（应用数学专业论文）具有常数输入且发生率为非线性的动力系统模型研究.pdf

中北大学学位论文 摘要 种群动力学和传染病动力学是生物数学的两个重要分支，种群动力学研究种群个体 数量和结构随时间的变化规律以及如何实施合理的人工干预对种群进行保护、开发和利 用。传染病动力学通过对传染病动力学模型定性、定量分析和数值模拟，来显示疾病的 发展过程，揭示其流行规律，预测其变化发展趋势，为制定预防和控制决策提供理论依 据。本文主要研究内容如下： 一是建立了两类具有常数输入且疾病发生率为非线性的传染病模型。对于具有常数 输入且发生率为单调的传染病模型，研究了该模型的分支问题，证明了存在一些模型的 参数值使得模型产生h o p f 分支和b o g d a n o v t a k e n s 分支。对于具有常数移民且发生率 为非单调的传染病模型，讨论了该模型平衡点的稳定性，通过对该模型的全局分析，证 明了疾病或者最终消失，或者成为地方病。 二是考虑了易感者食饵种群具有常数输入的情况，建立了疾病在食饵中传播的捕食 被捕食模型，研究了系统解的正不变性，根据微分不等式定理讨论了系统解的有界性 和各平衡点的存在性，通过特征多项式，利用r o u t h h u r w i t z 判据证明了解的局部渐近 稳定性，进一步通过构造适当的l y a p u n o v 函数分析了各平衡点的全局渐近稳定性。 关键词：常数输入；非线性传染率；分支；捕食被捕食；全局稳定 中北大学学位论文 a b s t r a c t s p e c i e sd y n a m i c sa n de p i d e m i o l o g yd y n a m i c s a r eb o t ho fg r e a ts i g n i f i c a n c ef o r m a t h e m a t i c a lb i o - s c i e n c e t h eq u e s t i o n sr e g a r d i n gs p e c i e sd y n a m i c sc o n c e r nt h ec h a n g el a w o ft h eq u a n t i t ya n ds t r u c t u _ r ef o re a c hs p e c i e s ，a n dh o wt op r o t e c t ，e x p l o i ta su t i l i z es p e c i e sb y h u m a ni n t e r v e n i n g ；e p i d e m i o l o g y d y n a m i c st h r o u g ht h ee p i d e m i o l o g i c a lm o d e l s o f q u a n t i t a t i v ea n dq u a l i t a t i v ea n a l y s i sa sw e l la sn u m e r i cs t i m u l a t i o n s ，t h ep r o c e s so ft h e d i s e a s ea n dt h ee p i d e m i cl a wc a nb er e v e a l e d ，t h ec h a n g ea n dd e v e l o pt r e n dc a nb e a n t i c i p a t e d ，a n dt h e nt h e o r yb a s i sf o rd i s e a s ec o n t r o la n dp r e v e n t i o nc a nb ep r o v i d e d t h i s p a p e rr e a d sa sf o l l o w s ： f i r s t ，e s t a b l i s ht w ot y p e so fe p i d e m i cm o d e l 谢t hc o n s t a n ti m m i g r a n ta n dn o n - l i n e a r i n c i d e n c er a t e t ot h ee p i d e m i cm o d e lw i mc o n s t a n ti m m i g r a n ta n dm o n o t o n i ci n c i d e n c er a t e ， b yc a r r y i n go u tt h eb i f u r c a t i o na n a l y s i so ft h em o d e l ，s h o wt h a tt h e r ee x i s ts o m ev a l u e so f t h e m o d e lp a r a m e t e r ss u c ht h a tn u m e r o u sk i n d so fb i f u r c a t i o no c c u