（应用数学专业论文）凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒性分析.pdf

哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒性分析 摘要 凸多面体不确定系统是鲁棒控制领域的一个重要的研究对象，利用参数 依赖l y a p u n o v 稳定思想对凸多面体不确定系统进行分析与综合是鲁棒控制 领域的前沿研究课题。本文利用线性矩阵不等式和参数依赖l y a p u n o v 稳定 方法讨论凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒性分析问题。本文在总结前人 工作基础上，展开如下三方面的研究： 首先，研究凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒稳定性问题。通过构造 参数依赖l y a p u n o v 函数及利用线性矩阵不等式技术，展开参数依赖线性矩 阵不等式，给出系统鲁棒稳定的充分条件，所给的判别条件具有较少保守 性。 其次，研究凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒风性能分析问题。通 过提高参数依赖线性矩阵不等式关于不确定参数的阶次及构造参数依赖 l y a p u n o v 函数，给出线性矩阵不等式描述的鲁棒风性能准则。针对不确 定域中矩阵顶点个数n = 2 的情况，比较分析所给条件保守性的来源。 最后，研究凸多面体不确定离散线性系统的g 1 2 性能分析问题。基于简 化的g 1 2 分析定理，通过提高参数依赖线性矩阵不等式关于不确定参数的阶 次及构造参数依赖l y a p u n o v 函数，给出更具一般形式的g 2 性能分析的线 性矩阵不等式条件，并进一步给出针对不同阶次的线性矩阵不等式表示，比 较分析说明随着阶次的增大，判别条件的保守性逐渐减少。此外，通过对参 数依赖线性矩阵不等式引入附加矩阵变量，得到更少保守性的g 1 2 性能分析 条件。 文中结论以线性矩阵不等式形式给出，可用m a t l a b 软件计算，求解方 便。相关数值算例验证所给方法的可行性和有效性。 关键词 离散线性系统；凸多面体不确定性；参数依赖l y a p u n o v 函数；矾 性能；g 1 2 性能 哈尔滨理- t 大学理学硕士学位论文 t h er o b u s t n e s s a n a l y s i so f d i s c r e t et i m el i n e a r s y s t e m s w i t h p o l y t o p i cu n c e r t a i n t y a bs t r a c t p o l y t o p i cu n c e r t a i ns y s t e m sa r ea ni m p o r t a n ta r e ao fs t u d yi nr o b u s tc o n t r o l d o m a i n i ti sa d v a n c e dr e s e a r c hs u b j e c to fr o b u s tc o n t r o lt h e o r yt h a tp a r a m e t e r d e p e n d e n tl y a p u n o vs t a b i l i t yi d e ai su s e dt oa n a l y z ea n ds y n t h e s i z et h ep o l y t o p i c u n c e r t a i ns y s t e m s t h ep r o b l e mo fr o b u s t n e s sa n a l y s i so fd i s c r e t et i m el i n e a r s y s t e m sw i t hp o l y t o p i cu n c e r t a i n t yi sd i s c u s s e db yu s i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a n dp a r a m e t e rd e p e n d e n tl y a p u n o vf u n c t i o ns t a b i l i t ym e t h o di nt h i sp a p e r b a s e do n p r e v i o u sr e s e a r c h ，t h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t sa r ei n v e s t i g a t e d f i r s t ，t h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i t yo fl i n e a rd i s c r e t et i m es y s t e m sw i t h p o l y t o p i cu n c e r t a i n t y i s i n v e s t i