（应用数学专业论文）偏序集拟阵.pdf

摘要 偏序集拟阵是用一个偏序集代替拟阵的基础集，相应地，基础集的子集被偏序集的 滤子( 或被夸理想，对偶的1 所替换而发展起来的一套理论这一理论是由意大利组合学 派代表mb a r n a b e i ，gn i c o l e t t i 和l p e z z o l i 提出并系统研究过( 见文献f 1 ，2 ，2 9 ， 3 0 ) 偏序集拟阵源于两方面的考虑首先是来自于射影几何经典拟阵研究的是超平面 ，= 全射影空间放置的公理体系一个自然的问题是：能否给出射影空问中放置不同维数的线 性族类似的公理体系? 其次就是将一个有限偏序集的滤子分配格代替集合的布尔代数， 这种替代给研究将带来全新的结果 由g b i r k h o f f 的一个基本定理，每个有限分配格同构于一个有限偏序集所有滤子 的格反之，每个有限偏序集同构于一个分配格的交不可约元素所构成的偏序集正是 由于这些同构，我们才能用偏序集及其分配格这两种可相互交换的语言来描述偏序集拟 阵 拟阵某些特性可以被嵌入到偏序集拟阵但是，除7 这些与偏序集拟阵相关的理论 以外，与经典拟阵丰富的理论相比，还有许多有关偏序集拟阵的东西是未知的同时， 并非经典拟阵所有的特性都可以通过一种简单的方式推广到这种新的语言上来因此， 我们在本文将对偏序集拟阵本身进行更深入地研究需要强调的是：我们考虑的偏序集 拟阵，它所依赖的基础偏序集，其元素是交不可约的( m e e t i r r e d u c i b l e ) 夕广r 一一一 通过对偏序集拟阵秩函数的刻划，给出7 偏序集拟阵秩公理、全局茯公理、局部秩 公理；通过对偏序集拟阵零度函数的研究，得到j 它的零度公理、全局零度公理、局部零 度膺理；通过对导出函数的研究，刻划了偏序集拟阵基的限制和延拓问题另外，本文 迹研究了偏序集拟阵的相关性和闭包算子，并得到了相关性公理和闭包公理文章还提 出7 进一步研究的问题 ， f本文包括四章内容，第一章，引言第二章，偏序集拟阵的基和圈第三章，一类与 偏序集拟阵相关的函数第四章，偏序集拟阵的相关性和闭包算子 在第一章，我们介绍了本文的背景给出了一个偏序集拟阵的例子以及与本文相关 的记号和一些已知结论，最后概括了本文的主要结果和结构。 第二章主要研究了偏序集拟阵的基和圈第1 节是介绍第二节给出了一些曲要的 已知结论第3 节偏序基拟阵任意两个基之间的关系，并由此导出了一些其他重要的性 质。在最后一节，我们得到了组合概型的一个反链是其所有圈集的充分必要条件 第三章主要研究了与偏序集拟阵相关的一类函数第1 节是介绍，第2 节列出了与 本章相关的一些已知结论 因为一个偏序集有横向与纵向的结构，因此我们用秩函数来刻画偏序集拟阵要比刻 画经典拟阵要复杂得多，但还是有章可寻在第3 节我们得到了偏序集拟阵的秩公理， 局部秩公理，全局秩公理和伪全局秩公理，这是本文的主要结论之一 在第4 节研究7 偏序集拟阵的零度函数( n u l l i t yf u n c t i o n ) 我们得到7 偏序集拟阵 的零度公理，局部零度公理，全局零度公理以及伪全局零度公理，这些结论都基于本章 第3 节的理论 在第5 节，我们用偏序集拟阵的余秩函数来研究偏序集拟阵与其对偶之l 司的关系。 在这一节也得到一些基本的结论 在第6 节，我们构造了一类整值函数，称作偏序集拟阵的导出函数运用导出函数， 我们研究了一类新的偏序集拟阵，该类偏序集拟阵是由特殊的整值函数和已知的偏序集 拟阵来刻画的我们惊奇地发现，这类新的偏序集拟阵与已知的偏序集拟阵具有相同的 基础偏序集事实上，我们研究了偏序集拟阵基的限制与延拓，最后我们对此还给出了 几何解释这一节是本文的主要结论之一对这些理论的研究主要是受刘桂真教授研究 拟阵的一些思想启发所致( 见1 2 4 i ) 第7 节根据秩函数、零度函数和导出函数刻画7 组合概型 第四章研究j 偏序集拟阵的相关性和闭包算子我们得到7 偏序集拟阵相关性公理 和闭包公理第1 节是介绍，第2 节是定义和必要的结论 第3 节研完了偏序集的子集和滤子之间的关系，我们得到了一些基本的结论，这些 都是为后面的主要结论做准备 第4 节建立7 偏序集拟阵的相关性公理，这是本文的主要结论之一 第5 节定义了偏序集拟阵的闭包算子在这一节我们得到了偏序集拟阵闭包算子的 一些基本结论在第6 节，我们建立j 偏序集拟阵的闭包公理，这是本文主要定理之一。 在第7 节，我们研究了偏序集拟阵闭集的一些基本结论本节的一个中心问题是提 出了一个猜想：一个有限格l 同构于一个有限偏序集拟阵的闭集所构成的格当且仅当 是一个半模格因为如果证明1 该猜想 一些结论，而且可以解决更多的问题 那么我们就能从更大程度上统一经典拟阵中的 在最后一节，我们得到7 组合概型相应的结果 关键词 有限偏序集， 偏序集拟阵 绝垒垫型，坌里_ 格，墨查 滤子，独立集，查生亟墼、导出函数、闭集 壁出，相关性，闭包算子 闭集格，布尔代数 p o s e tm a t r o i d s a b s t r a c t a ne x c e l l e n ti n t r o d u c t i o nt ot h et o p i co fp o s e tm a t r o i d si sg i v e nb ym b a r n a b e i gn i c o l e t t i a n d i p e z z o l i i n 【l ，2 ，2 9 ，3 0 】- t h et h e o r yo fp o s e rm a t r o i d si st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h et h e o r yo fm a t r o i d sd e v e l o p e d b 3 7r e p l a c i n gt h eu n d e r l y i n gs e to fam a t r o i db yap a r t i a l l yo r d e r e ds e tc o n s e q u e n t l y ，t i l e n o t i o no fs u b s e to fas e ti sr e p l a c e db yt h a to faf i l t