（应用数学专业论文）增广的旋量空间和riemannroch算子.pdf

增广的旋量空间和r i e m a n n - r o c h 算子 中文提要 增广的旋量空间和r i e m a n n r o c h 算子 中文提要 在物理中。p a u i i 矩阵为 ( 只1 只弓+ b b = 一2 钆，耳1 = z ) 任意给定两组p a u l i 矩阵 p j ， 豆 ，由s c h u r 引理可知存在矩阵t ，使得式子 ? 只丁以= 只 成立，其中t 以= 亍，这榉的t 彼此之间差一个倍数，所以每两组p a u l i 矩阵之 间除差一个相似变换外，还有一个不确定的因子e 埘物理上的p a u l i 矩阵与数学中的 旋量是等价的将p a u l i 矩阵转化为数学中旋量语言：任何两个旋量空间是s c h u r 同 构的，这样的同构彼此之f 司差一个不确定园子e 坤本文前半部分就是为了消除这种不 确定性，得到旋量之间的s c h u r 恩 勾的惟一性，期望对物理上有帮助，文章后半部分 给出r i e m a n n r o c h 算予和d i r a e 算子之间的关系 首先，具体介绍了c l i f f o r d 代数并定义了它的子集s 研n 群和s 肋群，并且给 出这些群及它们的李代数在向量空间y 上的作用，可以得到s p i n ( 2 n ) 与s o ( 2 n ) 及 它们李代数之间的关系，并给出s p i n c ( 2 n ) 的定义 其次，将物理中的p a u l i 矩阵陈述成数学语言得到旋量空间，并在旋量空间土加 入增广的结构；j a c k - 映射t ，和j a c k 定向元e ，这样就可以得到维数相同时旋量之间 s c h u r 同构的惟一性，紧接着我们给出旋量的标准模型；g r a s s m a n n 代数a b ( n ) ，并 且定义标准模型上的增广结构随后通过定义张量积的概念和张量积上的增广结构， 我们可以把低维的情形推广到高维 最后，讨论r i e m a n n - r o c h 算子和d i r a e 算子的关系，由嵌入i ：( n ) _ 跏i n e ( 2 n ) ， 则m 上有u ( 佗) 结构可以说明m 上有s p i n c ( 2 札) 结构，并讨论了m 上的l e v i c i v i t a 联络v ，近复联络v c 及s p i n c ( 2 n ) 联络v 5 之问的关系，接着给出近h e r m i t e 流 形m 上的r i e m a n n - r o c h 算子及它的d i r a c 表示，最后由上面得到的s c h u r 同构的 i 增广的旋量空间和r i e m a m l - r o c h 算子 中文提要 惟一性，可以把m 的向量丛而( 曲a 各( 上的r i e o a a n n - l b c h 算子提升到旋量丛 岛脚c ( 孤) s 上得到d i r a c 算子，其中用复结构给出的s 埘订c ( 2 n ) 联络分为两部分，第 一部分由l e v i - c i v i t a 联络决定，第二部分与j a c k - 映射有关( 我们已得到这个关系， 正在检验中) 关键词：p a u l i 矩阵，旋量， 增广的旋量空间，r i e m a n n - r o c h 算子，d i r a e 算子 i i 作者：冯秀红 指导老师：虞言林 a u g m e n t e ds p i n o rs p a c ea n dk i e m a n n - r o c ho p e r a t o r a b s t r a c t a u g m e n t e ds p i n o rs p a c ea n d r i e m a n n - r o c ho p e r a t o r a b s t r a c t p a u l im a r t i c e si 鼻p h y s i c se q u a lt os p i n o rs p a c ei nm a t h e m a t i c s ，i np h y s i c s ，p a n l i m a t r i c e sa r e 忍1 只弓+ b 只= - 2 西，p - 1 = z f o ra n yt w op a u l im a t r i c ss y s t e m s 只) ，饵 ，b ys c h u rl e m m a ，t h e r ee x i s t sa nu n i t a r y m a t r i xts a t i s f y i n g 职t “= 只 w es a yt h e s et w op a u l im a t r i c e ss y s t e m sa r ee q u a l ts a t i s f y i n gt h i se q u a i i t yi su n i q