（应用数学专业论文）分数阶微分方程的数值解法.pdf

摘。要 本课题首先简要介绍了分数阶算子的定义，并将其引入热传导方程模型，分别对盂 间项和时间项的导数进行分数阶处理，建立了时间空间分数阶导数的流动模型，将建 立的模型进行网格差分，写出模型的隐式差分格式，并且证明算法的收敛性、稳定性； 结合实例，编程求出模型的数值解，绘制温度场的曲线图，分析了分数阶导数在空间乖 时间上对温度场的影响。结果表明温度场对分数阶导数的阶数具有较强的敏感性。 论文又将分数阶算子应用到分形油藏中，考虑边界和初值条件，分别建立了时间贫 数阶流动模型的隐式和显式差分格式，证明两种算法的稳定性和收敛性，并利用有限差 分方法得到了数值解；同时也建立了时间空间分数阶流动模型的隐式差分格式，讨 稳定性和收敛性，并且编程得到数值解。在上述三种模型中，分别对无穷大地层定产量 和有界地层定产量生产的情况进行了讨论。针对取值不同的时间和空间分数阶导数绘 典型压力曲线图，分析压力动态特征，讨论了时间分数阶a 、空间分数阶丫和谱维数d 变化时的压力变化规律，这些结果可为分形油藏开发提供理论依据。 关键词：分数阶导数，分形油藏，有限差分方法，压力动态特征 t h en u m e r i c a lm e t h o do ff r a c t i o n a lo r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n m a ) ( i a o d a n ( a p p l i e dm a m e r n a t i c s ) d i r e c t e db yp r o t o n gd e n 班e a b s t r a c t w r ei 曲o d u c et h cc o n c e p to f 妇t i o l l a l d e r 嘶e n ya tf i r s t ，a n du s ei ti i l 幻s 伽d a r dh 髓t c o n d u c t i o ne q u a t i o n t h w eb u i l tt h et i r n e s p a c e 胁t i o n a lh e a tc o l l d u 嘶o ne q u a t i o 玛p r o v e t l l e 嘲b i l 姆趾dc o n v e 略e n c eo ft h es c h e i n e n u m e 血a ls o l u t i 0 璐a r eo b t a 恤e d 舶m l em o d c l ， a n dt 1 1 ep 1 0 t so f t e m 】，e m t u r ef i e l dc u r v e sa r cg i v c n m 托s u l t ss h o wt h t 吐l et e m p e 舳f i e l d i sv e 巧s e n s i t i v et ot i l eo r d e ro f 触c t i o i l a ld e r 碱i v e t h em t c t i o n a lo r d e ri sa l s oi n t o r d u c e di n t o 廿l es e 印a g ef l o wm e c h a i l i c s t w on o w m o d e l so ff l u i d si n 觚t a lr e s e r v o i r sa r ee s t a b l i s h e d 诵t l lt i m e 纳c t i o n a ld e r i v a t i v e 飘d t 妇e - s p a c e 觚t i o n a ld e 咖a t i v e sr e s p e 而v e l y a ni m p l i c i _ ts c h 锄ea n d 觚e x p l i c i to n ea r e p r o p o s e df o rt ：h en o wm o d e l s 谢t ht i i n e 丘a c t i o n a l ( 1 e r i v 撕v eb yu s i i l g f i n i t ed i 丘b r e n c e m e m o d s a n dt l l en l 蛐鲥c a ls o l 嘶o ni so b t a i l l e d f o rt l l ef l o wm o d e l s 、砘t h 缸e - s p 撇 舶c t i o i l a ld e r i v a t i v e s ，趾e x p l i c i ts c h e m ei sc o n s i d e da n dt h c 删i n l e r i c a ls o l u t i o ni sa l o b t a j n e d a ni 血t e l yl a 玛ea n da 觚t ec l o s e