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基于一类倔微分方程的图像放大处理 摘要 在分析常见的图像插值放大方法和已有的偏微分方程图像放大方法不足之处的基 础上，根据文【7 j 提出并证明的图像插值一般偏微分方程模型。注意到图像放大特点及 图像放大过程中图像边缘的可预知性，提出了一种新的用于图像放大的线性偏微分方 f 曼! 铲= 面辛刁 ( 琶+ 缸孳+ p ) ，。十( 置+ 出崦+ 产) 屯 + 2 0 ( 习一1 ) j l ，毛吩。勺l + 联z ) ( t | o 一曲，( 毛t ) f h = n ( 0 ，卅， i舞= o 。 ( 引) a n 【o ，刀， lu ( z ，0 ) = 妒( 刁， z n ， 关键词：图像放大。偏微分方程，图像插值 作者，宋萌芽 指导老师，朱宁副教授 h a g ez o o m i n gb a s e do nat y p eo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u s t i o n sa b s t r a c t i m a g ez o o m i n gb a s e do nat y p eo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，- em 蜘t h ed e f i c i e n c yi nn s t u di n t e r p o l a t i o na n dt h ek n o w np a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sm e t h o d sf o ri m a 菪ez o o m i n g b a s e do nt h eg e n e r a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o na p p r o a c ht oi m a g ez c o m m a n dt h ef e a t u r eo fi m a 铲o m i ga n dt h ep r e d i d a b i k 0 ft h ee d g ef o rz o o m e di m a g e w ep r o p ean e wt y p eo fl i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m o d e lf o ri 口f l a g cs o o m m gi f 丝铲= i 厨i 丐17 ( 哇+ 9 ( z ) 置+ e 2 ) 地。气+ ( 置+ 出) 置+ 2 ) 蚝，毛 + 2 0 ( z ) 一1 ) 毛l ，蚝，毛l + 卢( z ) ( t 幻一曲，忙，t ) f b = n ( o ，刀， i 舞= 0 ，( 毛t ) 钿【0 ，明， l 仁，0 ) = 妒( 甸，n h e r eni sa b o u n d e di m a g e 矾l b f e to fr 2w i t hl i p h i t zb o u n d a r y 铀，王= ( 茹1 ，毛) r 2 ，t 0 ，觑z ) z j ( n ) ，9 ( z ) i 8a l le d g e - s t o p p i n gf u n c t i o n ，“。) i st h ei n i t i a li m a g e ，( z ) i st h e w ed e m o n s t r a t et h ee x i s t e n c e , u n i q u l m e ma n ds t a b i l i t yf o rt h es o l u t i o ni n 昨1 ( 卿) 0 ft h ep r o p 刚m o d e ls tl - e 西 t h es c t m dr e s u l t so f m o d di ni l n a g ez o o m i n g t h e 。