（应用数学专业论文）域上常循环码和环zp2上循环码的迹表达式.pdf

学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：二聋生址 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：拿氐址 指导教师签名：j 巳鲎j l 签名日期： 刈d 年上月日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 本硕士论文分三部分： 第一部分：介绍常循环码和环z ：上循环码的研究成果以及本文的主要工作。 第二部分：首先，给出有限域c 上a 一常循环码的迹表达式，然后，给出不可约 n e g a c y l i c 码的迹表达式及参数和重量分布，最后，给出具体的例子，证明了循环码的 迹表达式对确定循环码的重量分布和了解循环码的结构都有重要的意义。 定理2 3 1 ：若c 是以g ( x ) f q 【x 】为生成多项式，以j j i ( 工) = o “一a ) 詹( x ) 为校验多 项式的长为刀的q 元a 一常循环码，令川= m ，x 删一1 = ( x “一a ) i j l i ( z ) = g ( x ) h ( x ) h l ( x ) ， i ；l h ( x ) h ， ) = p ，( x ) p 2 ( x ) p ，( x ) ，p 。( x ) ，p 2 ( x ) p ，( x ) 是c 【x 】中彼此不同的首一不可约 多项式，d e g p ，o ) = 4 ( 1 s f s ) ，在c 的扩域中取多项式p ，o ) 的一个零点a ，则任意码 字c = ( c o , c l c 川) c 均存在卢，由( 1 f s ) 使得q = 乃( 届口j a ) ( o a n - 1 ) ，其 i - i 中，互是乞以对于的迹映射。 定理2 3 4 ：若c 是以k 次首一不可约多项式j i l ( x ) l x 】为校验多项式的不可约 m 鄂钞讹码，则任意码字c = ( c o ，c l c ) c 均存在卢c 。使得： c 2 = 丁( 触一五) ( 0sa 刀一1 ) 其中口是j i l ( x ) 的一个零点，t 是c 。对于的迹映射。 定理2 3 5 ：若c 是以k 次首一不可约多项式j i l ( x ) f q 【x 】为校验多项式的q 元不可 n e g a c y l i c ，则c 是参数为 王岩，七，掣】的等重码。 第三部分：在第二部分的基础上进一步给出剩余类环z ：上循环码的迹表达式。 定理3 3 1 ：若p 是素数，q = p 2 ，h ( x ) 是z q 上本原基础不可约多项式，c 是z ，上 长为玎的循环码，x p m 一1 = g ( x ) h ( x ) ，则： c = = ( z p ( c ) ，7 卜( c 考一1 ) ，z 卜( c 善一“一1 ) ) ic g r ( q ”) ) 其中考是校验多项式h ( x ) 在g a l o i s 环g r ( q m ) 上的一个根，t r 是g r ( q “) 对z 。的迹映射。 关键词：a 一常循环码；n e g a c y l i c；迹表达式 域上常循环码和环z p ：上循环码的迹表达式 t r a c ee x p r e s s i o n so fc o n s t a c y c l i cc o d e so v e rf i n i t ef i e l d s a n dc y c l i cc o d e so v e rz 2 一 p a b s tr a c t w eh a v et h r e ep a r t smt h i st h e s i s t h ef i r s tp a r t ：w eg i v ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ea b o u tc o d e s ，r e v i e wt h ek n o w nr e s u l t si n c o n s t a c y c l i cc o d e sa n dc y c l i cc o d e so v e rt h er i n gz 。