（应用数学专业论文）多孔铁磁体的理论及其计算.pdf

中山大学硕士学位论文 中文摘要 多孔铁磁体的理论及其计算 专业：应用数学 硕士生：欧耀彬 导师：姚正安教授李磊教授 摘要 l a n d a u - l f f s h i t z 方程是一种描述连续铁磁体磁化运动的拟线性抛物型方程它是 由l a n d a u 和l i f s h i t z 提出来的研究铁磁体的微磁模型，阐述了铁磁体的磁畴结构与其能 量的关系，对于铁磁性材料以至于计算机硬盘和内存的研制有着重要的意义 在r i e m a n n 流形上建立的l a n d a u - l i f s h i t z 方程与调和映照紧密联系的基础上，该方 程的c a u c h y i 题的解的性质已经被深入研究但在混合问题上的讨论迄今为止仍然不 多，尤其是n e u m a n n 边界条件的情形而本文提出了具有n e u m a n n 边界的二维多孔铁磁 介质中的l a n d a u - l i f s h i t z 方程的均匀化问题，并给出了相应的先验估计，然后用有限元方 法对均匀化的过程进行数值模拟，展现了相应的多孔介质方程的渐近形态 关键词：l a n d a u l i f s h i t z 方程，n e u m a n n 边界，多孔介质，均匀化 第1 页 t h et h e o r yo fp o r o u sf e r r o m a g n e ta n di t s s c i e n t i t i cc o m p u t i n g m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s n a m e ：o uy a o b i n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry a oz h e n g a n p r o f e s s o rl il e i a bs t r a c t t h el a n d a u - l i f s h i t zs y s t e mi sat y p eo fq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw h i c hd e - s c r i b e st h em a g n e t i z a t i o no fc o n t i n n u mf e r r o m a g n e t s ，i ti st h em i c r o m a g n e t i cm o d e l i n t r o d u c e db yl a n d a ua n dl i f s h i t zf o rt h es t u d yo ff e r r o m a g n e t i cm a t e r i a l s t h em a g - n e t i cd o m a i ns t r u c t u r e ，c h a r a c t e r i s t i co ft h e s em a t e r i a l s ，i su n d e r s t o o di nt h ec o n t e x to f e n e r g ym i n i m i z a t i o n ，a n dw i d e l yu s e di nt h ed e v e l o po ff e r r o m a g n e t i cm a t e r i a l s 、egt h e c o m p u t e rh a r d d i s k sa n dm e m o r i e s o nt h eb a s i so ft h er e l a t i o n w h i c he s t a b l i s h e do nt h er i e m a n n i a nl n a n i f o l d b e t u r e e l l a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o na n dt h eh a r m o n i cm a p ，t h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o nf o rt h i s s y s t e mh a v eb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y h o w e v e r ，t h e r eh a sb e e nl i t t l ed i s c u s s i o nf o rt h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ms of a r ，s p e c i f i c a l l yt h en e u m a n nb o u n