（应用数学专业论文）几类风险模型的风险理论及相关问题.pdf

摘要 几类风险模型的风险理论及相关问题 摘要 l 6 v y 过程是一具有独立平稳增量的随机过程，具有如马尔可夫性，无穷可分性等许 多良好的性质，在金融数学中一直扮演着重要的角色另一方面，风险理论中的许多风 险模型，如经典风险模型( 复合泊松过程) ，带干扰的经典风险模型，布朗运动等，均是一 些特殊的l 6 v y 过程这时，不禁要问若风险模型中描述保险风险的基本盈余过程为一 般的l 6 v ) r 过程，其破产问题会是什么样子的? 近几年来，许多学者对基本盈余过程为 谱负的l 6 v y 过程的风险模型进行了研究在本文第二至六章中，利用逼近的的方法对 具有正、负跳跃的l 6 v y 风险模型及具有投资收益的l 6 v y 风险模型进行了初步的研究 并且讨论了两类由某特殊l 6 v y 过程决定的并且具有某分红策略的o r n s t e i n u h l e n b e c k 型风险过程的分红问题 渐近估计方法是研究破产问题的一种常用方法在第七、八章中，首先给出了随机 游动阶梯高度及极大值的局部估计和尾估计以及一瑕疵更新方程解的渐近估计，然后 将结果应用到风险理论中，得到了一些新结论 迄今，大多数风险模型都假定索赔时间间隔与索赔量是独立的若两者关，会对破 产概率及其他相关的量产生怎样的影响在本文的最后一章，我们研究了一类索赔时间 间隔与索赔量相关且带干扰的风险模型 根据内容本文分为以下九章： 第一章：我们介绍了l 6 v y 过程及一些轻尾，重尾分布族的定义以及l 6 v y 过程的 一些基本定理对于论文中用到的一些符号也给出了规定 第二章：我们推广了g a r r i d oa n dm o r a l e s 【4 7 】的v y 风险过程，引入了既有正跳 跃又有负跳跃的l 6 v y 风险过程，其具有下面的形式 u ( t ) = t + 以一s ( ) ， t 0 ， 过程 s ( t ) ，t o ) 为一具有正、负跳跃的l 6 v y 过程，它包含了非连续收取的保费和索 赔总量在本章中，利用逼近的方法，得到了此风险过程的罚金折现函数圣满足的更 新方程及其圣的一个级数表达式在第四节中，我们还讨论了上风险过程在初始盈余 值趋于无穷大时，其破产概率的一些渐近形式 曲阜师范大学博士学位论文 第三章：设阢为一个具有风险投资回报的风险过程在t 时刻的盈余值，具有以下 其中，保险公司的基本盈余过程为一l 6 v y 风险过程：忍= 反一五+ 盯鼠索赔总量过程 以，t o ) 为一无漂移和干扰项的l 6 v y 过程过程 e m t = e 6 件m ，t o ) 是一几何布 朗运动，6 o ，r 是两个固定的参数 b t ，t o ) 和 吼，古o ) 为两个相互独立的一 维标准布朗运动在本章中，利用逼近的方法得到了破产概率满足的积分微分方程 第四章：假设某保险公司采用这样的财政策略：当公司的资产大于某一水平( o ) 时，超过的部分进行投资，取得利息率为r ( o ) 的收益；当公司的资产为负值但不 低于某特定的值( 一c 6 ) 时，通过贷款来继续维持公司的运作，贷款利率为6 ( o ) 设 u ( ) 为采用上述策略后某保险公司在t 时刻的盈余，满足下面的随机微分方程： ， ld 矿0 ) = e d t + ，( u q ) 一) d 一d z ( 亡) ，矿( 亡) ， i d u ( t ) = c d t d z ( t ) ， u ( t ) o ， 一i id 矿( t ) = c d t + 6 v ( t ) d t d z ( t ) ，o u ( t ) 一c 正 索赔总量过程z = ：【z ( 亡) ，t 0 ) 是个无漂移部分的从属过程( s u b o r d i n a t o r ) 通过研究绝对破产时刻，绝对破产前的瞬间盈余及绝对破产时的赤字三者的联合 分布来研究上模型的绝对破产问题首先，得到了当索赔总量过程为复合泊松过程时， 联合分布满足的积分一微分方程，并给出了方程的一般解利用上述结果我们得到了当 索赔总量过程为从属过程时，联合分布的一个表达式 第五章：设具有某一分红策略的保险公司在t 时刻的盈余值过程r = 忍，t 0 ) 为一o r 珊t e i n - u m e n b e c l ( 型风险过程，满足下面的随机微分方程 d 忍= ( p + p r z 0 ) ) d t + 盯d w 气， 其中， m ，t o ) 为一标准的布朗运动，p ，p ，盯 o 为三个固定的常数，z ( t ) 表示在 t 时刻的分红率函数本章，讨论了当f ( t ) 为有界函数时，分红策略的最优分红问题 第六章：设带有固定分红策略的a 一平稳o m 8 t e i n - u h k n b e c l 【( 1 一 、， 玩 慨 一 e z +u 帆 e l i 阢 式形 摘要 其中，a 0 为一固定的参数， 磊，t o ) 为谱负。