（应用数学专业论文）列维过程下期权定价的数值方法研究和分析.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 中文摘要 在期权定价中，当精确解析公式不能直接得到时，可用数值计算方法进行定 价本文主要假设股票价格波动满足列维过程中两种典型的随机过程，分别为维 纳过程和跳跃扩散过程，以计算软件m a t l a b 为工具，对期权定价的各种数值方 法，主要包括二叉树模型、三叉树模型、有限差分法、m o n t ec a r l o 模拟以及神经 网络进行研究和分折在利用各种数值方法对不同期权进行定价时，除了分析方 法中各参数对期权价格的影响，还考虑了参数对方法本身的影响，如：收敛速度、 稳定性等等 首先，介绍本文的选题背景、研究意义、以及各种期权类型的定价理论和数 值方法的发展历程并且对各种数值方法进行详细的介绍 然后，在假设股票价格波动满足维纳过程下，分别利用各种数值计算的方法 对不同类型的期权定价，并对各种数值方法进行参数分析、比较。以及分别对二 叉树模型和m o n t ec a r l o 模拟进行改进，改进后的算法不管是波动的幅度还是收敛 速度和精度都有明显的提高 接着，在假设股票价格波动满足跳跃扩散过程下，针对跳跃幅度y 所满足的 不同分布，分别考虑二项分布、对数正态模型和指数模型并通过m o n t ec a r l o 模拟进行数值计算和分析 最后，介绍b p 神经网络在期权定价中的运用，在维纳过程中，对于美式看 跌期权和回望期权，进行训练后预测，通过实证表明该b p 网络模型具有一定的 可靠性，全可以用于期权的定价但是在跳跃扩散过程中，如果将a 作为输入参 数，则发现b p 网络不一定具有可靠，即当a 很大时，网络不能预测 在文章的最后，总结本文所有的工作，并对拓宽本文研究方向提出新的看法 关键词：期权定价，数值方法，跳跃扩散过程，神经网络 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t i no p t i o np r i c i n g ，i ft h ep r e c i s ea n a l y s i sf o r m u l ao f p r i c i n gd e r i v a t i v ei su n a b l et o b co b t a i n e du n d e rm a n ys i t u a t i o n s i ti su s e f u lt og e to p t i o np r i c e st h r o u g hn u m e r i c a l m e t h o d s t h i sa r t i c l em a k e sr e s e a r c ha n da n a l y s i st on u m e r i c a lm e t h o d sf o ro p t i o n p r i c i n gr e s p e c t i v e l y , w h i c hm a i n l yi n c l u d et h eb i n o m i a lt r e e s ，t h et r i n o m i a lt r e e s ， t h ef i n i t ed i f f e r e l l o c em e t h o d t h em o n t ec a r l om e t h o da sw e l la st h en e u r a ln e t w o r k a n ds oo n ，u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tp r i c ev i b r a t i o no fs t o c k ss a t i s f i e st w od i f i e r e n t l e v yp r o c e s s e s ，w h i c ha r ew i n n e rp r o c e s sa n dj u m pd i f f u s i o np r o c e s s ，b yt a k i n g m f na ba sac o m p u t a t i o nt 0 0 1 w h e nu s e se a c hn u m e r i c a lm e t h o df o rp r i c i n g o p t i o n s ，n o to n l ya n a l y s i so fv a r i o u sm e t h o dp a r a m e t e r so ns t o c kp r i c e s ，b u ta l s o c o n s i d e ri n f l u e n c eo fp a r a m t e r e si m p a c to nm e t h o di t s e l f , f o re x a m p l e ：c o n v e r g e n c e r a t e ，s t a b i l i t ya n ds o