（应用数学专业论文）利用mas小波变换检测阶梯型边界.pdf

哈尔滨理丁大学理学硕十学位论文 利用m a s 小波变换检测阶梯型边界 摘要 小波分析是一门新兴学科。它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重 意义。而连续小波变换作为小波分析的基础，对其进行比较深入的讨论具有 理论意义和实际价值。连续小波变换是时间和频率的局部变换，能够有效地 从信号中提取信息，随着小波变换理论的完善，其应用也越来越广泛。本文 分别从理论和应用两方面进行了探讨。 理论方面：在连续小波变换像空间是再生核h i l b e r t 空间的基础上，针 对经常用于边缘检测中的c g a u 小波，给出了其小波变换像空间的再生核具 体表达式。并且当固定尺度因子时，分别给出了c g a u 小波变换像空间中的 一些性质。这为进一步研究一般的小波变换像空f b j 提供了理论基础。 应用方面：在c a n n y 算法和模角分离的小波变换( m a s ) 算法的基础上， 针对c a n n y 边缘检测算法抗噪性差以及m a s 算法检测边缘的连续性差的缺 点，利用融合技术，提出了一种能够结合c a n n y 算法和m a s 算法的方法， 保留了各自算法的优点，实现了对阶梯型边界的检测，得到了理想的效果。 该算法较简单，易于实现。在小波图像边缘检测过程中，检测算法通常是用 一个阈值将弱边缘去掉，将奇异性较大的边缘保留。用双阈值取代单阈值可 以更好的改善边缘的效果。但双阈值检测算法在边缘检测中不好平衡阈值选 取中噪音和有效边缘的矛盾，为了减少噪音的干扰一些奇异性较弱而长度较 长的边缘也被滤掉了，针对这一问题在双阈值算法的基础上提出了基于边缘 链长度的边缘检测方法，得到了较好的边缘效果。 关键词小波变换；再生核h i l b e r t 空问；边缘检测 b o u n do fs t e p - s t r u c t u r ee d g ed e t e c t i o no f m a sw a v e l e tt r a n s f o r m a p p r o a c h a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si san e w l ya r i s e ds u b j e c tt h a t d e v e l o p sg r a d u a l l yo nt h e b a s i so ft h ew a v e l e tt r a n s f o r m i t i sn o to n l yo ft h ep r o f o u n dt h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c e ，b u ta l s oo ft h ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n s b e c a u s ew a v e l e tt r a n s f o r mi s t h eb a s i so ft h ew a v e l e t a n a l y s i s ，d i s c u s s i n gw a v e l e tt r a n s f o r md e e p l yi so f t h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n d p r a c t i c a lv a l u e w a v e l e ta n a l y s i si st h el o c a l t r a n s f o r mo f t i m ea n df r e q u e n c yi t i sn o w w i d e l yu s e di nt h es i g n a lp r o c e s s i n g a l o n gw i t ht h ei m p r o v e m e n to fw a v e l e tt h e o r y , i t sa p p l i c a t i o nb e c o m e sm o r ea n d m o r ee x t e n s i v e t h i st h e s i sc o n d u c t st h ed i s c u s s i o nb o t hi n t h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a lp e r s p e c t i v e s i nt h e o r e t i c a lp e r s p e c t i v e s ，b a s e do nt h a tt h ec o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r i d i st h ef o u n d a t i o no ft h er e p r o d u c i n gk e r n e lf u n c t i o no ft h ei m a g es p a c e f o rt h e c g a uw a v e l e tw h i c hi so f t e nu s e di ne d g ed e t e c t i o na n di so fag o o dp e r f o r m a n c e ， t h i st h e s i sg i v e st h ec o n c r e t ef o r m so fr e p r o d u c i n gk e r n e lf u n