（信号与信息处理专业论文）相干信源的doa估计算法研究.pdf

摘要 相干信号的【) q a 估计是阵列信号处理中的一个研究热点，也是阵列信号处理中的一个 重要研究课题，也是雷达、声纳、通信等领域基本任务之一。为了解决相干信号的处理问 题，各国学者提出了不少算法，这些算法大致可分为两类：一类以牺牲有效阵元数来换取 信号的4 q 侣关洼，即先对阵列信号进行去相干的预处理，而后应用普通的各种算法以获耿 精确的到达角，如空问平滑法，前后向预测投影矩阵法，数据矩阵分解法。另类是不损 失阵列孔径而捌用移动阵列的方法或采用频率平滑法处理相干信号。针对第一类算法， 作者在研究自u 人成果的基础上提出了种改进的空间平滑去相关算法，它充分利用了子阵 的互相关f 赢鼠，在一般条件f ，浚算法的分辨概率高于同类算法，特别是在信噪比低的时 候，该算法有着优越的估计性能。为了验证i 新申算法的估计性能，在这里作者给出了很多 仿真结果并把这种算法与其它的算法进行了比较。 关键词：d o a 相关信号阵歹岵号处理空问平滑 a b s t r a c t t h ed o a ( d i m c d o n - o f - a n i v a l ) e s t i m 碰o no fc o h e r e n ts i g n a l si sar e s e a r c hh o t s p o ta n d i m p o r t a n tr e s e a r c hs u b j e c to f a r r a ys i g n a lp r o c e s s i n g , i ti sa l s oo n e0 f 山e b a s i ct a s ko f r a d a r , s o n a r c o m m u n i c a t i o na r e a sa n ds oo n i no r d e rt os o l v et h ep r o b l e mo f 妞d o ae s t i m a t i o no f c o h e r e n t s i g n a l s ，r e s e a r c h e r sa l l o v e rt h ew o r l dp r o p o s e dal o to fa l g o r i t h m s , a l lt h ea l g o r i t h m sc a nb e d e p a r t e dt w ot y p e s ：t h ef i r s tt y p ec a r ld e c r e a s et h er e l a t i v i t yo f c o h e r e n ts i g n a l sb ys a c r i f i c m gt h e n u m b e r o f a r r a y s , t h a t i s p m p r o c e s s i n g t h ec o h e r e n ts i 印a l s t h e n e s t i m a t e t h e p r e c i s e d o a w i t h t h e c o m m o na 【g o r i s u c ha st h es p a t i a ls m o o t h i n g , f o r w a r db a c k w a r dp r e d i c t i o np r o j e c t i o na n d d a t am a t r i xd e c o m p o s i t i o n a l g o r i t h m t h eo t h e rt y p el q e e d n td e c r e a s et h ea p e r t u r eo f t h ea r r a y s ， w h i c hs h i f tt h ea r r a y so rm a k eu s eo f f r e q u e n c ys m o o t h i n g l od e c r e a s et h er e l a t i v i t y a i ma tt h e f o r m e r , t h ea u t h o rp r o p o s e sa ni m p r o v e dw e i g h t e ds p a t i a ls m o o t h i n ga l g o r i t h mf o rd o a o f c o h e r e n ts i l g l a l so nt h eb a s i so f o t h e r s r e s u l t sw h i c hc a n f u l l yu t i l i z et h ec o r r e l a t i o n so f t h ea r r a y o u t p u ta n dp r o d u c eam o r es t a b l ee s 缸n a t eo f t h ec o v a r i