一平稳过程d ：= 玩，t o ) 为 到时刻为止的分红总量利用广义、研i g h t s 超几何函数给出此模型分红总量折现值各 阶矩的表达式 第七章：在本章中，讨论了实数域上具有负均值的随机游动，得到了在指数估计不 成立的条件下，此随机游动的阶梯高度和极大值的局部估计以及尾估计随后，我们将 这些结果应用到风险理论中的s p a r r ea n d e r s e n 模型中 第八章：本章，我们对一类瑕疵更新方程解进行了研究，得到了其解的非指数渐近 表达式，并将结果应用到风险理论中 第九章：在本章中，讨论了一个索赔相依且带干扰的风险模型，利用l a p l a c e 变换 研究了破产时刻，破产前的瞬间盈余及破产时的赤字的联合分布，得到了此联合分布 l 印l a u c e 变换的一个表达式当上风险模型具有部分分红策略时，研究了分红折现期望 及矩母函数，得到了他们的一个表达式 关键词：l 6 v y 风险过程，g e r b e r s h i u 函数，绝对破产，最优分红函数，随机游动， 重尾分布，相关 a b s t r a c t r i s kt h e o r yf o rs o m er i s km o d e l sa n dr e l a t e d p r o b l e m s a b s t r a c t l 6 v yp r o c e s s 鹊a r es t o c h a s t i cp r o c e s s e sw i t hi n d e p e n d e n ta n ds t a t i o n a r yi n c r e m e n 乇s ，a n d p l a yaf u n d 锄e n t a lr o l ei nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e o nt h eo t h e rh a n d ，m a n yi m p o r t a n tr i s k 。 p r o c 麟娲盯ea l s os p e c i a lc a s 晒o fk v yp r o c e s s e s ，s u c h 踮b r o w n i a nm o t i o n ，t h ec o m p o u n d p o i 8 s o np r o c e 鹦，t h ec o m p o u n di ) o i s s o np r o c e s sp e r t u r b e db yb r o w n i a nm o t i o n i nc h a p t e r s 二4o ft h i st h e s i s ，w es t u d yr u i np r o b l e m sf o ra 【石v yp r o c e s s e sw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v e j u m p sa n df o rs o m el 后v yp r o c e s s e sw i t hi n v e s t m e n t i nc h a p t e r s5 6 ，w ei n t r o d u c et w 0 o r n s t e i n u h l e n b e c kt y p er i s kp r o c e s s e sd r i v e nb ys o r n el 6 v yp r o c e s s t h e0 p t i m a ld i v i d e n d p r o b l e ma n dt h em o m e n t so ft h ec u m u l a t i v ed i v i d e n da r es t u d i e d ，r e s p e c t i v e l y t h e 笛y m p t o t i cp r o b l e m so fr u i np r o b l e m sa r ei m p o r t a n tt o p i c si nr i s kt h e o r y i n ，c h a p _ t e r s7 - 8 ，w h e nt h ec o n d i t i o n sf o rt h ee x p o n e n t i a le s t i m a t ea r ei l o ts a t i s f i e d ，al o c a la s y m p t o t i c e s t i m a t ea n dat a j l 蠲y m p t o t i ce s t i m a t ef o rt h ed i s t r i b u t i o n so fl a d d e rh e 遮h ta n ds u p r e m u m f o rt h er a n d o mw 以ka r ed e r i v e da n dn o n - e x p o n e n t i a l 勰y m p t o t i cf o r m sf o rs o l u t i o n so fd e f - t i v er e n e w a le q u a t i o 璐2 u r eo b t a i n e d a 1 1t h er e s u l t sa r e 印p l i e dt or i s km o d e l s i nl a s tc h 印t e r ， w ec o n s i d e raj u m p d i i o nm o d e lw i t had e p e n d e