（应用数学专业论文）基于相似结构的分形复合油藏非线渗流分析.pdf

西华大学学位论文独创性声明 删 y 1 8 8 猫懂 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：蹦 指导教师签名夕歹易7 pt 萝 日期： 2 0 11 名2 矽日期加t 1 歹2 彦 西华大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于西华大学，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，西 华大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。( 保密的论文在解 密后遵守此规定) 学位论文作者签名：蓝搬指导教师签名荡降痧 日期：2 汐7 卜o 劣 日期 2 ，o 5 对， 西华大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究的是分形复合油藏非线性渗流解的相似结构，主要从以下四章进行说 明：第一章，概述了国内外对分形复合油藏研究现状和发展趋势，并介绍了分形理论的 基本概念；第二章，提出了分形复合油藏非线性渗流模型的基本假设，建立了考虑二次 梯度项影响的非线性渗流定解方程。第三章和第四章是本论文的重点，分别探讨了不考 虑井筒储集及有效井径和考虑井筒储集及有效井径两种情况下的分形复合油藏的渗流 模型，并对所得到的两个模型进行了线性化处理，然后利用拉普拉斯变换，在拉普拉斯 空间中三种外边界条件( 无穷大、定压、封闭) 下得出了的分形复合油藏无量纲储层压 力和井底压力的精确解，最后归纳出了油藏模型解的相似结构。本文较系统的揭示了分 形复合油藏非线性渗流储层的压力动态分布规律，得出了本文的主要结论解的相似结 构，为此类油藏在实际编制试井分析软件时提供了极大的便利，对计算机自动分析油藏 渗流规律具有一定的促进作用。 ： 函数 关键词：分形复合油藏；井筒储集；有效井径；二次梯度；解的相似结构；相似核 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h es o l u t i o no ft h es i m i l a rs t r u c t u r ei n f r a c t a lc o m p o s i t er e s e r v o i r n o n l i n e a rf l o w ，a n dm a i n l yd e s c r i b e sf r o mt h ef o l l o w i n gf o u rc h a p t e r s ：c h a p t e ro n e o u t l i n e s d o m e s t i ca n di n t e r n a t i o n a lr e s e a r c hs i t u a t i o n0 1 1f r a c t a lc o m p o s i t er e s e r v o i ra n dd e v e l o p m e n t t r e n d , a n di n t r o d u c e st h eb a s i cc o n c e p t so f 丘a c t a lt h e o r y ；t h es e c o n dc h a p t e rg i v e ss o m eb a s i c a s s u m p t i o n so ff r a c t a lc o m p o s i t er e s e r v o i rn o n l i n e a rf l o wa n de s t a b l i s h e sc o n s i d e r i n g 也e i m p a c to ft h es e c o n dg r a d i e n t , n o n - l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hw a sb a s e do nf r a c t a l t h e o r y 1 1 1 et h i r da n dt h ef o u rc h a p t e r sa r et h ef o c u si nt h i sp a p e r t h e yh a v er e s p e c t i v e l y s u m m a r i z et h a tn o tc o n s i d e r i n ga n dc o n s i d e r i n gw e l l - b o r es t o r a g ea n de f f e c t i v ed i a m e t e ro f t h ef r