d 胁c t a l 代s e r v o i r 丽mac o 删r a t e p r o d 删o na r ed i s c u s s e df o rm e 铆of l o wm o d e l s t 1 1 ep l o t so ft y p i c a lp r e s s u r ec u r v e sa n d p r e s s u r ed y n a n l i cc 删m t e r i s t i c 锄a l y s e sa r eg i v e n 1 1 1 i sp a p e ra d d r e s s e st h ec h a i l g e1 1 l l e so f p r c s s u r e 诵t hn l ec h 粕g eo ft i i i l e 丘a c t i o n a ld e r i v 撕v ea ，s p a c em 坨t i o i l a ld e r i v a t i v e 丫a n d s p e c n md i m e n s i o nd sr e s p e c t i v e l y t h er e s u l t sc 锄b ep r 0 v i d e d 硒t h e o r e t i c a lb 嬲i s f o r 缸c t a lr e s e n r o i r sd e v e l o p m e n t k e y w o r d s ：五r a c t i o n a lo r d e rd e r i v a t i v e ，丘如t a lr e s e r v o 址f 疏t ed i 丘- e r e n c em e l o d s ， p r e s s u r ed ) ，n 锄i cc h a r a c t e r i s t i c 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其它人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 研究所做的任何贡献均已在论文中做出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：墨盟日期：哆9 d g 年石月2 一日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷版 和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借 阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩 印或其它复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签 指导教师签名： 日期：多的宕年月2 ，日 吼坼月多日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章前言 1 1 课题提出背景及研究意义 分数阶微分方程和整数阶微分方程具有同样长的历史背景，早在1 7 世纪整数阶微 积分还处在发展时期，数学家们就以书信的方式探讨过分数阶微积分和最简单的分数阶 微分方程问题。以当时的理论基础，这些问题并未得到正确解答。在此后的三个世纪里， 经过许多数学家的努力，终于形成了几种主要的分数阶算子定义。由于初期没有得到物 理、力学背景的支持，故其发展及其缓慢。直到2 0 世纪7 0 年代末有学者首次指出，在 自然界和许多科学技术中存在着大量分数维的事实，并且在整体与部分之间存在自相似 的现象以及分数阶b r o w - i l 运动与r - l 分数阶算子存在紧密联系，作为分形几何和分形 动力学的基础，分数阶算子理论和应用研究在国际上才得到了迅速的发展。 建立在绝对空间和时间以及e u c l i d 几何基础上的经典、咖n 力学认为空间和时间 是处处连续的，在这种时空观的假设下，所有导出的物理量均是连续的。在整数阶算子 下，物理量均是解析函数。经典力学和线性物理进而认为多数物理现象都可以用解析函 数来表示，其演化过程也总可以用包含解析函数在内的运动微分方程去刻画，因此多数 科学家认为这种解析函数总是可以描述物理和力学中所发生的各种现象。但是，仍然存 在几个不能用这一观点解释的挑战性反例。例如，湍流速度场的不规则起伏，沿着经典 n a v i e 0 s t o k e s 方程的方向上研究湍流；其收效是甚微的；又如b r o w n 运动，水中微粒的 随机运动的速度和方向是不连续改变的。这些均不能用整数阶算子理论来进行解释，故 而促进了分数阶算子理论的发展。 分数阶算子理论和方法广泛应用于物理和力学中各类中间过程和临界现象的非平 衡系统研究，尤其是非线性科学。目前国际上非线性研究的重点课题之一是复杂系统或 复杂现象的研究。分数阶算子在各类复杂系统中的应用非常广泛也非常重要。