d a r yp r o b l e m i nt h i s t h e s i s ，t h ea u t h o rp u t sf o r w a r dt h ep r o b l e mo fh o m o g e n i z a t i o no ft h el a n d a u l i f s h i t z s y s t e mi nt h et w od i m e n s i o n a lp o r o u sf e r r o m a g n e tw i t han e u m a n nb o u n d a r y f u r t h e r - m o r e ，i tg i v e st h e8p r i o r ie s t i m a t e ，a n dt h e np r o c e s s e st h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h e h o m o g e n i z a t i o nb ya f i n i t ee l e m e n tm e t h o d k e yw o r d s ：l a n d a n - l i f s h i t zs y s t e m ，n e u m a n nb o u n d a r y , p o r o u sm e d i u m ，h o m o g e n i z a t i o n 第1 i 页 中山大学硕士学位论文 第一章前言 第一章前言 1 1 磁现象的普遍性 1 9 世纪以前，人们认为只有极少物质有磁性，其他绝大多数物质都无磁 性到y 2 0 世纪下半叶以后，随着高新技术的发展，人类社会逐渐进入信息社会的 新时期，磁学也从以铁磁学为主的传统磁学开始向铁磁学以外的磁学领域和边缘 磁学，以及包括基础磁学、技术磁学和应用磁学的广义磁学发展，进入当代磁学 的新阶段关于物质磁性的研究也有了长足的发展，当代磁学研究中所发现的磁 性种类已远远超过以前，现代科学技术的发展，已经揭示出磁的普遍性，即切物 质都具有磁性，任何空间都存在磁场磁的这种普遍性是以大量的科学观测、实 验和理论为依据的 在当代的电气化和信息化社会中，不论是在生产和技术领域、科研和国防领 域、还是在日常生活中，磁的应用都是非常多的在电气化中，如发电用的发电 机和动力用的电动机，在将机械能转换为电能及将电能转换为机械能的过程中， 都离不开磁场的作用和产生磁场用的磁性材料；在输电配电过程中使用的改变电 压的变压器，其磁芯也需要使用磁性材料在信息化中，各种电子计算机需要使 用多种的磁记录器和磁存储器；传统的电报电话和高新技术的微波通信、卫星通 信和光通信都分别需要应用种类繁多、功能各异的磁性材料和磁性器件，有的还 是其他材料和器件所不能替代的在各种高能加速器和粒子检测器中以及为实现 热核聚变研究的高温等离予体装嚣中，都需要使用强磁场 在生物学和医学的研究及应用中，由于生物体和人体都为弱磁体，各组织器官 的弱磁性也有所不同，而且在生命活动中可产生极微弱的磁场这些弱的生物磁 第1 页 中山大学硕士学位论文 第一章前言 性和极微弱的生物磁场，在不同的生理状态和病理状态下也会发生变化，因此可 以利用这些磁性和磁场的变化进行生理和病理方面的研究以及一些疾病的诊断 此外还有众多的磁性材料、磁学方法和磁技术应用于生物学和医学等生命科学 在原子核和基本粒子的微观物理学研究中，磁性和磁场的应用也是很多的 原子核是核磁共振分析和核磁共振成像的基础原子核磁性还是利用绝热退磁方 法达到1 0 9 1 0 3 k 极低温度的必要条件原子核磁矩在极低温度下其排列有序， 形成核铁磁性和核反铁磁性等核磁有序结构，更是当代广义磁学中的一项突破性 进展各种基本粒子磁性的发现、研究和应用，不但有助于粒子结构和变化的研 究，而且利用一些粒子的磁性发展了诸如中子衍射和中子磁散射，正、负电子磁 矩精密测量等重要的新技术 在地球科学研究和应用中，也有许多方面涉及磁场和磁性地球科学中的地 磁学就是研究地球磁场的科学关于地球磁场的成因和古代磁场多次倒转方向的 机制也成为当代广义磁学中的重要研究课题在天文学的研究和航天糯技术r ” 有不少同磁场和磁性相关的地方空间磁场强度和分布的观测研究也是目前航天 新技术中涉及问题甚多的一项研究太阳的剧烈磁活动，空间磁场对太阳风的作 用是影响空间天气学的重要因素，是航天活动必须注意的 从以上列举的一些例子中可以看出，包括物质磁性和磁场的磁现象不但是普 遍存在的，而且这些磁现象的作用和应用在许多情形下也是很重要的正是由于 磁现象的普遍性和磁应用的广泛性，从而形成了磁学的许多边缘学科，如微波磁 学、磁流体力学、原子核磁学、磁电子学等等 1 2 铁磁体与微磁模型 铁磁体是一类拥有天然磁性的物质，关于这种物质的研究在数学、物理 上是非常具有挑战性的问题有关它的研究，在磁性装置，如记录媒介，计算机存 第2 页 中山大学硕士学位论文 第一章前言 储芯片，计算机磁盘的研制中，有非常大量的应用铁磁体的基本特点是自发磁 