a c t a lc o m p o s i t er e s e r v o i ri nt h e ( i n f i n i t e ，c o n s t a n tp r e s s u r e , d o s e d ) o u t s i d et h eb o u n d a r y c o n d i t i o n so ft h r e en o n l i n e a rf l o wm o d e l ，a n db el i n e a r i z a t i o u , a n du s e l a p l a c et r a n s f o r i l l m e t h o d , i nl a p l a c es p a c eo b t a i nt h et h r e eo u t e rb o t m d a r yc o n d i t i o n sd i m e n s i o n l e s sr e s e r v o i r p r e s s u r ea n db o t t o m h o l ep r e s s u r eo fe x a c ts o l u t i o n s k t c o n c l u d e st h es o l u t i o n ss i m i l a r s t r u c t u r eo ft h er e s e r v o i rm o d e li nl a p l a c es p a c e n e p a p e rs y s t e m a t i c a l l yr e v e a l st h ef r a c t a l c o m p o s i t er e s e r v o i rl i n e a rf l o wr e s e r v o i ro fp r e s s u r ed y n a m i cd i s t r i b u t i o na n do b t a i n sm a i n c o n c l u s i o n 守_ t b es o l u t i o n ss t r u c t u r es i m i l a r t h er e s e r v o i ri nt h ea c t u a lp r e p a r a t i o nf o rs u c h w e l l - t e s ta n a l y s i ss o f t w a r ep r o v i d e sag r e a tc o n v e n i e n c ea n di t i sa l s oap r o m o t i n go n a u t o m a t e da n a l y s i so ft h ep e r c o l a t i o n k e yw o r d s ：f r a c t a lc o m p o s i t er e s e r v o i r ；q u a d r a t i cg r a d i e n t ；w e l l - b o r e h o l e r a d i u s ；s i m i l a rs l r u c t u r e ；s i m i l a rk e r n e lf u n c t i o n i i 西华大学硕士学位论文 目录 摘 要i a b s t r a c t i i l 前言1 1 1 论文研究的背景和意义1 1 2 国内外研究现状1 1 2 1 国外研究现状l 1 2 2 国内研究现状2 1 3 对比分析和文章结构3 2 分形复合油藏非线性渗流基本微分方程的建立3 3 不考虑井筒储集和有效井径的分形复合油藏5 3 1 外边界无穷大地层分形复合油藏模型5 3 1 1定产量生产时分形复合油藏的数学模型5 3 1 2 分形复合油藏模型的线性化6 3 1 3 a p l a c e 空间中的解9 3 2 外边界定压地层分形复合油藏模型1 1 3 2 1 定产量生产时分形复合油藏的数学模型1 1 3 2 2l a p l a c e 空间中的解1 2 3 3 外边界封闭地层分形复合油藏模型1 4 3 3 1 定产量生产时分形复合油藏的数学模型1 4 3 3 2l a p l a c e 空间中的解1 5 4 考虑井筒储集和有效井径的分形油藏不稳定渗流1 7 4 1 外边界无穷大地层分形油藏模型1 7 4 1 1 定产量生产时分形复合油藏的数学模型1 7 4 1 2 分形复合油藏模型的线性化1 9 4 1 2 1 定解方程的线性化1 9 4 1 2 2 边界条件的线性化1 9 4 1 3l a p l a c e 空间中的解2l 4 2 外边界定压地层分形复合油藏模型2 4 4 2 1 定产量生产时分形复合油藏的数学模型2 4 4 2 2l a p l a c e 空间下的解2 5 i n 基于相似结构的分形复合油藏非线性渗流分析 4 3 外边界封闭地层分形复合油藏模型2 6 4 3 1 定产量生产时分形复合油藏的数学模型2 6 西华大学硕士学位论文 1 前言 1 1 论文研究的背景和意义 自从c h a n g 和y o n s o s u l 将分形概念引入到渗流力学，分形渗流模型得到越来越广泛 的应用并在实际的油藏开发中具有重要的意义。