在线性和 非现象固体遗传动力学，非n e 、j 吨o n 流体力学，生物物理和生物力学，反常扩散与随机游 走理论，d l a 理论研究等许多复杂理论中，原来不能够用整数阶算子解释的问题，可以 用分数阶算子进行描述解释现象。除了上述所列之外，分数阶算子还有如下领域的应用： 经典力学分数阶推广；量子力学中的分数阶微观体系；应用分数阶算子理论将整数阶外 微分形式推广到分数阶。由此可见分数阶算子理论应用十分广泛，其在非线性科学中的 地位十分重要，故研究分数阶算子理论具有重要的科学意义，而且有着很大的应用前景。 第一章前言 分数阶微分方程是在一个标准的微分方程中，用分数阶导数代替时间导数或者空 间导数而变换产生的方程。它与整数阶微分方程相比较，最重要的优势在于它能更好地 拟合某些自然物理过程和动态系统过程，因此在物理、工程、金融等领域及环境问题的 研究方面能得到广泛应用。当前，分数阶算子理论和方法广泛的应用于金融、物理和力 学中各类中间过程和临界现象的非平衡态系统研究，特别是复杂系统或复杂现象的研 究。比如利用分数布朗运动刻画金融市场波动、在线性和非线性固体力学中的应用以及 在非n e 埘o n 流体力学中的应用等等。 1 2 分数阶的基本定义 从十七世纪分数阶微积分诞生之日起，数学家们就不断的探讨分数阶算子的理论体 系。后经多位数学家的努力，从不同的角度入手，建立了多种不同形式的分数阶算子定 义，现在主要通用的三种定义【1 1 形式为： ( 1 ) 佩妇w a l d - l “k o v 定义：对于任意的实数口，记口的整数部分为p 】( p 】为 小于口的最大整数) ，假如函数厂( f ) 在区间p ，】上有所+ 1 阶连续的导数，口 o 时，埘 至少取p 】，则定义分数阶口阶导数为： 御m 垒墨扩喜 了卜哟 ( 1 1 其中，i 川l - 土鱼坚竺型丛兰譬兰i 二尘型。故上式可化为： l f l j ! 。字钟厂( f ) = 萎；兰掰+ 南f 。一7 ) 一口+ ”厂佃“( f ) d f c ，- 2 ) 这个定义是从寻找刀阶导数与，z 次积分的统一性出发，衍生出来的。，z 可以扩展为 负整数。 ( 2 ) 慰e m 锄一l i o u v i l l e 定义： r i e m a n n l i o u v i l i e 定义的分数阶导数为： 毫d ? ，q ) = 盟，口： 二，口= v d p 嘉未je 甚丸嘞水口 以 西”1 1 ( 以一口) 上( f f ) 铲肘r ”。 2 ( 1 3 ) 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 类似的，硒e m a n n l i o u l l e 定义的分数阶积分为： ：钟加) 2 南肛市一巾) 九( 纵。) ( 1 4 ) 在( f ) 具有肌+ 1 阶连续导数，并且肌至少取陋】_ 刀一1 的条件下， w a l d l e “k o v 定义与m 锄a n n l i o u v i l l e 定义等价。但无上述条件时， 斑黝l i o u v i l l e 定义是w a l d l e t 删b v 定义的扩充，其应用范围也就更广泛。 ( 3 ) c a p u t 0 定义： 对于正的非整数口，( 其余情况与砒e m 锄l i o u v i l l e 定义相同) ， ；群们) 垒南肛r ) _ _ ( 枷 ( 1 - 5 ) 其中o s 疗一1 口 刀。 c a p u t 0 定义和m e m a n n l i o u v i l l e 定义都是对( 试j m 训d l “k 0 v 定义的改进。在条 件：( 1 ) 厂9 ) 具有朋+ l 阶连续导数，并且m 至少取k 】= 刀一l ；( 2 ) ，( 口) = o ， 七= o ，1 ，2 ，刀一1 下，c 印u t 0 定义与鼬e m a 衄l i o u v i l l e 定义是等价的。 1 3 国内外研究现状 近年来在分数阶微分方程的数值算法中，研究方向主要分为两类，一类为分数阶常 微分方程，另一类为分数阶偏微分方程。在时间上或者空问上对原来是整数阶的求导进 行分数阶替换，得到时间或者空间分数阶微分方程，用来描述整数阶微分方程不能描述 的物理和力学运动。 空间分数阶微分方程的解法，目前主要是采用有限差分格式数值算法来求解方程的 近似解。通过对时间分数阶或空间分数阶有限差分，得到方程的近似解，并检查格式的 稳定性、收敛性和相容性，计算收敛阶数和估算误差。 空间分数阶偏微分方程，分为空间一维和二维两种情况。对于一维的空间分数阶微 分方程，n c e n tj e n r i n 等人1 讨论了一个求解与时间相关的二次非线性分数阶扩散方 程的有限元数值逼近方法，先给出理论的假设后由数值计算例子证明其正确性，并给出 了近似值的收敛性和先验误差估计。b o i sb a e u m e 等【4 】发展了一个求解分数阶的反应- 扩 散方程数值解的实用方法，这方法建立在算子分裂的基础上，并利用图象展示了求解结 第一章前言 果，探讨了其在生物上的应用。