（理论物理专业论文）股票市场的高频数据分析和多体模型研究.pdf

c o n t e n t s a b s t r a c t 4 中文摘要7 1 强舡。出舭n 9 1 1b a c k 龋o u n d 9 1 1 1h i s t o r yo fs t o c km a r k e t s - 9 1 。1 2e m e r g e n c eo f e c o n o p h y s i c s ：f r o mp h y s i c st oe c o n o m i c s ：”9 1 1 3i n v e r s ec o n t r i b u t i o n ：f r o me c o n o m i c s t op h y s i c s 1 2 1 2e i n p i r i c a la n a l y s i s 1 2 1 3m u l t i a g e n tm o d e l s 1 8 2 d ) ，i l a n l i cp r o p e r t i e so fg e r m a nd a x a n dc h i n e s e i n d i c e s 一2 1 2 1d a t aa n a l y s i sa n dv o l a t i l i t yd i s t r i b u t i o n 2 2 2 2v o l a t i l i t ya u t o e o r r e l a t i o nf u n c t i o na n d d e t r e n d e df l u c t u a t i o na n a l y s i s 2 5 2 3r e 饥m - v o l a t i l i t yc o r r e l a t i o na n dar e t a r d e dv o l a t i l i t ym o d e l 3 2 2 4s l m 】瑚a r y 3 5 3p e r s i s t e n c ep r o b a b i l i t i e s 3 7 3 1d e 血1 i t i o no f p e r s i s t e n c ep r o b a b i l i t i e 文3 7 3 2p e r s i s t e n c ep r o b a b i l i t i e so f g e r m a nd a x a n dc h i n e s ei n d i c e s ”3 9 3 3g e n e r a lp e r s i s t e n c ep r o b a b i l i t i e s “4 4 3 4n o n l o c a ld e s c r i p t i o no f r e t u r n v o l a t i l i t yc o r r e l a t i o n 4 7 3 5s u 棚加叫”5 0 4m i n o r i t yg a m e s ( m g s ) w i t hs c o r e d e p e n d e n ta n da g e n t - d e p e n d e n tp a y o f f s 5 2 4 1s t a i l d a r dm gw i t hs c o r e d e p e n d e n ta n da g e n t d e p e n d e n tp a y o f f s 5 3 4 2g r a n dc 眦o n i c a lm g a n dp e r s i s t e n c ep r o b a b i l i t y 6 0 4 3m a r k e te f f i c i e n c ya n dl o n g r a n g ev o l a t i l i t yc o r r e l a t i o n s 6 6 4 4t h e m l a lm gw i t hs c o r e d e p e n d e n ta n da g e n t - d e p e n d e n tp a y o f f s 7 0 4 5s u m m a r y 7 2 3 7 4 7 5 f i n a n c i a ld y n a m i c s 8 7 9 2 9 4 j 9 8 1 0 4 1 0 5 t h ea n a l y s i so ft h eh i 曲一f r e q u e n c yd a t aa n dc o n s t r u c tm u l t i a g e n tm o d e l ss i m u l a t i n g t h ef i n a n c i a ld y n a m i c s t h i si n t e r d i s c i p l i n a r yf i e l di sc a l l e de c o n o p h y s i c s i nc h a p t e r1 ，w ef i r s t l yg i v ea no v e r v i e wo ft h eb a c k g r o u n do ft h ee c o n o p h y s i c s ， i n c l u d i n gas h o r th i s t o r i cr e v i e wo ft h es t o c km a r k e t s ，t h ee m e r g e n c eo fe c o n o p h y s i c s a n di t si n v e r s ec o n t r i b u t i o nt op h y s i c s t h e nw ei n t r o d u c et h ep r e s e n tf o c u so nt h e s t u d yo ft h ef i n a n c i a lm a r k e t s ，e g ，t h ee m p i r i c a la n a l y s i so f t h eh i 曲一f r e q u e n c ys t o c k s e r i e sa n dm u l t i a g e n tm o d e l s i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h eg e r m a nd a xa n d c h i n e s ei n d i c e s ，i n c l u d i n gt h ev o l a t i l i t yd i s t r i b u t i o n ，a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n ，d f a f u n c t i o n ，a n dt h er e t u r n v o l a t i l i t yc o r r e l a t i o nf u n c t i o n a tt h ed a i l yt i m es c a l e ，t h e v o l a t i l i t yd i s t r i b u t i o n ，a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o na n dd f af u n c t i o no ft h e c h i n e s e i n d i c e sa r eq u a l i t a t i v e l ys i m i l a rt ot h o s eo ft h eg e r m a nd a x a tt h em i n u t e l yt i m e s c a l e ，t h ea u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o no ft h ec h i n e s ei n d i c e ss h o w sd i f f e r e n td y n a m i c b e h a v i o rf r o mt h eg e r m a nd a x b yi n v e s t i g a t i n gt h er e t u r n v o l a t i l i t yc o r r e l a t i o n f u n c t i o n ，w eo b s e r v eal e v e r a g ee f f e c tf o rt h eg e r m a nd a x ，w h i l ea na n t i l e v e r a g e e f f e c tf o rt h ec h i n e s ei n d i c e sf o rb o t ht h ed a i l yd a t aa n dm i n u t e l yd a t a ar e t a r d e d v o l a t i l i t ym o d e lm a yd e s c r i b et h ea s y m m e t r i cp r o p e r t i e so f t h ef i n a n c i a li n d i c e s m y c o l l e a g u e sa n dif i n i s h e dt h ew o r ki nt h i sc h a p t e r , a n did i dt h em a i nw o r ki nc h a p t e r s 3 ，4 ，5u n d e rt h ec o n s t r u c t i o no fm ys u p e r v i s o r i nc h a p t e r3 ，w ep r e s e n tar e l a t i v e l yd e t a i l e da n a l y s i so ft h ep e r s i s t e n c ep r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n sa n di n t r o d u c ean o n l o c a ld e s c r i p t i o no ft h er e t u r n v o l a t i l i t yc o r r e l a t i o n 4 l o n g r a n g ev o l a t i l i t yc o r r e l a t i o n s f u r t h e r m o r e ，w ei n t r o d u c et h es c o r e - d e p e n d e n ta n d a g e n t - d e p e n d e n tp a y o f f st ot h et h e r m a lm gm o d e l ，a n df i n di tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i np r o d u c i n gl o n g - r a n g ev o l a t i l i t yc o r r e l a t i o n s t h i si n d i c a t e st h a tt h en e wp a y o f f s b r i n gan o n t r i v i a ld y n a m i cm e c h a n i s mt ot h em g s i nc h a p t e r5 ，i no r d e rt oc a p t u r et h el o n g r a n g ev o l a t i l i t yc o r r e l a t i o n sa n do t h e r c h a r a c t e r i s t i c so ft h es t o c km a r k e t s ，t h ef e e d - b a c ki n t e r a c t i o n sa r ei n t r o d u c e dt ot h e e zh e r d i n gm o d e l s e m p i r i c a ls t u d ys h o w st h a tt h ev o l a t i l i t ya n dt r a d i n gv o l u m ea s w e l la so t h e rv a r i a b l e so ft h es t o c km a r k e ta r ec o n s i d e r e dt ob eh i 曲l yc o r r e l a t e dw i t h t h ep r i c ef o r m a l i s mo ft h es t o c km a r k e t s w ei n t r o d u c eh e r d i n gm o d e l sw i t h f e e d - b a c ki n t e r a c t i o n si nt e r m so fv o l a t i h t ya n dt r a d i n gv o l u m es e p a r a t e l y f o rt h e 5 r e c e n t l yd i s