总结：角的平分线的性质及判定(好用).doc

角的平分线的性质及判定思维启动如图1，有一块三角形的空地，其三边长分别为20m、30m、40m图1问题：现在要把它分成面积比为2：3：4的三部分，分别种植不同的花知识导航：1、 学会用尺规作一个角的平分线，利用三角形全等证明并发现角的平分线的点到角的两边的距离相等，（简记：一平分、两垂直，距相等）并运用这个结论进行相关的证明用几何符号语言表示：如图1，点P在AOB的平分线上，且PDOA，PEOB，垂足分别为D、E， PD=PE角平分线的判定方法：到角的两边距离相等的点在角的平分线上也就是说，一个点只要到角的两边距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上用几何符号语言表示：如图1， PDOA于D，PEOB于E， PD=PE，点P在AOB的平分线上2、 本课的难点是尺规作图时体会规范的作图语句的作用同时要注意：（1）性质中的“距离”是指“点到直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等 如图1中，如果没有PDOA，PEOB，那么就不能得到PD=PE（2）本性质也可用来证明线段、角的相等（3）区分清楚性质和判定，几何语言的用法 所以要注意克服用全等三角形证线段、角相等的思维定势综合探究探究一 应用角平分线性质证明线段相等-性质如图2，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BDDF求证：CFEB图21要证CFEB，可以证明哪两个三角形全等？_2这两个三角形是什么三角形？已知什么？还需要证明什么？_3还需证明的结论成立吗？为什么？_4讨论总结：根据以上的分析，本题的证明过程应该怎么书写呢？变式1已知，如图BD为ABC的平分线，ABBC，点P在BD上，PMAD于M，PNCD于D，求证：PMPN。变式2.如图,AD是BAC的平分线,DEAB于E,DFAC于F,且DB=DC,求证:BE=CF.变式3. 如图所示，是的平分线，垂足为，垂足为，且求证：图3探究二 应用角平分线性质证明两角互补如图3，AC平分BAD，CDCB，ABAD，CEAB于E，CFAD于F求证：CBAADC1801由于CDFADC180，要证CBAADC180，只需证明哪两个角相等？为此要证哪两个三角形全等？_2怎样证明1中的两个三角形全等？_3讨论总结：在利用角平分线性质解题时，应注意步骤的完整性，不要漏掉什么？_练习：如图所示，1=2，P为BN上的一点，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求证：BAPBCP=180。图4探究三 证明角的平分线-判定如图4，ABC的外角MAC与NCA的平分线相交于点P，PDBM于点D，PEBN于点E求证：BP为ABC的平分线1过P点作PFAC，交AC于点F由PA是MAC的平分线可以得到什么？PC是NCA的平分线又可以得到什么？_2通过等量代换，可以得到哪两条垂线段相等？_3讨论总结：写出本题的证明过程变式1：已知：如图，BE平分ABC，CE平分ACD交BE于E求证：AE平分FAC变式2：已知：如图，BE=CF，BFAC于F，CEAB于E，BF和CE交于点D，求证：AD平分BAC变式3：如图，在AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C求证：点C在AOB的平分线上ABDCEOMN探究四 与角平分线相关的作图如图5 已知方格纸中的每个小正方形都是相同的正方形，AOB已画在方格纸上，请在小方格的交叉点处标出一个点P，使点P落在AOB的平分线上 图5 图6 图71如图6，在OA上取点C，在OB上取点D，使OCOD5由于OPOP，利用三边对应相等的两个三角形全等，图中的点P即为所求的点，为什么？2讨论总结：在图6中再找出另个的两个符合条件的点P强化;1如图，已知：OD平分AOB，在OA，OB边上截取OA=OB，P是OD上一点，PMBD，PNAD，垂足分别为M，N，求证：PM=PN10如图，三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一加油站，要求这个加油站到三条公路的距离相等，问可供选择建站的地方有多少处，请在图中画出来（4点）11如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90，其仓库G在A区，到公路，铁路距离相等，且到公路与铁路的相交点O的距离为200m，在图中标出仓库G的位置（比例尺1：10000，用尺规作图）探究五 利用三角形的面积解决角平分线的有关问题如图8，D、E、F分别是ABC的三边上的点，CEBF，DCE和DBF的面积相等求证：AD平分BAC 图8 图91三角形的面积等于底乘以高的一半，结合求证的结论AD平分BAC，只需要证明点D到BAC两边的距离_，需要做辅助线_2讨论总结：怎样证明这道题呢？lianxi:1.如图,在ABC中,AD是它的角平分线,AB=5cm,AC=3cm,则SABDSACD= .ADOCB13题2、如图，已知的周长是21，分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD3，ABC的面积是_。3 如图，是的平分线，垂足为、F，则的长是4如图，B是CAF内一点，D在AC上，E在AF上，且DCEF，BCD与BEF的面积相等。求证：AB平分CAF。探究六 利用角平分线的性质探究线段的大小关系如图10，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，D是这条角平分线上的一个动点，你能想出ABAC与BDDC的大小关系吗？并证明你的猜想 图10 图111D是动点，当D点与A点重合时，ABAC与BDDC的大小关系为：_2当D点与A点不重合时，应设法把AB、AC放在一条线段上，因此应该作的辅助线为：_3讨论总结：ABAC与BDDC的大小关系如何？并证明（分类）1如图，已知D为ABC的BC边的中点，DE、DF分别平分ADB和ADC，求证：BECFEF. 2、在 DA 上取一点 M ，使 DM=DB=DC ，连结 EM 、 MF ，实质上是将DBE 及DFC 分别沿 DE 、 DF 翻折 180 得到DEM 及MFD ，从而使问题得到解决的 . 