一方面由于分形油气藏理论模型推广了 原来被认为天然裂缝油气藏不稳定试井的标准工具一双重介质模型犯3 ，理论上具有普遍 意义；另一方面，由于大量的实验及岩心分析和测井资料都证明自然裂缝油藏的孔隙度 分布，渗透率分布以及裂缝网络都具有分形特征。因此，用分形来描述油藏孔隙介质的 复杂性，更能贴近自然、真实的油藏。分形油气藏渗流理论己成为当今的前沿课题。 现今我国的石油工业，已进入一个复杂的油气田开发时期。为了充分开发石油资源， 石油工程师们采用了地质、地球物理勘探、地球物理测井、岩心和露头分析等手段，对 地质构造和地层性质进行了细致的测量，经过资料综合分析对比、描绘出地下地层剖面 分布及油区分布图版，为油气田的开发作依据脚。然而，地下构造复杂多变，要得出准 确可靠的结论，做出合乎实际的设计的确很不容易，原因之一是强调以光滑性为特征的 现有方法实在太粗糙了。以描写复杂现象见长的分形分析方法为探索油汽聚集分布规律 打开了一扇窗户。而油气分布规律的研究又可为总体评估勘探资料找出依据，这对于寻 找现有方法无法查明的隐蔽油藏或勘探疏漏油藏，以及评估钻井方案的经济效益都是极 为有用的。因此发展复杂的油气田开发理论和技术是刻不容缓的任务，对我国能源可持 续发展的战略具有非凡的意义。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 国外研究现状 上个世纪8 0 年代，分形的概念被引入渗流力学，开始了分形在石油工业中的应用。 用分形来描述非均质油藏中裂缝岩块系统的裂缝网络特征，使得能够更准确的分析裂 缝系统中的水动力影响h 1 。 1 9 9 3 年，c h a k r a b a r y 哺1 建立了分形油藏单相微可压缩非牛顿幂律液的径向流模型， 得到了无限油藏线源井的实空间解析解和有限半径井的拉普拉斯空间解及长时和短 时的渐近解。并考虑有限分形油藏非牛顿幂律液径向流，定流量内边界或( 定压内边 界) 和封闭外边界或( 定压外边界) 四种情况，得出了拉普拉斯空间的解，并对一些特 殊参数进行了拉氏数值反演讨论。 基于相似结构的分形复合油藏非线性渗流分析 1 9 9 5 年，p o o h 哺1 提出具有分形结构流动特征分布的复合油藏模型，使用拉氏数值 反演得到了这个解，这个试井模型可用于注蒸汽井或注空气井的传导中模拟压降测试 的压力动态。 1 9 9 8 年，b a r k e r 口给w , c h a n gj 和y o a s o s 模型的推广，他提出了广义径向流模型。 自从这个模型提出以来，科学家们在水文地质和环境工程中找到了十分重要的实际用 途。 1 9 9 1 年，w a l l g v ，d u s s e a u l tm b 1 提出了在油藏中考虑二次梯度项的影响，w a n g y 等人的研究表明二次梯度项在具有高注入量和小油藏传导率定流量的情况下有显著的 影响。 1 9 9 3 年，c h a k r a b a r t y , csm f a r o u q l i 和ws t o r t i k c 1 得出了考虑二次梯度项的 均质油藏解析解。 1 9 9 8 年o d e h ，b a b un 们提出了保留二次梯度项的非线性方法，接着f i n j o r d 和 a a d n o yn ”用这种非线性方法解决了稳态和拟稳态条件下的油藏压力。 1 2 2 国内研究现状 上世纪9 0 年代，同登科和葛家理n 2 1 羽首先把分形维数和分形指数引用到非达西低 速渗流中，建立了分形的数学模型，得出了当井底定流量和定压生产时，在( 无限大 地层、有界封闭和有界定压地层) 三种地层下实空间精确解。并对压力曲线动态特征 进行了分析，得出均质地层是分形油藏的特例。 1 9 9 6 年，同登科，陈钦雷n 铂首先考虑二次梯度的影响的单相液体在分形介质中的 渗流理论。分别求出了分形介质非线性流动模型在无限大地层，有界封闭地层，有界 定压地层条件下的数值解，得出定产量生产情况和定压生产情况压力动态特征。 1 9 9 9 年，同登科和陈钦雷n 叼建立了考虑井筒储集效应和表皮效应分形油藏渗流模 型，并在边界条件中引入井筒有效半径，求得了分形油藏在三种外边界( 无限大、有 界封闭和有界定压) 条件下的各点压力分布的精确解和压力分布的精确解析表达式， 以及无限大油藏的长时渐进解和短时渐进解，并分析了压力动态特征。 