o n t h i sa r t i c l em a i n l yi n c l u d e s5p a r t sa sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tp a n ，i ti n t r o d u c e st o p i cb a c k g r o u n d ，r e s e a r c hs i g n i f i c a n c e ，e a c hk i n d o fo p t i o np r i c i n gt h e o r y , b yt h es c h e d u l e dt i m ep o w e rf i x e dp r i c et h e o r ya n d n u m e r i c a lm e t h o dd e v e l o p m e n tc o u r s e i nt h es e c o n dp a r t ，i tm a i n l yp r o p o s e se a c hv a l u ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d ，a n d c a r r i e so nt h ed e t a i l e di n t r o d u c t i o nt oe a c hv a l h em e t h o d t h et h i r dp a r tm a i n l yu s e se a c hk i n do fv a l u ec o m p u t a t i o ns e p a r a t e l yt h em e t h o d t op r i c et h ed i f f e r e n tt y p eo fo p t i o n s ，w h e nt h es t o c kp r i c eu n d u l a t i o ns a t i s f i e sw i n n e r p r o c e s s a n dw ec a r r yo nt h ep a r a m e t e ra n a l y s i s ，t h ec o m p a r i s o nt oe a c hn u m e r i c a l m e t h o d a sw e l la s s e p a r a t e l ys i m u l a t i o nm a k e st h ei m p r o v e m e n tt ot h eb i n o m i a l t r e e sa n dm o n t et h ec a r l o ，a f t e rt h ei i n p r o v e m e n ta l g o r i t h mn om a t t e ri st h e u n d u l a t i o ns c o p eo rt h ec o n v c r g e n c er a t ea n dt h ep r e c i s i o na l lh a st h ed i s t i n e t e n h a n c e m e n t n ef o u r t hp a r tm a i n l yi n t r o d u c e s t h eo p t i o np r i c i n gw h e nt h es t o c k p r i c e u n d u l a t i o ns a t i s f i e sj u m pd i f l u s i o np r o c e s s f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h ei u m pd i f f u s i o n m o d e lt h e o r y , i nv i e wo fe x t e n to fi u m pyt h ed i f f e r e n td i s t r i b u t i o nw h i c ht h es c o p e s a t i s f i e s ，c o n s i d e r st h eb i n o m i a id i s t r i b u t i o n ，t h el o g - n o r m a lm o d e la n dt h ed o u b l e i n d e xm o d e ls e p a r a t e l y a n ds i m u l a t e st h r o n g hm o n t ec a r i oc a l r i e so nt h ev a l u e c o m p u t a t i o na n dt h ea n a l y s i s ，a n da n a l y z e se a c hp a r a m e t e rt ot h et i m ep o w e rv a l u e i n f l u e n c e t h ef i