u e u pt oam u l t i p l ee 讲，s ot h e r en o to n l ye x i s tat r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nt w op a n l im a , - t r i c e ss y s t e m s ，b u ta l s oa nu n c e r t a i nf a c t o r ，s oc o r r e s p o n d i n gt os p i n o rs p a c e ，i s o - m o r p h i s m b e t w e e na n yt w os p i n o rs p a c e si su n i q u eu pt oam u l t i p l ee i o f o rs t u d y i n g s p i n o rs p a c e , w ed e f i n ea na u g m e n t e ds p i n o rs t r u c t u r eo us p i n o rs p a c e ，t h u sw ec a ng e t t h eu n i q u e n e s so fs c h u ri s o m o r p h i s m ，t h i sn e wc o n c e p th o p et ob eh e l p f u lt op h y s i c s ，i n t h el a s tp a r t ，w eg i v et h er e l a t i o nb e t w e e nr i e m a n n - l r o c ho p e r a t o ra n dd i r a co p e r a t o r f i r s t l y ，w e i n t r o d u c e c l i f f o r d a l g e b r a i n d e t a i l a n d i t s s o m e s u b 簪o u p ：s p n ，s p i n c a t t h es a m et i m e ，w e 舀v et h ea c t i o no ft h e s eg r o u pa n di t sl i eg r o u po ns p a c e f u r t h e r - m o r e ，w ec a ng e tt h er e l a t i o nb e t w e e ns 弘n ，s 枷a n ds o ( 2 , 0 s e c o n d l y , w et r a n s l a t ep a n l im a t r i c e si n t os p i n o rs p a c ei ng e o m e t r yl a n g u a g e b y s c h u rl e m m a w ec a ng e tt h ei s o m o r p h i s mb e t w e e nt w os p i n o rs p a c ei su n i q u et oe 街 m u l t i p l e t h r o u g ha d d i n gs o m e8 t m c t u r e ：j a c k - m a pa n dj a c k - o r i e n t a t i o n ，w ec a ng e t t h eu n i q u e n e s so fi s o m o r p h i s m c o n s e q u e n t l y , w eg i v ean a i v em o d e l ：g r a s s m a n na l g e b r a t e n s o rp r o d u c to fs p i n o rs p a c ec a ne x t e n dl o wd i m e n s i o nt oh i g h e rd i m e n t i n a l s p a c e l a s t l y , w es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nr i e m a n n - r o c ho p e r a t o ra n dd i r a co p e r a t o r 1 f t h e r ei sau ( n ) s t r u c t u r eo f fm ，b yi m b e d d i n gi ：扩( 拈) 一s 翻竹口( 2 绍) ，w ec a rg e ti t s s p i n cs t r u c t u r e a tt h es a m et i m e ，w ed i s c u s st h er e l a t i o na m o n gl e v i c i v i t ac o n n e c - i i i a u g m e n t e ds p i a o rs p a c ea n dp d e m a n n - r o c ho p e r a t o r a b s t r a c t t i o nv ，a l m o s tc o m p l e xc o n n e c t i o n v 。