a n e en a a l r i x i nt h ec o m m o n s e n s e , t h e r e s o l u t i o n p r o b a b i l i t y i s h i g h e rc o m p 捌w i t ht h ec o m m o na l g o r i t h m ，e s p e c i a l l yw h e nt h e s n g ( s i g l l a ln o i s er a t i o ) i sl o w e r t h e r e a r eal o to f s i m u l a t i o n si nt h i sp i p 瓯s i m u l a t i o nr e s u l t sa r e p r o v i d e d t o v e r i f y t h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n k e y w o r d s ：d o a c o h e r e n ts i g n a l s a r r a ys 逗n a lp r o c e s s i n g s p a t i a ls m o o t h i n g t e c h n i q i l e 创新性声明 v 6 9 5 7 6 5 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽 我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果；也不包古为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中做了明确的 说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：垄包垂i - 揖日期迎皇：f 口 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻 读学位期问论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论 文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复 印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段f 5 i 存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定。) 本人签名：纽凰堑 导师签名： 同期坦堕：z 2 日期塑墅：! 够 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 空f 刚谢占计技术是近3 0 年来发展起来的- - f 3 新兴的空域信号处理技术，也可以说它是 在波束形成技术，零点技术和时域谱估计技术的基础匕发展起来的种新技术，其主要目 标是研究提高在处理带宽内空f 白j 信号( 包括独立、部分相关和相干) 角度的估计精度、角度 分辨力和提高运算速度的各种算法。对空间信号到达角的估计最早的方法是采用机械波束 扫描的方法，这种方法在速度上和精度上都满足不了实际的需要，波束形成技术的研究， 在这些方面有了突破性的进展。但是，在目前空间信号很可能存在多源( 在处理带宽内) 信 号，波束形成所给出的角度误差将会增大，甚至将非所需的干扰信号误认为所需信号的到 达角。因此，存在多源信号时，对所需信号到达角的估计就成为迫切的课题。以抑带忏扰 信号为目的的零点技术为解决多源信号到达角的估计奠定了理论基础。它对此条件下角度 估计精度提高了许多，提高的程度与f 车列波束宽度和干扰入射角有关。若刊瞻号与所需 信号的入射角之差小于波束宽度时，虽然，可以使干扰信号处于零点位置，但主瓣指向已 偏离了所需信号到达角的方向，引起角度估计误差增大，这就是常晚的瑞利限( r a y l e i g h l i m i t a t i o n ) 【1 1 ，而天线的波束宽度与阵列的线长度有关。要区分开靠得比铰近的所需信号 与干扰，势必要加大天线的机械尺寸( 孔 鸷。为了实现在天线尺寸较小的条件下，区分波 束宽度内的两个信号，这就需要寻求超分辨算法。 阵列信号处理是近门 十年发展起来的 中信号处理技术，其目的是通过对由传感器阵 列接收f 言号的处理来获取信号的一些参数，如波达方向、频率等。信号的波达方向估计是 阵列信号处理的个重要研究内容，其应用涉及到通信、雷达、声纳、地震勘探等领域。 常规的或者说经典的时j 敷空域) 的频谱( 角度瀚分析是类线性谱估计，这种方法的缺点是 其分辨率受到由阵列孔径决定的瑞利限的限制。为了突砌塞个限制，早在6 0 年代，在时域 谱分析中采用非线性谱估计方法实现了频率的超分辨，如由c a p o n ( 1 9 6 9 ) 提出的极大似然 估计、b u r g ( 1 9 6 7 ) 提出的最大熵法、p i s a r e n k o ( 1 9 7 3 ) 提出的谐波分解法。