2 ，a n ds t a t et h em a i nc o n t r i b u t i o n si nt h i s t h e s i s t h es e c o n dp a r t ：f i r s t l y , w eg i v et h et r a c ee x p r e s s i o no f 允一c o n s t a c y c l i cc o d eo v e rf i n i t e f i e l d t h e n ，w eg i v et h e t r a c ee x p r e s s i o no fi r r e d u c i b l en e g a c y l i cc o d ea n di t si n d e x f i n a l l y , w ep r o v i d es o m ee x a m p l e s b yt h e s ee x a m p l e sw ec a ns e et h a tt h et r a c ee x p r e s s i o no f ac y c l i cc o d ei s v e r yi m p o r t a n ti ng e t t i n gt h ew e i g h td i s t r i b u t i o no ft h ec o d ea n d u n d e r s t a n d i n gt h ec o n s t r u c t i o no ft h ec y c l i cc o d e t h e o r e m2 3 1 ：i fci saa c o n s t a c y c l i cc o d eo v e rt h ef i n i t ef i e l d ，g ( x ) f qi si t s g e n e r a t o rp o l y n o m i a la n dh ( x ) = o ”- , w g ( x ) i si t sc h e c kp o l y n o m i a l ，l e t f a l = m ，x ”一1 = ( x ”一x ) h l ( x ) = g ( x ) h ( x ) h l ( 力j i i ( x ) i i l l ( x ) = g ( x ) p l ( x ) p 2 ( 工) p 。( x ) p l ( x ) ，p 2 ( 工) p ，( x ) a r ep a i r w i s ed i f f e r e n ti r r e d u c i b l ep o l y n o m i a l so ft h ed e g r e ed f ( 1 f j ) ， t h e nf o re v e r yc o d e w o r dc = ( c oc 1 ，c 一1 ) c , t h e r e e x i s t 屈乞嘶( 1 i s ) s a t i s f y i n g c = 正( 屏倪】- ) ，w h e r e 口i sa r o o to fj l l ( x ) ，互i sat r a c em a pf r o m 厶t o t h e o r e m2 3 4 ：i fci sai r r e d u c i b l e n e g a c y l i cc o d eo v e rt h ef i n i t ef i e l dcw i t ht h e c h e c k p o l y n o m i a l h ( x ) f q o ft h e d e g r e ek ，t h e n f o r e v e r y c o d e w o r d c = ( c o ，c i ，c 。一1 ) c t h e r e e x i s t s c 。s a t i s f y i n gc a = r ( f l a 一工) ( o a 刀一1 ) ，w h e r e 口i sar o o to f i i ( x ) ，互i sat r a c em a p f r o m t o t h e o r e m2 3 5 ：i fci sai r r e d u c i b l en e g a c y l i cc o d eo v e rt h ef i n i t ef i e l dcw i t ht h e c h e c kp o l y n o m i a l h ( x ) f q w h i c hi sap r i m i