（应用数学专业论文）几类非线性发展方程的时间周期解与概周期解.pdf

摘要 本文主要讨论了四类问题一为k d v 非线性s c h r s d i n g e r 组合微分方程 组时间周期解的存在性；二为多维非线性s c h r s d i n g e r 方程混合边界问题时间 周期解的存在性；三为多维非线性s c h r s d i n g e r 方程混合边界问题概周期解的 存在性；四为捕食者一食饵系统时间周期解的存在性与稳定性 在讨论第一类、第二类问题的时间周期解时，由于这两类方程的解算子： ( 初值) 一( 解) 不具备紧致性，不能直接用嵌入定理获得解算子紧性，所 以不能直接使用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理证明时间周期解的存在性但是 可以先考虑g a l e r k i n 近似问题，用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理证明g a l e r k i n 近似问题有时间周期解，因为这是有限维问题，紧致性是满足的然后利用 周期解的先验估计和紧性证明近似解的极限就是原先方程的时间周期解而 s o b o l e v s 不等式在作近似解的先验估计时有着非常重要的作用由于文中所 讨论的第二类问题的多维情形和混合边界情形，使得这一问题更加复杂，这就 使得在作先验估计时采用的方法与第一类问题有所不同，而必须充分利用方 程本身的特点在第二类问题的基础上，并利用g r o n w a l l s 不等式，得到了 第三类问题对于第四类问题，我们运用分歧理论、隐函数定理获得了非平凡 时间周期解的存在性与稳定性 关键词：非线性发展方程；时间周期解；概周期解；g a l e r k i n 方法 l e r a y - s c h a u d e r 不动点原理 a b s t r a c t i h e r eo r ef o u rm a i np r o b l e m ss t u d i e di nt h ep r e s e n tt h e s i s t h ef i r s t i se x i s t e n c eo ft i m e - p e r i o d i cs o l u t i o nf o rt h ec o u p l i n gs y s t e mo fk d va n d s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s t h es e c o n da n dt h i r dt o p i c so r er e s p e c t i v e l ye x i s t e n c e o ft i m e - p e r i o d i cs o l u t i o na n da l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o nf o rm i x e db o u n d a r y p r o b l e mf o rm u l t i d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s t h ef o u r t hi s e x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo ft i m e - p e r i o d i cs o l u t i o nf o rap r e d a t o r p r e ys y s t e m a st ot h ee x i s t e n c eo ft i m e - p e r i o d i cs o l u t i o nf o rt h ef i r s ta n ds e c o n dp r o b - l e m ，b e c a u s et h ei m b e d d i n gt h e o r e mc a n tb eu s e dd i r e c t l yi nt h et w ok i n d o fs o l u t i o no p e r a t o r ，w ec a l l to b t a i ne x i s t e n c eo fs o l u t i o nb yu s i n gl e r a y - s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n dc o m p a c t e s sa r g u m e n t s b u tw ec a nc o n s i d e r t h eg a l e r k i np r o b l e