（应用数学专业论文）四阶拟线性抛物方程组的定性分析.pdf

摘要 在这篇文章中我们主要考虑如下一维空间中的四阶抛物方程组柯西 问题整体解的存在性，大时间行为和三1 时间衰减速率 a 一腑协( 訾州触_ 0 魂飞+ 2 ( n ( 訾汹。卟城o 纰= p n ， ( p ，n ) ( z ，0 ) = ( p o ，珊) ( z ) ， 伽( 士o o ) = n o ( + o o ) = 芦 0 r zr z 令e = ( p 一佗) 必，e o = ( p o n o ) d 专，我i f i 正明了以下主要结果： ，一，- - 0 0 定理1 若p o 0 ，n o 0 ，( p o 一芦，n o 一力王产( r ) x 王p ( r ) ，仁( 伽一 卢) d y h 4 ( r ) ( 伽一声) d y 日4 ( r ) ，e o r e ( r ) ，且0 伽一酬日s ( 励+ 0 钆。一 硎日s ( 凡) + l l e o l l 。( r ) 充分小，则初值问题( 0 1 ) 有唯一的整体强解( p ，n ) ，并 且满足 p 一卢，n 一声l ( 0 ，+ o o ；h 3 ( 冗) ) nl 2 ( o ，+ o o ；h 5 ( 月) ) ，( 0 2 ) 以及 i l 磷0 一p ) ( t ) 1 1 2 + i i 磷m p ) ( o1 1 2 c ( i + 0 一( 1 + m ，t _ + o o ，詹= 0 ，1 ，2 ，3 ，( 0 3 ) i i 磋e ( t ) l l ；c e 一咿， t _ + o o ，歹= 0 ，1 ，2 ( 0 4 ) 定理2 在定理1 的假设下，若初始值还满足p o 一芦，n o 一芦l 1 ( r ) 以 及 r ( p o 一动d 茁= 0 ，易( 伽一力l 1 ( r ) ，卢( o ，1 ) ， ( o 5 ) f r ( n o p ) d x = 0 ，z 卢( n o 一力l 1 ( r ) ，( o ，1 ) ， ( o 6 ) 1o ，l 仉 仅 仉 忍 t t z 其中如是r i 镪z 位势算子，满足如f ( z ) = c 厶i z 一可l 卢一f ( u ) d y ，则初值问 题( 0 1 ) 的整体解在l 1 范数下，有如下的大时间衰减速率 t l ( p z ) ( t ) l + f f ( 霸一z ) ( t ) l l lsc ( 1 + ) 一星，t 一+ ，p ( o ，1 ) ， ( o 7 ) 上c ( t ) l l 工- c e 一枷( o 8 ) 注0 1 本文采用的分析方法可以推广到高维空间的情形 关键词t 四阶抛物方程组，大时间行为，整体解的存在性，l 1 时间 衰减 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yc o n s i d e rt h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n s ，l a r g e t i m eb e h a v i o ra n dt h el l t i m ed e c a yo ft h ef o u r t ho r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n s 旷p z z + 9 2 似垮州俐剐，圳， 傀一訾m 。卟纰o ，川， 妣= p n ， ( p ，n ) ( z ，0 ) = ( 伽，伽) ( z ) ， p o ( + o o ) = 伽( 士) = 卢 0 ，z，z l e te = ( p 一礼) 必，e o = ( p o 一伽) 必 j 一 j 一 h e r ea r eo u rm a i nr e s u l t s t 0 ， ( 0 1 ) z r t h e o r e m1 a s s u m et h a tt h ei n i t i a ld a t a p o 0 ，n o 0 ，( p o - p ，n 0 一动 王p ( 冗) h 3 ( r ) ，j ：。( j d b 一芦) d y h 4 ( r ) ，f - ( 佗。