v u 鼬m1 、眦【5 】求解了分数阶微分方程数值解的外推法 极限问题，并根据函数的平滑性得到一个转换的q 恤w a l d l e 恤墩o v 分数阶微分算子。g j f i x 【6 j 建立了一个关于最小二乘有限元求解分数阶两点边值问题的理论系统，证明了最 小二乘逼近的存在性和唯一性，及分段线性试验元的最优误差估计。郑达艺等人【7 】考虑 标准的对流扩散方程，用分数阶导数代替空间二阶导数，给出了该分数阶微分方程的 显式和隐式有限差分格式，并证明了显示格式条件稳定和条件收敛，而隐式格式则是无 条件稳定和无条件收敛。s b y u s t e 【明利用c r a n l ( - n i c h o l s o n 方法来求解分数阶扩散方程， 并用v o n n e 吼锄法分析了稳定性，给出了数值例子。 。 关于二维的空间分数阶微分方程的求解，t a d j e r a n 等【1 0 1 提出一个精确和有效的数值 方法，结合了交替方向隐格式逼近、c - n 离散和m c h a r d s o n 外推法来得到一个无条件稳定 的二阶精确的有限差分方法，并证明了它的稳定性和相容性。m e e r s c h a e r t 等【l i 】用一种实 用的交替方向隐格式，来解决二维的初边值问题，使用改变了的g i 咖1 d 有限差分逼近， 证明了方法的一阶相容性，无条件稳定性和一阶收敛性。 关于求解时间分数阶微分方程，g o r e i l f l o 棚a b d e l r e h i n l b 【1 2 1 使用双变量的函数，证 明了g r ( i n w a i d - l e 血k o v 差分格式对于分数阶扩散方程的收敛性。卢旋珠和刘发旺等【1 2 - 1 刀 使用m e u i i l 变换，【，a p l a c e 变换和f o x 函数，求出时间分数阶的反应扩散方程在空间上混 合问题的解，提出了一种只需要存储部分历史数据的分数阶微分方程的数值计算方法， 并给出了误差估计。 空间分数阶常微分方程的解法，k a id i e l e l m 等人【1 8 删讨论一个a d 锄s 型的预估校 正方法来求解分数阶微分方程，分析了非线性分数阶微分方程的解的存在性，唯一性和 结构稳定性，采用c a p u t o 微分形式，给出了一个详细的误差估计，简要介绍了误差的渐 进膨胀。后者可以用于连续硒c h a r d s o n 的外推法，来得到改进的算法，表现更快的收敛 性。刘发旺等【2 1 2 2 1 考虑最简单的分数阶常微分方程，引进了分数阶的线性多步法，导出 了分数阶常微分方程初值问题的高阶近似，证明了其方法的相容性和收敛性，并且给出 了稳定性分析，考虑分数阶r e l a ) 【a t i o n o s c i l l a t i o n 方程，证明了方程解的存在惟一性，并 利用格林函数给出了它的解析解，提出一种计算有效的分数阶预估一校正方法。 近十几年来，分数阶微分方程已经引起了极大的兴趣，在科学的不同领域得到了广 泛的应用，例如，a b e l 积分方程，粘弹性力学，地下水模拟，财经数学，电容器理论， 通用电压分流器，生物系统的电传导系数，神经元的分数阶模型，数据拟合等等。因此 发展数值方法求解分数阶微分方程是十分有意义的。 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 1 4 本文的主要工作 第一章主要是对分数阶算子和微分方程基本知识的介绍，以及对国内外该理论研究 现状的介绍。 论文考虑的基本问题是分数阶微分方程的数值求解问题及应用。在论文的第二章介 绍了时间空间分数阶热传导方程的隐式有限差分格式，并分析了格式的稳定性和收敛 性，求出各个模型的数值解，绘出温度场曲线图，分析了温度场动态特征并讨论口和 的变化对温度场变化规律的影响。 在第三章中，我们首先讨论了时间分数阶模型，并结合内外边界条件和初始条件， 求解分数阶微分方程的数值解，并讨论方法的稳定性和收敛性，编程进行数值试验，检 验方法的正确性和实用性。 在第四章中，引入了含有时间空间分数阶导数的流动模型，采用有限差分得出了 模型的数值解，并根据压力曲线图讨论分析了相关参数的敏感性。 第五章中对本文所研究的主要内容进行了总结。 第二章分数阶热传导方程的数值解法 第二章分数阶热传导方程的数值解法 我们研究特殊的一维、齐次、两边边值均为零、简单初值、有限区间和有限时间内 的热传导方程【2 0 1 ，如下式所示： 型：型 8 t罅 “( x ，0 ) = ( x ) “( o ，r ) = 0 甜( ，f ) = 0 0 x 0 o z f 0 ( 2 1 ) 将分数阶导数分别引入热传导方程的时间、空间相，建立相应的分数阶热传导方程 的数学模型，进行差分离散后求其近似数值解。热传导方程的时间导数项用口( o 口 1 ) 阶分数阶导数来代替，同时方程的时空间导数项用( 1 q ) 阶分数阶导数来代替，建 立分数阶时间一空间分数阶热传导方程的数学模型，并用数值方法求其近似解。 