（应用数学专业论文）广义辛图及其次成分的研究.pdf

摘要 本文利用如下方法构造了一个图以f 叫中m 维全迷向子空问为顶点集，定义邻接 关系：设m ，为两个不同的顶点，m 一当且仅当r a n k ( m k n t ) = 1 ，d i m ( mnn ) = 仇一1 ，其中m 一表示m 与足邻接的，k 是f 口上非奇异交错矩阵此图称为f 。 上关于k 的广义辛图文章主要研究了广义辛图及其次成分的一些性质广义辛图足一 f il )p 一2 m - i - 1 ( q 2 i _ 2 m - i - 1 f i 一( 口i 1 ) 1 )q 2 一一( 口i 1 ) 个直径为m i n 2 m ，) ，顶点数为型名生一，价为五上l 的正则图对任意两 r i ( g 一1 ) r l ( 矿一1 ) i = l i = l 点m ，若r a n k ( m k n t ) = r ，d i m ( mnn ) = t ，并且r ，t 满足r + t m ，则m 与 的距离为2 m 一2 t r 事实上，广义辛图足对辛图和对偶极图的推广当m = 1 时，广 义辛图即辛图当m = j 时，广义辛图即对偶极图另外，当n = 2 时，文章还对一个 特殊的固定点m 研究了广义辛图次成分r ( 1 ) ( m ) 的性质r ( 1 ) ( m ) 足由q + 1 个互相同 构的连通分支的并构成的当q 2 时，每一个连通分支都屉一个参数为( q 2 ( v - 2 ) “，( q 一 1 ) q 2 ( v - 2 ) ，( q 一1 ) 2 q 2 ( v - 2 ) ，( q 一2 ) 9 2 ( v - 2 ) ) 的强d e z a 图当口= 2 时，每一个连通分支足参 数为( 2 2 ”3 ，2 2 ”4 ，2 2 ”5 ，o ) 的强d e z a 图r ( 1 ) ( m ) 足一个参数为( 3 2 2 ”3 ，2 2 ”，2 2 ”，0 ) 的d e z a 图最后，文章给出了广义辛图次成分的一个具体例子当m = 2 ，q = 2 ，= 3 时， f ( 1 ) ( m ) 是一个顶点数为2 4 ，价为4 的正则图，并且它是3 个互相同构的连通分支的并，每 个连通分支不足强正则图，但足一个参数为( 8 ，4 ，2 ，0 ) 的强d e z a 图 关键词：广义辛图 次成分正则图强正则图d e z a 图 i i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ec o n s t r u c tag r a p ha sf o l l o w s l e tm ，0 ) s u b s p a c e si i lf p b et h ev e r t i c e s ， t h ea d j a c e n c yi sd e f i n e db y , m ni fa n do n l yi fr a n k ( m k n 丁) = 1a n dd i m ( mnn ) = m 一1 ，w h e r em nm e a n st h a tm i sa d j a c e n tt on ，ki sn o n s i n g u l a ra l t e r n a t em a t r i x o v e rf q t h eg r a p hi sd e n o t e db yg e n e r a l i z e ds y m p l e c t i cg r a p hr e l a t i v et ok o v e rf q i nt h i s p a p e r , w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e ds y m p l e c t i cg r a p ha n di t ss u b c o n s t i t u e n t t h e g e n e r a l i z e ds y m p l e c t i cg r a p hi sar e g u l a rg r a p h t h ed i a m e t e ro fg e n e r a l i z e ds y m p l e c t i cg r a p h 】1 1 ( q 2 i 一1 )q 2 r 一2 r n + lf i ( q t 1 ) i sm i n 2 m ，) ，t h en u m b e ro fv e r t i c e si s 型挚 a n dt h ed e g r e ei s 币。l f o r n(q。