一卢) d 耖日4 ( r ) ，e o h 2 ( r ) ， a n d0 伽一卢j 1 日3 c r ) + l l n o 一卢0 h 3 ( r ) - i - i i e o i i h 口( r ) i ss u f f i c i e n t l ys m a l l t h e nt h eu n i q u e g l o b a ls o l u t i o n ( p ，n ) o ft h em ( o 1 ) e x i s t sa n ds a t i s f i e s p 一卢，n 一卢l ( 0 ，+ o o ；h 3 ( r ) ) nl 2 ( 0 ，+ ；h 5 ( r ) ) ，( 0 2 ) i 磋( p 一卢) ( ) 0 2 + l l g ( n p ) ( t ) 1 1 2 c ( 1 + t ) 一 ( 1 + ，t _ + ，七= 0 ，1 ，2 ，3 ，( o 3 ) f i 键e ( t ) l l ! c e 一枇，t 一+ ，j = 0 ，1 ，2 ( o 4 ) t h e o r e m2 u n d e rt h ea s s u m p t i o n so ft h e o r e m1 ，i ft h ei n i t i a ld a t aa l s o s a t i s f i e s 伽一磊n o 一卢l 1 ( r ) ，a n d 上一z ) d x = 0 ，x 卢( p o 一动el 1 ( r ) ，p ( o ，1 ) ， ( o 5 ) 厶( 伽一动出= o ，1 8 ( 咖一卢) el 1 ( r ) ，p ( o ，1 ) ， ( o 6 ) w h e r e 妇i s t h em zp o t e n t i a ld e f i n e db yb f ( z ) = c 厶i z 一训卢f ( y ) d y t h e n ， w eh a v et h el l - t i m ed e c a yr a t eo ft h es o l u t i o n ( p ，珏) o ft h e p ( o 1 ) f o rl a r g e t i m e ( p p ) ( t ) l l l + 0 ( n p ) ( t ) l l lsc ( 1 + t ) 一譬，t _ + o o ， ( o 7 ) e ( t ) l l 工- c e 一犀 ( 0 8 ) r e m a r k0 1t h em e t h o du s e dh e r ec a nb ea p p l i e dt od e a lw i t ht h eh i g h d i m e n s i o n a lc a s e k e yw o r d s ：f o u r t ho r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，g l o b a le x i s t e n c e ，l a r g et i m e b e h a v i o r ，l l - t i m ed e c a y 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容 外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品 成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担 学位论文作者签名：饼 日期：撕杯上月弓oe t 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 雌 - 7 1 岁。日 1 1 背景知识 第一章引言 近年来，四阶抛物方程因其在现代应用科学中的广泛应用越来越受 到人们的关注，如用于研究相变的c a l m - h i u i a r d 方程，描述固体表面微 滴的扩散过程的薄膜( t h i nf i l m ) 方程，模拟半导体电荷运输的量子流体 力学( q u a n t u mh y d r o d y n a m i c s ) 方程( 参见文献【2 ，1 1 ，8 】) ，及量子l a n g e v i n 方 程，即h e i s e n b e r g ( 参见文献【5 】) 方程等 对于c a h n - h i u i a r d 方程系统的研究自上个世纪8 0 年代开始，首先 c h a r l e s ，m e l l i o t t 和s m z h e n g 就常迁移率的情形研究的古典解的存在性 和爆破现象，他们在一维情况下研究了以下问题( 参见文献【3 】) 象+ 工，象= 