rf o rt h em o d e l ，s u c ha sh o p f b i f u r c a t i o na n db o g d a n o v - t a k e n sb i f u r c a t i o n t ot h ee p i d e m i cm o d e l 、i t l lc o n s t a n t i m m i g r a n ta n dn o n m o n o t o n i ci n c i d e n c er a t e ，b yc a r r y i n go u tag l o b a la n a l y s i so ft h em o d e l a n ds t u d y i n gt h es t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u m ，s h o wt h a t e i t h e rt h en u m b e ro fi n f e c t i v e i n d i v i d u a l st e n d st oz e r oa st i m ee v o l v e so rt h ed i s e a s ep e r s i s t s s e c o n d ，c o n s i d e rt h es u s c e p t i b l ep r e yp o p u l a t i o nh a sac o n s t a n ti m m i g r a n t ，s e tu pt h e s p r e a do ft h ed i s e a s ei nt h ep r e yo ft h ep r e d a t o r - p r e ym o d e l ，s t u d yo fs o l u t i o n so f t h es y s t e m i si n v a r i a n t ，t h ee x i s t e n c eo ft h ee q u i l i b r i u m ，a n da p p l y i n gt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y s t u d y t h eb o u n d e d n e s so fs o l u t i o n s ，o b t a i n e dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fl o c a l l y a s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo ft h ee q u i l i b r i u mb yt h er o u t h h u r w i t zc r i t e r i o n m o r e o v e ra n a l y z e d t h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mb yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t el y a p u n o vf u n c t i o n s ，t h a ti s t h ec o n d i t i o n so ft h ed i s e a s ee x i s t e n to rn o t k e yw o r d s ：c o n s t a n ti m m i g r a n t ；n o n l i n e a ri n c i d e n c e ；b i f u r c a t i o n ；p r e d a t o r p r e y ；g l o b a l s t a b i l i t y i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：蠡趟垒垒日期：加口7 莎弓 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包 括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件； 学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复 制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容 ( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名：i 鱼! 壹至塑日期：卫! ：! ：至 导师签名：日期： 中北大学学位论文 1 1 研究的意义 第一章绪论 传染病已经经历了百余年的发展在人类长期同传染病作斗争的历史中，传染病的防 治取得了巨大成就。