1)h(qi1) e v e r yt w ov e r t i c e sm a n dn ，i fr a n k ( m k n t ) = ，i ，d i m ( mnn ) = ta n dr + t m ， t h ed i s t a n c eb e t w e e nma n dni s2 m 一2 一r i nf a c t t h eg e n e r a l i z e ds y m p l e c t i cg r a p hi s t h eg e n e r a l i z a t i o no fs y m p l e c t i cg r a p ha n dt h ed u a lp o l a rg r a p h w h e nm = 1 ，t h eg e n e r a l i z e d s y m p l e c t i cg r a p hi st h es y m p l e c t i cg r a p h w h e nm = t h eg e n e r a l i z e ds y m p l e c t i cg r a p h i st h e d u a lp o l a rg r a p h i nt h i sp a p e r , w h e n 仇= 2 w ea l s od i s c u s st h ep r o p e r t i e so f t h es u b c o n s t i t u e n t f ( i ) ( m ) o f t h eg e n e r a l i z e ds y m p l e e t i cg r a p h ，w h e r em i sas p e c i a lf i x e dv e r t e x f ( 1 ) ( m ) i st h e u n i o no fq + 1i s o m o r p h i cc o n n e c t e dc o m p o n e n t s w h e n 口2 ，e v e r yc o n n e c t e dc o m p o n e n t i sas t r o n g l yd e z ag r a p hw i t hp a r a m e t e r s ( q 2 ( ”一2 ) + 1 ，( g 一1 ) q 2 ( ”一甜，( g 一1 ) 2 q 2 ( ”一2 ) 一1 ，( g 一 2 ) q 2 ( v - 2 ) ) w h e n 口= 2 ，e v e r yc o n n e c t e dc o m p o n e n t i sas t r o n g l yd e z ag r a p hw i t hp a r a m e t e r s ( 2 2 ”，2 2 ”，2 2 ”，o ) r ( 1 ) ( m ) i sad e z ag r a p hw i t hp a r a m e t e r s ( 3 2 2 p 一，2 2 ”，2 2 ”，0 ) a tl a s t , w eg i v ea ne x a m p l ea b o u tr ( 1 ) ( m ) w h e nm = 2 ，口= 2a n d | ，= 3 ，f ( 1 ) ( m ) i sa r e g u l a rg r a p h t h en u m b e ro fv e r t i c e so ff ( 1 ( m ) i s2 4 ，t h ed e g r e ei s4a n dr ( 1 ( m ) i st h e u n i o no ft h r e ei s o m o r p h i cc o n n e c t e dc o m p o n e n t s e v e r yc o m p o n e n ti sn o tas t r o n g l yr e g u l a r g r a p h ，b u tas t r o n g l yd e z ag r a p hw i t hp a r a m e t e r s ( 8 ，4 ，2 ，0 ) k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e ds y m p l e c t i cg r a p hs u b c o n s t i t u e n t r e g u l a rg r a p hs t r o n g l y r e g u l a rg r a p h d e z ag r a p h n 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文广义辛图及其次成分的研究，是在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签孙孙蝣 协7 年月夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在 年解密后适用本授权书) 论文作者c 签孙孑、卜札智指导教师c 警，；诬已 泗7 年彭月夕日砷年月夕日 匕 象 夏 亨 、，1】釉泊 别夕 