化和磁畴铁磁体内部分成许多小区域，虽然在每个小区域内磁矩按一定规则排 列起来，但不同区域排列方向不同，见图1 1 图1 - 1 磁畴结构 所有区域磁矩叠加为零，从整体看，磁化强度为零，对外不显磁性这也解释 了为什么除磁铁外其它铁磁体的总磁矩不晟示我们把磁矩方向相同的每个小区 域称为磁畴，而把它们之间的薄壁称为磁畴壁磁畴的形状、大小及它们之间的 搭配方式：统称为磁磷结构磁性材料的技术性能，由磁畴结构决定由于物质 内部自身的力量，使任磁畴内的所有原子磁矩，都按一定的规则排列起来的现 蒙，称为自发磁化 1 9 3 5 年，l a n d a u 和l i f s h i t z 弓l 入了现在广为人知的微磁模型f 7 1 这个模型基于 这样一个思想：不同的磁畴结构与其自由能的最小值紧密联系在微磁模型中， 基本变量为磁场强度1 7 = ( 扎l ，“2 ，“3 ) 这是一个长度为常数的三维矢量为了方便 起见，不妨令其长度为= 1 在我们的讨论中，如果忽略力学效应和设温度为常 数且低于居里温度，则自由能由以下各部分组成【7 】： o 各向异性能( a n i s o t r o p ye n e r g y ) ：豇随晶轴方向不同而有所不同在单轴 第3 页 中山大学硕士学位论文第一章前言 物质中，有一个易轴，称为o z ，此时各向异性能为 磊= 鑫胎州) 妇 其中蚝是个物理常数，“。= 吲 o 交换能( e x c h a n g ee n e r g y ) ：标志磁场的空间变化 如= 互a u ；j n i v 刮2 如 ( 1 ，2 2 ) 其中a 是一个物理常数 o 自诱导能( s e l f - i n d u c e de n e r g y ) ：标志磁场的散度，是由磁矩之间的相互 作用产生的 岛= 上3 i v w l 2 出= ；五v w 诎， ( 1 z 3 ) 其中v 称为静磁场( 故自诱导能又称为静磁能) 它由下式决定 并且满足边界条件 出黧枷 锄 ( 1 2 4 ) ( 1 25 ) 其中再为边界a q 上的单位外法矢i 吲a n 表示w 在勰上的跳跃： w l o a 2 漉w ( ) 一她w ( ) ( 12 6 ) n 。可n o 外场能：当出现外加磁场岛时，我们耍增加项外场能 巧一上凰姚一 ( z 皇7 ) 为简单起见，我们通常令外场能为零 第4 页 中山大学硕士学位论文 第一章前言 。退磁能：当物质被磁化后，如果要消除它被磁化后所产生的磁场，需要另外 一个方向相反的磁场作用于它产生这个方向相反的磁场所需要的能量，称为退 磁能在本文中也不考虑这一部分能量 因此，自由能 e = e 。+ e e + e m + e f ( 1 2 8 ) = 争如( u + “1 ) 如十a ，n i w l 2 d x + 如v 谢z 一矗7 0 g d x ， 一篙= 心堪+ v w ( 1 2 9 ) 这样，通过从宏观上考察铁磁体的运动，先求出它的各种能量的总和，再 从h a m i l t o n 量可以推d j l a n d a u l i f s h i t z 方程( 详见【7 】 2 2 】) ： u t = - - a f t 邶篙) 懈丽o e ， ( 1 2 1 0 ) 其中q 称为g i l b e r t 阻尼系数 事实上，也可以从微观的角度来考虑，应用量子力学自旋理论写 h e i s e n b e r g 链的h a m i l t o n 量，再求l a n d a u l i f s h i t z 方程( l l 方程) 8 1 1 3l a n d a u l i f s h i t z 方程的研究进展 l a n d a u - l i f s h i t z 方程是1 9 3 5 年l a n d a u 和l i f s h i t z 在研究铁磁体磁导率的色散 理论中提出来的这是一个重要的磁化运动方程，后来在凝聚态物理中也发现了 这类方程1 9 5 7 年，h s u h l 对于具g i l b e r t 项的铁磁链方程的无穷维动力系统进行了 研究，此后出现了一批动力系统理论和数值计算的结果2 0 世纪6 0 年代，苏联物 理学家a 1 a k h i e z e r ，v g b a x y a k h t a r ，s v p e l e t m i n s k i i 等在自旋波一书中详细分 析了自旋波和微磁方程( 亦称铁磁链方程) 及其行波解等1 9 7 4 年k n a k a m u v a ， t s a s a d a 首次发现了1 维不具g i l b e r t 阻尼项的l a n d a u - l i f s h i t z 方程的孤立子解此 第5 页 中山大学硕士学位论文 第一章前言 后，一系列的数学家和物理学家研究t l a n d a u - l i f s h i t z 方程的孤立子理论，其中包 括散射反演法、无穷多守恒律、几何表示法和非线性s c h r s d i n g e r 方程的规范等价 性等 从偏微分方程理论的研究角度，1 