（应用数学专业论文）乘积hilbert空间上的框架.pdf

ab s t r a c t t h e c o n c e p t o f f r a m e w a s i n t r o d u c e d b y r . j . d u f fi n a n d a . g . s c h a e ff e r t o s t u d y n o n h a r m o n i c f o u r i e r s e r i e s i n 1 9 5 2 . o n e o f t h e i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s o f fr a m e i s t h a t w e c a n r e c o n s t r u c t a f u n c t i o n fr o m i t s f r a m e c o e f fi c i e n t s . t h e s e y e a r s , w i t h t h e d e v e l - o p m e n t o f w a v e l e t a n a l y s i s , p e o p l e g i v e m o r e a n d m o re a t t e n t i o n t o f r a m e s . i n l e s s t h a n t w e n ty y e a r s , f r a m e t h e o ry i s w i d e l y u s e d i n f u n c t i o n t h e o ry , p a r t i a l d iff e r e n t i al e q u a - t i o n , q u a n t u m m e c h a n i c s , t h e o ry p h y s i c s , s i g n a l p r o c e s s i n g , w a v e l e t a n a l y s i s , i r r e g u l a r s a m p li n g th e o ry a n d m a n y o t h e r fi e ld s . m a n y a u t h o r s h a v e s t u d i e d d e e p l y f o r f r a m e s . v a r i o u s g e n e r a l i z a t i o n s o f f r a m e s h a v e b e e n p r o p o s e d r e c e n t l y . w. s u n i n t r o d u c e t h e c o n c e p t o f g - f r a m e . g - f r a m e s a r e n a t u r a l g e n e r a li z a t i o n s o f f r a m e s w h i c h c o v e r m a n y o t h e r r e c e n t g e n e r a l i z a t i o n s o f fr a m e s , e . g . ， b o u n d e d q u a s i - p r o j e c t o r ; , f r a m e s o f s u b s p a c e s , o u t e r f r a m e s , p s e u d o- fr a m e s a n d a c l a s s o f t i m e - f r e q u e n c y l o c a l i z a t io n o p e r a t o r s . g - f r a m e s h a v e m a n y p r o p e r t i e s s i m i l a r t o t h o s e o f f r a m e s a n d c a n b e c h a r - a c t e r i z e d b y fr a m e s . i n th u s a rt i c l e , f o r a p a r ti c u l a r c l a s s o f g - f r a m e s : g - f r a m e s o f w w i t h re s p e c t t o c z w h i c h c o r r e s p o n d t o s e q u e n c e s o f v. w e g i v e s o m e re l a