a n d s p i n c ( 2 n ) c o n n e c t i o nv s c o n s q u e n t l y , w e g i v er i e m a n n r o c ho p e r a t o ro na l m o s th e r m i t em a n i f o l dm a n di t sd i r a cr e p r e - s e n t a t i o n f u r t h e r m o r e ，b ya b o v ea u g m e n t e ds t r u c t u r e ，w ec a ni u d u c er i e m a n n - r o c h o p e r a t o ro n 乃加) xa 吝( u ) t oj 3 翰n 。( 2 ，i ) s ，w ec a ng e td i r a co p e r a t o r ，i t s5 研佗。( 2 n ) c o n n e c t i o ng i v e nb ye o m p l e xs t r u c t u r ed e c o m p o s et ot w op a r t ，t h ef i r s tp a r ti sd e c i d e d b yl e v i - c i v i t ac o n n e c t i o n ，t h eo t h e rp a r th a sr e l a t i o nw i t hj a c k - m a p k e y w o r d s ：p a u l im a t r i x ，s p i n o r ，a u g m e n t e ds p i a o rs p a c e ，r i e m a n n - p l o c ho p e r a t o r ， d i r a co p e r a t o r w r i t t e nb yf e n gx i u h o n g s u p e r v 培e db yp r o f y uy a n l m 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 y 9 5 7 3 3 8 本人郑重声明，所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承担 本声明的法律责任 研究生签名，墨丕! 兰日期。竺! ：堡! 学位论文使用授权声明 苏州大学中国科学技术信息研究所、国家图书馆清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文 的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名，! 墨盔堡日期：礁迢，幺! 互 导师签名 麈钍啉碰业 增广的旋量空间和r i e m a n n - r o c h 算子 引言 引言 量子力学中采用p a u l i 矩阵来描写物理现象和推理，其应用比较广泛由于每两组 p a u l i 矩阵之间除差一个相似变换外，还有个不确定的因子e 坩，因此物理中的d i r a c 方程必须而且容许e 甜的不确定性由于物理中的p a u l i 矩阵和数学中的旋量是等价 的，我们就来讨论旋量，将p a u l i 矩阵转化为数学中旋量语言为：任何两个旋量空间 是s c h u r 同构的，这样的同构之间差个不确定因子e 胡为了消除这种不确定性，在 1 9 9 7 年虞言林1 2 1 就已经在4 维情况下引入了旋量上的增广结构，后来冯惠涛部分地 推广到了高维本文我们还增加了定向元的概念且讨论在高维的情形文章前半部分 就在旋量空间上增加了一些结构使得任何两个旋量空间的s c h u r 同构是惟一的，期望 对物理上有帮助 微分几何中有四类重要的椭圆微分算子，它们是d er h a m - h o d g e 算子，s i g n a t u r e 算子，r i e m a a n - r o c h 算子，d i r a c 算子文章后半部分给出r i e m a n n r o c h 算子和 d i r a c 算子之问的关系，具体安排如下， 第一，二章，作为预备知识具体介绍丁c l i 硒r d 代数及c l i f f o r d 模的定义，并定义 了c 1 i 铴r d 代数的子集s a n 群和s 川群，且给出这些群及它们的李代数在向量空 