（应用数学专业论文）一维信号序列的多重分形研究.pdf

摘要 摘要 多重分形是非线性科学研究中十分活跃的一个新分支，现在已被广泛 应用于各个学科领域本文首先把2 0 0 0 年至2 0 0 5 年潼关水文站的黄河流 量作为一个时间序列，用多种方法( 幂谱、统计矩、多重分形谱等) 对此进行 了多重分形分析。幂谱分析和统计矩双对数图的线性均表明黄河流量具有 无标度性质，并且估测出无标度区间大约在1 到1 0 0 天之间；多重分形谱呈 单峰钟罩状，其高的最大值、大的宽度和低的非对称性表明黄河流量序列的 多重分形性质比较强这些结论对于用多重分形模型作黄河流量的短时预测 具有一定的指导意义。其次，首次提出多重分形分类理论，并利用该理论把 按常规方法无法截然分开的黄河流量特征按多重分形强弱程度分成三类 之三，在四个不同时间尺度下对黄河流量进行多重分形分析，结果发现所用 时间尺度越小，黄河流量的多重分形性质越强，从而非线性程度越强，黄河 流量也就越难以预测最后，提出了一种利用图像纹理的方向角提取掌纹特 征的方法，该方法将掌纹图像分成若干子块，剔除图像中不含纹线的子块， 对剩余的子块计算其纹线拟合直线的倾斜角，得到一维方向角信号序列并 首次结合多重分形理论，利用方向角序列的多重分形谱参数对掌纹图像进 行分析，达到分类识别的目的。实验结果表明这些方法在掌纹分类识别上是 简单可行的。 关键词：多重分形；时间序列；黄河流量；掌纹识别 a b s t r a c t a b s t r a c t 2 m u l t i f r a c t a l i t yi 8an e wb r a n c ho fn o n i i n e a rs c i c n c ca n dh a sb e e nu s e d i nt h eo t h e r 矗e l d so fs c i c c em o r ea n dm o r ew i d e l 矿i nt h i sp a p c r ，w e 矗r s t d c a l tw i t ht i m es e r i e so ft h ey e l l o wr i v e rd m ya o w sa tt 0 n g g u a ni i y d r o l o g i c a ls t 乱o n ，u s i n gs c v e r a lt e c h n i q u 船s u c ha sp d w e rs p c c t r u m ，s t a t i s t i c 8 1 m o m e n ts c a l i n gf u n c t i o na n dm u l t i 丘a c t “s p e c t r u m s t a t i s t i c a lm o n l e n t s c a l i n gf u n c t i o no nar a n g eo fs c a l e sr e w a l c ds c a l i n gq u 龃i t i e so ft h ed a t a t h em u l t i f r a c t a ls p c c t r u m ，w h i c hi s8 i n g l e h u m p e d ，h a ss h o w ns t r o n gm u l t i f r a c t a ld e g r e c s e c o n d l y ) w ed 1 v i d e dt h ey e l l o w 尉v e rf l o w si n t ot 1 1 r e eg r o u p s a c c o r d i gt ot h em u l t i a c 七出s p c c t m mf o rt h e 矗r s tt i m e t h e nw m a d ei u l t i f r a c t 甜a n a l ”i 8w i t hf o u rd i f f e r e n tt i m e s c a l e sw ef o u n d 七h 砒t h es h o r t e r t h et i m e s c a l e ，t h eh i g h e rt h em u i t i 矗a c t a ld c g r e ew o u i db e s ot h ep r e d i c t i o n o ft h e 舶w sw d u l db em o r ed i m c u l t 研t hs h o r t e rt i m e 8 c a l e a “船t a st h