0 月 认口 嗍年 教 砷 揿 枷 借 引言 有限域上的典型群几何学( 包括辛几何，伪辛几何，酉几何以及正交几何) 足一类重要 的几何结构，很多数学家都对这个领域进行了研究，尤其足2 0 世纪6 0 年代以来，万哲先先 生和他的学生们对这个问题进行了系统的研究并得到了很多重要的结果，这些结果汇集 在文献【l 】中由于这类几何的良好性质，它们被应用到许多领域，例如：结合方案、认证 码、格以及在分子生物学上有广泛应用的p o o l i n g 设计等另外，有限域上的典型群几何学 在图论方面也有广泛的应用，主要是利用典型群几何学构造图 01 、 文献【2 】这样定义了辛图，令是一个有r 个形如i 一i 块的2 r 2 r 对角矩阵， 1 o 以g f ( 2 ) 2 中的非零向量作为顶点集，对任意两个顶点z ，y ，z y 乍号x t n y = 1 ，这样构 造的一个图称为辛图，之所以称为辛图足因为作用f ( x ，y ) = x t n y 称为辛变换在文献【3 】 中，万哲先，唐忠明先生利用辛空间中的一维子空间作为顶点集，构造了一个图称为辛图 通过对辛图的研究证明了辛图足一个参数为( 譬 ，口2 ”1 ，q 2 v - 2 ( q 一1 ) ，q 2 v - 2 ( g 一1 ) ) 的强 正则图并且辛图足一个g ”+ 1 部图，从而得到辛图的色数足旷+ 1 文章另一个重要的结 论是找出了图的自同构的具体形式当g = 2 日于a u t ( s p ( 2 v ，2 ) ) 竺s p 2 ，( f 2 ) 当q 2 时， a u t ( 却( 2 ，g ) ) = p s p 2 ，( f 口) e 当= 1 时，e 同构于有g 一1 个元素的对称群当 1 时，e 同构于( f 口x xf q + ) 与a u t ( f 。) 的半直积之后，万哲先，顾振华先生又利用典型 群上的几何学构造了正交图并研究了正交图及其自同构的性质，详细内容见文献【4 】 在文献 5 1 中，王仰贤，李风高先生对辛图做了进一步的研究对辛图的任意一个点 ，所有与b 】邻接的点构成一个图，记作r ( 1 1 所有与 q 】的距离为2 的点构成一个图， 记作r ( m 文章分别对r ( ，f ( 2 ) 进行了研究，发现r ( 1 ) 不是强正则图，但是一个参数为 ( v “2 v - i ，q 知( g 一1 ) ，( g 一1 ) 2 q 知一，g 知一2 ( g 2 ) ) 的强d e z a 图，并且r ( 1 ) 的色数是矿当 = 2 时 r ( 2 ) 是一个参数为( g ( 口+ 1 ) ，q 2 ，q ( q 一1 ) ，9 2 ) 的强正则图当3 时，r ( 2 ) 足一 个参数为( 旦三 ，9 2 ”2 ，q 2 ”2 ，q z v - 3 ( g 1 ) ) 的强d e z a 图并且足一个r + 1 部图有限域 上典型群几何学的对偶极图是重要的距离正则图，它们的特征的研究受到许多数学家的 关注在文献【6 】中王仰贤，李风高和霍元极先生还对有限典型空间的对偶极图以及对偶 极图的次成分进行了研究以辛空间中的极大全迷向予空间作为顶点集，对任意两个顶点 只q ，p q 鲁号d i m ( pnq ) = 一1 ，这样构造的一个图称为对偶极图f 口上2 维辛空 i ；- i 的对偶极图足一个直径为的距离正则图文章取定一个点p = l ，一0 ，研究了次 成分r t c p ，的性质，r t c p ，同构于 习。个图s 可m c t ，g ，的不交并图r c p ，足 ： 。个阶为 q 的团的并，而图n ( p ) 同构于图s y m ( v ，g ) 进一步，f 口上2 i ，+ 6 维伪辛空问的对偶极图 的相应问题也被解决 本文把万先生定义的辛图推广到一般情况，即利用辛空间中的m 维全迷向子空间 构造了图称为广义辛图文章第一章介绍了一些本文中要用到的典型群几何学和图论中 的一些定义，定理，结论等准备知识文章第二章给出了广义辛图的定义并介绍了广义 辛图的一些性质广义辛图足一个直径为d = m i n 2 m ，】，顶点数为 ，价为 q 2 u 一2 m + 1 亓( q 一1 ) 1 上- l 的正则图当m = l 时，广义辛图即辛图当m = 日寸，广义辛图即对偶极 n ( q - t ) = l 图文章还给出了计算任意两点间的距离的公式文章第三章研究了当m = 2 时关于一个 固定点m 的次成分r ( 1 ) ( m ) 的一些性质，r ( 1 ) ( m ) 足口+ 1 个互相同构的连通分支的并当 q 2 时，每个连通分支足参数为( q 2 ( u - 2 ) + 1 ，( 口一1 ) 9 2 ( v - 2 ) ，( q 一1 ) 2 9 2 ( u - 2 ) ，( 口一2 ) 9 2 ( v - 2 ) ) 的强d e z a 图当g = 2 日寸，每一个连通分支足参数为( 2 2 ”3 ，2 2 ”4 ，2 2 ”，0 ) 的强d