间y 上的作用，可以得到s p i n ( 2 n ) 与s o ( 2 n ) 及它们李代数之间的关系，最后给出 s a n c ( 2 n ) 的定义 第三，四章，介绍了物理中p a u l i 矩阵的来源，并将其转化成数学语言得到旋量空 间，由s c h u r 引理可以得到旋量之间的同构在e 埘倍数下是惟一的，接着我们在旋量上 加入增广的结构：( 1 ) j a 矗- 映射j ：s _ s 是一个反复线性映射，满足下面两个条件 ( 1 ) j u ，j v = 百万莎， 口s ( 2 ) e i j = j e l ：s - + si = 1 ，2 n ( 2 ) j a c k - 定向元，即满足下面条件的元素； 忍f e 抽1 ，f = 1 ，j f = e 增广的旋量空间和r i e m a n n - r o c h 算子 引言 这里 ， = ；函嚣1 川：。，耋茗釜 个增广的旋量空间是通常的旋囊空间加上个j a c k - 映射和j a c k - 定向元，于是可以 得到维数相同时增广的旋量空间之间的s c h u r 同构的惟一性，即本文主要定理；给 两个增广的旋量空间赢和赢，存在惟一的一个同构t ：赢霹，使得； ( 1 ) t e ：1 ) = e ：2 ) z对任意的i = 1 ，2 n ， ( 2 ) z ( “) ，f ( t ，) ( 2 ) = ，t ，( 1 ) ，对任意的t ，口贫， ( 3 ) ，( 2 ) ? = z ，( 1 ) ：贲+ 霹， ( 4 ) t ( j 1 ) ) = e ( 2 ) ， 这里e ，( “，j ( 。) 和e ( n ) 是袭上的c l i f f o r d 代数，h e r m i t i a n 内积，3 a c k 映 射，j a c k - 定向元，其中口= 1 ，2 第五章，我们给出旋量空间的标准模型g r a s s m a n n 代数a b ( n l i ，q 。) ，同样可 以在标准模型上定义增广的结构：c l i f f o r d 代数作用，s p i n 内积，j a c k - 映射j 和 j a c k - 定向元1 第六章，通过超结构定义张量积的概念，很自然地有；a 6 ( n ) o a 各( m ) = a 5 + 仇) ， 也可以定义张量积上的增广结构，这样就可以把低维的情形推广到高维 第七章，给出上面代数的内容在几何上的应用，讨论r i e m a n n - r o c h 算子和d i r a e 算子的关系，由嵌入i ：u ( n ) - s p i n c ( 2 n ) ，可以得到交换图表 ( ”) 与。罗础n c ( 2 n ) 五上p l s o ( z n ) 通过上面的图表讨论m 上的h e r m i t e 联络v 耳，近复联络v 口及s p i n f ( 2 n ) 联络v 8 之间的关系，并给出2 n 维近h e r m i t e 流形m 上的外微分算予d 和余外徽分算子6 = 一出，分别计算出否和秒，得到r i e m a n n - r o c h 算子否+ 矽，并给出它的d i r a c 表示，若 m 有u ( n ) 结构可以得到m 上的跏n c ( 2 结构，即：b 一。c ( 2 n ) = 功( 。) x s 撕n c ( 2 n ) ， 也就可以得到m 的旋量丛b p l 。a ( 2 t i ) s 最后由上面得到的s c h u r 同构的惟性，可 2 增广的旋量空间和砒e 竺竺兰兰三 里 _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - 一一 以把m 的向量丛而( 。) a 各( n ) 上的r i e m a n n - r o c h 算子提升到旋量丛p s 邮c ( 2 n ) s 上得到d i r a c 算子。具体方式为，任意的，) r ( e s 辨n c ( 2 n ) j s ) 口山( 仉，) ：( 西。也) 茗p + 拶) ( 毋2 ) 而，) ， 其中 ( l 2 ) j o ：e 兰只枷。( 2 。) s + 豆兰功( n ) a s ( , o 表示它们之间的同构映射我们可以把口j o 清楚地表达出来，并用j a c k - 映射，来解 释s p i n e ( 2 n ) 联络中的行列式丛联络那一部分 3 增广的旋量空间和p l i e m a z m - r o c h 算子 第一章 c l i f f o r d 代数 第一章c l i f f o r d 代数 本章主要介绍了c l i f f o r d 代数，并给出了它的邑- 次分解，接着定义了c l i f f o r d 模，并且具体给出了c l i f f o r d 代数在外代数上的作用 ， 第一节c l i f f o r d 代数 定义1 1 1 令y 是一个交换域k 上的向量空间，其上具有二次形式q ，空间( v , q ) 的c l i f f o r d 代数e q ) 是个具有单位元的结合代数，定义如下， 令r ( y ) = 曼。