叩a 血珊皿t a ir e s u l t ss h o wt h a t 鲥m e t h o dw o r kf a s ta n de f f m e u t s oo u rm o d e li s 皿目面n 烈r e a s o n a b l ea n de f f e r t i 饨i l m 醒e 卸a i n gm o d e lb a s e do np & r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o nn o to n l yi nt h e o r yb u ta l s oi np r a c t i c e k e y w o r d s ：l i n a g ez o o m i n g ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i m a g ei n t e r p o l a t i o n s u p e r v i s e db yp r o f z h un i n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：皿啦日期：啦一 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：雌日期：五扯 导师签名： 彗 e l 期：幽：生 基于一类倔微分方程的图像放大处理 一引言 一引言 1 1 图像及图像处理 在社会生活和科研活动中，人们频繁地接触图像，如照片、图画，书报、医学x 光片和卫星遥感图像等图像成了人们认识客观世界的重要知识来源考古学者李继 生在1 9 9 6 年c 矾e m a n 于1 9 9 6 年，崔屹在1 9 9 7 年等等，在各自相关的文献中指出 人类获取外部世界的信息8 0 来源于视觉。也就是通过图像获得的 图像处理技术是伴随着人类文明的发展而逐渐形成的一门学科所谓图像处理。就 是对图像信息进行加工以满足人的视觉心理或应用需求的行为，如旧照片的修复小 图片的放大等广义上讲。图像处理分作图像的模拟处理( 如早期照相店的手工修改 照片) 和图像的数字处理后者通常称作数字图像处理。或计算机图像处理。或简称为 图像处理1 1 1 1 c a s t l e m a n l g c j 6 年将数字图像处理归纳为。随着计算机技术的兴起而产生 的借助于计算机的图像处理技术数字图像处理的主要工作是将图像信号转换成数 字格式并利用计算机对其进行处理与分析崔屹1 9 9 7 年在其有关文献中指出，最早的 图像处理是t 世纪二十年代。纽约与伦敦闻通过海底电缆传输的数字化新矧图片，它 使跨大西洋传送一幅图片的时间从个多星期减少到少于三个小时上世纪五十年代 中期，在美国太空探索计翔的推动下，美国喷气推进实验室( j e tp r o p u l s i o nl a b o r a t o r y ) 为了处理。徘徊者7 号太空船送回的四千多张月球照片，应用了计算机图像处理技 术，获得了空前清晰的效果幽上世纪七十年代开始，i 疃着以计算机和计算技术为核 心的信息科学的发展，图像处理和分析技术得到蓬勃的发展与应用特别是上世纪九 十年代开始，计算机多媒体技术的发展对图像处理产生了巨大的促进和推动作用近 年来，信息技术的蓬勃发展。降低了图像处理所需的硬件成本，数字图像技术已经从 工业领域实验室走向商业领域艺术领域及办公室，甚至走向了人们的日常生活。 数字图像处理技术将愈来童发挥重要作用 图像处理技术发展至今，已形成为内容丰富的一大学科，且随着新型图像效据形 式的不断涌现及图像处理应用的不断深入图像处理技术仍在不断发展和完善中，数 基于一类偏微分方程的图像放大处理 一引言 字图像处理的研究内容主要包括： 一) 图像变换 通过图像的变换，改变图像的表示域及表示数据，给后继工作带来极大方便，倒 如。f o u r 泌变换、小波变换对图像在频域中进行分析、处理，以获取我们需要的信 息；而使用离散余弦变换及离散小波变换则可对图像数据进行压缩，从而便于图像传 输和存储 二) 图像增强 图像在生产、传输过程中往往会失真，所得图像和原图像有某种程度差别人们可 以估计出使图像降质的一些可能原因，针对这些原因采取简单易行的方法，改善图像 质量 三) 图像分析 为了有效地研究和分析图像，往往需要对给定的图像及已分割的图像区域用更为 简单明确的数值、符号或图形反映原图像的重要信息及原图像的主要特征 四) 图像压缩 多媒体和互联网的发展，使得图像的传输越来越重要为了减少传输图像时所需花 费的代价，必须采用合适的方法对图像进行压缩和编码，以便于图像的传输和存储 五) 图像重建 图像的重建起源于c t 技术的发展是一门新兴的致字图像处理技术，主要是利用 采集的数据来重建出图像图像重建的主要算法有代数法迭代法、f o u r i e r 反投髟法 和使用最广泛的卷积反投影法等 六) 模式识别 模式识别也是数字图像处理的个新兴的研究方向其研究的目的是构造自动处 理某些信息的机器系统。