9 8 2 年周毓麟院士和郭柏灵院士首先证 明了1 5 铁磁链方程的周期初值和边值问题的整体弱解的存在性，继而对1 维 线性初值问题和边值问题、非线性初值问题、多维铁磁链方程初值和边值 问题进行研究，得到了一系列整体弱解存在性的结果1 9 9 1 年，两位院士首次 得到了1 维铁磁链方程整体光滑解的存在性和唯一性1 9 9 3 年，郭柏灵院士与 洪敏纯在r i e m a n n 流形上建立 j l a n d a u - l i f s h i t z 方程和调和映照的联系，并且应 用调和映照的研究技巧证明了二维弱解的部分正则性在( 1 9 l 中，郭柏灵和王 友德把上述结果推广到广义l a n d a u l i & h i t z 方程随后，郭柏灵、苏凤秋和丁 时进对l a n d a u - l i f s h i t z - m a x w e l l 方程建立了相应的理论，并对两类方程：l a n d a u - l i f s h i t z 方程和l a n d a u - l i f s h i t z - m a x w e l l 方程的无穷维动力系统性质进行了研究，得 到了相应的结果【8 1 1 9 9 8 年，丁伟岳院士与王友德研究员证明了1 维铁磁链方程整 体光滑解的存在性和唯一性对一般的s c i l r 甜i n g e r 流也成立f 9 】 在与调和映照紧密联系的基础上，l a n d a u l i f s h i t z 方程的c a u c h y 问题的解的性 质已经被深入研究但在混合问题上的讨论迄今为止仍然不多，尤其是n e u m a n n 边 界的情形翟健l 1 0 1 ，丁时进1 2 0 1 1 2 4 1 做了有益的工作 姚正安教授的研究结果表明：铁磁体中磁畴壁的移动速度与磁畴壁的曲率和 外界阻尼系数有关 1 1 1 在一系列的理论研究的基础上，普林斯顿大学鄂维南教授和香港科技大学王 筱平教授通过对l a n d a u - l i f s h i t z 方程进行用差分方法进行数值模拟和数值逼近 取得了一系列令人满意的结果，并且提出了一个全新的无条件稳定的数值逼近 方法，使我们对磁畴和磁畴壁有了更进一步的认识【1 2 1 4 】同时c a r l o sj a v i e rg a r i a 第6 页 生坐盔堂堡主堂堡垒塞 箜二量重童 c e r v e r a 在他的博士论 0 0 9 n e e lw a l l f f d b l o c h a l l 都提出了一些数值逼近方法，其 中包括了一些独特的思路【1 5 】 1 4 本文的主要工作 本文考虑有界区域q 【o ，丁】( nca ) - f ! t o j l a n d a u - l i f s h i t z 方程( 在区域a 内有一 块方形的不带磁的区域n 。= a q ) ： i碗= 一。面( 矗丽o e ) + 口丽嚣打l n 【0 ，丁 ， i 器= v 矗面= 0 o i l a q f o ，明， ( 1 3 1 ) i i 百( z ，0 ) = 面( z ) ，i 锄( 。) i = = 1 i n q ， 其中，丽= ( 让h u 2 ，札3 ) ，蚓2 = ( 札1 ) 2 + ( 让2 ) 2 十托3 ) 2 = 1 ，卢是常数而且q o ， a q = a n lua n 2 ，其中a q l 为外边界，a n 2 为内边界 本文从二维l a n d a u - l i f s h i t z 方程与调和映照的联系出发、提出了具 有n e u m a n n 边界的二维多孔铁磁介质中的l a n d a u - l i f s h i t z 方程的均匀化问题， 并给出了相应的先验估计，然后用有限元方法对均匀化的过程进行数值模拟，展 现了相应的多孔介质方程的渐近性态， 本文第二章的内容是关于l a n d a u l i f s h i t z 方程的一些预备知识首先给除了 在m 维r i e m a n n 流形上l a n d a u l i f s h i t z 方程与调和热流方程的紧密联系，特别是具 有模为1 的初值时这两个方程的等价性接着，又阐述了二维c a u c h y 问题整体光滑 解的存在唯一性，以及本文将要模拟的二维n e u m a n n 问题解的存在性 在第三章中，作者通过对方程性质的分析，建立了方程的有限元解法空间上的 半离散格式和时间上的全离散格式 其后，作者在第四章中提出了二维l a n d a u - l i f s h i t z 方程的均匀化问题，即讨论 在多孔铁磁材料中的渐近性态首先对固定的小孔宽度的方程作能量估计，得出 第7 页 中山大学硕士学位论文第一章前言 解的存在性；然后对小孔的宽度取极限，令其趋予零，得出了极限方程，也就是多 孔介质方程 文章最后一部分是具体的计算和模拟的过程主要的工作是：对区域的一致 单元剖分，确定基函数，计算刚度矩阵和质量矩阵，以及对第三章给出的格式做进 