（应用数学专业论文）基于分形理论的图形设计研究与应用.pdf

论文题目t 专业： 硕士生： 指导老师： 基于分形理论的图形设计研究与应用 应用数学 帅昌浩 李勇 摘要 ( 签 ( 签 分形理论是近几十年才开始兴起和发展的一门学科，其主要描述自然界和非线性系 统中不光滑和不规则的几何形体。它在许多领域都有很广泛的应用，如数学、物理、化 学、材料科学、生物与医学、地质与地理学、地震和天文学以及计算机科学等。因此对 分形理论的研究既具有理论意义，又具有非常广泛的实际应用价值。 本文主要研究分形理论在计算机科学上的应用，特别是在计算机图形绘制方面的实 际应用。在了解分形理论的基本知识和分形几何的维数的基础上，对分形图形的算法作 了总结。以v b 6 0 作为软件开发的工具，实现了对一些经典分形图的绘制，在计算机上 实现了牛顿迭代分形图、k o c h 曲线、s i e r p i n s k i 垫片，m a n d e l b r o t 集、分形树等经典分 形图形。通过对一些参数的修改，从而改变分形图的形状，位置，颜色等属性。在此基 础上实现了分形图形的中文处理界面，可以对生成的分形图形作合成，特效，旋转等一 系列处理，使其更好的应用到实际当中去，最后将生成的分形图形以b m p 或j p e g 图 片格式保存到电脑硬盘中。 将分形理论应用于计算机图形设计，生成了许多绚丽多彩的分形图形，计算机与艺 术很好的结合在一起，在时装设计、家具设计、广告设计等领域都有广阔的图形设计空 间。 关键词：分形理论；分形维数；牛顿迭代；k o c h 曲线；m a n d e l b r o t 集； j u l i a 集；计算机图形设计；图形处理 研究类型：应用研究 s u b j e c t ：r e s e a r c ha n da p p l i c a t i o n so fg r a p h i c sd e s i g nb a s e do n f r a c t a lt h e o r y s p e c i a l t y ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s n a m e：s h u a ic h a n g h a o i n s t r u c t o r ：l iy o n g a b s t r a c t ( s i g n a t u r e ) ( s i g n a t u r e ) f r a c t a lt h e o r yi sas c i e n c en e w l ys t a r t e da n dd e v e l o p e di nt h ep a s ts e v e r a lt e ny e a r s ，i t c a nd e s c r i b er o u g h n e s sa n di r r e g u l a rg e o m e t r i cs h a p e si nt h en a t u r eo ri nn o n - l i n e a rs y s t e m f r a c t a lt h e o r yi se x t e n s i v ea p p l i e dt om a n yf i e l d s ，s u c ha sm a t h e m a t i c s ，p l a y s i c s ，c h e m i s t r y , m a t e r i a ls c i e n c e ，b i o l o g ya n dm e d i c i n e ，g e o g r a p h y , e a r t h q u a k ea n da s t r o n o m y , c o m p m e r s c i e n c ea n ds oo n s ot h er e s e a r c ho nf f a c t a lt h e o r yh a sb o t ht h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n d e x t e n s i v ea p p l i e dv a l u e t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ea p p l i c a t i o n so ff r a c t a lt h e o r yi nt h ef i e l do ft h ec o m p m e r t e c h n o l o g y , e s p e c i a l l yt h ep r o b l e mo fc o m p u t e rg r a p h i c sd e s i g n i ts u m su ps o m ef r a c t a l a l g o r i t h mo nt h eb a s i so fm a s t e r i n gt h eb a s ek n o w l e d g eo f t h ef r a c t a lt h e o r ya n dd i m e n s i o no f t h ef r a c t a lg e o m e t r y t h ep a p