为了提高角度分辨 率，空域谱分析也必然要采用类似时域谱估计中的非线性处理，自上个世纪八十年代以来， 阵列信号处理得到了迅速发展，出现了大量的超分辨阵歹吖言号处理算法。如极大以然估计， 最大熵估计( 线性预测) 和自相关矩阵的持征分解法，其中r o 8 c i _ 1 1 1 i t ( 1 9 8 6 年) 提出的 m u s i c 算洌4 标志着阵歹吖言号处理进 一个新的时代。浚算法突破了由阵列孔径确定的瑞 利限的限制，是一十超分辨算法。之后，r r o y 等人( 1 9 8 9 年) 提出了e s p r i t 方洌”， 该方法利用信号子空间的旋转不变踌牲来估计信号参数，避免了m u s i c 算法因需要进行 维搜索而带来的大量计算。随后又有多种新的算法，最小范数法( m i n - n o r mi i 幻，投影矩 相干信源的d o a 估计算法研究 矩阵和矩阵分解法等。 在阵列信号处理中有许多研究热点，如相关信号的方向估计，到达接收阵列的信号源 数目的估计，接收通道的不一致性以及阵元1 揪差对参数估计的影响，色噪声条件下的 参数估计等。其中，相关信号的方向估计是个比较难以解决而又具有重要意义的问题。 因为若空问存在相干信号( 如多径效应及回答式干扰) ，对时域频率谱估计影响不很明显， 但是，对于空域角度估计将带来很大的误差，甚至无法估计信号的到达角。在实际环境中， 由于地面环境的复杂多变，多径的影响是不可避免的，故相刊言号的方向估计是阵列信号 处理中的一个重要研究内容，也是雷达、声纳、通信等领域基本任务之一。 1 2 相干信号的d o a 估计的历史与现状 为了解决相干信号的处理问题，各国学者提出了不少算法，这些算法大致可分为两类： 弓色以牺牲有效阵元数来换取信号的不相干性，即先对阵列信号进行去相干的预处理，而 后直用以上各种算法以获取精确的到达角，如平滑技术，前后向预测投影矩阵法，数据矩 阵分解法。另 廷是不损失阵元数而币岍j 移动阵列的方法或采用频率平滑法处理相干信 号。第一类主要的算法包括我们常见的如空间平滑算法和频率平滑算法，后者主要包括旋 转子空间不变技术和加权子空间拟合技术。下面就这两类算法的中心思想和发展历程简单 介绍下。 相干信号的d o a 估计可e 糙溯到上个世纪八十年代，也就是超分辨算法迅速崛起的那 几年。虽然在此之前也有很多高分辨的算法，但是这些算法只自獬决部分相关的问题，当 多个信号完全相干时，这些算法的性能就会严重降低甚至完全失效。历史匕最早提出空间 平滑概念的是e v a n se ta i f 4 1 1 5 i ，后来t j s h a h 和 lw a x l 6 1空间平滑算法进行了完善并 且对相干的信号用基于特征分解算法来仿真。空间平滑算法的基本思想是将等距线阵分成 若干个相互重叠的子阵列，各子阵的阵列流形相同，则各子阵的协方差矩阵可以进行平均 运算，实现去相干。1 9 8 9 年s u p 订l a 一对这种算法进行了战略f 生的改进，在之前的空间 平滑算法只是对阵列进行前向平滑，在这里，作者首次提出了后向平滑的概念，把前面所 述的前向平滑的子阵进行共轭侄0 置后形成了后向空间平滑，再与前向平滑结合形成了种 新的算法一一前后向空问平滑算法，它可以估计出2 n 3 ( n 是等距线阵中阵元的个数) 个相干信号g l 。继s u p i l l a i 之后很多学者针对这种前后向空间平滑算法进行了改进“， 最具有代表性的是在1 9 9 1 年w e i x ud u 等人i “1 提出的改进的前后向空间平滑算法。这在空 间平滑算法的历史上又是个飞跃，因为在此之前所有的无论是前向平滑还是前后向空间 平滑算法罩面，都没有提到有关各个子阵间的互相关售鼠，而这罩不仅没有忽略子阵的互 相关信息，而且对色们进行j 充分的利用，在信噪比较低的时候，算法性能优于前面提到 的算法。前面提到的空间平滑算法只能通用于均匀的等距线阵，而没有办法用到圆阵中去。 1 9 9 4 年m w a x | 1 2 】等人提出了一种把阵元空间的均匀圆阵转换成黻空恻的虚拟均匀线阵， 第一章绪论 此虚拟均匀线阵与实际均匀线阵一样具有平移不变性，可以进行空间平滑去相干。这样就 可以把前述的只能用于均匀等距线阵的算法应用到均匀圆阵中去了。开辟了历史上圆砗_ 去 相干的新纪元。在1 9 9 6 年k u n d u d 提出了一种修j 下m u s i c 算法，其实质就是把前面所 说的d u 后向空间平滑算法中的子阵的个数取为1 ，即子阵中阵元的个数与总的阵元个数取 同样多，然后共轭取倒置就形成了修丁fm u s i c ( m m u s i c 算i ：去) ，这种算法的估计性能与 被估计的角度有很大的关系。由于子阵的个数与总的阵列的个数相同，这种算法最大的优 点就是它不会减小阵列的孔径，没有孔径损失，在大多数情况下，它的估计性能要优于前 后向空阳j 平滑算法。日口面提到的仅仅是在一维空间的角度估计，后来有些学者把它拓展到 二维空州”1 ，在文i 裂”1 中c h e r i a ne m a t h e w s 在把阵元空间的均匀圆阵转换到均匀虚拟线阵 的基础上，提出了均匀圆阵中的二维角度估计，在此基 j 上，把以前后向空间平滑为代表 的空问平滑以及在此基础上改进的算法都可以用到二维空间的均匀圆阵中去。