2 0 0 4 年，曹绪龙，同登科，王瑞和n 6 3 建立考虑二次梯度项影响的非线性径向流动 问题的无限大地层和有界地层渗流模型。在井底定流量和定压生产的情况下，利用广 义w e b e r 变换和广义h a n k e r 变换求得了无限大底层和有界底层模型的实空间解析解， 并发现了在晚时段非线性压力解与线性压力解的差异可达8 以上，所以在试井长时 要考虑二次梯度项的影响。 2 西华大学硕士学位论文 2 0 0 3 年，李顺初，郑天璞，徐英针对分形均质储层模型，引进了分形维数及分 形指数，研究了外边界封闭条件下的变流率问题的无量纲储层压力和井底压力的 l a p l a c e 空间解，归纳出解的相似结构，并做了进一步应用的探讨。 2 0 0 8 年，郑鹏社，李顺初，朱维兵n 8 3 建立了复合双孔介质油藏在考虑井筒储集和 表皮效应条件下的试井分析模型；利用l a p l a c e 变换，求得了在l a p l a c e 空间中的无量 纲压力分布的精确解；经分析其解式的特征，发现了它们在三种外边界条件下的解式具 有相似结构。 2 0 1 0 年，李顺初h 町针对二阶齐次线性常微分方程( 组) 的边值问题和二阶齐次线 性偏微分方程( 组) 的混合问题，综述了分别对其解和l a p l a c e 空间解的相似结构理论 初步探讨成果。 1 3 对比分析和文章结构 从国内外研究现状可知，分形油藏已经有不少的研究。然而这些研究对分形油藏 模型只考虑了二次梯度项，或者只考虑复合油藏，但都没有考虑模型解的相似结构。 自从2 0 0 4 年相似结构提出以来，有些关于相似结构的分形油藏的文章，但是至今为止， 没有把这些都考虑进去的文章。 本文在此基础之上，建立了考虑二次梯度影响的分形复合油藏模型，并考虑井筒 储集效应和表皮效应，最后找出了模型解的相似结构，使得此复合油藏更加符合实际 的复杂油藏的需要。 2 分形复合油藏非线性渗流基本微分方程的建立 分形渗流数学模型是在分形几何的基础上，通过一定的假设条件和运用渗流力学理 论得到的。本文以分形复合油藏模型一为例，并作如下基本假设： ( 1 ) 地层：水平等厚，各向同性，不可压缩分形网络。 ( 2 ) 流体：单相微可压缩流体在两区中渗流服从d a r c y 定律。 ( 3 ) 流动几何形式：平面径向流。 ( 4 ) 渗流形态：不稳定渗流。 ( 5 ) 渗流过程：等温。 ( 6 ) 考虑微小压力梯度的影响。 ( 7 ) 忽略重力的影响。 ( 8 ) 原始地层静压力风。 3 基于相似结构的分形复合油藏非线性渗流分析 ( 9 ) 两渗流区界面不存在附加压力降。 由质量守恒定律，可得连续性方程2 们： 州厂，害+ 挈= 。 由分形网络满足广义d a r c y 定律，可得运动方程协1 ： ( 2 - 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) 中，可以得到分形复 t 2 0 ) ( 2 - 5 ) t 0 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) 西华大学硕士学位论文 外边界条件： ( 1 ) 无穷大油藏： ( 2 ) 封闭( 不渗透边界) 油藏： ( 3 ) 定压油藏： p 2 ( o o ，t ) = 0 亟j ：o d ri , _ - r p 2 ( r ，t ) = p o 3 不考虑井筒储集和有效井径的分形复合油藏 3 1 外边界无穷大地层分形复合油藏模型 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 外边界无穷大分形复合油藏地层中心有一口生产井以定产量q 生产，流体在储层中 呈平面径向渗流。 3 1 1 定产量生产时分形复合油藏的数学模型 将渗流方程( 2 5 ) 式和式( 2 6 ) 无量纲化，得到基本定解方程： 髻c 争2 鲁= 鲁+ 罢鲁吲鲁，2 ( 万 。) g 白2 警= 等+ 罢等吲等，2 ( 饧砸铲。) 初始条件： 暑d ( 饧，0 ) = 昱d ( 饧，0 ) = o 内边界条件： 交界面条件： 如( 乞) = 名d ( 1 ，乞) 日d ( 万，乞) = 昱d ( 万，f d ) 盟l ：一生 i ，b = l 5 ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 - 6 ) 基于相似结构的分形复合油藏非线性渗流分析 盟o r ol2 五划o r o r o - - 4i r d ：艿 ( 3 7 ) 外边界条件： 罡d ( ，t n ) = 0( 3 8 ) 其中无量纲定义如下： 疡2 精( p o - p i “纠，2 ) ；如2 苏( p o - p 。) ；t v - 荐( 驴荔菇九。