以代替人完成分类和辨识的任务当今的模式识别方法通常 有3 种。统计识别法、句法结构模式识别法和模糊识别法目前应用广泛的文字识别 ( o c r ) 指纹识别和条形码技术就是应用模式识别技术开发出来的 2 基于类偏微分方程的图像放大处理一引言 1 2 图像放大处理及常规图像放大法 图像放大处理是图像重建的一种。就是用一种方法来改变图像已有的大小，以满 足人们的视觉需要或应用需要的一种行为图像放大的处理技术在实际应用中的重要 性是不言而喻的，图像的这种处理手法在图像显示传输( 通讯) 、图像分析以及动画 制作，电髟合成等方面有着相当广的应用 从理论上讲，图像放大问题就是图像插值问题我们所常用的图像放大方法主要有 平移重复插值方法，双线性插值方法，三次样条方法，三次b 样条方法等，常规的插值 方法简单，处理速度快。已广瑟应用于商业软件中因这些常规图像放大方法计算简 单。以至于人们将图像放大处理枧为图像处理理论中较简单的内容，即使一些图像处 理的专著也不将其作为个专题研究但我们必须看到，这些插值方法大都是前几个 世纪。在计算设备、技术相当落后的前提下，为了进行复杂计算而提出来的方法，这些 常规的插值方法主要是利用特定的函数结构来构造插值函数。而没有考虑数据的物理 信息，因此。其放大效果存在着众所周知的如马赛克，斑点等一些不合理现象i t - s 。如 平移重复插值方法简单易于实现，然而，当图像中包含像素之间灰度级有变化的细微 结构时，该方法会在图像中产生人工的痕迹，导致图像带有锯齿形的边缘；双线性插值 具有平滑作用。可能会使图像的细节产生退化，尤其是在进行放大处理时，会丢失重要 的边缘特征信息以上这些方法都是在假设图像像素和周围像素呈线性关系的基础上 送行的，但事实上图像的有些纹理之阗或像素甸呈突变性质，具有菲线性关系，这时 若采用纯线性函数进行披合会使边缘信息模橱，或丢失重要的边缘信息，从而影响了 人们通过放大后的图像获得信息的精确性所以，为了获得商质量的放大图像，需要 对图像放大技术进行更深入地探索，以寻求更好的图像放大方法来处理图像放大问题 1 3 偏微分方程及图像处理 近来。基于偏微分方程的图像分析与处理越来越成为研究关注的热点将偏微分 方程运用于图像处理的想法可追溯到图像处理起步的早期，而其得到广泛关注并成为 3 基于一类偏微分方程的图像放大处理 一引言 一研究热点则始于八十年代k o e a d e r i a k l 、w i t k i a n 的工作以及这领域最有影响的 p e r o n a 和m a l i k n 的工作随着近代科学技术的迅速发展，数学特别是偏微分方程所 起的作用越来越大，新的问题不断涌现，如物理中的液晶和超导方程、金融中的随机 徽分方程等等而用偏微分方程现代理论来建立图像处理模型、指导离散过程与实际 计算越来越受到理论和应用专家的重视，也展现了偏微分方程在图像处理领域强大的 生命力和巨大的应用背景 用偏微分方程处理图像的方法有其自身的优越性，首先，偏微分方程是连续的模 型。离散的滤波表现为连续的微分算子，因而使得网格的划分局部非线性滤波分析易 于实现；其次，偏徽分方程使得图像处理方法的合成十分自然；最后，偏微分方程方法 建立在坚实的理论基础上，并具有定的稳定性，且可根据实际需要来建立各种类型偏 徽分方程的模型，而灵活多样的数值方案也给图像恢复方程的数值计算以极大的帮助 1 4 基于偏微分方程的图像放大法 由于计算机硬件和处理速度性能的大大提高，图像处理技术的发展也越来越快。 在计算机视觉和图像处理的应用领域，对于图像( 信息) 处理技术的要求也越来越高， 常规的插值方法图像放大技术已不能满足人们的需要，因此需要不断地寻求一些新的 处理方法来满足日益发展的对于图像处理的技术要求 用偏徽分方程来进行图像放大处理的理论依据在文 7 1 和文【8 】得到了严格的证明 文m 针对图像插值的特点，提出了图像插值处理中所需满足的八条公理在这篇 文章中称连续函数r ：【n q 1 2 为连续的简单j o t d 曲线。