在文酬”中 提出的算法与文献中的算法有异曲同工之妙，选种算法也是充分利用了子阵的互相荆言 息，只不过是采用了另外一种方式一一加权，利用加权，使各个子阵的自相关信息和互相 关信息结合起来，然后进行叹平均运算，并以总协方差的秩为准则，推导出了最优的加权 矩阵。这种算法是在加权子空间拟合技术的基础匕发展出来的，近几年来，特征结构法有 了较大的发展，其中最突出的处理方法之一便是加权子空间拟合( w s d 技术。这种处理技 术不仅对非相干信号有效，而且对相干信号也同样是有效的。在参数估计的精度方面， w s f 方法要比其它特征结构法的性能好些，不过，其计算量也要大得多。实际上，w s f 方法为特征结构法和极刘以然估计的结合，其计算量比艟犬1 以然估计的也要大。这种方法 与极大 以然估计相比也有其自己的优点，那就是它的初始估计易于选取( 利用于空l e 分解- ， 易于得到信号源到达方向的初始值估计) 、信号源数目也易于确定。 早期的去相关的算法大都是以空间平滑算法和特征分解为基础的，近年来，有许多学 者提出了不需要空间平滑算法或者不需要特征分解的去相干算 去【1 5 1 【”，在文献 1 8 中提出的 是一种既不需要空间平滑也不需要特征分解的方法，这种被称为传播算子的算法，可以消 除不相干的未知噪声。文献”】提出了一种新的不用空间平滑的解相干方法，虽然文献中主 要是用于自适应干扰相消，但我们可以把它应用于相干信号的角度估计。主要是通过阵元 数据构造了个率萨方形的相关矩阵，理论与实际分析均表明该方法与空间平滑的解相干 能力是相同的，但是估计的方差更小一些。 相干信号在许多实际场合中是大量存在和非常多的，通信中的多径干扰问题就是其一。 而在信号高度相关或相干的情况下，包括m u s i c 方法在内的特征结构类方法性能急剧下 降。因此相干信号的高分辨测向问题是阵列信号处理技术应用于实际的一个关键和难题。 空间平滑算法对于大多数特征结构的相干处理均有意义，但空间平滑法属于降维处理技术， 以牺牲阵列孔径为代价来达到对相干信号的高分辨处理，并且仅限于等距线性阵列，不使用 于非均匀阵列和小阵列。相比较而苦w a x 的最大似然算法( m l ) 和v i b e r g 的加权子空 间拟合算法( w s f ) 不损失任何阵列孔径，而且具有优越的分辨率和改进性能，并能应用 相干信源的d o a 估计算法研究 于短数据、小阵列情况，因计j 被受重视，但是这两种方法均需要多维搜索，花费巨大的计 算量，因而实际应用比较困难，尤其在二维及多维的情况下。 l i3 本文的主要内容 本文主要针对相干信号源的角度估计问题进行了研究，在学习前入的基础上，提出了 自己的见解，本文的结构安排如下： 第二章主要介绍了阵列信号中角度估计的基本算法以及去相干的一些基本算法。指出 了传统的角度估计算法如m u s i c 在相干信源的情况下会失效，从而迫切需要去相干算法 的出现，于是有人提出了空间平滑的概念，丌辟了历史上有效去相干的新纪元。在本章中 还介绍了一种有效的去相干算法一修正i v l u s i c ，并对它的去相干能力进行了分柝，它的去 相干能力跟被估计的角度有关，在某些睛况下，它的去相干能力远大于前后向空间平滑算 法，而目对阵列孑1 名峻有损失。 第三章主要介绍了两种改进的空间平滑算法，并在此基础上提出了种新的改进的算 法。第一种算法是改进的前后向空间平滑算法这种改进算法最主要的优点是它充分利用 了接收据矩阵的信息。在以前的空间平滑算法中，都没有用到子阵间的互相关信息，甚至 没有人提出过这个问题，加上这部分被i 毫孀掉的信息后，去相干能力明显增强，远大于普 通的前后向空问平滑算法。第二种算法是在各个子阵的互相关矩阵加上个权值，其本质 也是用另外种方式利用了子阵的互相关矩阵，这种算法与第一种相比较运算复杂度较 低，但分辨性能皎差。综合以上两种方法，作者提出了种新的算法，它可以对子阵的互 相剩言息进行双重利用，既有加权，又利用了互相关，结果去相关能力大大增强，性能坑 于前面的任何一种算法，但美中不足的是：这种算法的复杂度与前面两种算法相比较大。 最后通过仿真实验与传统的去相干方法如前后向平滑、r 4 u s i c 还有前面提到的两种改进的 平滑算法在两信号是相干源的隋况下比较了它们的空间谱，并茁相同情况下的分辨概率随 信噪比的变化情况，仿真结果证明，在低信噪比时，新算法的分辨概率要远大于其他算法。 在本章中，作者还在总结前人经验的算法基础t ，把文献中主要是用于自适应干扰相消的 算法应用于相干信号的角度估计。主要是通过阵元数据构造了一个非f 方形的相关矩阵， 达到解相关的目的，理论与实际分析均表明该方法与空阳j 平滑的解相干能力是相同的，但 是估计的方差更小一些。 第四章主要是针对我固提出的具有自主知识产权的t d - s c d 姒的相干信源的角度估计 情况，把在第三章提出的新算法应用到这里。