e 6 r s ta t t e m p t0 fp a l m p r i n ti d e n 七i 6 c a t i o nw i t hm u l t i f r a c t a lt h e o r mw ed e 矗n e d t h e 出r e c t i o na n g l ei nt h ep 8 l m p r i n ta n dd i s c u s s e dp 出mc l a s s m c a t i o n1 1 s i g u l t i f r a c t a ls p c c t r u m t h er e 8 u l ts h o w st h 砒t h c s em e t h o d sw e r ef e a s i b l e a 皿dh a da ni m m e d i a t ee 丘b c to nt h ed a l mc l a s s i 矗c a t i o n k e y w o r d s ：m u l t i f r a c t a l ；t i m es e r i e s ；r i v e r 丑o w s ；p a l m p r i n ti d e n t 访c a t l o n 第一章绪论 1 1 分形和多重分形理论的发展简介 被誉为大自然的几何学的分形( f r a c t a l ) 理论，足非线性科学研究小十 分活跃的一个分支。它承认世界的局部可能在一定条件下、过程中，在某一 方面( 形态、结构、信息、功能、时问和能量等) 表现出与整体的相似性，它 承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。分 形理论早期的研究对象足自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的 几何蹬体，它的发展人致可以分为三个阶段， 第一阶段为1 8 7 5 年至1 9 2 5 年。在此阶段，人们已经认识到几类典型的 分形集，j f 力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分析和刻画。l g 世 纪，人们普遍认为连续但不可微的情形是极为例外的，并且在研究中应排除 这类“怪物”，但在1 8 7 2 年，威尔斯特拉斯( w c i e r 8 t r s ) 给出了种连续函 数f 威尔斯特拉斯函数) ，并证明了该函数在任一点均不具有有限或无限导 数康托( c a 肛c o r ) 于1 8 7 2 年引入了一类现今称为( ：a i n u r 三分集的全1 ：连 通的紧集。进一步的研究结果表明，这类集合在像三角级数的唯一性这样重 要问题的研究中不仅不能忽略，而且起着非常重要的作用。 皮亚诺( p c a n o ) 于1 8 9 0 年构造出的曲线能充满整个平面1 9 0 4 午，构 造简单的冯科赫v o n k o c l l ) 曲线的出现改变了人们认为连续不可微曲线 的构造一定非常复杂的错误观念。p e r r i n 在1 9 1 3 年对布朗运动的轨迹进行 了深入的研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。 为测量这些“复杂”的集合，m i n k o w 8 k i 于1 9 0 1 年引入_ ：r 集合的m j n k 。w s k i 容度；h a u s d o m 于1 9 1 9 年弓入rh a u 8 d o 坩测度和h u a s d o r f f 维数。这些概 念指出，测量一个几何对象，必须依赖于测量方式蹦及测萤所栗用的尺度 念指出，测量一个几何对象，必须依赖于测量方式以及测量所采用的尺度 第一章绪论4 总之，在分形理论发展的第一阶段，人们提出了典型的分形对象及其相关问 题，并为讨论这些问题提供了最基本的工具 第二阶段大致为1 9 2 6 年到1 9 7 5 年。在这半个世纪，人们深化了第一 阶段的思想，对分形集的性质作了深入研究，特别是维数理论的研究更取 得了丰富的成果，而且将研究范围扩大到数学的许多分支中。贝西柯维奇 ( b e s i c o v i t c h ) 及其他学派的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究了曲线的 维数、分形集的局部性质、分形集的结构、s 一集的分析与几何性质，以及 在数论、调和分析、几何测度论中的应用。 b o u l i g a n d 于1 9 2 8 年引入了b o u l i g a n d 维数，p 。