若它是一一对应的且 r ( d ) = r ( 由这样的曲线所围成的有界的连通区域记为d ( r ) r 2 上的连续的简单 j o r d a n 曲线的集合记为c 对y i c ，记，( r ) 为定义在r 上的连续函数的集合对 v r c ，v l p e ，( r ) ，我们定义插值算子e ( r ) 。其定义域为d ( r ) 在文【7 】中指出图 像插值中所需满足的八条公理为： 1 比较原则 4 基于一类倔微分方程的图像放大处理 一引言 对v r c ，如，妒爿r ) ，妒妒，有 主妒，r ) se ( 母，r ) 2 稳定性原慰- 对v r c ，如y t r ) ，及任意的使得d ) d ( r ) 的i v c 。有 联e ( 妒，r ) l t v ，r 9 = e ( 仍r _ ) j d 旷) 3 正则性原则- 设s m ( 2 ) 为对称的两维矩阵的集合 s m ( 2 ) ，p er 2 一 ，c r ， 口( 们= 血l 掣+ + c ( 其中 = 盘气挑，2 = ( z 1 ，z 2 ) ， = j ，= 哳，耽) ) 设d ( z ，r ) = b r 2 ：怙一z r ) ，a d ( $ ，r ) 是有界的，则有 墨丝些型坚l 型要要生! ! 型。f ( a ，p 1q 甸，+ o + ， 一| 2 。 其中f ：s m ( 2 ) r 2 一 0 r r 2 r 为连续函数 t 平移原则t e ( q 协r 一 ) = 龟e ( 协r ) 其中q 烈功= 妒扛- i - 岣，h r ，妒，( d ，r c 5 旋转不变原则； 以且妒r r ) = 矗e ( 妒 r ) 其中j b “甸= “符刁，r 是r 2 上的正交映射，砰为r 的转置，r c ，妒，( r ) 6 灰度尺度不变原则t 对v r c ，e ，( r ) ，c r ，有 e ( 9 + c ，r ) = e ( r ) 十己 5 基于一类偏微分方程的图像放大处理 一引言 7 线性灰度尺度不变原则 对坝r ，有 e ( 妒，r ) = 九e ( 妒，r ) 其中对r c ，妒，( i ) & 缩放不变原则对枞r 。有 耳以仍 - 1 f ) = 以固舨r ) ， 其中以妒= “埘，r c ，妒，( r ) 文m 在连续情形下进行了严格的数学推导、计算。证明了图像插值( 放大) 问题应 由形为 g ( 驴u ( 南，高) ，护“( 高，嵩) ，胪u ( 茜，高) ) = 。 的偏微分方程之粘性解( 完全非线性偏微分方程的一类广义解) 来刻划，并根据计算的 实际需要，说明了图像插值问题由以上方程对应的抛物型偏微分方程来处理较合适 文【8 】讨论了偏微分方程模型在图像分析与处理方面的优点，指出要得到高质量的 图像，偏徽分方程模型的利用是极为必要的 偏微分方程方法用于图像放大处理的效果也在一些文章中得到了实验的证明文 科f 1 碣均提出了用偏锾分方程进行图像放大的方法，并用实验证明了这种处理确实达 列了极好的图像放大效果，其放大效果优于常规插值方法及现有的常规图像处理软件 的放大效果但是目前这些偏微分方程方法也存在不足的地方，以文i l o 】为例，我们记 原图像为m 。对图像横向、纵向均放大整数女倍，放大后的图像为u ( z ，t ) 扛= ( z 。，毛) ncr 2 ，t o ) 。n 为放大后图像所占区域文f 10 】采用了很复杂的非线性偏微分方程 象= 矾( 篙，菡) 刊酬胁( 高，高) 一( p u 一) 用于图像放大。其中u 扛，0 ) = u o ，蜘为采用常规的插值方法把原图像”横向纵向均 放大整数i 倍后的所得图像函数g 称边缘停止( e d g e - s t o p p i n g ) 函数，满足0 9s1 6 基于一类偏敲分方程的图像放大处理一引言 且在图像光滑区域9 = 1 ，在图像边缘部分9 = 0 算子p 作用到函数上的计算为， p u ( z ，t ) = en 。 一2l 谢，t ) 由， 1 1 ”i t l ， 其中f k l ，为包含点扛、，毛) 的大小为p 的区域，i i r 。 为，屯的特征函数 我们可以看到，就实际计算来说，j 的计算相当复杂，整个偏微分方程由于其非 线性特点，它的计算量是非常大，不适合实际应用；另一方面，这一基于偏微分方程 的图像放大方法采用的是先对原始图像进行常规的插值方法放大。然后再利用非线性 倔徽分方程进行处理，处理的目的之就是使得图像边缘保持清晰我们知道。常规 的插值方法放大后的图像会有虚假边缘出现。