t i o n s a m o n g f r a m e s o f 7 t , f r a m e s o f 9 2 a n d g - f r a m e s o f h w i th re s p e c t to c 2 . i n d e t a i l s , w e p r o v e t h a t if i ( ,p k , 咖) : k e j ) f o r m s f r a m e o f 丫， j cz . f o r e v e ry k e j , d e fi n e a k f = ( ( f , o k ) , ( f , v k ) ) t , v f e 1 . t h e n th e re a re a t le a s t d im 7 e le m e n ts o f 瓜 : k j ) , s . t . w i th o u t th e s e d im h e l e m e n t s , 凡: k e j s t i l l f o r m s g - f r a m e s o f 7 w i th re s p e c t t o c z . w it h t h e c o n c e p t o f g - fr a m e s , w e s e e e v e ry b o u n d e d i n v e rt i b l e l i n e a r o p e r a t o r i t s e lf f o r m s a g - f r a m e . i n t h e s e c o n d p a r t w e 颐 v e t h e s u f fi c i e n t a n d n e c e s s a ry c o n d i t i o n s f o r t w o b o u n d e d l i n e a r o p e r a t o r s f o r m i n g a g - f r a m e s . k e y w o r d s f r a m e s , r i e s z b a s e s , g - f r a m e s , g - r i e s z b a s e s 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学 关于收集、保 存、 使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的 印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印 刷本和电 子版，并 采用影印、缩印、 扫描、 数字化或 其它手段 保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学 校有权按有关规定向国家有 关 部门 或者机构送 交论文的 复印 件和电子 版; 在不以 赢利为目的的前 提下 ，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动 。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 碱崩 确 2o . 7 年s 月引日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间: 年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部 5 年: 最长5 年， 可少于 5 年) 咋即 咋爆 牟犷 卿 包 经 毕。 仲 机密去 2 0 年 ( 最长2 r i 年f 可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文，是本人在导师指导下， 进行研究 工作 所取得的成果。除文中己经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出 贡献的 其他个人和集体， 均己 在文中以明确方式标明。 本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 碱 丽 fi n 24 0 7 年 r月 刘日 第一章 引言 第一章 引言 框架这一概念是d s f i i n和s c h a c ff e r 在1 9 5 2 年 1 中研究非调和f o u r i e r 级 数时 提出 来的 ， 在这 之 后 又有y o u n g 的 著作 2 1 , d a u b e c h e ie s , g r o s s m a n n 和m e y e r 的文章 3 , d a u b e c h e i e s 的 4 1 , h e i l 和w a l n u t 的5 1 等. 