（应用数学专业论文）在加法扰动下的广义kuramotosivashinsky方程和在乘法扰动下的reactiondiffusion方程的吸引子.pdf

在加法扰动下的广义k u r 锄o t 伊s i v 嬲h i n s k y 方程和在 乘法扰动下的r e a c t i o n d i 觚i o n 方程的吸引子 应用数学专业硕士研究生王斌 指导教师李扬荣教授 摘要 吸引子是最近兴起的热点问题之一全局吸引子已成为描述一些偏微分方程的解所 产生的动力系统渐近行为的有力工具确定性的情况已被很多学者系统地研究过对于 随机偏微分方程，在1 9 9 4 年，h c r 叭e l 和f f l 锄d o l i 在【2 】中通过随机吸引集的定义为 随机动力系统定义了全局吸引子由此，吸引子理论得到更进一步的发展 一般情况下，吸引子的存在性，是在随机动力系统连续的情形下获得的本文的第 二章所考虑的广义k u r 踟t 伊s i v 嬲h i 璐k y 方程所生成的随机动力系统是连续的，它有一个 随机吸引子这一个结果主要应用了h 。c r 8 粥l 和f f l 龃d o l i 在f 2 中的定理：连续的随机 动力系统有一个紧的吸收集，则它就有随机吸引子而这只是一个吸引子存在的充分条 件，l iy n 伊o n g 在文献【3 踟中找到了一个吸引子存在的充要条件，并证明了在加法扰动 下的反应扩散方程所生成的随机动力系统在l 9 ( d ) ( 口2 ) 中存在吸引子，而这一个随机 动力系统在l a ( d ) ( 口2 ) 中是拟连续的本文的第三章主要应用这一结果，证明了在乘 法扰动下的反应扩散方程所生成的随机动力系统在妒( d ) p 2 中存在吸引子 在第二章中，我们考虑广义k u r a m o b s i v 够l l i 衄k y 方程为 f n d 让+ ( d 4 t + d 2 t 王+ 牡d 让+ 触) 出= 芝：奶d ( z ，) j r( 1 ) j = l 其中d = 彤如，j = ( 一三2 ，三2 ) ，由h 4 ，歹= 1 ，2 ，t ，m 且奶不依赖于时间t ，随机 泛函= ( ) ，歹= 1 ，2 ，m 是概率空间( q ，芦，p ) 上的独立的双边实值w i e n e r 过程 q = u c ( r ，r ) iu ( o ) = o ) ； ( 肌( t ，u ) ，( t ，u ，w 毛o ，u ) ) = u ) ，t r ； 保测时间转移函数吼为以u ( t ) = u 0 + s ) 一u ( 3 ) ，t ，。r 并且满足z ( i ) 口o = t d ； 伍) 巩+ 。= 以； 并且我们考虑边界条件为； 令 对u ，t ，日则 令 对u ，t ，y 则 缸( 一考一= ( 鲁，j = o ，l 2 ，3 丘巾拈。 日= 砍j ) = u 职一鲁，鲁) ；z u ( z ) 血= 。) ( 叩) = z t t 硼而2 = ( 舭) y = 1 1 2 = h k ( ，) n 日 ( ( 仳，t ，) ) = d 2 t d 2 t ，氓删2 = ( ( t l ，u ) ) j l 广义的k u r 锄o b s i v 鹊h i 璐埘方程所生成的随机动力系统是连续的，我们证明它有吸引 子，先考虑方程的强制性当方程是非强制的情形如f l j ，证明吸引子的存在性是比较困 难的，而p 1 4 时方程是强制的，稳定的所以在这个条件下，在第二章中，先利用方 程的强制性，做一些先验估计，由吸收集的存在性得到吸引子的存在性我们得到如下 一些结果： 引理2 2 1 若p l 4 ，则存在一个常数k o 对任意的牡y = 直；卵( j ) 都有 0 u 0 2 一l d t 1 2 + p i t 1 2 k ( 0 t 1 8 2 + i t 1 2 ) 引理2 2 2 存在两个随机数，1 ) ，您) o 满足；对任意的p o 。存在t ) 一1 ， 对所有的8 t ) 和i 如i ，使得p _ a s 1 口( t ，u ；s ，t i o z ( s ，u ) ) i r 1 ( u ) ，t 卜l ，0 】 ，u 一 o u ( 7 ，u ；s ，t o z o ，u ) ) 0 2 d 7 - r 2 ( u ) 2 引理2 2 3 存在一个常数c b o 使得对任意的t ，u y 都有 ， j ( b ( u ，) ，t ，) l = t ( d t ) 口d 圳铴i t i i i u i l | 叫 j 引理2 2 4 存在一个随机数r 3 ( u ) 满足。