g a t e d b yc o n s t r u c t i n gp a r a m e t e r - d e p e n d e n t l y a p u n o vf u n c t i o n ( p d l f ) a n de m p l o y i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) t e c h n i q u e ，t h ep a r a m e t e rd e p e n d e n tl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yi se x p a n d e d ，a n da s u f f i c i e n tc o n d i t i o no fr o b u s ts t a b i l i t yf o rs y s t e m si sp r o p o s e d t h ep r e s e n t e d c r i t e r i o nh a sl o w e rc o n s e r v a t i v e n e s s s e c o n d ，t h ep r o b l e mo fr o b u s th o op e r f o r m a n c ea n a l y s i so fd i s c r e t et i m e l i n e a rs y s t e m sw i t hp o l y t o p i cu n c e r t a i n t yi ss t u d i e d b yi m p r o v i n gt h ed e g r e eo f p a r a m e t e rd e p e n d e n tl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yw i t hd e p e n d e n c eo nt h eu n c e r t a i n p a r a m e t e r s a n dc o n s t r u c t i n gp d l f , t h el m ir e p r e s e n t a t i o n so fr o b u s t 风 p e r f o r m a n c ec r i t e r i aa r eg i v e n f o rt h en u m b e ro fm a t r i xv e r t i c e s n = 2o ft h e u n c e r t a i n t yd o m a i n ，w ec o m p a r ea n da n a l y z et h es o u r c eo fc o n s e r v a t i v i t yo ft h e g i v e nm e t h o d s f i n a l l y , t h ep r o b l e mo fg 1 2p e r f o r m a n c ea n a l y s i so fd i s c r e t et i m el i n e a r s y s t e m sw i t hp o l y t o p i cu n c e r t a i n t yi si n v e s t i g a t e d b a s e do nt h es i m p l i f i e dg 2 a n a l y s i st h e o r e m ，t h em o r eg e n e r a ll m ic o n d i t i o n so fg 2p e r f o r m a n c ea n a l y s i s a r e g i v e nb yi m p r o v i n gt h ed e g r e e o fp a r a m e t e rd e p e n d e n tl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t yw i t hd e p e n d e n c eo nt h eu n c e r t a i np a r a m e t e r sa n dc o n s t r u c t i n gp d l e 1 1 i na d d i t i o n t h el m ir e p r e s e n t a t i o n s f o rt h ed i f f e r e n td e g r e e sa r ep r e s e n t e d c o m p a r i s o na n a l y s i ss h o w st h a tt h ec o n s e r v a t i v e n e s so f t h ep r e s e n t e dc o n d i t i o n s d e c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s eo ft h ed e g r e e s f u r t h e r m o r e ，t h eg ep e r t b r m