e rc a nr e a l i z e dt h es o f t w a r eo fd r a w i n gf r a c t a lg r a p h i c su s i n g v b 6 0l a n g u a g e ，i th a sa l r e a d yb e e nr e a l i z e do nc o m p u t e rt od r a ws o m ef r a c t a lg r a p h i c s ，s u c h a sn e w t o ni t e r a t i o nf r a c t a lg r a p h i c s ，k o c hc u r v e ，s i e r p i n s k ig a s k e t s ，m a n d e l b r o ts e t ，f r a c t a l t r e e sa n ds oo n i tc a nc h a n g et h ev a l u eo ff f a c t a lg r a p h i c sf i g u r e ，p l a c e sa n dc o l o rt h r o u g h c h a n g i n gs o m ep a r a m e t e r so ft h ef r a c t a lg r a p h i c s i tr e a l i z e st h ef r a c t a lg r a p h i c s m a n a g i n g u s e ri n t e r f a c eo nt h eb a s i so fa b o v ea 1 1 t h ef r a c t a lg r a p h i c sh a v i n gb e e ns y n t h e s i z e d ， s p e c i a l l yg o o de f f e c ta n dc i r c u m g y r a t eh a v em o r ep r a c t i c a la p p l i e dv a l u e f i n a l l y , d r a w nt h e b e a u t i f u lf r a c t a lg r a p h i c sc a nb es a v e da sb f f m a pf i l e so rj p e gf i l e si nt h ec o m p u t e r u s i n gt h ef r a c t a lt h e o r yt ot h ed e v i c eo fc o m p u t e rg r a p h i c ，i tc a nn o to n l yc r e a t em a n y f l o w e r yf r a c t a lg r a p h i c sb u ta l s or e a l i z eac o m b i n a t i o nb e t w e e nc o m p u t e ra n da r t s ，i tc a no f f e r t h ew i d t hs p a c eo fd e v i c eg r a p h i cf o rt h ef a s h i o n a b l ed r e s s ，t h ed e c o r a t i o no fh o u s e ，t h e d e v i c eo fa d v e r t i s e m e n ta n ds oo n k e y w o r d s ：f r a c t a lt h e o r y f r a c t a ld i m e n s i o nn e w t o ni t e r a t i o nk o c hc u r 、r e m a n d e l b r o ts e tj u l i as e t c o m p u t e rg r a p h i c sd e s i g ng r a p h i c sd i s p o s a l t h e s i s：r e s e a r c ho na p p l i c a t i o n 要料技丈学 学位论文独创性说明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及其取得研究成果。尽我所知，除了文中加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西安科 技大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 学位敝作者签名：呻l 笼醐抄以￥，汐 i 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期 间论文工作的知识产权单位属于西安科技大学。学校有权保留并向国家有关部 门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结合学位 论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西安科技大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：。