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开放海森堡自旋链两端量子信息的交换中文摘要中文摘要目前，量子通信和量子计算已经成为物理学、数学和计算机科学领域研究的热点课题之一。量子算法具有高速和并行计算的优点，可以用来解决一些经典计算机无法有效处理的问题。传输量子信息可以通过系统量子态的动力学演化，也可以利用量子纠缠进行隐形传态。本文主要讨论了开放海森堡铁磁自旋链系统两端量子比特几率分布和纠缠的交换行为，并分析了磁场和耦合强度等参数对信息交换的影响。首先，本文提出了一种实现测量几率信息双向传输的方案。信息被编码在自旋链两端粒子态的几率分布上，利用经典信息理论中的相对熵概念，我们测量了交换行为的保真程度。相对熵的时间演化呈现出周期性的行为，周期随着自旋链的长度和磁场的增加而延长，随耦合强度的增加而缩短。其次，本文提出了一种利用开放海森堡铁磁自旋链为信道双向传输量子纠缠的方案。通过对量子信道施加静态磁场，可以实现自旋链两端纠缠的周期性交换。经过一个交换周期的时间演化后，原本属于孤立量子比特和自旋链某一末端粒子之间的纠缠会转换成该量子比特和自旋链另一末端粒子之间的纠缠。文中分析了交换行为和自旋链长度、磁场、耦合强度、各向异性常数之间的关系，并解析地讨论了由4 个粒子构成的简单系统中类似的纠缠交换行为。关键词：信息交换；铁磁自旋链；几率分布；纠缠作者：宋涛指导教师：朱士群开放海森堡自旋链两端量子信息的交换英文摘要a b s t r a c tr e c e n t l y , t h ei n v e s t i g a t i o n so fq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t a t i o nh a v ea t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o ni nt h ef i e l d so fp h y s i c s ，m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t e rs c i e n c e q u a n t u ma l g o r i t h mi sk n o w nf o rt h ea d v a n t a g e so fh i g hs p e e da n dp a r a l l e lc o m p u t a t i o n i tc a nb eu s e dt od e a l 、析n ls o m ep r o b l e m sw h i c hc o u l dn o tb es o l v e de f f i c i e n t l yb yc l a s s i c a lc o m p u t e r s t r a n s f e r r i n gq u a n t u mi n f o r m a t i o nc a nb er e a l i z e de i t h e rb yt h es t a t ed y n a m i c so ft h es y s t e mo rb yt e l e p o r t a t i o nu t i l i z i n ge n t a n g l e m e n t t h es w a pa c t i o no fp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o na n de n t a n g l e m e n ta tt h ee n d so fa no p e nh e i s e n b e r gs p i nc h a i ni sd i s c u s s e di nt h i st h e s i s t h ee f f e c t so fp a r a m e t e r ss u c ha sm a g n e t i cf i e l da n dc o u p l i n gs t r e n g t ha l ea n a l y z e d f i r s t l y , as c h e m eo fr e a l i z i n gt h eb i d i r e c t i o n a lt r a n s f e ro fp r o b a b i l i t yi n f o r m a t i o ni sp r o p o s e d t h ei n f o r m a t i o ni se n c o d e di nt h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n so ft h es t a t e sa tt w oe n ds p i n s t h er e l a t i v ee n t r o p yi su s e dt oe v a l u a t et h e e f f e c t i v et r a n s m i s s i o no ft h ep r o b a b i l i t y t h ee v o l u t i o