掣，0 z l ，0 0 为依赖于丁的常数，f 0 可充分小 在量子力学框架上，f o r d - k a e m a z u r 已经得到了量子l a n g e v i n 方程， ( 也就是在热媒质中做布朗运动的粒子在考虑量子效应时的运动方程( 参 见文献 4 j ) ) ，即h e i s e n b e r g 方程 双幻毛k ( 1 5 ) 、“u ， ik ( t ) = 一轰 + f ( x ) + r ( o 其中k 是h e i s e n b e r g 动量算子，x 是h e i s e n b e r g 位移算子( 1 5 ) 中的第 二个方程即为e h r e n f e s t 方程k o s t i n 在假设k 的期望值与摩擦项成正比 的条件下，推导出一类非线性s c h r s d i n g e r - l a n g e v i n 方程( 参见文献【1 0 】) 2 0 0 6 年，李海梁等在假设稳定状态下速度是无旋的，并且速度在无 穷远充分小，初值充分接近稳态的条件下，下面的量子流体动力学方程 的整体解接近稳态( 参见文献 1 】) p t + v ( p u ) = 0 ，( 1 6 ) 蛳m 伽圆“) + v p = p e + 和筹) - 譬， ( 1 7 ) 入2 v e = p c ，v e = 0 ，z 月：3 ，t 0 ( 1 8 ) 初值条件 p ( x ，0 ) = p l ( z ) ，u ( x ，0 ) = 仳l ( z ) ，z 萨 其中p 表示电子密度，“表示速度，e 表示电场p = p ( p ) 表示压力函数 定义新变量 z _ z ，t 一睾，( 办，u r ，日) ( z ，t ) = ( p ，睾u ，e ) ( z ，手t ) 第一章引言3 代入( 1 6 ) 一( 1 8 ) ，得 侥办+ v ( 办“，) = 0 ， 嘲肫v 如锄晰v ) = 隅+ 萼删等h 嘶， a 2 v 日= 办一c ，vxe = 0 ，z 萨，t 0 让7 _ 0 ，我们得到量子漂流扩散方程 侥二仃p ( e - w h + 萼v ( 筹) ) j o a 2 v e = p gz j 护，t 0 其中p h 7 ( p ) = p ，( 力，h ( 1 ) = 0 详见( 参考文献【1 ，9 ，1 3 1 ) 1 2 定理与结论 我们考虑下面问题整体解的存在性，大时间行为和三- 时间衰减速 率 风山憎v ( p v ( 垒铲) ) + v ( p v 沪 。， 傀一卅撕( 咧等) ) 一v 凇v 钟o t 。， = p n ，舌 0 ， ( 1 9 ) 0 ，n ) ( z ，0 ) = ( p o ，伽) ( z ) ，。r n ， 伽( 士o o ) = 嘞( 士。o ) = 歹 0 为简单起见，我们研究一维的情况，即 风一纭一似垮_ = + ( 础= o 眦 啦饰( 訾瑚z 小似地川， 虹= p n ，t 0 ( 1 l o ) ( p ，n ) ( z ，0 ) = ( 伽，伽) ( z ) ，z j r ， p o ( 士o o ) = 伽( 士o 。) = 卢 0 4硕士毕业生毕业论文 2 0 0 8 年 本论文的主要结果t 定理1 1 若p o 0 ，n o 0 ，( p o 一卢，n o 一卢) h 3 ( r ) h 3 ( r ) ，仁( p o 一 声) d y 三( 劭，( m 一力d y h 4 ( 硒，e o h 2 ( 励，且l i p o 一硎伊( r ) + i l 铭。一 硎h 3 ( r ) - t - e o h 。( r ) 充分小，则初值问题( 1 1 0 ) 有唯一的整体强解( p ，n ) ，并 且满足 p 一卢，n 一卢l ( o ，+ 。o ；h 3 ( r ) ) nl 2 ( o ，+ ；h 5 ( r ) ) ( 1 1 1 ) 定理1 2 在定理1 1 的假设条件下，整体解( p ，礼) 在时间充分大时， 以代数速率渐近趋向状态厦即 | i 磷扣一力( 幻| | 2 + i i 磷( n p ) ( t ) 1 1 2 c ( 1 + 古) 一( 1 + 舢，t 一+ 。，k = o ，1 ，2 ，3 ( 1 1 2 ) 定理1 3 在定理1 1 的假设下，若初值还满足p o 一乒，n o 一声l 1 ( r ) 以及 ( p o 一卢) 如= 0 ，i , ( p o 一卢) l 1 ( r ) ，p ( 0 ，1 ) ， ( 1 1 3 ) 厶( 礼。