1 i 新易 指导教师签 步艿年窜月纱日 l 绪论 1 1 本课题研究的意义 1 绪论 自从e u c l i d ( 欧几里得) 在两千年多年前创立几何学以来，在漫长的岁月里，自然 科学研究人员与数学家们基本上都在e u c l i d 空间进行研究和探索，但e u c l i d 几何学不 是万能的，大自然的许多现象都不可能用e u c l i d 几何来解释。比如树是三维空间的实物， 但能由z = f ( x ，y ) 来描述呢? 显然不能。那么如何来描述大自然几何及其他许多e u c l i d 几何所不能解决的问题呢1 1 1 9 直到2 0 世纪7 0 年代，这些问题都得到了很好的解决，这 是由于一个跨时代学科的诞生分形几何。 其实分形几何诞生之前，科学家们已经在这方面做了许多研究，有着许多的实践经 验。1 8 2 7 年英国植物学家布朗( r b r o w n ，1 7 7 3 1 8 5 8 ) 用显微镜发现微细颗粒在液体中作无 规行走，此现象被称为布朗运动。维纳烈w i e n e r ，1 8 9 4 1 9 6 4 ) 等人在此基础上创立随 机过程理论。1 8 7 2 年，维尔斯特拉斯( k t w w e i e r s t r a s s ) 给出了一个处处连续、但处 处不可微的三角函数级数，即维尔斯特拉斯函数。1 8 8 3 年，康托尔( g e e c a n t o r ) 构造 了三分集。1 8 9 0 年，皮亚诺( g p e a n o ) 提出了充满空问的曲线皮亚诺曲线。1 8 9 1 年，希尔伯特( d h i l b e r t ，1 8 6 2 1 9 4 3 ) 在数学年刊( m a t h e m a t i s c h ea n n a l i n ) 上发表短文， 提出了能充满平面区域的著名的希尔伯特曲线。1 9 0 4 年，瑞典数学家柯赫( h v o n k o c h ，1 8 7 0 1 9 2 4 ) 构造出柯赫雪花曲线。1 9 1 5 1 9 1 6 年，波兰数学家谢尔宾斯基 ( w s i e r p i n s k i ，1 8 8 2 1 9 6 9 ) 构造了谢氏曲线、海绵、墓垛。1 9 1 9 年，豪斯道夫 ( e h a u s d o r f f , 1 8 6 8 1 9 4 2 ) 给出维数的新定义，为维数的非整化提供了理论基础。1 9 2 5 年 柏林大学的克莱默( h c r e m e r ) 首次手工绘制了朱丽亚集的图象。1 9 3 2 年，庞特里亚金 ( l s p o n t r y a g i n ，1 9 0 8 ) 给出盒维数的定义。1 9 6 7 年，曼勃罗特在( ( i e e e 信息理论学报 上发表论文具有1 f 谱的某些噪声，直流与白噪声之间的一座桥梁。1 9 6 7 年芒德勃 罗又在科学上发表题为英国海岸线有多长? 统计自相似性与分数维数的著名论 文。1 9 6 8 年美国生物学家林德梅叶( a l i n d e n m a y e r ，1 9 2 5 1 9 8 9 ) 提出研究植物形态与生 长的“l 系统”方法。1 9 7 7 年，芒德勃罗特出版英文版专著分形：形、机遇与维数。 “分形”这个名词是由美国i b m 公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学系教授曼 勃罗特( b e n o i tb m a n d e l b r o t ) 在1 9 7 5 年首先提出的，其原义是“不规则的，分数的，支离 破碎的 物体。1 9 7 7 年，他出版了第一本书分形：形态、偶然性和维数( f r a c t a l ： f o r m 、c h a n c ea n dd i m e n s i o n ) 【2 j ，标志着分形理论的正式诞生，5 年后，他出版了著名 的专著自然界的分形几何学( t h ef r a c t a lg e o m e t r yo f n a t u r e ) p j ，至此，分形理论 初步形成。那么什么是分形呢? 分形是指其组成部分与整体以某种方式相似的形，也就是 西安科技大学硕士学位论文 说，分形一般具有自相似性，其中也包括一个对象的部分与整体具有自仿射变换关系的相 似。根据上面的定义，可以得出，分形具有下面5 个基本特征或性质：形态的不规则性； 结构的精细性；局部与整体的自相似性；维数的非整数性；生成的迭代性。分 形几何与大自然中的各种形态是具有非常紧密的联系的，如天空的云团、植物的叶脉、 海岸线的形状等，可以看出分形的形态是极其不规则的，并且具有非常精细的结构。如 著名的k o c h 曲线等，无论把其放大多少倍，都能看到其局部与整体的相似性及精细性【4 1 。 分形理论已广泛应用于各个领域，如：数学、物理、化学、材料科学、生物与医学、地 质和地理学、地震和天文学以及计算机科学等。因此，分形理论的研究具有重要的理论 意义，又有广泛的实际应用价值。 计算机艺术是随着软件的发展而新兴的艺术形式，计算机图形学中分形研究的深入 发展和计算机在艺术设计中的应用，使得艺术家可以用更多的方式来进行创作，也给图 形设计带来了新的元素，分形几何使我们可以用简单的计算方法得到复杂图形【5 j 。 