f t hp a r tm a i n l yi n t r o d u c e dt h eb pn e u r a ln e t w o r ki nt h eo p t i o np r i c i n g u t i l i z a t i o n ，a c c e p t si n t h ew i n n e rp r o c e s s ，r e g a r d i n ga m e r i c a np u to p t i o na n d l o o k b a c ko p t i o n ，a f t e rc a r r i e so nt h et r a i n i n gt of o r e c a s t ，t h r o u g l lt h er e a ld i a g n o s i s i n d i c a t e dt h i sb pn e t w o r km o d e lh a sc e r t a i nr e l i a b i l i t y ；a l lm a yu s ei nt h et i m ep o w e t t h ef i x e dp r i c e b u ti nj u m p si nt h ed i f f u s i o n p r o c e s s s ，i fw i l lt a k et h ei n p u t p a r a m e t e ra ，t h e nd i s c o v e r e dt h eb pn e t w o r kw i l l n o tn e c e s s a r i l yh a v er e l i a b l y , n a m e l yw i l lw o r ka sw h e nv e r yb i g ，t h en e t w o r kw i l ln o tb ea b l et of o r e c a s t f i n a l l y , s u m m a r i z e st h i sa r t i c l e ，a n dp r o p o s e sn e wi d e a si nb r o a d e n i n gt h i ss t u d y k e yw o r d ：o p t i o np r i c i n g ，n u m e r i c a lm e t h o d ，j u m pd i f f u s i o np r o c e s s ，n e u r a ln e t w o r k 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：掘正墨垃日期五斗 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部内容 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 研究生签名：翟西虹导师签名：j l 舡日期二竺堕必 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 选题背景与研究意义 现代意义上的会融衍生工具是在2 0 世纪7 0 年代开始迅猛发展2 0 世纪7 0 年代初，以美元为中心的固定汇率制的布雷顿森林体系连续出现危机，并于1 9 7 3 年正式瓦解，浮动汇率制取而代之成为世界各国的新兴汇率制度同时以金融 自由化为基调的会融创新浪潮席卷国际会融市场，发达国家纷纷放宽对利率的管 制，放松对金融机构及其业务的限制这使得汇率、利率、股价等金融价格的波 动加剧价格走势难以预料面对动荡不定的金融市场和世界经济形势，人们急于 寻求一种规避市场风险金融工具，这种迫切需求极大地促进了期权的发展 期权是一种选择权，期权的买方具有在某一特定时间或时间段内按某一预先 确定的价格购买或出售某项资产( 如股票、商品、外汇等) 的权利对于期权的购 买者来说，可以在期权有效期内行使这种权利，也可以放弃这种权利相反，对 期权出售者来说，如果期权持有者要执行期权的话，他就有义务履约因此，期 权给了买方以特定的权利而不承担义务，所以它有一定的价值同时，期权出售 者应该因承担义务而得到补偿 期权包括看涨期权( c a l lo p t i o n ) 和看跌期权( p u to p t i o n ) ，前者给予合约买方在 未来某时以事先约定的价格购买标的资产的权力而后者则给予买方以约定价格 出售标的资产的权力按照执行时间的不同分为欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 和美 式期权( a m e r i c a no p t i o n ) 欧式期权只能在到期日行使，而美式期权可以在期权 到期日之前任一时日j 行使 期权是一种企业、银行和投资者等进行风险管理的有力工具要对风险进行 有效的管理，就必须对金融衍生工具进行正确的定价如何确定金融衍生工具的 公平价格是它们合理存在与健康发展的关键期权定价理论是现代金融学的重要 组成部分，它与投资组合理论、资本资产定价理论、市场的有效性理论及代理问 