一芦) 出= 0 ，如( 伽一动l 1 ( r ) ，卢( o ，1 ) ，( 1 1 4 ) 其中妇是r i e s z 位势算子，满足如f ( z ) = c 丘f z y 芦- i f ( y ) d y 则初值同 题( 1 1 0 ) 的整体解在l 1 范数下，有如下的大时间衰减速率 i i ( p 一卢) ( t ) 0 1 + i i ( - 一p ) ( t ) l l l c ( 1 + t ) 一暑，t _ + ， ( 1 1 5 ) i i e ( t ) l 正t c e 一护 ( 1 1 6 ) 为证明上述定理t 在第二章中，我们由先验估计证明方程组整体解的存在性，在第三 章中由能量估计，计算整体解的大时间行为，然后在第四章中得到( p ，n ) 渐近趋向状态( 卢，芦) 注1 1 本论文中出现的范数01 1 2 均表示”i i l 2 ( r ) 1 3准备知识 第一章引言 5 ( 1 ) 驴( q ) 空间：设( q ，p ) 是一个测度空间，t ( ) 是q 上的可测函数， 而且i u ( x ) l p 在q 上是可积的，1 p + o o 这种函数u ( x ) 的全体记作 护( q ，p ) ，叫做( q ，p ) 上的p 次可积函数空间妒( q ，p ) 按通常的加法和数 乘规定运算，并且把几乎处处相等的两个函数看成是同一个向量，经过 这样处理的空间仍是一个线性空间，并且定义范数t 泖) - ( 厶l “( z ) i p 咖) 砉， 当p = 2 时，护( q ，p ) 的范数简记为i | 1 1 2 ( 2 ) 三( q ) 空间：( q ，p ) 是一个测度空间，“( z ) 是q 上的可测函数 如果u ( x ) 与q 上的有界函数几乎处处相等，则称u ( x ) 是q 上的一个本 性有界可测函数q 上的一切本性有界可测函数的全体记作l ( q ，p ) ， 在其上规定范数； l i t i i l * ( n ) = e s ss u pi u ( z ) 1 ( 3 ) w p ( q ) 空间：设q 是即中的一个有界连通开区问。k 是一个非 负整数，lsp + o o ，对于q 中的任意函数u ，定义范敦， l ”( n ) 2 ( 厶i 沪u ( z ) i p 出) ；，la l 七 p ( q ) 三 让q ：l l u l l w ，p n ) 0 ，对于可测函数t ，1 p 0 0 ，1 七 o o ，1 g o o ，定义范数； 州咿；州嘞= ( 知咖，出) 纠4 0 令卢= j d 一卢，元= 扎一历e = p 一佗) 必= 一无) 必，则有 rz，z ，一，一 屯= e ，锄= 易，下面推导新变量卢，元，e 满足的四阶抛物型方程组 磊一砧+ 等( k 一( 南) 韶) + ( ( 声刊纰- 0 p o ， 氟一+ 等( 妃描一( 蔫) 嚣) - ( ( 元捌姒_ o ，汾o ， 屯。：p n ：声一宄， ( 2 2 ) ( p ，n ) ( z ，0 ) = ( p o ，7 l o ) ( z ) ，z 冗， p o ( + o o ) = 伽( 士) = 卢 0 磊一砧+ 萼( k 一( 南) 钟) + ( ( 卢蜊耽- o p o ， 氟一霉+ 筹( 元霉一一( 蔫) 托) ( ( 磊捌耽= 0 p o ， ：忍， ( 2 3 ) ( p ，n ) c x ，0 ) = ( p o ，咖) ( z ) ， z 冗， 伽( 士) = 珊( 士。o ) = 卢 0 1 2 ，- m 仉 m 蜀 t t z 8 硕士毕业生毕业论文 2 0 0 8 年 注意在上述计算中，我们运用了恒等关系式 p ( 訾) z 蛩1 一三( 锐 从方程组( 2 3 ) 中可以推出变量e 满足下面的四阶抛物方程 易一忍z + 号忍黜+ ( 2 p + 元+ 声) e = 厶， ( 2 4 ) 其中 ，一鹰，- k 2 一扎起廊： j pn 一肌, o n ：兰! 丝二塑壁鱼二型 ( 2 5 ) ：= ：一 二t ，- 礼p 。 