a n c e a n a l y s i sc o n d i t i o n sw i t hl c s sc o n s e r v a t i v e n e s sa r eg i v e nb yi n t r o d u c i n ge x t r a m a t r i xv a r i a b l e st op a r a m e t e rd e p e n d e n tl i n e a rm a t r i xl n e q u a l i t y t h er e s u l t si nt h i sp a p e ra r ee x p r e s s e da sl m l s ，t h e r e f o r em a t l a bc a r lb e u s e dt oo b t a i nt h e s o l u t i o n sc o n v e n i e n t l y n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg w e nt o i l l u s t r a t et h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so f t h ep r e s e n t e dm e t h o d s k e y w o r d s d i s c r e t et i m el i n e a rs y s t e m s ，p o l y t o p i cu n c e r t a i n t y ，p a r a m e t e r d e p e n d e n tl y a p u n o vf u n c t i o n ，h p e r f o r m a n c e ，g 1 2p e r f o r m a n c e i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文凸多面体不确定离散线性系统的 鲁棒性分析，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进 行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人己发表 或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 钥珲 日期。7 年午只占日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒性分析系本人在哈尔滨理工大学攻读 硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工 大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理 工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电 子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或 其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密， 在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者虢 镍军 吼叫7 年牛月彳日 导师躲 两、有谚 日期妙年夸月g 日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 1 研究目的及意义 第1 章绪论 自动控制理论自其产生之初到发展至今，已经取得了令世人瞩目的成就， 并进而形成了一门相对完整的科学一控制科学。控制科学里要解决的主要问题 之一就是针对被控对象，设计合适的控制器，使得系统能按照预期的轨迹稳定 运行。无论是2 0 世纪4 0 5 0 年代发展起来的经典控制理论，还是2 0 世纪6 0 年代 发展起来的现代控制理论，工程师或研究人员如果想要设计控制器，那么他们 的首要前提就是分析被控对象、建立精确数学模型。如果模型不精确或者控制 系统在运行过程中某些参数发生变化，将可能导致系统的不稳定或者性能品质 变差。 在工业控制领域中，各种工业生产过程、生产设备、运输系统以及其他众 多的被控对象，他们的动态特性一般都难以用精确的数学模型进行描述。因此 基于数学模型的控制器设计所使用的模型只能是实际对象的一种近似。有时即 使能够获得被控对象的精确数学模型，但由于过于复杂，利用现有的控制系统 设计手段也无法实现，因而不得不进行简化；此外随着系统的工作条件或环境 的变化( 如化工生产中原料的变化，催化剂活性的变化等) ，高阶系统的降阶、 非线性的线性化、各种测量噪声的忽略，加之随着运行条件和环境的变换，控 制系统中的元器件的老化或损坏，被控对象本身的特性随之发生改变等等因 素，用数学模型来完全真实的反映一个控制系统是不可能的，这些因素可以统 称为系统的不确定性。 自然地，人们希望有一种控制系统分析和设计方法，能按照己掌握的被控 对象的数学模型及关于模型不确定性的某些信息来指导控制系统的分析和设 计，使得闭环系统稳定或满足某种性能指标。