（应用数学专业论文）二维浅水方程的数值模拟.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外。论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 ( 注，如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名t 萤族 导师签字- 1 豸彩虿 l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j ! l 有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名。占毋英 导师签字。 压荪 - 次 签字日期，2 0 0 7 年9 月2 o n 签字日期r 2 0 0 7 年争月2 一。日 ， r 气 山东师范大学硬士学位论文 二维浅水方程的数值模拟 吕秀英 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 中文摘要 近年来，人们为了更好的了解浅水环境，建立了大量的能够反映浅水环境特征 的数学模型其意义表现在一可以模拟诸如潮水运动，海湾及入海口的水流运动以 及河水泛滥等水利问题对此问题深入细致的研究，有利于人们更加清楚地把握河 道水流的形态，对于防洪以及堤坝的建设与加固等都有重要意义浅水方程作为其 中的重要组成部分，能够比较准确地反映出浅水区域的水流运动情况，有着重要的 实际应用价值 二维浅水方程可由以下两个方程控制 水流连续方程( w a t e rc o n t i n u i t ye q u a t i o n ) 凰+ v ( h u ) = 0 ，( 1 1 ) 水流运动方程( w a t e rd y n a m i ce q u a t i o n s ) ( h u ) t + v ( h u 圆u ) 一v ( h # v u ) + g h v z = 日f ( 1 2 ) 该浅水方程简称s w e 等式，是由s a i n t - v e n a n t 在文献【1 j 1 中给出的，易见，浅 水问题实质由一组对流占优的流体流动问题构成，因此文献【2 】，【4 1 分别利用特征 混合元方法，特征有限元方法对该方程进行了数值模拟，并给出了先验误差估计 差分流线扩散法也是数值模拟对流占优扩散问题的重要手段，因此在本文中，我们 通过适当地假设，先对方程( 1 1 ) ，( 1 2 ) 进行简化，再分别采用差分流线扩散法和 特征有限元方法对简化后的方程进行离散，建立了相应的有限元格式，并通过严格 的数值分析给出了先验误差估计 山东师范大学硬士学位论文 关键词浅水水流方程，差分流线扩散法，特征有限元 中图分类号0 2 4 2 2 2 山东师范大学硬士学位论文 t h en u m e r i c a lm e t h o df o r s h a l l o w 傻t e re q u a t i o n s l vx i u y i n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n e n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，c h i n a a b s t r a c t t h e s er e c e n ty e a r s ，s i g n i f i c a n te f f o r th a sb e e no r i e n t e df o rt h ed e v e l o p m e n t o fs h a l l o ww a t e re n v i r o n m e n t ss i m u l a t o r s ，f o rv a r i o u so b j e c t i v e s t h e s es i m u l a t o m a x ee f f i c i e n tt o o l sf o ru n d e r s t a n d i n ga n dm o d e l i n gt i d a lf l u c t i o n ，b a ya n de s t u a r y f l o w s ，f l o o di nr i v e r s b a s e do nt h ei