全球在上世纪七十年代就消灭了天花，随着生物技术及诊疗技术的 发展，以往严重危害人类健康的传染病逐渐得到控制，但就全球范围看，传染病仍是危 害人类健康十分严重的疾病。由于受到多种因素的影响：例如社会因素、自然因素，生 物种群的因素，使得全球传染病发病率回升明显，在我国一些过去被控制了的传染病又 死灰复燃，例如性病、登革热、布氏菌病和血吸虫等在6 0 年代发病率已下降到国家基 本控制标准以下，近年来又再度回升。一些经疫苗控制的传染病如白喉、麻疹、脊髓灰 质炎、破伤风，百日咳在一些地方也有局部暴发。结核病在世界范围内的发病急增，全 世界总人口中约有1 3 的人曾被结核病感染，仅1 9 9 5 年死于此病的就有3 0 0 万人，使结 核病再度成为威胁人类健康和生命的大敌。未完全控制的传染病如病毒性肝炎，流感， 出血热霍乱时有流行。除此外新发现的传染病不断出现，近二十年来，世界上已有3 0 多种新的传染病侵入人类。我国正受到威胁的有a i d s 、军团病、大肠杆菌q ，：- i , ，出 血性肠炎。特别是h i v a i d s 的状况，据专家估计，我国目前h i v a i d s 约有1 0 0 万人， 而且a i d s 已进入快速增长期，如不能有效控制，我国将成为增长率最高的国家之一。 影响新传染病发生的主要因素有：生态及环境的全球化气候变暖；社会条件如战争、移 民、贫困、不良性行为和吸毒等；人及物的世界性交流增多；技术和工业的发展包括抗 生素的惯犯使用，食品供应全球化，组织器官移植等；微生物变异和公共卫生措施的失 效。 传染病动力学建模是检验理论和评价定量猜想的实验工具，公式化过程加深对疾病 流行特点的认识。传染病动力学建模的意义在于：( 1 ) 研究疾病感染和传播的机制，预 测传染病未来的流行趋势；( 2 ) 对传染病学观察的设计与分析提供参考，可通过模型参 数的敏感性建议需搜集的重要信息与数据；( 3 ) 理论评估各种预防、治疗和控制方案的 效果，如健康教育、疫苗接种、隔离、药物治疗等。 中北大学学位论文 动力学方法能更好地从疾病的传播机理方面反映流行规律，能够考虑流行过程中的 全局性态。传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真等方法相互结合，加深对传染病 流行规律的深入认识，使所建立的模型与防制策略更加符合实际。传染病动力学模型不 仅可用于传染病研究，而且也可用于生物种群分布、植病、寄生虫病、新技术的传播和 扩散、网络病毒的传播、谣言的传播等自然和社会科学问题的研究。 目前，对传染病的研究方法主要有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究和 理论性研究。传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法，它是根据 种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展规律，以及与之有关的社会等因 素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性定量分析 和数值模拟来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律，预测其变化发展趋势，分析疾病 流行的原因和关键因素，寻求对其预防和控制的最优策略，为人们防治决策提供理论基 础和数量依据。与传统的统计方法相比，动力学方法能更好地从疾病的传播机理方面来 反映流行规律，能使人了解流行过程中的一些全局性态。传染病动力学与生物统计学以 及计算机仿真等方法相互结合，相辅相成，能使人们对成染病流行规律的认识更加深入 全面，能使所建立的理论与防治策略更加可考和符合实际。 另一方面，生活在自然界中的任何物种都不可能以单一个体形式存在，它必然与同 种或不同种的其它个体生活在一起，构成一个相互依赖，相互制约的群体。物种之间的 相互关系对于整个生物界的生存和发展是极为重要的，它不仅影响每一个物种的生存， 而且还把各个物种连结为复杂的生命之网，决定着群落和生态系统的稳定性另一方面， 物种也会受到季节变化，年龄结构，空间分布等的影响，其生态行为可能非常复杂。物 种之间的相互关系一般可以分为四种：互惠共生，寄生，竞争，捕食。 捕食行为这一复杂的自然现象广泛存在于大干世界中，例如，海洋，草地，森林， 沙漠等( 见文献 1 ) 。自从l o t k a 和v o l t e r r a 的开创性工作始，捕食者一食饵模型即大量 用于对这种现象的建模研究( 见文献 2 】) 。事实上，捕食者一食饵模型是一类描述“追击和 逃避”的模型，捕食者试图捕获食饵而食饵要尽可能地逃避捕食者( 见文献【3 】) 。追击意味 着捕食者要尽可能地缩短与食饵的空间距离，而逃避则意味着食饵要尽可能地扩大空间 距离。由于捕食过程给捕食者带来的强大的选择压力，以及这种过程在促进生命进化， 维护生态系统平衡，及其在生物多样性的发生，维持与绝灭过程中扮演的重要角色，使 2 中北大学学位论文 得捕食者一食饵模型到今天仍然是数学家和生态学家关注的热点问题之一( 见文献 3 - 5 ) 。 