n t 舱t t i n g ，w h e r et h ec l a i mi n t e r - o c c u r r e n c e t i m 鹤d e p e n do nt h ep r e v i o u sc l a i ms i z e 0 r g 锄i z a t i o n 强do u t l i n eo ft h i st h i s c h a p t e r1 ：w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fa n ds o m ei m p o r t a n tt h e o r e m sr e l a 土e dt o k v yp r o c 晒s 晒，a n dt h ed e f i n i t i o n so fs o m el i g h t t a i l e da n dh e a v y t a i l e dd i s t r i b u t i o n sa r e i n t r o d u c e da l s o s o m en o t a t i o i l sw h i c hw i l lb eu 5 e dt h r o u g h o u tt h et h e s i sa r es e td o w ni nt h i s c h a p t e r c h a p t e r2 ：g a r r i d oa i l dm o r a l e s 【4 7 】i n t r o d u c e dal 6 v yr i s kp r o c e s so n l yw i t hn e g a t i v e j u m p s ，i nw h i 出t h e ys t u d i e dt h eg e r b e r s h i uf u n c t i o n t h ea j mo ft h i sc h 印t e ri st oe x t e n d t h e i rw o r kt oag e n e r 引k v yr i s kp r o c e 胬w i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ej u m p s ，t h a ti s ，t h ei - 6 v y r i 8 kp r o c 田sh 蹈t h ef o r m u ( t ) = 缸+ d s ( t ) ， t o ， s ( 芒) i saj u m p 珠v yp r o e e s sw i t hp o s i t i v ea i l dn e g a t i v ej u m p s w ep r o v et h a tt h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o n 圣s a ，t i s f i e sar e n e w 出e q u a t i o na n dai n 6 n i t es e r i e se x p r e s s i o no f 圣i so b t a i n e d s o m e 晒y m p t o t i cb e h a v i o r so ft h er u i np r o b a b i l i 蚵a s 乱一a r ed i s c u s s e d c h a p t e r3 ：i nt h i sc h a p t e r ，w ea s s u m et h es u r p l u so ft h ei n s u r e ra tt i m et u n d e rs o m e i n v 镪t m e n ta s s u m p t i o ni sd e n o t e db y 阢： 仉= e 舰( u + z 。e 一耽d r 。) ，t 。，= 仳 w h e r er = 西一五+ 盯b ti sal 6 、可r i s kp r o c e s s t h ea g g r e g a t ec l 越璐p r o c e s s 五，t o ) i saj u m pl 6 v yp r o c 既sw i t h o u td r i f ta n dd i 肋s i o nc o e 伍c i e n t ，s t 盯t e da to t h ep r o c e s s e 地= e 6 卅毗，亡o i sag e o m e t r i cb r 瓣i l i 趿m o t i o n ，j o 龇l dr 舡ec o n s t 狃t s ，a n d 【眦，t o ) i sa n0 n 争d i m e 璐i o n 龃b r o w n i a nm o t i o ni n d e p e n d e n t0 f 兄，t o ) i nt 幽 c h a p t e r ，i ti 8s h o w nt h a tt h e 砌np r o b a b i u t i 鹄( b yaj 皿po rb yo s c i u a t i o n ) o ft h er 鹤l l l t i n g s u r p l u sp r o c e s ss a t