n f o r m a t i o np r o v i d e db yt h en u m e r i c a ls i n l - u l a t i o n ，t h ed e c i s i o nc a nb em a d eo i lf l o o dc o n t r o la n dt h ec o n s t r u c t i o na n dt h e r e i n f o r c eo ft h eb a n k t h et w o - d i m e n s i o n a ls h a l l o ww a t e re q u a t i o n s a ni m p o r - t a n to n eo ft h e s es i m u l a t o r s ，p r i v i d e sam o d e lt od e s c r i b ef l u i df l o wi nd o m a i n s w h o s eb a t h y m e t i cd e p t hi sm u c hs m a l l e rt h a nt h ec h a r a c t e r i s t i c sl e n g t hs c a l ei n t h eh o r i z o n t a ld i r e c t i o n t h et w o - d i m e n s i o n a ls h a l l o ww a t e re q u a t i o n sa r eg o v e r n e db yt h ef o l l o w i n g s y s t e m w a t e rc o n t i n u i t ye q u a t i o n 吼+ v ( h u ) = 0 ，( 1 1 ) w a t e rd y n a m i ce q u a t i o n s ( h u ) t - f v ( h u o u ) 一v ( h p v u ) + g h v z = h 只 ( 1 2 ) t h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n sg i v e nb y 【1 l e a nb ee x p r e s s e da sa d v e c t i o n - d i f f n s i o n p r o b l e m ，8 0t h ec h a r a c t e r i s t i c s - m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o di sc o n s i d e r e di n 2 】a n d 3 山东师范大学硬士学位论文 t h ec h a r a c t e r i s t i c s - g a l e r k i nm e t h o di si n v e s t i g a t e di n 【4 】i nt h i sp a p e r ，u n d e rs o m e m i l da s s u m p t i o n sw es i m p l i f y ( 1 1 ) - ( 1 2 ) t 0am o r ec o m p a c tf o r mt h e ns i m u l a t e t h es i m p l i f i e df o r mo fs h a l l o ww a t e re q u a t i o n si nt w od i m e n s i o n a ls p a c eb yf i - n i t ed i f f e r e n c e - s t r e a m l i n ed i f f u s i o ns i m u l a t i o na n dc h a r a c t e r i s t i c sf i n i t ee l e m e n t s i m u l a t i o n b ys t r i c tn u m e r i c a la n a l y s i s ，r e l e v a n te r r o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e d k e y w o r d ss