no ft h er e l a t i v ee n t r o p ys h o w sap e r i o d i c a lb e h a v i o r t h ep e r i o di si n c r e a s e d 、析t i li n c r e a s i n gt h el e n g t ho ft h ec h a i na n dt h em a g n e t i cf i e l dw h i l ei td e c r e a s e sw i t l li n c r e a s i n gt h ec o u p l i n gs t r e n g t h s e c o n d l y ，as c h e m eo fb i d i r e c t i o n a l l yt r a n s f e r r i n gq u a n t u me n t a n g l e m e n ti na no p e nh e i s e n b e r gf e r r o m a g n e t i cs p i nc h a i ni sp r o p o s e d t h ee n t a n g l e m e n ta tt h et w oe n d so fs p i nc h a i n sc a l lb es w a p p e dp e r i o d i c a l l yb ya p p l y i n gs t a t i cm a g n e t i cf i e l dt ot h ei n f o r m a t i o nc h a n n e l a f t e ras w a pp e r i o d ，t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e na nu n c o u p l e dq u b i ta n do n ee n ds p i nw i l lb es h a r e db yt h eq u b i ta n dt h eo t h e re n ds p i n t h er e l a t i o nb e t w e e nt h es w a pa c t i o na n dc h a i nl e n g t h ，m a g n e t i cf i e l d ，c o u p l es t r e n g t h ，a n i s o t r o p i cc o n s t a n ti sa n a l y z e d s i m i l a rs w a pp h e n o m e n o ni naf o u r - s p i ns y s t e mi sd i s c u s s e da n a l y t i c a l l y k e y w o r d s ：s w a pi n f o r m a t i o n ；f e r r o m a g n e t i cs p i nc h a i n ；p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ；e n t a n g l e m e n tw r i t t e nb y ：s o n gt a os u p e r v i s e db y ：z h us h i q u n苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明学位论文独创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。研究生签名：塞遮日期：z 旦里! ：兰：! 圣学位论文使用授权声明苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保存期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。研究生签名：导师签名：e t 期：丕翌兰：堡日飙也肛开放海森堡自旋链两端量子信息的交换第一章引言第一章引言二十世纪初，量子力学的诞生成为物理学发展的一座重要里程碑。近一个世纪之后，人们发现利用量子系统中的纠缠，能够构建出计算能力远远超过经典计算机的量子计算机，可用于处理目前信息社会所面临的信息安全和海量数据搜索等亟待解决的问题【1 3 】。1 9 8 2 年，物理学家f e y m a n n 首次提出了量子计算的设想 4 】，他指出如果用由量子系统建造的计算机来模拟量子现象可以大幅度缩减计算时间。1 9 8 5 年，牛津大学的d e u t s c h 对量子图灵机进行了定义【5 】，并证明其具有比经典图灵机更强大的计算能力，但在当时并没有引起人们的广泛关注。1 9 9 4 年，贝尔实验室的s h o r 利用量子纠缠的特性提出了大数质因子的量子分解算法【6 】，该算法把经典计算机处理该问题时指数增长的计算时间缩短为多项式增长。1 9 9 7 年，g r o v e r 提出的量子搜索算法可以对无序数据库搜索所需的时间进行开方次加速【7 ，8 】。