卅2 ) ；如2 面豸菘争舌) 2 ； 饧=毒；=舍小差；仃=而-12mlcf2甲1=学cf,；r12-m2精 名名所l 乜mc 以 口匕聊l d r口k d r “ 3 1 2 分形复合油藏模型的线性化 3 1 2 1 定解方程的线性化 为了使定解方程( 3 1 ) 和( 3 2 ) 线性化，即消去- r i ( 璺) ：项，可以试作如下函数代 换2 6 。2 8 1 ： = 彳( 吩) ，蚝= u i ( r v ，t v ) i = 1 ，2 。 得到： 矾扣舡，) 薏彤。f ) _ 砒2 】( 静2 嘲器+ 瓤薏，2 令厂( ) 一叩f 厂，( ) 】2 = 0 即可线性化，解此常微分方程得： = z ( ) = 一二h l ( + q ) + 乞i=1，2(39) 其中c 1 ，c 2 为任意常数，可由定解条件来适当选取。 为了保持初始定解问题的齐次性，可令c 1 = 1 ，c 2 = 0 ，得到： ( 砀，乞) = 一二h l + ) ，吩= 吩( 砀，t v ) ，i = 1 ，2 ，( 3 1 0 ) j 琢 ( 乞) = 一一 l n ( “曲+ 1 )( 3 - 1 1 ) 3 1 2 2 边界条件的线性化 为了确保基本微分方程线性变换后边界条件的齐次性，下面我们把初始条件做替 换： 初始条件： 西华大学硕士学位论文 暑d ( ，d ，0 ) = 罡d ( 饧，0 ) = 0 可替换成： e 一，7 1 月d ( ，d ，o ) = 2 一，7 2 尼d ( ，d ，o ) = 1 把内边界和交界面条件近似化： 内边界条件： 丑d ( 万，t d ) = e d ( 万，乞) 可近似为： 矿们d ( ) = 矿档d ( 万如) 交界面条件： 可近似为： 交界面条件： 可近似为： a p i d i ：一d f a r di r 。= l d s d f 2 r d - l d ， ( 3 - 3 ) ( 3 - 1 2 ) ( 3 5 ) ( 3 - 1 3 ) ( 3 6 ) ( 3 1 4 ) 孕l ：a 孕l ( 3 - 7 ) l 饧笥l 筇 l 筇 仃 ( 3 1 5 ) 筇 此处关于把内边界和交界面条件近似化处理的合理性如下： 当时间从某个点趋于无穷大的时候，井底外区与原始地层的压力差和井底内区与 原始地层的压力差都趋于一个平衡状态，因此， 当乞一0 0 时，# d 寸0 ，罡d 一0 ，我们可以把 p 一聃( r d ，f d ) l ，i = 1 ，2( 3 1 6 ) 也就是： 矿( 饧如) = 严( 饧如) = 1 在交界面时，流体的压缩系数c ，相同，可得：1 7 , = 仍 我们得到线性化的定解问题如下： ( 3 - 1 7 ) ( 3 1 8 ) 名c 争2 等= 案+ 罢，等嘞玺，2 ( 6 _ 5 , t d 0 ， 矿礓日。( ，d ，o ) = 矿侥b 。( r d 0 ) = 1 ( t d ) = 写d ( 1 ，岛) d ， = r h 墨l d j 岛( ，= 物 足d ，t d ) = 0 对上述定解问题做如下函数代换： 岛( ) 一一去m l + u f ) ，驴如卜u _ 1 2 ( f 。) = 一示1 h ( “加+ 1 ) 综上可得到： 以争2 瓦o u l = 等+ i f l 瓦o u l 仃伤口( 争2 薏= 0 孵2 u _ _ l + i 3 瓦0 u 2 u w d ( t d ) = u l ( 1 ，t v ) “l ( 勃，0 ) = “2 ( b ，0 ) = 0 o u t i 。，d f - 堕i ：三丝1 i 一1 7 o r o i r d - - 。5 “l ( 万，t d ) = u 2 ( 6 ，t d ) “，( o o ，t n ) = 0 8 ( 3 - 1 9 ) ( 3 - 2 0 ) ( 3 - 1 2 ) ( 3 - 2 1 ) ( 3 - 1 4 ) ( 3 - 1 5 ) ( 3 - 1 3 ) ( 3 8 ) ( 3 - l o ) ( 3 1 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 - 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 西华大学硕士学位论文 对式( 3 - 2 2 ) 式( 3 - 2 9 ) 作关于f d 的l a p l a c e 变换， “，( 白，z ) 2j 。e - 。t d u i ( r d ，如) ，( f = 1 ，2 ) 得到如下常微分方程的边值问题： 可d 2 u l + 罢等。( 如。 ( 3 瑚) 九2 饧九一以一。 v 一7 等+ 瓦f ld 口u 砀2c r r d e ( _ f f ，_ d ) 2 z 珏。 ( 3 _ 3 1 ) 2 饧口砀， 。 v 一7 乳。= 等考( 3 - 3 2 ) 。 