h a l l o ww a t e re q u a t i o n s ，c h a r a c t e r i s t i c sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d f i n i t ed i f f e r e n c e - s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n0 2 4 2 2 4 山东师范大学硬士学位论文 二维浅水方程的的数值模拟 1 引言 近年来，人们为了更好的了解浅水环境，建立了大量的能够反映浅水环境特征 的数学模型其意义表现在- 可以模拟诸如潮水运动，海湾及入海口的水流运动以 及河水泛滥等水利问题对此问题深入细致的研究，有利于人们更加清楚地把握河 道水流的形态，对于防洪以及堤坝的建设与加固等都有重要意义浅水方程作为其 中的重要组成部分，能够比较准确地反映出浅水区域的水流运动情况，有着重要的 实际应用价值 二维浅水方程可由以下两个方程控制 水流连续方程( w a t e rc o n t i n u i t ye q u a t i o n ) 甄+ v ( h u ) = 0 ，( 1 1 ) 水流运动方程( w a t e rd y n a m i ce q u a t i o n s ) ( h u ) t + v ( h u o u ) 一v ( h p v u ) + 9 日v z = h 只( 1 2 ) 其中，f = 一南i u l 矿一孚+ 磊+ l u ，z 为水位，h 为水深，h = z 一磊，z o 为 河底高程；u = ( 口) ，u ，v 为垂线平均流速沿x , y 方向的分量，p 表示粘性系数， 9 表示重力加速度，c 为谢才系数，：= ( 瓦，瓦) 1 表示风力，l u = ( 一虹z t ) 上， p d 表示大气压力，p 为密度 该浅水方程简称s w e 等式，是由s a i n t - v e n a n t 在文献1 1 】1 中给出的，易见， 浅水问题实质由一组对流占优的流体流动问题构成，因此文献【2 】，【4 1 分别利用 特征混合元方法，特征有限元方法对该方程进行了数值模拟，并给出了先验误差估 计 流线扩散法( 简称s d 方法) 是由h u g h e s 和b r o o k s 在1 9 8 0 年前后提出的一 种数值求解对流扩散问题的新型有限元方法随后，j o h n s o n 和n a v e r t 将s d 方 5 山东师范大学硬士学位论文 法推广到发展型对流扩散问题【7 一s d 方法不仅具有高阶精度还具有良好的数 值稳定性，因此得到了越来越多的重视然而，对于发展型对流扩散问题，传统的 s d 方法均采用时空有限元这样虽然可使时间和空间方向上的精度很好的协调起 来，却增大了计算的复杂程度，1 1 0 为此提出了一种简化方法，即差分流线扩散 法( f i n i t ed i f f e r e n c es t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d ，简称f d s d 方法) 特征有限元方法也是数值模拟对流占优流动同题的一种重要手段，与标准的有 限元方法相比，其优点在于关于时间的截断误差较小，因而在不降低逼近精度的前 提下，可采用较大的时间步长计算；在流动的峰线前沿，可较好的避免数值弥散和 非物理的数值震荡现象 本文中，我们通过假设，先对方程( 1 1 ) ，( 1 2 ) 进行化简，再分别采用差分流 线扩散法和特征有限元方法对简化后的对流占优的水流连续性方程和运动方程进 行离散，建立了相应的有限元格式，并通过严格的数值分析给出了先验误差估计 对本文中出现的一些记号给予必要的说明，用铲( q ，h 7 表示l e b e s g u e 空间 和s o b o l e v 空间，l 2 ( q ) 中的内积记为 ， ( ，妒) = 毋妒如，v 九妒l 2 ( q ) ， j n 其中，0 表示l 2 ( 0 ) 空间的模，m 表示日空间的模 6 山东师范大学硕士学位论文 2 问题的f d s d 格式及特征有限元格式 分解方程( 1 2 ) h 阢+ u 皿+ u v ( h u ) + ( h u v ) u p v ( h v u ) + g h v z = 日只 由方程( 1 1 ) 有 u 玩= 一【，v ( 