这些卓越的计算算法方面的进展使量子计算成为目前物理学、数学以及计算机等领域交叉学科的热点课题之1 1 海森堡自旋链中量子态的传输自从量子计算的概念被提出之后，人们一直在寻找可以用于构建大规模量子计算机的物理载体。光子是中性粒子，没有强的相互作用，在光纤中传输的损耗小，可以用光子的偏振态进行长距离的量子信息传输。潘建伟等已经成功利用纠缠光子实现了大数分解的演示性实验【9 】。由于光学系统价格昂贵且不易集成，因此如何对固态自旋系统进行有效操控成为目前人们普遍关注的问题。海森堡模型 1 0 】是凝聚态物理中用来研究磁性系统相变和临界性质的一种统计力学模型。实际固体中的很多现象，比如铁磁性和反铁磁性【1 1 ，1 2 ，都可以用海森堡自旋模型来解释。海森堡系统在量子计算领域有着广泛的应用前景。l o s s 首先指出可以利用具有海森堡相互作用的半导体电子自旋构建通用量子f - i 1 3 。b o s e 提出不需调制和测量即可通过铁磁自旋链传输量开放海森堡自旋链两端量子信息的交换第一章引言子态的方案【1 4 】。如果构成自旋链的粒子数小于8 0 个，则量子态直接传输的保真度要优于经典传输。该方案主要用于量子计算过程中量子信息的短距离传输，为在海森堡系统中实现大规模量子计算奠定了理论基础。此后，b u r g a r t h 证明了利用平行双自旋链可以实现任意高保真度的量子态传输 1 5 】。孙昌璞提出了利用耦合自旋梯作为信息总线传输量子态的方案 1 6 】。i s a r t 讨论了利用自旋为l 的海森堡自旋链进行量子态传输的可能性【1 7 】。b a y a t 等人发现了自旋链传输量子信息过程中的记忆效应 1 8 】。最近，f r a n c o 提出了不需要初始化自旋链系统就可以精确传输量子态的方案 1 9 】，这在很大程度上提高了自旋链作为量子通信信道的普适性。目前的研究主要集中在量子信息的单向传输上，考虑到自旋链镜面对称的几何特性，如何实现信息的同时双向传输引起了人们的关注 2 0 ，2 1 。量子信息的交换可以提高量子计算的效率，是量子信息传输理论的重要补充和发展。双量子比特受控非门可以和单量子门一起构成量子计算的通用逻辑r - 2 2 。实现两粒子量子态的交换是构成受控非门的一个关键步骤，因此量子信息在海森堡链中的双向传输在量子计算领域有着特别重要的意义。1 2 量子纠缠的传递自旋链作为信道来传输量子信息主要是利用系统量子态的时间演化，或者利用白旋链两端量子比特之间的纠缠进行隐形传态。纠缠是是量子通信和量子计算的核心资源 2 3 2 5 ，是一种纯粹的量子现象，与经典信息论中被视为信息的资源完全不同。假设一对量子比特处于纠缠态，那么无论它们在空间上相隔多远，对其中一个量子比特的测量都会影响到另外一个量子比特的状态。基于纠缠态的这种特性，1 9 9 3 年b e n n e t等首次提出了量子隐形传态的方案 2 6 】，他们指出如果两个位于不同地点的粒子处于纠缠态，那么可以仅通过局域量子操作和经典信息传递( 简称l o c c 操作) 就可以将粒子的未知量子态精确地传输到另外一个粒子的位置，而原来的粒子仍留在原处。此后，z e i l e i n g e r 领导的研究组于1 9 9 7 年在实验室成功的利用纠缠光子对实现了量子隐形传态【2 7 】。海森堡系统中存在着纠缠 2 8 3 2 ，可以用于进行量子信息处理。n i e l s e n最先考察了两体海森堡自旋系统中的热纠缠，并讨论了磁场和温度对纠缠大小的影响【3 3 。王晓光研究了一维海森堡自旋链中的热纠缠 3 4 】。d a g m a r 等人分析了有限温度2开放海森堡自旋链两端量了信息的交换第一章引言下自旋链中的多体纠缠现象【3 5 】。通过量子纠缠在自旋链中的传输可以把纠缠资源分配到处于不同位置的量子比特上 3 6 】，进行信息处理或储存等任务。v e n u t i 等人提出了利用反铁磁自旋链进行纠缠传输和量子比特隐形传态的方案【3 7 】。m a r u y a m a 和c r o o k s 所在的两个小组分别讨论了相移控制和交错磁场对自旋链中纠缠传输的影响【3 8 ，3 9 。1 3 论文的研究目的和主要内容在一维固态自旋链系统中，可以利用系统的时间演化或者隐形传态的方法传输量子信息。自旋为1 2 的粒子是典型的二能级系统，对其自旋方向的操控具有精确快速等优点，它是量子比特的理想载体之一。海森堡自旋链可以被用作量子计算过程中短距离传输量子信息的信道。本文讨论的模型是自旋1 2 粒子构成的具有最近邻相互作用的开放海森堡铁磁自旋链系统，主要从量子态的传输和纠缠的传输两方面研究了自旋链两端量子信息的交换行为，并分析了外加磁场、耦合强度和各向异性相互作用等参数对信息交换过程的影响。首先，我们研究了海森堡自旋链两端量子比特几率分布信息的双向传输。系统的量子态可以用波函数来表示。波函数模的平方称为几率幅，即对量子系统进行测量时体系处于该特定状态的几率大小。如果对铁磁自旋链施加静态同向磁场，则弱耦合于自旋链两端的粒子自旋方向几率分布会出现周期性的交换现象。当系统经过一个交换周期的时间演化后，对自旋链某一端粒子的自旋方向进行投影测量，测量结果的几率分布将非常接近于初始时刻该自旋链另外一端粒子自旋方向的几率分布。我们利用信息理论中的相对熵概念，衡量了交换行为的保真程度，对由多粒子构成的自旋链模型进行了数值计算，并解析地讨论了四粒子系统的简单情况。