m ，t h u sp r o v et h ee x i s t e n c eo ft i m e - p e r i o d i cs o l u t i o na b o u t t h eg a l e r k i np r o b l e mb yu s i n gl e r a y - s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m t h e nw e c a l ls h o wc o n v e r g e n c eo fa p p r o x i m a t es o l u t i o nb yu s i n gp r i o re s t i m a t e sa n dt h e c o m p a c ta r g u m e n t s a n dt h el i m i ti sj u s tt h et i m e - p e r i o d i cs o l u t i o nf o rt h e o r i g i n a le q u a t i o n s s o b o l e v si n e q u a l i t yp l a yag r e a ti m p o r t a n tr o l e i no b t a i n - i n gt h ep r i o re s t i m a t e s e s p e c i a l l yf o rt h es e c o n dp r o b l e m ，t h em u l t i d i m e n s i o n a n dm i x e db o u n d a r ym a k ei tm o r ec o m p l e x s ot h em e t h o do fo b t a i n i n gt h e p r i o re s t i m a t e si sd i f f e r e n tf r o i nt h a to ft h ef i r s tp r o b l e m b a s i n go nt h es e c o n d p r o b l e m ，w ec a ne a s i l ys h o wt h et h i r dp r o b l e mb yu s i n gg r o n w a l l si n e q u a l - i t y f o rt h ef o u r t hp r o b l e m ，w ec a l lg e tt h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fn o n t r i v i a l t i m e - p e r i o d i cs o l u t i o nb yu s i n gt h eb i f u r c a t i o nt h e o r ya n dt h ei m p l i c i tf f m c t i o n t h e o r e m k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；t i m e - p e r i o d i cs o l u t i o n ；a l m o s tp e - r i o d i cs o l u t i o n ；g a l e r k i nm e t h o d ；l e r a y - s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m i i 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由 本人承担 作者签名：苞务1 丑日期：知0 5 年名月( 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅本人授权华南理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文 保密口，在 本学位论文属于 不保密口 ( 请在以上相应方框内打” ”) 作者签名；方邑秀矗 导师签名： 4 寸7 孬 1 年解密后适用本授权书 日期：芯年毛月穹日 日期：舟月，日 第一章绪论 1 1 问题的主要来源 5 1 1 1k d v - s c h r 6 d i n g e r 方程的简单介绍 在激光和等离子体的相互作用中，若对双流体力学方程组( 即电子、离子 流体力学方程组) 忽略离子部分的非线性项和色散性，即可得到： ( h 2 ) 礼e = 0 ( 1 1 ) ( i 2 ) 其中n 为离子的扰动量( 实函数) ，为场量( 复函数) 上述方程由3 a x a p o b 提出 