u t r j a g i n 与s c h n i r e l m a n 于1 9 3 2 年引入了覆盖维数，k o l m o g o r o v 与t i k o m i r o v 于1 9 5 9 年引入熵维 数。另外，刻画集合“大小”的容量及容量维数亦被引入，这些维数可以从 不同的角度来刻画集合的复杂性。 尽管此时分形的研究取得了许多重要结果，但绝大部分主要局限于纯 数学理论，而未与其他学科联系。另一方面，其他学科已产生了大量与分形 有关的问题，迫切需要新的思想与有力的工具来处理。正是在这种形势下， m 衄d e l b r o t 以他独特的思想与超人的毅力，自6 0 年代以来，系统、深入、 创造性地研究了海岸线的结构，具强噪声干扰的电子通讯，月球表面，星体 的分布，地貌的生成，湍流等典型的自然界中的分形现象。他指出自然界中 很多现象从标度变换角度表现出了对称性，并将这类集合称作自相似集。他 发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻画这类集合。 第三阶段为1 9 7 5 年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发 展，并形成独立学科的阶段。m a n d e l b r o t 将前人的结果进行总结，于1 9 7 5 年集其大成，并以“分形：形状、机遇和维数”为名出版了他的划时代的专 著。这一专著，第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法， 标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生。1 9 8 2 年，m a n d e l b r o t 的新 第一章绪论5 著g 自然界的分形几何出版，将分形定义为局部_ 以某种方式与整体相似的 集，重新讨论盒维数。1 9 8 2 年特里科特( c n i c o t ) 引入填充维数，1 9 8 3 年格 拉斯伯格( pg r a s 8 b e r g e r ) 和普罗克西娅( l p r o c a c c i a ) 提出根据观测记录的 时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1 9 8 5 年，m a n d e l b r o t 提 出并研究自然界中广泛存在的自仿射集。1 9 8 2 年德金( f m d e k k j n g ) 研究 了递归集，1 9 8 9 年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维 数由于分形几何极强的应用性，它在物理的相变理论、材料的结构、高分 子链的聚合、模式识别、图形的模拟和酶的生长等领域取得了令人瞩目的成 功。有关专著纷纷问世，研究工作的数量以几何级数增长，其势方兴未艾。 多重分形( m u l t i f r a c t a l s ) 是一个由大量具有不同分形行为的子集合叠 加而组成的非均匀分维分布的奇异集合，其概念首先由曼德布罗特和伦依 ( a r e n y i ) 引入。法默( j d 脚m e r ) 等在1 9 8 3 年定义了多重分形广义维 数。1 9 8 8 年博尔( tb o h r ) 等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热 力学类比1 9 8 8 年，阿内多( a a r n e o d o ) 等人将子波变换用于多重分形研 究。费德( j f e d e r ) 、特尔( t t 出) 等人进行了多重分形子集及标度指数的 研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广 义超越维数。李( j l e e ) 等发现了多重分形热力学形式上的相变。1 9 9 0 年， 伯克( c - b e c k ) 得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量 度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1 9 9 1 年科维克( z k o v a c s ) 等引入双变量迭代系统、熵和李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类 的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上 看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。 