结果表明，随着磁场的增强和自旋链两端耦合强度的减小，测量几率的时间演化曲线逐渐变得光滑，类似于周期性函数，同时，交换行为的保真程度也随之增加。交换周期随自旋链中粒子数的增加呈指数上升，其大小与系统的对称和反对称简并基态在两端自旋微扰作用下形成的能量差成反比。交换周期随磁场的增加和耦合强度的减小而延长。理论上可以通过施加强磁场的方法实现任意精度的几率分布信息交换。开放海森堡自旋链两端量子信息的交换第一章引言其次，我们提出了一种利用开放海森堡铁磁自旋链同时双向传输自旋链两端纠缠的方案。通过对量子信道施加静态同向磁场的方法，可以使位于自旋链两端的纠缠发生周期性的交换现象。交换的周期随着自旋链长度的增加而指数增长。交换周期和交换后的纠缠峰值随着耦合强度的减小或者磁场的增强而增大。交换周期随各向异性常数的增长而减小，在达到最小值后转为上升的变化趋势，纠缠峰值在一定范围内波动，总体上随各向异性常数的增长而上升。在对由4 个粒子构成的简单系统的讨论中发现，相互作用为各向同性时，交换后纠缠的峰值可以达到最大值1 ，并随各向异性常数的增大而减小。交换周期与耦合强度成反比例关系，在各向异性常数为0 5 附近时达到最大值。本论文由四个章节组成。第一章主要介绍了海森堡自旋链系统中量子信息传输的研究背景和现状。第二章简要说明了量子系统的含时演化规律、相对熵的概念，以及纠缠的定义和度量方法。第三章具体讨论了位于自旋链两端粒子自旋方向测量几率信息的交换行为，计算了交换周期和保真程度，并分析了磁场和耦合强度在交换现象中所起的作用。第四章研究了自旋链两端纠缠的双向传输，考察了磁场、耦合强度和各向异性参数对纠缠交换过程的影响。第五章是结束语。4开放海森堡自旋链两端量子信息的交换第一章引言参考文献【7 】【8 】【9 】9【1 0 】【1 1 】【1 2 】【1 3 】【1 4 】m a n i e l s e na n di l c h u a n g ，q u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n( c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，e n g l a n d ，2 0 0 0 ) 张永德，吴盛俊，侯广，黄民信，量子信息论一一物理原理与某些进展，华中师范大学出版社，2 0 0 2 。戴葵，宋辉，刘芸，谭明峰，量子信息技术引论，国防科技大学出版社，2 0 0 1 。r p f e y n m a n ，s i m u l a t i n gp h y s i c s 、析也c o m p u t e r s ，i n t j t h e o r p h y s 21 ，4 6 7 ( 19 8 2 ) d d e u t s c h ，q u a n t u mt h e o r y , t h ec h u r c h - t u r i n gp r i n c i p l ea n dt h eu n i v e r s a lq u a n t u mc o m p u t e r , p r o c r s o c l o n d a4 0 0 ，9 7 ( 19 8 5 ) pw ：s h o r , a l g o r i t h m sf o rq u a n t u mc o m p u t a t i o n ：d i s c r e t el o g a r i t h m sa n df a c t o r i n g ，3 5 t ha n n u a ls y m p o s i u mo nf o u n d a t i o n so fc o m p u t e rs c i e n c e ，i e e e ，l o sa l a m i t o s ，c a ，1 9 9 4 l k g r o v e r ，q u a n t u mm e c h a n i c sh e l p si ns e a r c h i n gf o ran e e d l ei nah a y s t a c k ，p h y s r e v l e t t 7 9 ，3 2 5 ( 19 9 7 ) l k o r o v e r ，q u a n t u mc o m p u t e r sc a ns e a r c ha r b i t r a r i l yl a r g ed a t a b a s e sb yas i n g l eq u e r y , p h y s r e v l e t t 7 9 ，4 7 0 9 ( 1 9 9 7 ) c yl l l ，d e b r o w n e ，t y a n ga n dj - w ：p a n ，d e m o n s t r a t i o no fac o m p i l e dv e r s i o no fs h o r sq u a n t u mf a c t o r i n ga l g o r i t h mu s i n gp h o t o n i cq u b i t s ，p h y s r e v l e t t 9 9 ，2 5 0 5 0 4 ( 2 0 0 7 ) m c a r n