考虑如下时间空间分数阶热传导方程混合问题的数学模型团】： 型：型 a fa 甜( x ，0 ) = 厂( x ) 甜( 0 ，) = “( 厶f ) = 0 o x ，0 f r 0 x 工 0 f ( 2 2 ) 由式( 1 4 ) ，( 1 - 5 ) 的分数阶导数的定义得 曼：竺堕! ：上f 塑盟j l o 口 t 州；2 ) = l ，t o ；3 ) 一 岛= 一，毋o ，毋= o ；4 ) 对于任何正整数n ，有邑 1 故p 。a 3 - 1 代入州1 ) 丛学得到2 邓； = ( 一竽) 晶地设散巩= ( - 一等) 巩由数学归纳法亩证毋兆 4 ) 由3 ) 的结论得：窆毋：一，对于任何正整数n ，则有主毋乏一，即窆毋+ 岛 o ， 甾簧霄 一 p lj 蜘 整理得到结论毋 keb+ e 卜 b b h 问 +e| u一 = “ 能 第二章分数阶热传导方程的数值解法 第二步，假设，七时格式稳定，并且8 9 0 e o l i ，= l ，2 ，七；当第七+ 1 步时，仍设一 hi p 1 k = 俐= 黪俐 妙1 卜妙i ( 1 + p r ) l 才+ 1 l 一，艺g ，l 岔“1 s ( 1 + 卢，) l 才+ 1 l 一，g ，i ! ：；+ 。i ，善o 。，l，= 0 ，l l ( 1 + ) 一，彰秣，l = l ( 1 - b 1 ) 才+ ( b j - b j + 1 ) 矿+ b t 秽l ( 1 - b 。) l + b 。例l + 芝( b ，- b 川) 旷，k ( 1 - b 。) l o o + b 。l l e o l l + 艺( b j _ b 洲矿壮 例l ( 2 以6 ) 则证明在第七+ l 步时格式仍然是稳定的。由数学归纳法可以得出计算过程中，隐式差分 格式是稳定的。 下面证明隐式差分格式的收敛性。 设截断误差芎= “( 葺，) 一，e k = e ：e ，e ：， t ，e 。= o 。则： 州 ( 1 + 矽碉一艺圣，+ l = 窖+ 霹 ( 2 一1 7 ) j 曲 ( 1 + 州h 一，艺岛缘= ( 1 一白) 彳+ 一+ w + ( 2 1 8 ) j 曲。蹲 社 仍采用数学归纳法证明。第一步，当七= 1 时，设0 p 1 k = 阿l - 黪r l ，取值为误差 最大值。则： l = 懒- 堆朴，笔。彰川 郅例m ，笔。彤斗例扣，兰。确+ 。| 似聊 = i 口+ 硝l c ( r 1 + 口+ m ) 第二步，假设s 后时格式都收敛，并且耖k 呵1 ( f + ， ) ，= 1 ，2 ，七；并由包的 1 0 单调性得到巧1 巧1 。当第七+ 1 步时，仍设降+ 1 i = 罂豸l t + 1 i ，证明如下： i 带+ 1 l ( 1 + ，) i 露+ 1 i r g ，防“l ， 郅+ 俐，笔，彰- l l ( 1 + 财，笔。即鼢l 亿2 。， 王o ，j ll 譬o ，li ，n 、 = l ( 1 一包) 矿+ 哆一。) 衫+ 群+ 1 i ( 1 一酬矿卜呈( 屯一8 矿飞+ 妒k 社 由条件p k 嘎1 ( f 1 + 。+ 广矗) 和丐1 硭，可得： 妙小 ( 1 - 帆1 + 芸c 巧州幽p 口厅) 虻1 。一6 l ，+ 筹c 包一吐，+ 钆 c ( 一+ 口+ f 口厅) 虻1l ( 1 6 1 ) + ( 包一吐) + 钆l c ( 一坛+ m ) l 户l j 硭c ( f h 口+ f 口矗) 因吃= ( + 1 ) 1 吨一j 卜口 ， 则舰等= 避南2 舰 为同阶无穷小，极限是收敛的。因此可以得到： 州i 。肌c ( f 1 + 口+ 铂) c ( 幻y ( 什f 1 ) 钟( 什毳) ，o f s _ ； 当卜0 时该式也趋于零，则隐式差分格式的收敛性得到了证明。 2 4 数值例子和结果分析 ( 2 2 1 ) ( + 犷一t = 一， l 一口 关于时间空间相分数阶热传导方程的数值例子，长为2 m 的均匀杆( 不考虑杆的粗 细) ，初始时刻温度分布不均，经过4 s 热量的传导，研究此时的温度分布。 掣= 掣改o a ) c p “( x ，0 ) = 厂( x ) “( 0 ，f ) = “( ，f ) = o o x 2 ，o f 4 0 石2 0 4 ( 2 2 2 ) 第二章分数阶热传导方程的数值解法 l2 x z 乏= o 5 舯八功。 幽o 5 艘 l3 取 = 0 1 m ，f = 4 1 0 4 s ，空间分数阶导数取固定值1 5 ，时间分数阶导数口取0 4 、 0 6 、o 8 ，其数值解曲线图如下图2 1 、图2 - 2 所示。同样，时间分数阶导数口取固定值 0 5 ，取1 2 、1 4 、1 6 ，其数值解曲线图如下图2 3 、图2 4 。 