c o v e r e dt w o p h a s ep h e n o m e n o ni nf i n a n c i a lm a r k e t si se x a m i n e dw i t h t h e g e r m a nd a x ，a n di tc a nb ec o r r e c t l yp r o d u c e db yt h i si n t e r a c t i n gh e r d m gm o d e l f o r t h em o d e lw i t ht r a d i n gv o l u m ei n t e r a c t i o n ，e a c ha g e n tt r a d e sw i t hap r o b a b i l i t yw h i c h i ss u p p o s e dt od e p e n do nh i s h e ro w nt r a d i n gv o l u m ea th i s h e rl a s tt r a d e t h ep r i c e r e t u r ni sd e t e r m i n e da c c o r d i n gt ot h ev o l u m ei m b a l a n c ea n dt h en u m b e ro ft r a d e s t h e m o d e lc o u l dr e p r o d u c et h ep o w e r - l a wd i s t r i b u t i o n so ft h ef i n a n c i a lf l u c t u a t i o n s ，i e ， p r i c er e t u r n s ，t r a d i n gv o l u m ea n dt h en u m b e ro ft r a d e s ，a n dt h e i rr e l a t i o n s t h e g e n e r a t e dt i m es e r i e sa r ea l s ol o n g r a n g ec o r r e l a t e d k e y w o r d s ：s t o c km a r k e t s ，f i n a n c i a ld y n a m i c s ，s t y l i z e df a c t s ，m u l t i a g e n tm o d e l 6 中文摘要 研究股票市场的动力学行为是一热门的研究领域，吸引了来自各个不同领域 的科学家的兴趣。股票市场是一个多体相互作用的复杂体系。该体系具有一些和 物理学中的复杂体系相同的统计性质，例如长程关联，自相似性和普适性。我们 运用统计物理里面的概念和方法，通过分析高频股票序列研究股票市场的微观结 构以及构造多体模型模拟市场的动力学。这一新兴交叉领域被称作金融物理。 第一章，我们首先回顾了金融物理的发展背景，其中包括一个简短的有关股 票市场的历史回顾，金融物理的诞生以及金融物理对物理研究的贡献。接着我们 介绍了目前有关金融市场研究的一些热门课题，例如对高频股票时间序列的经验 分析和基于股民个体行为的多体模型研究。 第二章，我们观测德国的d a x 指数和中国股票市场的指数的日度数据和分 钟数据的统计特性，主要测量价格波动率的分布，自关联函数，d f a 函数，以 及收益率和波动率的关联函数。通过对日度数据的波动率的分布，自关联函数和 d f a 函数的测量，我们发现由中国的股票指数测得的结果和德国的d a x 指数测 得的结果是定性一致的。但是对于分钟数据的分析表明，中国的股票指数的动力 学行为不同于德国的d a x 指数。我们通过分析日度数据和分钟数据的收益率和 波动率的关联函数，发现德国的d a x 指数存在一个杠杆效应，但是中国的股票 指数存在一个反杠杆效应。一个波动延迟的模型可以描述金融指数的不对称行 为。这一章的工作是由我的同事和我共同完成，第3 、4 、5 章节的工作主要是由 我在导师的指导下完成。 第三章，我们对金融动力学的保持概率分布做了比较深入的分析并且介绍了 一个时间非局域的收益率和波动率的关联函数。和自关联函数相比，保持概率分 布描述了金融体系时间非局域的动力学关联。通过分析日度数据和分钟数据的保 持概率，研究德国的d a x 指数和中国的股票指数的普适和非普适的行为。我们 进一步把z 。= 0 的保持概率分布推广到了z 。0 的情形。时间非局域的收益率和 波动率的关联函数的结果不仅证实了时间局域的收益率和波动率的关联函数在 正时间方向上的结果，而且德国的d a x 指数和中国的股票指数一样，时间非局 域的收益率和波动率的关联函数在负时间方向上都存在一个反杠杠效应。 7 第四章，为了消除标准少数者博弈模型的内在周期性行为，并且使这个模型 更贴近实际市场，我们把一种与策略分数和股民个体相关的策略打分机制引入到 了这个模型中。改进后的模型具有实际市场的特征行为，例如波动率具有长程关 联和收益率的分布具有胖尾现象。这个打分机制与交易个体有关的特性是导致模 型具有长程关联的关键因素。这个新的打分机制还改进了模型时间非局域的动力 学特性，并且能和消极策略共存于少数者模型当中。我们还观测到引入新的打分 机制后，模型的标准偏差口2 明显变小，从而使得体系的效率得到有效的提高。 基于这个观测结果，我们还给出了一个有关体系具有长程关联的定性的解释。此 外，我们还把这个与策略分数和股民个体相关的打分机制引入到了一个“热 少 数者博弈模型当中，发现模型具有长程关联。这表明这种新的打分机制把一种非 平庸的动力学机制引入到了少数者博弈模型当中。 第五章，为了使模型具有长程关联以及股票市场的其它特征行为，我们把信 息反馈作用引入到e z 羊群模型中。研究表明，价格的波动率和交易量这些反映 市场状况的量，与市场价格的形成是密切相关的。我们介绍两个分别由波动率和 交易量决定信息反馈作用的e z 羊群模型。对于有波动率信息反馈作用的模型， 我们假设在某个时刻t 的信息传播速率正比于t - i 时刻金融指数的波动率。我们 观测了模型的静态和动态的动力学行为，比如收益率的分布，波动率的自关联函 数，收益率为零的分布和保持概率。此外，我们通过分析德国的d a x 指数，证 实了最近发现金融市场存在两相行为的结果，并且这个引入反馈作用的羊群模型 能够准确的重复市场的两相行为。我们还介绍了有交易量反馈作用模型，假设每 个交易人买卖交易的概率是由该交易人上一次交易量的大小决定。差价是由买卖 交易量的差值和总的交易次数决定。引入交易量后的模型能够重复市场涨落的幂 次分布，例如收益率的分布，交易量的分布和交易次数的分布，以及这些分布之 间的关系。