e s e n ，s b o s ea n dvv e d r f l ，n a t u r a lt h e r m a la n dm a g n e t i ce n t a n g t e m e n ti nt h e1dh e i s e n b e r gm o d e l ，p h y s r e v l e t t 8 7 ，017 9 01 ( 2 0 01 ) e m a n o u s a k i s ，t h es p i n 一1 2h e i s e n b e r ga n t i f e r r o m a g n e to nas q u a r el a t t i c ea n di t sa p p l i c a t i o nt ot h ec u p r o u so x i d e s ，r e v m o d p h y s 6 3 ，1 ( 1 9 9 1 ) t o g u c h i ，t h e o r yo fs p i n - w a v ei n t e r a c t i o n si nf e r r o - a n da n t i f e r r o m a g n e t i s m ，p h y s r e v 1 1 7 ，1 1 7 ( 1 9 6 0 ) d l o s sa n dd p d i v i n c e n z o ，q u a n t u mc o m p u t a t i o nw i t hq u a n t u md o t s ，p h y s r e v a5 7 ，1 2 0 ( 1 9 9 8 ) s b o s e ，q u a n t u mc o m m u n i c a t i o nt h r o u g ha nu n m o d u l a t e ds p i nc h a i n ，p h y s r e v l e t t 9 1 ，2 0 7 9 0 1 ( 2 0 0 3 ) 51 j1 j1 j1一1j1 j口ph侈开放海森堡自旋链两端量子信息的交换第一章引言【1 5 】【1 6 】【1 7 【1 8 】【1 9 】【2 0 】【2 1 】【2 2 】【2 3 】【2 4 】【2 5 】【2 6 】【2 7 】【2 8 】【2 9 】d b u r g a r t ha n ds b o s e ，c o n c l u s i v ea n da r b i t r a r i l yp e r f e c tq u a n t u m - s t a t et r a n s f e ru s i n gp a r a l l e ls p i n - c h a i nc h a n n e l s ，p h y s r e v a71 ，0 5 2 315 ( 2 0 0 5 ) yl i ，t s h i ，b c h e n ，z s o n g ，a n dc 一p s u n ，q u a n t u m - s t a t et r a n s m i s s i o nv i aas p i nl a d d e ra sar o b u s td a t ab u s ，p h y s r e v a71 ，0 2 2 301 ( 2 0 0 5 ) o r o m e r o - i s a r t ，k e c k e r t ，a n da s a n p e r a , q u a n t u ms t a t et r a n s f e ri ns p i n - lc h a i n s ，p h y s r c v a7 5 ，0 5 0 3 0 3 ( r ) ( 2 0 0 7 ) a b a y a t ，d b u r g a r t h , s m a n c i n i ，a n ds b o s e ，m e m o r ye f f e c t si ns p i n - c h a i nc h a n n e l sf o ri n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o n ，p h y s r e v a7 7 ，0 5 0 3 0 6 ( r ) ( 2 0 0 8 ) c d f r a n c o ，m p a t e m o s t r o ，a n dm s k i m ，p e r f e c ts t a t et r a n s f e ro nas p i nc h a i nw i t h o u ts t a t ei n i t i a l i z a t i o n ，p h y s r e v l e t t 10 1 ，2 3 0 5 0 2 ( 2 0 0 8 ) p k a r b a c ha n dj s t o l z e ，s p i nc h a i n s 弱p e r f e c tq u a n t u ms t a t em i r r o r s ，p h y s r e v a7 2 ，0 3 0 3 0 1 ( r ) ( 2 0 0 5 ) s y a n g ，z s o n g ，a n dc p