图2 1 时间分数阶导数变化时温度随时间变化曲线 f i 9 2 - lt h ei n u 钮c ec u n ，eo ft i m e - 胁c t o a io r d e rt ot e m p e n t u 弛c h a n g ew i 啦t - m e 图2 - 2 时间分数阶导数变化时温度随空间变化曲线 f i 9 2 2t h ei n n u e n c u r v e o ft i m e - f r a c t i o n a lo r d e rt ot e m p e 阳t u c h a n g ew i 山s p a 图2 1 为= 1 ，从上到下依次口取o 4 ，0 6 ，o 8 时杆的1 5 m 处的温度随时间变化 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 曲线。由于杆各位置的初始温度的差异，热量由温度高的位置向温度低的位置传播，时 间分数阶导数的阶数口对杆的温度的变化是很有影响的，杆的1 5 m 处的温度总趋势是 随时间的廷长而渐渐趋0 的。同时，阶数口越大，杆1 5 m 处的温度在前0 5 s 左右下降 相对较慢，o 5 s 至4 s 之间下降相对较快，但不管口的大小如何，各分数阶导数下温度的 最终趋势都是趋于o 的，不同在于口越大，所用时间越短，这是由于每一是刻的温度值 都受到前面所有时刻温度值的影响，并且空间分数阶也对温度的下降有影响。总之，分 数阶的阶数对温度随时间变化的影响是比较明显的。 图2 2 为= 1 5 ，从上到下依次口分别取o 8 ，o 6 ，o 4 时杆的1 5 m 处的温度随空 间变化曲线。可以看出，时间分数阶阶数口对杆的温度的分布的影响是很明显的，分数 阶的阶数越大，杆的各位置的温度值越高，最高值越靠近0 5 m 处，而且温度以o 5 m 为 中心呈对称分布，各位置的温度差异越小。可见分数阶的阶数对热量传播的影响是很明 显的，初值对热量传播和温度大小影响很大。由于零时刻各位置温度值的差异，热量由 热源( 0 5 m ) 处向温度低( 0 5 m 两边) 的两边位置传播，随而改变最初温度的分布，并且离 0 5 m 越近的位置其温度值相对较高。如o m 0 5 m 范围内的温度就比0 5 r n 2 o m 范围内 的温度相对高。由于时间间隔较短，所以杆的各位置的热量还未达到平衡，所以温度差 异还是较大。 图2 3 空间分数阶导数变化时温度随时间变化曲线 f j 9 2 3t h ei n n u e n c ec u n ，eo fs p a c e - f h c 6 0 n a io r d e rt ot e m p e 均t u nc h a n g ew i t ht i m e 图2 3 为口取o 5 ，从上到下卢分别取1 6 ，1 4 ，1 2 时杆的1 5 m 处的温度的变化曲 线。由于杆各位置的初始温度的差异，热量由温度高的位置向温度低的位置传播，但不 论大小杆的1 5 m 处的温度总趋势是随时间的廷长而渐渐趋0 的。其温度随时间是下 第二章分数阶热传导方程的数值解法 降的，同时由于每一个时刻，其温度值的大小都受到以前时刻温度大小的影响，因此在 前0 5 s 时间内温度下降比较快，从0 5 s 到4 s 时间段，温度由于热量的传播减弱而趋于 定值，这是由于各位置的温度值都受到其它位置温度值的影响。随着时间的延长，最 终温度都会趋于0 的。 哼 。 也 膏 芎 图2 4 空间分数阶导数变化时温度随空间变化曲线。 f i 9 2 - 4t h ei n n u e n c ec u n ，eo fs p a o e _ f h c 6 仰a io r d e rt ot e m p e m t i 心c h a n g ew 油s p a 图2 _ 4 为口取0 5 ，从上到下6 分别取1 4 ，1 6 ，1 8 时杆的温度的空间分布曲线。 从图2 4 曲线特征可以看出，空间分数阶阶数6 对温度的分布的影响是很明显的。分数 阶的阶数越大，其温度的最大值越远离温度最高点o 5 m 处，越靠近1 o m 处，而且温度 越呈对称分布；也就是说分数阶阶数6 越小其越接近初始状态的温度分布。可见分数阶 的阶数对热量传播的影响是很明显的，初值对热量传播和温度大小影响是很大的。由于 零时刻各位置温度值的差异，热量由温度高处( o 5 m ) 向温度低( 0 5 m 两边) 的位置传播， 随而改变最初温度的分布。离0 5 m 越近的位置其温度值相对较高，如0 m 0 5 m 范围内 的温度就比0 5 i n - 2 0 m 范围内的温度相对高，并且由于时间间隔较短，所以杆的各位置 的热量还未达到平衡，所以温度差异还是较大的。 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第三章分形油藏时间分数阶流动模型 分形油藏渗流模型比均质油藏模型能更一般地描述了弱可压缩液体在多孔介质巾 的渗流规律，特别是具有分形结构的地层，因此研究分形油藏不稳定渗流问题更有实际 意义【2 4 3 1 1 。 