e r ，o r ，d u a l l y ，o r d e ri d e ao fap o s e t p o s e t m a t r o i d sh a v eb e a u t i f u li n a t h e m a t i c a lb a c k g r o u n d i ti sm o t i v a t e db yt w oc o n s i d e r a t i o n s t h ef i r s tm o t i v a t i o nc o m e sf r o mp r o j e c t i v eg e o m e t r ym a t r o i d sa r et h en a t u r a ls e t t i n g f o rt h ea r r a n g e m e n t so ft h eh y p e r p l a n e si np r o j e c t i v es p a c e i ti sn a t u r a lt oa s kw h e t h e r a r r a n g e m e n t so fl i n e a rv a r i e t i e so fd i f f e r e n td i m e n s i o ni nt h ep r o j e c t i v es p a c em a y b eg i v e n w i t has i m i l a ra x i o m ss e t t i n g t h es e c o n dm o t i v a t i o ni st h er e p l a c e m e n to fab o o l e a na l g e b r a o fs e t sb yt h ed i s t r i b u t i v el a t t i c eo ff i l t e r so faf i n i t ep a r t i a l l yo r d e r e ds e t ，t h i sr e p l a c e m e n t h a sb e e np r o v e df r u i t f u li no u rs t u d y b yaf u n d a m e n t a lt h e o r e mo fg b i r k h o f f ，e v e r yf i n i t ed i s t r i b u t i v el a t t i e ei si s o m o r p h i c t ot h el a t t i c eo fa l lf i l t e r so faf i n i t ep a r t i a l l yo r d e r e ds e t c o n v e r s e l y ，e v e r yf i n i t ep a r t i a l l y o r d e r e ds e ti s i s o m o r p h i ct ot h ep a r t i a l l yo r d e r e ds e to fm e e t i r r e d u c i b l ee l e m e n t so fa d i s t r i b u t i v el a t t i c e j u s tw i t ht h e s ei s o m o r p h i s m s ，w em a yu s et h el a n g u a g eo fp o s e ra n d t h e i rl a n g u a g eo fd i s t r i b u t i v el a t t i c ei n t e r c h a n g e a b l y c e r t a i np r o p e r t i e so fm a t r o i d sc a nb ei n s e r t e dw i t h i nt h en o t i o no fp o s e tm a t r o i d s h o w e v e r ，b e s i d ea l lt h e s er e s u l t sr e l a t i v et op o s e tm a t r o i d s ，n o tm u c hi sk n o w na b o u tp o s e t m a t r o i d s a sc o m p a r e dw i t ht h er i c h n e s so ft h a to fm a t r o i d s a tt h es a m et i m e n o ta l l p r o p e r t i e so fm a t r o i d sc a nb et r a n s l a t e di nas i m p l ew a y i n t ot h i sn e w l a n g u a g e t h e r e f o r e w es h a l ls t u d yp o s e tm a t r o i d s ，s y s t e m a t i c a l l ya n dd e e p l y b yc h a r a c t e r i z i n gt h er a n kf u n c t i o no fp o s e rm a t r o i d s ，w ep r o v i d et h er a n ka x i o m s g l o b a lr a n ka x i o m s ，a n dl o c a lr a n ka x i o m so fp o s e rm a t r o i d st h r o u g hs t u d y i n gt h ec o r a n k f u n c t i o n ，w eo b t a i nn u l l i t ya x i o m s ，g l o b a ln u l l i t ya x i o m s ，a n dl o e a ln u l l i t ya x i o m so f p o s e t m a t r o i d sw ec h a r a c