对多重分形的研究主要在非线性物理、地球物理等方面。1 9 9 1 年，h i r a t a 等人进行了日本地震震源空间分布的多重分形分析，1 9 9 6 年，l o v e j o y 等将多 重分形用于降雨量分析。洪时中等( 1 9 9 1 ) ，汪秉宏等( 1 9 9 7 ) ，安镇文( 2 0 0 0 ) 等讨论了地震分布的多重分形统计特征、地震多重分形性质的计算方法及其 应用于地震预报的可能性谢和平、王今安( 1 9 9 8 ) 提出了新投影覆盖法， 分析了岩石节理表面的多重分形性质。孙霞等( 2 0 0 1 ) 将多重分形方法应用 到规则表面中，发现多重分形谱可较全面地反映表面概率的分布。 总之，9 0 年代以来，多重分形应用于从研究宇宙的起源和结构到地震 的分布、交通流等广阔领域，研究论文数目逐年快速增加，涉及多重分形的 各种专题讨论会每年增多。新思想、新方法大量涌现，不断地充实和完善着 多重分形的研究内容，使其越来越成为描述自然界复杂现象的一种有力工 具。本文在前人工作的基础上，研究了黄河流量的多重分形性质，通过分析 这些性质与现实流量的关系，定量阐述黄河流量的多重分形强弱程度，并首 次在流量分类和不同尺度分析上作了一些有益的尝试。最后首次结合多重 分形理论，对掌纹图像进行分类识别。本文共分四章： 第一章，回顾分形与多重分形的发展历史，介绍多重分形的一般理论及 性质，并且简单说明本文的结构 第二章，首次进行了黄河流量的多重分形分析。 第三章，首先利用多重分形谱，把各季度的黄河流量按多重分形强弱程 度分成三类；并在四个不同时间尺度下对黄河流量进行多重分形分析。 第四章，提出了一种利用图像纹理的方向角提取掌纹特征的方法，并利 用多重分形谱参数对掌纹进行分类识别 1 2 多重分形的一般理论 多重分形也称为分形测度。它是研究一种物理量在一个支撑( 8 u p p o l t ) 集合上的分布状况，换句话说，是定义在分形上的多个标度指数的奇异测度 所组成的集合，它定量刻画了分形测度在支撑集上的分布，然后用广义分形 维数或多重分形谱进行描述，得到的结果包含了许多被单分形忽略的信息。 第一章绪论7 1 2 1 多重分形的引入 我们很熟悉三分c a n t o r 集的构造，现在在三分c a n t o r 集上定义一个 测度( 或叫质量分布) p ，如图l1 。设给定p ( 0 p 0 时，谱曲线的峰值偏左；当b ：x ( 0 1 ) s + ) ， i = 1 其中s 为时间间隔。现在我们研究从2 0 0 0 年6 月2 6 日到2 0 0 5 年9 月2 7 日 ( 共1 9 2 0 个数据) 的黄河流量，并定义四个新时间序列 恐( t ) ) 、 甄( t ) ) 、 f 弱( t ) ) 、 x 1 6 ( t ) ) ，利用上一章所述方法，得出它们的广义分形维数( 如图 3 4 ) 和多重分形谱( 如图35 ) 一一f 、。”。 一。州u 、 奠一”、1 1 ：。i 。l _ ? ：l 一；。 a 图34 广义分形维数图 第三章黄河流量的分类及尺度研究 3 1 图35 多重分形谱图 研究表明，在这四个时间尺度下分析，黄河流量都有一定的多重分形性 质，多重分形谱参数分别为( w ( 2 ) = 1 2 4 6 8 ，厶。( 2 ) = o 9 9 7 1 ) 、( w ( 4 ) = 1 1 9 2 3 ，厶。( 4 ) = o 9 9 4 3 ) 、( ( 8 ) = 1 0 4 0 0 ，岛。( 8 ) = o 9 8 7 3 ) 、( w ( 1 6 ) = o ，8 5 6 6 ，厶。( 1 6 ) = o 9 7 2 6 ) 。可见，所用的时间尺度越短，数据所含的黄河 流量的信息就越丰富，得到的广义分形维数也越大，而且随着时间尺度的缩 小，多重分形谱的宽度w 和谱的最大值，m 。变大，从而多重分形性质逐渐 加强。所以用的时间尺度越短，黄河流量的非线性性质越强，预测起来也越 发困难。 3 3 结束语 1 9 8 9 年，m a n d e l b r o t 在“论地球物理学的多重分形测量”一文中说道： 多重分形的思想注定对地球物理学产生日渐增强的影响。 本章首次提出了多重分形分类理论，通过2 0 0 0 年至2 0 0 5 年各季度多 重分形谱的参数把复杂的黄河流量分成了三类：第三季度为一类，多重分形 性质最强；第四季度为一类，多重分形性质最弱；第一与第二季度为一类。 