基于这一思想导致了鲁棒控制问 题的产生和发展，它可以定量地分析和综合不确定系统。鲁棒控制理论要研究 的问题主要可分为两个方面：控制系统的鲁棒性分析和控制律综合。鲁棒分析 主要研究的是：当控制系统存在不确定性和外部干扰时，系统的稳定性和动态 性能的问题。鲁棒综合主要研究的是：当控制系统存在不确定性和外部干扰 时，如何设计有效的控制律使得闭环系统具有更强的鲁棒性。分析是综合的基 础，综合是分析的延伸。在鲁棒控制发展过程中，人们从理论和实践中认识到 哈尔滨理丁大学理学硕士学位论文 基于不确定系统模型的鲁棒分析和综合在工程实践中的意义。 随着线性矩阵不等式( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ，简记为l m i ) 方法【1 2 】在鲁棒 控制领域中的应用，在使用时域法研究以状态空间表示的不确定系统时，主要 研究两类参数不确定系统：范数有界不确定性系统和凸多面体不确定系统。采 用哪一种描述与所用的理论有关。如范数有界不确定性用于基于小增益定理的 鲁棒稳定性分析，而凸多面体不确定性则多用于二次型稳定性分析。王广雄 3 1 指出用范数来描述不确定性主要是因为所用理论( 小增益定理) 的限制，用凸多 面体来描述不确定性则是一种更为自然的描述方法。而且范数有界不确定性可 以转换为凸多面体不确定性，用凸多面体描述参数不确定性比用范数有界描述 具有更少保守性 4 1 。虽然在对凸多面体不确定系统进行分析和综合时，计算量 相对较大，但是随着计算机技术的发展，这己经不再成为制约凸多面体不确定 性系统发展的瓶颈。在实际建模过程中，很大一部分系统中的不确定性可以用 凸多面体不确定域简单、方便地描述。 凸多面体不确定系统已成为鲁棒控制领域一个重要的研究对象，以往对此 类系统的分析和综合大多以二次稳定概念【5 】和l m i t 2 】为主要工具。由于二次稳定 概念对于凸多面体不确定域内所有顶点使用单一的l y a p u n o v 函数，导致存在一 定的保守性。鉴于二次稳定概念在不确定系统的分析和综合中引入了较大的保 守性，h a d d a d ，b e m s t e i n ( 19 9 5 ) t 6 1 ，g a h i n e t ，a p k a r i a n ，c h i l a l i ( 19 9 6 ) 7 1 和 f e r o n ，a p k a r i a n ( 1 9 9 6 ) t 8 】在2 0 世纪9 0 年代中期开始尝试用p d l f 进行不确定系统 的鲁棒稳定性分析，当系统中的不确定参数为常值或变化较慢而不足以影响系 统的动态特性时，所提出的这些参数依赖鲁棒稳定条件比二次稳定条件具有较 低的保守性。利用参数依赖l y a p u n o v 稳定思想对凸多面体不确定系统进行分析 和综合是近年来鲁棒控制领域的前沿研究课题，具有重要的理论和实际意义。 本文将采用l m i 和参数依赖l y a p u n o v 稳定思想为主要工具，对线性凸多面体不 确定系统的鲁棒性分析进行研究。 1 2 国内外研究现状分析 1 2 1 凸多面体不确定离散线性系统的稳定性及凰性能分析 在参数依赖l y a p u n o v 稳定理论的发展过程中，d a g e r o m e l 和d eo l i v e i r a 等人 组成的研究小组在近些年做出了一系列具有重要意义的研究工作【9 1 0 1 2 3 1 。 1 9 9 9 年，d eo l i v e i r a t l 4 i 发表的一篇具有代表性的研究成果“an e wd i s c r e t et i m e 哈尔滨理工人学理学硕： 学位论文 r o b u s ts t a b i l i t yc o n d i t i o n 是近年来鲁棒控制领域引用率较高的文献之一，该文 的主要思想是针对凸多面体不确定离散时间系统，通过向标准的l y a p u n o v 稳定 条件中引入附加的松弛矩阵变量来消除l y a p u n o v 矩阵与系统矩阵的乘积项，从 而获得参数依赖l y a p u n o v 鲁棒稳定条件，此方法称为附加变量法，所得到的稳 定条件称为扩展稳定条件。2 0 0 1 年，a p k a r i a n t ”1 给出了连续系统的新参数依赖 l y a p u n o v 鲁棒稳定条件。虽然附加变量法具有旱程碑意义，但是如果按照d e o l i v e i r a t 埔1 最初提出的证明方法，附加变量法还存在一定的保守性。 2 0 0 0 年，p e a u c e l l e t l 7 】推广了d eo l i v e i r a t l 4 】的思想，研究基于参数依赖 l y a p u n o v i 函数的不确定系统的鲁棒沪稳定条件。2 0 0 1 年、2 0 0 2 年，p e a u c e l l e t l 8 】 和a r z e l i e r t l 9 呗l j 把他们的思想进一步推广到不确定系统的鲁棒凰性能问题以 及不确定系统的鲁棒d 一镇定问题。 2 0 0 2 年，b o s c h et 2 0 l 贝, t ! 提出了双多面体不确定离散系统概念，即输入矩阵与 输出矩阵之间的不确定参数是无关的，属于不同的凸多面体，利用p e a u c e l l e t l 7 1 中思想研究了此对象的鲁棒稳定问题。 