3 5 1 ，该方程具有一系列重要性质和内容例如它具有一维孤立子解， 即l a n g m u i r 孤立子，它的形成、发展和相互作用不完全与k d v 方程的孤立 子相同，已引起人们广泛的兴趣和关注，并把( 1 1 ) ，( 1 2 ) 称为3 a x a p o b 方程 组，其孤立子解为 r1、 e = a s e c h ( a ? v 2 ) ( x c t x o ) e x p i ( 言v x 一【2 t 一目 ，( 1 3 ) lj 11 n = 一7 2 l 1 2 ， n d = ； 2 一去4 2 7 2 ， ( 1 4 ) q 其中有四个参数a ， ，x 0 ，0 详见3 6 1 及其参考文献 然而，在近声区域，由( 1 3 ) ，( 1 4 ) 知，当”一1 时，密度扰动n = 一f h 2 ，本构能量以及孤立子宽度a ? 、2 趋向于无穷大因此， m a k h a n k o v ， n i s h i k a w a 等人( m a k h a a k o v1 9 7 8 ；n i s h i k a w ae ta 1 1 9 7 4 ) 提出用具有质动力 的耦合k d v 方程代替方程( 1 1 ) ，即得到k d v - s e l l r 6 d i n g e r 方程组 i c + a e z b n e = 0 ， 啦+ l 1 3 n x 。= + n 2 + i e l 2 k = 。 l ，1 ，2 生物模型的简单介绍 2 第一章绪论 近四十年来，数学生态学突飞猛进、蓬勃发展，从数学的角度科学地揭示 了生态系统的生态规律，为人类保护建设生态环境、改善环境现状，防止现有 生态系统退化，解决退化生态系统的修复与重建提供了科学的对策其中，数 学生态学研究得最多的是捕食一食饵系统文献f 1 1 中系统介绍了生态学模型 的建立和研究a j l o t k a ( 1 9 2 5 ) 和v v o l t e r r a ( 1 9 2 6 ，1 9 3 1 ) 各自建立了捕食 者一食饵系统模型和竞争系统模型，o d u m ( 1 9 7 1 ) 把前述模型推广到互利系 统以后人们把这三种模型称为l o t k a - v o l t e r r a 模型l o t k a - v o l t e r r a 描述的 最好例子是，加拿大山猫和雪兔捕食一食饵系统一百多年间数量周期性波动 的生态现象7 0 多年来l o t k a - v o l t e r r a 模型描述的生态动力系统吸引了众多 学者从不同角度，用各自熟悉的方法去研究两种群相互作用系统两种群生 存在一个共同的自然环境中，它们之间的相互作用关系大致归结为：捕食、竞 争、互利 两种群相互作用的l o t k a - v o l t e r r a 模型 篡 其中u ，v 表示种群的密度参数b 2 0 表示捕食者的自然死亡率；若b l 0 为两种群自然增长率用参数a e f ( i = 1 ，2 ；j = 1 2 ) 的正或负符合来表示两种群之间的以下关系： ( 1 ) 当a 1 2 o 时，( 1 5 ) 表示捕食者一食饵系统 ( 2 ) 当a 1 2 0 时，( 1 5 ) 表示互利系统 此外a l l 0 ，a 2 1 = 0 ) 表示偏利作用；a 1 2 = 0 ，a 2 1 0 ( 或者a 1 2 0 ，n 2 1 = 0 ) 表示偏害关系；a 1 2 = 0 ，a 2 1 = 0 代表中性关系 如果我们考虑生物种群的空间分布和迁移，则模型表现为下列反应扩散 方程形式 i “f = a u + “( “+ a l l z t + a 1 2 v ) ， i 仇= a v + v ( b 2 + 2 1 “+ a 2 2 u ) q 捌 + 十篡+ 地啦 华南理工大学硕士学位论文 3 生态系统是由多个相互联系的种群构成的，研究两个种群之间的相互作 用关系将有助于我们研究更多的种群之间的关系以往的研究大部分局限于 生态系统定态解的存在性但是生态系统在一定的环境中生存，会受到季节、 气候的影响，从而使系统表现出一定的时间周期性这就促使我们进行这方面 的研究，以便更确切地掌握生态系统的内在规律这就是本文第五章所要讨论 的内容 1 2 记号、定义和基本的理论工具 1 2 1 记号及基本定义 对于l p o 。，设u 是n 上的可测函数，且l u ( x ) i p 在q 上是可积 的这种函数“的全体记作口( n ) ，其范数定义为 r、i 1 u = ( 川u ( z ) 1 9 d xl j n 对于非负整数k ，1 p ( 。，w k , p 表示对任意例sk ，弱导数护乱 都属于驴( 2 ) 的全体函数，其范数定义为 ，、； ( | 聂z 伊卵出j w k , 一( n ) 的一个重要闭线性子空间是w 乎，( 【2 ) ，它是嘴( n ) 在w 。