向量空间中最重要的 概念之一是基， 它使得空间中的每个向量都可以写成它 的线性组合且线性表示的系数是唯一确定的. 然而一组向量成为基的条件是非常 严格的， 要求构成基的元素没有相关性. 这使得一组基很难再满足其它额外的条 件. 此外 基在 算 子 的 作用 下没有很好的 稳 定 性 . 譬 如 ， 假设 e k : k z 是 一 组 标准正 交 基 . 那么 只 有酉 算子u才能 使 u e k : k ez 还是标准正 交 基 . 如果 e k : k z 是 一 组 基 ， 只 有 有界 可 逆 算 子u 才 能 使 u e k : k e z 还是 基. 框架 是一种比基更加灵活的工具， 空间中的任一向量还是可以表示成框架元素的线性 组合. 与基不同的是线性表示的系数不是唯一的 ， 框架不要求元素之间的线性无 关性. 并且框架 在 算 子 作用下有比 基更 好的 稳 定 性 ， 如 果j e k : k z 是 框架 ， 只 要u是 有界满 射 u e k : k e z 就 还是 框架 框架是r ie s z 基的 推广， 近年来， 随 着小波分析的发展， 框架理论越来越受到 人们的重视. 由 于小 波具有衰减性、 光滑性和消失矩等良 好的性质， 能够作局部分 析， 可以 用小波系数的大小来刻划函数空间等. 在短短的十几年内. 框架理论已经 在函数论、 偏微分方 程、 量子力学、 理论物理等众多 领域取得了重要的应用 框架 在小波分析和不规则采样理论中起着非常重要的作 用， 并且框架理论在信号处理 等多个领域有着广泛的应用， 很多人对此进行了深入的研究. 有关框架的理论及 应用见 4 , 6 - 1 8 1 . 框架的一个重要特征是我们可以 通过框架系数来重构函数. 最 近有一些推广的 框架概念提出 ， 如有界 拟 投影 算子 1 9 , 2 0 1 ， 子空间 框架 2 1 , 2 2 1 ， 伪框架 2 3 1 , 斜框架 2 4 , 2 5 1 ， 外部框架 2 6 1 以 及 一类时频局部化算子 2 7 1 . 这 些推 广的 框架 都有 多 方面的 应用. 有关 斜框架 参见【 2 8 - 3 2 1 . 孙文昌 3 3 1 提出了9 - 框架的 概念并指出以 上 推广框架都是9 - 框架 的 特例 . 本文第一章介绍了框架理论的发展及应用. 第二 章给出了本文涉及到的概念， 包 括 框 架 ， r i e s z 基 . 9 一 框 架 ， g - r ie s z 基 等 . 第 三 章 和 第四 章 是 本文的 重点 . 第三 章 讨论一 类特 殊的9 一 框架 ， ? 关于口 的9 一 框架 . 由 后 面的 命题知它对应于丫 的 第一章 引言 一列元 素 ， 我 们讨论了7 i 的 框架 ， v 的 框架 以 及9 i 关于c z 的9 一 框架 之间 的 一 些关系 ， 得到了 一些结论. 在第四 章我们借助 于b a n a c h 逆算子定理得到了 两 个有 界线性算子 构成9 一 框架的 充分必要条件. 第五 章总结全文. 第 二章 基本概念 第二章 基本概念 本文中z表示整数集， j 是2的子集. 2 . 1 框架 定 义2 . 1 h i l b e rt 空 间h中 的 一 组向 童 几: k e j ) 称 为 一个b e s s e l 序列 ， 知 果存在正常数b使时任何了 任 7 . 艺i ( f , f k ) 12 b llf l1z . 定 义2 . 2 可分h i l b e rt 空 间x中 的 一 组向 童 人: k e j 称 为 一 个 框架 ， 如 果存在正常 数a , b使时任何f 代 a ll f 112 艺i (f , f k ) iz b llf ll2 . k e j 其中a和b分别称为 框架下界和框架上界. 如 果去 掉 f k : k e j 中 任 一 元素 后它 不 再是? 的 框 架 ， 则 称 f k : k e j ) 为恰当框架. 如 果a =b ， 则 称 f k : k e j 为 紧 框架 . 显然一个框架和一个b e s s e l 序列的并还是框架 由定义可知， h i l b e rt空间中的 框架是完备的. 定 义。 h ilb e r t 空 间x的r ie s z 基 是 u e k : k e j 形 式 的 一 族 元 素 ， 其中 ( e k : k j 是h的 标准 正交 基 且u: 7 i 一9 -1 是有界双 射 . 框架算子是框架理论中的一个重要概念. 下面我们给出 框架算子的定义. 定 义2 . 