日u ) ， 代入上式得 仉+ v ) u 一告v ( h v u ) + g v z = 只 ( 2 1 由文献【2 】，若j - 7 ( p v u ) l i u v t i ，则有 罟( p v u ) - - - - - p u 这样可得到方程( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的简化形式； 凰+ u v h + h v u = 0 ，( 2 2 ) 阢+ ( u v ) u 一# a u + g v z = 只( 2 3 ) 考虑如下的初始及边界条件 ( 1 ) 假设h ，u 满足如下初始条件 。h ( x ，o ) = h o ( z ) ，u ( x ，o ) = 蛳( 。) ， 具体可由初始时刻实测资料给出，一般很难精确得到，只能通过估算加以补足，当 然估算的越接近越好 ( 2 ) 在此处考虑如下的边界条件 对于不滑动岸边界，取t = 0 ，口= 0 ；对于滑动边界，取边界法线方向流速分量为 o ，筹= 0 ，筹= o 实际计算时边界条件可根据具体实际问题来确定 设区域n 是有界多角形区域，t h = k 为0 上的拟一致三角网格剖分，h t 表 示单元k 的直径并有h = m a x h k 用只( ) 记k 上的次数不高于r 的多项式集 7 山东师范大学硬士学位论文 合，定义有限元空i 可 v h = 口：口月j ( q ) ， k p r ( 女，v k t h 由于以为拟一致剖分，所以有如下逆性质t 存在与h 无关的0 。使得对讹h 有 l i v u h l l 0 i i , h l l ，l l 蝴0 c h i l w h u ， l i v h l l 。o h 一1 i i v l l ，i i w h i i 。so h 一1 i i i l 。 对时间区域【o ，t 】作等距剖分，0 s t o t t t l v = t ，时间步长为， t 。= n a t ，l = 0 ，1 ，一，n ，n a t = t 并且记i - i = 日( t ，1 ) ，u “= u ( k ) 对于( 2 2 ) 式在t = t n 1 ) 处作向后e u l e r 差分离散，得 h n _ 五厂h n - 1 + ，”v 何”+ v 扩日”= 矿 ( 2 4 ) 其中矿= h n - 五_ h r n - 一i 一警，易知 i l e “0 2 ；1 1 日抖。知( 俨一- ，p ；伊) a t ， n = 1 ，2 ，一，( 2 5 ) 省略矿对( 2 4 ) 式在空间方向上采用s d 方法，可定义h “的f d s d 有限元逼近 格式为对t l = 1 ，2 ，求卿v h 满足；对v 地v h 有 ( 簪+ v 叼一1 研，v h + 6 u ：，v v h ) + ( 叼一v 螂，v h + 6 u 嚣v v h ) = 0 ( 2 6 ) d 为适当选取的人工参数，其具体选取见下文 设r 为特征方向( 以1 ) 的单位向量，即r = i 譬，其中口= l ( 玑1 ) i ，则 n 等一v 庐+ 裳 因此。可定义( 2 3 ) 特征弱形式为。 ( q 否8 u 7 ，u ) + ( # v u , v u ) 一妇h ，v ) + ( g v z o ，u ) = ( f ，u ) ，乩硪( q ) ( 2 7 ) 由方程形式可知，从( z ，t ”) 点出发的特征线与t = t n 一1 的交点为 虿= 。一u 0 t n - 1 ) 并且记刁一= ，( - ，。一1 ) 8 山东师范大学硬士学位论文 从而，得到u “的特征有限元逼近格式为；求 叼) ：1 0 ，刀一，满足 ，r nrr n l ( 塑_ = 若l ，蛳) + 札v 叼，v ) 一。