妒日1 ( q ) 且 ! 妒2 = - ) ， ( z s ) k 为g i n z b u r g - l a n d a u 参数，a ( z ) h 1 ( q ) 为给定的函数由基本变分理论， 变分问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 有解。 我们记 p 12 呼以( 妒) ( 2 4 ) 显然p 。0 若p 。= 0 ，设以在妒处取得最小值p 1 = 0 ，即： ) = i v 1 2 + 七2 f 护 a 1 2 + 驴扩= o 则v 妒三0 在n 上，且妒三0 在上，则三0 在q 上，与妒一t 矛盾所 以p l 0 5 含杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 第二章 为了研究肛。的性质，我们来考虑下面的特征值问题： = 妒( 老2 i a l 2 一肛) ， 西= k 2 ( i a l 2 - t 1 ) ， 挲：0 ， m c 1 ( - ) 其中a 同变分问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 中的a ，为未知函数对于任意的p r 1 ， 方程( 2 5 ) 并不是都有非零解如果jp r 1 ，且| 0 h 1 ( q ) ，对于 v 妒日1 ( q ) 成立下等式； 嘭伽2 v 胛妒+ 酽a 1 2 鲫+ 驴z 鲫， ( 2 6 ) n n 0 k 那我们称p 为方程( 2 5 ) 的特征值，称为对应于p 的特征函数注意，这里 我们考虑的是n = l 、2 ，3 的情况，此时由嵌入定理，i a i a 、妒、l 6 ( s 2 ) ， 从而川。却l ( q ) 所以，( 2 6 ) 是有意义的 显然，若多为( 2 5 ) 对应于肛的特征函数，则v a r 1 且 0 ，仍为 方程( 2 5 ) 对应于肛的特征函数 引理1 1 ： 设a 是变分问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的解，p - 0 由( 2 4 ) 给出，即 在处 取得最小值肛。则p 。是方程( 2 5 ) 的最小特征值，妒是其对应于p 1 的 特征函数 证明： 一方面，v 妒eh i ( 哟， 兄1 ，有而一4 ，令 附，= 以( 溉) 52 弧 嚣 o z 台杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 第二章 因为 在a 处取得最小值，所以j ( r ) j ( o ) 又因为j ( r ) 关于r 是 光滑的，故j ，( o ) = 0 ，即： v c v 妒+ k 2 门a 1 2 鲫+ 七2 鲫一 ( ) 缈= o 又因为 ( 妒) = p ，所以， p - f 妒妒f f i w e r e + k 2 i a l 2 鲫+ 七2 缈 由( 2 6 ) 式，p - 是方程( 2 5 ) 的特征值，妒是其对应于p - 的特征函数 另一方面，设p 是( 2 5 ) 的任意一个特征值，妒是与之对应的特征函数 因为坝r 1 且a 0 ，却仍为对应于肛的特征函数，所以不妨假设 妒a ，否则用而茬意代替妒在( 2 6 ) 式中，由妒的任意性，令 妒= 妒，贝0p 2 以( 妒) 巴i n 以( 妒) 2p l 综上，p 1 是( 2 5 ) 最小的特征值口 引理1 2 ： ( 1 ) 如果原方程组( 1 3 ) 有非平凡解，令变分问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 中的a 为该非平 凡解( 妒，a ) 中的a ，则p 1 3 , 1 ( 2 ) 取变分问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 中的a 满足c u r i a 三h 在q 上，p 。由( 2 4 ) 给出， 且设妒为方程( 2 5 ) 对应于肛l 的特征函数因为妒c 1 ( 固，所以不妨 假设1 在豆上，否则用而蒜代替v a r 1 且a 。，仍 为方程( 2 5 ) 对应于p 。的特征函数则： = 2 ( 捌2 i a l 2 + 丢l a v 妒1 2 + 弘妒) 2 ( a ) 2 2 ，+ 2 ( a 毋) 2 ：吾 i a v 妒i 。+ 七。( ；) 2 1 a 1 2 + k 2 ( a 妒) 。 + ( a ) 。 ( a ) 。一2 ) l n o j f 2 = 万2p ( a l i i ) 2 + ( a 矾( a 咖) 2 2 ) 喾( 纩“刎扩 若卢1 驴，则取a 充分小，使肛l 一庵2 + 譬后2 0 ，则日。哟m 。i h n 。