，一( q ) 中的 闭包当p = 2 时，w 2 , ，( q ) ，彤。，9 ( q ) 有时简记为h ( q ) ，璐( f z ) 设q 是形的有界区域，对于非负整数k ，c 。( f i ) 表示所有在而上k 次 连续可微的函数组成的空间，其范数定义为 c ) = l f 扩“( z ) l 驯曼七 对于0 o 1 ，如果u c ( f i ) 且 u l 。：n 垒s u p z ，口nz 9 u ( 掣) y l “ 4 第一章绪论 则称u 在而上具有指数为的h s l d e r 连续性所有这样的函数组成的空间 记为c 8 ( q ) 对于非负整数k ，0 n 1 ，c 2 扣( 而) 表示c ( 而) 中满足 l uj + 。；n 垒i 扩训。；n o o 的函数组成的线性空间，其范数定义为 i g ( n ) = i g t ( n ) + i u l k + 。；n 设q 丁= n ( 0 ，刀，c 2 k , k ( 国r ) 表示满足 西鹾“e c ( q r ) ，2 r + h 2 k 的函数组成的线性空间，其范数定义为 i l u l l g 。”( 旬，) = 蛩p i 四鹾“| o 2 r + l s l _ 2 kv 。 对于0 o l 1 ，c 2 + 蚶+ ；( r ) 表示c 2 k , k ( 国t ) 中满足 l 留罐u i 。浩 o 。，2 r + i s i k 的全体函数组成的线性空间，其范数定义为 h c 2 k + a k + ( 旬，) =蛩pl 辞r s “i + l q r s u i 。， ， 0 2 r + s l j 2 kv 7 2 r + s = 2 k 其中 l u l 。，。坠。，。s u ，p t , s 6 ( oti。，。，。，iixlll；jy篇) z ，n ， ( z ，) ( 掣s ) l i “十l 一5 i 2 j 以上空间均为b a n a c h 空间 定义1 1 设x 为线性赋范空间，a ，b x ，如果对任意的z a ，存在 口中的点列。收敛于z ，则称b 在a 中稠密 定义1 2 设x 为线性赋范空间，acx ，如果4 中任一无穷子集必含有 一个收敛点列，则称a 是紧集 定义1 3 设x ，y 为线性赋范空间，d x ，称映射f ：d y 为紧映 射，即而是y 中紧集若f 连续且在任何有界集上为紧映射，称f 为 全连续映射 华南理工大学硕士学位论文 5 1 2 2 分歧理论在实际问题中，非线性方程的第一个平凡解常常是容易看 出的，而最有兴趣的恰恰是问，什么时候会出现非平凡解? 非平凡解的个数 和形态如何? 对于含参量的方程，问题可表述成：当参量变化时，初始解能否 延拓出不唯一的几支解，或者说当参变量取哪些值时，方程的解开始出现分 岔这样的问题称之为分歧问题由于它有丰富的物理和技术背景，它已经成 了非线性分析的中心题目之一 在数学及应用的许多问题中，常常要讨论形如 ( 1 6 ) 的方程的求解问题其中f ：ax x z 连续且有一阶连续的f r d c h e t 导 数，x 和z 是b a i i m c h 空间，a 为参数集，a 八，z x 方程( 1 6 ) 的解 是指满足( 1 6 ) 的点( a ，z ) a x 分歧理论讨论方程( 1 6 ) 在解( a o ，。o ) 附 近解的结构问题 定义1 4 点( a o ，z o ) 人x x 称作算子方程( 1 6 ) 的歧点，是指：( i ) ( a o ，x 0 ) 位于通过( a o ，z o ) 的解曲线( a o ( ) ，x 0 ( e ) ) 上；( i i ) ( a o ，x 0 ) 在ax x 的每一邻 域内都有( 1 6 ) 的与( a o ( ) ，z o ( e ) ) 不同的解 若( a o ，z o ) 是( 1 6 ) 的歧点，则( 1 6 ) 的解常常由过( a o ，z o ) 的不同的连续 曲线组成，这些解的曲线称作解的分枝，或发自( a o ，z o ) 的分歧解 对分歧解的存在性和稳定性讨论的基本方法有：隐函数定理、l i a p u n o v s c h m i d t 方法、简单特征值分歧定理、谱分析、l e r a y - s c h a u d e r 度理论、f l o q u e t 理论、h o f t 分歧、幂级数展开等方法 定理1 1 ( 隐函数定理) ( 见文 1 ) 设u 是八x 中的开集，( a o ，x 0 ) u ， 设f ：u z 连续，f 关于z 可微，且导数r ( a ，x ) 在( h ，z o ) 连续，又 设b ( a o ，z o ) ：x z 有有界逆，则存在正数7 和j ，使得当忪一 o f f 0 ，u ( t ) 是方程( 1 7 ) 带有初值u ( o ) = u 0 的解若v 0 ，3 5 = d ( ) 0 ，使当l i 札。