对任意p o ，存在t ( u ) 一1 ，使得对所有的 sst ) 和i t l o i 1 4 ，奶d ( a ) = 宜4 ( j ) 则由方程2 1 2 3 生成的随机动力系 统s 有一个紧的随机吸引子，它吸引日= 2 ( j ) 中的所有有界集 在第三章中，我们应用了文献【删中吸引子存在的充要条件( 即定理1 3 1 8 ) 。对在乘 法扰动下的反应扩散方程所生成的随机动力系统的连续性在妒( d ) 函2 ) 中进行讨论， 先证明它在l 2 ( d ) 中存在紧的吸收集，然后通过一些辅助估计，证明它在口( d ) p 2 ) 中有一个吸引子，我们得到以下几个主要结果： 引理3 2 2 存在两个随机数，y l ) 和能) 满足：对任意的冗 o ，一l t o ，存在 s d = 3 0 ( r ，u ) o ，存 在s = s ，( 冗，u ) 2 i nc h a p t e r2 ，骶c o n s i d e rt h ee q u a i o n s 鹪 i d u + ( d 4 u + d 2 u + t d u + p t ) m = 咖d w j ( z ，t ) ，兄 ( 1 ) j = l m e 弛d = a a 纽柚dt h ei 】1 t e r n a jj = ( 一l 2 ，l 2 ) ，t h ef i l n c t i o n 奶h 4 ，歹= 1 ，2 ，一，m 壮et h et i i 耻i i l d e p 肌d e n t t h er 衄d o mf u n c t i o n sw j = w j ( t ) ，j = 1 ，2 ，m 盯ei n d 印明d e n t 佃争s i d er e 4 砌u e dw i e n e rp r o c 豁嘲& p r o b a b i l i t ys p a c e ( g p ) ，q = 扣c ( r ，j p ) i u ( 0 ) = 0 ) t h et i i i l es l l i ri ss i m p l yd e f i n e db y 以u ( ) = u o + s ) 一u ( s ) ，t ，8 冗( 2 ) v 巩：2 2 ，t r a r eaf 枷y 0 fm e 越i u r ep r e r 讥n gt r 龇i s f o r m a t i o n ss u c ht h a t ( t ，u ，h 巩u 培 m e 鹪u r a b l e ，= 记，a n d 巩+ 5 = 巩以f b ra l l8 ，t r t h en o w 巩t o 雩r e t h e rw i t ht h e 1 1 r 髑p o n d i n g p r o b a b i l i 锣s p a c e ，f 只巩) i sc a l l e dai i l e t r i cd y n a 戚c a ls y 8 t 吼w ，ea l c 0 璐i d e rt h eb 伽n d a 碍 c o n d i t i o n sa s u ( 一言t ) = u ( 鲁，j = o ，1 ，2 ，3 ( 3 ) 仁u ( 州灿- 0 ( 4 ) l e t 日= 砍，) = u 比一鲁，考) ；z u ( z ) 如= 。( 5 ) w i t ht h e 三2s c a l 缸p r o d u c t 觚dn o r m ，d e n o t e d 岫( ，) ，i i i 砒砒 y = 直2 = h k ，( ，) n 日 ( 6 ) 硒t h 瓯a l a rp r o d u t 缸dn o r m ( ( u m ) = z d 2 u d 2 t ，血 i i u l l 2 = ( ( “，u ) )( 7 ) s i i l t h er 锄d o md y n 鲫疵a ls y s t e 】田喀( r d s ) g 朗e r a b e db yt h et h e 岫i q u e l u t l 呲0 fg e n 盯小 i z e dk u r 锄0 乞0 - s i 氇h i 啦【ye q u a t i o ni s0 0 n t i n u d i 培，i n0 r d e rt op r a v et h ee 】c i s t e n c eo ft h er 衄d o m a