( n ) e e d 毋，a ) 0 若( 妒，a ) 为s 在日1 ( q ) xh 1 ( q ) 上的最小元，贝妒非零， 否则若妒三o ，则e ( 妒，a 1 ) = 2 i v a l - h 1 2 如o ，与州n ) x m i h n ，) s 0 其次，我们来看下述特征值问题： = 一芦， 毋= 舻毋， 关- o ， 妒c 1 ( 功 类似引理1 1 的证明，我们有： 引理1 3 ： 设变分问题( 2 7 ) 一( 2 8 ) 中的如在咖a 处取得最小值肛。，则比是方程 ( 2 1 0 ) 的最小特征值，咖是其对应于p c 的特征函数口 9 ol2 弧 z o z 台杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系第二章 我们联系引理1 2 及引理1 3 ，关于原方程组( 1 3 ) 是否存在非平凡解得 到如下的引理， 引理1 4 ： ( 1 ) 抛 0 ，当0 l h l h o 时，原方程组( 1 3 ) 有非平凡解； ( 2 ) p 2 k 2 营v h 形，原方程组( 1 3 ) 只有平凡解 证明： ( 1 ) 一方面，当原方程组( 1 3 ) 有非平凡解时，由引理2 ( 1 ) ，有p l k 2 从 弘1 、p 2 的定义，显然有助p l ，v a h 1 ( q ) ，所以p 2 k 2 另一方面，如果p 2 k 2 ，设变分问题( 2 7 ) 一( 2 8 ) 中的以在妒a 处取得 最小值p 。，贝9 ： ( 砂) = l i v e 2 + 七2 妒2 + 2 r 护 = w 妒1 2 + k 2 z 妒2 ) 榭妇卵 = p 。+ 七2 2 掷 设日= ( h 1 ，h 2 ，h 3 ) ，取a = 一( 危3 2 2 ，h l x 3 ，h 2 x 1 ) ，z = ( x l ，x 2 ，x 3 ) q ，贝0 c u r l a 三h 在q 上所以， ( ) 助+ 七2 h i 2 荆2 阡如 因为q 为有界区域，且c 1 ( _ ) ，所以当助 0 充分 小，当0 i h i h o 时，以( ) k 2 ，所以p 1 = 呼以( 妒) 5 ( 庐) k 2 ， 所以由引理1 2 ( 2 ) ，原方程组( 1 3 ) 有非平凡解 舍杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 第二章 ( 2 ) 必要性由( 1 ) 显然，充分性用反证法证明如果不成立，则3 h 舻，使 原方程组( 1 3 ) 有非平凡解，则由引理1 2 ( 1 ) ，有p 1 k 2 ，从而p 2 k 2 ， 矛盾 口 由引理1 4 ，要研究原方程组( 1 3 ) 是否存在非平凡解，我们只需要比较 特征值助与南2 的大小，下面我们从地的定义表达式( 2 9 ) 来比较显然p z 是关于七的函数，所以我们重新记 p 2 ( 岛) 2 呼如( 妒，南) ， ( 2 1 1 ) 其中 也( 妒，k ) = f i v 妒1 2 + 七2 妒2 ( 2 1 2 ) 下面我们来看的取值对比较p 2 和k 。大小的影响，其中卢为第一章 ( 1 5 ) 式所定义，即为导体材料体积与超导材料体积之比 当0 卢1 时，较易比较p z 和k 2 的大小，即下面的引理1 5 ， 引理1 5 ： 当0 1 时，对v k ( 0 ，o o ) ，有p 2 ( 七) 七2 证明： 我们分0 p 1 和p = 1 两种情况来证明 ( i ) 当。 p 1 h 寸，记矿兰劢b 在q 上，显然矿4 则： 腓) 2 呼珊瑚驯妃垆舻( 卅鲜错甜房 所以0 p 1 时，m ( 后) o 矛盾。 综合( i ) 、( i i ) ，当0 1 时，3 k o ，0 k 2 证明： ( 1 ) ( i ) v0 k 1 0 ，v0 七l m ，设p 2 ( ) = 以( h ，) ，i = l ，2 所以， p 2 ( k 2 ) 一弘2 ( k 1 ) = 1 2 ( 咖如，) 一j 2 ( 砂k ，詹1 ) j 2 ( 妒k ，k 2 ) 一以( 机。，七1 ) ( 2 1 3 ) = 2 一砰) 镌 i h v k ( o ，o 。) ，设抛( 惫) = n 呀n j 2 ( 妒，七) = 如( 妣，南) ，则： 删2 护州2 榭镤2 血n 础闱 j 2 ( 高v 闱堆2 ，( 2 1 4 ) n n n l ，i 所以，v 七( 0 ，o o ) ，有，娥卢由( i ) 及( 2 1 3 ) ，有0 m ( k 2 ) 一肛2 ( 七1 ) z ( k ；一砰) s2 m f ) ( k 2 一七1 ) ，即在任意有限区间( o ，m 】上，p 2 ( 七) 关于k 一 致连续，从而p 。( 詹) 关于k ( 0 ，o o ) 是连续的。 ( i i i ) j 矿0 a ，且矿三0 在上，则v k ( 0 ，o 。) ，有： 0 0 ，满足p 2 ( 驴) = ( 矿) 2 证明： ( i ) 首先，我们来证明存在性令f ( k ) = 1 2 ( k ) 一k 2 ，由引理i 6 ( 1 ) ，f ( k ) 关于k ( 0 ，o o ) 是连续的，且f ( + o o ) = 一o 。，由引理1 6 ( 2 ) ，0 0 ，所以由连续函数零点存在定理，习旷 0 ， 使得l ( k + ) = 0 ，即肛2 ( 护) = ( 护) 2 其次，我们来证帅的唯一性凰z c 功甜= 面n 0 附榭妒2 ) ， 则w a ，有七2 f l y e 2 + 后2 妒2 ，即七2 ( 1 - - f 妒2 ) 0 ) ， 瑚 则： ，i v 妒1 2 眺日，枷2 书。 1 6 古杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 第二章 记对应于七2 的特征函数为4 ，即后2 = f i v 矿1 2 + 后2 扩，则七2 ( 1 一 2 ) = f i v 妒1 2 o ，所以1 一扩o 若1 一j 厂矿= o ，则七2 ( 1 一j 厂扩) = 0 门v 砂1 2 = o ，从而矿= 1 ，且加三c 在q 上又j 厂护= l ，所以 加兰南三南在咄则芦= 斟“，与假设胁1 矛盾，所以 1 一扩 o ，即： 厂j v 庐1 2 妊b 卧2 2 i 韦 ( 2 j 7 ) 玉 所以由( 2 1 6 ) 及( 2 1 7 ) ，有： f e v i l 2 舻2 哩n 万1 , 2 ， ( 2 。1 8 ) 8 1，。 。 即满足p 2 ( 后) = 2 的七必须满足( 2 1 8 ) 式 所以综上，存在唯一的护，满足p z ( 矿) = ( 驴) 2 口 有了上述几个引理后，我们来看当p 1 时，有怎样的结论 引理1 8 ： 当p 1 时，存在唯一的k 0 ，使得当0 七时，也( 七) 1 且詹 k 引理2 1 。 当卢 1 且k k + 时， ( 扩) 2 助( 后) k 时， p 2 ( 后) p 2 ( 七) 由弓i 理1 7 ，p 2 ( 后) = ( 七+ ) 2 ，所以，圯( ) ( 后+ ) 2 又p 1 且k 妒时，由引理1 8 ，肛2 ( 七) 舻时，存在固定的h 舻，使原方程组( 1 3 ) 有非平 凡解( a t ) ，则存在子列 ( 妒b ， ) ) c ( 饥，a t ) ) ，使当幻一k + 时， 妒b 一0 在c 1 ( _ ) 中，且a 幻一a p 在c 1 ) ，其中a k 是问题( 1 4 ) 的唯 一解，c 1 ( _ ) 为孬上的n 维c 1 空间 证明： 由( 1 3 ) 容易得出，对v k 0 ，0 o ，使得f i v e 1 2 + j 厂妒2 c 所以 l b i 当一矿时， 机) 是日( q ) 中的有界列所以存在子列 机，) c 机) 及 机h 1 ( q ) ，使得码一k 时， j b 一机在l 2 ( q ) 中， l 白- 妒驴在h 1 ( q ) 中 其次我们来证明当b k 时，弘t ( b ) 一p 1 ( 舻) ，其中， 州= 呼卯州2 纠硝删2 妒2 ) = i v 妒, j 2 + ( 护) 2 例a 矿1 2 + ( 旷) 2 镌 因为 肛。( 如) 一p t ( 旷) i v 妒t 1 2 + 碍镌。i a bj 2 + 碍妒2 - f l y e 驴1 2 一( 扩) 2 馆i a p l 2 _ ( 胪) 2 j f 娘 = 碍识i a 白1 2 - ( k ) 2 织i a 舻1 2 + 碍织一( 旷) 2 馆， 含杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之闻的关系第二章 因为当k j k 时，a 幻一a k 在c 1 ( 固中，且讥c 1 ( - ) ，所以从 p - ( 护) 厂机妒= v 妒v 妒+ ( 扩) 2 f l a 驴妒+ ( 舻) 2 机妒， 由引理1 2 及引理2 1 ，有( 护) 2 p 2 ( b ) 0 则一维的方程组( 1 3 ) 为如下形式： = k s 妒( 扩+ a 2 1 ) ， = 詹2 矿( 0 24 - 1 ) ， ( 士，y ) = 0 ， c 1 卜，y ，们， a n = 2 吼 口7 ( 士7 ) = h ， a c 3 卜，y ，州 z i 一【- d ，d 】， z 【一d ，- d ， ( 3 1 ) z 卜，y ，州， 由第一章的引理1 4 ，方程组( 3 1 ) 是否存在非平凡解，只需要比较助和 舻的大小，其中p 。为下述方程： 杪= 一p ，z i 一 - d ，明， = 2 ，g - d , - 司， c 3 2 ) ( 士7 ) = 0 ， 咖c 1 【_ m 9 1 的最小特征值方程( 3 2 ) 即为方程( 2 1 0 ) 取几= 1 时的情形 对于方程( 3 2 ) 的最小特征值p 。