一训i 0 ，有 l i u ( ) 一面| | - c ， 则称定态解u 三面高菖局部聪定的如果“是稳定的，并对任意的u o ，l i 一r , i l 6 ，有 t 。l i + m 。u ( o = 面， 则称定态解面是渐近稳定的 定理1 2 ( 线性化稳定性原理) ( 见文【2 5 ) 假设方程( 1 7 ) 中d 。f ( a ，“) 仅 有点谱，则( 1 ) 若谱集口( d 。f ( a ，面) ) cz c ：r e z o ) ，则面是稳定的； ( 2 ) 谱集o ( d 。f ( a ，面) ) cz c ：r e z 0 时，缸( ) 稳定；当口 。) 华南理工大学硕士学位论文 7 ( 3 ) h s l d e r 不等式 上i d z i i “i l 圳i i u i i 州u ) ( 4 ) g r o m v a l l s 不等式 ( i ) 设叩( ) 是 o ，t i 上绝对连续的非负函数，满足 叩( ) ( ) 卵( t ) + 妒( ) 其中( ) 和妒( f ) 是 0 ，t 】上可积的非负函数，则 叩( t ) e 露州旬如 叩( 。) + z 妒( s ) d s ， ( 。t 丁) ( i i ) 特别地，如果在 0 ，7 上 q 7 咖且叩( 0 ) = 0 ， 则在【0 ，t 】上 10 ( j i j ) ( 见文 1 2 】) 设函数y ( ) c 1 卜s ，纠，其中5 为正整数，( ) 0 ，可( 一s ) = 0 ，且满足可7 + a y m ，则 可( ) s m a 其中a 为正常数 定理1 4 ( l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理) ( 见文 4 ) 设x 是b a n a c h 空间， f ：x x 全连续，如果集合钏z z x ，z = a f x ，0 a 1 是有界 的，则f 在x 中的闭球t 中必有不动点，这里t = x x x ，l l x l l ! r ) ，r = s u p i i z l lz = a f x ，0 a 0 ，o 。 z 0 , - o 。 z + o 。) e i _ 0 = e o ( z ) n | b 0 = n o ( x ) ，( 一o 。 0 ，( 2 4 ) 其中a a o ，b ，f l ，q ，卢，y t ，d 为实数，并且t 0 ，d 0 ，a o 0 ，o l 0 ，q 0 ，7 0 未知函数n ( x ，t ) 为实值函数，( z ，t ) 为复值函数函数f ( x ，) ，g ( x ，t ) 是关于时间t 的周期函数，其周期为丁；并且关于空间变量z ，函数e ( z ，) ，n ( z ，t ) 也是周期的我们证明了方程组( 2 1 ) 一( 2 4 ) 时间周期解的存在性 为方便起见，我们用表示l 。，用。表示p ，用。表示 。，( h 2 ) 。记为吲：，( n 。) 2 记为2 ，q = ( 一d ，d ) 本文中，l 2 ( q ) 是具有如下内积 的h i l b e r t 空间 ( u ，口) ：“o d z n 8 华南理工大学硕士学位论文 9 设x 是b a n a c h 空间，我们定义c ( t ，x ) 是x 中具有1 到k 阶导数的 时间周期函数( 周期为t ) ，其范数定义如下： 旧“忆 用l v ( t ，x ) 0 p o o ) 表示x 中具有模 陋忆，m ，= lz t 忙慢1 1 p o o ( - p 。) 1 | “i i l 。( t ，x ) 2 。s u 。p 7 _ i l u | | x 的时间周期解为t 的函数的集合 2 2 近似解的存在性 我们运用g a l e r k i n 方法和l e r a y - s c h a u d e r 不动点原理证明方程( 2 1 ) ( 2 4 ) 的近似时间周期解的存在性， 设“。( z ) ( j = 1 ，2 ，) 为方程屿+ a j = 0 具有周期边界条件( 2 4 ) 对应于特征值0 = 1 ，2 ，) 的标准特征函数，在l 2 中生成标准正交基 屿( z ) ) 设问题( 2 1 ) ( 2 4 ) 的近似时间周期解c n ( x ，) ，n n ( x ，t ) 具有如下形式 其中0 。( t ) ，z j ( t ) ( j = 1 ，2 ，；n = l ，2 ，) 是变元t r + 的系数函 数，按照g a l e r k i n 方法，系数q ，( ) ，9 j ( t ) 必须满足如下的方程 ( i c t + a e n 。一i a o e _ 。一6 忆e + i a g n 一，屿) = 0 ， ( 2 5 ) ( 啪一帅dt l n x x x + 7 z n n n x - + - 弘1 础+ t n n - - g , 吣) 扎( z 。) 