瓦l 2 了百 乱2 蚓倒 3 3 ， u 1 ( 8 ，z ) = u 2 ( 8 ，z ) ( 3 3 4 ) u w d ( z ) = “l ( 1 ，z ) ( 3 3 5 ) u 2 ( o o ，z ) = 0 ( 3 3 6 ) 3 1 3 l a p l a c e 空间中的解 将式( 3 3 0 ) 和式( 3 3 1 ) 做变量代换： u ，= 饧2z ( p ) 其中： 户：玩口，口：宰 则式( 3 - 3 0 ) 式( 3 - 3 1 ) n 转化为变型的v 阶b e s s e l 方程，其n _ n g 分别表示成以下 形式耻捌： u l = c l r d 2 l ( z 饧口) + c 2 r d 2 k ，( z ，d 口)( 3 3 7 ) 1 一口l 一占 u 2 = c 3 r d 2 l ( z 叮b 。) + c 4 r d 2 k ，( z 盯。)( 3 3 8 ) 其中：1 ，= 1 一冬；l ( - ) ，k ( ) 是变型的1 ，阶第一，第二类b e s s e l 函数；q , q ，c 3 ，c 4 为待定常数，可由边界条件确定。 将式( 3 - 3 7 ) 代入式( 3 3 2 ) 中，得： 9 基于相似结构的分形复合油藏非线性渗流分析 q ( 半一l ( 正) + 口儿( 正) ) + c 2 ( 半一叫k ( 正) 一乜取叫( 正) ) ：竖( 3 - 3 9 ) 将式( 3 - 3 7 ) 、式( 3 3 8 ) 代入式( 3 3 3 ) 中，得： q 洋一州- + - b l 似) + 办2 a 丁- 户l l 渺) ) + g 拌一嗍放渺) 一b 凇) ) 弋吉 洋训芦- 1 - p 厶俯) + 缶扩2 a - 多q l 向) ) _ g 吉洋训矿- l - p k 俯) 一a z c r 万2 k l ( 4 z c r 8 口) = 0( 3 4 0 ) 将式( 3 - 3 7 ) 、式( 3 3 8 ) 代入式( 3 3 4 ) 中，得： 一1 - # 一 l 二壁 一 l 一声i - # q 8 2 l ( z 扩) + g 巧2k ( z 铲) 一g 艿2l ( 砸扩) 一c ：i 万：k ( 硒酽) = o ( 3 4 1 ) 由式( 3 - 3 6 ) 和式( 3 3 8 ) 可得： c 3 = 0( 3 - 4 2 ) 则式( 3 4 0 ) 变为： c ； 洋- 伽) f - 1 - # l 沁) + 口正秽。( 府) 嗍掣- 鲫) 万下- i - , 8 k ( 府) 喝萨b 归) ) g 衅一旷- - t - p k 回) 一“秽龟回) ) _ o ( 3 - 4 3 ) 式( 3 4 1 ) 变为： l - , e ，1 - # 1 - p c l 万2l ( 4 2 8 口) + c 2 万2k ，( 4 2 8 口) 一c 4 艿2k ，( z 仃艿口) = 0 ( 3 4 4 ) 联立式( 3 3 9 ) 、式( 3 4 3 ) 、式( 3 4 4 ) 有： ( 半一a v ) a , y - 加e 。( 蹦，正) 一洋训妇叩甲州，( 跏，正) = k , ( z 4 鬲a y ) t 一兰石洋一州酽叩k o ( 石苫扩) 【l ( 压) 一k ( 正) 卜a 石a 矿声甲咿。( 酽，1 正) 仃z 。7 职2 矿叩甲一，( 酽，l ，正) 一正等：孑酽一声点o ( 正孑扩) 【b ( 正) + k 。( 正) 】 仃 由c r a m e r 法则可得到： 呼瞅细k 渺) + 妞回k 渺) 弓飘向k 沁) ) g 2 孳瞅回地沁) 一姒田儿渺) 专厨乜向地渺) ) c 3 = 0 西华大学硕士学位论文 c 4 = 孚届哪。( 均 企 3 3 3 4 j 、 厢= 等篙黠鬻篇蒋鬻浚辫 屹( 饧，止) = 五矿k ，( 扩，侈，正) + 知，伊，矿，正) 一压忑；峨。，分，正) k ，( 、三静) k ( 石) 舾。一伊，l 正) + 弘州，1 ，正) 一扫赢( 刀翥孬匠i 石瓦刁荪 吼期= 而丽杀裂篝篝锈哿毫蒜 西丽万高杀髻祟蔫等等 此时定解问题( 3 3 0 ) - ( 3 3 6 ) 的特解为： 瓦2 等半面= 三巫( 饧期 ( 3 - 4 5 ) z c 半训+ 厶蒜蔫八们 一 云2 2 毪z o t 2 l-,e万。一声：王乏丕_二一、y3v(饧，；) ( 3 4 6 ) 3 2 外边界定压地层分形复合油藏模型 假设外边界定压的分形油藏地层中一口生产井以定产量q 生产， 平面径向渗流。 3 2 1 定产量生产时分形复合油藏的数学模型 外边界定压条件为： 最d ( ，乞) = 0 与3 1 类似可得到渗流定解问题： 以争2 薏= 静+ 罢嚣 吖c 争2 薏o t = 嚣o r n + 罢象o r o 口。