钟，v “，h ) + ( g v z o ，) = ( 叼，) ，v 吼 ( 2 8 ) 其中，露= 一凼i l 叼- 1 i 叼一孚+ 舞+ 工叼，童= z 一叼出，霸_ 1 = w - 1 ( 盒，k 一1 ) 注实际上【，( k ) ，叼均为向量函数，为方便，这里我们把( n ) ，叼以纯量 函数形式表达出来，但并不影响有限元格式的形式，以及将要进行的误差分析 9 山东师范大学硕士学位论文 3 误差估计 3 1 一些假设、定义及引理 在本节中，用c 表示与h ，a t 无关的正常数，f 表示任意小正常数，同一符号 在不同位置可取不同数值为满足误差分析的需要，对真解( 日，u ) 以及方程中的 参数做出如下假设， a lt 真解( 日，矿) 存在唯一 a 2 ，存在正常数矾和h 满足以冬h ( x ，t ) sh + 也，p ，p 是正常数 a s h ( ) t t r + l ( n ) a 5 t o ( 。) e r + 1 ( q ) a th ( x ，t ) h r + l ( q ) n 雌( q ) ，其中r 0 ，t ( 0 ，t ) a 7 ，( 写，t ) h r + 1 ( n ) n l r 品( n ) ，其中r 0 ，t ( o ，t ) a 8t 磐，雾l 2 ( ( 0 ，t ) ；铲( q ) ) 在此对于数值解璐，磷做如下假设 马存在常数k 使得i 磁i ，j 嘴l ，l v 璐i k ，其中k = 0 ，1 ，n ( 该假设将 在下文中运用归纳假设法加以证明) 岛t 取6 满足厢h 一1 6 g 定义1 椭圆投影1 - 1 h ：王r + 1 ( n ) n w 三( n ) 一满足 ( v i i a v ，v x ) = ( v v ，v x ) ，v x v h 记日( t ) = 日，v ( t ) = i i h u ，瞻= h “一日) ，诒= u “一u ( t 。) ，国= 卿一h ( t 。) ，毋= u g u ( t n ) ，( 盈= h g h ( t n ) ，舒= 叼一，( k ) 由有限元插值理论可得 引理1 对w h 1 ( o ，t ；h ”1 ( q ) ) ，矿= 矿一i l h 矿有 0 矿0 + h l l v , “0 + h 2 1 1 x 矿0 c h + 1 i n i ，+ 1 ( 3 1 ) 山东师范大学硕士学位论文 因a h + 1 ( n ) ，显然地，! 萨是也在v h 中的r i b 插值，故0 象 c h r + 1 1 1 妒t i i f + 1 ，由此可得 引理2 1 1 簪1 1 2 + ( 掣- 1 - 1 ，u ) + p ( ( v 饽一v 毋) ，v w h ) + g ( 舀一赡，v h ) 一( p 一昭，虮) ( 3 1 2 ) 在上式中取峨= 毋得 ( 与乒，舄) = 警一乌乒，毋) + ( 等= ，毋) + ( 掣，毋) + ( 掣，岛) + p ( ( v 访一v 毋) ，v 毋) + 9 ( 岛一磕，v 够) 一( ，”一四，舒) 对左端利用不等式 一f z ) 2 ( 忙酽一m 1 2 ) 有 ( 乒矧2 志川驯2 叫n 再依次估计右端各项 ( 口”警一下u n _ 1 t n - 1 ，舄) c ( 1 1 f 移1 1 2 + a t 仨。6 豁0 2 a t ) 1 1 6 山东师范大学硕士学位论文 ( “a 型t ，毋) sc 击| | v 目扩1 l l l l x i 0 l 。) 0 毋0 c ( 1 1 , b 1 1 2 + j i v 扩1 怖， ( 掣，菇) c l l , ；l t l l v o “一1 l ( 。，l l u ”一1 一叼一1 i i c ( 1 l 舄0 2 + l f 扩1 0 2 + 0 q 扩1 0 2 ) ， ( 掣，囝) _ cr e 一 - 1 i i i i z 一虿l i l ( 。) 0 毋0 se l f 舄俨+ , l l v 毋- 1 1 1 2 ， p ( ( v 访一v 毋) ，v 菇) c l l v , 描, 1 1 2 一 c o l l v 毋1 1 2 9 ( 铬一绉，v 茹) 4 1 v , , 1 1 2 + c ( 1 l 疆0 2 + i l 镑酽) 对于一( f ”一叨，囝) 简单的有 i - ( p 一蝣，镑) c ( 1 1 0 1 1 2 + 0 访0 2 + 0 毋0 2 + 0 诏啼 综上由的任意性以及( 3 1 ) 式我们有 击( t 1 囝1 1 2 一i i 莎1 1 1 2 ) + i l u 叫v 矿n0 2 c ( 1 l 岛胪+ 0 0 0 2 + o ( a t 2 ) + o ( h 2 7 ) 方程两端同乘再对n 求和有 0 毋1 1 2 + c a t i v 岛8 2 c a t ( 0 铬0 2 + 0 铝+ d ( t 2 + h ”) i = oi = o 定理2 证毕 1 7 山东师范大学硕士学位论文 结合定理1 ，定理2 有 。舄1 1 2 + i 岛1 1 2 + e t 量i i v b l l 2 + 5 t 釜。