t a c t t o r ，w e6 玛tc 0 咀s i d e rt h a tt h ee q l u a t i o ni sc o e r c i v e i ft h ee q u a t i 册i sn o tc o e r c i v e ，i ti sd i 仿c l l l t t 0o b t 咖ag e n e r a lr 鹤u l to na t t r a c t o 墙e v e nf o rt h ed e t e r m i n i s t i cc a 鼬s 0 ，w ek tp ，a n dw e g e tt h ef o l l o wr 鹤u l t s ： l e m m2 2 1 a 蹄u m ep l 4 ，t h e r ee x 珏她ac o n s t a i l tk 0s u c ht h a t 0 u 0 2 一i d t 1 2 + 卢l u l 2 芝k ( 陋0 2 + i u l 2 ) v u y = 直k ，( ，) l e m 眦2 2 2 t h e r e c i s tt w or 缸d o mr a d i 璐，1 ) ，r 2 ( u ) os a t i s f i n gt h ef o l l d 而n g p r o p e r t i 髑：f 0 ra j lp o ，t h e r ee ) c i s t st ) 一ls u d lt h a t ，f o ra l ls t p ) 柚da ut o 日丽t h i t i o f 0 ，t h e r ee ) 【i s t s t ) 2 w bg e tt h el ；d l l o wr 箦u l t s ： l e m 眦3 2 2 t h 盱ee x i 8 t 8 七w 0r 蛐d o mv 盯i a b l e1 1 ) 鼬d1 2 和) ，f o r 锄yr o ， 0t 00 2 冗一1st o ，t h e 弛e x i 8 t sas o = s o ( 冗，u ) o ，t h e r ee ) 【i s t sas ，= 。( 兄，u ) 一18 a t i s 妙i i l g i it ( o ，u ；s ，t o ) 0 p 一y ( u ) 加危e n 毛t ，e r5 o 蛆db o u n d e ds e tbc 工2 ( d ) ，t h e r ee 】c i s t8 0 = 8 0 ( ，b ，u ) 如) l e m m3 2 5 f - 0 ra n yb o u n d e ds e tbcl 2 ( d ) 吼dp a s u q ，w eh a 鸭舾+ ，潞厶( m 。，训m ) m t ，u ；3 ，咖) i 枷= 。t 【一去，0 1 l 锄磁3 2 6 l e tp 0b e 五x e d f o fe v e d rb o u n d e d tbc 三2 ( d ) ，w eh a v e 啊艘佃器厶( m 猢，t l o ) l k op 口叫q v n t h r e m3 2 7 t h er d s 妒g 朗e r a t e db yt h es t o c h a s t i cr e a c t i o n d i 行u s i 佃e q u a t i ( m ( 3 1 ) p s 鹤s 签ar 挑d o ma t t r a c t o r 如p ) i ni 尸( d ) f b r 衄yp 2 ) i 8ai i l v a r i a n t 柚dc o m p a c t r 蚰d o i ns e tw h i c ha t t r a c t st h eb o l l i l d e ds e to fp ( d ) u n d e rt h e 汐一n o r mt o p o l 9 醪 k q 7 w o r d b ：i h n d o md y n a m i c a ls y s t e m ；r a n d o ma t t r a t o r ；q u 舾h n t i n u t c y ；w i e n 盯p r o c e 蹄e s ； m u l t i p u c a t i v e i 8 e ；r e 孔t i 0 i 卜d i m l s i o ne q u a t i o n ；o m s t e i i l u h l e n b e c l 【p r o c e 蹈e s ；w h i t en o i ； k u r 锄o t 争s i v 韬h i n s be q u a t i 独创性声明 学位论文题目：查盘法拉边至鲍亡幺k 坠! 