s u n ，q u a n t u ms t a t es w a p p i n gv i aaq u b f fn e t w o r k 诚t l lh u b b a r di n t e r a c t i o n s ，p h y s r e v b7 3 ，1 9 51 2 2 ( 2 0 0 6 ) a b a r e n c o ，c h b e n n e t t ，r c l e v e ，d p d i v i n c e n z o ，n m a r g o l u s ，p s h o r ，t s l e a t o r , j a s m o l i n ，a n dh w e i n f u r t e r , e l e m e n t a r yg a t e sf o rq u a n t u mc o m p u t a t i o n ,p h y s r e v a5 2 ，3 4 5 7 ( 19 9 5 ) w ：k w o o t t e r s ，e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o no fa na r b i t r a r ys t a t eo ft w oq u b i t s ，p h y s r e v l e t t 8 0 ，2 2 4 5 ( 19 9 8 ) c h b e n n e t t ，d p d i v i n c e n z o ，j a s m o l i n ，a n dw ：k w o o t t e m ，m i x e d - s t a t ee n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u me r r o rc o r r e c t i o n ，p h y s r e v a5 4 ，38 2 4 ( 19 9 6 ) c h b e n n e t t ，h j b e m s t e i n , s p o p c s c u ，a n db s c h u m a c h c r , c o n c e n t r a t i n gp a r t i a le n t a n g l e m e n tb yl o c a lo p e r a t i o n s ，p h y s r e v a5 3 ，2 0 4 6 ( 19 9 6 ) c h b e n n e t t , gb r a s s a r d ，c c r p e a u ，r j o z s a , a p e r e s ，a n dw ：k w o o t t e r s ，t e l e p o r t i n ga nu n k n o w nq u a n t u ms t a t ev i ad u a lc l a s s i c a la n de i n s t e i n - - p o d o l s k y -r o s e nc h a n n e l s ，p h y s r e v l e t t 7 0 ，18 9 5 ( 19 9 3 ) d b o u w m e e s t e r , j w ：p a n ，km a t t l e ，m e i b l ，h w e i n f u r t e ra n da z e i l i n g e r ,e x p e r i m e n t a lq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ，n a t u r e ，3 9 0 ，5 7 5 ( 19 9 7 ) x w a n ga n dz d w a n g ，t h e r m a le n t a n g l e m e n ti nf e r r o m a g n e t i cc h a i n s ，p h y s r e v a7 3 ，0 6 4 3 0 2 ( 2 0 0 6 ) m c a oa n ds z h u ，t h e r m a le n t a n g l e m e n tb e t w e e na l t e m a t eq u b i t so faf o u r - q u b i t6开放海森堡自旋链两端量子信息的交换第一章引言h e i s e n b e r gx xc h a i ni nam a g n e t i cf i e l d ，p h y s r e v a71 ，0 3 4 311 ( 2 0 0 5 ) 【3 0 】x h a oa n ds z h u ，e n t a n g l e m e n tt e l e p o r t a t i o nt h r o u g h1dh e i s e n b e r gc h a i n ，p h y s l e t t a3 3 8 ，1 7 5 ( 2 0 0 5 ) 【3l 】x h a oa n ds z h u , e n t a n g l e m e n ti nas p i n - sa n t i f e r r o m a g n e t i ch e