e z a 图， r ( 1 ) ( m ) 足一个参数为( 3 2 2 ”3 ，2 2 ”4 ，2 2 ”5 ，0 ) 的d e z a 图另外，文章给出了广义辛图的 次成分r ( 1 ) ( m ) 的一个具体例子当m = 2 ，口= 2 ，= 3 时，r ( 1 ) ( m ) 是一个顶点数为2 4 ， 价为4 的正则图，并且它足3 个互相同构的连通分支的并，每个连通分支不足强正则图，但 是一个参数为( 8 ，4 ，2 ，0 ) 的强d e z a 图 2 1 预备知识 1 1辛空间的基本概念和计数定理 设f 口是有g 个元素的域，其中g 是奇数或偶数一个佗钆矩阵k = ( 翰) 1 幻s n 称为交错的，如果对i 歹，l i ，歹n ，= 一，且对1 i n ，= 0 f g 上满足 t k t t = k 的2 2 v 矩阵t 称为关于k 的辛矩阵，辛矩阵的集合关于矩阵的乘法形成 一个群叫做上关于k 的2 阶辛群，记作蹴，( f q ，k ) 令甄，鲍是砸口上两个2 v 2 v 非奇异交错矩阵，容易验证 跏2 ，( f 口，k 1 ) s p 2 ，( f 口，k 2 ) th q t q 一1 足一个同构映射，因此，s 钆。( f g ，k 1 ) 笺s 也，( f q ，j 已) 因此在讨论辛群时，不失一般性，可 以选取一个特殊的2 2 非奇异交错矩阵来研究，比如令k = 0 。，：) 辛群 5 p 2 ，( f 口) 在f ，( 2 力上有一个自然的作用： f 孑”) 却2 。( f q ) 一 孑” ( ( z l ，z 2 ，x 2 p ) ，t ) h ( x l ，x 2 ，z 2 王，) t 带有上述群作用的向量空间f ，( 2 叫叫做f 口上的2 v 维辛空间 设p 足f p 中仇一维向量子空间，称p 足( m ，s ) 型的，若p k p t 的秩足2 s 2 v 维辛 空间中( m ，s ) 型子空间存在当且仅当2 s m + s 用m ( m ，s ；2 v ) 表示辛空间f 圹 中全体( m ，s ) 型子空间构成的集合，m ( m ，s ；2 v ) 在s p 2 ，( f 。) 的作用下形成一个轨道若 只，岛都是( m ，s ) 型子空间，则称尸l ，恳是同理的特别地，( m ，0 ) 型子空间称为m 一维全 迷向子空问，m ( m ，0 ；2 v ) 表示( m ，0 ) 型子空间构成的集合( 2 s ，s ) 型子空间称为2 s - 维 非迷向子空间，( 0 ) 型子空间称为极大全迷向子空间f 产的极大全迷向子空间的集合 叫做f 铲叫的对偶极空间，记作q = m ( ，o ；2 ) 下面介绍几个文章中要用到的命题，详细 内容见文献【l 】 3 命题1 1 【幻设k l ，恐是f 口上的两个2 u 2 u 非奇异交错矩阵，若k 1 和鲍是合同 的，则存在非奇异矩阵q ，使q k l q ? = 鲍 命题1 2 1 1f 口上两个n 礼交错矩阵是合同的当且仅当它们有相同的秩 命题1 3 【力设p 1 ，p 2 是f ，( 2 ”) 中的两个m 维子空间，则存在t 跏，( f 口) ，使得 r = a 恳t 当且仅当p l ，p 2 是同型子空间，其中a 是一个m m 非奇异矩阵也就毛辛 群s p 2 ，( f 口) 可迁地作用在同型子空间上 文章还用到了有限域上辛几何中的一些计数定理 命题1 4 j 】令m 虬上2 u 维辛空间中m 一维全迷向子空间的个数是 h ( q 班一1 ) n ( m ，0 ；2 u ) = + l ( 驴一1 ) 命题1 5 【j f 】令0sm n f 铲中m 一维向量子空间的个数是 n 兀( q 一1 ) n ( m ，n ) = 塑吾生一 兀( q l1 ) i = 1 另夕卜文章也用到了文献【7 】中的一些重要的结论 命题1 6 【7 1 设尸 q ，x ，y 为f 5 2 ”中的m 维全迷向子空间，则( p q ) ，( x ，y ) 在同一 轨道当且仅当d i m ( pnq ) = d i m ( xny ) 且r a n k ( p k q t ) = r a n k ( x k y r ) 命题1 7 【7 】设p q 为f 铲”中m 维全速向子空间，若d i m ( p a q ) = t ，r a n k ( p k q t ) = r 则r ，t 满足0 t m 一1 ，m a x 0 ，2 m p t ) 7 仇一t 1 2 图的基本概念与性质 下面介绍图的一些定义以及性质 一个图r 是指一个有序三元组( y ( i 、) ，e ( r ) ，西( r ) ) ，其中v ( r ) 是非空的顶点集，e ( f ) 是不与v ( r ) 相交的边集，西( r ) 足关联函数，它使1 1 的每条边对应于r 的无序顶点对若e 足一条边，而u ，v 足使得m ( e ) = u u 的顶点，则称e 连接让，t ，顶点u ，口称为e 的端点称i 、l 是f 的子图，如果v ( r 1 ) 曼y ( f ) ，e ( r 1 ) e ( r ) ，并且垂r 。