4 设 人: k e j 是x的 框架 ， 定 义 框架 算 子s 如 下 : s f = e( f , f k ) f k , t/ f e l . 第二章 基本概念 可以 证明s是正的 有界 可逆的自 伴算子. 如 果 几: k e j 是h i lb e rt 空间7 的 框 架 ， 框 架 界 为a , b ， 可以 证明 s - i f k : k e d 也 是7 的 框 架 ， 框 架 界 为告 浅我 们 称 它 为 f k : k e ,e 的 典 型 对 偶 框 架 . 设s 是 .5 - 1 几: k 。 i 对 应的 框 架 算 子 ， 则 对 任 何了 e 7 , 艺(f , s - i f k ) s - i f k 又(s - i f , f k ) f k = s s - i f = f , 所 以互 = s - 1 ， 从 而手i s - 1 几= s s - 1 人 二 互为对偶框架. 下面我们给出一个框架的例子. k c j 几 ， 即 人 一一 、.，/ : k e b 和 s - 1 介: k p 例2 .1 考 虑n= c 2 , e l =( 0 , 1 ) , 。二 ( 一 乎 ， 一 丢 ) ，。= ( 乎 ， 一 委 ). 则 对 任 何 ， =( v i , v 2 ) 7 l e1 ( v , e k ) l =1 .212 + 一 v j2 111 一 1 v2i22十 .0 -2 v1 一 1j v2 3 (iv ll 十 v2 i2) p w 112 . 所 以 e l , e 2 , e 3 是7 的 紧 框 架 ， 框 架 界 为呈 . 显 然 它 是 线 性 相关 的 ， 所 以 不 是 x的r i e s z 基 如果 我们只考虑 e 2 , e 2 . 艺(二*k ) 1 =! 一 争一 , v 212 + 争一 1 v 122 2 2 1v12 + ; 1v212. 蚤 11. 112 : 号 !。 十 ; 1v2 121 1。 112 . 端 所 以 e 2 , e 3 也 是r的 框架 ， 无关的， 所以它是月的r i e s z 可以 分 别 作为 它的 上 下 界 因 为 e 2 , e 3 是线 性 第二章 墓本概念 2 .2 g - 框架 最近 孙 文昌 3 3 提出了h i l b e rt空间 中g - b e s s e l 序列， g 一 框架 ， g - r ie s z 基及 9 一 正 交 基 的 概 念 ， 指出 这 里的9 一 框架是 到 现 在为 止最一 般 化的 框 架 概念 ， 包 括了 最近一些 推广的框架概念. 并在 3 3 , 3 4 中 讨论了它的一些性质， 得到了 一些与普 通框架类似的性质， 当然也不尽相同. 借如对于普通框架我们知道恰当框架 等价 于r ie s z 基 ， 但对于g 一 框架就没 有这样的 结 论 . 实际上， 一个g - r ie s z 基是 一 个恰 当g 一 框 架 但反 之不成立. 下 面 我 们 介 绍h i l b e rt 空 间中g - b e s s e l 序 列 ， g - 框架 ， g - r i e s z 基以 及9 - 正 交 基的定义. 假设u和v 是 两个h i l b e rt 空 间 ， v f : j e j 是v的 一 列 子 空间 . ga v i ) 是所 有“到v ; 的 有界线 性 算 子 的 集 合 . 定 义2 .5 我 们 称一列 与e 以 u , 巧 ) : j j 为u关 于 巧: j j 的 g - 柜 架 ， 如果 存 在正常数a , b满足 a ll f 112 艺ilm f ii2 b iif 112 , v f 。 u . ( 2 . 1 ) 夕 曰 其中a和b分别称为框架下 界和框架 上不 如 果 式( 2 . 1 ) 的 右边 成 立 ， a ll 称 a ,t : j j 为“关 于 v i : j j 的 g - b e s s e ! 序列 如 果a = b ， 则 称 妈: j e j 为 *g 一 框架 如 果 去 掉 a , : j e j 中 任 一 元 素 后 它 不 再 是g 一 框架 ， 则 称 它 为 恰当 g 一 框 架 如 果v ; = v , v j 工则 称 a , : i e ) 为u关 于v的g - 框架 定 义2 .6 如 果 f e u: a , f = 0 , v j e j = 0 ， 则 称 a ; : j e j 是g 一 完 备 的. 定 义2 . 7 我 们称一列 妈 g (u , 祷 ) : j ed 为“关 于 铸: j j 的 g - r i e s z 基如 果 它 满 足如下 两 个 条 件 ( 1 ) 匀: j e j 是9 一 完 备的 . 