i s 矽c e r t 也i n t b 铲o - d i f b e r e n t 谢e q u a t i o n 8 c h a p t e r4 ：l e tu ( t ) b et h es u r p l u s0 f 妇u r e ra tt 血et 谢t ht h el i q u i dr e s e el e v e l ， t h ec r e d i ti n t e r 笛tf o r c er 0a j l dd e b i ti n t e r e s tf o r c e6 o t h e nt h es u r p l l l sp r o c e s s c 厂( t ) ，亡o ) s a t i s 丘髓t h ef o u o w i n gs t o c h 嬲t i cd i 髓r e n t i 出e q u a t i o n ： 氍兰罴磊篡二 z e r od r m w es t u d yt h ea b s o l u t er u i nq u 髑t i 0 b y d e 丑n j n gt h ej o 砒血t 曲u t e d 胁c t i o no ft h e a b s o l u t er m nt i m e ，t h es u r p l u si m m e 出a t e l yb e f o r ea b s o l u t er u i i la n dt h ed e 丘c i ta ta b s o l u t e r u i n u 8 i i l ga na p p r o 越m a t i o ns c h e m e ，ag e n e r a l le x p r 圈s i o nf o rt h ej o i i l tc l i s t r i b u t e df u n c t i o n o ft h er i s kp r o c 鹤sd r i v e nb yas u b o r d i n a t o ri so b t 也e d c h a p t e r5 ：i t h i sc h a p t e r ，乒c o n t r o u e do r n s t e 吐u b 】e n b e c kt y p e m o d e l 主ss t u d i e d w h 0 8 er 铝e r v e 兄i s 弱s u i n e dt ob eg o 、，e r n e db yt h es t o c h 蹈t i cd i 矗e r e n t i a le q u a t i o n d 忍= ( p + p r j ( t ) ) d + 盯d v 吒， w h e r e 吼，t o i sa s t a n d a r db r 血a nm o t i o n ，p ，p ，盯 o 盯ec o 璐t a n t sa n df ( t ) i s t h er a t eo fd i 访d e n dp a y m e n ta tt i m et i ti ss h o w nh o wt h eo p t i m 龃r e t m nf u n c t i o n 砌t h e 。p t i m a jd i v i d e n d - p a y m e n ts t r a t e g ) rc a nb ec a 】c u l a t e dw h e n 乇h ei a t c f t l n c t i 。1 1f ( ) i sr e s t r i c t e d s 0t h a tt h ef u n c t i o n2 ( ) v 甜i e si n 【o ，m 】f o rs o m em c h a p t e r6 ：i nt h j sc h a p t e r ，w ep r e s e n tas p e c t r a l l yn e g a t i v eq s t a b l eo r n s t e i n u h l e n b e c k ( 1 d 币死甜口忍( q ，芦，p ) 括s 8 记幻k8 己嘶p 嗍矿 忱ep 口亡b 盯x 口他疵办tc 帆t i 佗也d 伽砒耽f 啦玩蒯如p n 概d s ts 乱化匆，如re u e 阿s ，t 0 ， 统e 伽c 他m e 疵五+ 。一五话饥d 印e n 如佗td ，沈ep r d c e s s _ ) 已，o t 亡 d 佗d 愚冼e s 凸7 n ef o 加o s x ：_ 2 碗p 口n z c u f n np ( x ，0 = o ) = 1 t h e o r e m1 1 ( l 6 v y k h i n t c h i n ef o r m u l a ) 蛳s e 玩口t 卢r ，0 口礼dg 诂o m 埘ec d 竹c e 死亡m t 以。钆r 一 o s 钍c 危娩耐j 三( 1 八爹2 ) g ( d 箩) o 。，乃0 观琥妇舌呦把 d 币n e 加7 e o c 伊r ，口c d 佗z i 仃乱d 伽知死c 抚d 礼：r _ c 夕i 口e 礼叻 皿( 口) ：t 矽+ 华+ 厂( 1 一吼伽i 1 ) 州 o ，一 7 流e 礼饶e 他诂话。