是听在e ( r 1 ) 上的限制阎8 4 希：l 图f 的一条途径( 或通道) 足指一个有限非空序列w = r o e l l e 2 e 七，它的项交替 的为顶点和边，使得对1 i 七，e 的端点是仇一l 和忱，称足从珈到仇的一条途径 若途径的顶点互不相同，则称是一条路图r 的两个顶点t l ，移称为连通的，如果在 r 中存在( t ，口) 路连通足顶点集上的一个等价关系，于是就存在图r 的一个分类，把r 分成非空子集，k ，k ，使得两个顶点u ，口是连通的当且仅当它们属于同一个子集 k ( 1 i n ) 子图g 【k 】( 1 i n ) 称为图r 的连通分支若图r 只有一个分支，则称i 、 足连通的连通图r 中任意两点间距离的最大值称为图r 的直径，记作d = d ( r ) 阎 设r l ，1 1 2 足两个图，称，足图r 1 到r 2 的同构，若，足一个y ( r 1 ) 到v ( r 2 ) 的双射，并 且对任意霸y y ( r 1 ) ，z 一3 ，当且仅当f ( x ) 一，( 3 ，) ，z y 表示z 与y 是邻接的，以下符 号表示意思与此相同图r 到自身的一个同构映射称为r 的自同构，图r 的所有自同构构 成的集合足一个群，称为r 的自同构群，记作a u t ( r ) 【司 令k 足虬上2 v 2 v 非奇异交错矩阵，关于k 的辛图这样定义：令衅上一维 子空间作为顶点集，邻接关系定义为对任意o t 0 ，p 0 f ，陋】一例当且仅当 a k 3 丁0 陋】表示由子空间q 标定的点这样定义的图称为辛图，记作s p ( 2 v ，g ) ，顶点集 记作v ( s p ( 2 v ，g ) ) 【j j 下面给出几种特殊图的定义以及关于图的几个命题 定义1 1 【朝图r 的顶点的价i 帆l 是指r 中与u 邻接的点的数目对图r = ( y ( r ) ，e ( r ) ) 中任意一点u y ( r ) ，若l 0 i = k ，称图f 为七一正则图 定义1 2 嘞图r = ( y ( r ) ，e ( r ) ) 称为参数为( 凡，k ，n ，6 ) 的强正则图，如果i v ( r ) l = n ， 对任意u y ( r ) ，i 帆i = k 且对任意t ，t ，y ( r ) ，若u t ，i l = a ，若u 和秒，i 肌 i = b 其中l 帆廿i 表示与u ，v 都邻接的点的个数，以下符号的含义与此相同 文献【9 】对强正则图的定义作了如下推广并给出d e z a 图以及强d e z a 图的定义 定义1 3 国设佗，k ，b ，o 是满足0 o b k 佗的整数图f = ( y ( r ) ，e ( r ) ) 称为 ( 佗，k ，b ，a ) - d e z a 图，如果l y ( r ) i = 佗，对任意u y ( r ) ，l 帆f = k 且对任意u ，口y ( r ) ， 悱篓 定义1 4 嘲图r = ( y ( r ) ，e ( r ) ) 称为强d e z a 图，如果r 是一个直径为2 的d e z a 图 文献【1 0 】又把强正则图的定义作了如下推广 5 定义1 5 【j 仰图r = ( y ( r ) ，e c r ) ) 称为参数为m ，k ，n 1 ，0 2 ，口。；6 ) 的q u a s i - 强正 更i l ( q u a s i - s t r o n g l yr e g u l a r ) 图，如果l y ( r ) i = 对任意u y ( r ) ，l u i = k 且对任意 u ，u 呷) i l 划： a i , 苎”蛾其中l i s ib ，若u 哟 类似上面定义的推广，这里我们把d e z a 图的定义推广 定义1 6 图r = ( y ( r ) ，e ( r ) ) 称为参数为( n ，k ，a l ，o , 2 ，a s ；b l ，5 2 ，b t ) 的q u a s i - d e z a 图，如果i y ( r ) l = n ，对任意u y ( r ) ，f 帆l = k 且对任意u ，u y ( r ) ，i 帆”i = 口t 鼽圳；其中lsi s lsjg i 6 j ，若“和口 群是一类重要的代数结构，关于群的详细内容见 1 l 】群在图论方面也有很多重要的 定理，详细内容见 2 1 对图f 中任意两个顶点t ，t ，若存在图r 的自同构盯使得u 口= 钞，则 称r 足顶点可迁的关于顶点可迁有如下结论 命题1 8 曲若u 是图r 的一个顶点，仃是图r 的一个自同桅则顶点v = u 4 与u 有 相同的价 命题1 9 回若图f 是顶点可迁的，| 9 i , i l t lr 是正则的 命题1 1 0 1 1 1 称群g 的非空子集h 为g 的子群，若h 2 h ，日一1 h ，记作hs g 命题1 1 1 f j 2 】对任意盯a u t ( r ) ，牡， r ，o ( u ，口) = a ( 盯( 仳) ，盯( u ) ) 6 2广义辛图的性质 本章我们构造了一个图，称为广义辛图并介绍了广义辛图的一些性质首先我们给出 广义辛图的定义 定义2 1 设k 是f g 上非奇异交错矩阵，以蜉”中的m 维全速向子空间作为顶 点，定义邻接关系? 