此外，模型模拟产生的时间序列是长程相关的。 关键词：股票市场，金融动力学，特征行为，多体模型。 i n t r o d u c t i o n 1 1b a c k g r o u n d 1 1 1h i s t o r yo fs t o c km a r k e t s t h es t o c km a r k e th a sc o m et h r o u g hal o n gh i s t o r ym o r et h a n2c e n t u r i e ss i n c et h ef i r s ts t o c k e x c h a n g eo c c a s i o nw a sf o u n d e di np h i l a d e l p h i ai n1 7 9 0 t w oy e a r sl a t e rag r o u po fn e wy b r k m e r c h a n t sm e tt od i s c u s sh o wt ot a k ec o m m a n do ft h es e c u r i t i e sb u s i n e s sa n df o u n d e dw h a ti s n o wk n o w na st h en e wy o r ks t o c ke x c h a n g e i th a sm o v e dp a s ti t sh u m b l eb e g i n n i n g st ot h e p o i n tw h e r ei t ss y s t e mn o wf a c i l i t a t e sb i l l i o n so f d o l l a r sw o r t ho ft r a d e se a c hd a y n o wi th a s s o a k e di n t ot h ep e o p l e sd a i l yl i f ea n dp l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l e h o w e v e r , t h e r ew a s ag r a d u a lb u i l du pt ot h i ss o r to fs t a t u s i n19 7 3 ，c u r r e n c i e sb e g a nt ob e t r a d e di nf m a n c i a lm a r k e t sa n dt h e i rv a l u e sw e r ed e t e r m i n e db yt h ef o r e i g ne x c h a n g em a r k e t s i n c et h a tt i m e ，t h ev o l u m eo ff o r e i g ne x c h a n g et r a d i n gh a sb e e ng r o w i n ga ta l li m p r e s s i v er a t e i n t h e19 8 0 s ，t h ee l e c t r o n i ct r a d i n g ，a l r e a d yap a r to ft h ee n v i r o n m e n to ft h em a j o rs t o c ke x c h a n g e s ， w a sa d a p t e dt ot h ef o r e i g ne x c h a n g em a r k e t t h ee l e c t r o n i cs t o r i n go ft h ed a t ar e l a t i n gt op r i c e s w a sp u ti np l a c ea ta b o u tt h es a m et i m et h a te l e c t r o n i ct r a d i n gb e c a m ew i d e s p r e a d o n er e s u l ti s t h a tt o d a yah u g ea m o u n to fe l e c t r o n i c a l l ys t o r e df i n a n c i a ld a t ai sr e a d i l ya v a i l a b l e t h e s ed a t aa r e c h a r a c t e r i z e db yt h ep r o p e r t yo fb e i n gh i g h f r e q u e n c yd a t a t h ea v e r a g et i m ed e l a yb e t w e e nt w o r e c o r d sc a nb ea ss h o r ta sf e ws e c o n d s 1 1 2e m e r g e n c eo fe c o n o p h y s i c s ：f r o mp h y s i c st oe c o n o m i c s f o rt h es i g n i f i c a n ti m p o r t a n c eo ft h es t o c km a r k e t s ，e c o n o m i s t sh a v ed o n eag r e a td e a lo fw o r k s t 0s t t l d yt h ed y n a m i cm e c h a n i s mo ft h es t o c km a r k e t sa n dm a n yi m p o r t a n tr e s u l t sh a v ea l r e a d y b e e na c h i e v e d f o re x a m p l e ，b l a c ka n ds c h o l e sp r e s e n t e dar a t i o n a lo p t i o n - p r i c i n gf o r m u l ab y w h i c ht h e yw o nt h en o b e lp r i c e i nt h ep a s t3 0y e a r s ，p h y s i c i s t sh a v ea c h i e v e di m p o r t a n tr e s u l t s i n t h ef i e l do fp h a s et r a n s i t i o n s ，s t a t i s t i cm