题一起被认为是现代金融学的五大理论模块 期权定价理论的研究有以下六个意义：1 、对定价原理的研究，是一切金融 决策的前提和依据；2 、在现代市场经济中，收益与风险并存是金融资产的基本 特征，风险管理已成为金融机构管理的重要内容与传统的风险管理方法注重风 险分散不同，期权理论则是通过套期保值来实现风险转移，从而为金融机构提供 以较低成本管理金融风险的有效工具：3 、金融衍生市场内不仅存在套期保值者， 而且存在投机者和套利者当金融衍生工具异常波动时，为投机者提供了大量的 武汉理工大学硕士学位论文 投机机会而当不同交易市场的同种金融衍生工具报价不同时，会给套利者以大 量的机会因此，对金融衍生工具的正确定价，对于有效的抑制套利、投机活动 的发生，降低金融衍生市场风险、稳定金融市场具有重要的意义；4 、八十年代 开始，金融界将金融期权研究得出的原理、方法及结论全面应用于投资决定、筹 资决策、资本结构等公司理财的各个方面，给财务理论带来了多方面的突破，财 务理论的面貌为之一新期权定价问题是其中应用的重要部分；5 、期权定价理 论加速了现代分析型金融学的建立b s 期权定价模型的提出，引发了第二次“华 尔街革命”，使分析型金融学以前所未有的速度发展；6 、期权定价理论促进了金 融市场的繁荣金融学研究的主要对象之一就是衍生工具，其价值依赖于其它更 基本的“标的资产” 因此，对期权定价数值分析的研究和实现，使期权定价理论成为人们投资理 财的基础工具，对金融科学衍生工具的交易、风险管理、公司理财等实践活动起 到重要的指导作用 1 2 期权定价理论 二十世纪初，金融学就己作为一门独立的学科而存在在随后的近半个世纪 中，它几乎是一门纯描述性的学科，着重于制度性与法律性的事务而导致金融 研究由描述性向分析性转变的主要标志是1 9 5 2 年m a r k o w i t z 提出的证券组合选择 理论川m o d i g l i a n i 和m i l l e r ( 1 9 5 8 ) 的公司资本结构模型呛1 ，s h a r p e ( 1 9 6 4 ) 的资本资 产定价模型。1 ，r o 镐( 1 9 7 6 ) 的套利定价原理【4 l ，这些理论引发了所谓的第一次“华 尔街革命这些研究成果大部分都已经得到了n o b e l 经济学奖，从而奠定了定价 理论在金融研究中的核心地位，并大都成为金融衍生工具定价模型的理论基础 1 9 7 3 年美国经济学家b l a c k 和s c h o l e s 提出的期权定价的b s 模型1 5 l 标志着会融 衍生工具定价理论的最新革命，随后m e r t o n ， c o x ， r o s s ，h u l l 等一大批著名 经济学家均对该问题进行了多方面的理论研究和实证分析这些最具革命性的里 程碑式成果，引发了第二次“华尔街革命”，使分析型金融学以前所未有的速度 发展与此同时，一个新的领域“会融工程”迅速崛起，许多现代数学工具，如 随机微积分、鞍论、随机最优控制、多元统计分析、数学规划、现代计算方法等 在会融理论与实践中起着关键的作用金融工程和金融数学等相关学科的崛起， 则标志着金融研究由分析型科学向工程化科学的二次转变复杂的数学模型、数 值方法和大规模计算在期权定价中的应用越来越多大量1 9 9 7 年度的诺贝尔经济 学奖授予两位对现代期权定价理论有突破性贡献的经济学家：美国哈佛大学的迈 伦嘶科尔斯( m y r o n s c h o l e s ) 教授和斯坦福大学的罗伯特默顿( r o b e r t - m e r t o n ) 2 武汉理工大学硕士学位论文 教授，这使得西方对期权及其应用研究进一步升温 1 2 1 常规期权定价的理论 期权的价格实质是一种风险价格，影响期权价格的因素众多，包括标的资产 当前价格，期权执行价格、基础资产价格的波动率和无风险利率等诸多因素长 期以来，人们一直在探索着利用各种因素正确评估资产风险的有效方法 1 9 0 0 年法国数学家b a e h e l i e r 发表了他的博士论文“t h e o r i e sd es p e c u l a t i o n ， 提出了最早的期权定价模型，该模型假设股票价格过程是绝对的b r o w n 垂_ 动，单 位时日j 方差为o r 2 ，且没有漂移，那么期权的价值为【6 】： c 叫( 軎旁划等舯西( 游) ( 1 - 1 ) 其中5 是股票价格，k 是执行价格r 是距到期日时间，妒( ) 妒( ) 和分别是 标准正态分布函数和标准正态分布密度函数b a e h e l i e r 的期权定价理论宣告了金 融数学的诞生然而，在该模型中假设股票价格过程是绝对b r o w n 运动，即允许 股票价格为负，这与有限债务假设相悖，且该模型忽略了资金的时间价值为正 在b a c h e l i e r 以后的半个多世纪里，期权定价理论进展甚微，直到二十世纪6 0 年代才有一些新的进展其中主要有： 1 9 6 1 年，s p r e n k l e 的“w a r r a n tp r i c e sa si n d i c a t i o n so f e x p e c t a t i o n s ”( 认股权价 格是预期和偏好的指示器) ”，他假设股票价格过程是对数正态分布，有固定的均 值和方差，以此假设为基础，他提出了一个买方期权的定价公式吼 吣驴( 丝生墨耋! ) _ ( 1 一万脚( l n ( s k k ) + ( a f - l o r z ) t ) ( 1 _ 2 ) 其中f 是市场价格杠杆的调节量，a 为预期收益率 1 9 6 4 年，b o n e s s 在“e l e m e n t so fat h e o r yo fs t o c k o p t i o nv a l u e s ”( 股票期权价值 理论的要素) 也假定股票收益呈对数分布不同的是b a n e s s 考虑了风险保险的 重要性，讥为投资都不在乎风险，他的期权定价公式为1 8 】： c ，s ( l n ( s k ) + ( 万a + 一l o r 2 ) t ) 一p 。，聊( l b ( s k k ) + ( a 厅- l o r 2 ) t ) ( 1 3 ) 1 9 6 5 年，s a m n e l s o n 在“r a t i o n a lt h e o r yo f w a r r a n tp r i c i n g ”( 认股权定价的合理 理论) 一文中提出了一个欧式看涨期权的定价模型，该模型考虑了期权和股票的 预期收益率因风险特性的差异而不一致，并认为期权有一个更高的预期收益率 口故该模型的定价公式1 9 】： 武汉理工大学硕士学位论文 c 州妒( l n ( s k ) + ( a ，+ 1 0 r 2 ) t ) 脚掣丛箬圭驾( ，4 ) 比较( 1 3 ) 式和( 1 4 ) 式，b o n e s s 模型是s a m n e l s o n 模型的特例，当a - s 时，两 个模型模型相同 上述期权定价模型的提出推动了期权定价理论的发展，为后来的b s 模型奠 定了基础期权定价理论的最新革命始于1 9 7 3 年，这一年b l a c k 和s c h o l e s 发表了 期权定价的经典论文“t h ep r i c i n go f o p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ”( 期权及公 司债务定价) p j ，提出了著名的b - s 期权定价公式m e r t o n 发表了“t h e o r y o f r a t i o n a l o p t i o n p r i c i n g ”( 合理期权定价理论) l 删，在若干方面作了重要推广，使得期权定 价理论取得了突破性的进展他们在股票价格服从对数正态分布的假设下，运用 了无套衬理论推导出标盼资产为不付红利股票的欧式期权定价公式： c t s c p ( d 1 ) 一磊叠”1 妒( d 2 ) ( 1 - 5 ) 。2 | 一 其中d 。一 l n ( s k ) + ( r + ) r 】( 仃丁) ，d ：；d 。一a f 在这一公式中让人感至归 常奇怪的是b s 公式给出的价值与股票的期望收益 率无关，也就是说，期权的合理价格与人们对风险的不同态度无关b s 公式另 一个重要特性是它仅依赖于一些可观测的变量：股票的现价、执行价格、到期期 限、无风险利率和股票价格的波动率( 波动率可根据历史数据近似估计) 使得b s 公式使用起来非常方便 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型是现代分析型金融学的最杰出成就之一，是经济 学中唯一先于实践的理论在实际经济生活中，b - s 定价模型应用得非常广泛， 对金融市场具有很大的影响其作者也获得了诺贝尔奖因此，无论是商业上还 是学术上来说，这个模型都非常成功 但是，理论模型和现实生活终究会有差异，对于大多数理论模型来说，模型 假设的非现实性往往成为模型主要缺陷之所在，b - s 定价模型也不例外故大量 的文献和理论就针对b s 公式的缺陷涌现而出比如：针对没有交易成本的假设， 1 9 8 5 年l e l a n d 提出交易成本模型；可以考虑用交易成本后的代入b s 公式，从 而得到期权价格，这个模型采用的策略的基本理论为后来的交易成本的研究奠定 了重要的基础，但是它具有一定的局限性基于此，h o g g a r d 、w h a l l e y 和w i l m o t t 于1 9 9 2 年提出了一个考虑交易成本的期权组合定价模型( 简称h w - w 模型) ，该 模型是衍生工具理论中最早的非线性模型之一另外，b s 公式的另一个重要假 设就是：标的资产波动率是常数，显然这是不符合现实生活的，从而这也就衍生 出了很多经典的模型如：随机波动率模型、o a r c h 模型、a r c h 等但是对衍生 资产理论和实践有重要意义的，有跳跃扩散模型，该模型在本文的后面会重点介 4 武汉理工大学硕士学位论文 绍此外还有更加复杂的类似v a r 的“崩盘模型”1 1 2 1 2 2 奇异期权定价的理论 近年来，国际衍生金融市场除了交易人们广为熟悉的欧式、美式等标准期权 之外，还涌现出大量由标准期权变化、组合、派生而出的新品种，即新型期权路 