设旭为两个不同的顶点，m n 当且仅当r a n k ( m k n t ) = 1 ， d i m ( mnn ) = m 一1 这样构造的图称为f 口上关于k 的广义辛图，记作g 却“( 2 v ，q ) 广 义辛图的顶点集记作v ( g s p 1 ( 2 v ，q ) ) 子空问m 标定的顶点记作m 显然，由广义辛图的定义可以知道当m = 1 时，广义辛图即辛图由下面定理可以知 道广义辛图也是对偶极图的推广 定理2 1 当m = y 时，广义辛图即对偶极图 证明：设m ，是对偶极图中任意两个顶点，若m n ，由对偶极图的定义可知 d i m ( mnn ) = 一1 事实上可以说明r a n k ( m k n t ) = 1 由m n ，不妨设 m = ( ! ：) ，= ( 兰) , 硬qr a n k ( m k t ，= r a n k ( w k w tw k o ；) 由命题1 7 可知，r a n k ( m k n t ) 1 若r a n k ( m k n t ) = 0 ，则r a n k ( a l k a t ) = 0 因 ，、 此，ia li 足+ 1 维迷向子空间，这与( p ，0 ) 型子空间是极大全迷向子空间是矛盾的 口：夕 所以，r a n k ( m k n t ) = 1 因此，对偶极图的定义与当仇= p 时广义辛图的定义一致 下面给出广义辛图的一些性质由定义2 1 可以知道，对任意一个非奇异交错矩阵k ， 我们便可以构造一个关于k 广义辛图事实上，我们可以说明它们是同构的 引理2 2 设硒，鲍是中任意两个合同的非奇异交错矩阵，g s p l ( 2 v ，q ) ，c s p 孑( 2 v ，q ) 分别是关于k l ，鲍的广义辛图，则a s p t ( 2 ，q ) 笺g s p 多( 2 v ，g ) 证明：由命题1 1 知，存在非奇异矩阵q ，使得q k l q ? = 鲍对任意顶点m ，n y ( g 聊( 2 ，叮) ) ，若m n ，由命题1 6 可知，( m ，) 与( m q ，n q ) 在同一个轨道则 r a n k ( m k l n 丁) = r a n k ( m ( q k l q 丁) r ) = r a n k ( m k 2 n r ) ， 7 d i m ( m k l n t ) = d i m ( m ( q k l q t ) t ) = d i m ( m k 2 n t ) 因此，在g s p 多( 2 u ，q ) 中m 一同理，若m ，n v ( g s p ? ( 2 u ，g ) ) ，m 啪n ，则在 g s p 孑( 2 p ，q ) 中m 啪n 所以c s p ? ( 2 ，q ) 掣g s p t ( 2 p ，q ) 由引理2 2 广义辛图的同构性可知，不妨设 k = 0，( m ) - - i ( m ) 0 以下考虑关于k 的广义辛图，简称广义辛图 0- m ) l i 一，p m ) 0 定理2 3 广义辛图g 却m ( 2 以口) 是顶点数为垃箭q - 1 ，价为q 2 u 1 - 2 m 者q i _ 1 的正 n ( 2 ) + 1 兀() 则图 f i ( q 2 t 1 ) 证明：由定义2 1 知，广义辛图g 跏”( 2 乩q ) 的顶点数为n ( m ，o ；2 u ) = 苎焉譬l 一 ( q 一1 ) 由命题1 3 知，辛群作用在广义辛图上足顶点可迁的又由命题1 9 知，广义辛图g s p m ( 2 u ，q ) 是正则的 设m 是广义辛图g s p ”( 2 职q ) 的一个顶点，即m 是f q ( 2 ”) 中m 维全迷向子空间则 广义辛图g s p m ( 2 u ，g ) 的价k = i n i m n ，n m ( m ，o ；2 u ) 1 由于广义辛图足正则图，不妨设 m - - ( i ( m ) o o o ) m ，= ( a bc d ) m mm一m一仇mr n 一m 一m 由于m n 当且仅当r a n k ( m k n t ) = 1 ，d i m ( m nn ) = m 一1 并且m k n t = 一b r ，r a n k ( m k n t ) = r a n k ( b t ) 因此，n 的矩阵表示可设为 8 = ( 三。 ：孑三 ) 二一，其中r a n k c p ，= 1 由于同型子空闻的个数与矩阵表示的选取无关，不妨设 = ( ；。m 一。，。a ：7 0 三) 二一。 由于为m 维全迷向子空问，则k 胪= ( 三t了) 二一l = 。