一步的阐述考虑到区域的复杂性，本文对网格点作了分类：考虑到计算量的庞大， 本文采用了一些特殊的方法，如矩阵的l u 分解，“紧凑存储”等等最后，本文对 取极限的过程进行数值模拟，并给出相应的图例，发现结果确实是趋于极限方程 的情形的 第8 页 中山大学硕士学位论文第二章关于i ，l 方程的预备知识 第二章关于l l 方程的预备知识 2 1l a n d a u - l i f s h i t z 方程与调和热流方程的联系 设m 为m 维具有度量r 的r i e m a n n 流形，妒为冗3 中的单位球在m 的局部坐标 下，l a p l a c e - b e l t r a m 算子和模l d ( f f ) l 可表示为： m = 由南( 伊行杀) = 俨( 磊岛一噬口杀) 闭2 = a , b i 伊豢t 嘉 在盯上的l a n d a u l i f s h i t z ：) 亨程为： 魂= 一a l t 7 ( z 7 a m 囝十2 百a m f f( 2 ，1 1 ) 其中o l 0 ，r 1 2 为常数，有初值面，且设初始条件为： i 而( o ) l = 1 ，v x m 方程( 2l1 ) 和初始条件( 2 1 2 ) 的等价形式为 ( 2 】2 ) 面= o q ( i m f f - - i w l 2 司+ a 2 矗a m f f( 2 t 3 ) 其中。1 0 ，c t 2 为常数，有初值面，且设初始条件为： f 面( z ) l = 1 ，v x m ( 2 1 4 ) 在 1 】中，郭柏灵和洪敏纯首次发现和建立了以下的l a n d a u l i f s h i t z 方程和调和 映照的紧密联系首先，他们利用g r o n w a l l 不等式得到： 第9 页 中山大学硕士学位论文第二章关于k l 方程的预备知识 定理2 1 1 1 1 l 在古典意义一f ，矗为方程( 2 1 3 ) 具有初始条件( 2 1 4 ) 的解，当且仅当疽为 方程( 2 1 1 ) 具有初始条件( 2 1 2 ) 的解 对于本文计算的问题，有如下推论2 1 1 的联系： 推论2 1 1 1 1 j 在方程( 2 1 ，1 ) 中设o l 2 = 0 ，则在古典意义下，l a n d a u l i f s h i t z 方程等价 于调和热流方程： 讯= a l a m g + n l v 训2 五( 2 1 5 ) 定理2 1 2 1 1 】在古典意义下，百：盯一5 2 是调和映照当且仅当面满足方程( 2 1 1 ) 和a 训，t ) = o ， 0 一 推论2 1 2 1 1 】设痂：m s 2 是给定的初值，则在古典意义下，l a n d a u l i f s h i t z 方 程( 2 1 1 ) ( 口2 o ) 的解环同于调和热流方程( 2 1 5 ) 它等价于热流方程( 2 1 5 ) 的一 个解当且仅当硪q t ) = 面( z ) ，v ( t ) m r + ，且面( z ) 为m 到s 2 的调和映照 2 2 二维l a n d a u l i f s h i t z 方程的c a u c h y n 题 由于l a n d a u l i f s h i t z 方程( 2 1 3 ) 的强抛物性，它的局部光滑解的存在性已经 f l q a m a n n ，h 在f 17 | 中得到 而m a f r e i r e 在| 6 】的定理可知，二维l a n d a u l i f s h i t z 方程( 2 1 3 ) ，或者说是调和 热流方程，的局部光滑解是唯一的下面给出局部光滑解的先验估计 在这里，我们总是考虑从舻到5 2 的l a n d a u l i f s h i t z 方程设q = 形z 2 ( 平坦 环) ，痂：q s 2 从0 到r 3 的c a u c h y 问题： 具有初始条件： 碗= 一n l 面( 五a 回+ a 2 矗矗( 2 2 1 ) 试。，0 ) = 面( z ) ，v x r 2 第1 0 页 ( 2 2 2 ) 中山大学硕士学位论文第二章关于l 广l 方程的预备知识 若右是c 8 u c h y f 可题( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 的光滑解，则由矗越= o 和西( z ) 1 2 = 1 可知， | 矗( z ，t ) 1 2 = 1 ( 2 2 ，3 ) 引理2 2 1 1 1 】设堤c a u c h y 问题( 2 2 ，1 ) ，( 2 2 2 ) 的光滑解，则有： v 矗( ，t ) i l 。( o ) i i w o i i l ，( o ) ， v 0 ( 22 ，4 ) 利用推广的s o b o l e v 不等式，可以得到 引理2 2 2 f l 】设 d f f o 日1 ( q ) ，t 0 为有限数，f f # j c a u c h y i b j 题( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 在q r ： q 1 0 ，卅上的光滑解，则存在一个常数c 使得： l l v 2 谢，t ) l l l 。