2 0 世纪2 0 年代，两位学者l o t k a 和v o l t e r r a 第一次成功地将微分方程理论及研究方 法应用于捕食系统研究后，掀起了应用微分方程及动力学方法建立数学模型研究各种生 命现象和预测，揭示人们所关心的自然现象等研究的热潮( 见文献【3 ，5 ，6 ，7 】) 。数学 模型广泛存在于各种应用领域，如生物技术，生物经济学，药物动力学，种群生态学等， 同时，对这些数学模型的研究又促进了微分方程的研究和发展( 见文献 3 】) 。 在把种群动力学和流行病动力学结合起来这些模型中大多数是考虑食饵种群中的 易感者在没有疾病和捕食者时l o g i s t i c 模型增长，而捕食者当不存在食饵时就会死亡， 在这里我们考虑易感食饵具有常数输入( 包括出生和迁入) ，而且疾病发生率也是非线性 的。 1 2 国内外研究现状 近年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各 样的传染病问题。这些数学模型大多适用于各种传染病的一般规律的研究，也有部分是 针对诸如麻疹、疟疾、肺结核、流感、天花、登革热、疟疾和丝虫病等诸多具体疾病的 模型。从传染病的传播机理来看，这些模型涉及接触传染、垂直传染、媒介传染等不同 传染方式。从模型的数学结构来看，大多数传染病模型是常微分方程组，具有年龄结构 的模型是一阶偏微分方程组，具有扩散项的模型是二阶偏微分方程组，具有时滞因素的 是时滞微分积分方程组，传染病防制优化模型是满足一些方程组的泛函极值问题。对于 不同疾病与不同种群和环境，根据出生、死亡、传播、患病、治愈等规律的不同，又可 将模型分为线性、非线性、自治、非自治等类型。对这些模型的理论研究主要集中在解 的适定性，疾病的持续生存，平衡位置特别是导致地方病的平衡位置和周期解的存在性 和稳定性，再生数以及分歧点的寻找等动力学性态。目前国内传染病动力学研究中占主 导地位的方法是沿用1 9 9 1 年a n d e r s o n 和m a y 的经典性工作，通过建立常微分方程组进 行研究。国际上沿着这一方向开展了许多工作。另外一类模型为随机模型，可以在相应 常微分方程的基础上增加随机考虑或利用m a r k o v 链进行m o n t ec a r l o 模拟。 关于常微分的流行病模型研究目前已取得很多成果。模型的研究有各种类型，所用 3 中北大学学位论文 方法有构造l a y p u n o v 函数法，极限方程理论，矩阵理论，分支理论，k 序单调系统理 论，中心流形理论等。下面给出了一些常见流行病模型的研究进展。h e t h c o t e 和 m e n a - l o r c a 在文献 8 】中研究了s i r s 模型的基本再生数和有关的阈值参数，并利用稳定 性理论证明了各个平衡点的稳定性。文 9 1 3 1 研究了一些s i s 、s i r s 、s e i 、s e i r 模型 的平衡点的稳定性与全局稳定性。文 1 4 1 8 】研究了一些s i s 、s e i r 、s e i s 模型的周期解 的存在性问题。文 1 9 - 2 1 研究了一些具有隔离项的s i q s 、s i q r 流行病模型，证明了平 衡点的稳定性及周期解的存在性。此类流行病模型的具体研究进展可参阅综述文章 【2 2 2 4 。 关于非线性传染率的传染病模型的研究始于1 9 7 3 年c a p a s s o 和s e f i o 的工作( 见文献 2 5 】) ，他们在对1 9 7 3 年巴里( 意大利东南部港市) 发生的霍乱这一地方病传播的研究后引 入一种饱和的传染率g ( ，) s ，这里g ( ，) = 而k i，其中材是度量疾病的传染力，而1 描述易感者采取措施以抑制传染力。这种传染率的重要性在于染病者和易感者的有效接 触数量将随着人群的拥挤作用或易感者采取保护措施而出现饱和、甚至下降。如果传染 力函数g ( i ) 中i 较大时，则可以解释为1 心里”效果：当染病者的数量较大时，由于易感 者采取保护措施，结果降低了单位时间内的接触率而使得传染力下降。而l i u ，l e v i n 及 1 w a s e 在文 2 6 中引入了具有常数输入且具有一般的非线性传染率g ( ，) = 害等的传染 病模型，并讨论了平衡点的稳定性，随后被很多作者引用( 见文献 1 2 ，1 3 ，2 7 ，2 8 】) 。r u a n 和w a n g 在文 2 9 】中就一个具体的非线性传染率g ( ，) = 器讨论了平衡点的全局稳定 性和极限环的个数以及参数分支分析，得到了很多丰富的动力学性态，比如：一个极限 环，两个极限环，同宿环等等。注意到非线性传染率g ( i ) s 中的这些函数g ( ，) 是单调 的，这就意味着当染病者的数量较大时染病者和易感者的接触率也变得越来越大。x i a o 和烈l a i l 在文献 3 0 】中考虑了一个具体的非线性传染率g ( ，) 5 百差f ，对这种非单调传染 率的地方病模型进行了全局分析，证明了疾病或者最终消失，或者存在一个区域，使得 在这个区域之内疾病是持久的，而在这个区域之外疾病最终消失。