b ? ( 磊+ 死)忍程 pn p 首先，我们给出局部解的存在性定理 定理2 1 设t l p o ( z ) 一酬日s ( 固 o ，则存在p 0 ，使得方程( 2 - 2 ) - ( 2 3 ) 的解( nn ，e ) 在t ( o ，p ) 存在，并且对任意的0 t t ，有 l l 尹( ，t ) 一p t i - 3 ( r ) 0 ，n o 0 ，在先验假设( 2 6 ) 成立的条件下，则对 ( 2 4 ) 的局部解e ( x ，) 有 i i e ( t ) l l ；+ i b ( 1 i e ( s ) i 偿+ i i e = ( s ) l l ；+ i i e , 霉( s ) 0 ；) 如d ( 而) ( 2 7 ) j 0 注2 2 由e 的定义，可得 忍= p 一礼= 痧一元， i 忍0 ；= i l 卢一元眶c ( 1 l # l l ；+ 0 训睦) 在悯睦+ 陋幢充分小的情况下，我们有i i e i i i 充分小，在下面证明整体解 的存在性和大时间行为时都会用到 引理2 2 在先验假设( 2 6 ) 成立的条件下，则对i v p ( 2 3 ) 的解( ，行) 下式成立 。磋硎pso 晓硎；i i 磋十硎；d ( 曲) j ：o ，1 ，2 ， ( 2 8 ) o 罐训k 。i i 识别i 引1l 醒+ a l l ；d ( 曲) 歹：o ，1 ，2 ( 2 9 ) 详见( 参考文献【1 4 1 ) 引理2 3 在先验假设( 2 6 ) 成立的条件下，则对，下式成立 ，= d ( 曲) 忍喾+ d ( 而) b ，( 2 1 0 ) 砚，= d ( 曲) a 旷2 e + d ( 曲) 磋+ 1 e + o ( s t ) o ! e + o ( 曲) 硬e ， ( 2 1 1 ) j = l ，2 ，3 证明；由引理2 2 ，引理2 3 得证 下面我们在假设( 2 6 ) 成立的条件下证明引理2 1 引理2 1 证明t 在( 2 4 ) 的两边同乘以e ，并对其关于z 在( 一o o ，+ o o ) 1 0 硕士毕业生毕业论文2 0 0 8 年 积分，井由引理2 2 ，左边，得 ，十f 上。慨一忍z + 尾一+ ( 2 卢+ 卢+ 元) 明e d x = 丢爰忙i 摆+ o 毋i 层+ i 6 2o e 川；+ e ( 2 卢+ 卢+ 而) e 2 如 三副d 钏。2 + 恻| 2 + 训6 - 2 也。肌硎e 幢 毫l 二f z - e 池= 一i 6 - 2j + 幻c o f e z 缸 ：一厂+ o o i f i 2 e z 一刿) 忍如 2j 一、p n p 7 一。” 萼e d ( 而) 霹- d ( 曲) e z d x 专d ( 而) | i b 旧+ ；d ( 西) o b 幢+ 。- o 忍善幢 其中，口l 。是一参数，选取q l 充分小，使得虿6 - 2 q l o ，则我们有 三勃驯；+ ( 1 - 6 - 2 0 ( a t ) ) i i e = i i ；+ ( 虿6 - 2 一a 。) i i e = i i ；+ p l i e i i 羔。 由6 - 1 ，从而有1 6 - 2 d ( 而) 0 ，我们有 三副d 圳。2 + 慨岍i l 忍z 叶z l i e i i ! o ( 2 1 2 ) 上式对时间s 在( 0 ，t ) 上积分，得 i i e ( t ) l l ；+ ( 1 i e ( s ) 惦+ i i e z ( s ) o ；+ o 忍z ( s ) l l ；) d ss o g o ) 这样引理2 1 得证 引理2 4 在引理2 3 的条件下对( 2 4 ) 的局部解e ，我们有 i i e ( t ) l l ；e - 2 犀( 2 1 3 ) 证明t 由( 2 1 2 ) ，得 丢磊dl i e ( 州+ 卢i i e ( 堋 o ，则有 三象l | 磋e 眩+ j j 键+ 1 昱艟+ | j 理+ 2 e i i , ；+ 声l i 键e 崦o ，歹= o ，l ，2 ( 2 。1 5 ) 取j = 0 ，1 ，2 ，并将三式相加，得 三d l l e ( s ) o 备。( 聊+ l i e ( s ) i l 备。( 固o 关于时间s 在( 0 , t ) 上积分，得 l i e ( t ) i | 备。( 固+ zo e ( s ) l 瞎t ( r ) d s d ( 南) 注2 4 由( 2 1 5 ) 我们有 三d u 。f l x = e ( 圳l ；+ f i i o ! e ( t ) i l l - o ， 从而推出 8 碰昱( 洲；c e 一职，歹= 1 ，2 ( 2 1 6 ) 2 3 卢，元的先验估计和高阶估计 有了e 的先验估计以后，我们来看一下多，元的先验估计。