瓦靠+ u 1 v , l l ： i = 0 i = 1 c 壹( i f 矗l l 。+ i i ( b l l 2 ) + o ( a e + h 2 ) i = o 再利用引理4 ( 离散的g r o n w a l l 引理) 有 0 毋0 2 + 0 毋f 1 2 + c a t i i v 矗旷4 - b a t 0 百赡+ 眩1 v 舀1 1 2 = oi = 1 f 3 1 3 ) = o ( a t 2 + 知1 在上述推导过程中用到了假设展，事实上假设日l 是可以用归纳假设方法加 以证明的，为完善证明过程简单说明如下t 当t l = 1 时，由于船= 0 ，因此，当h 适当的小归纳假设成立 当，l 1 时，由逆估计有 l 叼l = i 叼一u “+ u “i 0 毋i l 。+ i u 4 i 矾一10 毋6 + 1 0 “t 由引理3 l u “f c ， 再由( 3 1 3 ) 式 铬0 c ( a t4 - 矿) 所以当r 2 ，a t = o ( h ) 时，对充分小的h 有 l 叼i k 同理可以证明 钟i k 山东师范大学硕士学位论文 由引理3 i v 簖l = i v 簖一v 疗n + v 厅n | l v 叼一v 疗n i + i v 疗= l z 孰一10 v 铬i i + i i v o n 0 。 s t tf 妻j 。1 1 胆+ o v u c a t 2 h i v g v la tn o 。 s 一1 1 ( j 2 ) + 0 v n 0 。 = o v u ”l 矿， 再由( 3 1 3 ) 式 n l i ( l i v 钏2 ) a 2 i isc ( a t + ) i = o 因此，当r 23 ，a t = o ( h 2 ) 时，对充分小的h 有 0 v 职0 。k 因此当r 23 ，a t = o ( h 2 ) 时，对充分小的h ，归纳假设b 1 对n + 1 也成立，从而 说明归纳假设b l 对一切n n 都是成立的 综上利用三角不等式有如下整体误差估计 定理3 在假设a l a 8 成立的条件下，当r 3 ，a t = o ( h 2 ) 。初值满足 舀= 0 ，毋= 0 时，则有如下误差估计 n 0 0 0 2 + 0 舒1 1 2 + c a t l i v 菇俨 i - - - - - 0 = o ( 2 x t 2 + 却1 注，把定理3 的结果与文献【2 l 。【4 】比较，我们会发现它们有相同的收敛阶， 也就是说我们所采用的方法是能够很好地数值模拟浅水方程的 1 9 山东师范大学硕士学位论文 4 问题的f d s d 格式及误差分析 4 1 问题的f d s d 格式 为方便，不妨把( 2 2 ) - ( 2 3 ) 重新记为， 鼠+ u v 何+ h v u = 0 ， ( 4 1 ) 仉+ ( u v ) v p a u + g v z = f ， ( 4 2 ) 对于初边值的选取，时间和空间的剖分，以及有限元空间的定义均与第2 节相 同 ， 对于( 4 1 ) ，( 4 2 ) 式在t = t n m 1 ) 处作向后e u l e r 差分离散，得 h 矿- h n - i + u n v h n + v u “日n = e n ( 4 3 ) u , j _ 广u n - i + ( u v ) v - p a u + g v ( h + z o ) = f + 厂1 “4 ) 其中f ”= _ u n - u t n - i 一筹，易知 i l ，“0 2 ；o k 0 2 2 ( t ，l - l , f n ；弘) ， n = 1 ，2 ，一，n ( 4 5 ) 省略矿，l 对( 4 3 ) ，( 4 4 ) 式在空间方向上采用s d 方法，可定义月”，u n 的 f d s d 有限元逼近格式为对n = 1 ，2 ，求卿v h ，叼v h v h 满 足t 对，v w h v h v h 有 ( 簪+ v 叼一1 卿，v h + j 叼v v h ) + ( 叼一v 卿，地+ 6 叼v v a ) = o ， ( 4 6 ) ( 簪，嘶+ 6 叼一v w h ) + ( u z v 叼，+ j 叼v w h ) - ( a a 叼， u j h + j 叼一1 v w h ) + 0 v 月譬， + 6 叼一1 v w h ) ( 4 7 ) = ( 露，w h + 6 叼v w h ) 一( g v z o ，w h + 6 叼一v w l , ) 其中，曰= 一d 鲂l 叼- 1 叼一孚+ 南+ 工叼，6 为适当选取的人工参数，其 具体选取同e 文 山东师范大学硕士学位论文 4 2 误差分析 在此依然有假设a 1 一也，且，岛成立。