3 1 分形油藏基本概念 定义3 1 p 2 1 ：维数为d f 的分形渗透网嵌入到懈，3 ) 维岩块中，即整个导流系统是 个分形体，称具有这种特性的油藏为分形油藏。 3 1 1 分形子l 隙度赡和渗透率k f ( r ) 。 假设分形体内流体储集在体积为v s 的座点处( 设每个座点体积相同) j 座点密度为 n ( r i 。分形体中，座点孔隙体积为常数。用b 描述某种相应对称性( 如b = a ，2 万办和4 万 分别描述直线对称，圆柱面对称和球对称) ，口为位置浓度参数p 3 1 ，d 为岩块的欧几里 德维数，定义分形孔隙度办有： 一 办= 警 ( 3 _ 1 ) 这说明分形网格的办不再是常数，而是随波及半径，成幂律关系。取，= 0 ，则有： 九= 警一俑分形孔恻一w 血一，伽= ，姗懒。 同样渗透率定义为：即) = 警训 ( 3 - 2 ) 一辞k = 警卅俑惨透蚓收时枷。 3 1 2 分形参数的物理意义 ( 1 ) 分形维数d ， 分形维数嘭严格地是一个分形体的几何特征，是分形体复杂程度的重要标志。一般 认为，办值不同，复杂程度也不_ 样。随复杂程度加剧，办值会愈高。 第三章分形油藏时间分数阶流动模型 ( 2 ) 反常扩散指数9 秒与裂缝网的拓扑有关，刻画了分形网络的连通情况，同时反映渗流发生于分形网 络时的异常。曰把裂缝网的几何特性和导流特性特征化，在流体沿分形路径扩散中有重 要作用，同时使得采用动态方法研究分形多孔介质的复杂性成为可能。一般认为裂缝网 络越扭曲，连通性越差，秒越高。 ( 3 ) 谱维数吃 以为一个非常重要的参数，在压力动态分析中有如下关系： 吃= 篆， ( 3 _ 3 ) 上式反映分形结构的静态性质与动态性质之间的关系。已证明：分形油藏压力动态曲线 的斜率与以有关。巧实际反映分形体中流体的可流动部分所表现出的分形维数，有力和 口的双重含义。因此压力动态分析中可用以代替矽。 3 1 3 分形油藏广义径向流动方程 假设：( 1 ) 流体微可压缩；( 2 ) 渗流服从达西定律；( 3 ) 压力梯度小；( 4 ) 忽略地心引力。 由微分质量平衡关系得连续性方程： 圪而鲁+ 掣= 。 c 3 呦 q 为体积流量q = b 留 ( 3 - 5 ) 运动方程蠢：竺塑竽( 3 6 ) j l i u r 对微可压缩液体，连续性方程可近似为： 删，) 鲁。+ 掣= 。 ( 3 - 7 ) c ，= 古箬为流体压缩系数，为粘度系数。将( 3 5 ) 、( 3 - 6 ) 代入( 3 7 ) 得： 等等= 专种等l ， 仔8 ， 一一= 一l ，_ 。i i j 。o - 胁 a f ，4 ，- 1ala ，1 、 其中，z = 办，= 哆一目一l ，该方程为分形油藏广义径向流动方程。 无量纲定义为： 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 昂= 鬻，饧二弘。嚣，其中卿肛矿d 因此无量纲流动方程可写为： 鲁2 古杀够士p 挈 p 9 ， 3 2 流动方程和一般模型 3 2 1 具有时间分数阶导数的流动方程 对时间项的阶数采用分数阶算子的c a p u t o 定义，方程( 3 - 9 ) 化为分形油藏时间分数阶 流动方程： 孚：去( 培孕) ( 3 - 1 0 ) = = 一一i r 二o -i ) l uj a t 苦碚r 。r ua r d 7 、7 其中= 办一1 一口，口为分数阶导数，吨l 。 3 2 2 分形油藏一般模型 将( 3 1 0 ) 展开整理得： 鲁+ 罢等= 名鲁 & 1 1 ) 蟛，d “粥 无 纲定解条件： 初始条件： 易i b i o = o ( 3 - 1 2 ) 内边界条件： 挈i ，d 。：一1 ( 3 一1 3 ) 功_ n 。 外边界条件一： 1 1 墨易= o 或警k 。r = 一l 或乃l ，d ：胄= o ( 3 - 1 4 ) ，、【，n 外边界条件二： 鲁l 协锻= o ( 3 1 5 ) 3 3 无穷大地层定产生产模型 3 3 1 定解问题 分形油藏中，流体以定产量向无穷大地层中心一口井作轴对称径向流动，其无量纲 形式定解问题由( 3 1 1 ) 、( 3 一1 2 ) 、( 3 - 1 3 ) 和( 3 - 1 4 ) 构成。 简记p = 昂，= ，d ，f = f d ( 这里p ，l ，t 仅是标记) 。 第三章分形油藏时间分数阶流动模型 对式( 3 一1 1 ) 作变换：z = l n ，厂= 矿，方程化为： p 警扩跏) 芸= 等 苏z ” 。苏研“ 初始条件变为：p l ，：。= 0 ( 3 - 1 6 ) ( 3 - 1 7 ) 内边界条件变为：娑i 脚= 一l ( 3 1 8 ) 外边界条件一变为：pi 。h r = 0 ( 3 - 1 9 ) 因此变换后，定解问题由( 3 1 6 ) 至( 3 1 9 ) 构成。 设o t t ，定义t k = h ，k = o ，1 ，2 ，n ；薯= 历，i _ - o ，1 ，2 ，m ，其中f = z 和h = 1 n 1 分别表示时间和空间步长，令口为定解问题( 3 1 6 ) ( 3 1 9 ) 的解的近似值。 