已经有人提出了把均匀圆阵转换成虚拟线阵， 使得把这种算法应用到均匀圆阵的t d - s c d m a 结构中去是水到渠成的事情了。在本章计算机 仿真中针对在理想情况把这种算法与传统的前后向空间平滑算法进行了比较，证明了它的 有效性。 第一二章d o a 估计的基本算法及空间平滑技术 ! 第二章d o a 估计的基本算法及空间平滑技术 2 1d o a 估计的基本算法及m u s i c 算法 为了提高阵列的角度分辨能力，近二十年来发展起来了一系列的阵列角度超分辨技术。 它是将时域信号谱估计向空域拓展而来的采用非线眭参数化谱估计方法，可以突破瑞利 限的限制，故称为“超分辨”技术。经过多年的深 研究，d o a 估计理论和技术得到迅猛 的发展从c a p o n 的高精度极大1 以然法( m l m ) 丌始，d o a 估计经历了两个飞跃：s c h m i d t 的m u s i c ( 多重信号分类) 算法和r o y 等人的e s p r i t ( 旋转不变估计技术信号参数) 算法 开刨了特征结构的新纪元，成为d o a 估计中最经典、最常用的方法。之后围绕这两种方法， 国内外学者提出了许多改进方法( 如r o o t - m u s i c ，t l s e s p r i t 等) 。 2 1 i 】m u s i c 算法原理 m u s i c 算法由s c h m i d t 于1 9 8 6 年提出白勺1 4 。全称为( m u l t i p l es i g n a lc l a s s i f i c a t i o n ) 即多重f 言号分类方法。m u s i c 算法是基于阵列协方差矩阵特征分解，利用信号子空间和噪 声子空间的正交性对信号波达方向进行超分辨波估计的种方法。浚算法发挥其超分辨波 达方向估计性能的前提是信号源数目的准确估计。m u s i c 算法首先对阵列协方差矩阵进行 特征分解，然后根摒提供的信源数目确定噪声子空间，利用信号子空间和噪声子空间的正 交性在方向域内搜索来确定波达方向。 考虑一肘元均匀线阵如图2 1 ，设有p ( p ( m ) 个窄带信号源以平面波辐射到线阵 上，信源方向分别为口，岛臼。，在第k 次陕拍，得到的数据向量为： i ，7 一 ，7 。丫y 。yy 图2 1 等g 线阵阵列模型 x ( t ) = a s ( k ) + n ( k ) k = l ，2 ，k( 卜1 ) 式中，x ( k ) = k ( t ) ，托( ) ，h ( 女) 7 为m 个阵元的输出。 d ( 9 ) = i ，p 。“，p 。”。】，其中国，= 2 n d s i n ( 0 ，) ，r 表示转置，五是载波波长，d 为 丫 v 相下信源的d o a 估计算法研究 阵元问i 日j 距i = l ，2 一，p ，s ( k ) = 【j ( 女) ，s ：( t ) ，s t , ( ) 7 ，n ( k ) = i n l ( 女) ，月2 ( t ) ，h ( t ) 】。 其中，n 。( ) ( i ：l ，2 ，p ，) 为零均值，方差为盯2 的白噪声，且与信号源不相关。t 为 快拍数，则x ( t ) 的协方差女i 阵r 为： r = e x ( k ) x “( t ) j = a p a “+ 盯2 i m ( 2 - 2 ) 式中，p = e s ( k ) s ”( 女) l 为信号协方差矩阵，i 。为j i 阶单位矩阵， o - 2 i 。= e n ( k ) n “( 女) 】为噪声协方差矩阵，协方差矩阵r 为h e r m i t i a n 矩阵，其特征分 解为： r = u 。u ，“+ 口2 u 。u 。” ( 2 3 ) 式中，u ，= h ，“：，“。】是大特征值对应的特征向量构成的向量块， u 。= 阻川，“州，“。 是小特征值对应的特征向量构成的向量块，分别张成信号子空间 和噪声子空i e i ；是由p 个大特征值构成的对角阵，盯2 是r 的肼- p 个重复的小特征 值，可得m 【j s l c 算法的空间谱： 。2 而赤丽 2 1 2m u s i c 算法的估计陛能 不存在相干源的情况： 有一等距线阵，阵元数为们= 5 ，阵元问距为d = 五2 ，信源数目p = 2 ，角位置为： a n g l e l ：1 5 0 ，a n g l e 2 ：4 0 ，信噪比为趴幔= 5 d b ，两信号互不相关，快拍数为k = 5 0 0 ，作 5 0 0 次m o n t e c a r l o 实验结果。 信源披一2s n r 一5 d b 丙信号互不相关 1 卜 d i | i 2 2 两不相关信号得m u s i c 谱 两信号相干的情况 其余条件如上所述，只是两信号完全相干的情况仿真如图 第。章d o a 估计的基本算法及空间平滑技术 从图2 3 中可以看出，当两信号完全相干时，n j s i c 方法不再适用，必须寻找种去 相干的方法。 弛 u 历 信源数= 2 s n r = 5 两信号相干的情况 l| 八 己一、 图2 3 两相干信号的m u s i c 谱 2 2 空间平滑技术 空问谱估计唯一的依据是基于对阵列协方差特性的分析，阵列协方差为： r = a ( 0 ) r 。