而偏微分方程处理图像的主要特点是在 以最大的可能保持图像边缘的前提下进行图像处理。因此。这样的方法实际上是把常 规的插值方法放大后的图像的边缘作为图像真正的边缘来处理，从而将这些虚假的边 缘大都完全保留了下来，这显然是不合理的 针对以上所述图像放大方法中所存在的缺陷，我们提出了新的基于一类偏微分方 程的图像放大方法在本篇论文中，我们利用图像放大的特殊性并综合三次样条插值 放大保边缘的优点，对原始图像先提取边缘，将这边缘图像实旌三次样条插值放大， 并用闻值进行适当修正，得到较精确的放大后图像的边缘信息，再利用此较精确的边 缘信息构造合适的偏微分方程用于图像放大处理，把原图像进行线性放大后的图像作 为偏微分方程处理的初始图像，在处理的过程中，利用边缘停止算子，使边缘部分和 图像非边缘区域采用不同的处理方法，在图像菲边缘区域进行适度的磨光处理。而在 迎缘区域图像只沿梯度的法向方向( 边缘方向) 进行合适的扩散，于是得到一类新的基 于偏徽分方程的图像放大模型我们的偏微分方程模型既保留了常规的插值放大方法 中的优点，又用了新的方法来克服其中所存在的缺陷，实验证明，这是一种很有效的 图像放大方法 本文的各章安排如下t 第章为引言，介绍图像和图像放大处理的一些基本概念以 及常见的一些图像放大方法，并分析指出了常见图像放大方法存在的一些不足之处， 继而阐述了偏微分方程应用于图像放大处理的理论基础；第二章是我们的图像放大处 7 基于一英偏微分方程的图像放大处理一引言 理模型的数学基础。对该模型进行推导，并进行模型解的存在性唯性和稳定性研 究；第三章给出了我们模型的具体的数值计算，进行了数值分析，并给出了应用于实 际图像的效果图及不同方法之间的效果比较及误差比较；第四章总结了全文的工作 创新点和理论实际意义并指出今后进一步的研究方向 8 基于一类偏徽分方程的图像放大处理 = 模型的推导及其理论基硇 二 模型的推导及其理论基础 在本章，首先对我们的模型进行了详细的推导，并分析其存在的优点及其中对其 他一些图像放大方法不足之处的修正，而后。对我们模型的解的存在性、唯性和稳 定性进行了细致深入地探讨 2 1 模型的导出 灰度图像数据是二维平面上的灰度值，可用二元函数 “，) ，( i ；1 ，2 ，一，m o ，j = 1 ，2 ，一，n o ) 来表示，其中m o ，n o 分别为图像的行数和列数”( i ，j ) 值的大小受物体表面的材料、背 景物体的物理性质光照强度和角度以及成像过程中的噪声等影响。这种数据既不是 纯随机性的。也不是完全结构性的空间连续性是空间属性的最基本性质，空间中相近 的样本点具有某种相似性。而相距较远的样本点往往取不相近的值这些数据整体不 是随机的，而是高值倾向其他高值附近，低值倾向其他低值附近，且值的改变可以是渐 变的，也可以是突变的。般并不完全呈线性关系因此这种图像数据”( z ) = 口扛，毛) 是有一定物理意义的数据，当图像的横向纵向分别放大正整数h ，b 倍时，记放大 后图像所占有的平面区域为 n = 仁= ( z l ，) 1 1 1 2 规 t 1 ( m e 一1 ) + 3 2 ，v 2 x 2 ( t 1 0 1 ) + 3 2 ) 放大后的图像数据同样可以看作是横向纵向分别放大h ，b 倍后具有同样物理意义 的数据 u ( z x ，匏) ，( 。l = 1 ，2 ，k x ( m e 一1 ) + 1 ，砘= 1 ，2 ，b ( n 0 一1 ) + 1 ) 为描述准确起见，我们记 s = ( h a 一1 ) + 1 ，阮u 一1 ) + 1 ) 悻= 1 ，2 ，m o ，j = 1 ，2 ，幻 9 基于一类偏微分方程的图像放大处理 二 模型的推导及其理论基础 根据图像放大要求，放大后图像在s 上的点( k z ( i 一1 ) + 1 ，b o 一1 ) + 1 ) s 的像素值 应与原图像的( i ，j ) 点上的像素值保持相近或一致，即 “七l g 一1 ) + 1 ，b 0 1 ) + 1 ) ( i ，j ) ，( i = 1 ，2 ，一，f n o ，j = 1 ，2 ，一，f 1 0 ) ( 2 1 ) 为了确定放大后图像的像素值，注意到线性插值法放大图像较接近图像真实情况 这一事实，我们首先对原图像作双线性插值，得到定义在厅上的函数p ( z 1 ，疵) ，又对 原图像作平移重复插值，得到定义在矗上的函数“o ( z z ，z 2 ) ，则 妒( 七l ( i 一1 ) - i - 1 ，七2 d 一1 ) + 1 ) = t o ( 七1 a 一1 ) + 1 ，b u 一1 ) + 1 ) = 口( i ，j ) ， ( i = l ，2 ，m o ，j = 1 ，2 ，l o ) ， 由前面所述，我们可引入时间参数t ，设t 时刻，对应于厅中的点z = 向，钇) 处物体 的温度( 像素甸为”( 毛t ) 同时注意到1 1 0 】采用的非线性偏微分方程图像放大模型 象= d 2 u ( 高，篙) + 9 ( i d u l ) d 2 u ( 高，高) 一( p u 一凡) t ( 2 ：) 其中 d l = k 。