分形图形具有计算机逻辑语言与艺术造型形式耦合的特征，是既不能用经典几何方 法描述，也不能用传统绘图方式表现的“不规则”图形。它具有形态的不规则性、结构的 精细性、局部与整体的自相似性、维数的非整数性、生成的迭代性等【6 】。所以分形图形 错综、多变、绚丽和富于表现，在图像设计上具有重要的应用价值。 世界上的图形千变万化，绚丽多彩，大部分图形都是结构复杂的，结构简单规整的 图形很少，除了三角形，四边形等用e u c l i d 几何学可以绘制出来的，大部分是很难用手 工绘制出来的，分形图形是其中的一种。现在随着计算机的发展，这类图形也可以用计 算机生成，在分形几何诞生以来，这一部分的研究一直很热，科学家和图形工作者已经 用计算机生成了许多经典的分形图形，如c a n t o r 集；k o c h 曲线；s i e r p i n s k i 集；j u l i a 集 m a n d e l b r o t 集等，还有一些根据分形理论生成的图形，也可以根据分形几何理论自己设 计算法用计算机生成。分形图形应用的范围越来越广泛，可以为家具设计、装饰图形设 计、广告设计等领域提供广阔的图形选择空间。鉴于此，本文以分形理论作为理论基础， 使用v i s u a lb a s i c 6 0 语言做了一个分形软件，生成各种分形图形，再进行图形的特效或 合成处理后应用到实际生活当中去。 1 2 本课题已有的研究成果与现状分析 1 2 1 分形理论在图案设计中的应用研究 分形理论是近一、二十年才发展起来的一门新的理论，因而目前仍处于发展之中， 自然科学领域( 如物理、化学、地球物理学几生物学等) 中的分形学术论文不断增加，社 会科学领域涉及分形的论文和书籍也越来越多了。有关分形的国际会议及各种专题讨论 会有增无减。国际学术刊物“混沌、孤子和分形”( c h a o s ，s o l t o n sa n df r a c t a l s ) 和“分形 2 l 绪论 学( f r a c t a l s a ni n t e r d i s c i p l i n a r yj o u r n a lo nt h ec o m p l e xg e o m e t r yo f n a t u r e ) 先后也正 式创刊。 分形理论越来越多的被应用到计算机图形学领域。将分形几何学引入到计算机图形 学中，为非规整形状图形的计算机描述和处理提供了有利工具，成为目前研究世界物质 模型的一个扩展。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形， 使我们在仿真模拟方面前进了一大步【7 】。由于分形的自相似性，跨越不同尺度的对称， 意味着图案的递归在越来越小的尺度上产生细节，形成无穷无尽的精致结构，一定程度 上超越了人脑的思维，是一种计算机艺术。计算机分形图案不论在深度还是广度上都是 无限的。分形艺术又不是随意的，基于数学产生的分形的表现是具有决定论本质的，使 用相同的图像产生步子，将产生相同的结果，轻微的改变输入参数在运行中通常导致并 不轻微的改变，只需要很少的信息量，就可以得到绚丽的图案1 8 j 。 分形几何应用在图案设计中已经成为了一个研究热点，基础图案一般是由单个纹样 来显示的，单个纹样的拼接得到二方连续纹样、四方连续纹样等图案形式，图案设计是 用手绘或者计算机程序绘制。因此，其设计是格式化和定型的。利用分形几何知识进行 图案设计就可以改变这样一种传统模式，创造出完全由计算机实现的新型的设计，从而 使图案设计走进一个用数学指令进行的新时代一j 。 1 2 2 分形图案的计算机生成 我, f i g i h 道要用计算机来生成图形，必须遵循一定的规则，即一定的算法。虽然分形 理论是用来解决非线性科学中的一个重要理论，具有无规则性和复杂性，但自相似原则 和迭代生成原则是分形理论的基础，所以可以设计一些算法在计算机上生成，比如说是 分形的递归算法；分形的字符串的替换算法；分形的迭代算法；分形的逃逸时间算法【4 】 等。应用这些计算机算法，都可以生成绚丽多彩的分形图形。可以这样说分形图形与计 算机应用是一个完美结合。 1 2 3 国内外在计算机分形图形方面的研究状况 上面已经说了，分形图形可以用计算机来生成，这得益于分形理论的理论基础即自 相似性和复杂性。 自从b b m a n d e l b r o t 创始分形几何以来，分形理论研究开始风靡全世界，中国也很 早就有人研究这方面的工作，翻译和出版了外文版的分形几何学和其他相关支持学科。 也诞生了许多在这方面有很深造诣的专家，如马克明、文志英、申维、苑玉峰、谢和平 也蟹 号手o c a n t o r 集、k o c h 曲线、s i e r p i n s k i 集、j u l i a 集、m a n d e l b r o t 集、牛顿法迭代分形、 l s y s t e r m 分形等都是经典分形图形。吴运兵在他的硕士研究生毕业论文里都对这几种 3 西安科技大学硕士学位论文 分形图形设计了相应的算法并用v c + + 语言生成l l 。文献【8 j 选用不同的生成元得到了不 同的分形图；选定若干仿射变换，将整体形态变换到局部，并且迭代下去，甚至引入三 个向量表示空问系统，通过初始点的选择和迭代次数的限定得到了l 系统绘制的 c a y l e y 树；通过在复平面上的迭代将局部进行无数次的放大得到了j u l i a 集和 m a n d e l b r o t 集，最后为了使得到的图形更加美观，可以使用图形处理软件p h o t o s h o p 或 3 dm a x 来进行色彩、亮度和层次调整到满意为止。