t i v ei r r e d u c i b l ep o l y n o m i a lo ft h ed e g r e e k , t h 曲ci sa 叼”i w e i g h fc y c l i ec o d ew i t hi n d e x 【岩，七，掣 辽宁师范大学硕士学位论文 t h et h i r dp a r t ：w eg i v et h et r a c ee x p r e s s i o no fac y c l i cc o d eo v e rt h er e s i d u ec l a s sr i n g z ，2 t h e o r e m3 3 1 ：l e tpb eap r i m ea n dp u tq = p 2 , x 9 4 1 = g ( x ) j l l ( x ) ，w h e r eh ( x ) i sa p r i m i t i v eb a s i ci r r e d u c i b l ep o l y n o m i a li nz q i fci sa c y c l i cc o d eo v e rz q ，t h e n c - _ ( 乃( c ) ，t r ( c 告一1 ) ，t r ( c 孝- ( n - 1 ) ) ) ic g r ( q ”) ) w h e r e 考i s ar o o to fc h e c kp o l y n o m i a lh ( x ) ，t ri sat r a c em a pf r o mg r ( q m ) t oz q k e yw o r d s ：兄- c o n s t a c y c l i cc o d e ；n e g a c y l i cc o d e ；t r a c ee x p r e s s i o n 域上常循环码和环z p ：上循环码的迹表达式 目录 摘要i a b s e n t 1 绪论1 1 1 常循环码的研究概述。1 1 2 环z 。：上循环码的研究概述2 1 3 本文主要工作3 2 有限域上a 一常循环码的迹表达式4 2 1 引言4 2 2 预备知识4 2 3a 一常循环码的迹表达式。7 2 4 应用举例lo 3 剩余类环z 。：上循环码的迹表达式1 2 3 1 引言l2 3 2 预备知识1 2 3 3 z 。：上不可约循环码的迹表达式1 6 结论18 参考文献l9 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 l 致 谢2 2 辽宁师范大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 常循环码的研究概述 循环码是一类最重要的线性码，它不仅具有严谨的代数结构，性能容易分析，而且 具有循环特性，编码译码易于实现。利用循环码可降低各类通信系统以及计算机存储和 运算系统中的误码率，还可以提高通信质量，延长计算机无效故障运行时间等。因此， 循环码引起了人们的广泛注意。1 9 5 7 年，普朗格( p r a n g e ) 首先在域g f ( q ) 上研究循环 码，从此，人们对域g f ( q ) 上循环码的研究在理论和实践方面取得了很大进展。1 9 7 7 年， w i l l i 锄s 在文献 1 中详细研究了域g f ( q ) 上码长为n 的单根循环码的结构和性质；随 后，v a nl i n t 和c a s t a g n o l i 分别在文献 2 和文献 3 中介绍了域g f ( q ) 上码长为1 1 的 重根循环码的结构和性质；1 9 7 2 年，b a u m e r t 在文献 4 中确定了不可约循环码的重量； 2 0 0 4 年，d i n h 在文献 5 中给出了不可约循环码的定义及其相关性质；2 0 0 5 年，冯克勤 在文献 6 中给出了循环码的迹表达式。 虽然循环码的基本理论发展至今已相当完善，但仍有许多问题值得进一步研究，因 此通过不同侧面更加完整地认识它的性质对循环码的研究起着举足轻重的作用。为了得 到更一般的结论，人们把循环码的定义进行了推广，由此得到了常循环码的定义：若任 意码字c = ( c o ，c l c 一) c ，都有是c = ( k _ l c o ，c n 一2 ) c ，那么称码c 为a 一常循环 码，当旯= l 时，则称码c 为循环码。 