2 0 0 5 年，z h o u 和x i a o 4 中北大学学位论文 在文献【3 1 】中就g ( ，) = 击对平衡点作了定性分析，研究了存在一些参数的值使 坐d t 州( 型k ) ( 1 ) 一= 列v il 一一l 1 1j k， 、 埕a s r s ( l 一半) 删 3 ， 【鲁= 田一“ 一 5 中北大学学位论文 在以上( q ) ( 凰) 假设下，建立如下模型： 这里七= k , e 一疗。 d s d t d d t d 】厂 d t = 心( 口一等) 一p s 邢ylk “ p s i c 一p 联 u q 一订+ 印，s ( f f ) 】，( f f ) + 恕砭，( f f ) 】，( f f ) x i a o 和c h e n 在文 3 2 】中主要研究了平衡点的局部渐近形态和边界平衡点的全局稳 定性，模型的一致持久性，并通过计算机模拟发现随着时滞长度的变化，正平衡点经历 了稳定开关的变化。 2 0 0 2 年，陈兰荪等人进一步研究了疾病仅在食饵中传播且具有比率功能性反应的模 型( 见文献 3 3 】) ，证明了h o p f 分支的存在性和局部稳定性，其模型建立如下： 警= 心( ，一掣) 一p s 瓦d = p s x 一订一( 卜亏) ( 1 5 ) 警= 一订+ k p r i ( ) 其中c 为食饵因病死亡率，p 反映捕食者的捕食能力，d 为捕食者的自然死亡率，k 为 转化系数，石是捕食者幼年到成年的成熟时间，瓦是捕食者种群的消化时间。 文【3 3 通过对具有消化时滞和成熟时滞的生态流行病模型的研究，得到了系统非负 不变性，边界平衡点的性质和全局稳定性。并且证明了当时滞f = 瓦+ l 适当小时，正平 衡点是局部渐近稳定的，随着时滞的增加，正平衡点由稳定变为不稳定。系统在正平衡 点附近发生h o p f 分支，进而分离了分支出的周期解的稳定性。 国内外关于生态流行病的研究一直在持续稳定地进行。文献 3 4 3 6 先后研究了疾病 在两种群间传播的捕食食饵模型。文献【3 5 】研究了疾病在食饵与捕食者中同时传播的四 6 中北大学学位论文 种模型。文献 3 7 4 2 先后研究了疾病在两相互竞争的种群中传播的s i s 模型和s i r s 模 型。文【4 3 】研究了疾病在捕食者中传播的捕食与被捕食模型。该模型表明，随着传染率 的不断增加，正平衡点的稳定性也随之变化，从稳定到不稳定再到稳定。文献 4 4 ，4 5 】 研究了疾病在无相互作用的两种群间传播并且可以交叉感染的模型。 4 5 在【4 4 】的基础 上对两种群都添加了密度制约因素。文献【4 6 还对上述无相互作用的两种群研究了疾病 不是直接传染，而是通过在体外存活的病菌感染的模型。 1 3 本文主要研究内容 早期的动力系统模型大多假设种群总数为常数，这种假设仅当疾病在种群中传播速 度很快且流行的时间较短，短期内没有出生和死亡或出生率和死亡率能够相互平衡，且 因疾病死亡率不大而忽略不计，环境封闭等条件下才成立。但在实际问题中，不论是动 物还是植物的数量总是随着外界( 如种群的迁入和迁出) 和内部( 如种内的相互作用、资源 的限制、疾病的因病死亡) 扰动而发生变化。当疾病流行时间较长时，则应该考虑种群 总数变动这一因素。如果人口的出生和死亡都与人口的数量成正比，而且传染率也是非 线性的，这时所建立的模型就是具具有常数输入的非线性传染率的传染病模型，因此， 为了显示疾病的发展过程，预测疾病的流行规律和发展趋势，我们有必要研究此类模型。 基于此，本文将研究具有代表意义的具有常数输入且疾病发生率为非线性的动力系 统模型，以期为进一步理解种群动力学和流行病动力学的机理提供支撑。论文各章节安 排如下： 第一章，绪论部分介绍了非线性传染率的疾病模型的起源，现阶段国内外研究大致 情况以及跟其它传染率相比的优越性。 第二章，建立了两类具有常数输入且疾病发生率为非线性的传染病模型，对于具有 常数输入且发生率为单调的传染病模型，讨论了正平衡点附近的分支问题，得到了h o p f 分支和b o g d a n o v t a k e n s 分支的符号条件，并对h o p f 分支进行了数值模拟；对于具有 常数输入且发生率为非单调的传染病模型，讨论了该模型平衡点的稳定性，通过对该模 型的全局分析，证明了疾病或者最终消失，或者存在一个区域，使得在这个区域之内疾 病是持久的。 第三章，考虑了易感者食饵种群具有常数输入的情况，建立了疾病在食饵中传播的 7 中北大学学位论文 捕食被捕食者模型，研究了系统解的正不变性，根据微分不等式定理讨论了系统解的 有界性和各平衡点的存在性。通过特征多项式，利用r o u t h h u r w i t z 判据证明了解的局 部渐近稳定性，并且通过构造适当的l y a p u n o v 函数分析了各平衡点的全局渐近稳定性， 并对其进行了数值模拟。 