t e r i z et h er e s t r i c t i o na n de x t e n s i o nf o rb a s i so fp o s e tm a t r o i d sb yt h e d e r i v e df u n c t i o ni nt h i st h e s i s ，w ea l s oi n v e s t i g a t et h ed e p e n d e n c ea n dc l o s u r eo p e r a t o r so f p o s e rm a t r o i d s ，t h u so b t a i nt h ed e p e n d e n c ea x i o m sa n dc l o s u r ea x i o m so fp o s e rm a t r o i d s t h i st h e s i si n c l u d i n gf o u rc h a p t e r s ：c h a p t e ri ，i n t r o d u c t i o n ：c h a p t e ri i ，b a s e sa n dc i r c u l t so fp o s e tm a t r o i d s ；c h a p t e ri i i ，ac l a s so ff u n o t i o n sa s s o c i a t e dw i t hp o s e tm a t r o i d s ： c h a p t e ri v ，d e p e n d e n c ea n dc l o s u r eo p e r a t o ro fp o s e tm a t r o i d s i n c h a p t e ri ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h i st h e s i s ，g i v ea ne x a m p l eo f1 ) o s e t m a t r o i d s ，a n dp r o v i d en o t a t i o n sa n dr e l a t e dr e s u l t sw h i c ha r er e l a t i v et oo u rt o p i ca tl a s t 、( s u l n n l a r i z et h ec o r r e s p o n d i n gs t r u c t u t ea u dn l a i nr e s u l t so ft h i st h e s i s i nc h a p t e ri i ，w em a i n l ys t u d yt h eb a s e sa n d ( + i i c u l t so fp o s e rm a t r u i d s s e c t i o nli st i t p o s e tm a t r o i d s i n t r o d u c t i o n ，s e c t i o n2g i v e st h ep r e l i m i n a r yr e s u l t s i nt h et h i r ds e c t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e na n yt w ob a s e so fap o s e rm a t r o i da n dd e d u c es o m eo t h e ri m p o r t a n t p r o p e r t y i nt h el a s ts e c t i o n ，w eo b t a i nas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ra na n t i c h a i n c ob et h es e to fa l lc i r c u i t so fac o m b i n a t o r i a ls c h e m e c h a p t e ri i im a i n l ys t u d i e sac l a s so ff u n c t i o n sa s s o c i a t e dw i t hp o s e tm a t r o i d s s e c t i o n 1i st h ei n t r o d u c t i o n w el i s ts o m en e c e s s a r yr e s u l t si ns e c t i o n2 s i n c eap a r t i a l l yo r d e r e ds e th a sl o n g i t u d i n a la n dl a t e r a ls t r u c t u r e s ，t h ec h a r a c t e r i z a t i o n o fp o s e rm a t r o i d sb yr a n kf u n c t i o ni sm u c hm o r ec o m p l i c a t e dt h a nt h a to ft h ed a s s i c a l m a t o i di ns e c t i o n3w eo b t a i nt h er a n ka x i o m so fp o s e tm a t r o i d s ；l o c a ir a n ka x i o m s o fp o s e tm a t r o i d s ；g l o b a lr a n ka x i o m so fp o s e tm a t r o i d s ；p s e u d o - g l o b a la x i o m so fp o s e t m a t r o i d s t h i ss e c t i o ni so n eo ft h em a i np a r t so ft h i st h e s i s i ns e c t i o n4 w es t u d yt h