无论是扩展稳定条件还是鲁棒d 一稳定条件，对于整个凸多面体不确定域， 尽管允许存在不同的l y a p u n o v 函数，但是所引入的松弛变量都是相同的，即对 于不同的顶点系统使用公共的松弛变量，这样无疑又引入了新的保守性。正是 由于存在这样的缺陷，基于附加变量法的p d l f 稳定条件对于改善鲁棒分析和 综合的保守性还存在一定的局限性。当基于代数结构法构造p d l f 的方法出现 后，此保守性得到部分降低。 2 0 0 1 年、2 0 0 2 年，r a m o s l 2 l 2 2 】沿着一条新的思路( 矩阵多项式展开) 出 发，给出了新的构造p d l f 的方法。他们从l y a p u n o v 稳定性判据直接法出发， 然后展开依赖不确定参数的矩阵多项式，合并关于不确定参数的同次幂项，让 每项都小于零，从而得到新的参数依赖的稳定条件，此条件不需要任何公共的 矩阵变量，作者也证明了二次稳定条件是其结果的特殊情况。 基于p e a u c e l l e0 7 和r a m o s i 2 l 】的思想，2 0 0 3 年，l e i t e f 2 3 1 通过构造p d l f ，给出 了更少保守性的改进的鲁棒d 一稳定条件，进一步使用p d l f 研究风保性能计 算，给出了更少保守性的风性能充分条件和p d l f 的构造方法。 对于参数不确定性为时变的情形，2 0 0 1 年，d a a f o u z ，b e t n u s s o u 2 4 1 讨论了时 变参数的凸多面体不确定离散系统，得到了p d l f 存在的充分必要条件，同时 进一步研究给出了风性能问题【2 5 1 。2 0 0 6 年，g e r o m e l t 2 6 】利用p d l f ，给出了凸 多面体不确定连续系统的全局渐近稳定条件。 2 0 0 6 年，o l i v e i r a , p e r e s 2 7 1 利用齐次多项式参数依赖l y a p u n o v 函数，讨论了 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 凸多面体不确定线性系统的鲁棒稳定性问题。文【2 7 】指出随着多项式次数的增 加，线性矩阵不等式和自由变量的数目在增加，同时所给条件的保守性也在减 少。 2 0 0 7 年，z h a n g 【2 8 】也讨论了凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒稳定及鲁 棒镇定问题，事实上，文 2 8 】的方法也是对d eo l i v e i r a t l 4 】方法的扩展。同年， g o n c a l v e s l 2 9 1 针对具有凸多面体或仿射参数依赖不确定性的离散时间线性时不变 系统，从新的思路讨论了其稳定性分析问题。 1 2 2 凸多面体不确定离散线性系统的g 易性能分析 鲁棒控制领域常用的性能指标有玩- 1 2 , g h 2 等，涌现了大量重要研究成 果，例如，学多学者讨论了相应性能指标的控制问题【3 0 3 1 3 2 3 3 1 和滤波问题【3 4 3 5 ，3 6 3 7 3 8 】。凰性能可以加强不确定模型的鲁棒性，增强抑制外部扰动输入的能力， 也可以表示频域的指标，比如带宽、低频增益等等。当扰动信号是白噪声高斯 信号时，控制目标是最小化输入信号的均方根值，这个问题就是奶控制问 题。当进入系统的扰动具有胁范数有界时，控制性能要通过系统传递函数的 g h 2 范数来衡量。 风性能自提出以来一直是鲁棒控制中一个重要的性能指标，但当系统的 不确定性是结构性( 在鲁棒控制的时域法中主要表现为参数不确定性) 时，风 控制是非常保守的【3 9 l 。在风问题中，信号的扰动和不确定性被放在一个范数 中，将会导致设计的保守性。g 1 2 ( g e n e r a l i z e dz ) 综合框架的提出可以克服这 种保守性。g 1 2 综合问题最早出现在1 9 9 6 年在日本召开的“t h e3 5 mc o n f e r e n c e o nd e c i s i o na n dc o n t r o l 的会议论文集中( 4 0 1 ，内容比较简单，详细版本于1 9 9 9 年正式发表在“i e e et r s n s a c t i o n so na u t o m a t i c ac o n t r o l 上【4 i 】。 自从1 9 9 9 年，d a n d r e a 4 1 】提出了g 易综合框架，它就用来解决鲁棒控制 与优化控制中的一些开问题，包括具有独立范数有界扰动的系统的综合问题， 具有“元素一元素 的有界全结构不确定性系统的鲁棒稳定问题，一大类系统 的鲁棒性能问题。该框架综合了风优化方法、l m i s 和积分二次型约束概 念，使用该框架可得到一大类鲁棒和优化控制问题的收敛解【4 2 1 。 g 易综合的优点在于如下四个方面： ( 1 ) 风综合第一个具有吸引力的方面是“两个r i c c a t i 方程法【4 3 】，。线性矩 阵不等式出现后使得风综合更加简单【4 4 1 。