，) 肘= ( ，一。) ， 胪“ 司= 矿u 占= k - 啦】【乏耋乏： 【三】 = 磅t 1 l 毛+ 2 a l a , z u = l ，+ 碚2 屯， 9 ( s ) 2 而1 i ， 其放大原理是在放大图像的非边缘区域，d l i 较小，因而“i d t i ) z1 ，从而方程接 近各向同性的热传导方程。成为各向同性的扩散；在边缘处有9 ( i i ) t , i ) m0 ，方程成为 沿边缘方向的扩散方程。限制了以边缘垂直方向的扩散，从而实现放大图像有较清晰 边缘 从模型( 2 2 ) 的放大原理中可以看出，d l 主要起到边缘判别作用，但在处理过程 中。u ( z ，t ) 还不是我们需要的最终放大图像，其边缘也不是放大图像真正的边缘，因 此。这样的边缘判别是不合理的为此，我们考虑原图像的边缘，将其记作o ( z ) ，其 1 0 基于类偏徽分方程的图像放大处理 二 模型的推导及其理论基础 象素值取0 或l ，不妨设1 0 ( x ) 在边缘部分值为1 ，在非边缘部分值为0 我们注意到 三次样条插值方法有非常好的边缘保持效果，因此，我们对这边缘二值图像采用三 次样条插值，由三次样条插值性质。为确保获得准确的边缘位置，我们还要对实施插 值以后的边缘图像利用阈值进行修正，比如阕值取3 。对于像素值不小于g 的取为 1 。否则取0 ，从而得到新的二值图像记作j ( z ) ，根据三次样条放大有良好的边缘保 持性质，这一二值图像j 扛) 是原图像放大后图像的较为精确的边缘，将其用于非线性 偏徽分方程模型( 2 , 2 ) 中的边缘识别分量，得到下面新的基于偏微分方程的图像放大 模型- 象( 引) = d 2 u ( 篙，篙) 删d 2 u ( 品，品) + 心( 刊， ( 2 。) 其中 觑甸= , e ( z l ，却) = g ( j ) = 0 ，仁1 ，句) n 晶， 1 1 , 2 ， ( ：3 c 1 ，沈) 品， 1 ，0 s s 单调光滑， 8 4 ) ，掣= 0 扛a n ) ，叼由( 2 5 ) 式给出，满足( 2 6 ) 式，且 对任意的毛g r 2 。有 i n 盼( ? ) 一。巧( ”) i m u ( k 一掣i ) ，( i , j = 1 ，2 ) ， ( 2 8 ) i 卢( 甸j m ，( z ) i m ， 其中m 0 为常数，函数u ( 甸连续且u ( o ) = 0 2 2 函数卢扛) 的分析 在我们的模翌中， m = 冬，：蛩 其中品= 忙e f l ：d 试扛，研 击) ，这里n 为一充分大的正参数 设u 睇1 ( f b ) 为我们的模型的解，即满足； t | t 一叼勺= 卢( t o 一 i j = 1 对任意的区域d c f l 。有 上脯- 训出 2 厶h 一岳i 叼勺恤 卯i l ( 小一荟恍陋n 枷螂z 其中 + ；= 1 所以在充分小的区域d 上。取到n 足够大时。则有 性| d t o i d o e 0 t s t 所以函数口( z ) 可保证( 2 1 ) 式成立 显然，在实际计算过程中，函数卢( ”一u 0 ) 的计算会比方程( 2 2 ) 中的( p u p ) 的计算会简化很多 1 4 基于一类偏微分方程的图像放大处理 二 模型的推导及其理论基础 2 3 模型解的存在性，唯一性和稳定性 们, t x t 4 - - , 妒m - - 0 0 ) ，且筹l 蚝锄- o 卜一苌? 妒) - 喜一嚣璁习， l 。( z ，0 ) = o ， 王n ， 恤嚣一d 嚣( 口) i 肌j ( 1 z 一口1 ) ( i j = 1 ，2 ) ， ( 2 1 1 ) 基于一类偏微分方程的图像放大处理 =模型的推导及其理论基础 再对其关于。