这是一个一阶非线性常微分方程组我们用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理来证 明问题( 2 5 ) ( 2 6 ) 的近似时间周期解的存在性 对于任意的自然数，设凰v 是由u - ，u 。，u _ v 张成的子空间，记为 h r = s p a n w l ，u 2 ，- - u ) k 茹 = x l c u z 畸 岛 爿 1 0 第二章一类k d v 非线性s c h r s d i n g e r - 蛔合微分方程组时间周期解的存在性 n 设如( z ，t ) = 如( ) 屿； ( z ，t ) 一( ) 屿 i = 1 = l 我们定义算子f ：( 知， ) 一( e ，n n ) ( 0 a 1 ) 显然对任意( 白， ) a 1 ( e ) ，如下的常微分方程组存在唯一的以t 为周期的解( e ，礼) c 1 ( t ，凰v ) ： ( i c + o e _ v 。一i a o e 。+ a m i ( n ， ) + i a e n f ，) = 0 ， ( n n 。一叼n 。+ ；p n + a a 如( 、q ) + y n 一g ，u ，) = 0 其中 a ( ，1 ) 一一6 叩_ ，a 如嬉n , i n ) = 7 7 。+ 互11 e l ： ( 2 7 ) ( 2 8 ) 显然映射r ：( 臼， ) 一( e v ，r ) 在c 1 ( l h n ) 中是连续且紧的当a = 0 ， 线性方程组( 2 7 ) 一( 2 8 ) 有唯一解( 云，亓) c 1 ( 丁，h n ) ，因此，g o 有唯一 不动点( g n ，元 ) 在a 1 ( t ，日) 中要运用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理来证明 映射以存在不动点，我们只需证明方程b ( ，n n ) = ( e ，n n ) 的所有可能 的解都满足下面不等式 l i e 1 1 2 + i i 忆l i 。sk i ， ( 2 9 ) 其中1 是与a ，n 无关的常数，仅依赖于a a o ，b o ，p ，日，7 ，f 和g 引理2 1 ( g a g l i u r d o - n i r e n b e r g 不等式) ( 见文 2 剐)设“l q ( n ) nw ”， 其中l 7 ，q 0 ，使得 n ) g 1 - 0 n ) 其中0 j m ，j m 口1 ，l p 。和1 p o ) q 引理2 2 设f ，g c 1 ( u ，f h ) ，如果r ( e ，n ) = ( e ，n ) ，0 a l ，则 有不等式( 2 9 ) 成立 证明方程只( s ，r 。) = ( e ，r ) 写成如下的等价形式 ( z _ + 。e _ 。z i a o 、r 。一a b n n n + i 佃e 一f 屿) = 0 ， ( 2 1 0 ) k 。一聊。，+ 箬。+ 枷+ ；h 偿+ ， n n - - g , 屿) = o ( z 1 1 ) 华南理工大学硕士学位论文 1 1 用吗( t ) ，岛( ) 分别乘以( 2 1 0 ) ，( 2 i i ) ，从1 到n 对j 求和，有 ( i c n t + o e 。一i a o e n z z a b n n e n + i a c n 一，c n ) = 0 ，( 2 1 2 ) ( n t 一叩n 。+ f i 。n a n n 。+ ；i e i ：+ 7 n 一，n ) = 。( 。，3 ) 在( 2 1 2 ) 的两边取虚郡，有 ；加刊h ni i e 1 1 2 + a o 忙。1 1 2 = ，m ( f ，刊 i ( ，c n ) l q + 芸f h f f 2 即 夏d i i n i l 2 + o ：i i e 1 1 2 2 c 1 在 0 ，明上对( 2 1 5 ) 积分，得到 o | | 2 d t 竿， 故存在t + o ，t i ，使得 i i e n ( t + ) 1 1 2 _ 2 c , 对( 2 1 5 ) 再次积分，从+ 到( t + ，t + + 卅) ，得到 i i e _ v ( t ) 8 2 墨l l e _ ( + ) 1 1 2 + 2 c 1 t 2 c 1 ( + 丁) 对于( 2 1 3 ) ，确 ( n n t ，n n ) = 翔d 训i i ， 一叩( 礼_ 。，礼) = 叩l i 礼。1 1 2 a ( n n n n ， f t n ) = 0 ， l ( 巍刊孙删 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 7 ( - ，n n ) 一7 i l n 1 1 2 ， ；卢( n 。