，即一p ，一，= 0 因此n 的矩阵表示可进一步化简为 l ，2 表示同一个空间当且仅当存在t g l m ( 砸 。) 使丁l = n 2 容易验证t 的矩 阵表示为 t = ( 1 ，。二。，) 二一。其中五。 因此，n 所代表的m 维全迷向子空间的个数为 q 2 v - - 2 m + 1 兀( 矿一1 ) n ( m 一1 m ) q 2 ”一加+ 1 = m 一1 1 - i ( q 一1 ) i = 1 下面给出广义辛图中任意两点间的距离公式以及广义辛图的直径首先我们需要证 明一些引理 引理2 4 辛群s p 2 ，( 日) 是a u t ( g s p m ( 2 v ，g ) ) 的子群 证明：任意两点m ，n v ( g s p m ( 2 r ，q ) ) ，任意t s p 2 ，( 日) ，则( m ，) 与( m t ，t ) 在同一个轨道由命题1 6 以及定义2 1 可知，若m 一，则m t 一z 若m 和n ，则 m t 和z 所以，t a u t ( g s p m ( 2 q ) ) 9 量向维一意任为 仉*中其 m 、， m 6 0 一m 7 0 一 6 0 1 o o m o 0 l o 肛 一 = 弓l 理2 5 ( f i m ( p n q ) = d i m ( x n y ) 且r a n k ( p k q t ) = r a n k ( x k y t ) ，更l ia ( p q ) = a ( x ，y ) 证明：由命题1 6 知，( p ，q ) 与( x ，y ) 在同一轨道，则存在t s p 2 ，( 日) 使p t = x ，q t = y 显然，t a u t ( g s p m ( 2 v ，q ) ) ，由命题1 1 1 知，a ( p q ) = o ( p t ，q t ) = o ( x ，y ) 推论2 6 若d i m ( mn 1 ) = d i m ( mn 2 ) ，r a n k ( m k n f l ) = r a n k ( m k n 2 t ) ，则 o ( m ，1 ) = o ( m ，n 2 ) 由于辛群可迁的作用在同型的子空间上，不妨设m = ( i ( m ) o 0o ) 记s ( r ，) = lr a n k ( m k n t ) = n d i m ( m nn ) = ) ，俄，0 ( m ，n ) 表示n 与m 的距离，其中 n s ( r ，) 引理2 7 1 2 兮r 1 - - r 2 = i , 或r 2 - - r l = 1 , t l t 2 - 10 证明：若n 1 一2 ，则r a n k ( n 1 k n t ) = 1 ，d i m ( n 1nn 2 ) = m 一1 因此，可设1 = ：) ，= ( 芝) ，其中。- 聋- e 勉隹且n t 七q 。 由 r a n k ( m k n t ) = r a n k m k ( w t ，口 ) 】- r a n k ( m k w t ，m k a t ) = 7 1 r a n k ( m k n t 2 ) = r a n k m k ( w t ，q ) 】- r a n k ( m k w r ，m k e t r ) = r 2 若i r a n k ( m k a t ) 一r a n k ( m k o l t ) i = 0 ，则r l = r 2 若i r a n k ( m k a ) 一r a n k ( m k a t ) i = 1 ，则l r l r 2 i = 1 所以，若1 一2 ，则i r l 一r 2 l 1 下面证i t t t 2 i 1 不妨设t l t 2 ，假设t l t 2 2 由d i m ( n 1 n m ) = t l ，则存在m - t i 维子空间x lc l ，x l 垡m 由d i m ( n 2 n m ) = t 2 ， 则存在m t 2 m t 1 + 2 维子空间恐c 2 ，x 2 垡m 显然存在c 尥，x 3 譬n 1 并且 d i m ( x z ) 2 否则，若拖中不存在子空间使得弱垡1 ，即x 2cn 1 则d i m ( lnm ) = t 2 t l ，矛盾若d i m ( x a ) 1 ，则恐中存在子空间磁cx 2 垡m ，d i m ( x 3 ) m - t 2 1 m t 1 + 2 1 = m t 1 + 1 则d i m ( 1nm ) m d i m ( 弱) t l 一1 t l ，矛盾因此， d i m ( ln 2 ) m 一2 ，这与l 一2 矛盾同理若t 2 一t l 2 ，则与l 一2 矛盾因 此，h t t 2 i 1 由前面的分析，若r l r 2 = 1 ，t l t 2 = 1 设l s ( r l ，t 1 ) ，n 2 s ( r 2 ，t 2 ) 若1 一2 由d i m ( n 1nm ) = t 