( q ) sc ，v t t 0 ，( 2 2 5 ) i i v 3 训驴( o t ) sc ，f 2 2 6 ) 其中| | v 面i 】l ：( 纠a ，a 为小的正常数 引理2 2 3 【l 】设q 是冗2 或者形中具有边界a q 的有界l i p s h i t z 区域，露( 。) h 2 ( q ) ，则 有： f l 疗 i l - ( n ) sc l l d l l 嘉t ( n ) 刍( n ) ，( 2 2 7 ) 其中c o 为常数 引理2 。2 。4 1 1 】设v 西h ( q ，s 2 ) ，s2 和引理2 2 3 的条件满足，则存在常数e 使 得： 。器j | v 虬) 晤m ( 科c ，2 s m s k 一 ( 2 2 8 ) 由局部光滑解的存在性和引理2 2 1 与i 理2 2 4 的先验估计，可知局部解能延拓 时间堙4 大对间范围得到整体解f 1 1 第1 1 页 中山大学硕士学位论文第二章关于l l 方程的预备知识 2 3 二维l a n d a u l i f s h i t z 方程的n e u m a n n 问题 设nc7 护为光滑的有界区域考虑以下的l a n d a u l i f s h i t z 方程 慝0tg=-a酢g(川g“酢ag炉)in f 2 - x 0 , 咿t , j ，协， f 三岛d ：仃+ l 矗( z ，o ) = 面扣 l 【器= o i v 训2 矗 i nq x 【0 ，t 】， ) ，i 面( 。) 1 = 1 i nn ， ( 2 3 2 ) o n a q 0 ，习 考虑下面的“惩罚”问题，即( 2 3 2 ) 微i l 似问题 丢a 驴= 萨+ k 2 ( 1 一j 舻n 萨i n 硪z ，0 ) = 面( z ) ，i 西( z ) i = 1 i n 豁；0 o n n x 0 ，列， n ( 2 33 j a n x 0 ，司， 7 1 理2 3 i 3 9 设x 是b a 丑a c h 空间，若，妒( o ，丁；x ) 和甏胪( o ，t ；x ) o p o 。) 则，g ( 【o ，列；x ) ( 可能在( o ，t ) 的零测集上有所改变) 引理2 3 2 3 9 】设d 为7 霹他的有界区域，甄和9 为l 9 ( d ) ( 1 q 0 ， ( 2 3 4 ) z 。上i 魂矿( z ，圳2 如出+ fl v 萨( 。1 2 如+ 2 上( i 驴j 2 1 ) 2 出g ( 2 - 3 5 ) 其中g = c ( ) 证明：( 1 ) 用g a l e r k i n 方法构造( 2 3 3 ) 的近似解 设嘶0 = 1 ，2 ，) 为钍+ a u = 0 的特征函数，w j 在俨( q ；z 2 ) ny 中形成标准 正交基，其中y = 扣l 口h 1 ( s 2 ) ，貉j 鳓= o ) 寻求( 2 3 3 ) 具有如下形式的近似解： 礁= 勺k ( t ) 嘶( z ) ，t 0 ，( 2 3 6 ) j = l 其d p a j k ( t ) 由以下方程组确定， 上三a 礁嘶+ 上v 磙v 嘶+ k 2 上( i 礁1 2 一) 磙q 一0 1 sj m 。 ( z 3 7 ) 此非线性常微分方程组满足初始条件 磙( o ) = i n h 2 ( q ；s 2 ) n vm o o ( 2 3 8 ) 关于非线性方程组的一般理论保证了此方程组的解在区间 0 ，】存在 ( 2 ) 先验估计 对( 2 3 7 ) 的第j 式乘以i ( t ) ，再对j 求和，得 上扣磙f 2 + ；袅上i v 珊+ k 2 d f ( 1 硅m t 2 叫。= n ( 2 s 脚 第1 3 页 而 1 l 叼叼 m 同 = 中山大学硕士学位论文 第二章关干l 广l 方程的预备知识 由于西h 1 ( q ；s 2 ) ，所以，将上式在【o ，t 】上积分，得 f o t 上三l a 磙1 2 + ；上i v 磙1 2 + i k 2 上( 1 砩1 2 一t ) 2 g ( 2 3 a o ) 于是，可以得到： a 硪在l 2 ( n ( 0 ，t ) ) 中有界；( 2 3 1 1 ) v 磙在l 。( o ，t ；l 2 ( q ) ) 中有界( 2 3 1 2 ) 磙在l o 。( o ，t ；h 1 ( q ) ) 中有界( 2 3 1 3 ) 由先验估计可以知道，近似解的存在性- - 1 v a 延拓n o ，t 】 ( 3 ) 近似解的取极限过程 m ( 2 3 1 1 ) 和( 2 3 1 2 ) 可知，存在子列硪，使得 a 磷一侥驴+ 弱收敛于驴( n ( 0 ，) ， 磙一u 弱收敛于l 。