en u l l i t yf u n c t i o n so fp o s e tm a t r o i d s w jo b t a i nt h en u l l i t y a x i o m so fp o s e tm a t r o i d s ，g l o b a ln u l l i t ya x i o m so fp o s e tm a t r o i d s ，l o c a ln u l l i t ya x i o m so f p o s e tm a t r o i d sa n dp s e u d o - g l o b a ln u l l i t ya x i o m so fp o s e tm a t r o i d s t h e s er e s u l t sa r eb a s e d o dt h et h e o r yl ns e c t i o n3o ft h i sc h a p t e r i ns e c t i o n5 w en s et h ec o r a n kf u n c t i o no fp o s e rm a t r o i d st oi n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nap o s e tm a t r o i da n dj sd u a ls o m eb a s i cr e s u l t sa r ea l s oo b t a i n e dj nt h i ss e c t i o n i ns e c t i o n6 ，w ed e f i n ea ni n t e g e rv a l u e df u n c t i o nn a m e dd e r i v a t i v ea n c t i o nf o rp o s e t m a t r o i d s ，es t u d yan e wc l a s so fp o s e tm a t r o i d sb yt h ed e r i v a t i v ef u n c t i o n sa n dt h e k n o w np o s e tm a t r o i d si ti ss u r p r i s e dt os e et h a tt h en e wc l a s so fp o s e rm a t r o i d sh a v et h e s a m eu n d e r l y i n gp a it i a l l yo r d e r e ds e ta st h ek n o w no n ei nf a c tw ec a ng i v ei t g e o m e t r i c i n l e r p r e t a t i o n t h i ss e c t i o ni so n eo fm a i np a r t so ft h i st h e s i s i nt h el a s ts e c t i o n 。w ec h a r a c t e r i z et h ec o m b i n a t o r i a ls c h e m e si nt e r m so fr a n k n u l l i t y a n dd e r i v a t i v ef u n c t i o n s h lc h a p t e ri v ，w es t u d yt h ed e p e n d e n c ea n dc l o s u r eo p e r a t o ro fp o s e rm a t r o i d sw eo b t a i nt h ed e p e n d e n c ea x i o m sa n dc l o s u r ea x i o m so fp o s e tm a t r o i d ss e c t i o n1i si n t r o d u c t i o n o ft h i sc h a p t e ra n ds e c t i o n2i ss o m ed e f i n i t i o n sa n dp r e l i m i n a r yr e s u l t s 1 1 1s e c t i o n3 w es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e ns u b s e t sa n df i l t e r so fp a r t i a l l yo r d e r e ds e tp w ea l s oo b t a i ns o m eb a s i cr e s u l t so nd e p e n d e n c e i ns e c t i o n4 ，w ee s t a b l i s ht h ed e p e n d e n c ea x i o m so f p o s e rm a t r o i d s ，w h i c hi so n eo f o u t n n t i nr e s u l t si nt h i st h e s i s i us e c t i o n5 w ed e f i n et h ec l o s u r eo p e r a t o ro fp o s e tm a t r o i d 毋o npi nt h i ss e c t i o nw e l a v eo b t a i n e ds o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t so nc l o s u r eo p e r a t o ro fp o s e tm a t r o i d s i l ls e c t i o n6 w es e tu pt h ec l o s u r ea x i o m so fp o s e tm a t r o i d s ，w h i c hi so n eo f o u ru l a i n r e s u l t si nt h i st h e s i s