第二章 墓本概念 ( 2 ) 存 在 正 常 数a , b 使 得 付 任 意 的j 1 c j 及9 , e v j . 9 e j ; 满 足 a 艺llg j 112艺 a ; g j b 艺ilg j 112 . ( 2 .2 ) 一 活 .已.几. 一 j e h 其中a和b分别称为g - r i e s z j e h 基的下界和上界 定 义2 . 8 我们 称 为: j e j 为u关于v的9 一 正 交 基如 果 它满 足如下两 个条件: ( 戈9 j 2 , 蛛9 j 2 卜b j i ,j2 (g j i + 9 j 2 ) + v j 1 , j 2 。 j , 9 j l 。 v j , + 9 j 2 : 冻. 又iia j f ii2 = ilf ll2 j 曰 下面我 们给出9 - 框架算子的 定 义 . 定 义2 . 9 ( a l : j j 为u关 于 v i : 1 j ) 的9 - 框 架 框架 算 子s定义 为: s f 一 ea j a j f , v f 。 “ ， j 曰 这 儿a j* 是a j 的 共 耗 算 子 可以证明s是“上的正的有界可逆线性自伴算子. 令凡 a , b的9 - = a j s - 1 ， 可以 证 明 当 a j : i e j 为u 关 于 v i : i e j 的 框架 界 为 框 架 时 ， 凡: j e j 为 u 关 于 v j : j e j 的 框 架 界 为1 ， 1b i a 的9 一 框 架. 我 们 称 a j : j e j 为 a j : j e j 的典型 对偶s 一 框 架 . 令s 为 凡: j e j 的 框 架 算 子 . 则 有 s s f 一 e砚a j f 一 es s - a j* a j s - f j e j = 艺a j a j s - f = s s - f = f , o f 。 u . 因 此 s = s - 且 凡 手 = a j s - s = 构 . 换 句 话 说 ， 凡: j 。 j 和 妈: j e j 互为对 偶9 一 框架. 下 面我 们给出 几 个9 一 框架的 例子. 例2 .2 令9 -( 为 可 分h ilb e 。 空 间 ， 方: j e j 是7 l 的 框 架令a f t 为f j 导出 的函 我 也就尾 a f t f =( f , f j ) i盯e h . 容易 验 证 人 寿: j e j 是火关 于c的8 一 框架 . 第二章 基本概念 由r i e s z 表 示定 理 知 ， 对 每 一 个泛函ae ( u , c ) ， 存 在wu使得a f= ( f , w ) , o f e u . 因 此当v j =c , j e j 时， 框架 等 价于8 一 框 架. 例” 令x为h i lb e r t 空间 ， 由 后面 的 命 题3 .4 知? 关于c r 的g 一 框架( g - b e s s e l 序列 ， g - r ie s z 基) 妈: j e j 具 有 如 下 的 形 式 a l f = ( ( f , u j ,l ) , ( f , u j ,n ) ) t , d f n , 其中 u j ,m : j e j , l _ 。 使得 a ( ilf ll2 + iig il2 ) ei (f , w k ) + (s , p k ) 12 b ( iif 112 + ll9 112 ) , e (f , 9 ) 。 h 2 . 特别 的 对 任 何a , a , ia 1 2 十 网2 34 o ， 有 a ( iia f 112 + iip f 112 ) ei (a f , v k ) + p f , y k ) i2 b ( iia f 112 + iia f 112 ) , v 了任h . a ( 1- 12 + 1a 12 ) llf ll 2 艺i (f , a s k + r y ,k ) 12 b ( 1_ 12 + i# i2 ) iif ll2 , d fx. 所以 a w k 十 p in: k e j 构 成入的 框架 . 第 三章 丫 的框架和7 f 关 于口 的9 - 框架 令( a , ,6 ) =( 1 , 0 ) 知i p k : k j 是9 的 框 架 . 令( a , q ) =( 0 , 1 ) 知 八: k j 是9 i 的 框 架 . 口 显 然 我 们很 容 易 找 到仲。 : k j ) , ( o a; : k j 均 为h的 框架而 ( a, o k ) : k e j 不 是丫框 架的 例 子 . 只要取v k = 叭就 可以 了 . 因 为 假设 ( w k , w k ) : k e j 构成矿的 框 架 ， 则 在 上 面的 引理中 令( a , a ) = ( 1 , - 1 ) 得 0 , 0 , . . . 