及k ，有下面的结论： 结论1 。 令p 。= 定，a z 0 营 a 2 是f ( a ) 在0 ，i 南) 上的唯一零点，其中 f ( a ) = k s i n h k d c o s x ( 9 一d ) 一a c o s h k d s i n a ( 7 一d ) 2 1 含杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之问的关系 第三章 结论2 ： n = 1 时，临界值k + ；岛，其中如是危( t ) = t 龃t t a n h f ，t 在t ( o ，三) 上的唯一零点 在下面的部分中，我们将给出结论1 及结论2 的证明 结论1 的证明： 直接解得方程( 3 2 ) 的通解为： i c c o s a ( x + 7 ) ，z 卜，y ，一司， 妒扛) = a c o s h k x + bs i n h k x ，z 【一d ，d 】，( 3 3 ) id c o s a ( z 一，y ) ， z d ，卅 其中入= 面 0 ，a 、b 、c 、d 是任意实数又由妒c 1 【_ 仉州， 得到： 如果d + c o kd - c o 则粼= 黜= 篇， 从而s i n h k d = c o s h k d ，矛盾；如果d + c = 0 ，且d c = 0 ，则 a bcd = 0 ，则三0 ，所以d + c = 0 ，d c = 0 有且仅有一 个成立若d + c = 0 ，则： ，( a ) = k c o s h k d c o s a ( 一一d ) 一a s i n h 七d s i n a ( ，y d ) = o ； 若d c = 0 ，则： f ( a ) = 忌s i n h k d c o s a ( 7 一d ) 一a c o s h k d s i n a ( , y d ) = 0 荨攀 含杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之f 回的关系 第三章 j ，( o ) = 七c 。s h d o ，( 可万) = 一面暑可8 i n h 后d 日2 ，所以a z = 0 2 口 结论2 的证明： 由结论1 ，方程组( 3 1 ) 是否存在非平解，我们只需要比较f ( a ) 在( o ，示而) 上的唯一零点a 2 与k 的大小f ( a ) = 一 c o s h k d c o s a ( ，y d ) m t a n a ( 7 一 d ) 一k t a n h k a q ，令h ( a ) = a t a n a ( ，y d ) 一k t a n h k d ，显然f ( a ) 与h ( a ) 有 共同的零点，所以方程组( 1 3 ) 是否存在非平凡解问题转化为比较h ( a ) 在( 0 ，i 南) 上的零点a 。与k 的大小问题 当k2 南时，显然也 0 ，则由h ( a 2 ) = 0 得到k a 2 ； 如果h ( k ) s0 ，则k a 2 下面我们计算h ( k ) = 七【t a n 七n d ) 一t a n h k d 的符号 为方便计算，我们令 ft = 忌( 7 一d ) ， i ( ) ：t 衄t t 钔血t ，t ( o ，吾) ， 含杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 第三章 则： i h ( o ) = 0 ， ( ) = + 。o ， ”( t ) = 2 t a n t s e c 2 f + 筇2 t a a h ，t ( 1 一t a n h 2 卢t ) o ， 【h i ( o ) = 1 一p ( 1 ) 若p 墨1 ，则 ，( 0 ) = 1 一卢0 ，则( t ) 0 ，t ( o ，三) 时，所以 ( f ) 在t ( o ，三) 上是单调递增的又因为 ( o ) = 0 ，所以 ( t ) 0 ，t ( o ，专) 时，从而p 1 时，k a 2 ( 2 ) 若卢 1 ，因为 ih ( o ) = 0 ， ( j ) = + o o ，h ，( o ) 如时， ( t ) 0 ，所以k a 2 ； 当0 禹 时，k a 2 ；0 1 且k 名时，k a 2 ；当p 1 且 0 k 啬时，k a 2 所以由定理1 ，护= 羔r l 含杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 参考文献 参考文献 【1 】g i n z b u r gv l & l a n d a ul d ，o nt h et h e o r yo