的每个分量作周期为2 的周期延拓，即对任意的z r 2 ，取l ，m 2 ) z ， 使得( z 1 + 2 m 1 ，却+ 2 m 2 ) 【一1 ，1 1 2 ，令 四向，幻) = 霹恤+ 2 m l ，2 ：2 + 2 忱) ， 砂( 研，句) = 伊扛1 + 2 m l ，印+ 2 1 2 ) ， 田( l ，幻) = 四( z l + 2 m i ，x 2 + 2 t ，1 2 ) ， 矿( z l ，沈) = 驴”往l + 2 r ，i l ，勉+ 2 - , 2 ) ， 磅( q 。印) = 四( 研+ 2 m l ，疵+ 2 r n 2 ) ， 即对问题( 2 9 ) 关于z 各分量作对称，周期延拓。将问题( 2 9 ) 转化为， fq 一喜。四；l ，+ 砂”= 哥( 习( 四( z ) + 尹) 一差。嚼四，k 甜，( 2 _ 1 2 ) l 口0 ，0 ) = 0 ，z r a 。 由延拓的性质知。函数- m ，尹，t 矿，乒”，四c o + 1 , ( 玉) ，即关于$ 为l j 阳由i t z 连 续，关于 为次h s i d e 连续 对于c a u & y 问题( 2 1 2 ) 。我们有以下解存在定理t 定理2 1 ( 参见文【2 1 1 的第1 6 5 页定理1 ) 若定解问题 i 啦一叼k t ) l j + k 她t ) + 如，咖= ，仁，巩 k t ) t i t ， q = 1 = 1 l训；“) ，$ e p ， 满足以下条件t 对任意的扛，l j l i t ，e p 。有 b b ，+ 肚b ，+ i 如，is 胍 幻= l i = 1 开 叼矗白 l 引2 ， o = l l ，l 矿， 0 ，其中 ，a ，m 是正常数则定解问题( 2 1 3 ) 的有界解是唯一的 证明不妨设( 2 1 3 ) 的有界解满足i u i s 肘i 令口= 士t + f t + b - t - e ( z ，t ) ，其 中f ：s u p f ，且：，w s u p f s u p l p l：r b 。蝶“6 待定，d ，6 o ) ，则 中f 2 蜥 ，且2p， 2 r 8 靠“6 待定，4 ，6 o ) ，则 c w = w t 一4 玎1 l | + 如1 + c w ，= 1# = c 燃 南+ 尚一霪。叼播+ 高】 + 耋氏尚+ 南) g 霹+ 窨+ 饕+ 南 nn n 由叼妫a k l 2 及如= ，得- 对任意的1 女2 ，口烛= 贲毋 j ；j- j = i ：j t j = 1 a ，这里矿为n 维基本单位向量“ 所以岛s n a ， 1 7 基于类偏微分方程的图像放大处理 二 模型的推导及其理论基础 胛e 燃 滑+ 一a b x ( 1 2 。- 卅4 6 2 a l = 1 2 一訾妒+ 南】 = e 螺 背+ 型訾警尸蚶ii + 南 ， 其中k ：m n 量砖，1 ) 取。：2 h a 十啪+ 1 ，6 = 1 又取而= 甄硪干1 留再刁 0 因此。 = 士c 舢- i - c ( f f - t - b ) - i - 让w = 士丘u + f + c ( f t - i - 且j + e c w 0 ， l t = o = 士妒+ 口+ d 啦p 0 ， 口柚= 士i + 只+ b + 胁南e 禹 2 士t + t 兰瓷尸击叫 = 土u + 南m o c 惫舻 h + 脑l 0 因此，当i x l 足0 t s t o 时，口之0 即l 缸扛，t ) l f t + b + 矿( ，t ) 对于固定的( 知，t d ) s t o ) ，令r 一0 有l ( 知，t o ) f r o + b f t 0 + b 所以，对于0 t 墨t o ，l ( ，t ) l f t o + b ， 对于t o t 2 t o ，l 蕾( 1 ，t ) l s f “一，砧+ 唧i t z ，) l s 2 f t o + b 所以当m 满足( m 一1 ) t o 0 易证 伽i k i 工0 ，埘i t = o 0 由极值原理知，在q l , t 上，”0 于是 i ”( z ，t ) lsf t + 雪+ r l ( z ，t ) 凡+ 雪十参( i z l 2 + 丑t ) 对于任意固定的( x o ，t o ) ez b ，当l 充分大时必有( 知，t o ) q l ；r 因此当l 充分大 时。 i u ( z 。，t o ) i - 0 是一常数令= f t 概，则 222 铆一- - m 。