1 ，d i m ( n 2nm ) = t 2 = t l 一1 ，则存在1 维子 空间x lc ( lnm ) ，x lg 2 ，存在1 维子空间x 2cn 2 ，x 2g ( l 1 3m ) 因此可设 m = ( 羔) ，飓= ( 羔) 由r a 酞c m k n f i ) = r a n k ( m k 彬t m k x i t ) 2 n ， r a n k ( m k n f ) = r a n k ( m k w tm k x t ) = r 2 = r l 一1 ，可知r a n k ( m k x t ) = l ， r a n k ( m k x r ) = 0 ，即x 1gm 上由mcm 上，可知x lgm 与x 1cm 矛盾所以， r l r 2 1 ，t l t 2 1 同理，r 2 7 1 1 ，t 2 一t l 1 若r 1 = r 2 ，t l t 2 = 1 由1 一n 2 ，由d i m ( n 1nm ) = t l ，d i m ( n 2 nm ) = t 2 = t l 一1 ， 则存在1 维子空间x lc ( 1nm ) ，x 1 呈n 2 ，存在1 维子空间磁cn 2 ，磁g ( n 1f 3 m ) 因此 可设l = ( 羔) ，2 = ( w ) 由r a 呔( m k 孵) = r a 咄( m k 孵) 即r a n k ( m k w tm k x t ) = r a n k ( m k w tm k x r ) ，- - f 知r a n k ( m k x t ) = r a n k ( m k x t ) = 0 。所以，x 1cm cm 上cx i l x 2cm 上cx i l 但足，由 r a n 蚺k n t ) = r a n k ( 一w k w t 兰篙) = ， 可知x 2 譬x 产，与条件矛盾所以，r l r 2 ，t l t 2 1 同理，r l 9 2 ，t 2 一t l 1 结论成立 定理2 8 哦r o ( m ，n ) = 2 m 一2 t r ( r + t m ) 证明：显然孙，m ) ( m ，n ) = 0 ，哦l m 1 ) ( m ，n ) = 1 假设定理对哦吖) ( m ，n ) k 时成立下面证明哦r ，t ) ( m ，n ) = k + 1 时定理亦成立 设反，0 ( m ，q ) = 七，由引理2 7 ，存在n s ( r + 1 ，t ) ，s ( r 一1 ，t ) ，s ( r + 1 ，t 一1 ) ，s ( r l ，t + 1 ) 使一q 由归纳假设，致r + 1 ，) ( m ，q ) = 一1 ，敢，一1 ，件1 ) ( m ，q ) = 凳一1 又对 n s ( r - 1 ，) ，s ( r + l ，t - 1 ) ，n q 所以，哦，一1 ，t ) ( 朋 n ) k + l ，瞰，+ l ，t 一1 ) ( m ，n ) k + 1 又由引理2 6 ，对任意满足o ( m ，尸) = k - 1 的空间p ，可知p s ( r + l ，t ) ，s ( r - 1 ，t + 1 ) ， 但哟p 所以，砧一1 ，o ( m ，n ) + l ，反r + l ，t _ 1 ) ( m ，n ) k + 1 综上，俄，一1 ，) ( m ，n ) = k + l ，哦r + 1 ，t 1 ) ( m ，n ) = k + 1 并且，7 一l + t m ，r + l + t 一1 m 结论成立 定理2 9 广义辛图g s p “( 2 v ，q ) 的直径d = m i n 2 m ，) 证明：由定理2 8 可知，直径d 2 m 若m ；，则2 m 若m ，由命题1 1l 可知，2 m v t 0 或2 m v t 0 若2 m v t 0 ， 由命题1 1l ，2 m v t r ，即2 m r t 扩，显然2 m 一2 t r 因此，d v 若 2 m 一一t 0 ，则2 m t ，显然，2 m 一2 r t 玑d 所以，d = m i n 2 m ，) 3广义辛图次成分的性质 本章我们介绍广义辛图的次成分r ( 1 ) ( m ) 的性质 ：三兰兰三 ) ：，显然2 文献c 6 ，中对 对偶极图的次成分的讨论已经包含了= 2 这种情况，以下仅讨论当3 时r ( 1 ) ( m ) 的 性质，其中f ( 1 ) ( m ) 表示与m 邻接的点构成的图 引理3 1 图r ( 1 ) ( m ) 中点的形式为 1 ) s l = 2 ) s 2 = 3 ) s 3 = ( 三兰三三p 三02 兰02 1 l口，cn，p，f争”一21 010口 1 0 o0 111 王，一2 b1 0 o 1 l q 0 王，一2 cq，p，f争”一动 | o ，b f 口，( q ，p ) f ：p 一2 1 i 证明：r ( 1 ( m ) 中点即与m 邻接的点，与m 邻接的点可设为 p = 1 0 1 ， =