3 3 2 隐式差分格式 在方程( 3 1 0 ) 中，时间分数阶导数采用如下方法近似： 丝l ! 二：尘1 2 一手! ! 竺：尘立二! 生：垒! l ( 州p 生一 a f 口 i ( 1 一口) 鼍； f 扔( 反+ l 一玎) 盯 ：芸圭型堕型坠蚴u + 1 ) 1 吨吨】 r ( 2 一口) 篇 f 。7。 = 禹附舷卅高扣圳舷屹 ( 3 - 2 。) 其中够= 陋1 ) h j f l 吨 ，j = o ，1 ，2 ，n 方程右边空间项导数均采用中心差分格式： a 2 p ( e x ：，t k + 1 ) 一 叙2 1 鱼! ：! ：! 1 5 l ! 兰! 鱼：! 丛1 2 ! 堡竺：! ! ! 1 2 h 2 翌生：! 丛! ! ：! 鱼兰：! ：! 垃1 2 ：呈鱼兰! ! 丛1 2 叙 2 h 由( 3 - 2 0 ) 、( 3 - 2 1 ) 和( 3 2 2 ) 得到( 3 11 ) 的差分格式： 只“1 一彳+ 否( 矿7 一刖屯2 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) d p _ 榔( 罐；1 2 彳+ l + 群1 ) + d 一2 姚塑专咝( 磋：1 一磋+ 1 ) ( 3 2 3 ) 1 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 其中= ；，d = r ( 2 一口) ，整理得对f ：。，l ，研一1 ，j | = 。，l ，2 ，亨： ( ，渤一撕) 牡扎懈 ( 1 + 学) 搿+ ( ，一半矧 = 只一( 霉“卜7 一只扣7 ) 屯 ( 3 2 4 ) 初始条件和边界条件也改写为差分格式： 对( 3 1 7 ) 有衅= o ，i = o ，l ，2 ，m ( 3 - 2 5 ) 对( 3 1 9 ) 有p 三= o ，k = 吼2 ，n ( 3 2 6 ) 外边界条件( 3 1 8 ) 式采用中心差分格式： 等一川峥e = 锄，k _ 毗一 ( 3 2 7 ) 在( 3 - 2 4 ) 中取i - o ，由式( 3 2 7 ) 消去其中的呓得： ( 1 + 豺一2 + ) 露+ 1 一划一2 棚k 矿= 露一喜( 矿7 刖办( 一半) 扎七嘲( 3 2 8 ) 取f = m 一1 ，结合外边界条件，式( 3 - 2 4 ) 变为： ( + 豺砒) 搿以一2 毗( - 一半 刑= ，一言( 嚣t 韶) 乞 ( 3 2 9 ) 由( 3 2 4 ) 、( 3 2 8 ) 和( 3 - 2 9 ) 得方程的矩阵形式： 应= p + e ， “= ( 1 一岛) + ( 乞一乞+ 。) p 。+ 晚p + c o ，七1 p ：o ，己：0 ( 3 - 3 0 ) c o = 一2 嘲一掣卜，。丁 其中磋硭磋，礤1 r ，k = o ，l ，2 ，n ； 矩阵a 2 a ；，j m 。m 为： 1 9 彳= 1 + 2 j p 一( 2 + 口h ， 当，= 时 一2 d p 一( 2 + 咖邬= 2 ，f = l 时， 一( 1 一墨蔓挚d p - ( 2 + 讪当f = ，一l 时，f = 2 ，3 ，m l ( 3 3 1 ) ( 1 + 半渺产嘞弘川庐1 ，2 ，棚_ 1 0其它 j 首先证明隐式差分格式的稳定性。设霉。是方程组的精确解，设= 雳7 一只7 为计算 ( 饼一柳) 霹二d 渺( t + 华h 一竽计替 ( 1 m 西) 釉一 ( 1 + 竽) 搿+ ( 1 _ 学蚺尊_ 扩l 柏 f a e t ：e o ， 写成矩阵形式为： a e ：( 1 一b 。) 萨+ 芝( b j b j + 1 ) e q + b k e o ，k 1 ( 3 3 2 ) 写成矩阵形式为： a e k + 1 = ( 1 一b 1 ) 萨+ ( b j b j + 1 ) e q + b k e o ，k 1 ( 3 - 3 2 ) i j = 1 【矿= o ，e m = o 第一步，当七= 1 时，设0 k = i 岔l _ 燃k l ，取值为误差最大值。则： 蚓博l = ( 1 + 2 扎叫m 2 咖 ( 1 + 半) 叭一半) 圳 种扎叫m 一2 毗 ( 1 + 警) 帅( 一半) 叫 佟3 3 ， i ( 1 + 2 扎舡如) 扣e 一似小 ( 1 + 学) “( - 一华) 也” 第二步，假设- ，七时格式稳定，并且e 讪。8 e 。l l ，= 1 ，2 ，后；当第七+ 1 步时，仍设 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 妒1 l = 矿j = ( 扎舡一k ) 俐珂卅而 ( 1 + 学m + ( t 一半p | | ( 1 + 2 扎伽h ) 扣可啪+ 学) 蜘( 一半圳 l k - l i j o b 1 ) 才+ 蔷( b 一b ，) 句巧+ b t 蜀。l ( 1 一b - ) o e