在线性矩阵不等式框架下，风优 化可以看做是g 1 2 综合的特殊情况，即( 3 1 2 综合问题包含了风优化问题； ( 2 ) 在许多问题中，对每个扰动信号的分开单独界定更加自然，而不是把 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 所有扰动累加用一个范数界定，例如，扰动信号可能会从不同的空间位置进入 系统，我们自然期望能对这些扰动信号单独界定； ( 3 ) 可以处理“元素元素 的有界结构不确定性，即全结构不确定性系 统的鲁棒稳定问题； ( 4 ) 通过结合风优化和线性矩阵不等式方法，求解非常简单。 最初提出g 1 2 综合方法是针对离散系统的，2 0 0 1 年，w a n g ，w i l s o n l 4 2 】将其 推广到连续系统并应用到主动悬挂系统的控制中。同年，w a n g , w i l s o n 4 5 4 6 将 g z 作为一个性能指标融合在主动悬挂系统的多目标控制中。 2 0 0 4 年，颜文俊，张森林【4 7 j 研究了蒸发过程的多目标优化控制。同年， y a n 4 8 1 研究了离散系统的混合g l z g h 2 多渠道多目标控制综合问题，也是把 6 1 2 作为一个指标看待。 2 0 0 7 年，张彦虎【4 9 1 针对简单的线性离散时滞系统，给出了使得时滞系统稳 定且满足给定性能指标的无记忆g 易状态反馈控制器存在的充分条件和设计 方法，当系统具有独立范数有界扰动输入和全结构不确定性时，使用文 4 9 】方 法设计的8 易控制器比风控制器的保守性更小。 从当前g 易性能的研究成果看来，关于这方面的报道还很少，是一个值 得研究的方向。p d l f 方法的出现以及l m i 技术的使用也将会为g 2 性能的发 展提供巨大的动力。 1 3 课题来源 本课题属于理论研究范畴，来源于指导教师的国家自然科学基金项目 ( 1 0 7 7 1 0 4 7 ) 。主要针对凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒性分析问题进行研 究。 1 4 本文主要研究内容 1 讨论如下系统的鲁棒稳定性问题。 考虑不确定离散线性系统 x ( k + 1 ) = 么( 口) x ( 尼)( 1 一1 ) 其中x ( k ) r “为状态变量。假设系统矩阵彳似) 未知，但可以表达为若干个项 点矩阵的凸组合，即 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 = 彳 ) = q 4 ，口= ( q ，口) r r ， li = 1j f1 f = 口r n ；= l ，呸o ( 1 2 ) l i = i j 其中，4 ( i = 1 ，2 ，忉为此凸多面体的顶点矩阵。 2 讨论如下系统的风性能分析问题。 考虑不确定离散线性系统： x ( k + 1 ) = 彳( 口) x ( 后) + 召( 口) 以后) y ( 七) = c ( c r ) 工( 后) + d ( c r ) 以后) 0 - 3 ) 其中，缸后) r “为状态变量，以尼) r q 为输入信号，y ( 七) r p 为被控输出信 号。假设不确定离散线性系统矩阵未知，但可以表示为若干个顶点矩阵的凸组 合，即 ，( 口) = ( 彳( 口) ，曰( 口) ，c ( 口) ，d ( 口) ) q rn1 q = m ( 口) 阻( 口) = 嘶m f li = lj 其中，m = ( 4 ，e ，c f ，d f ) o = 1 ，2 ，忉为多面体q 的顶点矩阵。 3 讨论系统( 1 3 ) 的g 1 2 性能分析问题。 1 5 本章小结 本章首先叙述了本文研究的目的和意义，阐述了凸多面体不确定离散线性 系统的鲁棒性分析问题的国内外研究现状。最后，介绍了本文的主要研究内 容。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第2 章凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒稳定性 及风性能准则 本章针对凸多面体不确定离散线性系统，研究基于参数依赖l y a p u n o v 函 数的鲁棒稳定性条件及风性能准则。在已有文献基础上，给出了新的鲁棒稳 定性条件及风性能准则。数值算例验证了本章提出的鲁棒稳定性条件的有效 性。最后，比较分析了所给的风性能准则的保守性的来源，提出了减少保守 性的方法。本章的思路与处理技巧为后续章节的研究奠定了基础。 2 1 凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒稳定性条件 本节研究凸多面体不确定离散线性系统的鲁棒稳定性问题，通过构造 p d l f 及利用l m i 技术，得到了较少保守性的判别条件。数值算例说明了所给 方法的有效性。 2 1 1 问题描述 考虑如下离散不确定线性系统 x ( k + 1 ) = 彳( 口) x ( 七) ( 2 1 ) 其中z ( 七) r “为状态变量。假设系统矩阵么( 口) 未知，但可以表达为若干个顶 点矩阵的凸组合，即 r ，1r、 = 么( 口) = a , 4 ，甜r ，r = 口r n ；q = l ，q o ( 2 2 ) l l = 1 j li = ij 其中，4 ( f = l ，2 ，) 为此凸多面体的顶点矩阵。 定义2 1 t 1 4 】不确定离散线性系统( 2 1 ) 是鲁棒稳定的，如果对于所有满足 a ( a ) 的口，a ( a ) 的所有特征根位于复平面的单位圆内部。 