a ”( 口) + 霞l ( 2 5 ) 式( 1 5 ) 中只是信号协方差矩阵 r。-ess”(2_6) 若s 是由p 个独立源组成，则r a n k ( a ) = p 对r 进行特征分解就可得到p 个t t 托4 z 的 特征值和n p 个等于一的小特征值，p 个比较大的特征值相对应的特征矢量展成一个 信号子空间。它和a ( 0 ) 的列矢量日( 馥) ，k = l p 所展成的子空间相同，通过信号的方向 矢量口( 以) 与噪声予空间正交特性，决定信号零点，即信号来波角度。 但是，若p 个信号源中有某些源是完全相关( 相干) ，这样相干的几个信号就可合并 成个信号，至哒阵列的独立源数将减少。换句话 鲍信号协方差的秩r a n k ( r 。) p ，每个子阵列 从左到右逐步右移。如图2 4 所示。 子阵列l 寸 子阵列2 子阵列l + 图2 4 空问平滑中子阵的划分 对于等距线阵，各子阵列的阵列流型相同，且每个子阵列的输出矢量分别为 v f 时 v _ m v f i 上 一 第：章d o a 估计的基本算法及空间平滑技术! 7 = k ，t ，】f 艇= 【而，墨，h 1 】7 f = n ，札l ，一，+ ，+ 。r 叫= i x l ，i ，。一。r 式中= n m + i 为子阵的个数，那么第，个子阵列的输出矢量置7 可表示为 x j = a 。( 目) d “。1 s + n ( 2 忉 ( 2 8 ) 式中a 。( 口) = 【( q ) ，a ( 0 0 ，( q ，) 】， 子阵列的阵列流型 口。，( 吼) ： 1 , e - j 等d s m o , ，g 一警m 圳4 】r 为第 k个信源的导向矢量 ，= q ，啊。，坼】7 其余符号与前相同。则第，个子阵列的协方差矩阵为 刚冀a 搿! ，、r 。d - u q l a j 帅巩 g 唧 = 。，( 秒) d “。1 。( 占) + 一i 。 、。 式中i 。是m x m 单位矩阵。 取所有子阵列的协方差的平均值，即 r 7 = r ? 2 a 。( 护) d “- 1 r 。d 叫。”a ：( 口) + 露i 。( 2 - m ) = a 。( 曰) r j a ：( 护) + i 。 式 er ! 称为前向平滑协方差矩阵，且 r j = d l 。”r 。1 0 1 。”( 2 - 1 1 ) 婀删：当一r a n k 凸( a 嚣嬲r a n k ( r ) ：p，( 目) 胄? 4 ：( 目) ) =) = 由此可知，若子阵列元素及子阵列个数满足埘 p ，p ，则可以将p 个相干源信号转变 为p 个独立源。剐e 时有效阵元减少到m 个。若有p 个完全相关的信号源进入阵列，则 相干信源的d o a 估计算法研究 此时阵元数n 最少为 n = l4 - m i p4 - p + 1 = 2 p 若p 个信号相互独立，则n 至少为 n = p + 1 这说明列p 个相干源处理，阵元要牺牲p - - 1 个。 若有，) 个源，其中有j 个完全相干，子阵元数及子阵列数分别满足 m p ，l v ，贝, l j r a n k ( 、) = p 成立。 此时，最小阵元数为 。= l + m 一1 = j + p 十l l = j + p ( 2 - 1 2 ) 有效阵元数损失了j 1 个。 前后向平滑 前向平滑虽然可以解决相干源的处理，但有效阵元损失太多，为了尽量减少牺牲阵元， 可采用前后向组合的平滑技术。、 后向预测的子阵列输出矢量 ? = x 十x i 坩卜- ，x l , 】“ ! = i x f 。，2 ，x l m l ，- ，z l l 】” k l = 【强“，屯，x a “ 彳? = i x 。，+ ，_ r 与( 2 - - 7 ) 式比较可得 x ；。= j x + 其中j 为m m 维交换矩阵 j = f 1 1 把( 2 - - 8 ) 式代入上式可得 ( 2 1 3 ) 2 - 1 4 ) ( 二1 5 ) 第二章d o a 估计的基本算法及空间平滑技术 x i 一。= j i a 。( 护) d ”。1 s j + j n ； = j a ：( 护) d - ( q ) s + + j n j 由于j a ：( 目) = a 。，( 臼) d 嘲“，所以 x ? + 卜、= a 。( 目) d “”2 时s + j n ； 因此，出上式可得后向平滑子阵列协方差矩阵 r ：。= e 【x ! 。i x 曷+ j i a 。、( 口) d 叫”“。2 r ；d ”“_ 2 a 。h ，( p ) + 司l 。 平滑后得 1 r 6 = r _ ，；1 - a 。( 仍d 巾”“2 r ：d 押“2 a ：移) + 爵i 。 ：a 。( 口) r ：a ：( 护) + 露i 。 式中成为后平滑信号协方差矩阵 1， r ：= d 巾”。”r ：d _ ”。2 山，i i ( 2 - 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 - t 8 ) ( 2 - 1 ( 2 - 2 0 ) 同样可以证明，只要满足l 0 5 p ，就可以将平滑信号协方差矩阵的秩恢复为p 。