文献u l j 苏州大学数学科学学院的杨 松林讲师在复平面上用迭代式z = ( z 。) 经过4 次牛顿迭代得到了j u l i a 集。 文献【l2 j l l 3 j 给出了一种绘i l v o nk o c h 曲线的方法一非递归法，具体做法是把单位线 段去掉1 3 ，代之以底边在被除去线段上的等边三角形的另外两边，以后每一步迭代都是 把上次图形中的每条折线段去掉中间的1 3 ，代之以类似的等边三角形的另二边。可以很 清楚地了解到，这种曲线的生成元是“ ”曲线由把第一折线段反复迭代成缩 小比例为1 3 的生成元而成。只要约定好记号，把生成元的构造用字符串表示出来，并且 反复迭代，就可以直接得到我们需要的曲线。文献【1 4 j 给出了经典分形图形s i e r p i n s k i 地毯 的实现算法，在这里作者取n = 4 ，s i e r p i n s k i 地毯实际上就是将以下4 个压缩比为1 4 的压 缩函数，s 1 - - x 4 $ 2 - - x 4 + ( 3 4 ，0 ) $ 3 - - - x 4 + ( 3 4 ，3 4 ) $ 4 - - x 4 + ( 0 ，3 4 ) 无限地作用于单位j 下方形 f 0 上而生成的满足开集条件自相似集的交集。 s i e r p i n s k i 地毯的构造过程可知，为了模 拟s i e r p i n s k i 地毯，必须绘制出m 从1 到的每一级构造中的4 m 个小正方形。绘制出m _ 0 0 时的若干个小正方形是不可能的，而当m 的值大到一定程度时，所绘制出的图形己接近 甚至等价于s i e r p i n s k i 地毯。已知所要绘制的正方形左上角和右下角的坐标，通过使用函 数r e c t a n g l e 就可方便的将其绘制出来。 从前面的介绍可以看出，国内在分形图形的研究取得了一些重要的成果。分形理论 首先是由b e n o i tb m a n d e l b r o t l 9 7 5 年首先提出的，所以国外开展分形图形的研究要早于 国内的研究，取得了一些丰硕成果。 文献【l5 j 给大家介绍了理解分形几何需要掌握的一些数学知识和应用，从中可以看出 要真正理解分形理论没有很好的数学基础是不可能的。分形理论有许多的应用，文献 【1 6 】【1 7 】【1 8 】【1 9 1 1 2 0 】【2 1 1 介绍了分形理论在各方面的应用。其中文献【1 6 】【1 7 】【1 9 1 介绍了分形理论在艺 术设计中的应用研究，给人一种非常好的美感；文献【l8 】介绍了分形理论和分形技术在非 洲的一些应用状况，如非洲殖民建筑用到了分形几何，在非洲跨文化对比中也用到了分 形理论。文献f l9 】阐述了分形理论在隐均匀模型的应用；在文献】中作者归类和描述了一 种三重构维分形树的方法空间填充和自我关联。文献【2 2 】作者向大家详细介绍了一些 分形图形的编程技巧和方法。在( ( c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l s ) ) 这本杂志上有许多有关 分形理论和分形图形的文章，如s a i e 、e f f a t 发表在其上的a a n o m a l o u sd i f f u s i o no n f r a c t a lo b j e c t s ) ) 2 3 】；a t t i l i om a c c a r i 的( ( c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l si nh i d d e ns y m m e t r y 4 l 绪论 m o d e l s ) ) 1 1 9 1 ，c f r a c t a la n dn o n f r a c t a lp r o p e r t i e so f t r i a d i ck o c hc u r v e ) ) ；还有( ( e n g i n e e r i n g f r a c t u r em e c h 越c s ) ) 这本杂志上也有一些有关分形理论和分形图形的文章。国外也有许 多的分形专家，如分形几何的创始人b b m a n d e l b m t ，俄罗斯出生的c a l l t o r ，波兰数学 家w a e l a w s i e r p i n s k i ，意大利数学家g i u s e p p e p e a n o 等。总的来说在国外分形理论比国 内应用的要更广泛，应用的更早。 1 3 分形图形软件的计算机编程语言及简要介绍 设计一个分形图形软件需要至少掌握一种计算机语言，再根据分形图形的特点设计 一定的算法，具备这两种前提条件再具有一定编程能力的人都可以在计算机上做出丰富 绚丽的分形图形。 文献【2 4 】【2 5 】做的分形图形软件使用的就是目前非常流行的v i s u a lc + + 6 0 语言。v i s u a l c + + 6 0 是m i c r o s o f t 公司开发的基于c c + + 的集成开发工具，它是v i s u a ls t u d i o 中功能最为 强大、代码效率最高的丌发工具。