常循环码作为一种特殊的循环码有着严格的代数结构，人们对它的研究不仅取得了 很大的成就，而且还利用它构造了很多好码。1 9 9 7 年，b o n n e c a z e 在文献 7 中研究了 环f 2 + 幔上的循环码和自对偶码；2 0 0 3 年，王开弘在文献 8 中介绍了常循环码的定 义及相关性质；2 0 0 6 年，朱士信等在文献 9 中给出了环f 2 + 峨上奇长的( 1 + u ) 常循 环码的性质；2 0 0 8 年，邓林等在文献 1 0 中给出了环b + 峨上长为2 的( 1 + u ) 常循环 码的结构及各种距离分布；与此同时，陈安顺等在文献 1 1 中将有限域g f ( q ) 上常循环 码的定义推广到有限环z 上，讨论了环z 上常循环码的结构并构造了一类特殊的常 ， 循环码。 当a = 一1 时，则称码c 为负循环码，由此可见，负循环码又是一类特殊的常循环码， 近年来，关于负循环码的研究也取得了许多成果。1 9 9 9 年w o l f m a n n 在文献 1 2 中首次 提出z 。一线性循环码的概念，引进了一类二元线性码，并证明它是z 。一线性负循环码 在g r a y 映射下的象：2 0 0 3 年，b l a c k f o r d 在文献 1 3 中研究了z 。一环上负循环码的长 域上常循环码和环z p 2 上循环码的迹表达式 度；2 0 0 4 年，胡万宝在文献 1 4 中给出了在环z 私【z 】 中的多项式表示的z ，。一 负循环码及其对偶码，且由z 。一负循环码在c n a y 映射下的象构造出具有优良关连性的 二元周期序列族；2 0 0 5 年，d i n h 在文献 1 5 中确定了g a l o i s 环上负循环码的长度；同 年，杨晓伟在文献 1 6 中引进等距同构把负循环码推广到环z 。上，得到了( 1 - p 。) 一循 环码并给出这类码的表示。 1 2 环z 。：上循环码的研究概述 ， 2 0 世纪7 0 年代人们发现了两类性能较好的非线性二元码k e r d o c k 码和p r e p a r a t a 码，但因为他们不像线性码那样容易构造、编码和译码，所以人们想建立其与线性码之 间的联系。1 9 8 9 年n e c h e v 在文献 1 7 ，1 9 9 4 年h a m m o n s 在文献 1 8 中通过g r a y 映射 将这两类码与线性码联系起来，他们证明了二元k e r d o c k 码和p r e p a r a t a 码都可视为z 。 上的扩展线性循环码在g r a y 映射下的象。从此，对环上循环码的研究引起人们的广泛 关注，特别是对z 。上循环码的研究取得了很大成就，人们已经得到z 。上循环码在g r a y 映射下的结构及相关性质。1 9 9 6 年，s h a n b h a g ，k u m a r 等在文献 1 9 中构造了一类z 。一 线性码，并利用g a l o i s 环上的指数和估计给出了这类码的最小重量的下限，与著名的 d e l s a r t e - g o e t h a l s 码相比，在相同的码长和码字个数的情况下，z 。一线性码具有更大 的极小距离。随后p l e s s 等在文献 2 0 中给出了z 。上循环码的结构及二次剩余码。2 0 0 2 年，a y d i n 和b o u y u k l i e v a 在文献 2 1 - 2 2 中分别利用z 。上码字构造了许多好的二元码， 进而人们更加关注z 。上的码在g r a y 映射下象的研究，2 0 0 1 年w o l f m a n n 在文献 2 3 中 刻画了一类奇数长z 。一线性循环码在n e c h a e n g r a y 映射下象的结构及线性性和循环 性，2 0 0 4 年，g e r a r d o v e g a 在文献 2 4 中对z 。一循环码作了进一步研究，讨论了z 。一线 性循环码和一类由两个二元线性循环码构造的z t 一循环码( 不一定线性) 这两类码的联 系，并得出所有长为2 n ( n 为奇数) 的二元线性循环码是由z 。上长为n 的二元线性循 环码经n e c h a e n g r a y 映射构成的这一结论。 近年来，人们又将z 。一循环码进行了诸多相应的推广，也得到了不少相应的好码。 c a l d e r b a n k 等人在文献 2 5 - 2 8 中将其推广到z 。