探究七 利用角平分线的性质添加辅助线如图2，在ABC中，C=90，AC=BC，AD是A是角平分线求证：AC+CD=AB【思路点拨】证明AC+CD=AB，比较简单的方法是过点D作DEAB，利用角平分线的性质可的CD=DE，然后再结合等腰直角三角形得到DE=BE从而可得CD=DE=EB图2 【规律总结】本题体现了运用角平分线性质添加辅助线从而实现问题的有效转化，是一道经典问题和很典型的转化模式，值得同学们认真体会1如图，ABCD，B=90，E是BC的中点，DE平分ADC求证：AE平分DAB随堂反馈1与三角形三边的距离相等的点是（ ）A三角形三条角平分线的交点B三角形三边中线的交点C三角形三边上高所在直线的交点D三角形三边的垂直平分线的交点2如图，BF、CF是ABC的两个外角平分线，交点为F，若A50，则BFC的度数是（ ）A50B60C40D65 （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）3如图，点P是AOB内的一点，OP平分AOB，PCOA，垂足为C，PDOB，垂足为D，则下列结论中错误的是（ ）APCPDBOCODCCPODPODOCPC4如图，在ABC中，ABAC，AD是角平分线DEAB，DFAC，E、F为垂足，对于结论：DEDF；BDCD；AD上任意一点到AB，AC的距离相等；AD任意一点到B、C两点的距离相等其中正确的是（ ）ABCD5如图，A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）AAC、BC两边高线的交点处BAC、BC两边中线的交点处CAC、BC两边垂直平分线的交点处DA、B两内角平分线的交点处6如图，BD是ABC的平分线，DEAB于E，ABC的面积为36cm2，AB18cm，BC12cm，则DE_cm （第6题） （第7题） （第8题）7如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，且DE5.8cm，BC11.2cm，则BD_cm8如图，BAC120，ADBC于D，且ABBDDC，则C的度数为_度9如图，在ABC内部，到A两边距离相等的格点有_个10直角三角形两锐角平分线所成的钝角等于_度11如图，已知CEAB于点E，BFAC于点F，CE与BF相交于点D，且AD平分BAC，求证：BDCD 12如图，BD是ABC的平分线，ABBC，点P在BD上，PMAD，PNCD，垂足分别是M、N，求证：PMPN13如图，在RtABC中，ABAC，BAC90，12，CE垂直于BD的延长线于E求证：BD2CE14如图，EQ、FQ分别是MEF和NFE的平分线，交点是QBP、CP分别是MBC和NBC的平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，如果Q68，求P的度数课前：基础跟踪训练（一）：1如图，OP平分，垂足为C，则与的大小关系是（）ABPDCO不能确定2 如图，在中，是的平分线，若，则等于（）3如图，中，平分交于，垂直平分交于，若cm，则（）3 cm7.5 cm6 cm4.5 cm4如图，在中，是的角平分线，垂足分别是，则下列四个结论：上任意一点到点，点的距离相等；上任意一点到，的距离相等；，；其中，正确的个数是（）1个2个3个4个5如图2，P是AOB的平分线上一点 PCAO于C，PDOB于D， 写出图中一组相等的线段（只需写出一组即可）6中，平分，交于，若，则到的距离是7 如图，中，平分交，垂足为，垂足为，且，则的周长是跟踪训练（二）：初步理解角平分线的判定：1在AOB内有一点P，PCOA于C，PDOB于D，且PC=PD=2cm，则点P在_2如图，ABCD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则P=_度3任意画O，在O的两边上分别截取OA，OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设两条垂线相交于点P（如图），点O在APB的平分线上吗？为什么？深入理解角平分线的判定：1 如图，Rt，平分，于，则下列结论中不正确的是（）平分平分2如图所示，在中，为上一点，垂足为，垂足为，下面三个结论：；正确的是（）和和和全对3与相交的两条直线距离相等的点在（）A.一条直线上B.两条互相垂直的直线上C.一条射线上D.两条互相垂直的射线上4下列说法中，错误的是（）A.三角形任意两个角的平分线的交点在三角形的内部B.三角形两个角的平分线的交点到三边的距离相等C.三角形两个角的平分线的交点在第三个角的平分线上D.三角形任意两个角的平分线的交点到三个顶点的距离相等5如图所示，DBAB，DCAC，BDDC，BAC80，则BAD_，CAD_ACBDABCDE6如图，RtABC中，C=90，BD是角平分线，DEAB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则DE=_，AD=_，ABC的周长是_角平分线的性质（1）一、选择题1用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）ASAS BAAS CSSS DASA2如图，OP平分AOB， PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）BAOEPDBDCA（第3题）APDPE BODOE CDPOEPO DPDOD（第2题）二、填空题3如图，在ABC中，C90，AD是BAC的角平分线，若BC5，BD3，则点D到AB的距离为_三、解答题MACBEOFDG（第4题）4已知：如图，AM是BAC的平分线，O是AM上一点，过点O分别作AB，AC的垂线，垂足为F，D，且分别交AC、AB于点G，E求证：OE=OG5如图，AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，且BD=CDDACEBF求证：BE=CF6如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，AD=BD（1）求证：AC =BE；EACDB（第6题）（2）求B的度数。角平分线的性质 （2）一、选择题1三角形中到三边距离相等的点是（ ）A三条边的垂直平分线的交点 B三条高的交点C三条中线的交点 D三条角平分线的交点2如图，ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，有下面四个结论：DA平分EDF；AE=AF；AD上的点到B，C两点的距离相等；到AE，AF的距离相等的点到DE，DF的距离也相等其中正确的结论有（ ）DEAFBC（第2题）EFCBAD（第3题）A1