( o ，t ；l 2 ( q ) ) ， 磙在日1 ( qx ( 0 ，研) r e 有界 同时，由于日1 ( q ( 0 ，功) 紧致嵌入驴( q ( 0 ，t ) ) ，以及( 2 3 1 3 ) ，存在磙的子列( 仍 记为硪) ，使得硪一萨在l 2 ( q ( o ，t ) ) 中强收敛且几乎处处收敛 因此，i 磙1 2 砖一p 2 铲在曩( q ( o ，t ) ) 几乎处处收敛 在( 2 3 7 ) 中固定j ，选取n j ，则有 f a 碡q 一，魏驴嘶，弱收敛在l o 。( o ，t ) ， f v 破v 哟一，v 萨v 嘶弱收敛在护( o ，丁) ， f 砖, o j 一，萨q+ 弱收敛在l ”( o ，t ) 在引理2 3 2 0 0 取d = q ( o ，t ) ，鲰= i - 2 1 2 磺，q = ；，则有 i 砖1 2 砖一i 萨1 2 萨弱收敛在l o 。( o ，t ) 因此，由( 2 3 7 ) 及嘶在v 中的稠密性，可知 上三a 矿 + n v v v + k 2 上( p 1 2 一，) 铲 一。，v v y 第1 4 页 中山大学硕士学位论文 第二章关于o l 方程的预备知识 最后验证近似解的初值收敛于( 2 33 ) 的初值，由( 2 3 ，1 1 ) 并t 1 ( 2 3 1 3 ) 以及弓 理2 3 1 可知，磷( o ) 一舻( o ) 在l 2 ) 中弱收敛；但在y 中，砖( o ) 一而，礼一o 。 由ycl 2 ( n ) 以及极限的唯一性可知，胪( o ) = 而因此( 2 3 3 ) 构初始条件满足 定理得证舞 通过定理2 ，3 1 的能量不等式( 2 3 5 ) ，可以得到 定理2 3 2假设西( z ) h 1 ( q ) ，则存在( 2 3 2 ) 的解d ( 。，t ) i 丽( 。，t ) 1 2 = 1 ，o t 面( z ，t ) l 2 ( n 【0 ，明) ，并且有能量不等式 z 上i 晚矗( z 1 2 出垅+ i l v 西( z 一 2 出sc 证明：由( 2 3 5 ) 可知，存在铲的予序列萨，使得 鼠舻一侥矗w e a k l y i nl 2 ( 0 ，丁) ) ， v 舻c v 矗 w e a k l y i nl o o ( 0 ，t ；l 2 ( n ) ) ， 铲z _ 百s t r o n g l y i nl 2 ( 0 ，t ) ) 由l 痂1 2 ；1 ，可知i 舻1 = 1 ，。e i nn ( 0 ，t ) 由于 ( 三a 沙一曲) 一= o ， 即j a 萨一咖和加平行，因此，存在a ( z ，t ) ，使得 三a 矗一西：a 丽 用砑口上式作矢积、并利用 l d i = 1 ， 丽晚矗= 0 ，i a f t i d z l 2 ， 可知 l 。( o ，t ；h 1 ( q ) ) 。l d “1 2 于是蹦是( 2 3 2 ) 的解，并且很容易知道它满足能量不等式( 2 3 1 4 ) 社 第1 5 页 ( 2 3 1 2 1 ) 中山大学硕士学位论文第三章求解o l 方程的有限元方法 第三章求解l l 方程的有限元方法 3 1 关于空间变量的半离散问题 设q 为冗2 中光滑的有界区域在( 2 3 1 ) e e g t e , = 1 ，则它的第一个方程变为 魂= 一d 回i n n ，( 3 1 1 ) 由【l 】，在 面 = 1 的条件下，( 3 1 1 ) 等价于调和热流方程 碗= 面+ i w t 2 矗i n n ( 3 1 2 ) 在n e u m a n n 边界条件下， 蒙= v 舀而= o o n a q 【o ，卅，( 3 1 - 3 ) 给一个弱解的提法：若矗h 1 ( n ) ，并且 ( 碗，u ) + ( v t v v ) = ( 1 w i 2 瓦”) ，v v 【1 ( f 2 ) 3 ，( 3 1 4 ) 则称面为问鼹( 3 1 1 ) 的一个弱解 求解方程( 3 1 4 ) 的弱解，可以采用g a e r k i n 有限元方法 设r 是q 上的拟一致三角剖分，r p ，m a r x d i 。m rs h 并且魏v 是由在q 上连续， 在r 的每一个三角形上为线性的所有函数构成的有限维予空间由此建立半离散 问题，即寻求诹= ( 峨，u i ，暖) ，让l ：f 0 ，卅一s ，= 1 ，2 ，3 ，使 雠搿垆础咖) i 虮】3 1 慨， 中山大学预士学位论文 第三章求解l l 方程的有限元方法 其中痂 = ( “嵋 ，“乱) 是订在f s 】3 中的一个近似设q 的剖分节点有个， ) 鉴1 是 棱锥形函数构成的标准基，满足：c - 2 i ( a j ) = 1 ，当i = j ；忱( 山) = 0 ，当i j 则可以 将( 3 1 5 ) 的解表示成如下的形式： n 佩( z ，t ) = s j ( t ) 妒a x ) ， ( 31 ，6 ) j = l 其中西( 印= 叫( 力，碍( ) ，田( ) ) ； ( z ) = 易( t ) 仍( z ) ， j = l 其中毋= ( 田，劈，劣) 特别的，依次取”= 协，j = 1 ，2 ，n ，代入( 31 5 ) ，得 令d ( # ) = ( 面( ) ，。，西( # ) ) ；歹= ( 最，蠡，- 一，办j ；a = ( n ，j ) 。