v i s u a lc + + 6 0 是很好的可视化编程工具之一，它具有 很好的用户界面的开发与图形的绘制。 文献2 6 】【2 7 1 中分别在计算机上生成的k o c h 曲线和双曲迭代函数系统i f s 吸引子用的 是c 程序语言。c 语言是目前使用最广泛的一种程序设计语言，是软件开发的主流语言， 它具有丰富的数据类型、提供了灵活的数据结构和控制结构。c 语言的处理功能较强， 目前程序效率高，可移植性好，既有高级语言的优点，又能完成汇编语言的大部分功能 2 8 1 o 肖启莉在文献【1 4 】中s i e 印i n s k i 地毯的实现编程语言用的是c + + 语言。c + + 是在c 语言 上引进了“类”的概念的“c 语言”。c + + 既兼容以前c 语言的过程程序设计，又支持面向对 象的程序设计。其主要特点是：允许单继承和多继承，支持数据封装；允许函数名和运 算符重载，支持动态联编；操作灵活、可移植性强、运算效率高【2 9 】【3 0 1 。 另外孙博文编著的分形算法与程序设计- v i s u 甜b a s i c 实现的专著里分形图的计 算机算法构造和实现用v i s u a lb a s i c 语言编写源代码【3 1 1 。v i s u a lb a s i c 是美国微软 ( m i c r o s o f t ) 公司推出的w i n d o w s 环境下的软件开发工具，使用v b 可以既快又简单地开 发w i n d o w s 应用软件。在v b 中引入了控件的概念，v b 把这些控件模式化，并且每个控 件都有若干属性来控制其外观、工作方法。这样，采用v b 语言无需编写大量代码去描 述界面元素的外观和位置，而只要把预先建立的控件加到屏幕上。v b 在原b a s i c 语言的 基础上进一步发展，至今已包含了数百条语句、函数及关键词，其中很多与w i n d o wg u i ( g r a p h i c su s e ri n t e r f a c e ) 有直接关系，所以v b 有很强的图形开发能力【3 2 j 。本课题也是 采用v b 语言来绘制分形图形，再通过色彩调整，图形合成应用在服装设计、家居设计 等领域。 其他的可用来编写分形算法的程序语言还有d e l p h i 语言、j a v a 语言【3 3 】【3 4 1 。d e l p h i 是 5 西安科技大学硕士学位论文 著名的b o r l a n d 公司开发的可视化软件开发工具，被称为第四代编程语言。具有简单、高 效、功能强大的特点【25 1 。j a v a 由s u n 公司开发，是一种纯面向对象语言，运行在网络浏 览器上。n e t s c a p e 和i e 浏览器都迅速地把这种技术整合其中。j a v a 传播得极快，其主要 特点是在j v m 上运行，语言简单，多线程，分布式，解释执行，可在不同的操作系统层 面移植，能够在大型机上运行i 3 4 1 。 值得说明的是，单纯用这些语言编写的分形软件生成的分形图形可能不太完美，这 就需要借助于其它辅助的图形软件，如二维平面处理软件p h o t o s h o p ，三维处理软件 3 d s m a x ，平面处理可以调整色彩、图层、透明度等，还可以进行简单的扭曲、放大、透 视和滤镜等变换。为了得到更加真实的空间效果。可以借助三维处理软件进行特效处理， 得到理想的艺术图案【8 j 。 1 4 分形图案的应用及存在的问题 我们在前面已经说了分形图形可以应用在许多方面，如分形服装、分形壁画、分形 挂历等，确实分形图形应用在这些方面可以给人耳目一新的感觉，但我们在现实生活中 并没有看到许多的分形图案，分形图案并没有深入人心。更多的是应用在艺术设计中。 而在跟我们大家接触最多的服装图案、家具设计图案等并没有更多的以分形图形作为图 案的选项，家居设计中普遍采用横竖交叉的直线或曲线形成“格子”，比如用格子图案应 用在门、沙发套、床罩、枕罩；还有花卉图案、几何图形、插图，这些图形成为近几年 家居图案的流行元素。在服装图案设计中，设计者也基本没有采用分形图形作为他们的 服装外表图案，在儿童服装中采用c a r t o o n 形象作为服装图案，其他普通的服装要么用色 彩来替代图案要么用简单的几何图形来装饰。就是最追求时尚元素的舞蹈服装和演艺服 装也很少用到分形图案。 分形图形没有深入生活的一个重要原因是分形图形的理论、建模、编程不为一般设 计人员所熟悉。虽然现在有许多专门产生分形图形的软件，但只是局限于对一些常见分 形图形的绘制，但要达到满意的效果以应用于实际生活还需要借助其它的图形处理软 件，i ：l ! t h p h o t o s h o p 、3 d s m a x 等，现在还没有分形图形绘制与图形处理结合在一些的分 形软件，另外分形图形结构比较复杂，很难用手工在样品上绘制。虽然服装代表着一种 场合和一个人的气质，每一种服装和每一个场合都要由特定服装色彩和图案来衬托，但 把分形图形应用在演艺服装或是舞蹈服装上是完全合适的，因为这些服装代表着一种高 贵的气质和追求视觉的美感，很有给人眼前一亮的感觉，非常符合观众心灵感受。 1 5 本文主要的研究工作 依据当前分形图形在服装图案设计、家居设计等应用领域的现状和研究成果分析， 本文主要进行了如下的研究工作： 6 1 绪论 ( 1 ) 分形图形的计算机生成算法设计。