y 是y 的张量代数。这里 圆v = 口l 圆也o o 仇卜l ，仇y ) 。 定义( y ) 是t ( v ) 的由d oz ，+ q ( 口) l y ) 生成的理想c l i f f o r d 代数c ( k 口) 定义为商空间t ( v ) t o ( y ) 由f 7 1 可以得到下面的命题： 命题1 1 2 典范投影l r q ：t ( v ) _ e ( v q ) 限制在口= 圆1 v 上是个单射 c l i f f o r d 代数c q ) 满足关系式； l 忱4 - 忱口l = - 2 q ( v l ， 0 2 ) v 口1 ，v 2 矿 由于q 是对称的，满足，2 q ( , 1 ，v 2 ) = q ( ”- + 2 ) 一q ( v ) 一q c v 2 ) ，所以有； t ，2 = 一q ) ，0 矿 由上面的关系式可以得到下面的定理t 定理1 1 3 若a 是一个具有单位元的结合代数，c ：v a 是一个线性映射满足 c ( 口1 ) c 池) + c ( 忱) c ( 口1 ) = - 2 q ( v l ， 2 ) 则由c 延拓可以得到惟一的代数同态石：e q ) o a 证明；由c ：v a 可以延拓为己：t ( v ) - + a 又因为 琶( o + q ( 口) ) = c ( v ) oc ( v ) + q ( v ) = 0 ， 4 所以 0 ) = 口。口+ q 0 ) k e r 由代数同态基本定理可知存在惟一的代数同态石：c q ) - + a 口 定义1 1 4 令口：zt 十a ( $ ) t c v ) 上的由z 卜+ 一霉诱导的反自同构t 满足l a ( z l x 2 ) = q ( z 1 ) 口( z 2 ) 所以有2 q 扣。讥，： ! ：二? 。，耋：篓銎 注：由于舻= 1 ，所以张量代数t ( n 有乙次分解t t ( v ) = t + ( y ) + ? 一( y ) t + v = 妒t c v ) ：q ( 妒) = 妒) ， t v = 妒t ( v ) ：a ( 纠= 一妒) 是o l 的特征空间 即有： t + ( y ) = r 0 0 2 v o 圆4 v o o o 驰v o t 一( y ) = v o 。3 y 0 0 5 y o o 。2 七+ 1 v e 它是t c v ) 的一个超结构 由于 a ( u 。) 。o 。( v 2 ) + q ( 也) 。a ( v 1 ) + 2 q ( o 。( v l ) ，乜( 也) ) ，a ( u 1 ) o) + q ( 也) o) + ，乜【也) j ， = ( 一口1 ) o ( 一 2 ) + ( 一u 2 ) o ( 一 1 ) + 2 q ( 一t ，1 t 一也) ：t ，l p 抛+ 也p t ，l + 2 q c v l ，也) 所以) 在a 的作用下是不变的，因此它诱导c ( v q ) 上的一个反同构 若( y ) = w ( y ) ，则有： g + ( k q ) = r o 俨( y ) o ( y ) o o g 2 ( y ) 。， c 一( k q ) = y o 伊( y ) o c 5 ( y ) o 。a 驰+ 1 ( y ) o 增广的旋量空间和r i e m a n n - r o c h 算子第一章c l i f f o r d 代数 c ( v q ) = g + ( k q ) + e 一( k q ) d i m ( v ) = 2 n ，令 e ， 忙1 ，2 。是v 的关于二次形式q 的幺正基，即；q ( e 。，e j ) = 则有t 黧i “= 1 伽 当n = 1 时，c l i f f o r d 代数就是四元素h ，日是由 1 ，i ，五) 生成的对应关系为； 在四元素日i - 有- 4f l 然的内积或二次形式q ( ，) 为： = 厮= 俪 增广的旋量空间和r i e m a n n 竺兰竺三 竺二兰! 竺! ：! 竺 一一一 在这个模下，基( 1 ，i ，j ， 是幺正的 注：若对于竹维四元素空间h “，有标准的内积 q ( ( q 。，甄) ，( d ，磊) ) ：妻q 。