n 一 流体在储层中呈 ( 3 - 4 7 ) ( 3 2 2 ) ( 3 - 2 3 ) 基于相似结构的分形复合油藏非线性渗流分析 u , , o ( t o ) = “l 【l ，乞) “1 ( ，0 ) = u 2 ( 饧，0 ) = 0 剥r o f f i l = r l 办d - - - f 堕l ：三堕l a 饧i ，d 筇仃0 r d r d - - 善 ( 6 ，乞) = u 2 ( 万，乞) u 2 ( ，t d ) = 0 ( 3 2 8 ) 、式( 3 4 8 ) 作关于乞的l a p l a c e 变换， - f ( 饧，力= f 产( 么乞) 叱，( 江1 ，2 ) 方程的边值问题： 可d 2 u l + f l 。d u 。ld 手d s 胨= 。由毒 ， j 可d 2 u 2 + j f l 。d u 。2 a r o ( 笔，) 2 z 云：2 。d r 0 u u s “l ( 万，z ) = u z ( 8 ，z ) “w d ( z ) = u l ( 1 ，z ) u 2 ( r o ，z ) = 0 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 4 8 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 - 3 2 ) ( 3 - 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 - 3 5 ) ( 3 4 9 ) 中的解 u 2 ( r o ，z ) = 0 ，有： l 二生 一l - _ _ g c 3 2l ( z 仃口) + c 如2k ( z o r o 口) = 0 ( 3 5 0 ) 3 9 ) 式( 3 4 1 ) 和式( 3 - 5 0 ) ，得： 1 2 西华大学硕士学位论文 ：半 e 壁一州矿甲 ( 俨，如口，石) 胛叩( 酽，1 ，石) 一品酽甲曲( 酽，1 ，压) 】 一( 与芋一口v ) 兰、；砑口一声4 ，叫( ) + 、五万一声甲 ( 酽，口，石) 胖，卜。( 酽，l ，；) z 仃 一 一厶删( 国一口石罟面哪4 川( r d i 由c r a m e r 法则得到： c l = 等如孚k ( 口) 旯万一卢甲，。，( 酽，如口，；) + 兰正面a 一卢甲州，( 万口，8 ，石) + 口荔砷【l ( 砚口) 一k ，( 石如8 ) 】k 一。( 正面。) ) c 2 = 二警如下j - p l ( 扬口) 五万一声甲( 酽，如口，石) + 三正面口一卢甲州，( 酽，a ，石) 二口乃卅 l ( 现口) 一k ( 厶魂口) 虬( 石力8 ) ) c 3 = 譬如半扩k ( 风弧州( 咒咒均 c 4 一r l z a 2 压z r d i - z ( 风口) 甲”一。( 8 a , s a 五z ) 令： 佛攀搿器器筹箍器髹翁氅器辫 搦= 号甓掣哿鬈警怒筹裴潞 蹦扬2 面蕊丽而蠢+ 9 筹卷a 蔷荀a 象a 舞砾丽丽 石卜丽面葡瓦焉筹瓷鬟焉毫丽硒 此时定解问题( 3 3 0 ) - ( 3 3 5 ) 、( 3 4 9 ) 的特解为： 内反 珏等饧半冱= 三厦嘲饧期 ( 3 5 ) z c 半训+ 届蒜篇h 八们叫 卜“ 1 3 基于相似结构的分形复合油藏非线性渗流分析 珏7 1 t & z 2 l - p 矿卢事一均 ( 3 - 5 2 ) 3 3 外边界封闭地层分形复合油藏模型 外边界封闭的分形油藏地层中心有一口生产井以定产量q 生产，流体在储层中呈 平面径向渗流。 3 3 1 定产量生产时分形复合油藏的数学模型 外边界封闭条件为： 盟i ：0 a 饧i r d = 如 与3 1 类似可以得到渗流问题： ，0 8 卺，2 薏= 静+ 旦r o 堕a r o 仃饧占哮，2 薏= 嚣+ 旦r o 丝a r o u w d ) = u l ( 1 ，t n ) “l ( 厂d ，0 ) = u 2 ( 饧，0 ) = 0 乱_ 仍考 堕i ：三堕1 l 场筇仃a r ol r d 筇 u l ( 万，t o ) = u 2 ( 万，乞) 乱勘= 。 ( 3 2 2 ) 式( 3 2 8 ) 、式( 3 - 5 4 ) 作关于如的l a p l a c e 变换， 7 , ( t o ，力= j 产坞眩乞) 叱，( f _ 1 ，2 ) 如下常微分方程的边值问题： 1 4 ( 3 5 3 ) ( 3 - 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 一 西华大学硕士学位论文 二= ：= _ 二一 3 3 2l a p i a c e 空间中的解 外边界封闭时： 万d 2 u l + 譬粤( 字) 一i u l ：0 _ + 二- 一k 。i 上) = d r 0r dd r d u 、d s j 万d 2 u 2 + 拿譬一吖( 孚儿一u ：u 一 十盯靠l o i _ z22 西0r d 吨 一d s p 塑i ：丑生 d r d r d = 1 zd s d - 】l 1d 云：i 九i 饧筇1 3 l ，。