上( p 是素数) ；1 9 9 8 年，c a r l e t 在 r 文献 2 8 中将g r a y 映射推广到z 上，给出了z ，。一线性码的g r a y 映射下的二元码的一 些好的结果，并推广定义丁k e r d o c k 码和d e i s a r t e g o e t h a l s 码：2 0 0 1 年b r a i n 在文 献 2 9 3 中利用g r a y 映射构造了两类z 。环上的准循环码，并且给出了迹表达式：2 0 0 7 年 辽宁师范大学硕士学位论文 s t e v et d o u g h e r t y 在文献 3 0 中研究了z m ( m 是正整数) 上任意长的循环码的相关 性质。 。 1 3 本文主要工作 本硕士论文分三部分，主要给出域上常循环码和环z 。：上循环码的迹表达式。 第一部分，介绍了常循环码和环z ：上循环码的研究成果以及本文的主要工作。 第二部分，首先给出有限域e 上a 一常循环码的迹表达式，然后给出不可约 n e g a c y l i c 码的迹表达式及参数和重量分布，最后给出具体的例子，证明了循环码的迹 表达式对确定循环码的重量分布和了解循环码的结构都有重要的意义。主要结果有： 定理2 3 1 ：若c 是以g ( x ) f q 为生成多项式，以h ( x ) = o ”一a ) g ( x ) 为校验多项 式的长为刀的g 元a 一常循环码，令川= m ，x ”- 1 = ( x “一a ) 啊( x ) = g ( x ) h ( x ) h 。( 功，且 h ( x ) o ) = p 。( x ) p 2 0 ) p ，( x ) ，p i ( x ) ，p 2 ) p ，( x ) 是c 【工】中彼此不同的首一不可约多 项式，d e g p ，( 工) = t ( 1 f s ) ，在的扩域中取多项式p ，( x ) 的一个零点口，则任意码字 c - - ( c o , c i ，巳一1 ) c 均存在届山( 1s fs s ) 使得c = 瓦( 色口f x o ，也就是说g ( x ) 是码c 的一个生成多项式 ( 3 ) g ( x ) i x 4 - 2 ( 4 ) 若g ( x ) = g o + g l x + + g n - k x 一，则c 的生成矩阵为： ( 72 l g 。曼三 ：董；。一。 ( 5 ) 令j i l ) = h o + j l l 工+ + 以工= o “一a ) g ( x ) r ，此为码c 的一校验多项式，则c 的 校验矩阵为： h = r 唆k 定义2 2 4 6 1 ：码长为甩的q 元线性码c 叫作循环码，是指若c = ( c o ，e l ，c 州) c 口i u c 的循环移位( c 。舯c o ，c 。- 2 ) c 。( 从而c 的任意多次循环移位所得向量均属于c ) 定理2 2 5 1 ：设x 4 - 1 = g ( x ) i i l ( 功，其中g ( x ) 和 o ) 分别是【x 】中刀一k 次和k 次 首一的多项式，若c 是以g ( x ) 为生成多项式( 以h ( x ) 为校验多项式) 的g 元循环码，即 c = ，则： ( 1 ) 若g ( x ) = g o + g l 工+ + g x 卜c i x 】，则码c 的生成矩阵为： 域上常循环码和环z 。：上循环码的迹栽拭 g = g o ) x g ( x ) g o g l g 。一t g og l g h i g ng lg n t ( 2 ) 若办( x ) = + j j l l x + + h k x x 】，则码c 的校验矩阵为： h = h th l l 以 | l lh o j j l lh o h h k l h lh o 定义2 2 6 ：对口f = f 。，k = ，定义口的迹巧置 ) 为： 耳，x ( a ) = a + 口9 + + 口9 ”1 如果k 是f 的素域，则耳，置 ) 称为口的绝对迹，记作耳( 口) 。 定理2 2 7 6 1 ：设k = ，f = t 。，则迹函数耳，x ) k 满足： ( 1 ) 乃，量( a + ) = t k ( 口) + t 靠( ) ( 2 ) 耳，置( c a ) = c 巧，足( 口) ，c k ，口f ( 3 ) 耳，k 是f 到k 上的线性变换，且是g ”1 对l 的线性变换，即对中每个元素口， 均有g ”1 个口f a 使得耳，胃( 口) = 口。这我们把f 和k 都看作是k 上的向量空间。 ( 4 ) 耳，置( 口) = m a ，a k ( 5 ) 耳，置( 口4 ) = 弓，茁( 口) ，v a f 证明：( 1 ) 和( 2 ) 保证了耳，置为，到k 的一个线性变换，因此我们只要证明耳，置 是满的即可。首先我们证明3 a f ，使得乃，f ) 0 。 因为砟，x ( 口) = 0 a g x 4 + 1 + + x 9 + x 的根，而该多项式最多只有g 琳一1 个根，f 中 却有g ”个元素，因此j 口f ，使巧，1 r ) 0 。假设b = 乃，置位) 0 ，那么b k ，且对 任意的a k ，a b - 1 k ，因此耳f ( a b 。口) = a b - 1 砟，膏 ) = a b b = a ，所以耳，x 是f 到k 的一个满射。 设耳，置( 考) = x 9 。- i - + x 9 + 工，则v 孝c ，善一毒9 是根。若孝一善9 = 磊一善9 ， 贝u 告一善。= 亏e 一毒。9 = ( 孝一毒。) - ，即考一号，考一亏，= c ，耳，置( 工) = x 9 。1 + + x 9 + 工， 辽宁师范大学硕士学位论文 所以乃，j r ( x ) = x 9 。1 + + 石9 + z 有g ”- 1 个根。 因为巧，鬈为满射，所以中每个元素口都存在口f a 使得耳，置 ) = 口，即 乃，置( a a ) = 1 ，则巧，置( a a + 告一舌9 ) = 乃，置( a a ) + k ( 善一毒9 ) = 1 ，所以巧量( x ) = l 有 g ”1 个根v 6 f q ，乃，置( 酬口) = 6 耳，置( a a ) = b ，乃x ( a b a + 毒一考9 ) = 6 ，所以 乃，置( x ) = b 有g ”1 个根。 定理2 2 8 6 1 ：设( 刀，g ) = l ，x 4 1 = g ( z ) j i l ( x ) ，其中g ( x ) 和j i i ( x ) 分别是e 【x 】中i t - - k 次 和k 次首一多项式，若c 是以g ( x ) 为生成多项式( 以 ( 石) 为校验多项式) 的参数为 刀，k 】 的g 元循环码。由( 刀，g ) = l ，若h ( x ) = p 。( x ) p 2 ( x ) p ，( 力，其唧，( 曲，p ：( x ) p ， ) 妃 x 】 中彼此不同的首一不可约多项式，d e g p ，( x ) = 以( 1 f s 占) ，在的扩域中取多项式p ，0 ) 的 一个零点口，则 ，) = 乞由( 1 i s ) 。 对于上述g 元循环码c 中的每个码字c = ( c o ，c l c ) ，均存在唯一确定的孱f 嘶 使得c 工= 正( 屈口f ) ( o a n - 1 ) ，其中互是乞山对于的迹映射，即对于y 嘶都有 以一l 乃( y ) = y 一。 j o 定理2 2 9 6 1 ：( 上周期序列的迹表达式) 设口= ( 口o ，口l ，口。) 是上的周期序列， 口( x ) = 口。工。= g ( x ) f ( x ) 为真分式，其中g ( x ) ，厂( x ) ，厂( o ) 0 ，又设厂( x ) 没有重 再l o 根，于是f ( x ) = z ( x ) a ( x ) l ( x ) ，其中z ( x ) ( 1 fsj ) 为c i x 】中两两不同的不可约多 项式，d e g f r ( x ) = d ，1 ，取z ( x ) ( 1 f s ) 的一个根a ，( 1 fs s ) ，于是 ，) = 山。令 正是嘶对于的迹映射，则存在由序列口唯一决定的s 个元素屈 ( 1 i ss ) 使得 口。= z ( 屏口f 4 ) o = o ，1 ，2 ，) 。 ，- l 2 3 允一常循环码的迹表达式 设所是a 在目中的阶，即= m ，x 设( r a n ，g ) = 1 ，x “一a = g ( x ) j l l ( 工) ，其中g ( x ) 和j i l ( x ) 分别是只i x 】中行- k 和k 次首一多项式，c 是以g ( x ) 为生成多项式( 以h ( x ) 为校验多项 式) 的曰元a 一常循环码。 域上常循环码和环z p ：上循环码的迹表达式 由假设( 肌刀，q ) = 1 可知x 8 一旯及x “一1 无重根，且x 4 一a 是x ”一1 的因式，令 x m - 1 = ( x ”一a ) 啊( z ) ，其中j i l l ( x ) c i x 】，则x ”- 1 = g ( x ) h ( x ) 啊( x ) 。