c t i o no fw a v e l e t t r a n s f o i t ni m a g es p a c e w h e nt h es c a l ef a c t o r sa r ef i x e d ，w eg i v es o m ep r o p e r t i e s i nt h ew a v e l e tt r a n s f o r mi m a g es p a c eo f c g a u ，a n df u r t h e rw eg i v eat h e o r e t i c a l f o u n d a t i o nt ot h es t u d i e so fg e n e r a lw a v e l e tt r a n s f 0 1 t n i n p r a c t i c a lp e r s p e c t i v e s ，b a s e do nt h em o d u l a r a n g l e s e p a r a t e dw a v e l e t t r a n s f o r ma l g o r i t h ma n dt h e c a n n ya l g o r i t h m ，t os o l v et h ep r o b l e mw h i c h m o d u l a r a n g l e - s e p a r a t e d w a v e l e tt r a n s f o r i l l d o e s n ts o l v ew e l l w i t ht h e c o n n e c t i o no fe d g ea n dc a n n ya l g o r i t h mi s e a s yt oo b t a i nn o i s e an e we d g e d e t e c t i o nm e t h o db yu s i n gf u s i o nt e c h n i q u ei sg i v e ni nt h i s p a p e r t h em e t h o d c o u l dw e l lc o m b i n ec a n n ya l g o r i t h mw i t hm a sw a v e l e tt r a n s f o n n g o o de f f e c t i sa c h i e v e di nt h e i m a g ee d g ed e t e c t i o no ft h eb o u n do fs t e p s t r u c t u r e t h e a l g o r i t h mi ss i m p l ea n de a s yt oi m p l e m e n t i tu s e dt or e m o v ew e a ke d g eb yt h e m e t h o do ft h r e s h o l dv a l u e si nt h ep r o c e s so fe d g ed e t e c t i o n ，b i ga n ds i n g u l a r 哈尔滨理工人学理学硕上学位论文 e d g ea r er e s e r v e d u s i n gd o u b l e t h r e s h o l dv a l u e s ，w ec o u l dg e tm o r eg o o de f f e c t b u td o u b l e t h r e s h o l dv a l u e sm e t h o dd o e s n ts o l v ew e l lh o wt o g e tm o r e v a l u e a b l ee d g ea n dh o wt od e l e t en o i s e ，i no r d e rt or e d u c en o i s e ，s o m ew e a kb u t l o n ge d g em a yb ed e l e t e di fw ec a n to b t a i np r o p e rt h r e s h o l dv a l u e t os o l v et h i s p r o b l e m ，an e we d g ed e t e c t i o nm e t h o db a s e do nt h ed o u b l e t h r e s h o l dv a l u e si s g i v e ni nt h i sp a p e r i tu s et h el e n g t ho fe d g e ，g o o de f f e c ti sa c h i e v e di nt h ei m a g e e d g ed e t e c t i o n k e y w o r d s w a v e l e tt r a n s f o r m ，r e p r o d u c i n gk e r n e lh i l b e r ts p a c e ，e d g ed e t e c t i o n 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文利用m a s 小波变换检测 阶梯型边界，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间 独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包 含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 