径依赖型期权与标准期权的条件和特征多有不同，许多品种都是金融机构应市场 的特殊要求设计而成的，并最终延伸成为一系列有助于管理特定风险的金融产 品它们通常在场外市场交易，其收益规律也远较标准期权复杂而众多的新型 期权往往又具各路径依赖的特征，即期权价格不仅取决于到期日的基础资产价 格，而且取决于基础资产价格的变化路径障碍期权、噩式期权、回望期权等品 种都是其中的代表，它们的定价与标准期权相比有较大差异 奇异期权对模型设定的依赖性常常很大，和约中潜在的风险通常也比较模 糊，所以就很容易导致非预期的损失由于奇异期权的多样性，要进行完全的描 述是不可能的，只能根据期权对路径依赖程度来介绍一些常见的奇异期权 回望期权 网挚期权( l o o k b a c ko p t i o n s ) 是当今金融衍生品市场一卜交易最为活跃的奇 异期权之一其重要特点是：其收益依赖于标的资产在一段特定时间( 整个期权 有效期或其中部分时段) 内的最大或者最小价格它属于强式路径依赖欧式看 跌回望期权的收益等于最后r 时刻股票价格超过期权有效期内股票所达到最高 价格的那个量 欧式回望看涨期权的定价公式已经推导出来了零时刻的欧式回望看涨期权 的价值为n 3 ： 一2 2 c i 船啊“) - s e - q r 五i 兰丽( 1 ) - - s m i n e ”【o ：) _ 互若与( 鸭) 】( 1 - 6 ) 其中，s 。为截至到现在的最小值，口为红利率 ”竖学仃、 l n 。) + ( 一，+ q + 嘭f o 矗 ”口仃，k - 一堑型等 同理，零时刻的欧式回望看跌期权的价值为： 尸- & 。e - , r 吣) 一五高( 也) h 可五号( - - b o s 矿r ( 也) ( 1 - 7 ) 其中，s 一为截至到现在的最大值，鼋为红利率 5 武汉理工大学硕士学位论文 岛。鲨幺! 二! = 尘二么坚，以鲨幺! ：毕! 二二么坚 0 4 r a t b 2 。b l 一盯厅，e 。2 ( r - q - a 2 2 广) l n 一( s 一s ) 类似一般的期权，对于美式奇异期权，也就需要数值方法来求解，妒j 模拟 法、二叉树的方法等也就是本文所讨论的数值方法 其它新型期权 由于本文主要是选取具有代表性的回望期权进行研究，所以对于其它的新型 期权仅仅做简单的介绍 障碍期权( b a r r i e ro p t i o n s ) 和亚式期权( a s i a no p t i o n s ) 也是当今金融衍生 品市场上交易最为活跃的奇异期权之一障碍的重要特点是：其收益依赖于标的 资产在一段特定时问( 整个期权有效期或其中部分时段) 内的是否达到某个特定 水平它属于弱式路径依赖它可归为敲出期权和敲入期权对于欧式的障碍期 权，根据b s 的性质都已经有解析表达式，如：考虑障碍日小于或等于执行价格x ， 在零时刻的看涨敲入期权的价值为1 1 4 1 ： c 一- o r ( ) 2 1 ( 力x e ”7 ( ) 2 “( ) ，一盯- ) ( 1 8 ) 其中 a 。r - q + ：a 一2 2 yinhe ( s x ) + a 盯歹 a 4 t 亚式期权的收益依附于标的资产在有效期的至少一段时间内的平均价格亚 式期权又可以分为很多种类型具体对于欧式的亚式期权定价以及其它新型期权 的定价表达式可以参考j o h n c h u l l 著的o p t i o n 、f u t u r e s ，a n do t h e rd e r i v a t i v e s ) 6 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章数值方法 对于一般的普通欧式期权，在满足一些假设的基础上，推导得到期权价值所 满足的偏微分方程，再结合其边界条件，可以解出精确的解析定价公式，如经典 的b s 模型但是，在很多情形下，比如：对于考虑题前执行的美式期权和一些 收益依赖于标的变量所遵循的历史路径的新型期权，或者标的变量所遵循的波动 过程不是维纳过程等我们都无法得到衍生证券定价的精确解析公式，可采用数 值计算方法，其中包括二叉树方法、三叉树方法、m o n t ec a a o 模拟和有限差分方 法，以及一些现在的算法，如：神经网络、遗传算法等 2 1 二叉树模型 由于本文主要是研究各数值方法的性能以及各类算法的横向比较尽管二叉 树模型除了c r r 以外，只要改变股价上升和下降的尺度和概率，也是可以得到其 他算法的，如：j r 和t r g 模型“但是参数对模型的影响是一样的，所以本文 采用典型的c r r 模型对最简单的无红利资产的期权定价 考虑一个不支付红利的股票期权的估值假设在每一个很小的时间间隔出 内，股票价格从开始的s 有两种运动可能，以p 的概率上升到醛或者以1 一p 的 概率下降到嬲，其中“，1 , dt 1 这一模型可用图2 1 说明 s 图2 1 二叉树模型中缸时间内股票价格的变动 显然仅仅图2 1 的单步二叉树图模型不太符合现实，所以更现实的模型时假 设股票价格由大量类似的小幅度的二项运动构成的根据风险中性的定价原理： 任何依附于股票价格的衍生证券可以在风险中性世界的假设基础上进行定价它 