这样我们利用多重分形谱的参数就可以分类分析各种以往无法截然分开的 盲、立： 轰、一 第三章黄河流量的分类及尺度研究 3 2 流量特征及其作用机制的复杂程度，为以后的黄河水文情况的研究引进了 新方法，开拓了新思路。 其次，本章在四个不同时问尺度下对黄河流量进行多重分形分析，结果 发现所用时间尺度越小，多重分形性质越强，从而非线性程度越强，黄河流 量也就越难以预测。这对于建立适当的黄河流量多重分形模型和流量的短 时预测等都有一定的实际意义。 第四章多重分形理论在掌纹识别中的应用 4 1 掌纹识别的研究简介 当今社会电子商务飞速发展，迫切需要一种能够自动鉴别个人身份的技 术。基于生物统计学的身份自动鉴别技术，利用人的生理特征或行为特征通 过计算机来鉴别一个人的身份，被认为是一种最可靠、最有前途的身份鉴别 技术。人体生物特征识别技术( b i o m c t r i c ) 将信息技术与生物技术相结合， 利用人体本身具有的物理特征或行为特征来确定人的身份，以取代或加强传 统的身份识别方法这种新技术可广泛应用于国家安全、民生、金融证券、 社会福利、电子商务等领域，已成为本世纪最有发展潜力的技术之一。目前 广泛用于身份鉴别的生物统计学特征主要有指纹、人脸、掌纹、视网膜、虹 膜、声音、动态签名等。 生钫特征普毒牲独特性穗定性可鬟鬃性 性糍接蹙程度 舫撒目t 性 箍 h i 甓l 】l wm m 题曲 l o w 曲 黻懒 m 对l i i 瓣 氍芷h 手蓐 m l m nm e m m nm m i i mh m t 棚l 嬲m m t m m 虹箍和善l i m 抽i 聃 溅e 啦眦 i 狂醇 l o w f 蚺 槐翻睫硼啪 l 口霉hm h i 嘶t o wl f t 珈l m ”阳2 h 签名王n wl 0 w 珊袖 l e wm 豳0 w 声音 m l g 鬻工0 w m t 抽勰 l 。0 w 埘霉h l d w 图4 1 各种生物特征识别技术的特点 由图41 可以看出，没有一种生物识别技术在各种性能上都好于其他技 术，与其他生物特征相比，掌纹的区域比较大，包含的信息量更加丰富，从 第四章多重分形理论在掌纹识别中的应用3 4 理论上讲，掌纹比指纹等具有更好的分类性能和更高的鉴别能力。而且，人 们对掌纹识别的接受程度比较高掌纹识别是利用人的手掌掌纹图像对其 身份进行认证的一种生物特征识别技术。它是基于这样一个事实：几乎每个 人的掌纹都是不同的，并且在人达到一定年龄之后就不再发生显著变化，也 就是它具有终生不变性和唯一性。利用掌纹的点特征、线特征、纹理特征、 几何特征等完全可以确定一个人的身份，因此掌纹识别是基于生物特征身 份认证技术的重要内容。 对掌纹的研究最初起源于手相学。早在古代，中国人就能通过手相来获 取许多有用的信息，例如诊病、看相等。刑侦部门也早就利用掌纹来侦破案 件。二十世纪九十年代，我们首先开展了用于身份鉴别的自动掌纹识别技术 的研究工作。掌纹识别技术作为生物识别技术领域里的新成员，以其丰富的 信息量，稳定而唯一的特征，近年来更受到了全世界很多研究团队的高度重 视，与此相关的新技术和新方法不断出现。 本章提出了一种利用图像纹理的方向角提取掌纹特征的方法，并首次 结合多重分形理论，利用多重分形谱参数对掌纹进行分析，达到分类识别的 目的。 4 2 多重分形在掌纹识别中的应用 多重分形方法是近几年来被广泛采用的数据分析方法，可以用来分析 数据的精细结构，寻找区分不同图像产生数据的特征参量，然后对这些特征 参量进行参数分析，希望能找到一种有效区分掌纹图像的方法。下面简单介 绍一下多重分形理论 我们把研究对象划分为个两两不相交的、尺度最大为a 的子区间 & ( i = 1 ，2 ，) ，每个子区间& 内的平均密度记为e ( a ，i ) 。定义统计矩 第四章多重分形理论在掌纹识别中的应用 函数为 m ( a ，口) = fe ( a ，。) 气 t 对于一给定的阶q ，称满足m ( a ，g ) o ( a 7 ( a ) 的函数t ( q ) 为配分函数。若t ( g ) 关于g 是直线，则研究对象是单分形的；若r ( g ) 关于g 是凸函数，则研究 对象有多重分形性质 设函数e ( ，i ) 满足幂律关系e ( ，i ) o ( 胪( ”，这里d ( i ) 是h j l d e r 指数。 然后把具有相同a 值的小区间的数目记为：( a ) ，若j ( a ) 满足 ：( 。( a 一，( 。) 则称函数_ ，( a ) 为多重分形谱。我们用三个参数来描述多重分形性质的强 弱程度，第一个是，( a ) 的最大值，m 。；第二个是h 6 1 d ”指数取值区间 8 。，a 。 的宽度彬= a 。一。