fs u p e r c o n d u c t i v i t y , z h - e k s p e r i m i t h e o r f i z ，1 9 9 0 ，2 0 ，1 0 6 4 - 1 0 8 2 【2 】c h a p m a ns j ，h o w i s o ns d & o c k e n d o nj r ，m a c r o s c o p i cm o d e l sf o r s u p e r c o n d u c t i v i t y , s i a mr e v ，1 9 9 2 ，3 4 ，4 ，5 2 9 - 5 6 0 d uq ，g u n z b u r g e rm d p e t e r s o nj s ，a n a l y s i sa n da p p r o x i m a t i o no ft h e g i n z b u r g - l a n d a nm o d e lo fs u p e r c o n d u c t i v i t y , s i a mr e v ，1 9 9 2 ，3 4 ，1 ，5 4 - 8 1 【4 】c h a p m a ns j ，d uq & g u n z b u r g e rm d ，ag i n z b u r g - l a n d a ut y p em o d e l o fs u p e r c o n d u c t i n g - n o r m a lj u n c t i o n si n c l u d i n gj o s e p h s o nj u n c t i o n ，e u r o j n l o f a p p l m a t h e m a t i c s ，1 9 9 5 ，6 ，9 1 1 4 【5 1y a n gy ，t h eg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n sf o ras u p e r c o n d u c t i n gf i l ma n dt h e m e i s s n e re f f e c t ，j m a t h p h y s ，1 9 9 0 ，3 1 ，5 ，1 2 8 4 - 1 2 8 9 6 】a f t a l i o na & c h a p m a ns j ，a s y m p t o t i ca n a l y s i so ft h eb i f u r c a t i o nd i a g r a m f o rs y m m e t r i co n e - d i m e n s i o n a ls o l u t i o n so ft h eg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n s ，e u r o j n l o fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ，1 9 9 9 ，1 0 ，4 7 7 - 4 9 5 【7 】h a s t i n g ss p ，a n o t h e rl o o ka tr e c e n t r e s u l t sc o n c e r n i n gb i f u r c a t i o ni no n e - d i m e n s i o n a lm o d e l so fs u p e r c o n d u c t i v i t y , e u r o j r d o fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ， 2 0 0 0 ，i i ，1 2 1 1 2 8 【8 】y uw ，u n i q u e n e s so fs y m m e t r i cs o l u t i o n sf o rt h eo n e - d i m e n s i o n a lg i n z b u r g - 古杂质g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型非平凡解的存在性与杂质厚度之间的关系 参考文献 l a n d a ue q u a t i o n so fs u p e r c o n d u c t i v i t yw i t hh i 曲k a p p a ，c h i n e s ej o u r n a lo fc o n - t e m p o r a r ym a t h e m a t i c s ，2 0 0 1 ，2 2 ，4 ，3 1 5 - 3 3 0 【9 】y uw