i ns e c t i o n7 ，w es t u d ys o m ef u n d a m e u t a ir e s u l t so nc l o s e ds e to fp o s e tm a t r o i d s i nt h i s _ ( fd o n 、w ea l s og i v ea c o n j e c t u r e ：af i n i t e2 a t t i c ei si s o m o r p h i ct ot h el a t t i c eo ff l a t so fa p o s e tm a t r o i d ss h u c h a ol i f i n i t ep o s e tm a t r o i di fa n do n l yi fi ti sas e m i m o d u l a rl a t t i c ei ft h i sc o n j e c t u r ei st r u e ，t h e n w ec a n l a r g e l yu n i f ym o r e r e s u l t so fm a t r o i d sa n dw ec a na l s os o l v es o m em o r ep r o b l e m s i nt h el a s ts e c t i o nw es t u d ys o m e c o r r e s p o n d i n gr e s u l t so nc o m b i n a t o r i a ls c h e m e s k e yw o r d s p o s e rm a t r o i d s ，c o m b i n a t o r i a ls c h e m e s ，d i s l , r i b u t i v el a t t i c e ，r a n kf u n c - t i o n ，d e p e n d e n c e ，c l o s u r eo p e r a t o r ，f i n i t ep a r t i a l l yo r d e r e ds e t ，f i l t e r ，i n d e p e n d e n ts e t ，n u l l i t y f u n c t i o n ，d e r i v a t i v ef u n c t i o n ，f i a t ( c l o s e ds e t ) ，f l a tl a t t i c e ，b o o l e a na l g e b r a ，c o m p l e t e s e q u e n c e ， p o s e tm a t r o i d ss h u c h a ol 1 b a c k g r o u n d c h a p t e r ii n t r o d u c t i o n a ne x c e l l e n ti n t r o d u c t i o nt ot h et o p i co fp o s e tm a t r o i d si sg i v e nb ymb a r n a b e i ，gn i c o l e t t i a n dlp e z z o l i i n i l ，2 ，2 9 ，3 0 1 t h et h e o r yo fp o s e rm a t r o i d si st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h et h e o r yo fm a t r o i d sd e v e l o p e d b yr e p l a c i n gt h eu n d e r l y i n gs e to fam a t r o i db yap a r t i a l l yo r d e r e ds e tc o n s e q u e n t l y ，t h e n o t i o no f s u b s e t o f as e t i sr e p l a c e db y t h a to f a f i l t e r ，o r id u a l l y , o r d e r i d e ao f a p o s e rp o s e t m a t r o i d sh a v eb e a u t i f u lm a t h e m a t i c a lb a c k g r o u n d i ti sm o t i v a t e db yt w oc o n s i d e r 8 t i o n s t h ef r s tm o t i v a t i o nc o m e sf r o mp r o j e c t i v eg e o m e t r y m a t r o i d sa r et h en a t u r a ls e t t i n g f o rt h ea r r a n g e m e n t so ft h eh y p e r p l a n e si np r o j e c t i v es p a c ei ti sn a t u r a lt oa s kw h e t h e r a r r a n g e m e n t so fl i n e a rv a r i e t i e so fd i f f e r e n td i m e n s i o ni nt h ep r o j e c t i v es p a c em a y b eg i v e n w i t has i m i l a ra x i o m s s e t t i n g t h es e c o n dm o t i v a t i o n i st h er e p l a c e m e n to fab o o l e a na l g e b r a o fs e t sb yt h ed i s t r i b u t i v el a t t i c eo ff i l t e r so faf i n i t ep a r t i a l