砻南蔼日期：弦节年月p 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 利用m a s 小波变换检测阶梯型边界系本人在哈尔滨理工大学攻读 硕士学位期问在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔 滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全 了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有 关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工 大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公御论文的全部或 部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密由 。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名： 导师签名： 垂锡移同期：矽9 年眵月口同 又p 彩落 同期：) 少年笋月卜同 哈尔滨理t 大学理学硕i ：学位论文 第1 章绪论 1 1 课题背景及研究的目的和意义 1 1 1 本文研究的目的和意义 小波分析是当今国际上一个非常热门的前沿学科，是继f o u r i e r 分析之后 的一个突破性进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工 具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。近年来，小波分析理论在数 学科学和纯粹数学方面都得到了迅猛的发展，在纯粹数学领域，基于小波变换 的小波分析理论是泛函分析、调和分析和数值分析等理论半个多世纪以来最完 美的结合，是j 下在发展中的新的数学分支，其理论和方法还需要逐步完善。在 工程应用领域，小波分析作为一种应用广泛的时频分析技术而成为信号处 理、信息获取与处理等许多领域的数学工具1 2 1 ，极大地促进了信号处理1 ( 信号 的奇异性分析、时频分析) 、图像处理川( 图像的压缩和重构) 、语音识别、地震 勘测、机械故障诊断与监控等各个领域的新发展，而且小波分析理论与分形理 论、神经网络联合互补对当今的自然科学产生巨大冲击力和推动作用，成为科 技工作者又一锐利的数学工具。探讨小波的新理论、新方法以及新应用已成为 当前数学界和工程界一个非常活跃和富有挑战性的研究领域1 5 川。 d a u b e c h i e si 在她的专著t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ) ) 中指出r ( r ) 中的连续 小波变换的像空间 h = f ：f = ( t ”厂) ( 口，x ) ，厂l 2 ( r ) ，口，x r ，口0 ( 丁”代表j 、波参乏换) 是r ( r x r ；g - 2 如出) 的一个闭子空间，它是一个再生核空间阿l 。本文将利用再 生核理论的特殊技巧1 8 9 1 ，对小波变换的像空间做进一步描述，从而更清楚地认 识和更充分地利用小波变换。另一方面，再生核是连续小波变换的基础，没有 再生核连续小波变换就无法进行重建。随着小波变换的发展也使得再生核理论 进入更多学者的视野”o 川，可以将再生核理论进一步地发展完善，应用于更加 广泛的领域。 小波变换不同于f o u r i e r 变换，f o u r i e r 变换中只有一个基函数 口研脚k ：， 小波变换中可以使用各种各样的小波基引。m e y e r 曾说过，小波分析就是一本 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 小波基的字典n3 。这么多小波的出现有时也令应用者无所适从n4 1 。在实际应用 中，如何选择好的小波基将是一个急待解决的问题。以往人们都是纯粹讨论小 波变换，而没有考虑到小波变换的像空间。由于小波变换的像空间是一个再生 核空间，而再生核空间的元素都能由该空间的再生核表示。本课题将首先求出 c g a u 小波变换像空间的再生核函数的解析表达式，然后根据再生核函数的具 体结构，应用再生核理论，研究该再生核空间的一些性质对其进行描述，为选 取最优小波基的问题提供一个新的方法。 具体地讲，尺度和平移均连续变化的连续小波基函数 沙以。o ) ；口，工r ，口0 ( 1 - 1 ) 是一种过度完全基，用再生核函数 k ( a ，x ；口，x 7 ) = l 沙以。( f ) 少玑。( t ) d t ( 1 2 ) 描述两个基函数的相关度的大小。这个再生核实际上度量了每个小波基函数的 空间和尺度的选择性。另一方面，小波基函数相关，这意味着在不同点( 以，工) 和( 口7 ，石7 ) 的小波展开系数r 一厂( 口，石) 和t f ( a ，x ) 之间也有一个相关关系。这 与小波变换的像是再生核空间中的元，可由再生核生成这一基本的事实是一致 的。那么任意一个随机信号，其连续小波变换在像空间中相关区域的大小可由 再生核给出，即 丁厂( 口，x ) = f ：”粤r r 厂( 叫) k ( ；口，j ) a x ( 1 3 ) l u ，。” 以 。一。 i 一，、1 2 其中q 为小波可容许性条件，巳：【粤国 0 ) 上f r o 某一点( 口。，x o ) 的小波变换值( 丁厂) ( 口。，) 都可以看成 半平面上其他各点小波变换系数的总贡献 ( t w a y 似口。，x 。) = 土c 卜塑r ( r ”似口，x ) k ( 口，x ；口。，x 。 