因此有误差估计( 3 1 1 ) 式成立，下面 再来估计u ”与叼的误差，在下面的过程中我们假设p = o o ) 定义3 彤( “， ) = ( 夏“”+ ( 寿i 叼- 1 | - 三妒+ 叼v 矿，6 叼v 口) 则由式( 4 4 ) ，( 4 7 ) 可得误差方程- 彤( 囝，蛳) 一( p 镑，蛳+ j ( 叼v ) w h ) + 。v 舀一茄笺奶+ 烈叼一聊饥) ( 4 8 ) = 髓( 磅，w h ) + z ( w h ) 一“孵，l g ) h 1 - d ( 呀v ) w n ) + ( 9 v 绉一；i 善赫， h + 6 ( 叼一1 v ) t 如) ， 其中 z 三( 饥) = ( ( 赤i u ”| - 赤j 叼_ 1 i ) u ”，+ d 叼v w h ) ， z ( 姚) = ( ( 沙一叼。) v 驴，l g h + j 叼v w h ) ， 魂( 虮) = ( - - e n ，w h + j 叼v w n ) 在误差方程中取t0 = 0 ，= 毋，类似( 3 4 ) 式的推导有 ( - - u t 劬n 国) 型掣， i ( 叼v 毋，毋) i = i 一 ( v 叼- 1 茹，毋) i c l l 毋1 1 2 ， ( ( 赤j 叼一1 i 一工) o ，毋+ d 叼一1 v 0 ) s c l l 船：1 1 2 ， ( 刁泐+ 叼v o ，6 叼v 囝) = - - n + 叼v 菇1 1 2 一娃碍， 从而， 珊( 品，品) 芝监监芸譬业+ ；i i v g i ? + 刮硼+ 叼v 毋1 1 2 - 6 日一c l l 毋l l 。 ( 4 9 ) 山东师范大学硬士学位论文 其中毋= ( 硼，砷+ 叼一v 毋) 利用g r e e n 公式，逆性质及岛有 一( p 国，毋+ 6 ( 呀v ) 囝n ) = 肛( v 菇，v 镑) 一( p 毋，6 ( 叼- v ) 岔) ( 4 1 0 ) 扣0 v 毋忾 。v 铬一旦p h - h 。，毋+ 6 ( 嵋v ) 锄 ) 5 p 0 v 舄1 1 2 + c ( 1 l , v i l 2 + 0 诌8 2 ) 所以有左端项 2 魁甚乎翌+ 妒删2 + 6 1 1 瓦, , v + v 。驴一j 日叫。+ 1 1 舀1 1 ：) 再来估计右端各项，类似( 3 5 ) 的推导可简单的有 ( - - 砚仍n ，0 + d 睇v 囝) sc ( 1 l 品j 1 2 + 0 孬碥n ， ( w v 磅，6 叼v 昂) c l l 昂0 2 - 1 - c l l v 悖悒 ( 僻v 谚，囝) c l l 毋旷+ c l l v , 届- 一 又 ( 西南= r i 叼- 1 j l ) 访，舄+ j 叼一v 铬) c ( o 。酽+ o 访胪) 所以有 彤( 访，o ) g ( 0 毋f 百泐0 2 - i - i l 访8 2 + l i v , 7 子1 1 2 ) - i - e i l v o i f 2 ( 4 1 2 ) s e 0 v f 孑1 1 2 + c ( 1 l 毋1 1 2 + j i l 2 r - i - ( ) 一1 2 r + 2 8 风8 2 。( t n - l , t n ；印州1 ) 再利用( 3 1 ) 式得 一似访，毋+ j ( 叼v ) 囝) s 圳v 岛0 2 + c l l , 彤1 1 2 ( 4 1 3 ) s p 0 v 毋1 1 2 + o ( h 知) ， 山东师范大学硕士学位论文 0 v 瞻一茄餐，岛+ 6 ( 叼v ) 毋) c ( 1 l 囝0 2 + i i , t p + 1 1 2 + 0 v 绉1 1 2 ) ( 4 1 4 ) c f f 品2 + o ( a “) 对现( 毋) 一雹( 毋) 分别估计后得 忍( 毋) c ( 0 毋0 2 + l l f 扩10 2 + h 2 r + 2 + ( a t ) 2 ) ， 瑶( 毋) c ( 1 l f 矿1 俨+ 0 囝1 1 2 + 胪件2 + ( a t ) 2 ) ， 刃( 毋) se ( 1 i 舒0 2 + _ 1 2 r + 2 + ( 妒+ a t l l u 1 1 2 2 ( t - - * , t - ；l 2 ) ) 再结合( 4 9 ) 一( 4 1 4 ) 有 i i l l l 2 l l i - h 1 2 + 引i v 毋1 1 2 + 6 0 瓦岛+ 叼一1 v 毋2 s o ( 1 l , + p , 1 1 2 + i i f p j l l 2 + 0 f 扩1 1 1 2 + h ”+ ( a t ) 2 + a t l i u 1 1 2 ，( t - 一t j 。