；第三个参数是，陋) 的二次拟合 函数中一次项系数b 通过这三个参数对研究对象的描述，说明当，( n ) 最 大值越大，区间 o 。，。 的宽度越大及谱曲线，( 。) 对称性越好( 即 日越接近于0 ) 时，研究对象的多重分形性质越强。 生物特征识别系统的核心是一个典型的模式识别系统，基于多重分形 理论的掌纹识别过程主要包括四个部分：1 掌纹图像的获取；2 图像的预 处理；3 掌纹特征提取；4 匹配与鉴别。 目前采用的掌纹图像主要分脱机掌纹和在线掌纹两大类，脱机掌纹图 像，是指在手掌上涂上油墨，然后在一张白纸上按印，通过扫描仪进行扫描 而得到数字化的图像。在线掌纹则是用专用的掌纹采样设备直接获取，图像 质量相对比较稳定随着网络、通信技术的发展，在线身份认证将变得更加 重要。由于实验设备的限制，本章利用数码相机获得掌纹图像。 掌纹指的是手掌( 手腕部和手指间的内表面) 表面的纹路，包括主线、 皱纹线和脊线。得到掌纹图像之后要对它进行预处理。掌纹图像预处理的目 第四章多重分形理论在掌纹识别中的应用 的是将掌纹从原始采集图像中分割开来，实现掌纹图像的定位我们首先将 实验所得的照片输入计算机，再对它进行二值化处理，即把灰度图转换成黑 白二色图，这种方法已在许多论文中应用，本章不再详述。得到了二值化图 形后，我们将掌纹表示成欧式平面内的有序点集，将每一条掌纹线上像素点 坐标的集合作为掌纹的特征点集具体方法是，用a d o b ep h o t o s h o p 图像 处理软件将掌纹图像分成若干子块，即用边长为6 的正方形网格将掌纹图 像覆盖。再在图像内定义直角坐标系，以左下角的点为坐标原点，水平线为 横轴，竖直线为纵轴，一个网格边长为一个单位。这样，对于图像纹理的每 一个点来说，我们都有其横轴( ) 和纵轴( 1 ，) 的坐标。将采集到的掌纹的 坐标提取出来，以数组的形式存储到文件中去，就将掌纹图像转换成了数据 文件。 图42 掌纹图像图43 方向角的定义 掌纹特征提取的目的是把二维点集转化为一维信号序列在这种情况 下，如果能建立一个模型来描述这个序列的特征，那么就可以利用模型的特 征参数来实现掌纹的身份认证。在模式识别中，不仅要考虑对原本表达信息 的压缩，更重要的是要对判别信息的压缩，也就是从原始的特征中提取出对 分类识别最有效、数目最少的特征。为此我们提出采用掌纹的方向角的度数 第四章多重分形理论在掌纹识别中的应用 图45 配分函数图 图4 6 多重分形谱( 用一表示) 接着我们又提取了四个掌纹图像的方向角信息，进行类似的多重分形 分析，试验结果表明，它们都具有一定的多重分形性质。因此，提取掌纹方 向角、利用多重分形谱参数列进行掌纹的分类识别，无论在理论上还是在实 践中都是可行的 另外，计算特征向量时本文中用到的“方向角”还可以用其他量来代替， 如： 1 用小网格中掌纹线的长度； 2 用掌纹线的像素。 参考文献 ( 1 】【期肯尼思法内科尔分形几何一数学基础及其应用【m 曾文曲等译 沈阳：东北大学出版社，2 0 0 1 【2 】文志英分形几何的数学基础【m 上海：上海科技教育出版社，2 0 0 0 3 】曾文曲，王向阳等分形理论与分形的计算机模拟( 修订版) m 沈阳：东 北大学出版社，2 0 0 1 ( 4 】孙霞等分形原理及其应用 m 】合肥：中国科学技术大学出版社，2 3 【5 】s t a n l e yh e ，a m 缸a ll a n ，g o l d b e r g e ra l ，h a l i ns ，i v a 丑o vp c ha n dp e g c k s t a 七i s t i c a lp h y s i c sa n dp h y s i o l o g y ：m o o 矗a c t 以a n dm u l t i f r a c t “a p - p r o a c h e s ，f 境酃c s 4 ) 2 7 0 ( 1 9 9 9 ) ，3 0 9 3 2 4 【6 】m a n d e l b r o tbb ，i n t e r m i t t e n tt u r b u l e n c ei nt h es e l i s i m i l a rc a s c a d e s ：d i v e r _ g e c eo fh i g hm o m e n t 8a n dd i m e n s b n so fc 射r i e r ，j 捌“耐m e c ，6 2 ( 1 9 7 4 ) ， 3 3 1 3 5 8 ( 7 s c h e r t z e rd a n dl o v e j 。ys ，p h y 8 i e a