是9 的 框 架， 这显然是不可能的 . 所以假设不成立. 邮 ! 理3 .5 和 命 题3 .4 知 如果 ( v k , o k ) : k e j 构 成,h 2 的 框架则 a k : k e j 构 成 ? 关 于c 2 的 b 一 框 架 ， 这 里a k f = ( ( f , v k ) , ( f , lp k ) ) t . 事 实 上 不 仅 如 此 ， 我 们还证明了如下的结论 定 理3 . 6 7 为h ilb e r t 空 间 ， i ( v k , ,p k ) : k e j 构 成丫的 框架 . 对 每个k e j . 定 义a k f = ( ( f , v , ) , ( f , o k ) ) t , 盯e 9 . 则 对 任 何k o j , 凡: k j , k 0 k o ) 构 成h关于c 2 的8 一 框架 证明. c3)4) .凡飞内 r.、了. 由 引 理3 .5 知 w k : k e j 和 jb k : k e j 分 别为h的 框架. 因 为 ( w k , o k ) : k e j 构成x 2 的 框架 ， 所以 对任何k o e j ， 存在 c k j 任 1 2 ( n ) ， 使得 艺 c k ( v k , o k ) = 由此得 艺 c k o k - ( w a . , 0 ) , 护 加， 又c k lp k 一 ” 如 果%= 。 ， 由 ( 3 .3 ) 式 知v k o = 艺 k e j a # k u c k (p k 又因 为 p k : k 刀是9 -( 的 框架 ， 故 在? i 中 完备 ， 所以 w k : k e j , k 笋;o 也 在x中 完 备 . 由 命 题3 . 2 知 介: k e j , k 54 k o 是x的 框 架. 因 为 o k : k e j 是r t 的 框 架 ， 所以 是b e s s e l 序列， 从而种k : ked , k笋场 也是b e s s e l 序 列 . 因 此 o k : kj , k 36 k o u l ip k : kej , k34k o 是x的 框 架 . 所以 a k : k e j , k 淤k o 构 成7 关于c 2 的s 一 框 架 . 如 果 、0 。 ， 由 (3 .4 ) 式 知 lo k u = 一 e k e j k # k o c o k 第三章丫 的 框架和7 关于c 2 的9 一 框架 同 样 的 讨 论 知 in: k e j , k 54 k o 是r 的 框 架 ， v k : k e j , k 36 k a u o k : k e j , k 笋 k o 是9 的 框 架 . 所以 a k : k e j , k 34k o 构 成9 关 于c , 2 的8 一 框 架. 结论成立. 口 从 定 理3 .6 的 证明 可 知 ， 如 果 ( o k , 血 ) : k e j 构 成丫 的 框 架 ， 则 任 意 去 掉 一 个( ,p h , 甄) 后 o k : k j , k 兴 与 或 八: k j , k 尹 场 中 至 少 有 一 个 还 是 t 的 框 架从 而 凡: k e j 沐笋与 仍 然 构 成x关 于d的9 - 框 架 . 下 面 我 们 证 明 当 ( w k , in ) : k e j 构 成h 2 的 框 架时 ， 存在11 , 1 2 c j , # i i =# i 2 =d i- r , 使 得仲。 : k e j , k 样 i i 及 叭: k j , k 样 1 2 均为9 的 框 架 从而 凡: k j , k 0 i , 及 a k : k e j , k f 1 2 均为9 关 于c 2 的s 一 的 框架 . 为 证明 这 个 结 论 我们先证明下面的引理. 引 理3 .7 9 为h ilb e rt空 间 ， o k : k ej 为7 i 的r ie s z 未 则 对 任 意 的 。 z + ， 任 意 的 ( 几 1 9 0 : 1 _2 成立， 那么。 时: 对任意的h 1 , 花， 9 _。 以 及 e lk : 1 i ， 偏 十 ， c 万 ， 由已 知条 件 ， 存 在 勺: 1 5 5n +1 , 1 三 _n + 1 , k e a ) ， 使得: a l l ( f l , g i ) +a l n ( f n , 9 n ) + a 2 1 ( f l , 9 1 ) + +a 2 n ( f n , 9 . ) + 艺 c lk (w k , o k ) k 曰 e c2 k (v k , o k ) =( 0 , h i ) , =( 0 , h 2 ) , a . , ( f l , 9 l ) + a n n ( f n , 9 n ) +e c n k ( v k , n ) = 艺c n + l ,k ( v k , tp k ) ( 0 , h n ) , a n + 1 ,1 ( f l , 9 1 ) + a n + l ,n ( f n , 9 n ) +=( o , 戈+ 1 ) - 记a=( 卿) (n + 1 ) . . . 