v ，其中n 。： ( 忱，叻) ；b = ( ) n ，其中啮= ( v 怫，v 竹) 则( 3 1 7 ) 可以写成 ， i ( t ) + b d ) = f ( 矗( t ) ) ， 0 ， 18 ) l 占f o ) = 矿 由于4 正定，此非线性常微分方程组至少局部有唯一解 3 2 全离散格式 l j 向后e u l e r g a l e r k i n 格式 ( 1 ) 全离散格式的建立( 对时间的离散) 第1 7 页 帜 巩 w 一 。 锄 m 艄 书昏一 竹 | | 一：亘一邓娜嚆煳 中山大学硕士学位论文第三章求解k l 方程的有限元方法 陡誉坍b 纠， 记玩= 诹( 凡s ) ：登西( 扎s ) 垒登而川，反巩：；( 氓一民一，) ，则( 3 2 1 ) 变为 j = 1 j = l ( ；磊瓯，u ) + ( v 玩，v ”) = ( i v g 1 2 瓯，”) ， s h 3 ， ( 3 2 2 ) 玩= 面 ( z ) 若记矗i 叫= ( d 1 ( n s ) ，奶( 住s ) ，西，( n s ) ，则( 3 2 2 ) 可以写成 | a 刭丑二尹竺丑+ b 矗 翻= f ( d 【n 】) ， 1( 3 2 3 ) i d o 】- 于 ( 2 ) 线性化修正， 由于( 3 2 ，2 ) 的每一个时间步必须解一个非线性代数方程组，比较复杂因此，考 虑这个方法的一个线性化修正： ( 磊瓯，u ) + ( v 暖，v v ) = ( i v 反h 1 2 既_ l ， ) ，v v s h 3 ， ( 3 2 4 ) 西= 而 ( z ) ， 三：；d f n 】= a d i n 一1 】 生尘查堂堡主堂焦垒奎 苎三主查壁k 三= 查堡塑垂! 望羔至鲞 向后e 。把，一g 。f e ，“n 方法在时间方向的精度只有一阶，为了提高到二阶，可采 用c r a n k n i c o l s o n - g a l e r k i n , 格式 f ( 磊瓦，”) + ( v 瓦，乳) = ( i v 玩f 2 瓦，咄 3 玩：z o ( z ) ， ( 326 1 l 炙= ( 晚+ 瓯一t ) ( 2 ) 线性化修正c r a n k n i c o l s o n g o f e r 七m 方法也有每一个时间层产生一个非 线性方程组，若要减少计算的复杂性，可以考虑做下面的线性化修正： ( 磊玩，v ) 十( v 磊，v u ) ：( i v 瓦1 2 玩，u ) ，讹慨】3 在( 3 2 7 ) 中，要求用另外的方法单独计算玩，称为预佶校正方法就是先用蕊代 替民由此确定的解玩t o 作为第步的近似值，然后用 ( 疗t ，o + 醌) 代替反最后 由( 3 。2 7 ) 求疗1 f 玩$ ；( 况，o 一玩) ，”) + ( v 5 ( 瓯，o + 玩) ，v ”) = ( i v 西0 1 2 0 0 ，口) 、 ( 32 8 ) 【( 磊玩，”) + ( v 6 1 ，v ”) = ( 1 v ；( 玩，。+ 瓯) 1 2 5 ( 玩，。+ 玩) ， ) 第1 9 页 砷 & 一 d 十 | | o _ 巩 l p 磊 ，1 k 佃 r 扛 乇 p 引 粒 瓤 = | | i | ， ， 中山大学硕士学位论文第四章二维l l 方程的均匀化问题 第四章二维l l 方程的均匀化问题 4 ，1 区域和方程 记y = ( o ，1 ) 2 ，y “= f 1 铲，1 笋】2 为y 中不带磁性的部分，其中o 口 0 ，我们定义： 。f 垒l z i l z 2 ；f 考虑集合露= z 2 忙k c n ) ，令睡= n k 邕5 增，则吼即为多孔介质中磁 体的部分，其边界为 考虑以下的均匀化方程 a 波= a 舢k 邕( 良增) 其中碗= ( u 。1 ，t 。2 ，u 臼) ，i 磁1 2 = l + 喝+ 3 ，n 为外法向 第2 0 页 ( 4 1 1 ) ，t ? 七 卜 】 小 n y = = = 砭曙昭 眈 一 n0z ，【隅磁l如 l | 喀q 喀 f | = 亲小 鲁引锯 中山大学硕士学位论文 第四章二维l l 方程的均匀化问题 4 2 预备知识 在上述定义的区域q 。中，以下的定理成立： 引理l 【2 1 设1sp o o ，则存在e = c ( z n ) ，使得，有 l 。( n ；) c e l + ；i1 1 w l l p ( n 。) h ( 4 2 1 ) 如果以下其中一种情形成立： ( i ) 1sp n ， ( i i ) p = n ，p q n ，psq 冬+ o o 另外，考虑在上述定义的e y 中的“细胞”问题： 瞄i n ， 拢， d l v 嵋i i l 。( n 。) sc ， 堪i 皿( o 。) 墨c ，1 q o o 4 3 先验估计 由定理2 1 可以知道，k l 砒( x ) 1 2 = l 的条件下，( 4 1 1 ) 的第一式等价于 岛磁= 一噍( 畦选) 第2 1 页 ( 4 2 ，3 ) (