；p ) ( 4 1 5 ) + ( ) 1 2 r + 2 i 以i i 各( p 一妒；日件- ，+ 占e 子) 再来估计6 叼，在误差方程( 4 8 ) 中取蛳= 否泐，并在方程两端同乘以6 有 j 叼+ 6 ( 珊+ 叼一v 舄，6 叼v - 泐) + 6 ( ( 寿i w 一1 l l ) 毋，瓦镑+ j 叼一l 百鳓) 一j ( p o 一9 v 铬+ 器，a 泐+ 6 ( 叼一1 v ) 5 泐) ( 4 1 6 ) = 6 助( 吩，百泐) + 6 e 厄( 否) 一6 ( p 访，百泐+ 6 ( 叼v ) 耻子) 十j ( g v 瞻一习雾，j 泐+ j ( 叼一1 v ) 5 泐) ， 类似前面的推导由 j ( 瓦囝+ 叼v 国，j 呀v 孤子) 盖( 0 叼一1 v + 子1 1 2 0 叼一2 v f 扩1 1 1 2 ) 一铲0 a 涎吕0 2 一c l l 矿1 i l 。， 6 ( ( 赢：t i 叼。i _ l ) o ，珊+ j 叼v 硼) so l l + d l l 2 + 硎硪卯， 可有 j 琊渤，珊) 犯劳- i - 盖( 0 叼审毋0 2 一”叼珊- 1 | f 2 ) 一护0 a 廷蚤1 1 2 一c ( 1 l 舄n - 1 1 1 2 + 0 舒0 2 ) 山东师范大学硕士学位论文 再由 6 0 v 国一磊，磊岛+ j 叼一1 v 耻b ) e o 镑0 2 + 6 2 0 磊船0 2 ， 一6 ( p 毋，瓦囝+ 6 嘴一1 v 百) p 0 v 毋l 百泐n 可以知道( 4 1 6 ) 式左端 j 昂+ 盖( i 叼v 囝1 1 2 一| i 叼v 扩1 怫 一铲0 瓦船0 2 一 p 0 v 毋8 i 届涎移0 一c ( 1 l 菇- 1 0 2 + i l 毋0 2 ) 由 j ( 石磅，百+ 6 叼v a 舄) sc ( 硎百船旷+ i l 百啪1 1 2 ) d ( 呀v 访，6 叼v 耻；) g ( 铲0 百船i | 2 + i i v 访怖， 6 ( 叼v 诏，否) c 0 2 1 1 5 毋1 1 2 + i i v 帕喃 州南i 叼t l 瑚，砷+ 6 叼一嘞) s c ( 铲。珊1 1 2 + 1 1 , 7 0 - 1 1 2 ) 得 6 z 强( ，毋，百泐) c ( 铲0 百泐0 2 + i i 一, 7 u i l 2 + i i 哟0 2 + i i v 访1 1 2 ) ， 对右端其余各项简单的有 6 z ：( 5 泐) sg ( 铲0 瓦3 1 1 2 + h ”+ ( ) 2 ) + i l 矿1 1 1 2 ， d 忍7 k 百t c u ”) c ( 1 1 0 1 0 2 + 铲0 百泐| | 2 + 舻”2 + ( ) 2 ) ， 6 况( 百泐 g ( 铲| l 硪3 1 1 24 - 0 c k i i 知，p ；驴) ) j ( 9 v 檐一焉，骗+ 6 叼一v 硼) c l l , 摆, 1 1 2 + 硎砷忆 一j ( p 惦，百涎子+ 6 叼一1 气砩) c l l v , 竭- h 2 + 铲i i 百泐0 2 ， 综上可得 j 吩+ 盖( 1 i 叼v 舀0 2 一l l 叼_ v 管1 s 铲l 硪备酽+ j p 0 v 毋瓦毋0 + g ( ( t ) 一1 h 2 r + 2 i i 仉i 尼。p ，；打”- ) ( 4 1 7 ) + 0 珏1 1 2 + 1 1 ；- - 1 2 + 胪+ ( t ) 2 + a t l l u 1 l ：。( t 一- ，p ；弘) ) 山东师范大学硬士学位论文 上式右端出现了0 瓦岛1 1 2 项，为完善估计，仍在误差方程( 4 8 ) 式中取= 硪子， 则有 b 叭n u m ，砷) 一( p 毋一g v 8 h + 习；毳i ，瓦舄+ 6 ( w 一1 v ) a 泐) = 彩( 结，撕) +