我们有下 面的引理 引理2 6 在引理2 1 和先验假设( 2 6 ) 成立的条件下，对( 2 3 ) 的局部 解( 卢，元) ，当0 t t 时，有 愀) 岍愀) 岍尉胁) 怫+ 懈) 慨+ l i e = ( 训) d s d ( 如) ( 2 1 7 ) 证明：在( 2 3 ) 的第一式两边点乘声，并对其关于z 在( 一，+ ) 上积 分，等式左边，得 慨一磊。+ 吾压z 端+ ( ( 卢+ 力e ) 。】倒z ，一 = 涮ld 批2 + i f 训；+ 和训；一c ( 声+ p ) e 压如 等式右边，得 萼e 譬诹d x d ( 驯川佃i 参 第二章整体解的存在性 将以上两式相加，得 三磊d 咿1 1 2 2 + l i 磊 睦+ 萼l i 豇| l ；一f 一f i e 磊如 ，十 一 声e 磊如+ d ( 曲) l i 压幢+ a 3 i i 勉眩 对i f , 的方程，我们有相似的结果 丢爰慷| i ；+ l i o ；+ 萼悔。川；+ f ：卢e 吒如 一f i e g x ( ：l r + d ( 曲) 0 元。i i ；+ q 4 i i , 忍x 霉眩 将( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 两式相加，得 1 3 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 三鬲d 胪2 2 + i i 别i ；) + ( o 磊i 睦+ i i 元。o ；) + 萼( i i 珏i 层+ i i 元x 。o ；) + 纠i 忍o ； 厂+ , a e 忍一厂+ 壳。如+ d ( 西) ( o 以幢+ o 幔)(220)dx f i e 2 0 忍 一 壳。如+ d ( 西) ( i i 以幢+ 0 行。幔) ( 2 ，- - o oj 一 + o , 3 1 1 磊。畦+ 0 4 i l 宄甜幢 其中 ，十田，十口q，十 le 晷z d z 一|氟e 毳z d r , = | 0 晷蚕z i 流0 e d x ，一，一j 一 = 三e 昙( 沪一确e 出= 一互1e 忍佑一酬卢+ 元) 出 ( 2 2 1 ) ：一石1 厂+ + 元) 鹾如一三卢i i b 幢 将【2 2 1 ) 帝入【2 2 0 ) ，得 三磊d 咿2 2 + i i g l l ；) + ( 1 一d ( 曲) ) ( o 磊i 睦+ i i 玩o ；) 2 + ( 吾一m a , x ( q 3 ，啦) ) ( o 忍。i i ；+ l l 宄军。o ；) + 万1 p i l d 。2 2 0 将上式整理并在( 0 , t ) 积分，得 慨) 嚏+ 崎( ) 眩+ r ( 1 l 多( s ) 临：+ i i 而( s ) 临。+ i l 艮( s 淞) 幽o ( 南) 引理得证 为验证先验假设( 2 6 ) ，我们需要对西，元进行更高阶的估计 1 4 我们有下面的引理： 硕士毕业生毕业论文2 0 0 8 年 引理2 7 在引理2 1 和先验假设( 2 6 ) 成立的条件下，对i v p ( 2 3 ) 的 局部解( 卢，元) ，当0 t t 时，有 i i 卢( t ) o 备。+ i i 元( t ) i i 备。+ o 。( i 陋( s ) | i 备s + i i 元( s ) i l 备s + l i e ( s ) i i 刍t ) d s d ( 品) ( 2 2 2 ) 证明。对方程( 2 3 ) 第一式关于z 求j 阶导数，并与磋卢相乘，然后关 于x 在( 一，+ o 。) 上积分，各项分别计算，得 + 例五一理蠡+ 等每瞄z 嚣+ 磋( p e ) 。】。谚痧如 ：-oeo一xw瓣l k 五 但删 把( 2 2 3 ) 中各项积分分别记为厶，j 1 2 ，如，厶，厶，下面分别计算 整理得 五= 仁磋磊醒声如= 互l 夏d | 2 2 如：一广”键磊晚础：厂- t - 0 0 ( 瑶+ - 声) 。d x d x ：o 晓+ 硎；，如= 一醒磊醒声如= ( 瑶十1 声) 2 = 0 僻州硎；， 厶：芸厂- , t - o o 理磊z z 晓卢如：等。秽z 硎；，厶= 寻醒磊z z 醒卢如= 寻0 a 纩2 硎；， 厶：厂+ 磋( p e ) 磋卢如：一厂+ 磋( p e ) 晓+ 1 卢如，厶= 醒( p e ) 醒卢如= 一 醒( p e ) 醒卢如， 毛= e 磋( 务嘞妇= e 磋( 务矿卢妇 ：o ( 而) 厂+ ( 磋卢+ 晚+ 声) 磋+ 。