垒堡q ! q 二苎i ! 垒璺垒i 望苎垒z 友猩 狸查丞法拉边工鲍r e a c tio n d if f u si o n 左程的吸引子 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者： 巧三式 签字日期：7 耐年争月 心日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：囤不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：刁斌 导师签名：考松篆 签字日期：矽易年华月u 日 签字日期：9 y 年牛月f 甲日 第一章引言和预备知识 1 。1 引言 常微分方程和偏微分方程的解所产生的动力系统渐进行为的研究是现代数学物理学 的重要问题之一当一个物理，化学、生物或经济学的问题可被一个微分方程的动力系 统描述时，它的全局解是存在的然而一个更感兴趣的话题是当时间t _ 时解所产 生的动力系统的渐进行为动力系统渐进行为的研究为我们提供了上述所建立的模型所 涉及到的现象将来的发展趋势因此，研究微分方程的解所产生的动力系统t 一时 的渐进行为是必要的在很多文章中，全局吸弓i 子成为描述偏微分方程t _ 时渐进 行为的有用工具对于确定性的偏微分方程该理论已得到完善的发展而对于随机的偏 微分方程，c r 叭e l 和f l 卸d 0 h 在【2 】中引入了随机情况下全局吸引子的定义( 也可参见 s c l l i i l a l f h 鼹【8 1 ) ，为随机偏微分方程在t 一时的渐进行为研究提供了有力工具 一般情况下，如参考文献【2 】【1 9 】【2 3 】【3 9 l 【4 0 】【4 7 1 我们获得随机偏微分方程的解生成的 随机动力系统的吸引子。都是在它连续的情形下获得的本文第二章中所考虑的加法扰动 下的广义k u r a 皿。珏s i v 鹅h i 璐k y 方程的解所产生的随机动力系统的吸引子的存在性也是 类似的其中主要应用了h c r a u e l 和f f l 衄d o u 在【2 】中的定理t 连续随机动力系统有一 个紧的吸收集，则它就有随机吸引子而这只是个吸引子存在的充分条件，l iy a n 卯m g 在文献【删中找到了一个吸引子存在的充要条件本文的第三章就是应用这个充要条件 证明了在乘法扰动下的反应扩散方程所生成的随机动力系统在驴( d ) 0 2 ) 中存在吸引 子 1 2 文献综述 对动力系统渐进行为的研究是当代数学与物理学的一个重要问题对于确定性的动 力系统解决该问题的一个方法是考虑其全局吸引子t e m 锄在文献【1 l 中对于确定性的 动力系统的吸引子的存在性给出了一个充分条件，即动力系统有一个紧的吸收集，则它 有一个吸引子，并把这一结果应用在反应扩散方程、波动方程等方程中得到了很好的结 果钟承奎在文献阻 f 4 5 j 【4 6 l 中完善了t e m 啪的理论，并在( 4 6 l 给出了个吸引子存在 的充要条件而对于随机微分方程，h c r a u e l 和f f l 肌d o l i 在1 2 l 中通过随机吸引集的定 义为随机动力系统定义了随机吸引子，并给出了随机吸引子存在的充分条件，即预备知 识的定理1 3 7 ，如果随机动力系统有一个紧的随机吸收集，则它有一个随机吸引子该 理论成为研究随机动力系统渐进性行为的重要工具，被广泛的应用于对随机微分方程的 研究，如文献【2 j 【1 9 l f 2 3 l ( 3 9 j f 4 0 l f 4 2 j 【4 7 j ，都是应用着一结果证明了吸引子的存在性但这 只是随机吸引子存在的充分条件，不是必要的所以李扬荣教授在此理论的基础上，做 了进一步的研究，找到了一个随机吸引子存在的充分必要条件，并证明了在加法扰动下 的反应扩散方程在扩( d 2 ) 中存在吸引子 本文在第二章中考虑的广义k u r 8 m o 珏s i v 蠲h i 璐k y 方程，主要用了h c r a u e l 和f f l 锄d o n 在【2 】中给出的吸引子存在的充分条件，从泛函的角度证明了它的吸引子的存在性对于 第三章，主要应用了李扬荣教授在【删中机吸引子存在的充要条件，解决乘法扰动下的 