，n v ) = o ， ( 9 ，n ) i i l g l ll l n i i q + 昙i i n _ v i i 2 j a i ( e 占，扎。) l 却刊悱v 。i i ；a o i i n n x l l i e n i ii n n去a 忙幅- i i 岛+ 釉酬2 + ；j l n x l l 2 1 2 第二章一类k d v 非线性s c h r 6 d i n g e r 组合微分方程组时间周期解的存在性 凼此由( 2 1 3 ) 硐 ；加n l 1 2 + 7 协1 1 2 + ，7 忙川1 2 = 一( 扣刊孙) + ( ) s l ( ；a l i ：，礼- ) 1 + l ( 9 ，礼) i ， ( 2 1 6 ) 再由( 2 1 4 ) 和( 2 1 6 ) ，有 釉圳1 2 圳酬n + o ：州1 2 + 圳刊1 2 既 ( 2 1 7 ) 在 0 ，t 】上对( 2 1 7 ) 积分，得到 a z 丁i | s 旷d + ，y ，7 1li礼112dt_tjo 岛， j o 故存在t + ( 0 ，卅，使得 i i e n ( 川) 1 1 制州) 1 1 2 而g 对( 2 1 7 ) 再次积分，从t + 到t ( t t + ，t + + 7 1 ) ，得到 1 | e ( ) 1 1 2 + i i n v ( ) 1 1 2 l i e v ( ( + ) 1 1 2 + | | u ( + ) 1 1 2 + t c j c 6 + 丁c j k 1 ， 即( 2 9 ) 成立 因此，由l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理，方程( 2 1 0 ) 一( 21 1 ) 存在解( c n ，7 t n ) c 1 f t ，h ) 口 定理2 1 对任意的自然数| v ，方程( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 存在近似时间周期解 ( e ，n n ) c 1 ( t ，h n ) 2 3一致先验估计 在第一节里，我们得到了方程( 2 1 ) ( 2 4 ) 的近似时间周期解序列( e w ) ， n ) ) 本节我们将证明这个解序列( e ) ， n n ) 是收敛的，而且它的极限 就是问题( 2 1 ) 一( 2 4 ) 的时间周期解为了这个目的，我们需要证明方程 ( 2 1 ) ( 2 4 ) 关于近似时间周期解的一致性先验估计 华南理工大学硕士学位论文 1 3 引理2 3 若引理2 1 的条件成立，则关于方程( 2 1 ) ( 2 4 ) 的近似时间周期 解，我们有如下估计 | | e 。1 1 2 + l i 咒。l | 2 k | ，( 2 1 8 ) 其中常数鲍不依赖于 证明用一砖乘以( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，得 ( 话t + a c 。一i a o c n 一d n n e n + i a e n 一，蟛) = 0 ， ( 2 1 9 ) ( 啪一忡甜l f l n n x ：。x + n n n n x - - 互1 川+ m 咄) _ o ( 2 2 。) 用丘j 乘以( 2 1 9 ) ，对j 从1 到求和，有 ( 话+ a $ n 。一i a o e n $ z b n n c n + i a s n f ，e 1 v z 。) = 0 ( 2 ，2 1 ) 在( 2 2 1 ) 两边取虚部，有 i 割n 酬肌n 。z j | 2 = h a ( 一b n n e n ，e 。) + r m ( 一f ，c n 。z ) 1 ( b n n c n ，。) l + l ( ，。) i i ( b n n 。e ，e _ v 。) l + l ( b t l n n 。，e 。) i + l ( ，c n) i i b i1 | e v | | i i n 。i | 。| | e 。i l 。+ l b i | i n - | | l i r 。l i j + | | ，| | i l e 。l i c l b | | i c n i ii i n n i l , 嚣。i n n i e v 幅。 i e n i i i + c i b ff f n - f fi f j v f 吾。f f i f + i f ，f if f e 。f f ；i i n n 1 1 2 + 等i i 印x x l l 2 + 弘槲+ ；i i n n 。1 1 2 + g ( 2 2 2 ) 用岛乘以( 2 2 0 ) ，对于j 从l 到求和，有 其中 叮。+ ：p 扎_ + 。