m yf 。 x 是唯一分 解环，故可设h ( x ) ( x ) = p l ) p ：( x ) p ，( x ) ，其唧。( z ) ，p ：( x ) p ，( 工) 札 x 】中彼此不同 的首一不可约多项式，令d e g p ，( 功= d 羽f j ) 并且在c 的扩域中取多项式p ，( x ) 的一个 零点口，贝0 c ( 口f ) = f 由( 1 f s ) 。 定理2 3 1 ：对于上述g 元旯一常循环码c 中的每个码字c = ( c 0 ，c l ，“c 川) ，均存在 孱乞血( 1 i s ) 使得c a = 互( 卢，a f z ) ( o 旯n - 1 ) ，其中，乃弘嘶对于的迹映射， 即对于y f 由，正( y ) = 。 证明：每个码字c = ( ，c 1 ，c 剃) c 等同于环r = f , t x l 中的多项式 c ( x ) = c o + c l 石+ + c 川x ”1 ，码字c 对应于周期序列c = ( c o ，c l ，一，c ，c o ，c l ，c “，) ， 而此周期序列可看成是幂级数 石( 工) = c o + c l x + + c 一l x 肛1 + c o 工”+ c l x 片+ 1 + + c 一l x 2 “一1 + ：! q ! ! 兰：! ! = ! 三：! ! 兰! 垒! 兰! 1 一z ”1 一工” 其中6 0 ) = l + x + x 2 + + x 1 cb 】，c ( x ) c 营g ( x ) c ( x ) ，于是令 c ( z ) = 口( 工) g ( z ) ，口( x ) ct x j ，d e g a ( x ) k 营石：型塑：鲤塑堂盟：丝至! 坐盟；- a ( x ) b ( x ) 、7 1 一x ” ( a x ”) 啊( x ) 一g ( x ) h ( x ) h 。( 工)j l l ( x ) j i l 。( 工) 这表明，循环码c 中的码字c ( x ) 一一对应于幂级数环c 【 x 】中以i l ( x ) 7 l l ( x ) 为分母的真分 式，并且：。c l ，巳一t 就是这个真分式专爱鬣等幂级数展开的前刀位数字。由定理2 2 6 可知此定理的结论成立。 定义2 3 2 ：对于c 上长度为刀的线性码c ，如果对任意c = ( c 0c l ，c 剃) c 是一 个码字，都有- c - 】，c o ，巳一2 ) c ，即 c = ( c 0c l ，c ) cj ( - c 剃，c o ，c ，2 ) c 那么，称码c 为n e g a 删l i c 码，显然，n e g a 甜l i c 码是a = - 1 的特殊的a 一常循环码。 辽宁师范大学硕士学位论文 定义2 3 3 ：设码c 是n e g a c y l i c，若校验多项式 ( x ) c x 】是不可约多项式， 则称码c 是不可约n e g a c y l i c 码。 设( 2 n ，q ) = 1 ，r + 1 = g ( x ) o ) ，其中g ( x ) 和j j l ( x ) 分别是c x 】中刀一k 次和k 次首一 的多项式，c 是以g ( x ) 为生成多项式的g 元不可约n e g a c y l i c 码。由假设可知 x ”+ 1 及x 2 ”- 1 无重根，且x 孙一l = ( x “+ 1 ) ( x “一1 ) = g ( x ) j j l ( x ) o “一1 ) ，从而，h ( x ) 0 8 1 ) = p 。 ) p ：( 工) p ，( x ) ，其唧，( 工) ，p ：( 工) p ，( x ) 配【x 】中彼此不同的首一不可约多项式，令 d e g p ，( x ) = t ( 1 f s j ) ，并且在的扩域中取多项式p ，0 ) 的一个零点口，则( 口，) = 嘶 ( 1 f s j ) 。 由定理2 3 1 可知，码c 中的每个码字c = ( c 09 c l ，c ) ，均存在届c 由( 1 f s s ) 使得q = 正( 屈口j 工) ( o 旯 n - 1 ) ，其中，乃是乞山对于的迹映射，即对于y 山， 正一l 正( y ) = y 一。 j = o 不可约n e g a c y l i c 码是一类特殊的a 一常循环码，其迹表达式也具有一般a 一常循环 码所不具有的特性。 定理2 3 4 ：对于上述g 元不可约服移删c 码c 中的每个码字c = ( c o ，c i c 一) ，均 存在唯一确定的卢。