中北大学学位论文 第二章具有常数移民且发生率为非线性的传染病模型的分析 2 1 引言 在传染病的数学模型中，最早k e r m a c k 和m c k e n d r i c k 在1 9 2 7 年提出了一个著名的 s i r 仓室”模型( 见文献 4 7 】) 。所谓s i r 仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分 成三个仓室s ( r ) ，( f ) ，r ( t ) 。这儿s ( f ) 表示f 时刻未染病但有可能被该类传染病传染的人 数，( f ) 表示，时刻已被感染成病人而且具有传染率的人数，r ( t ) 表示f 时刻已从染病 者类移出的人数。而且他们假设此环境的总人口保持一个常数，假设一个病人一旦与易 感者接触就必然具有一定的传染力，而且一个病人能感染的易感者数目与此环境内的易 感者总数成正比。很显然这种假设太简单，后来c a p a s s o 和s e f i o 在对1 9 7 3 年巴里( 意大利 东南部港市) 发生的霍乱这一地方病传播的研究后引入一种饱和的传染率g ( i ) s ，其中 g ( ，) 2 。这种传染率的重要性在于染病者和易感者的有效接触数量将随着人群的 拥挤作用或易感者采取保护措施而出现饱和、甚至下降。 r l l a n 和w a n g 在文献【2 9 】中研究了具有非线性传染率竺芸的地方病模型 鱼：彳一搬一氅) - y r d ti + 仅i 。 警= 器一( 帅) ， ( 2 1 ) 百d r = ，一( d + y ) 尺 通过对该模型的研究，得到了很多丰富的动力学性态，比如：一个极限环，两个极 限环，同宿环等等。注意到非线性传染率g ( ，) s 中的这些函数g ( ，) 是单调的，这就意 味着当染病者的数量较大时染病者和易感者的接触率也变得越来越大。 x i a 0 和r u a n 在文献 3 0 中考虑了一个具有非线性传染率i k 乏l s f 的地方病模型： 9 中北大学学位论文 拈彳一施一器圳 ，：黑一(d4i-)，11 ，= 一一i ，i - + 仅1 1 、。 r = ，一( d + 7 ) r ( 2 2 ) 其中g ( i ) 是非单调的。该文章对这种非单调传染率的地方病模型进行了全局分析，证 明了疾病或者最终消失，或者存在一个区域，使得在这个区域之内疾病是持久的，而在 这个区域之外疾病最终消失。 针对上述模型，本文将考虑以下两个s i r s 模型： 塑：刎一搬一姿+ 旭 d t1 + c t l 2 警= 器一( 帅) ， ( 2 3 ) 警= 叫+ t i - ( d + 椰 s t = - - 剃一勰一品圳 it-黑一(d+)，11 一一- f 1 - ，z - t - o c i z 、 r = c 么+ ，一( d + 7 ) r ( 2 4 ) 其中a + c = 1 ，( 口，c 都是正常数) ，s ( f ) ，( f ) 和r ( ，) 表示在时刻r 的易感者的数量，染 病者的数量和恢复者的数量，d 是种群的自然死亡率，k 是比例常数，是染病者的恢 复率，y 是免疫者失去免疫而成为易感者的速率，口是非负常数。 2 2 具有常数移民且发生率为单调的传染病模型分析 2 2 1 模型分析 本节首先讨论模型( 2 3 ) 的正平衡点的存在性。 1 0 中北大学学位论文 型：彳一捌 一= 一一h 、i 謦羔( 0 小妒小 ( 2 5 ) j 西 1 + 口，” 7、。7 ， c 、 i 塑：叫圳一( d + 小一d 【t 、叫 为了记号上简洁起见，对( 2 。5 ) 作变换 x = 4 k ( d + y ) i ，y = k ( d + y ) r ，f = ( d + 7 ) f 结果得 其中 鲁2 雨x 2 ( b - x - y ) ( 2 6 ) 口1 ， = r l + q x y d f p = 掣肛眠焉胪筹 庀、f 口十，口+ ， h 9 2 _ 二_ 一 d + 7 这里的p ，b ，埘，q ，玎都是正常数。 下面进一步研究系统( 2 6 ) 的非双曲正平衡点的存在性和分支。 为了找系统( 2 3 ) 的正平衡点，令 中北大学学位论文 因此 可x 2 万( b x y ) 一嬲= 。 n + q x y = 0 ( ，印+ g + 1 ) x 2 - ( b - n ) x + m = 0 令= ( b 一万) 2 4 m ( 印+ g + 1 ) 。就得到下面的定理。 定理2 2 1 ( i ) 系统( 2 6 ) 有唯一的正平衡点f ( x ，y ) 当且仅当下列条件成立： a = 0 和 b n 0 。其中， 。b n。 x 2丽y硼+qx2(mp 1 + g + ) 7 ( i i ) 系统( 2 6 ) 有两个正平衡点e l ( 五，y 1 ) 和易( 而，y 2 ) 当且仅当 0 ，b - n 0 ，和 l + q + p m 0 成立。其中， 五= b - n - 4 1 ( b 丽- n ) i 2 - 4 两m ( 广m p + q + 1 ) ，m = 玎+ 瞩 恐= b - n + _ x ( b 丽- n 鬲) 2 - 两4 m ( 广m p 一+ q + 1 ) ，咒= 刀+ 2 ( ，竹矽+ 口+ 1 l 。 