z ， l = l 标准的模 n l ，一，鼽) 1 | = q 1 蕊 i = l 第二节c l i f f o r d 模及外代数 定义1 2 1 令s 是实数r 或复数c 上的模，如果在s 上有个c l i f f o r d 作用 c 矗( 一1 ) s 与 s ( e ，) 卜+ e c z 或等价于有一个代数同态 ( 一1 ) 与e n d ( s ) z卜 c ( e ) 其中 c ( e ) ( z ) = e c z 则e 叫做一个c l i f f o r d 模 外代数就是c l i f f o r d 模的一个例子 定义1 2 2 向量空间v 的外代数a ( y ) 定义为t ( y ) a ) ，这里死( y ) 是由形式为 ( 口l o 固仇p 仉+ 1 0 圆v k ) + v t o q 十l o 吨圆o ) 生成的理想 则有 a ( y ) = a v 七= l 这里 胪v = o w 靠( y ) 7 令挑是外代数中对应于v 中的e i 的元素 定义1 2 3 令 e ：y - + h a m ( a v , a + 1 v ) 是y 在a ( v ) 上的外积，即：ve l v 很明显有； 定义1 2 4 令 e ( e i ) ：a 七v + a + 1 y 删卜地a t o ， e ( e i ) l a a w k ) = t d i a w l a 一a u ：y _ h o m ( a k a 。一1 v ) 是矿在a ( ”上的内积，即，v 矗v 很明显有， 令 ( e ，) ：a y + a 。一1 y t jhq ( 恍，伽) k ( e t ) ( u l a u k ) = ( 一1 ) 一1 6 巧u l a a 岛a a w k j = l e _ = e ( e i ) + 6 ( e ，) ，e - ；= e ( e i ) 一( e ，) 引理1 2 5 对v 中的任意的邑，勺，有， e ( e t ) 。( e j ) 4 - ( e j ) e ( e t ) = 岛 证明：对a k v 中的任意元素u 1 a 峨，有： e ( e i ) 。( 勺) la a u k ) = 酬睦( - 1 ) 卜1 啪- 。l a - - a w k ) ：圭( 一1 ) 一1 西l c ，i a w l d l u 8 增广的旋量空间和r i e m a n n - r o c h 算子 第一章c l i f f o r d 代数 所以有 ( 勺) e ( e t ) p 1a au k ) = 6 ( 8 j ) ( 咄a u l a a u k ) = 5 。j w l a - a 魄+ 轰( - 1 ) 她a w l a - a 。f 一 u t e ( e i ) l e j ) + 。( e ，) e ( e ；) = 幻 引理1 2 6 对y 中的任意的e t ，e j ，有t 证明，对a y 中的任意元素w 1 a a u ，有； 所以有 ( e ( e ) ( e j ) + e ( e ，) e ( e t ) ) ( u la a 魄) 2 眦a a u l a a u + 哟a d i a u l a a w k = 纰a 屿a0 3 1 a a 叫i 一咄a 岣a l d l a a w k =0 o ( e i ) 6 ( 勺) + ( 勺) ( e 。) ) ( u 1a au 七) = ( e j c e 5 1 ) 一1 毛l u l 锄 ) + 6 ( e j ) ( , 量 ( 一1 ) 一1 6 ；l u a l a w k ad l 峨) ， = 壹( 一1 ) 一1 ( ( 一1 ) 。一1 以l 民s u l a a o 。a d l a a u 七 + b ( - i ) 5 2 毛l 轧l a a 国a o s a a w e ) + 壹( 一1 ) 一1 ( ( 一1 ) 。一1 如磊，u l a a 矾a 觏a a 叫女 + ( 一1 ) 5 2 五l 以，w l a a 国a a 瓴a ac “) j =0 e - 哆+ 才e = ( f ( 岛) + ( 岛) ) ( c ( 白) + ( 白) ) + 0 ( 白) + ( e ，) ) 0 ( 岛) + t ( e 2 ) ) = f ( b k ( 白) + e ( e j e e i ) + ( 白) 5 ( 勺) + 5 ( 岛) 6 ( 岛) + e ( e i ) ( 勺) + ( 勺) ( e i ) + ( 勺) ( e ，) + ( e 1 ) e ( 勺) = 2 9 也m i j = j i +一；+ e e e 寸町可 + + + fq盯一勺 +i一i+； e e e ，-l-_，l-l【 增广的旋量空间和r i e m a n n - r o c h 算子 第一章c l i f f o r d 代致 岛e j + e j 岛 = ( e ( 瞄) 一。( e ，) ) ( e ( 勺) 一。( 勺) ) + ( ( 勺) 一( 勺) ) ( e ( e ) 一。( e t ) ) = e ( e i ) e ( e j ) + e ( e j ) e ( e ；) + ( e 。) l ( 勺) + ( 勺) ( e i ) 一0 ( e t ) 。( e 】) + 。( e ，) e ( e 。) + e ( 勺) 。( e t ) + l ( e i ) ( 勺) ) = - 2 6 i j e 町+ 哼e ， = 0 ( 龟) + l ( 岛) ) ( e ( 勺) 一( 勺) ) + ( e ( e 3 ) 一6 ( 勺) ) “( e t ) + 。