问题2 1 判断系统( 2 1 ) 是否对于所有的彳缸) 是鲁棒稳定的。 利用参数依赖l y a p u n o v 稳定思想，系统( 2 1 ) 的鲁棒稳定条件可以表述为 如下引理。 引理2 1 【1 4 】凸多面体不确定离散线性系统( 2 1 ) 鲁棒稳定的充要条件为存在 一个矩阵函数p ( 口) 0 ，满足 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 。c 咖p ”劣 0 满足矩阵不等式( 2 - 3 ) 。验 证矩阵不等式( 2 - 3 ) 是否成立实际上是个无穷维问题，因而在实际中无法应用。 2 1 2 主要结果 符号说明：文中x r 表示矩阵x 的转置，s y m ( x ) 表示工+ x r ，x 0 表示 矩阵x 是对称正定矩阵，矩阵中的，表示对应块的转置，当矩阵维数不加明 确说明时，其维数与矩阵代数运算相兼容。 本小节将给出凸多面体不确定离散线性系统新的鲁棒稳定性条件。 定理2 1 凸多面体不确定离散线性系统( 2 1 ) 鲁棒稳定，如果存在矩阵 只 o ( i = 1 ，2 ，m ，和矩阵= 瑶，( f = l ，2 ，加，y i j i ，= ( f ，j = l ，2 ，n ， j f ) ，= 磁，= 弦，= 坛( 忙l ，2 ，n - 2 ，j = i + 1 ，k ；j + 1 ) ，满足下列线 性矩阵不等式组( 2 5 ) ( 2 8 ) ： l - pp41 o u ) _ | _ 二_ 。qi ，i = l ，二，2 一，n(2-5)p l 一 l 。77、 = p 嵋驰聋捌 s 吣 川幺一呦 其中 。，= 叫异? 心叫善考+ 最， 咖c + 场+ ， l 宰 一2 ( 只+ e + 最) l 。 、 呷 一7 i = l ，2 ，n 一2 ，= i + l ，k = j + 1( 2 - 7 ) o = 只4 + 曰4 + p a + e 4 + 忍4 + 最4 哈尔滨理- t 大学理学硕士学位论文 】；=ir!至2,：y囊2；2；i!i兰v!；c，z=，：，_， 鬈：i ： ： ：l o ，f _ 1 2 ， l t ：k j ( 2 - 8 ) 证明考虑式( 2 4 ) 给出的参数依赖l y a p u n o v 矩阵，结合式( 2 2 ) ，o ) 可 以写成 j v- 1 n - 2 | v ln 似) = 彰o + 彳q o 们+ a ，a j a k o - ( 2 _ 9 ) l = 11 = 1 ，耐，= l i = lj = l + lk = j + l 将式( 2 5 ) 、式( 2 6 ) 和式( 2 - 7 ) 代入到式( 2 - 9 ) ，有 hn - 1 n o ( a o 彰+ l = l i = 1 耐j = l ，- 2n l r 彳哆( + s y i i l ( 场) ) + q 吁s ) ，i i l ( 珞+ + ) = i = 1j = i + lk = j + l q 门r 呸，l ；l a n l x l l 艺i l ： l l z 1 2 砭1 2 ： 1 2 + 怕即篆 ，7 r ( q z ) 刁 i = l 其中，r = a 。， 得到。似) 0 。 定，证毕。 口2 i + 吃 弱= a n i 弋。 口i i 仅 a n i 考虑到口r ，可以知道1 0 ，结合式( 2 8 ) 因此由引理2 1 知，凸多面体不确定离散线性系统( 2 - 1 ) 鲁棒稳 2 1 3 数值算例 下面以一个数值算例来说明所提出的凸多面体不确定离散线性系统新的鲁 棒稳定性条件的有效性。 例2 1 考虑一个具有四个顶点的凸多面体不确定离散线性系统，它的四个 9 w； ； _。-_-_-_。-lv，j j ， - 叩叼；m ， 即q ；啊。l1j k ； 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 顶点矩阵为： 4 = p 4 = p 4 = p 4 = p - 0 7 9 7 00 10 2 30 2 3 9 2- 0 5 6 2 80 4 5 3 9 - 0 0 9 3 2- 0 2 9 5 90 7 0 38- 0 213 5- 0 4 5 2 9 0 4 7 6 1 - 0 8 7 8 6 - 0 6 6 0 5- 0 3 8 3 9- - 0 6 5 31 - 0 4 2 9 0 - 0 5 7 7 30 0 0 0 90 4 5100 5 2 2 2 - 0 0 2 7 00 1 5 4 4- 0 4 3 5 8 - 0 4 5 8 30 1 0 2 5 0 1 0 2 4- 0 4 3 2 1- 0 5 4 3 0- 0 5 7 1 3 - 0 2 5 7 9 - 0 5 0 1 5- 0 0 5 8 21 0 5 1 9- 0 2 0 9 7- 0 1 3 6 1 - 0 2 7 6 0 - 0 4 4 0 5- 0 0 19 2- 0 3 7 6 9 - 0 0 6 9 6 - 0 4 4 0 4- 0 5 7 0 60 0 10 60 4 5110 5 311 - 0 8 0 4 70 6 0 4 70 2 2 7 2- 0 4 51 10 7 0 5 9 - 0 12 