i s e n b e r gc h a i n ，p h y s r e v a7 2 ，0 4 2 3 0 6 ( 2 0 0 5 ) 【3 2 】yz h u ，s q z h u ，a n dx h a o ，e n t a n g l e m e n ti na na n i s o t r o p i cs p i n 一1h e i s e n b e r gc h a i n ，c h i n p h y s 16 ，2 2 2 9 ( 2 0 0 7 ) 【3 3 】m a n i e l s e n ，p h d t h e s i s ，u n i v e r s i t yo f n e wm e x i c o ，q u a n t p h 0 0110 3 6 【3 4 】x w a n g ，e n t a n g l e m e n ti nt h eq u a n t u mh e i s e n b e r gx ym o d e l ，p h y s r e v a6 4 ，0 1 2 3 1 3 ( 2 0 0 1 ) 3 5 】d b r u b ，n d a t t a , a e k e r t ，l c k w e k , a n dc m a c c h i a v e l l o ，m u l t i p a r t i t ee n t a n g l e m e n ti nq u a n t u ms p i nc h a i n s ，p h y s r e v a7 2 ，0 1 4 3 0 1 ( 2 0 0 5 ) 【3 6 】f - p l a s t i n aa n dt j ga p o l l a r o ，l o c a lc o n t r o lo fe n t a n g l e m e n ti nas p i nc h a i n ，p h y s r e v l e t t 9 9 ，17 7 210 ( 2 0 0 7 ) 【3 7 】l c v e n u t i ，c d e b o s c h i ，a n dm r o n c a g l i a , q u b i tt e l e p o r t a t i o na n dt r a n s f e ra c r o s sa n t i f e r r o m a g n e t i cs p i nc h a i n s ，p h y s r e v l e t t 9 9 ，0 6 0 4 01 ( 2 0 0 7 ) 【3 8 】k m a r u y a m a , t i i t a k a , a n den o d ，e n h a n c e m e n to fe n t a n g l e m e n tt r a n s f e ri nas p i nc h a i nb yp h a s e - s h i f tc o n t r o l ，p h y s r e v a7 5 ，012 3 2 5 ( 2 0 0 7 ) 【3 9 】r h c r o o k sa n dd vk h v e s h c h e n k o ，e n t a n g l e m e n tp r o p a g a t i o nt h r o u g hs p i nc h a i n si nt h ep r e s e n c eo fas t a g g e r e dm a g n e t i cf i e l d ，p h y s r e v a7 7 ，0 6 2 3 0 5 ( 2 0 0 8 ) 7开放海森堡自旋链两端量子信息的交换第二章量子信息的传输和度量第二章量子信息的传输和度量2 1 系统状态的含时演化二十世纪二十年代，奥地利物理学家s c h r o d i n g e r 在瑞士苏黎世大学任数学物理教授期间，提出了量子力学理论的基本方程薛定谔方程 1 ，2 】。薛定谔方程是量子力学的一个基本假定，只能通过实验来验证其正确性。对量子系统动力学演化的研究通常都借助于对薛定谔方程求解的方法。目前原子物理、核物理和固体物理等领域所有的实验结果都与薛定谔方程的预测相符合。1 9 2 5 年，德国物理学家h e i s e n b e r g 利用数学中的矩阵形式，与光谱学中的频率、强度和极化相联系，建立了量子理论中的矩阵力学。随后不久，美籍匈牙利科学家n e u m a n 证明了波动力学和矩阵力学是相互等价的。量子系统的状态可以用波函数来表示，波函数包含了系统的各种物理性质。通过求解含时薛定谔方程，可以得到任意时刻波函数的具体形式，从而预测系统的动力学演化。某一时刻f 量子态的波函数可以用l y ( f ) ) 来表示，波函数随时间的演化遵循薛定谔方程珐面d ) ) = 日) ) ，( 2 1 )其中，h 是系统的哈密顿量，壳= 办2 万是普朗克常数，为简化计算，本文中令壳= 1 。薛定谔方程是波函数i 少( f ) ) 对时间的一次微分方程，理论上可以严格求解。