r , j o a z j - o ) a x ( 2 - 4 ) 称式( 2 4 ) 为重建核方程，其中 k ( a ，x ；口0 ，x o ) 2 ( 少a , x ，a o , x o ) 2j r l ；f ，玑。，a o , x o d t 为再生核或重建核( 再生或重建的含义是尺度和时移相半平面上的已知点可根 据重建核方程再生或重建出一点) 。g ( a ，x ；a 。，x 。) 表征了连续尺度和时移半平 面a x ( a 0 ) 的两个不同点之间的c w t 的相关关系。它的结构取决于小波 的选取，实际上这个重建核度量了每个小波以。( f ) 的空间和尺度的选择性，因 此将非常有助于选择最适于给定问题的小波。j 下如容许性条件指出的，并不是 任意函数f ( t ) 均可作为小波一样，从a x 看，也不是任意f ( a ，石) 都可作为 ( t 一厂) ( 口，x ) ，它必须满足重建核方程。由重建核方程可知，连续小波是一种 冗余度很高的基。 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 2 1 2 框架及小波框架 定义2 1 设( 仍) 剐h i l b e r t 空间h ，如果存在a o ，b o o ，使得v h ， 都有 制1 2 善纡) j 2 - b i i s l l 2 ( 2 - 5 ) 称( 仍) 剧为一个框架，a ，b 为框架界。 如果两个框架界相等，即a = b ，则称该框架为紧框架。 定义2 2 设( 仍) f e j 是日的一个框架，则框架算子f 旷厂) ，- - i ，纺) 是删f 2 ( j ) _ c = ( c p j o j ；i c i l 2 = 弘1 2 0 为给定的两个常数，若函数( x ) r ( r ) 的伸缩和 平移构成的函数系 。c x ，= 口孑沙c 口孑x 九6 a ，；c ，卯，z ，z 2 ) 构成r ( r ) 的框架，亦即有正数a ，b ，0 a b o o ，使对一切f l z ( r ) ，均有 哈尔滨理t 大学理学硕t = 学位论文 制1 2 磊抄。) i - 8 i i l l 2 则称 y 。，。( 工) ；( 聊，1 ) z 2 为r ( r ) 中的一个小波框架，彳，b 分别称为框架的上界 和下界。 2 1 3r ( r ) 空间中的多尺度分析 1 9 8 6 年m e y e r 和m a l l a t 在多尺度逼近的基础上提出了多尺度分析的概 念。它是理解和构造小波的统一框架，无论在理论分析还是在构造、理解和应 用小波方面，它都是十分重要的。 定义2 4 r ( r ) 空间中的一列闭子空间 ) ，e z 称为e ( r ) 的一个多尺度分 析，如果满足下列条件： 1 一致单调性：c ckcv oc 屹ic 旷2 ； 2 渐近完全性：n 匕= 0 ；u 巧= l 2 ( r ) ； ，上j e 3 伸缩规则性：厂( f ) _ 铮f ( 2 t ) ，j z ； 4 平移不变性：f ( t ) jf ( t - n ) z o ，对所有n z ； 5 r i e s z 基存在性：存在g v o ，使得 g ( t - k ) ik z ) 构成的r i e s z 基， 即对v 厂存在唯一序列 吼 e1 2 使得厂( f ) = 以。g ( f 一尼) 成立；反之，对任意 序列 a 。 ，2 确定一函数f z o ，且存在j 下数a ，b 其中a b ，使得 af l l 2 蚶b y k e z 对所有f v o 成立。 2 1 4 小波空间及小波展开系数 对于亭( r ) 空问中的一个多尺度分析 _ ，j e z ，因为ic _ - l 记是 巧在_ 一。中的j 下交补空间，所以有 _ 一- = _ o ，上_ 显然，任意子空l 、日j 彬与是相互j 下交的，即彬上( f ) 。则由r ( r ) i u j 中的多尺度分析定义可知 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 r ( r ) 2 是 因此， 杉 脏构成r ( r ) 的一系列正交子空间。若设 。；七z 为空间的一 f ，1 组正交基，对所有尺度z ， 吩，t = 2 一i g t ( 2 7 t - k ) ；k z 必为空间的正交 基。因此称y 为小波函数，相应地称形，是尺度为_ ，的小波空间。若将函数( f ) 向不同的小波空间投影，则可得到不同尺度- f 的4 , 波展开系数d 从，其中 乃，。= ( 厂( f ) ，。) 。 2 2 再生核基本理论 2 2 1 再生核的定义 定义2 5 设日是h i l b e r t 函数空间，其元素是某个抽象集合口上的实值或 复值函数，内积用下式表示： ( 厂，g ) = ( 厂( ) ，g ( ) ) ，f ，g h 若对任何s b ，存在一个k ( t ，j ) 作为t 的函数是日中的元素，而且对任何 j b 及f h 有 f ( s ) = ( 厂( f ) ，k ( t ，s ) ) ， 则称k ( t ，j ) 是h i l b e r t 函数空间日的再生核，称h 是再生核空间。范数取为 l i i | = ( ，) 2 。 2 2 2 再生核的基本性质及定理 再生核的基本性质： 1 唯一性：如果h i l b e r t 函数空间有再生核k ( t ，j ) ，则此再生核是唯一 的。 2 存在准则：h i l b e r t 函数空间日有再生核，即v s b ，f ( s ) 都是日上的有 界线性泛函。 