如果a为零矩阵 ， 则a的 每一行都是零. 对b i , l i 。 +1 有: 艺 c ik ( w k , o k ) 一 (0 , h ;) , 由 此得ci k =0 , b k j ， 从 而瓜=0 ， 显然h i , h 2 ， 二, h , e 9 i 是线性相关 如果a中至少有一个非零元. 不妨设 三。 + 1 ) 个 方 程 减 去 第 一 个 方 程的箫 a l l 尹0 , 把上面方 程组中的 第 ( 2 倍 ， 得(0 , 14 . 一 黔 h i ) , 2 “ 5。 + 1 可以由 ( f i , 9 i ) ( h : 一 器h i ) , 2 : 2 n ) u ( w k , +p k ) : kej ) 线 性 表出 ， 落 n +1 线性 相关， 所以 存在不全为零的5 , 2 5e 由归纳假设知 丛” +1 使得 c : ( k - 一- h i ) al l =0 , 耐艺闭 第三章 h 2 的 框架和月关 于c 2 的b 一 框架 从而 n tl” 十1 又c i a= - h l + 又。 二 0 . 二 苏a l l哀 二 所以h i , h 2 . . . . ， 、 呼 1 x也是线性相关 的. 所以命题对。 时也成立， 由归纳证明知命题成立. 定 理3 . 8 7 是h i i b e n 空 间 . i ( (p k , v k ) : k e j ) 构 成,h 2 的 框架 对 每 个k e j . 定 义a k f = ( ( f , v k ) , f , lp k ) ) t , d f e 7 i . # ,j 至 少 存 在 a k : k e j ) 中 的d i m 7 个 元素 ， 使 得 凡: k e j 去 掉这d i m 9 i 个 元 素 后 仍然 构 成w关于(c 2 的9 一 框架 证明， g ) 设d i m 7 i =n00. 易知x 2 的维数为2 n . 如 果 ( a, 么) : k e j ) 构成丫 的 框 架 ， 它 一定 在7 i 中 完备 因 为丫 是2 n 维 的 ， 所 以 仲 、 ， 么 ) : k e j 的 元 素 个 数 不 少 于2 n , 设 为二 ， 2 n _ 。_ 0 0 。 因 为 j o k : k e j ) 是7 i 的 框架 ， 而? i 是 有限 维 的 ， 可以 证明 它 包含n的 一组 基. 不 妨设 为 w k : 1 k n ， 因 为7 是有限 维 的 ， 所以 w k : 1 _k n 构 成7 -l 的 框架 则 w k : 1 k n u -o k : 1 k _ 。 也 是9 的 框 架 ， 所以 a k : 1 k n . ( u ) d i m? =co. e h ! 理3 .5 知 如 果 ( w k , o k ) : k j 构 成砂 的 框 架 ， 则 w k : k j 是x 的框架. 我们说明它不是x的r i e s z 基 假 设 它 是r i e s z 基. 对任 何h e w ， 因 为 ( g k , p k ) : k j 构 成丫 的 框架 ， 所以 存 在 c k : k e j e p ( n ) 使得 ec k ( p k , o k ) 一 ( 0 , h ) , 由 o k : k e j 是? 的r i e s z 基 知c k = 0 , d k ， 所以h = 0 . 矛 盾. 假 设 不 成 立 . 由 命 题3 . 1 知 存 在k a , v k : k e j , k 尹场 还是7 的 框架 因 为 ( v k , in ) k e j 构 成昭的 框 架 。 所以d h l , 场e 3 , ( 0 , h l ) 和( 0 , 花 ) 可以 由 ( w k , p k ) : k e j 即( (p k . , in . ) u ( (g k , am : k e j , k 36k o 线性 表 示 ， 由 引 理3 .7 知 (g k : e j , k 尹 k o 不是? 的r i e s z 基. 否则h l , h 2 线 性 相关 ， 由 它 们的 任意性知d i m 9 1 , 与7 是无穷维空间矛盾 第三 章h s 的 框架 和r关于c z 的b 一 框架 所以 存在k 1 , w k : k e j , k 34 k 0 , k , 还是? 