意味着：为了计算期权的价值( 或任何其他衍生证券的价值) ，我们可以假设：1 所 有可交易证券的期望收益都是无风险利率；2 未来现金流可以用其期望值按无 风险利率贴现来计算在应用二叉树模型时，我们利用了上面的假设，所以这样 7 武汉理工大学硕士学位论文 设计出来的二叉树图表示了风险中性世界中股票价格的行为 2 1 1 参数的确定 对应于时间间隔缸内股票价格变化的均值和标准差，参数p 、“和d 必须满 足相应的正确值根据风险中性的假设，所以股票的期望收益是无风险利率，因 此在时闻间隔a t 段末的股票价格的期望值为“，其中s 为该时间间隔段初始 股票价格因此有： & “一p s u + ( 1 p ) s d( 2 1 ) 即 e r a t p u + ( 1 一p ) d( 2 2 ) 另外，若假设股票价格的波动是破从对数正态分布，即股票价格的行为过程 是维纳过程则在某- - d , 段时问段a t 内股票价格变化的方差是 s 2 p 2 “p 。“一1 ) 由于变量q 的方差被定义为：e ( q 2 ) 一陋( q ) 】z ，其中e 代表变 量的期望，则有： s 2 e 2 “0 4 “一1 ) 一筇2 “2 + ( 1 一p ) s 2 d 2 一s z 【+ ( 1 一，y 】2 ( 2 3 ) 式( 2 2 ) 和式( 2 _ 4 ) 给出了参数p 、和d 的两个条件c o x 、r o s s 和r u b i n s t e i n 用的第三个常用的条件是： h；一1(2-5) d 由以上三个条件可得( 由于a t 很小，可以忽略比f 高阶的小量) ： e “一d p4 百 “。e 一佰 ( 2 6 ) d 。p a 压 从而根据无套利定价法则可得 f e 1 。 p l + 0 一p ) f 。1 2 1 2 股票价格树图 多步二叉树模型来表示证券价格变化的完整树图结构如图2 2 所示 8 ( 2 7 ) )4 - 2( 2 v p o + 2 艘 l &抛 p 即 武汉理工大学硕士学位论文 图2 - 2 二叉树模型中股票价格的树型结构 由图2 2 可知：当时间为0 时，股票价格为s 时间为出时，股票价格要么 上升到鼬，要么下降到尉；时间为2 & 时，股票价格就有三种可能：砌2 ，s u d ( 等于s ) ，s d 2 ，以此类推一般而言，在i a t 时刻，股票价格就有f + 1 种可能， 他们可用符号表示： s u j d 其中j o ，1 ，i 注意：由于“一 ，使得许多节点是重合的，从而大大简化了树图 2 1 3 倒推定价法 得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从 树型结构图的末端r 时刻开始往回倒推，为期权定价 由于在期权到期r 时刻，期权价值的期望值是已知的，例如：看涨期权价值 为m a x p ，一x ，o ) ，看跌期权价值为m a x 饵一s ，0 ) ，因此在风险中性条件下求解 r 一时刻的每一节点上的期权价值时，都可通过将r 时刻的期权价值在f 时间 长度内以无风险利率，贴现求得同理，t 一2 a t 时刻的每一节点上的期权价值时， 也可通过将z 一f 时刻的期权价值贴现求得以此类推，最终可以得到零时刻( 当 前时刻) 的期权价值如果是美式期权，就必须检查树型结构的每一个结点，以 确定在该时刻提前执行期权是否比继续再持有缸时间更有利 2 1 4 二叉树模型的一般定价过程 下面我们用数学符号表示二叉树期权定价方法，以无收益证券的美式看跌期 权为例把该期权有效期r 划分成个长度为缸一万t 的小区间，令厶 ( 0 s is ，0 董，s i ) 表示在时间f f 时第j 个节点处的美式看跌期权的价值同 时用鼬d “7 表示节点( f ，) 处的股票价格由于美式看跌期权的价值是 9 武汉理工大学硕士学位论文 m a x ( x 一品，o ) ，所以有： f n 。t n 啦x q s u l d s - j , 0 ) 其邙| tq 丸，n 当时间从f & 变为( f + 1 ) f 时，从节点( f ，j ) 移动到节点o + 1 ，+ 1 ) 的概率为 p ，移动到节点( f + 1 j ) 的概率为1 一p 假定期权不被提前执行，则风险中性条 件下： 厶一e - r a t p l “川+ ( 1 一p ) l “】 其中0 妄is 一l o j s i 若考虑期权可能被提前执行，则风险中性条件下： 厶一m a x z s u d “+ ，e - r a t e l + “+ 0 一p ) + l dj 按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，或者说当每一区间f 趋 于0 时，就可以求出美式看跌期权的准确价值一般将区问划分为3 0 步就可得到 较为满意的结果 2 1 5 二叉树模型的扩展 以上考虑的都是不支付红利的股票期权，而若股票的资产在未来某一确定日 期将支付一个确定数额的，则除权后的二叉树的分支将不在重合( 见图2 - 3 ) 这 意味了要计算的节点的数量可能变得很大，特别是多次支付的情况下更加复杂 图2 - 3 当红利数额已知情况下的二叉树图 2 2 三叉树模型 