参考前人在这一领域的研究成果，前人在 分形图形设计上已经给出了许多算法，比如分形的迭代算法，分形的递归算法；分形的 字符串的替换算法；分形的逃逸时间算法等。对于迭代算法可以设想找一种特定的迭代 法，本课题用到的是牛顿迭代法。 ( 2 ) 设计分形生成软件的中文用户界面。用牛顿迭代的数学原理，生成牛顿迭代 分形图和一些经典的分形图，并把这些图形保存到电脑中作进一步处理。 ( 3 ) 将生成的分形图形与别人已经做好的分形图形结合起来，设计分形图形处理 中文界面，对分形图形进行进一步的处理( 特效，合成，旋转) 以实现更实用的图形， 更好的应用于实际领域。 7 西安科技大学硕士学位论文 2 分形理论的基本知识 本章主要给出分形理论发展的三个阶段，分形的定义和基本特征，分形维数定义和 计算，分形几何与欧氏几何的区别等。 2 1 分形几何发展的三个阶段【3 5 】 第一阶段为1 8 7 5 1 9 2 5 年，在此阶段上人们已经认识了几类典型的分形集，并力图 对这类几何与经典的欧式几何的差别进行描述、分类和刻画。1 9 世纪初，人们已经能区 别连续和可微的曲线，但却普遍认为连续而不可微的点应是极少的。1 8 7 2 年，维尔斯特 拉斯证明了一种连续函数在任意一点均不具有有限或无限导数，即w e i e r s t r a s s 函数。冯 科赫于1 9 0 4 年通过初等函数方法构造了如今被称为v a nk o c h 曲线的处处不可微的连 续函数，并讨论了该曲线的性质。由于该曲线的构造极为简单，改变了人们认为连续不 可微曲线的构造一定非常复杂的这样一种看法。特别重要的是该曲线是第一个人为构造 出的在结构上具有局部与整体相似的例子。p e a n o 于1 8 9 0 年构造出填充平面的曲线，这 一曲线出现后，人们提出应正确考虑以前的长度与面积的概念。c a n t o r 于1 8 7 2 年引入 一类现今称为c a n t o r 三分集的全不连通的紧集。在当时，人们认为这类集合在传统的研 究中是可以忽略的，但是进一步的研究结果表明，这类集合在像三角级数的唯一性这样 重要问题的研究中不仅不能忽略，而且起着非常重要的作用。p e r r i n l 9 1 3 年对布朗运动的 轨迹作了深入研究，指出该曲线不具有导数。他注意到：一方面自然界的几何是混乱的， 不能用通常形式的欧氏几何或微积分中那种完美的序表现出来；另一方面它能使人们想 到数学的复杂性。m a n d e l b r o t 在总结分形几何发展历史时指出，分形几何具有下列两种选 择性特征：一是在自然界的混沌中选择问题，这是因为描述整个混沌是一个既无意义又 无可能的主张；另一个是在数学中选择工具。这两种选择逐渐成熟并由此产生出新的东 西，在不受控制的混沌领域和欧氏几何之问，产生了一个具有分形序的领域。由于非常 “复杂”集合的引入，而且长度、面积等概念必须重新认识，从而产生了m i n k o w s k i 容度、 h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数。这些概念指出，为测量一个几何对象，必须依赖于测 量方式以及测量所采取的尺度。在分形几何发展的第一阶段，人们已提出了典型分形对 象及相关问题，并为讨论这些问题提供了最基本的工具。 第二阶段大致为1 9 2 6 年至1 9 7 5 年，这一阶段更为系统、深入研究深化了第一阶段 的思想，逐渐形成了理论，并将研究范围扩大到数学的许多分支中。b e s i c o v i t c h 等人研 究了曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构以及在数论、调和分析、几何测度 论等方面的应用。这些研究结果极大的丰富了分形几何的理论，同时维数理论也得到了 进一步发展并同臻成熟。1 9 2 8 年至1 9 5 9 年先后引入了b o u l i g a n d 维数、覆盖维数、熵 8 2 分形理论的基本知识 维数。刻画集合“大小”的容量及其容量维数亦引入到分析中来。同时，维数的乘积理论、 投影理论、位势方法、网测度技巧、随机技巧均先后建立并成熟，使得分形几何的研究 具有自己的特色与方法。 第三阶段为1 9 7 5 年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学 科的阶段。在此之前虽取得许多重要成果，但主要还是局限于纯数学理论的研究，与其 它学科未发生联系，同时物理、地质、天文和工程学等学科已产生大量与分形几何有关 的问题，迫切需要新的思想与有力的工具来处理。正是在这种形势下，m a n d e l b r o t 以其 独特的思想，系统、深入、创造性的研究了海岸线的结构、具强噪声干扰的电子通讯、 月球的表面、银河系中星体的分布、地貌的生成、湍流的几何性质等典型的自然界中的 分形现象，取得了一系列令人瞩目的成功。m a n d e l b r o t 将前人的研究进行总结，集其大 成，于1 9 7 5 年以“分形：形状、机遇和维数 为名发表了他的划时代专著，第一次系统 地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。此专著的发表标志着分形几何作为一门 独立的学科正式诞生。自1 9 7 5 年以来，分形理论无论是在数学基础还是在应用方面都 有快的发展。