假设系统初始状态的波函数为i y ( o ) ) ，经过时间，的演化后波函数可以表示为i 少( 砩= e x p 一i i1 日( ，) 出 i y ( 。) ) ( 2 2 )当体系的哈密顿量日不显含时间f 时，上式简化为) = e x p ( 半弘) ) ，( 2 3 )8开放海森堡自旋链两端量子信息的交换第二章量子信息的传输和度量一个封闭量子系统的时l 司演化司以用一个幺正变换来描述，t i p 系统在时刻t l 的状态l y ( f 。) ) 和系统在时刻f ：的状态i ( f ：) ) ，可以通过一个仅依赖于时间f lt 2 的幺正算符u “，f 2 ) 相联系i ( f ：) ) = u ( f ，t ：) l 沙o 。) ) ，( 2 4 )式中的u ( t l ，f ：) 被称作时间演化算符。对于哈密顿量h 不显含时间f 的情况，时间演化算符可以写成如下的形式盼e x p ( 半) = 莩e 文孚m 纺j ，其中，4 和l 纺) 分别是系统哈密顿量h 的本征值和本征向量。利用线性代数的方法将哈密顿量矩阵对角化，就可以得到时间演化算符u ( t ) 的具体形式。密度矩阵p ( f ) = i 缈( r ) ) 缈( f ) l 可以用来描述纯态的系综，它在数学上等价于态向量的表示方法。密度矩阵p ( f ) 的时间演化方程为石d 肌) = 去陋删】。( 2 6 )约化密度矩阵是一种分析复杂量子体系的子系统状态非常有用的工具，可以通过对密度矩阵取偏迹的方法得到。假设整个体系由彳和b 两部分构成，其密度矩阵为p 仙，则子系统a 的约化密度矩阵定义为暑p 舢) ，( 2 7 )式中以表示对子系统b 求偏迹，定义为0 q ) ( 啦l oi2 j i ) ( 6 2i ) 三i q ) ( 口2p 06 1 ) ( 也1 ) ( 2 8 )约化密度矩阵为子系统的测量结果给出了正确的统计。一般说来，一个封闭纠缠系统的状态是一个纯态，而子系统处于混态，约化密度矩阵的迹小于1 。如果己知具体的哈密顿量和系统初态，则可以计算出任意时刻子系统的约化密度矩阵形式，从而得到t 时刻子系统中存在的纠缠大小，并在此基础上进一步讨论纠缠的制备 3 ，4 】和传输【5 7 】等相关问题。9开放海森堡自旋链两端量子信息的交换第二章量子信息的传输和度量2 2 信息的相对熵熵可以用来衡量物理系统状态所包含的不确定性，是信息理论中的重要概念之一。经典信息理论中的s h a n n o n 熵 8 ，9 】是对随机变量测量值几率的一种标度，也可以把它视为通过测量可以得到信息量大小的度量。随机变量的熵是该变量取不同测量值的概率的一个函数。假设变量的概率分为a ，仍岛，针对该概率分布的s h a n n o n 熵定义为k 如，仍n ) 三一p ，l o g ：p x ( 2 9 )假设随机变量只能以一定的概率分布输出两种测量结果，那么可以用二元熵来度量该概率分布所包含的信息量。二元熵的定义为& 胁( p ) 三一p l o g p 一( 1 一p ) l o g ( 1 一p ) ，( 2 1 0 )式中p 和1 - p 是两种输出结果的概率。二元熵在p = i 1 处达到最大值1 ，称为熵的凹性。对更一般情况的讨论可以证明经典和量子信息的熵都是凹性的。2 1 0 ，1 1 】度量了两个定义在同一指标集x 上的概率分布p g ) 和g g ) 之间的相似程度。相对熵的定义为枞o g ) | iq g ) ) 三一军p g ) l 。g z 裂三一k o g ) ) 一莓p g ) l 。g z g g ) ，( 2 1 1 )其中咖。为s h a n n o n 熵，定义一o l o g o 兰0 ，若p g ) 0 ，则一p ( x ) l o g o 兰4 - 0 0 。设p 和o r 是两个系统的密度矩阵，p 到仃的量子相对熵定义为氏概p i i 盯) 三护p l o g p ) 一t d 1 0 9 0 - ) ( 2 1 2 )相对熵的值是非负的，即氏枷。0 g ) i fg g ) ) 0 ，并且当且仅当对x 的整个取值范围内p g ) = g g ) 都成立的情况下取等号。在对变量进行投影测量的过程中，系统的熵不会减小，并且只有在系统状态没有受到测量的影响而改变的情况下才保持不变。针对相对熵的研究在信息理论里具有很重要的意义，因为其它类型的熵都可以视为相对熵在某些情况下的特例。因此，相对熵所具有的性质可以被很方便的推广到其它类型的熵。1 0开放海森堡自旋链两端量子信息的交换第一二章量子信息的传输和度量2 3 纠缠的定义和度量仙2 社一1 ) 产l l l i o k ? ，( 2 1 3 )仙2 去o ”) b - “一塌缩。以l 少+ ) 态为例，对彳进行测量，如果测量结果是彳处于l o ) 态，则b 必为1 1 ) 态；如果a 处于1 1 ) 态，则b 必为i o ) 态。在w 态 1 7 ，1 8 】和g h z 态【1 9 ，2 0 】等多体系统中也万= p y 。彦y b p y 。彦y ) ( 2 1 4 )开放海森堡自旋链两端量子信息的交换第二章量子信息的传输和度量式中五( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是算符意= 的本征值的平方根，并且按降序排列。c a n = l 时，两体系统处于最大纠缠态，如果系统不存在纠缠，则有= 0 。对纠缠态进行局域操作，c o n c u r r e n c e 的值不会增加，满足局域操作的单调性。c o