础= o ( 而) ( 醒卢+ 兹+ 1 声) 醒+ 卢如 o ( 曲1 ( 1 l 织圳；+ l i = + j l l l + 0 碰+ 2 j i l l ) 翔d 2 + i i 矽1 卢i i ；+ 扣+ 2 卢i i ；一e 磋( 加) 矽1 触 d ( 而) ( 0 理硎；+ i i 趣+ 1 刎；+ l i 晓+ 2 硎；) 第二章整体解的存在性 对元的方程我们有相同的结果 三丢。龟圳睦+ o 磋+ t 元i 瞎+ 譬i i 晓+ 。刮层+ o ( 曲) ( 磋磊惦+ l l 磋+ 1 酬；+ i i 磋+ 2 刮 将以上两式相加。得 其中 三矛d 惭 刚2 2 + + 百6 ：2 【l i 咙+ 2 础 + 训咙+ 2 础 磋m e ) 绣+ 1 冠如 磋元i i ；) + ( 0 磋+ 1 声i i ；+ 0 罐+ 1 元l l ；) + i i 磋+ 2 元l 瞳) + 卢| i 磋+ 1 e i ( 硬( 声e ) 谚+ 1 声一磋( 元e ) 理+ 1 a ) d x d ( 妨) ( i l a ! 痧艟+ i l 理磊瞻+ l l 秽1 声幅+ i l a 旷1 蠹艟 + ( 0 磋+ 2 卢i l ；+ i i 磋+ 2 元0 ；) ， ( 晓舻e ) 秽1 声一磋( 元e ) 矽1 a ) d z 【晓- 1 声e + q 磋_ 2 7 , o 。e + 趔。司碰+ 2 卢 一【带1 f l e + q 磋- 2 壳侥e + 而磋一1 司磋+ 2 f i d x d ( 而) ( 0 理+ 2 卢l l ；+ i i 髭一2 芦i i ；+ l i 卢l i ；) + d ( 而) ( i l 理+ 2 庇l i ；+ 0 a ! 薹一2 元0 ；+ 0 元0 ；) + 磋- 1 卢e 理+ 2 卢如一 磋1 宄e 磋+ 2 f i d x 1 5 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ，十，+ = 一( 理- 1 芦b 秽1 乒+ e 缱趔“刃如+ ，l ( 理1 元至乙醒+ 1 元+ e 硬壳a 纩1 神如 ，一 ，- - o o d ( 曲) ( o 磋卢瞻+ o 晓+ 1 卢幔+ i l g a l l l + o 磋+ 1 a l l l ) + 三 d ( 曲) ( i l 理硎；+ i i 理+ 1 硎；+ l i 磋训睦+ 0 醒+ 1 刚；) + d ( 而) ( 1 i 晓+ 1 e l l ；+ 0 理硎；+ i l 磋训i ；) 驯( 碰声) 2 一( 磋元) 2 d x ( 2 2 6 ) e e 1 6 硕士毕业生毕业论文 将( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 带入( 2 2 4 ) 并整理，得 三夏dl - 刚。2 + o 磋训i ；) + ( o 磋+ 1 声屹+ i i 磋+ 1 元幢) + ( 1 | 理+ 2 卢艟+ o 理+ 2 训i ；) + ( 三卢一o ( 曲) ) i i 磋“e i l ； _ o 2 0 0 8 年 在( 0 ，t ) 上积分，并取j = 0 ，1 ，2 ，3 ，将四式相加，得 i i p ( t ) l l 刍a + i 元( 舌) i i 备s + z l f 芦( s ) | | 备s + f f 壳( s ) i | 备s - t ：l i e ( s ) | i 备t d t d ( 而) 引理2 7 得证 由引理2 7 ，定理1 1 得证 注2 5 在以上的证明过程中，我们用到了 键( 譬) = 。( 曲) ( 碰+ 1 声+ 醒力 注2 6 在引理2 7 中，我们可以令晶充分小，使得 曲2 嬲( 0 卢i i h a ( r ) + i i 训1 日s ( r ) ) d ( 品) 1 ， 从而先验假设( 2 6 ) 得证 2 4 整体解的存在性 引理2 7 说明了在初始扰动足够小的情况下( 西1 ，南1 ) ，在短时 问内局部解是一致有界的根据连续性方法，我们可以将局部解延拓为 整体解，并且对于任意的t ，引理2 7 也是成立的，再由e 的先验估计， 我们得到整体解的存在性 第三章整体解的大时间行为 为得到柯西同题( 2 3 ) 的整体解( p ，磊) 的大时间衰减速率，我们首先 假设 s u p ( 1 + t ) 七+ 1 i | 磋硎；= m o 1 ，后= 0 ，1 ，2 ，3 ， o s 蛭丁 ( 3 1 ) s u p ( 1 + t ) k + 10 磷训；= n o 1 ，k = 0 ，1 ，2 ，3 u s s 1 由上式和s o b o l e v 不等式的嵌入定理，可得 l l 声0 m o 2 ( 1 + f ) 一3 4 ，i i 忍0 瞒2 c 1 + t ) 一5 4 ，0 磊蕾i i 磁7 2 ( 1 + 舌) 一7 4 ， i i , 忍l l o o 埘7 2 i x + t ) 一3 4 ，l l 壳。