在维数的估计与算法，分形集的生成结构，分形图形的计算机生成，分形 的随机理论等方面获得较深入的结果，并在自然科学、材料科学和工程技术中取得巨大 成功。 2 2 分形定义及基本特征 m a n d e l b r o t 在对1 9 世纪下半叶到2 0 世纪上半叶出现的当时被人们形象的称为“数 学怪物”的数学实例及许多物理和经济现象进行研究后，终于创立了这门重要学科一分 形几何( f r a c t a lg e o m e t r y ) ，f r a c t a l 这个词是m a n d e l b r o t 创造的，来源于拉丁文f r a c t u s 其英文意思是b r o k e n 。19 7 5 年，m a n d e l b r o t 在巴黎出版了发文著作( ( l e so b i e c t sf r a c t a l s ： f o r m e ，b a s a r de td i m e n s i o n ) ) ，1 9 7 7 年他在美国出版了其英文版( ( f r a c t a l s ：f o r m ，c h a n c e ， a n dd i m e n s i o n ) ) 1 2 j ，标志着分形理论的正式诞生。同年，他又出版了( ( t h ef r a c t a lg e o m e t r y o f n a t u r e ) ) ，但这三本书对社会的影响并不大，但到了1 9 8 2 年，随着( ( t h ef r a c t a lg e o m e t r y o f n a t u r e ) ) 二版的问世，在美国乃至欧洲，迅速形成了“分形热”。那么究竟什么是分形 呢? 1 9 8 2 年m a n d e l b r o t 对分形的定义是“af r a c t a li sb yd e f i n i t i o nas e tf o rw h i c ht h e h a u s d o r f f - b e s i c o r i t c hd i m e n s i o ns t r i c t l ye x c e e dt h et o p o l o g i c a ld i m e n s i o n ”，即分形是一个 其豪斯道夫贝西科维奇维数严格大于其拓扑维数的集合。这个定义包括一大类具有 分数维的分形集，但忽略了某些维数为整数的分形集。1 9 8 6 年m a n d e l b r o t 又给出了分 形的另一个定义“af r a c t a li sas h a p em a d eo f p a r t ss i m i l a rt ot h ew h o l ei ns o m ew a y ”，即分 形集具有某种白相似的特征，有很多分形集没有包括其中。就像对生命的定义一样，迄 今为止对分形尚未有严密的定义，但具有如下的几何特征【3 6 】【3 7 】： 9 西安科技大学硕士学位论文 ( 1 ) 分形集具有精细的结构，即是说在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节。 ( 2 ) 分形集是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描 述。 ( 3 ) 分形集通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可以是统计 意义上的。 ( 4 ) 分形集在某种意义下的分形维数一般大于它的拓扑维数。 ( 5 ) 分形集在多数令人感兴趣的情形下，以非常简单的方法定义，或许以递归过 程产生。 需要说明的是，并不是所有的分形都满足上面的所有性质，有的满足其中的某条 或几条性质，或对某个性质有另外。自然界和各门应用科学中涉及的分形绝大部分是 近似的。当尺度缩小到分子的尺寸，分形性也就消失了，严格的分形只存在于理论研 究之中。 分形一般分成两大类，确定性分形和随机性分形。如果算法的多次重复仍然产生 同一个分形图，这种分形称之为确定性分形。确定性分形具有可重复性，即使在生成 过程中可能引入了一些随机性，但最终的图形是确定的。随机分形指的是尽管产生分 形的规则是确定的，但受随机因素的影响，虽然可以使每次生成过程产生的分形具有 一样的复杂度，但是形态会有所不同。随机分形虽然也有一套规则，但是在生成过程 中对随机性的引入，将使得最终的图形是不可预知的。即不同时间的两次操作产生的 图形，可以具有相同的分维数，但形状可能不同，随机分形不具有可重复性。 2 3 分形维数定义及计算 2 3 1 分数维 在欧氏空间中，人们习惯把空问看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲 线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习 惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等 理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1 9 1 9 年，数学 家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维 数为整数的界限