e c h a n i c s ，n o n l i n e a rd y n a m i c s ，a n dd i s o r d e r e ds y s t e m s i nt h e s ef i e l d s ，p o w e rl a w s ，s c a l i n g ，a n du n p r e d i c t a b l et i m es e r i e sa r ep r e s e n t e da n dt h ec u r r e n t 9 d a t ao n i n t e r e s t 0 ft 1 1 es t a t i s t i c a lp h y s i c sc o m m u n i t y , w i t ht h e h o p et h a tm e t h o d sa n di d e a sd e v e l o p e di 1 1 付l ed a s t d e c a d e st od e a lw i t hc o m p l e xs y s t e m sc o u l da l s ob er e l e v a n ti nf m a n c e i td 沁c t l y l e a d st 0m e e m e r g e n c eo fan e wi n t e r d i s c i p l i n a r yf i l e d e c o n o p h y s i c s p h y s i c i s t sv i e wt h ef i n a n c i a lm a r k e t sa r ee x a m p l e so fc o m p l e xi n t e r a c t i n gs y s t e l n ss i r n i l a rt 0 恤c o m p l e xs y s t e m si nt r a d i t i o n a lp h y s i c s f o rt h ec o m p l e xs y s t e m sw i t hm u l t i - b o d yi n e r a c t i 0 瑚， n l e 北e x i s tl o n g r a n g et e m p o r a lc o r r e l a t i o n sc a u s e db yt h en a t u r eo f t h es p a c es ，i 】m l e 咄a n dm t l s t h ed y n a m i cs c a l i n gb e h a v i o ri so b s e r v e d t h em e t h o do f r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pt h e o 巧h a sb e e n p r o p o s e dt os t u d yt h ef u n d a m e n t a lm e c h a n i s mo ft h es c a l i n gb e h a v i o r t h ec o n c e p t sa n dm e t h o d sf r o ms t a t i s t i c a lp h y s i c sh a v eb e e ni n t r o d u c e dt o t h es t u d yo ft h e 肋c r o s t n j c 眦o ft h ef i n a n c i a lm a r k e t s u s i n gt h eh i g h f r e q u e n c yh i s t o r i c a ld a t a s i l i l i i a r p b e n 锄e n o na r eo b s e r v e df o rt h ef i n a n c i a ld y n a m i c s ，i e ，t h ea b s o l u t ep r i c er e t u r ni s i o n g 哟n g e c 0 1 t e l a t e dt h o u g ht h ep r i c er e t u r l ls h o w sas h o r t - r a n g ec o r r e l a t i o n ，a n dt h e p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n o f t h e p r i c er e t u r nf o l l o w ss c a l i n gb e h a v i o r m a n t e g n aa n ds t a n l e yc a r e f u l l ya n a l y z e dt h e p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no ft h em i n u t e l yd a t ao ft h c s & p5 0 0i n d e xa n df o u n dt h ed i s t r i b u t i o no b e y sat r u n c a t e du 、，) r d i s t r i b u t i o n 【1 】t e m p o r a l s c a l i n gb e h a v i o ri so b s e r v e df o rd i f f e r e n tt i m es c a l e s s u b s e q u e n t l y , l i ue t a 1 c a l c u l a t e dt 1 1 e a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o no ft h ea b s o l u t ep r i c er e t u mu s i n gt h es a m ed a t ao ft h es & p 5 0 0i n d e x 觚df o 岫dt h a tt h ea b s o l u t ep r i c er e t u r ns h o w s l o n g - r a n g ec o r r e l a t i o nu pt os e v e r a lm o n 也s 2 3 】， w h i l et h ep r i c er e t u r no n l yh a sac o r r e l a t i o nt i m eo f s e v e r a lm i i