系统( 2 6 ) 在平衡点( 薯j ，) 处的j a c o b i a l l 矩阵为 f - x b - n - ( 2 + q ) x - p ( b - n ) x 2 + p q x 3 _ x 2 肚【-o 十1 习 因此，矩阵m 的行列式为 x ln - b + 2 ( 1 + q ) x + p ( b - n ) x 2ld e tm = l = _ j ( 1 + 它的符号由下式确定 孓全g - - 刀+ 2 f l + g ) z + p ( b 一，z ) z 2 1 2 中北大学学位论文 i 膨：( q p - p 2 ) x 4 - p ( b - n ) x 3 - ( 2 + 气q + 2 p ) x 2 + ( b - n ) x 一- 1 ( 1 + 彤2 ) 2 它的符号由下式确定 岛会( 印一p 2 ) 一- p ( b - ) x 3 - ( 2 + q + 2 p ) x 2 + ( b - n ) x - 1 注意到 ( 唧+ g + 1 ) x 2 - ( b - n ) x + m = 0 因此有 ，i = ( 叩+ g + 1 ) s = e 2 m p + 4 q + 2 q 2 + 2 m p q + 2 + p ( b - - 7 2 ) z - ( 1 - 刀) ( 2 r a p + 1 + g ) 吒= ( ，即+ g + 1 ) 3 岛 = ( b 一刀) q ( 召一刀) 2 + d 2 x + 色( b 一刀) 2 + 皿 其中 d t = 一p ( 砚p + g + 1 ) 砬= ( ，印+ g + 1 ) ( 2 聊2 p 2 + 彬p 一2 p 一2 印一g 一1 ) b = ，印( ，印+ p + 1 ) 皿= ( 1 + g ) ( 唧+ g + 1 ) ( 2 矿p + 唧一g 一1 ) 定理2 2 2 ( i ) 系统( 2 6 ) 唯一的正平衡点是退化的平衡点矿( x ，y ) ，如果a = o 和 b r l o 成立。其中， 肛2 ( r a 丽p + 剐坶g + 1 ) “ 1 ( i i ) 系统( 2 6 ) 有两个正平衡点置( _ ，y 1 ) 和易( 而，y 2 ) 当且仅当a 0 ，b - n 0 和 1 + g + 朋 o 成立。而且当逻( 恐) = o 时，局( 五，乃) 是双曲鞍点，易( x 2 ，此) 是中心。其 1 3 中北大学学位论文 中 五= b - n - 、 ( b 丽- n 而) 2 - 石4 m 矿( m p 一+ q + 1 ) ，m ：刀+ 娲 1 2 ( ，印+ g + 1 ) 7。1 1 1 而= b - n + x ( b 而- n 而f - 百4 m 丁( m p 一+ q + 1 ) ，耽：玎+ 2 ( 叩+ g + 1 ) 2 在下一节中，主要讨论存在一些模型的参数值，当两个参数在小邻域内变化的时候， 系统( 2 6 ) 会产生余维2 的非退化的b o g d a n o v t a k e n s 分支。在2 2 3 这节中，主要讨论存在 一些参数值使得系统( 2 6 ) 有一个正平衡点，它是余维1 的一阶焦点，选择一个模型的参 数作为分支参数，讨论这个模型的h o p 盼支，并对其进行数值模拟。 2 2 2b o g d a n o v t a k e n s 分支 本币主要讨论存征一些模型的参数值，当曲个参数在小邻域内焚化的时候，便得糸 统( 2 6 ) 产生余维2 的非退化i 拘b o g d a n o v t a k e n s 分支。 从定理2 2 2 知道唯一的正平衡点f ( z ，少) 是退化的当且仅当( 4 , ) a = 0 和 ( 马) b 一刀 o 成立。t 呆证b o g d a n 。v - t a k e n s 分支的存在，再假设( 只) 驴( m ( x + ) ) = o 成立。 下面将寻找( 2 6 ) 用参数表示的开折。用这种方法，就能够知道分支曲线的近似表 达式。现在选择参数，2 ，p ，g ，m ，和b 的值使得( 马) 一( 风) 成立。取m = 2 ，p = l 和g = 5 ，根 据( q ) 一( 甄) 得到b 一，z = 8 ，x = 互1 。取b = 9 ，z = 1 ，得到y = 三 定理2 2 3 当( m ，p ，g ，b ，n ) = ( 2 ，1 ，5 ，9 ，1 ) 成立时，系统( 2 6 ) 有唯一的正平衡点 ( x 。，y ) = ( 丢，三) ，而且它是余维2 的。 证明：为了把内部平衡点( 丢，吾) 平移到原点，作变换x = x 一互1 ，】，= y 一吾 则系统f 2 6 1 变为 1 4 将( 2 7 ) 进行泰勒展开，得到 中北大学学位论文 ：【 + 爿1 + ( = 5 x y 2 ( 5 一r 一】，) x + 三、2 2 一2 x 一1 ：x 一1 0 ，l + q + p m 0 和护( 忍) = o 成立的前提下，将取 一些参数值来研究系统( 2 6 ) 的h o p 盼支。