反应扩散方程的解生成的随机动力系统的吸引子的存在性 1 3 预备知识 为了叙述方便，在这一节中我们列出一些关于随机吸引子的概念及相关的结果在 这篇文章当中，x 是一个可分的b 衄a c h 空间，( q ，f ，p 是一个完备的概率空间， 巩： q _ q ，r ) 是遍历的保测转移函数 定义1 3 1 【2 j ( 随机动力系统) 妒：矿q x _ x ，( t ，u ，z ) 一妒( t ，u 净 是一个可测映射，且满足： ( i ) 在x 上妒( 0 ，u ) = t d ； ( i i ) 对所有的s ，t r + ，妒0 + 5 ，u ) = 妒( ，以u ) 妒( s ，u ) ； 则我们说妒是x 及( n ，f ，p ，巩) 上的个随机动力系统( r d s ) 定义1 3 。2 【2 1 ( 随机集) 随机集 k ) ) 。o 是一列以u 为指标的集族，它使得对每一 个z ，映射u d ( z ，k ) ) 与相应的芦是可测的，其中d ( ，) 表示x 中的h a u s d o r f r 半距 离，即 姒日) 2 骝聪l id “m bcx 定义1 3 3 【2 1 ( 吸引集) 如果一个随机集一4 ( u ) 对x 中的任意有界集b 都满足 1 i md l 武( 妒( t ，口一l u ) 日，4 ) ) = o ，p 一口s u q 则我们说a p ) 吸引x 中的所有有界子集，它是一个吸引集 定义1 3 4 【2 】( 吸收集) 如果一个随机集4 ) 对x 中的每个有界集b 都存在冶) o 使得对所有的t t b ) 都有 妒( ，p t u ) bca ( u ) ，p 一口s u q 2 则我们说a ( u ) 是一个吸收集 定义1 3 删( 不变集) 如果一个随机集4 p ) 对任意的t o 都满足 妒( t ，u ) 一4 ( u ) = 4 ( 仇u ) ，p n 8 u q 则我们称它为不变集 定义1 3 6 f 2 】( 随机吸引子) 如果一个随机集4 p ) 是紧的不变的吸引集，则称么p ) 为 随机吸引子 定理1 3 7 阱个随机动力系统r d s 若存在一个紧的吸收集，则它存在一个随机吸引 子 定义1 3 8 【铝】( k 测度) 若b 是b 卸a c h 空间x 中的一个有界子集，则且的非紧的 k l l r 8 t o w s k i 测度，c ( b ) 定义为 k ( b ) = 伽， d o i b 的有限覆盖集的半径毋 若口是无界集，则k ( b = 引理1 3 9 ( 尤( 召) 测度的性质) 若b 是有界的，则芄( b ) 有以下性质； ( i ) k ( b ) = o 的充要条件是否是紧的，百是口的范数闭包 ( i i ) k ( 历百) = k ( b ) ，其中云石百是b 的闭凸核 ( i i i ) k ( b lu 岛) m 蹦 k ( 日1 ) ，代( 岛) ) 且k ( 口l + 历) ，c ( b 1 ) + k ( 玩) ( i v ) 鼠) t r 是一列递减的非空有界闭集族，若当t 一时k ( b ) 一。则n 鼠是非空的紧 集 ( v ) k ( b ) = ，c ( 百w s ) ，其中 否s ：扛x i 存在z n b ，使得z n 弱收敛于z ) 定义1 3 1 0 【勰】( 范数弱连续及拟连续) 如果一个随机动力系统( r d s ) 妒，对p - a s u q ，如一t ，_ z 都有妒( t 。，u 一烈，) z ，则我们说9 是范数弱连续的；若对p a s u q ，( t n ，z n ) 一( t ，z ) 及x 中的有界集 妒( t n ，u ) z n ) 都有妒( t f l ，u ) z n 一妒( t ，“，则称妒 是拟连续的( 事实上范数连续兮弱连续号范数弱连续辛拟连续) 定理1 3 1 1 若x ，y 是两个b 锄a c h 空间，x ，y 分别是它们对应的对偶空间，且 满足t ( i ) 嵌入映射i ：x y 是稠密连续的； 3 ( i i ) 伴随算子i ：y 一x 是稠密的，即 ( y ) 在x 中是稠密的； 妒是x ，y 上的随机动力系统，如果i p 在y 上连续，则它在x 上是范数弱连续的充要条 件是对p a s “，q ，妒( ，u ) 把r + x 中的紧子集映为x 的有界集 定理1 3 1 2 【鹪】若x ，y 满足定理1 3 1 1 的假设，妒是x ，y 上的随机动力系统，若妒在 y 上是连续或范数弱连续的，则它在x 上是拟连续的( 一般说来。