l l 】t e s g o p i k r i s h n a ne ta 1 f u r t h e rc o n f n m e dt h a tt h et a i lo ft h ed i s t r i b u t i o no ft h ep r i c er e t u r r lo b e v 8 p o w e rl a w 4 - 7 】p l e r o ue ta 1 c a l c u l a t e dt h eh i s t o g r a m so ft h en u m b e r o f t r a d e sa n d 研c ev 撕a i l c e u 5 m gt h es a m ed a t aa n a l y z e df o rt h ep r i c er e t u r n 8 】a n dt h e ya l s of o u n dp o w e r l a w s 1 h e e x p o n e n t st h a td e s c r i b et h e s ep o w e rl a w s 9 】a p p e a rt ob et h ea n a l o g so fe x p o n e n t si nc r i f t c a l p h e n o m e n a t h ep r o c e d u r e ss i m i l a rt ot h o s eu s e di nc r i t i c a l p h e n o n l e n ac o u l db eu s e d 。t o u n d e r s t a n dt h e s ee x p o n e n t s r e c e n t l y ，p l e r o ue ta 1 【1 0 a d d r e s s e dt h eq u e s t i o no fh o ws t o c k p 玎sr e s p o n dt oc h a n g e si nd e m a n d t h e yf o u n dt h a tl a r g ep r i c ef l u c t u a t i o n so c c u rw h e nd e 瑚n d 1 sv c r ys m a l l af a c tt h a ti sr e m i n i s c e n to fl a r g ef l u c t u a t i o n st h a to c c u r a tc r i t i c a lp o 觚i i ls 曲 1 0 s y s t e m s ，w h e r et h ed i v e r g e n tn a t u r eo ft h er e s p o n s ef u n c t i o nl e a d st ol a r g ef l u c t u a t i o n s t h ec o n c e p to fu n i v e r s a l i t y , t h e n o t i o ni ns t a t i s t i c a lp h y s i c st h a t m a n yi a w ss e e mt ob e r e m a r k a b l yi n d e p e n d e n to fd e t a i l sc a l lb ea l s oa p p l i e dt ot h er e s e a r c ho ff i l l a n c i a lt i m es e r i e s a p h y s i c se x a m p l ei st h a td r a m a t i c a l l yd i f f e r e n tm a t e r i a l sb e h a v ee x a c t l yt h es a m en e a rm e i r 托s p e c t i v ec r i t i c a lp o i n t s b i n a r ym i x t u r e s ，b i n a r ya l l o y s ，f e r r o m a g n e t s ，e v e nb i o l o g i c a ls y s t e m s t h a ti n v o l v es w i t c h i n g ，a l lb e h a v et h es a m ew a y a na n a l o go ft h i s u n i v e r s a l i t y 印p e a r si n e c o n o m i t s f o re x a m p l e ，s k j e l t o r p 【1l 】d i dap a r a l l e ls t u d yf o rt h en o r w e g i a ns t o c ke x c h a n g e u s i n gt h em a n t e g n aa p p r o a c ha n dg o ta l m o s te x a c t l yt h es a m er e s u l t 笛t l l a to ft h es & p 5 0 0 t h e r ea l eo t h e re x a m p l e so f c o n c e p t sf r o ms t a t i s t i c a lp h y s i c sb e i n ga p p l i e dt of i n a l l c i a lm a r k e t s ， f o re x a m p l et h ec h a o sa p p r o a c hi sa p p l i e dt os t u d yt h es t o c h a s t i cd y n a m i c so f t 量l es t o c kn l a r k e t t h eg e n e r a li d e ao fac r i t i c a lp h e n o m e n o ni sa p p l i e dt os t u d yt h ef i r mg r o w t ha n d t h ei n t e r a c t i o l l s a m o n gt h e m ，r a n d o mm a t r i xt h e o r y 12 19 i sa p p l i e dt ou n d e r s t a n dt h ec o r r e l a t i o n sa m o n g p r i c e f l u c t u a t i