3 再生核的正定性：即对s i ，s 2 ，s 及复数a l ，口2 ，口总有 哈尔滨理t 大学理学硕 ：学位论文 k ( s ，s ，) 动j o i 4 设k ( t ，j ) 是h i l b e r t 函数空间h 的再生核，则有 k ( t ，f ) 0 ，k ( t ，s ) = k ( s ，f ) ，l k ( t ，j ) r k ( s ，s ) k ( t ，f ) 5 设k ( t ，s ) 是h i l b e r t 函数空间日的再生核，则有 m a x 1 f ( f ) i = 扛( 彬) = 敝酬i ， 这里范数是由内积引入的：1 札 ，) j u 岱 ，5o 6 设h i l b e r t 函数空间存在再生核，则当六一f ( 弱) 时必有厶一厂( 逐 点) ：如果k ( t ，t ) 在ecb 上有界，那么六( f ) 一厂( f ) ( 在e 上一致) 。 7 设函数k ( t ，s ) 在抽象集合占上是正定的，那么可以构造一个占上的 h i l b e r t 函数空间日，使k ( t ，s ) 是其再生核。 8 设日是h i l b e r t 函数空间，日。是其子空间，k ( t ，s ) 是子空间h l 的再生 核，h h ，则公式 侧= ( j l l ，讹曲) 给出日中元素h 在子空间h ，上的投影。 9 设k ( t ，s ) 是h i l b e r t 函数空间h 的再生核，则h 的所有的闭线性子空间 均以k ( t ，s ) 为其再生核。 l o 设k ( t ，s ) 是h i l b e r t 函数空间h 的再生核， 毋 是日中的j 下交系， a ， 是满足条件 za f l 2 0 0 的数列，则有 li z a ，ii g 如) i k ( ) j ( za f ) j 扛if - i 下面介绍再生核的有关定理： 定理2 1 ( 再生核的表示) 设日是可分的h i l b e r t 函数空问，它有再生核 k ( t ，j ) ， 够 i 。是h 的标准正交基，则 k ( t ，s ) = 妒) 丽 j = l 而目 哈尔滨理工人学理学硕十学位论文 蚓即一萋啪) 丽0 = 0 i i j 一1 l i t 定理2 2 ( 再生核的限制) 设日是集合口上的h i l b e r t 函数空间，k ( t ，j ) 是 其再生核，k ( t ，j ) 在子集a tc 占上的限制记为k ( f ，s ) ，则由全体日中的函数 在a t 上的限制z 所构成的函数空间以k 。( t , s ) 为再生核。 定理2 3 ( 再生核的和) 设日，h ：是同一个集合占上的两个h i l b e r t 函数空 间，它们的范数分别记为| 1 儿和”l l ：，k 。( f ，s ) 与k ：( f ，j ) 分别是日。，h ：的再生 核，那么k 。+ k ：是所有形如f = 石+ 正羁，正吼) 的函数所形成的 h i l b e r t 函数空间h 的再生核，日的范数由下式定义： w f = m i n m 刎 其中极小值是对一切分解厂= z + 正( 石h t ，正h 2 ) 而取的。 设k i 与k 都是在b 上j 下定的二元函数，如果k ( t ，s ) 一k 。( f ，s ) 在b 上正 定，则h 2k l k 。 定理2 4 ( 再生核的差) 设h ，h 。分别是具有范数”l 玑的h i l b e r t 函数空 间。k ，k 1 分别是何，日i 的再生核，且k l i i , i i 。 定理2 5 设h ，日，分别是具有范数”j l ，| 1 i i l 的h i l b e r t 函数空间， h ch ，k ( t ，s ) 是h 的再生核。如果对每个z h 。均有忻| i l l 0 ，那么 日l 具有再生核k l 且满足k l k 。 定理2 6 ( 再生核的积) 设h ，h 是集合b 上的h i l b e r t 函数空问，k 。( f ，s ) 与k ：( f ，s ) 分别是h ，日的再生核。令 k ( t i ，t 2 ；s 1 ，s 2 ) = k l ( t l ，s 1 ) k 2 ( f 2 ，s 2 ) 则直积h = h l0 h 2 以k ( t l ，t 2 ；毛，s 2 ) 为再生核。 设 色) 是集合口中满足下列条件的集族： 最c 包c 色c ，b = eu 易u 色u 日。是定义在幺上的h i l b e r t 函数空间，对于每个以h 。以以。表示工在集合 b mc 色上限制( m 刀，以。= z ) 。设h 。在如下意义下构成一个递减序列：对每 个以，。和m ，z ，z 。h m 。又设h 。的范数虬在下述意义下构成一个递增 序列：对每个六h 。，每个m 刀，六。六扎。再设每个h 。具有再生核 k 。( f ，s ) ，则有如下定理。 哈尔滨理工人学理学硕 j 学位论文 定理2 7 ( 再生核的限制) 在上述关于日。的假设条件下，再生核序列 k ( f ，j ) 收敛于一个在b 上定义的函数k o ( f ，s ) ，且k o ( f ，s ) 是具有下述性质的 在b 上定义的函数兀所构成的h i l b e r t 函数空间的再生核： ( 1 ) 厶在或中的限制f o 。h 。0 = 1 , 2 ) ( 2 ) 慨忆 0 ) 为具有有限范数 铷化) 2 e - , l ：f 螂 的所有整函数f ( z ) 在该范数意义下构成的h i l b e r t 函数空间，且c c 上的二元 函数e 面为该空问的再生核。即对空间中的任意一个元f ( z ) 厂( f ) 及z c ，“c 有 厂( 万) = ： 这个空间称为f o c k 空间或b a r g m a n n - - f o c k 空间。 2 3 本章小结 本文是基于小波变换像空问和再生核空i 、日j 理论之i 、日j 的联系，同时基于小波 变换和边缘检测之间的联系进行的研究，所以作为全文的预备知识，本章不仅 包括小波变换的定义和基本性质，也包括再生核空l 、日j 理论的基本概念，基本性 质和基本定理，以及再生核f o c k 空i 、日j 的定义。这些对于