对于具体的偏微分 方程，我们选y = 驴( d ) ，x = ( d ) ( q 2 ) 或者叼( d ) ，如果妒在工2 ( d ) 中是连续的， 贝它在l 9 ( d ) 或者王留( d ) 中是拟连续的) 定理1 3 1 3 侧假设妒( ，u ) 是遍历系统( q ，只p ；吼) 及一个可分b 锄a c h 空间x 上的拟 连续随机动力系统。则妒有一个随机吸引子的充要条件是， ( i ) 妒有一个有界的吸收集b ) ； ( i i ) 若妒是廿极限紧的，即对每一个非随机的有界集bcx ，都有 熙k ( 望比钆t 啪) 。0 ，卜口删印 在定理1 3 1 3 的假设下 4 ( u ) = ua ( b ，u ) 口c x 是一个随机吸引子，其中b 取遍x 中的有界子集，a ( b ，u ) 是弱序列沙极限集，即 a ( b ，u ) ：nu 而瓦币吣 定理1 3 1 4 鹞】若妒是u 一极限紧的，则z a ( b ，u ) 的充要条件是：存在n 一，b 使得i p ( t 。，p t 。u ) z 。_ z 定理1 3 1 5 如果一个拟连续的随机动力系统妒有个紧的吸收集b ( u ) ，则它有一 个随机吸引子4 ( u ) 定理1 3 1 6 如果一个随机动力系统( r d s ) 妒在驴( d ) 中有一个有界的吸收集 b ) ，则对p - a 8 u q ，e o 及妒( d ) 中的有界集b ，存在t = t ( b ，u ) 和m = m ( e ，u ) ， 使得对任意的2 正t b 都有 r n ( d ( 1 妒( ，p t u ) u i 彳) ) ，奶h 4 ，歹= 1 ，2 一，m 且如不依赖于时间t ，随机 泛函= ( t ) ，j = 1 ，2 ，竹l 是概率空间( q ，厂，p ) 上的独立的双边实值w i e n 既过程 q = u c ( 兄，冗m ) f ( o ，= o ，；( 0 ，。) ，( t ，。) ，w ，m 0 ，。) ) = 。o ) ，t 冗； 保测时间转移函数以为以u ( t ) = u ( t + s 一u ( 8 ) ，t ，8 r 并且满足s ( i ) = d ； ( i i t + 。= 巩以； 并且我们考虑边界条件为； 令 对q ，口日则 令 u ( 一考 t ) = ( 鲁，歹= o ，1 2 ，3 疋心棚血= 。 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 日= 砍肛 u 己2 ( 一丢，鲁) ；z u ( z ) 血= 。)( 2 4 ) ( 叩) = z u u 如，m 2 = ( u ，缸) y = 直2 = h k ，( ，) n 日 ( 2 5 ) ( ( t ，口) ) = - 沪t 泸t ，d z ，o 缸0 2 = ( ( t ，牡) ) ( 2 6 ) j l 为了方便，我们定义两算子ta ：d ( a ) c 嚣- + 日和冗：y _ 日 6 a u = d 4 u ，t d ( a ) ；直冬，( ，) ，r u = d 2 t i ，t l y ( 2 7 ) 易知，a ，r 是日上的无界自伴算子我们又考虑另外一个算子- 并且易证 6 ( ，t ，叫) = z “( d 口) 叫血，u ，t ，伽y ( 2 8 ) 6 ( u ，u ，u ) = o ，6 ( t ，t ，u ) = 一2 6 ( u ，u ，t ，) ，t ，y( 2 9 ) 所以，在上述条件之下，方程2 1 2 3 即为 竹l d 让+ ( a u + b ( 牡 + 兄缸+ 触) d t = 奶d ( 2 1 0 ) j = 1 其中口：y y - + 日由俾( u ，口x 硼) = 6 ( u ，f ，叫) 所决定根据文献【2 】，做变换 m 其中z = 奶乃，乃是o r 璐t e n u h l e n b e c l 【过程，即 ，= i 础) = 丘e ”( t q ) d ( s ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 它依赖于参数q o ，并且是一个稳定的m a l r k 吖过程，它的迹是几乎处处连续的事实 上，根据h o l d 盯不等式和i t o 等距我们还可以得到 ( 毗( 0 ) i ) 2 毗( 0 ) | 2 = e 撕d 丁= 去一+ 。 ( 2 1 3 ) 根据文献【2 】， 1 i m 掣：o ，p - 口8 t c ( 2 1 4 ) 所以，若咖d ( a ) = 直4 ( ，) 则t ，( t ) 满足下面的方程 塞+ 加+ b p + z ，移+ z ) + 勘+ 胁= 一a z 一如+ ( q 声) z ( 2 1 5 ) 7 由文献【2 】，我们可以用g a l e r k i n 逼近法和一些估算可以证明，对p a 3 u q ，下列各命 题成立 ( i ) 对所有的s r ，f 日，当t ，( s ) = 时，方程( 2 1 5 ) 存在唯一的解移c ( 【5 ，+ ) ；日) n l k ( 【s ，+ ) ，y ) ； ( i i ) 如果y ，则口c ( 【s ，+ ) ；y ) n l 乞( 【s ，+ ) ，d ( a ) ) ； ( i i i ) 映射= t ，( s ) hu ( t ) 一日_ 日对所有的t s 都是连续的 当口( 3 ) = f 时，我们用t ，( t ，。；s ) 表示方程( 2 1 5 ) 的解，则 u 0 ，u ；幻，t 0 ) = t ，0 ，u ；幻，t o z ( t o ，u ) ) + z 0 ，u )( 2 1 6 ) 是方程2 1 2 3 的解，其中t ( t o ) = t o 因此容易证明 s ( t ，u ) t 0 = u ( t ，u ；0 ，t 0 ) = t ，( t ，u ；o ，t l o z ( o ，u ) ) + z ( t ，u )( 2 1 7 ) 是一个连续的随机动力系统，并且它还满足 i s ( s ，p j u ) t o = u ( 0 ，u ；一s ，t 0 )( 2 1 8 ) 2 2 吸引子的存在性 引理2 2 1 若p l 4 ，则存在一个常数x o 对任意的珏y = 直；e ，( j ) 都有 t 1 1 2 一i d t i l 2 + 卢i u l 22k ( i i t 0 2 + i t 1 2 )( 2 1 9 ) 引理2 2 2 存在两个随机数r l ( u ) ，r 2 p ) o 满足对任意的p o ，存在t 0 ) 冬一1 对所有的s t ) 和i t o i o 使得对任意的t ，t ，y 都有 i ( b ( 咎，牡) ，t ，) i = lzh ( d 缸) 秽d z i q i 让川u 川t ，l ，地，”y ( 2 2 2 ) 8 引理2 2 4 存在一个随机数r 3 ( u ) 满足；对任意p o ，在t ) 一l ，使得对所有的 s t ) 和i t i o i 1 4 ，咖d ( a ) = 直4 ( ，) ，则由方程 2 1 2 3 生成的随机动力系统s 有一个紧的随机吸引子，它吸引日= 三2 ( j ) 中的所有有界 集 2 3 证明 引理2 2 1 的证明：由插值不等式得 i d 牡1 2 i u 川t 0( 2 2 4 ) 所以有 2 一胁1 2 + 肌陉。斗i i i u l i + 肌1 2 ( i i u i i _ 訾) 2 + ( p 一扣1 2 ( 2 2 5 ) 2 一陬1 2 + 肌1 2 肌1 2 - i u 川u i i + 2 = 删u i - 岩) 2 ”一嘉) i i u | 1 2 ( 2 2 6 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 相加得 2 i i t 0 2 2 l d u l 2 + 2 p l t 1 2 2 k “u 1 2 + 0 t 1 1 2 )( 2 2 7 ) 其中k = m 伽 1 一击，p 一 ) ，即完成引理的证明 引理2 2 2 的证明：由于奶d ( a ) = 直4 ( j ) 。由s o b o k v 嵌入定理知道，h 4 ( ，) c 伊( j ) ，故锄伊( j ) ，即有d 奶是有界连续泛函所以存在岛 o 使得 s u pi d z 仁，t ) i 风l 勺( t ) i ( 2 2 8 ) z j = 1 其中z ：曼咖勺，乃是( 2 1 2 ) 中定义的o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程，由c 叫d l y s c j = l 不等式得，存在陡 o 。使得 i z l 2 + l d z l 2 + i l z 0 2 + i d 4 2 1 2 岛i 勺( t ) 1 2 ( 2 2 9 ) j = 1 9 现在对方程( 2 1 5 ) 两边与