0 o ，我们有 ( 1 + ) ( 恻瞪+ i i 元嘞+ z ( 1 + s ) ( o 磊幢+ i i 玩旧幽 + z ( 1 + s ) ( o k 嚏+ o 玩。i i ；) d s + 卢z ( 1 + s ) o 忍幄a l s d ( 曲+ 南) 定理3 1 得证 注3 1 在以上的证明过程中我们用到了 r tr t e = ( p n ) d z = ( 卢一元) d z ， j 一j 一 从而推出 0 忍屹一l i 芦幡+ 0 剜睦 在以后的证明中我们会用到 定理3 2 假设( 3 1 ) 成立，则对t 【o ，卅和j 1 ，2 ，3 ，初值问题( 2 3 ) 的 解( 声，元) 满足 ( 1 + t y + 1 ( o 磋剧2 + i l 理训1 2 ) + z ( 1 + s 户+ 1 ( o 磋+ 1 硎2 + o 理+ 1 元0 2 ) 幽 + z 。( 1 + s ) j + 1 ( o 晓+ 2 刎2 + o 秽2 训1 2 ) d s + 卢z ( 1 + s ) n l o 磋+ 1 e 幢d s ( 3 6 ) d ( 西+ 而) 硕士毕业生毕业论文 2 0 0 8 年 证明。下面证明j = l 的情况对方程( 2 3 ) 的第一二式两边关于z 求一 阶导数并分别乘以( 1 + s ) 2 磊，( i + s ) 2 元。，对其关于( z ，8 ) 在( 一o o ，+ o o ) x ( 0 ，t ) 上积分，两式相加得 丢( 1 + t ) 2 ( o 磊昭+ o 死喝) + 上( 1 + s ) 2 ( o 磋卢噱+ i i 磋训i ；) d s + - 6 - f ( 1 + s ) 2 ( 1 l 缱硎；+ i l 醒元嗡幽 ：z 。( 1 + s ) ( o 磊瞻+ i i 吃瞻) d s + 譬z 。e ( 1 + 扩眩磋( 譬) + 礼磋( 警) 1 出d s t 厂佃( 1 + s ) 2 慨磋( 加) 一f i = 磋( n e ) d x d s ， ”卜 ( 3 7 ) 我们对方程( 3 7 ) 右边几个重要项进行估计，其余证明方法与定理3 1 完 全类似由( 3 1 ) ，( 3 2 ) 式和定理3 1 ，有 瓤c ( 1 + s ) 2 【绷争硼釉如如 ：一譬rc ( 1 + s ) 2 慨娥和磋( 譬如 = o ( 而) z 。e ( 1 + s ) 2 睡z ( 砧+ k + 庶) + 元嚣( 吆+ 元霉+ f i 4 ) d x d 3 d ( 曲) f ( 1 - i - s ) 2 ( 1 i 磊。i i ；- i - o 磊。i i ；+ i i 元i i ；- i - l i 元霉z 正嚏) d s ，0 + 。( 而) z e ( 1 + s ) 2 庶+ 纰】如妇 p o ， 根据f 3 1 1 ，f 3 2 1 我们有 j 0 0 te ( 1 + s ) 2 慨庶帆z f i ： d x d 8 r t，十 d ( 曲) f ( 1 + s ) 一言( 磊z 忍- i - 如玩) d x d s sd ( 西) f 。( 1 + s ) 2 ( o 压z i i ；+ | | 元。z 嗡幽 + d ( 曲) ( 1 - i - s ) ( 慨旧+ 0 2 。) d x d s 第三章整体解的大时间行为 2 1 譬z e ( 1 + s ) 2 慨磋( 譬) + 玩磋( 鲁- 2 ) 】如d s d ( 而) r ( 1 + s ) 2 ( 1 i k 眩+ o 以嚣l l ；+ l i 玩z o ；+ o 。o ；) 如 ( 3 9 ) + d ( 曲) z 。( 1 + s ) ( ；+ 慨i i ；) d s ， 一f 厂+ ( 1 + s ) 2 慨磋( j d e ) 一玩磋( n e ) 】如d s j oj 一 = z c ( 1 刊2 慨如耽一如( 。 d x d s = rc ( 1 + s ) 2 【- 三b 忍。( 瓦+ 玩) + 觑+ 元b 毋+ 压。e ： d x d s = 一e ( 1 + s ) 2 己如( 忍+ f i x ) d x d s re ( 1 + s ) 2 蹦2 p - 一元