l yo r d e r e ds e t b y af u n d a m e n t a lt h e o r e mo fg b i r k h o f f , e v e r yf i n i t ed i s t r i b u t i v el a t t i c ei si s o m o r p h i c t ot h el a t t i c eo fa l lf i l t e r so faf i n i t ep a r t i a l l yo r d e r e ds e t c o n v e r s e l y ，e v e r yf i n i t ep a r t i a l l y o r d e r e ds e ti si s o m o r p h i ct ot h ep a r t i a l l yo r d e r e ds e to ft h em e e t i r r e d u c i b l ee l e m e n t so fa d i s t r i b u t i v el a t t i c e j u s tw i t ht h e s ei s o m o r p h i s m s ，w em a yu s et h el a n g u a g eo fp o s e ta n d t h e i rl a n g u a g eo fd i s t r i b u t i v el a t t i c ei n t e r c h a n g e a b l y s o m ep r o p e r t i e so fm a t r o i d sc a nb ei n s e r t e dw i t h i nt h en o t i o no fp o s e tm a t r o i d sh o w e v e r b e s i d ea l lt h e s er e s u l t sr e l a t i v et op o s e rm a t r o i d s n o tm n c hj sk n o w na b o u tp o s e t m a t r o i d s ，a sc o m p a r e dw i t ht h er i c h h e s so ft h a to fm a t r o i d s a tt h es a m et i m e ，n o ta l i p r o p e r t i e so fm a t r o i d sc a l lb et r a n s l a t e di nas i m p l ew a yi n t ot h i sn e wl a n g u a g e e v e r yf a m i l yo fl i n e a rv a r i e t i e si np r o j e c t i v es p a c ed e f i n e sap o s e tm a t r o i d ，a n dac l a s s i f i c a t i o no ft h ep o s s i b l es p e c i a lp o s i t i o n so fas e to fl i n e a rv a r l e t i e si sr e f l e c t e di nt h ec o m b i n a t o r i a ls t r u c t u r eo ft h ep o s e tm a t r o i dt h e r e b yo b t a i n e d t o g e t h e rw i t ht h eb e a u t i f u lr e s u l t si n 【l 】a n d 吼w eh a v eb r o u g h tt h et h e o r yo np o s e t m a t r o i d st oc o m p l e t i o n j u s ta sg cr o t as a i d “i tm a yw e l lb et h ec a s et h a ts o m eo ft h e p r o b l e m so ft o d a y sm a t r o i dt h e o r yw i l lr e v e a lt h e i rs e c r e t so n l yw h e nl o o k e da ti nt h i sn e w a n dm o r ep r o p e rs e t t i n g ”( s e e ( 3 1 1 ) 2 0 u t l i n e a tf i r s tw el i s tt h ed e f i n i t i o no ft h et w of u n d a m e n t a lc o n c e p t so ft h i st h e s i s ，n a m e l y ，p o s e t m a t r o i d sa n dc o m b i n a t o r i a ls c h e m e 8 ， 1 ap o s e tm a t t v i do nt h ep a r t i a l l yo r d e r e ds e tpi saf a m i l y 毋o ff i l t e r so fp c a l l e d b a s e s ，s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n ga x i o m s ： ( b1 ) 毋0 s h u c h a ol i f i g u r ehe x a m p l e g 口 ( b2 ) f o re v e r y b l ，b 2 毋：b 1 b 2 ( b 3 ) f o re v e r yb 1 ，b 2 毋a n df o re v e r yp a i ro ff i l t e r sx ，yo fp ，s u c ht h a tx b 1 b 2 y ，x 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