+ ；j ：_ j ：+ 7 扎 ，- - i f , 7 z n x x ) ：o ( 2 2 3 ) 6 1 4 第二章一类k d v 非线性s c h r s d i n g e r 组合微分方程组时间周期解的存在性 ( 互1 卢。) = o ，圳兰副n 。1 1 2 + g ， ( n n t t n 。，n n z z ) l i i n n z 。 1l i n n i l 4l i n n 。0 4 c 9 i i n n 。i i 怖曝3 剐。1 1 2 + 到1 1 2 + g 。 ( i e _ v i ：，n n 黜) f ( e 。f ，礼。) i + i ( e 舌- 。，n n 。) l 茎2 | i e n i i 。| | e 。i n 。i | 茎。 7i i n n 。1 1 2 + 引a oe 。1 1 2 + 扯。1 1 2 + 凸， 因此由( 2 2 3 ) 有 翱1 1 2 + 釉1 1 2 + i i 。1 1 2 詈。1 1 2 + 署忙。1 1 2 + 詈忙。1 1 2 + q 。 ( 2 - 2 4 ) 再由( 2 + 2 2 ) ，( 2 2 4 ) 有 知1 1 2 + i i n 1 1 2 ) + n i i 吼酽+ ，yi i i i = + a oi i 。1 1 2 + , 7i i 。1 1 2 c 1 。， 即 翱1 1 2 + i i 1 1 2 ) + n i i 1 1 2 + - ) ii i i f ( 2 2 5 ) 在 0 ，7 上对( 2 2 5 ) 积分，得 z 1 ( i i e 。2 + j i n 。2s 五五；蓑善可s t i i i i ) d r tcl0j - a ， ( i i e 。2 + j i n 。2s = i s 4 ， j u 儿1 1 1 “， 故存在一个t 4 0 ，t ，使得 i l 。( ) 1 1 2 + i i n _ v 。( ) 1 1 2 c 。 对( 2 2 5 ) 再次积分，从t + 到t ( t t + ，t + + 丁 ) 得 l l e 。( t ) 1 1 2 + i i n 。( o i l 2 l i e 。) ( + ) 1 1 2 + i i n 。( + ) 1 1 2 + t c l 3 k 2 ， 即( 2 1 8 ) 成立口 华南理工大学硕士学位论文 1 5 引理2 4 若引理2 2 的条件成立，则关于方程( 2 1 ) ( 2 4 ) 的近似时间周期 解，我们有如下估计 i i e 。：1 1 2 + 0 n 。1 1 2 k s ，( 2 , 2 6 ) 其中常数蚝不依赖于j 7 v 证明用a ；乘以( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，得 ( i t + n e v 。一i n 。e w 。一b n e + i n e 一，以4 ) = o ， ( 2 2 7 ) ( 啪一忡甜扣。+ 。+ 扣队伽鸭e 4 ) - o ( 2 z s ) 用嘞n 乘以( 2 2 7 ) ，对j 从1 到求和，得 ( i c n t + a g n 。一i a o e n z z b l t n c n + i a g n 一，z z z ) = 0 ( 2 2 9 ) 在( 2 2 9 ) 两边取虚部，有 ；翱。n n 。1 1 2 佃圳2 = i m ( b n n n ，e 。) + i m ( f ，c n 。) i ( 所z c n。) i + i ( ，e n 。) i i ( b n n 。e ，c n 。) i + i ( b n n 和。，k n 。) l + i ( 丘k n。) i 曼i b li l e i i 。l i n n 。| 1i l e 。i i + l b li i n n l l 。l i s 。i ii i e 。i | + l i 厶| 1i 旧_ v 。| | 茎a _ o | | e 。1 1 2 + c 1 5 ( 2 3 0 ) 用岛乘以( 2 2 8 ) ，对j 从l 到n 求和，得 ( n c 一”n 。+ ；卢n + n n 。+ j 1i e l ：+ 7 n 一g ，n 。) = 。 ( 2 3 1 ) 其中 ( ；p n 。，n 。) = = 。，l ( 。，n 。) l 曼石r 1 1 n 。1 | 2 + e - 。， 1 6 第二章一类k d v 非线 s c h r s d i n g e r 组合微分方程组时间周期解的存在性 i ( n 奄。，住。) i + in n n 。z ，n n * z 。) l i i 礼。1 1 ；l l n 。| l + l i n l l 。i i 礼n z z l il l n 。z z i l ai i n ，i | 蚤。i | n 。1 1 5 | i n z z z l i + e i | n l l 。i i n v 。i l