咖i 弘ep r d 6 口务统匆m e u 化pd 佗qu 佗d e r 叫危记危 五，舌o ) 诂o l 色硒p 7 u c e 5 5t u t t 危c 口7 u c t e n s t l ce o 印d n e n t 皿，i e ， e ( p x t ) = e 一。粤( 口1 ， ，d 7 p ro n d 芒o ( ，i c ) j i 如化d e 巧眈e 豇 印p m c e 5 s 盯x ，n 口仇e 冶x = 咒，亡o ) ，诒口p d i s 5 d n 印轨t p r d c e s s 砒冼c n 他c 钯r 拈挽c 仇e 也他口 t h e l e a s e 口i sc a u e dt h e 厶纫可m e 口s 乱r e ，t h ep 盯a m e t e r 盯2i sc a u e d t h eg 口伽鲥口佗 ( o rd 如豇s i d 死) c d e 历c i e 毗a n dt h ep a r a m e t e rp i sc a u e dt h e 螂c o e 历c 匏跳i 璐t e a do f t h ef o i e rt r a n s f o 咖i n ( 木) b yt h el a p l a c et r a 璐f o r m ，w eo b t a i na n o t h e ri m p o r t a n t f u n c t i o n l c c p ；口c ee 印d 凡e n 南w h i c hw i l lp l a yac e n t r a lr 0 1 ei nt h i st h e s i s ：a ( 伊) ：= 皿( t p ) ， i e e ( e p 孔) = e n ( 们， p r 口n d 亡o b yl 6 吁k h i n t c h i n ef o r m u i a ，讯h a v e 蚺= 一胛一华+ 。0 ( 1 _ e - 印一帆删) g ( d ) t h e o r e m1 2 ( l 孛矿y i t 6f o r m l a ) ( 勋r 拈i d e rd 打印把t ( p ，盯，口) 伽 e r e 伽晚e 7 p r ，仃2 】王+ 口n d 口必口盯l e q s t 盯es 口t i s 向t 7 够g ( _ o ) ) = o 口几d 厶( 1 人l z l 2 ) g ( d z ) 0a n dt h el 6 v ym e a s u r ei si d e n t i c a l l yz e r ot h e nt h ep r o c e s si sa b r a w n i a nm o t i o n ( t h eo n l yc o n t i n u o u sl 吾v yp r o c e s s ) w h e nt h eg a u 幽a nc o e 珏k i e n t 仃2 = 0a n dt h ed r i f tc o e 丘i c i e n tp = 0 ，t h ep r o c e s si se n t i r e l yc o m p o s e db yj u m p s ，i f i i la d d i t i o n ，之g ( c 妇) o 。t h e nt h ep r o c e s si sac o i n p o u n dp o i s s o np r o c e s s ，w 1 1 i l ei f 氏口( 出) = o oa n d 氏( 1 ) g ( 如) 。t h e nt h ep r o c e s sh a s a ni n 丘n i t en 眦b e ro f s m a u j u m p s b u ti j 5o f 丘n i t e 谢a t i o n f i n a l l y ，i f 氏口( 如) = o oa n d 氏( 1 ) g ( 如) = o o ，t h ep r o c e s sh a si n 丘n i t e l ym a n yj 鸣l p sa n d i so fu n b o u n d e dv a r i a t i o n d e 丑n i t i o n1 2 ( s u b o r d 血a t o r )as u 6 0 7 成扎口o rx = ： 托，t o ) 招口l 面可p r d c e s s t n 硒叼t ，n l u e s 锄【o ，o o ) ，叫统眈i 7 7 妒瑟e s 冼口亡i 蛞s 彻叩f ep 口纨5 口他i 讫c 代i 叼 t h el a p l a c ee 冲o n e n to fas u b o r d i n a t o rh a st h ef o r m a ( 口) = d 护+ 广( 1 一e 一缸) g ( d z ) ， ，( 0 ，) w h e r edi st h ed r i f tc o e 伍c i e n ta n d 口i st h el 6 v ym e a s u r e 1 73t h el i g h t t a i l e da n dh e 2 n 可一t a j l e dd i s t r i b u t i o n s i nt l l i ss e c t i o n ，w ei