其中易( 艺，奶) 是中心，且 而= b - n + 4 _ ( b 丽- n ) i = - i 4 m ( 厂m p 一+ q + 1 ) ，= 刀+ 吼 取所= 2 ，p = 1 ，g = 9 ，b = 1 1 ，珂= 1 ，得到 屯2 i 儿2 了 考虑系统 瓦d x = 丽x 2 ( 1 l - x - y ) 一2 x a y ：1 + 9 x y a z - 定理2 2 5 ( 三，苦) 是系统( 2 1 7 ) 的一阶的细焦点。 证明： 令x = x 一互1 ，】，= y 一百1 1 ，那么( 2 1 7 ) 变成 将( 2 1 8 ) 进行泰勒展开，得到 ( 2 1 7 ) 坚：匿埏竺2 川 办 + ( x + 三) 2 亿埘 d y ：= 9 x y 1 8 f d x i = id r 1 订 j = ld r 中北大学学位论文 9 x y 令“吐v = 一丽5x + 去h = 竽f ，得到 一西1 6 胁。( 刚厂 一一击2 一堕圳一1 6 u u 2 v 一竺u 3 4 - o ( 川u 52 5 1 0 , 5 4 = 一v 一下。一圳一一1 ，一。i i ，v | i 5 、l 叫7 “嘲2十一84删+乓材2v+丝“3+。(川)45 5 4 5 5 、il ， ( 2 2 0 ) 这样就得到了第一l i 印。吼。v 系数q = 一1 0 孬6 x _ 5 。因此原点是系统( 2 2 。) i r 一阶的稳 定的细焦点。 下面选择b 作为分支参数。 令b = 1 1 + 毛，那么系统( 2 1 7 ) 就写成 = 两x 2 ( 1 1 + 6 。- x - y ) 一2 x = 1 + 9 x - y 系统q 2 ，的正平衡点是f 望生兰乒，墨兰竺_ 墨乒 在e 处系统( 2 2 1 ) 的线性化系数矩阵为 ，= ( a 1 其中 一o 2 两i 石面i 磊瓦再菰可f 3 4 0 + q 2 + 2 0 毛+ 1 0 石f _ 丽+ 岛云f i 丽) 2 ( - 2 3 6 0 0 + 4 0 q 3 + 5 5 2 e 。2 + 3 0 4 0 q + q 3 届覃画i + 3 响2 卮覃石再 1 9 + ， ( 2 2 1 ) r m 一5 一腰 坫一筋 一y 1 5 一彤 如一衍咖一衍 ，j-_j、lill_-_、 出一办砂一办 ji_i_，ll_l-il_l 一、， 2 ，工 八 一 中北大学学位论文 + 3 0 0 6 。届丽+ q 4 + 1 0 0 0 眉丽) ， 人2 因此，j 的特征矩阵为 旯2 + ( 1 - a 1 ) a a l - 9 a 2 = 0 显然，( i ) 尺e 兄( q ) l ( q = o ) = o ，i m 2 ( e 1 ) ( s 。= o ) o ； ( i i ) 掣i ( 删) o ； ( i i i ) 从引理5 知q o ，r 0 ，考虑系统( 2 2 3 ) 。作d u l a c 函数 d = 警 则有结论： 百a ( d e ) + 百o ( d q ) = - 1 - 2 0 r d 七+ ? ，一型k c 5 时成立。其中， x ：- ( q + i ) + ( q + _ i ) 2 + 4 m p ( n - 一m - c s ) ，y ：掣+ 嚣 下面讨论( o ，傩) 点的稳定性。 | - 可n - 2 x - y 一迹o + p 犁x 一南l + p x1l 彤2 2 ) 2 “ 2 i 【 g 一1 j 而在( o ，傩) 的j a c o b i a n 矩阵是 耻n 堋二 如果珂一m 一傩= 0 ，( o ，甜) 的邻域0 存在，则系统( 2 2 4 ) 的动力学方程等价于 f i d x - - _ x 2 _ 2 砂+ d ( ( z ，j ，) 3 ) 粤 。“。 ( 2 2 7 ) 皓船+ 伊一y 、 因此得到以下结论： ( i ) 如果刀一所一c s 0 ，则模型( 2 2 4 ) 的唯一的地方病平衡点e = b ，y ) 是稳定结点。 2 4 本章小结 在许多种群中，流行病数学模型已经成为一个研究传染病动力学的重要的工具。对 于具有常数输入且发生率为单调的传染病模型，讨论了正平衡点附近的分支问题，得到 了h o p f 分支和b o g d a n o v t a k e n s 分支的符号条件，并对h o p f 分支进行了数值模拟；对 于具有常数输入且发生率为非单调的传染病模型，讨论了该模型平衡点的稳定性，通过 对该模型的全局分析，证明了疾病或者最终消失，或者存在一个区域，使得在这个区域 之内疾病是持久的。 2 4 中北大学学位论文 第三章疾病在食饵中传播的捕食一被捕食模型分析 3 1 引言 近年来，以v o l t e r r a 和l o k t a 为代表的种群动力学和以k e r m a c k 及m c k e n d r i c k 为代表的 流行病动力学，已经有了相当的发展。它们在开发利用资源和预防治疗疾病方面都起到 了不同程度的指导作用( 见文献 5 2 ，