，使得c 且= r ( 肚以) ( o 允刀一1 ) ，其中，口是 o ) 的一个零点， k - i 嘭- 对于的迹映射，对于y 乞。，丁( ，) = y 一，即c 中的每个码字都可表示为： = o c = ( c 0c l ，c _ 1 ) = ( t ( f l ao ) ，t ( f l a _ ) ，r ( s a 一”1 ) ) 证明：令d = ( 丁( 触o ) ，丁( 卢口- 1 ) ，r ( f a 一”1 ) ) i 夕乞。，h ( a ) = 0 ) 。 首先，根据迹的性质，d 显然是只上长度为r l 的码字个数为g 的线性码。 其次， 任意码字( r ( p a o ) ，r ( 卢仅- 1 ) ，丁( 芦乜巾- 1 ) ) d ，令届= 一卢口巾- ”， 由 ( 丁( 屈口o ) ，r ( p i 口- 1 ) ，r ( 卢l 口一“- 1 ) ) d ，可得，( 一r ( 钯一“一1 ) ，r ( f l a o ) ，t ( f a - ( s - 2 ) ) ) d ， 所以码d 是n e g a c y l i c 码。 最后，任意码字( r ( b a o ) ，r ( f l o t 。1 ) ，t ( f l a - ( n - i ) ) d ，都满足如下性质： ( t ( f l a 一) + 一1 t ( f l a 一“+ 1 ) + + j l l o t ( f l a 一“一1 ) = t ( f l a 一“( 口+ j i l i l 口一1 + h o a o ) ) = 0 所以d c 。综上所述，d = c 即c 中的每个码字都可以表示成： c = ( c 0c l ，c 一1 ) = ( t ( f l a o ) ，r ( f l a 1 ) ，t ( f l a 一“一1 ) ) 域上常循环码和环z p z 上循环码的迹表达式 定理得证。 定理2 3 5 - 对于上述g 元不可约n e g a c y l i c 码c ，当厅( 工) 为k 次本原多项式时，c 是 参数为 尘，j j ，掣 的等重码。 证明：因为j l ( 力为c k 】中膏次本原多项式，所以h ( x ) 的周期是g 。一1 ，又因为g 是奇数 所以可令2 n = q 一1 ，x 孙一1 = g ( x ) h ( x ) ，若c 是以h ( x ) 为校验多项式，码长为2 刀的g 元 循环码，则c ( x ) = ( g ( 工) ) ，参数为【g 一1 ，k 】。由定理2 3 4 得，c 中的每个码字都可以 表示成： c = ( c o ，c l c c 2 一) = ( v ( , o a o ) ，r ( ；a 一) ，r ( 触屯”1 ) ) = ( r ( 卢口o ) ，r ( z a 一1 ) r ( f l a 一”1 ) ，t ( f l a l ) , t ( f l a 一叶1 ) 丁( 锨一2 ”1 ) ) = ( r ( , 0 a o ) ，r ( , e a 。) t ( f l a 一4 _ 1 ) ，一r ( z a o ) ，一r ( p a 。) 一丁( 卢口一”一) ) 其中卢c 。，口是j l ( x ) 的一个零点。这说明中c 每个码字均可写成c l = ( c ，- c c c ) ，由 迹的性质可得，c 是9 1 , j 、距离为q k - i ( g 一1 ) 等重码。从而c 是参数为 里k _ 1 ，j i ，掣】 的等重码，证毕。 2 4 应用举例 例2 4 1 ：c 是f 3 上长为4 的允一常循环码，允= 2 ，c = ，g ( x ) = x 2 + x + 2 ， h ( x ) = ( 工4 1 ) g ( x ) = x 2 + 2 x + 2 ，所以，g = 3 ，m = 2 ，甩= 4 ，( 8 ，3 ) = 1 ， z 8 一i = ( x 4 2 ) ( 石4 + 2 ) = ( x 2 + 2 x + 2 ) ( x 2 + x + 2 ) ( 工4 + 2 ) ( x ) = x 4 + 2 ，j l l ( x ) ( x ) = ( z 2 + 2 x + 2 ) ( x 4 + 2 ) = ( x 2 + x + 2 ) ( 工一2 ) ( x 1 ) ( x 2 + 1 ) ， 令h ( x ) h l ( z ) = p l ( x ) p 2 ( x ) p 3 (