筇 云】( 万，z ) = 一u 2 ( 万，z ) 云们( z ) ：一u l ( 1 ，z ) 乱o ， 巫f：o i= i l 九k 。 有： ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 - 3 3 ) ( 3 - 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 5 5 ) c 3 ( 半一叫t - l - p ，( 屙。口) + 而如半u 魂a ) ) + 1 一疗 - l - p 一 2 a - i - 口 c 4 仁一口v ) t k ( 风口) 一而芋k 一。( 风口) ) ：o ( 3 - 5 6 ) 联立求解( 3 - 3 9 ) i l 戈一( 3 4 1 ) 式、( 3 5 6 ) 式可得： - 贮争嘲，】 历嘞勿娥】，国舰蛾一蛾1 ，扬披b ，仍1 勘 球藏，彤搦懒压函气一秽易国崧托矿。鼍幽毯( 国 蟛叫吃2x ，彤z ) 刊碗：秽易鼬? 训玳眨幽吣渤 专咖矿旷- 4 - 芦医幽毯幽艘压吨丙岷向 - 坍r 1 一l j r 7 - , 妒啄j 。钆辊施护t 幽岷 由c r a m e r 法贝可以得到! 歹一一 基于相似结构的分形复合油藏非线性渗流分析 g ：笙k 沁 洋一州微，硝，面+ 洋一鳓限恸) 一k 蜥) b 沁) + 塑掣一鳓秽q _ ，硝，面+ 矿猡秽_ 一，麟，- ) + 咖、壬o ，磷，面+ 彭撕譬b “留) 矩苫聍) + b 止；瞄) ) g ：型l 渺) 矿- i - b 群_ 伽) 织，伊，霹，面一掣训旺咖) 一k 哪) 舐防l 沁) + 掣一塑扩，硝，面+ 彩护硝“，对，面 + 蝴，硝，厕一彭痂。职一沁) 旺；瞄) + b 犯；学) ) g ：丝帆舯石) 掣一k ( 厨) 一群b 蝴) ) g ：塑笙正矿芦k 一，扩，正) ( 半一刎厶惭) + 正；吗了l 瓣) ) 今： 物1 而磊面磊丽五高磊瓦磊季磊聂瓦忑而百删嘿磷冽胪- 黝“卿刊砜曙圳z ) 刈咖剧z | ( 力岷“瑚 r _ 一，1r r 一，一 他叫秽，护，z h 半一毗。瞄，秽，刎_ 欲援一馆，璐，刎 力2 面爵石i 丽i 丽蒜面磊孕磊而i 菊磊丽伊，秽，、艄。( 1 ) - 劢“阱删删呼一州“力毯( z 州刎- “力+ 妊“制 秽，护，；h 半哪戳，瞄，臂，面面匕一蝣，豸，劫 均i 瓦历而磊面忑焉高磊赢礤写丽丽丽瓦丽麟矾0 秽，瞄，刎吼- 肋“例刊啦蕊b ，t 联等响獬“z ) 瑙“砌刊砜“力岷“z ) ) 】 此时定解问题( 3 3 0 ) - ( 3 3 5 ) 、( 3 - 5 5 ) 的特解为： _ l 学存巧一扬( 3 - 5 7 ) 西华大学硕士学位论文 珏_ z a 2 1 - # 誓，再一吧局 由式( 3 2 2 ) 可以得到线性化后的云们在l a p l a c e 空间中的解为： 如2 了r l l a 面= 蔼1 蹦1 ，扬 z ( 半训+ 届鬻叱。 综上所述云- ( 砀，z ) ，云：( r o ，z ) 具有统一的表达式： 珏一r l a r d 与2 - 。半训+ 磋1 焉嗡也厕 ( 3 5 8 ) ( 3 5 9 ) ( 3 6 0 ) 珏z a 2 1 - # 矿，再一吩乜石- 6 1 ) 4 考虑井筒储集和有效井径的分形油藏不稳定渗流 所谓的井筒储集效应是指当井简系统内的流体因为井筒压力的变化而产生弹性能 量的释放或聚集，从而引起井底压力发生变化的现象。 所谓的有效井径是指在实际中油藏开发中多数油井是不完善井，井底附近渗流面 积发生改变是其特点之一，在这种情况下把不完善井假想成具有某一半径的完善井， 其产量和压差与实际的不完善井相等。把这种假想完善井的半径称为折算半径或者有 效井径。 4 1外边界无穷大地层分形油藏模型 在分形复合油藏中，流体单相弱可压缩，忽略重力影响；流体以定产量q 向无穷 大地层中心一口井作平面径向渗流。 4 1 1 定产量生产时分形复合油藏的数学模型 分形复合油藏的数学模型的初始条件： a ( 厂，0 ) = p 2 ( r ，0 ) = p o ( 4 1 ) 考虑井筒储集和有效井径的内边界条件： 基于相似结构的分形复合油藏非线性渗流分析 i 二二一一 f p w ( f ) = p l ( 1 ，f ) p 孰k2 赤c 争 h _ 2 ) 交界面条件： f 局( 万。，f ) 2p 2 ( f r ，f ) t c 矧脚。= c 矧吨 3 外边界条件： , 2 ( o o ，t ) = 0 ( 4 4 ) 其中无量纲定义如下 疡2 紫以乩墉= 丽a v , m , d ：溉哏) ，c d = 去c 乞2 赢移乃2 煮移饧2 考2 r 。一如= 旯= 差， 酱帆= 学= 鬻了1 卺 南髻c 争2 等= 鲁+ 罢鲁吲鲁只c p ，护。， 匆考c 争2 等= 每+ 罢鲁玺只( r z ， l , t d 0 ， # d ( ，d ，0 )