( e ) ) = e ( e 。) e ( e j ) + e ( e ，) ( e 。) 一( 白) ( 8 j ) 一( 勺) ( e t ) 一e ( 吮) ( 岛) 一( 勺) f ( 岛) + e ( 勺) 。( 民) + 5 ( 岛) f ( 勺) =0 口 定义1 2 7v 在外代数a ( v ) 上的作用定义为 一水加巍二震采篡 推论1 2 8 作用c ：v - e 埘( a ( 矿) ) 可以推广到a ( v ) 上的c l i f f o r d 代数c 2 ( - i ) 作 用 证明；当t ，j 为奇数时，令 = 2 k 一1 ，j = 2 1 1 有， c ( 岛) c ( 勺) + c ( e j ) c ( 岛) = 乎( e 五一1 + 、：了e 荔) 孚( e 云一1 + 、j e 刍) + 譬( e 云一l + 、7 = - e 击) 乎( 咳一l + 磁) = ；( e 磊一i e 一2 1 一l e 去e 刍+ 、j e 五一l e 刍+ 、风鑫e 五一1 ) + 乱1e 型- 一l e 磊一l e 刍e 矗+ 、j e 云一1 e 矗+ 、= i e + f t - 七一1 ) = 一2 乱l 当i ，j 为偶数时，令i = 2 k ，j = 2 1 有： c ( e - ) c ( e j ) + e ( e j ) c ( e , ) = = 铲( e 矗一l + 、风五) = 铲( e 去一1 + 、：- e 面) + = 荔尹( e 刍一1 + 、风面) 二疰生( e 轰l + 、= - e 矗) =一；( e 荔一l e 刍一l e 五8 云+ = i e 矗1 e 云+ 忍五吐一1 ) 一 ( e 刍一1 e 矗一1 一e 五e 五+ 、j e 刍一1 e 五十、玎e ；- 。e 驰+ 一1 ) = 一2 6 “ 1 0 当 ，j 不同类时，令 = 2 k 一1 ，j = 2 l 有； c ( e ) c ( e j ) + c ( e j ) c ( e , ) = 乎( e 磊一l + 皿矗) = 铲( e 刍一+ 、：_ e 五) + = 号手( 畦一- + 、：- e 面) 乎( e 磊一+ 、风轰) = 一孚( e 五一。呓一。一e 荔e 面+ 伍磊一- e 五+ 雁去e 一孚( e 面一。e 轰一。一e 刍e 五+ 雁面一- 唳+ 厂- e 去e 矗一) =0 综合上面得到；c 慨) c ( 勺) + c ( 8 j ) c ( e i ) = 一2 如 所以c 的作用可以推广到c l i f f o r d 代数c 2 ( 一1 ) 的作用 1 1 口 增广的旋置空问和r i e m a n n - r o c h 算子 第二章s p i n 群及其李代数的作用 第二章s p i n 群及其李代数的作用 本章定义了c l i f f o r d 代数的重要子群p i n 群，s p i n 群，接着定义了这些群及 其李代数在向量空间v 上的作用，得到s m c 2 n ) 与s o ( 2 n ) 及它们李代数之间的关 系。最后给出了s 枷住c ( 2 n ) 的定义 第一节s p i n 群 在c l i f f o r d 代数c ( v , q ) 上定义个具有单位元的乘积群 ( k q ) = 妒c c v , q ) ：j 妒一，妒一1 妒= 妒矿1 ；1 一般地，有一个结合李代数( 墨q ) = c q ) ，其中有李括号 扫，y 】= x y y xz ，扩芷( k 口) ， 单位群可以作为自同构作用在代数上。即；若妒属于c o ( kq ) 中的单位群中的元 素，也就是存在妒一，即有个同态z a d ：c o ( v , q ) 叶觚( g q y ) ：a d p ( 茁) 一w x ! o - 1 ， 这个同态叫做伴随表示，即有代数同构： 似：c ( v q ) 一c ( k 0 ) ：z 卜+ 似妒一1 叫做内自同构 伴随表示求导可以得到代数的求导运算上的同态t a d ：业( k q ) - d e r ( c ( v , q ) ) ：o 由( $ ) 卜暗，z 】 注：假若v 是有限维的，有个自然的指数映射e x p ：丛( v q ) _ + 伊( k q ) 定义为s 唧( 们= 互, o 而1 很容易验证， 爰a 锄鲫扛 f , - - - o 口如( g ) 增广的旋量空间和砥伽地竺竺竺竺兰三：竺三兰! 