三叉树模型也是二叉树模型的一种扩展，该树图通常的形状如图2 4 所示 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 图2 4 三叉树模型中股票价格的树型结构 由图2 - 4 所示，最基本的三叉树模型比二叉树模型有更多的参数要确定，增 加了自由度，但是在每个时间段内，股票价格状态空间也增加了再考虑节点重 合的前提下，满足资产价格变化均值和方差的参数分别为n 们： h - p 4 伍，d = 咖，m 1 胪一j 吾”0 2 + 丢 胪厝，一争+ 吉 弘砷 2 p m 墨j 三叉树的计算过程与二叉树的计算过程相似，可以证明：三叉树的方法与我 们下面要介绍的外推的有限差分法是致的值得注意的是：在使用三叉树图为 美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来 取代原先低密度的树图即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时 间步长出进一步细分，如分为a t 4 ，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过 程，这样使得树图更好地反映了实际情形，从而大大提高了定价的效率和精确程 度，这就是自适应的树图模型的思想 2 3 有限差分法 通过求解衍生证券所满足的微分方程，有限差分方法可以用来为衍生证券定 价将微分方程转化为一系列差分方程后，再用迭代法求解这些差分方程 把。时刻到t 时刻分为有限个等间隔的不同的小时间段假设缸- ，则 总共有 r + 1 个时间段： 0 ，a t ，2 6 t ，r 武汉理工大学硕士学位论文 同理，假设蟠s 弓彳，选择有限个等间隔的股票价格段并考虑膨+ 1 个股 票价格段： 0 , a s ，2 a s ，s 一 其中s 一为可达到的最大股票价格 蕊磊猫黼皤菇瓣；蓄| r ；r 1 1 t i i ，i i i l i i i 簟擘 豢垂孽眷豢 簟疆尊 尊拳 霉擘静 图2 - 5 有限差分方法的格点图 图2 5 为一个共有( m + 1 ) x ( + 1 ) 个点的坐标方格坐标方格上的点( f ，) 表 示：& 时刻的股票价格为j s 用变量 ，表示( f ，) 点的期权价值 2 3 1 内含的有限差分方法 考虑一个不付红利股票的美式看跌期权该期权必须满足微分方程“： 等+岱笪+三扔2祟一矿(2-9)0s2a s a f 2 。 对于坐标方格内的点( f ，j ) ，慕可以近似为： 一o ，鱼鉴鱼 ( 2 1 0 ) a 3 或者 堕。五： 五：些( 2 - 1 1 ) 础酗 ( 2 - 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 就是所谓的前向差分近似和后向差分近似在内含的有 限差分方法中，我们用一个更加对称的近似方法，即两者的平均： o f l i i i n l l ? i d 面。五i 一 同理，对于坐标方格内的点o ，) ，芸孚可以近似为： ( 2 1 2 ) 武汉理工大学硕士学位论文 祟a s - c 导一气知声 弦 2 、蜗龉| 一 即 a 2 _ _ _ 。丛! 墼：氇( 2 1 4 ) a s 2 。面r “d 对于詈，采用前向差分近似以使恤时刻的值与o + 1 ) a t 时刻的值相关联： 望。五! ! ：丑( 2 - 1 5 、 假设s 一必s ，再结合微分方程( 2 - 9 ) 可得到： 血a 五t + 巧丛亟2 a 盘s + 三2 西2 丛2 血铲吨( 2 1 6 ) 氏sl “4 合并( 2 1 6 ) 的各项，得到： a i ，+ 6 正，+ 。，五，“一，f + ， ( 2 一1 7 ) 奠中 口j t r y a t j 1 口2 ，2 f b j = l - t - o r 2 j 2 a t + r a t c ，一一r a t j 1 仃2 j 2 f 另外，边界条件为： ，f - m a x i x j a s ，o 】， o - x ，五 ，一x ， ( 2 - 1 8 ) 其中j 一0 a ，mi o a 2 ，n 厶， m ，无。定义了图2 - 4 的坐标方格中的三个边界( 即s 。0 ，s s ， t t ) 的看跌期权的价值，同时还需要利用( 2 1 7 ) 式来求出坐标方格左边界 的，值首先求解与z 一出时刻相对应的点利用( 2 1 7 ) 式和i - n 一1 可以给 出肘一1 个联立方程： 4 i f n 4 i + b | f q j ? | + c | f n 4 i n _ l n ? i 2 _ 1 9 ) 结果边界条件式( 2 一1 9 ) ，可得到：，吐1 ，砌，厂椰，删。 由以上的算法可知：如果该期权是美式期权，则把每个厶 ，的值与x j s 进行比较若厶- l ，c x j 丛，那么提前执行期权，即，1 ，一z 一，s 如此 类推，f n - 2 ，n 一3 ，o 时也类似处理最后可以得到，o ，0 ，：，0 ， ，0 j ，。在这些值中，有一个就是我们所要求的期权价格 2 3 2 外推的有限差分方法 内含的有限差分法的优点在于