8 00 0 2 8 0o 3 3 4 9- 0 4 2 4 90 18 3 8 - 0 3 9 0 9- - 0 2 6 2 90 9 5 9 3- 0 2 7 4 9- 0 3 3 2 7 - 0 0 7 2 4 - 0 8 1 7 7 - o 1 8 9 9 _ 0 4 9 7 0 - 0 4 3 1 7 - 0 4 3 7 3- 0 5 7 6 3 0 0 0 8 0 0 4 4 9 2 0 5 2 5 6 - 0 5 9 4 10 217 40 0 5 0 8- 0 5 7 5 30 3 3l5 - 0 3l7 8 0 2 0 8 2- 0 1 4 8 7- 0 6 3 0 60 0 2 4 9 - 0 3 0 6 5一o 1 5 7 80 8 7 6 4 o 1 8 3 4 - 0 2 6 1 9 0 0 8 3 2- 0 6 2 4 0- 0 3 4 2 5- 0 3 2 8 3- 0 3 014 - 0 4 3 5 0 - - 0 5 7 3 40 0 0 5 70 4 5 1 80 5 2 7 5 - 0 4 3 3 20 4 17 7一o 10 7 0- 0 4 0 0 90 4 6 6 2 本例目的是确定能保证系统鲁棒稳定的最大p 值。利用定理2 1 ，可以得到 最大p 值为1 3 0 8 1 。采用相关文献所给方法得到的结果列于表2 1 。 表2 1 鲁棒稳定的最大p 值的计算结果 t a b l e2 - 1c a l c u l a t i o nr e s u l t so fm a x i m u mpf o rr o b u s ts t a b i l i t y 方法最大p 值 二次稳定条件 o 7 1 0 0 文献【1 4 】中的定理2 0 8 3 3 3 文献 2 l 】中的引理l 1 1 8 0 7 定理2 1 1 3 0 8 l 如我们所料，从表2 1 可以看出，本文定理2 1 对本例可以得到的p 值最 大，即保守性最小。二次稳定方法所得到的结果最为保守，它所能得到的系统 鲁棒稳定的最大p 值仅为0 7 1 0 0 。 1 0 - 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 2 2 凸多面体不确定离散线性系统的风性能分析 本节将参数依赖l y a p u n o v 稳定思想应用于凸多面体不确定离散系统的鲁 棒风性能评价，得到了相应的鲁棒风性能准则。最后，比较分析了保守性的 来源，并给出了减少保守性的方法。 2 2 1问题描述 考虑如下不确定离散线性系统： x ( k + 1 ) = 彳( 口) x ( 后) + b ( 口) 以j | ) 少( 七) = c ) 文后) + d 位) 以七) ( 2 - 1 0 ) 其中，x ( k ) r “为状态变量，“后) r q 为输入信号，y ( k ) r 9 为被控输出信 号。假设不确定离散线性系统矩阵未知，但可以表示为若干个顶点矩阵的凸组 合，即 m ( 口) = ：( 么( 口) ，曰( 口) ，c ( 口) ，d ( 口) ) q q = m 位) 1 m 以) = m ，口r ( 2 - 1 1 ) 其中，鸠= ( 4 ，忍，q ，口) o = 1 ，2 ，) 为多面体q 的顶点矩阵。 假设对于任意的口f ，彳缸) 是渐近稳定的。对于任意确定的口，将系统 输入信号w ( 后) 到输出信号y ( k ) 的传递函数表示为 t ( z ，口) = c ( a ) ( z z 一彳( 口) ) - 1 b ( 口) + d ( 口) ( 2 1 2 ) 则有如下定义： 硎。咖s u 刚pi l y l l l 2 = - 2 - 1 3 ) 问题2 2 对于所有的不确定参数口r ，确定传递函数( 2 1 2 ) 的凰范数的 上界y ，即 0 t ( z ，口) k 厂，v ( 彳( 口) ，b ( 口) ，c ( 口) ，d ( 口) ) q ( 2 - 1 4 ) 最优的风保性能值可以通过求解如下优化问题得n - y = m i ny s t 式( 2 1 4 ) ( 2 - 15 ) 首先，给出如下参数依赖有界实引理。 引理2 2 不确定离散线性系统( 2 1 0 ) 鲁棒稳定且p ( z ，口) k 0 ，满足 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 巨似) = 一p ( 口) 0 尸( 口) 4 ( 口) 一， c ) - p ( a ) 尸( 口) b ( 口) d ) 0 一y 2 ， 0 满足矩 阵不等式( 2 1 6 ) 。验证矩阵不等式( 2 1 6 ) 是否成立实际上是个无穷维问题，因而 在实际中无法应用。 2 2 2主要结果 注意到口r ，由引理2 2 ，立即得到如下定理2 2 。 定理2 2 不确定离散线性系统( 2 1 0 ) 鲁棒稳定且i i 丁( z ，口) k 0 ，满足 巨。 ) = nn 一( 哆) ”尸( 口) 0( 哆) ”1 p ( 口) 彳( 口) i = 1 i = 1 一i 宰 ( 嘶) ”c ( 口) i = 1 一( q ) ”尸( 口) ( 哆) 麻_ 1p ( 口) 曰( 口) i = 1 ( 啦) ”d ( c t ) 0 7 2 ， 0 满足矩阵不等式( 2 一1 8 ) 。 验证矩