此时最 小阵元数为 m 。= 上+ p = 0 5 j + p ( 2 - 2 1 ) 贝咀总的协方芎阵为 矗：掣：a 。良。a 。“+ 盯。z i 。( 2 - 2 2 ) 2 2 2 前后向空i t i 平滑算法的估计性能分析 彭= 壶肾夸_ ， 对相关信号源，式( 2 - 2 2 ) 中的其中良? 是自u 向平滑子阵的信号相关矩阵，良? 是后向平滑 子阵的信号相关矩阵。 相干信源的d o a 估计算法研究 良i = a 。( 口) d “。1 r 。d - u - i a z ( 口) 良? = a 村( 曰) d 吖盯“。2 r ：d “_ 2 a “ ，( 曰) ( 2 2 4 ) ( 22 5 ) 扯壶肾夸川 一 。， 吮( l f 2 | 、智l ， 蕃ld - ( m + 1 - 1 ) r * d o + , , + - - i ) ) 卜( 印 良= a 。( 目) 赢。a z ( 口) + 一i ( 2 - 2 7 ) 分析前后向平滑算法的去相于能力，就是研究袁，的非对角元素的特点，袁，的第( i ， j ) 个元素为： ( ，) = 丢 ( f ，) f ( 仍一妒，) + ( f ，j ) f ( 移- q ，j ) e - j ( m - i x c a , - p s ) ：r 。( f ，) f ( ”一，) 。，气i a 1 。，气i a 2 - 2 8 其中，p 。= 移一妒，妒= 7 - s i n p ，设f ( i ，) = ( i ，) f ( p 一妒，) w ，。二 l 八 _ ( ，一 ( ，) r ，0 。6 n ， 图2 5 去相干的能力分析 + “胪r e im - i 电r 崛 ( 2 _ 2 9 ) 一般来说，阿( f ，) i l t ( f ) i ，由此可见，增加了去相干能力。 在图2 7 中，我们采用陋：，数等于8 ，阵元问距d = 五2 的均匀线阵，信源数目p = 2 信噪比即衄= l o d b ，两信号相关系数p = 0 8 8 ，取两信号的来波方向分别为角1 = 1 5 。 角度2 2 8 。，做5 0 0 次m o n t e c a r l o 实验结果。 第：章d o a 估计的基本算法及空间平滑技术 阵元数= 8 s n r = i o d b ，r = o8 角度1 = 1 5 度，角度2 = 2 8 度 i 蒜蔷样僦l ；： ；j j ? ； 。 i l 图2 6 前后向平滑算法与m u s i c 算法对不相干信号的谱 在图2 7 中，我们采用阵元数等于8 ，阵元阳j 距d = 五2 的均匀线阵，信源数目p = 2 撩l k s n r = l o d b ，两信号相关系数p = l ，取两信号的来波方向分别为角度1 = 1 5 。 角度2 = 3 6 。，做5 0 0 次m o n t e c a z o 实验结果。 她 u 历 苫 j = 鲁蓄髀澈 l 矗 一： ! l ! 曼 ： ； l ： 一! ： ， - ： 一： 一u h _ ，： 曩： ， 1 心 2 7 前后向平滑算法与传统m u s i c 算法对相干信号的谱 从e 面的仿真结果可以看出，当两信号完全相关时普通的m u s i c 算法已经完全失 效了。但是，空膪j 平滑算法也有它的代价，那就是出于接收阵列分成多个子阵列，减小了 阵元数和阵列7 l 径，进而减少了可估计的信源数目。日骺向空问平滑技术可估计的信源数 目为2 m 3 ( m 为阵元麴1 2 0 】。同时由于阵列孔径的女划、，将使得非相关信号源的估计性能下 降，空间平滑由于把阵列分成了子阵列，也大大增加了计算量。 相干信源的d o a 估计算法研究 2 3 修正m u s i c 算法 尽管对于相干信号源的情况，已经有了空i 剐平滑算法，但它是以牺牲天线的有效阵元 数为条件的，同时也增加了计算量。同时它对小信噪比信号和到达角度相隔比轼逝的信号 不能分辨。 2 3 1 修正m u s i c 算法“” 在前后向空间平滑技术中，如果取子阵阵元数等于总的阵元数的特殊情况下，就是修 正州s i c ( 删s i c ) 算法1 1 4 1 。其基本原理如下： 在m u s i c 算法中，接收数据为： x ( k ) = a s ( k ) + n ( k ) k = l ，2 ，k ( 2 书0 ) 式中，x ( k ) = ( 女) ，x ，( 膏) 1 ，为n 个阵元输出；a ( 口) = 【口( 鼠) ，口( 岛) ，d ( 啡) 】， d ( 只) = 【1 ，e l q ，e 。“r ，其中q = 2 r i ds i n ( o i ) ，t 表示转置，a 是载波波长， d为阵元问距 s ( a ) = j ( ) ，s ，( t ) ，j 。( 七) 】7 ，n ( ) = i n ( 尼) ，仃：( t ) ，月。( t ) 】7 ，；中，甩，( ) ( ，= l ，2 ，p ) 为零均值，方差为仃2 的白噪声，且与信号源不相关。设其协方差矩阵为 r 。