的 框架 . 同 样由引 理3 . 7 经 过类 似的讨 论知它不是万的r i e s z 基. 那么又 存在肠， 二 这样的 程 序 一 直进行 下 去 ， 所以 可以 选 择 v k : 无 j 的 无穷 个 元素 去 掉 ， 剩下 的 仍然 是h的框架 即 存在j 的 无限 子集i ， 使得 w k : kej , kv1 1 仍 然是 9 的 框 架 ， l tp k : k e j , k 样月u i ?p k : k e j , k 样乃当 然 也 是h的 框 架 . 所以 a k : k e j , k f 丹还是7 关 于c z 的9 一 框架 . 口 推 论3 . 9 9 为h i lb e r i 空 间 ， d i m 7 = n , 0 。 o o , ( g k , 板) : k e j 构成 h2 的 框 架 . 那么 时任意 的i cj , # i = mo o , v k : k e j , k 0 i u o k : k e j , k 0 i 的 袄不小 于。 一l 2 j . 证明， ( i ) 0 n0 0 . 设 (p k : k j , k 0 i u w k : k e j , k o i 的 秩为1 , 6 ， 二， 6 是 它的 一 组 基 那 么 ( 6 , 0 ) : 1 l u ( o , f l ) : 1 丛好在丫中 是 线 性 无 关 的 ， 秩 为2 6 . 且 显 然 ( w k , t) k ) : k e j , k f i 可以 由 ( i , o ) : 1 i t u ( o , , ) . 1 i l 线性表 示 ， 所以 它的 秩 不大 于2 1 ， 设为: . 另一方面由d i m 7 =。 及 ( w k , 叭) : k e j 构 成丫的 框架知 ( w k , 血) : k e j 的 秩为2 n ， 所以 ( w k , 叭) : k j , k 样 ， 的 秩 不 小 于2 n 一 。所以 2 。 一 二 s _ 。 一 l z j . ( i i ) n = 0 0 . 由 ( w k , 叭) : k j 构 成淤 的 框 架 知 w k : k e j 是w的 框 架 . 所以 从 w k : k e j 中 可以 选 取 任 意多 个 线 性 无 关的 元素. 对b n z + , w k : k e j 存 在n+ 。个线性无 关的 元 素 ， 记为 公: 1 i n+m . 对任 意的i c j , # i =二o o , f : : 1 n+ m 至少有属于 w k : k j , k 样 i 的n 个 线 性 无 关 的 元 素 . 由n的 任 意 性 知 w k : k e 1 , k 0 1 的 秩 是 无 穷 大 . 当 然 w k : k j , k 0 i u o k : k j , k f i 的 秩也是无 穷 大 . 口 第四 章 两 个有界线性算子构成b - 框架的 充要 条 件 第四 章 两个有界线性算子构成9 框架的充要条件 由 定 义 ， 每 一个 有界 线 性 可逆算子本身构 成9 一 框 架 及g - r i e s z 基. 在这 一部 分 我们考虑 两 个 有界 线性 算子 的 情形 ， 给出了 两 个 有界 线 性 算 子 构成9 一 框架的 充 要 条件， 我们有如下的结论. 定理4 . 1 设x , y i , y 2 为b a n a c h 空间 ， a , , a ， 分别 为x到y , 以 及x到y 2 的 有界线性算 子 . 对于 算子t : x，y ， 定义n ( t ) := f : t f = 0 , r ( t ) := t f : f e x . 则 存 在 正常 数a , b 使 得a llf 112 _ 1ja l f ll2 + 11a 2 f !l2 0 ， 使得 a 1 盯“ iia 了 “ b l 盯“ ，盯 x , 1 5 第四 章 两个有界线 性算子 构成8 - 框 架的 充要条件 a 1 盯” _ ii a l f 1i +iia 2 f ll _ b 1 盯“ ，v f e x . 因为 iia i f ii2 + iia 2 f 11 0 使得 a llf ii2 _ ii a l f ll2 + iia 2 f 112 0 使得a llf ii2 - iia , f 1i2 + iia 2 f il2 0 使得a llf ii2 _ iia l f 1i， 十” a d 112 0 , 使 得a j ll f ll k都有 iia f n 一 a f m ll a , il f l