w 勺+ 尹”；一碍厶1 j 一2 砑龟+ 眠 2 其中，= 伊( z ) ( 回( z ) + 矿卜叼四 j = l 所以由偏微分方程的w 子1 估计，以及的周期性。我们可得 m w ； - ( n 。，) = u w l l w , 鼻，( n i ，) sc ( i i d i b ) + i i m i i z + - ( u + ) + i i 矿0 岬) c ( 1 l l l l , ( n t t ) + l i t h o p ( n 。r ) + l l 矿叼( o 。) ) 其中n 仃= n 1x ( o ，刀，西，= ux ( o ，卅，c 为仅依赖于 ，a ，m ，t 的常数 由内插不等式一 l i d i l l - ( 1 f ) e o d 2 训l p ( n 。r ) + 肌i i - l l p ( n l t ) 垤 0 ， 取e 使得c e s 。再利用，矿的对称性可得 l 0 w 争- m l c ( 0 0 工，m ) + 叼( n ) ) 所以对定解问题( 2 1 5 ) 的解t 严有 i l 0 嵋- m ) 曼c ( m l 岬( n ) + l t ，i l l p l f l r ) ) 又由( 2 1 6 ) 式得 i 0 昨1 ( 嘶) c ( 8 u p 旧( 。) 矿( 。) l + 8 u pi 矿( 。) i + 0 矿0 岬( n ) ) + 。 这里c 为仅依赖于 ，a ，】l f ，t ，n 的常数 2 1 基于一类偏微分方程的图像放大处理二 模型的推导及其理论基础 定理2 5 定解问题( 2 1 5 ) 之解u m ，当m o o 时， u 。) 在略1 ( 听) 意义下强 收敛于某函数u ，它为原问题( 2 7 ) 之解 证明设t ，i ，t ，为定解问题( 2 1 5 ) 中对应取m ，n 时的解，令 = 一t l ，则 满足 ，2 j 铆一亲l 叼勺+ 矿( z 加= f ， ( 引) 听， 赛= o ， ( z ，t ) 加【o ，t 】， 【 。( 。，0 ) ：矿。一矿，。n 其中f 5 至l ( “孑一喝) 哇唧一( 矿( 。) 一矿扛) ) 矿( 毛t ) + 矿( 2 ) 时( z ) 一矿( z ) 嵋( z ) ，剐由 定理2 4 中的嵋。1 估计知 恻l 嵋1 陆) sq i p ( i l r ) - i - l t l ，0 工，m ) + i i , p m 一矿0 叼( o ) ) ，( 2 1 7 ) 因为 ”) = r 埘( ”) 山+ ”扛，0 ) ， 所以 州姊，= 厂上l r 地s ) 幽+ ”( z ，。) i 出出 c f 上i r 嘶舭陋+ z r 加删恸 c r f z 扛，t ) 尸如值+ r ”扛，。) h p ( 0 ) s c r 厂上仁，t ) p ，幽出+ t i i ”( z ，o ) 怯i n ) ， 其中f 啊= n x ( o ，州，c 为正常数所以 口t ”哆( n s 口r 上上扛，力p ，出出+ r o 仁，o ) 8 p ( n ) 由( 2 1 7 1 式得存在r 律得r o ， 基于一类偏微分方程的图像放大处理三模型的实现 则 吨一咐l s 研t j l 磊0 k c = 而可，t 0 证明由( 3 3 ) 式得； 了1 一t - o u - - ( i z x t a 蚶一2 j a 丁t 口q 一2 j a 丁。q o j 八, , t q k j t | 0 ，j ) + 舍。t j ( t “1 j + 砘一1 j ) + 舍k j ( t i j + 1 + 珥j 一1 ) + 互a 驴tq a - l l j + 1 一t 4 l j 一1 一t 皇_ 1 j + l + t t i l j 一1 ) 一( 等口j + 等“j ) 咐， a = 1 ，2 ，l ( r n o 一1 ) + l ，j = 1 ，2 ，- 一，b ( ，t o 一1 ) + 1 ) 令吃= 1 吨一t o 斯l 则 嚣1s ( 1 一z x t a u 一万2 a t 哪一可2 a t 吣) - - + 丁i o k c a t ， 注意到宅= 0 ，所以 咐1 壹( 1 一缓j 一爷吣一可2 a t , 丁i o k c a t ， 1 0 c 3 万砸= j 酝= 网 ，一1 工山o l + l 由互2 节的分析知，从理论上证明了合理的函数烈曲，可保证( 2 1 ) 式成立由定理 3 1 知