= e x ( k ) x ”( t ) 】_ a p a ”+ 盯2 1 其中：p = e s ( k ) s ”( ) 】，i 为m 阶单位矩阵，令 y ( k ) = j x + ( ) ( 2 - 3 1 ) ( 2 3 2 ) 式中x ( 女) 表示x ( 女) 的复共轭j 是研龋阶交换矩阵，它将向量x ( 女) 的向量侄l 牌，定义 为： j = o o 0 1 oo lo 01 0o 1o oo ( 2 - 3 3 ) 第一章d o a 估计的基本算法及空间平滑技术 坚 显然，j2 = i ，y ( 女) 的坼方差矩阵为： r = e y ( k ) y ”( ) 】 = j a p ( a + ) ”j + 盯2 i ( 2 - 3 4 ) = j r ，+ j 令矩阵d 为： d = d i a g e 一”一1 1 ，e - j ( “一) ”z ，e 一7 ”一1 ，】 ( 2 3 5 ) 式中如上面所示，则有下面的关系： j a = a d ( 2 - 3 6 ) 对非相关源，矩阵，应为实对角阵，将( 2 - 3 6 ) 代如( 2 3 4 ) ，并矛惘对角阵乘积可交换 顺序，及d d = i 得： r ，= a p a “+ 仃2 i = r ， ( 2 3 7 ) 现在令： r = r ，+ r 。= r ，+ j r + ，j ( 2 - 3 8 ) 因此，对r ，、r 。或r 进行特征分解，并用m u s i c 算法进行信号b o a 估计，会得到相同的 结果。 则总的协方差矩阵为； 矗= 半蠢蝴。 ( 2 _ 3 9 ) 在低信噪比、快拍数较少时，由于r ，、r 。是用有限次快拍的数据进行估计的，存在估计 误差，此时，用良进行信号b o a 估计，具有平均的意义，可提高信号d o a 估计眭能，这便 是胁n s i c 算法进行d o 估计的原理。 2 3 2 修fm u s i c 算法的去相关原理及估计性能分析洲 去相关原理 对相关信号源j 式( 2 - 2 ) 中的信号相关矩阵p 不再是对角阵，而是一个h e n n i t i a n 矩阵 其形式为 相寸二信源的d o a 估计算法研究 j d = 肌p ，坛五p i 。瓜 + 。：拓丙p ：p ，、厩 p l n q p i i p “。p n “ ( 2 4 0 ) 式中p ，为信号n s ，( t ) 和耳( t ) 之问的相关系数，儿为信号源( 女) 的功率， i = 1 ，n ；，= f = 1 ，n ：将式( 2 - 3 6 玳如式0 3 4 ) 得： r ，= a d p d 7a”+盯2im(2-41) 蛾2 - 3 8 ) 得： r = a q a ”+ 2 a 2 i ( 2 式中q = p + d p d 7 ，设p 的元素肌= l p ，l e ，则q 的元素可计算得： q 。= 2 p 。i = 1 ， q 厂川鬲p 仃嘶”“m 1 】 i = 1 ，n ，f _ 1 ， f n ，( 2 - 4 3 ) 可以看出，式( 2 - 4 2 ) 和式( 2 3 1 ) 具有相同的形式，只是在式( 2 - 4 2 ) 的信号相关矩阵q 中， 信号源5 ，( 七) 和卸( ) 间的相关系数只，为 r ，= 了静= 专川 一仃胁“。“1 ) ( 2 删 其模为： l y , , i 制 坐逝掣 j ( 2 4 5 ) 所以 川=川(2-46) 即q 矩阵中的相关系数不大于p 矩阵中的信号相关系数，因此，用式( 2 3 8 ) 的r 进行 特征分解，并用m u s i c 算法进行信号d o a 估计时，得到的结果不会比用式( 2 3 1 ) 的r 。进 行特征分解得到的结果差，而会得到相对较好的结果，不同方向的相关信号源相位差 l a p , 一w ，不同，进而使得式( 2 - 4 4 ) 的相干系数迥异，如果考虑相关信号源的空间是随机分伟 的，即考虑p = ( 肘一1 ) ( w w ) 一2 移，在 0 ，2 丌】内均匀分布，便可得到相关系数对不同方 向相关信号源的均值： 刮川，= 1 岛：丹酝f ( 2 _ 4 7 ) 第二章d o a1 卉计的基本算法及空间平滑技术 旦 e 1 1 = 圭h i = 0 6 3 1 p , ，l 因此，综合考虑不同方向的相关信号源，采用本方法后，可使信号源间的相关系数 降低为原来的6 3 。 另外使用i 啦3 8 ) 中r 进行信号源d o a 估计时，将不会影响对非相关信号源d o a 的估计性能，且其计算量并无明显增加，仅在计算r 时增加了m 2 次加法。 2 3 2 计算机仿真 在图2 8 中，我们采用阵元数等于8 ，阵元间距d = 五2 的均匀线阵，信源数目p = 2 ， 信噪比s n r = s d b ，两信号相关系数p = 1 ，取两信号的来波方向分别为角度l = 1 0 。，角 度2 = 2 5 。，分别用传统m u s i c 算法和m m u s i c 算法的空间谱图， 做5 0 0 次m o n t e c a r l o 实验结果。 i = 篇蓦：魏i il l 。_ ： 1-蓑- t ? ，： | i | 一 u 7 l 2 8 修正m u s i c 算法与传