旦m 登垒苎兰堡竺竺竺旦 由 7 1 可得下面命题 命题2 1 1 令口v c d ( v q ) ，且满足q ( ) 0 ， 那么a 也( y ) = k 且有t 一训沪t t ，一2 帮饥 再定义伊( k q ) 的个子群p ( v q ) 是由满足口y 且q ( u ) 0 的元素生成的，则 有； p ( k q ) c 俨( k q ) 又因为变换a 也保二次形式q 即t ( a q ) ( 叫) = q ( a 也( 叫) ) = q c w ) ，铷p ( v q ) ，硼v 定义2 1 24 o ( k q ) 是y 的保二次形式q 的线性变换群，即t v , , ed q ) q c 毋( v 1 ) ，爹( 耽) ) = q ( v l ，也) 讹1 ，地y l i p , 0 ( k q ) = ( a l ( v ) ：矿q = q ) 则称d q ) 是二次形式q 的正交群- o q ) 在t ( y ) 的生成元的作用定义如下t 七 毋( 口1 0 抛o o 讥) = u 1 0 ( 地) o p 地 = l 可以线性扩张到整个t ( v ) 中 注：t d v ) 在o ( k q ) 的作用下是不变的，所以g ( k q ) 中有o ( k q ) 的作用 所以有个表示， a d ：p ( k q ) + d ( k q ) 若定义 则有 v 0 = v v q ( v ) o ， p ( k q ) = t j l 巩c ( v , q ) l , a ，v o 增广的旋量空间和r i e m a n n 一竺生竺三 竺三兰! 里m 登圣苎兰竺苎! ! 竺旦 定义2 1 3 ( v q ) 的p i n 群p 讥c v , q ) 和s p i n 群跚n q ) 定义为； p i n c v , q ) = 扣p c v , q ) i q c v ) = 士1 ， 跏讯q ) = p i n ( v , q ) n c + m q ) 若d f m ( y ) ：2 n ，且 岛 i - 1 ，伽是y 的关于二次形式q 的幺正基即考虑( 一1 ) 的情况，此时把p 饥( kq ) ，s p i n ( kq ) 分别表示为p i n ( 2 n ) ，s p m ( 2 n ) 第= 节s p i n 群及李代数的作用 下面定义集合0 缸( - i ) 中的子集t r 2 = s p a , 1 r e l ，e 2 ，1 ) ， 则 s 2 n 一1 = o r 孙i q ( a ) = 1 ) p i n ( 2 n ) = t l t i p ，江1 ，七) ， s p 讯( 2 n ) = t l t 2 i i t “s 2 n - 1i = 1 ，2 ) 定理2 2 1 跗n ( 2 n ) 的李代数墅垫( 2 n ) 是由如8 j ( 一1 ) 1 i j ) 张成的 证明，由于李子代数鱼塑( 2 n ) 是c ( 一1 ) 的子空间，等价于群s 印n ( 2 n ) 在单位元1 处的切空间 考虑当i j ，t j 2 n 时曲线 7 ( t ) = ( e 。c o s ( t ) + 勺s 雪n ( t ) ) ( 一e 现c o s ( t ) + 勺s 伽0 ) ) ：( c o s 2 t s i n 2 t ) + 2 e 勺s 讥( t ) c d s ( t ) = c o s ( 2 t ) + s i n ( 2 t ) e i e # 所以；7 ( t ) s i n ( 2 , 0 ，在7 0 ) = 1 处的切向量是2 e i e l 所以。鱼塑( 2 n ) 包含向量子空间跏n r e a e a 的，又由于出m r ( 墅竺( 2 n ) ) = n ( 2 n 一1 ) 所以 墅堡( 2 哟= s p a n r e l e ，( 一1 ) l i 办 1 4 增广的旋量空问和r i e m a n n - r o c h 算子第二章 s p i n 群及其李代数的作用 定理2 2 2s p m ( 2 n ) 在v 上的作用t 可以定义同构 a d ( v ) = h 口】，v a s p _ 2 ( 2 , 0 ， y a d a ( e l ，e 2 a ) = ( e l ，e 2 ，1 ) 壁( n ) 2 ：s p i n ( 2 n ) _ + s o ( 2 n ) 注，这里李括号也满足李超代数，即， 缸l ，砚】= a t a 2 一( 一i ) j 4 1 l i ”i a 2 a 1 ， 这里i 啦i 表示o i 的次数 它满足下面的李超代数公理； 超交换律：【0 1 ，0 2 】+ ( 一1 ) 1 8 - 1 1 4 ：l k ，口l 】= 0 ， j a c o b i 等式z 【d l ，【0 2 ，啦】= 【d l ，啦】，a 3 】+ ( 一1 ) 8 t i i “+ 胁，陋l ，a 3 】 证明；对任意的a s p i n ( 2 n ) 和 ，叫k 由j a c o b i 等式可得 q ( a d 。v ，w ) + q 扣，口也 ) = q ( f 口，口】，叫) + q 扣，陋，叫】) = 一 【f o ，口1 ， 】一；扣，融，叫】 = 一；陋，扣，加| 】= 一； p ，叫】，司 若口= a l a 2 ，a l ，a 2 v 则有。 f p ，叫1 ，口】=【( v w + w v ) ，a t a 2 】 v w a t a 2 + w