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摘要 摘要 本文以蔡氏电路为例，提出了一种基于蔡氏无量纲状态方程新的电路设计方 法。首先对蔡氏无量纲状态方程进行变量的比例压缩变换、微分一积分转换和时 间尺度变换。其次根据变换后的方程设计出各模块电路，再将各模块按方程中各 状态变量的对应关系联结起来。整个电路只由反相加法器、积分器和反相器三大 模块构成，电路结构对称。与现有其它的混沌电路设计相比，该方法具有三个主 要特点：( 1 ) 直观性强，实现了电路的模块化设计，并总结出了这类混沌电路更 一般的设计原理，具有普适性，可用于其它无量纲连续状态方程的电路设计；( 2 ) 由于采用了反相加法器，各个电路参数独立可调，互不影响，便于电路实现；( 3 ) 可根据需要，通过调节积分电阻或积分电容的大小来改变混沌信号的频谱分布范 围，便于实际应用。根据这一方法，文中设计了一种用多项式产生三涡卷混沌吸 引子的新型蔡氏电路，并进行了相应的硬件实验研究。电路实验结果与计算机模 拟结果完全相吻合，由此证实了该方法的可行性。 接着，以多涡卷j e r k 系统为例，介绍了利用d s p 处理器实现连续混沌系统的 方法。同时设计了相应的模拟硬件电路，并分别给出了硬件实验结果。实验表明， 利用d s p 产生的实验结果与模拟电路产生的结果完全一致，证实了该方法的可行 性。该方法同样可以实现其它连续混沌系统，具有普适性。该方法还存在着调试 方便，参数调节灵活，计算误差可控性强，频谱调节范围宽且方便等优点，便于 实现数字保密通信。 关键字：蔡氏电路，模块化设计，硬件实验，j e r k 系统，连续混沌系统 广东工业大学工学硕士学位论义 a b s t r a c t an o v e lc i r c u i td e s i g na p p r o a c hf o rc h u a sn o n d i m e n s i o ns t a t ee q u a t i o ni sp r o p o s e d i nt h i sp a p e r f i r s t l y , v a r i a b l e - s c a l er e d u c e d ，d i f f e r e n t i a lt oi m e g r a lc o n v e r t e da n dt i m e y a r d s t i c kt r a n s f o r m e da r em a d e0 nt h ec h u a sn o n - d i m e n s i o ns t a t ee q u a t i o n t h e n ， e a c hm o d u l ec i r c u i tb a s e do nt h es t a t ee q u a t i o ni sd e s i g n e da n dl i n k e dw i t ht h eo t h e r c i r c u i t sb yc o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n s h i po fs t a t ev a r i a b l e s t h ec i r c u i tc o n s i s t so fi n v e r t a d d e r , i n t e g r a t o ra n di n v e r t e r , a n di t ss t r u c t l l r ep o s s e s s e ss y m m e t r y , c o m p a r e dw i t ht h e o t h e re x i s t i n gc h a o t i cc i r c u i t s ，t h ec i r c u i th a st h r e em a i nc h a r a c t e r i s t i c s ：( 1 ) ac i r c u i t s m o d u l a r i z a t i o nd e s i g ni sg i v e n ，a n ds u m m a r i z e sam o r eg e n e r a ld e s i g np r i n c i p l ef o ra f a m i l yo fc h a o sc i r c u i t s ，w h i c hc a nb ea p p l i e dt oc i r c u i td e s i g no f o t h e rn o n d i m e n s i o n s t a t ee q u a t i o n s ( 2 ) t h ec i r c u i tp a r a m e t e r sa r ei n d e p e n d e n ta n d 删u s t a b l eb yu s i n g i n v e ga d d e r , s oi t sc o n v e n i e n tf o rc i r c u i ti m p l e m e n t a t i o n ( 3 ) t h ec h a o t i cs i g n a l s p e c t r u md i s t r i b u t i o nc a r lb er e g u l a t e db ya d j u s t i n gi n t e g r a lr e s i s t o r so rc a p a c i t a n c e s i t sc o n v e n i e n tf o rp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s a c c o r d i n gt ot h i sm e t h o d ，an o v e lc h u a s c i r c u i tw h i c hc a ng e n e r a t et h r e e s c r o l l s u s i n gp o l y n o m i a l i s d e s i g n e d ，a n d c o r r e s p o n d i n gh a r d w a r ee x p e r i m e n t sa r eg i v e n t h ec o m p u t e rs i m u l a t i o n sa r ei ng o o d a g r e e m e n tw i t hh a r d w a r ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s t h i sc o n f i r m st h ef e a s i b i l i t y o fo u r m e t h o d t h e n ，a ne f f e c t i v ea p p r o a c hf o rg e n e r a t i n gc o n t i n u a l c h a o t i cs y s t e mb yu s i n gt h e d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s o r ( d s p ) i sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r t a k i n gt h ej e r ks y s t e ma sa n e x a m p l e ，h o wt oi m p l e m e n tt h e c o n t i n u a l s y s t e mb yu s i n g t h ed s pd e v i c ei s i n t r o d u c e d t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sa r eg i v e nr e s p e c t i v e l ya tt h es a m et i m e t h et w o r e s u l t sa r ei ng o o da g r e e m e n t ，t h i sc o n f i r m st h ef e a s i b i l i t yo fo u rm e t h o d e x p e r i m e n t s s h o wt h a tt h i sm e t h o dc a na l s ob ea p p l i e dt oo t h e rc o n t i n u a ls y s t e m s i ti sc o n v e n i e n t ， f l e x i b l ea n de a s yt ou s ei nd i g i t a ls e c u r ec o m m u n i c a t i o n k e y w o r d s ：c h u a sc k c n i t ，m o d u l ed e s i g n ，h a r d w a r ee x p e r i m e n t ，j e r ks y s t e m ， c o n t i n u a lc h a o t i cs y s t e m i i 独创性声明 独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不包 含本人或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明，并表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得的，论 文成果归广东工业大学所有。 申请学文论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明。 将狮签名薪菁罗 论文作者签名 套乏 第一章绪论 第一章绪论 “混沌”( c h a o s ) 是一个颇为古老的名字，大家对它并不感到陌生，但是混 沌作为一个科学或者数学的概念，对许多人来说是比较新鲜的。从数学和现代科 学技术的含义来说，混沌和非线性总是联系在一起的。混沌的发现，是2 0 世纪相 对论与量子力学之后的第三次物理学大革命，这场革命正在冲击和改变着几乎所 有的科学技术领域，向我们提出了巨大的挑战【1 】。同时混沌也与其它科学相互渗 透，在数学、物理学、生命科学、地球科学、信息科学、经济学和天文学等领域 均得到了广泛的重视，成为了一个研究热点。 1 1 课题研究背景与意义 混沌的发现改变了人们的自然观和思维方式，丰富和发展了马克思主义的自 然观和认识论，是人类科学史上的一个重大贡献。在混沌理论出现以前，人们对 自然界的认识一直存在分歧，这种分歧在数理科学中表现为以天体力学为试金石 的确定论描述和以布朗运动为试金石的随机论描述。这两套体系的发展有着许多 并行之处，同时在认识论上有着深刻的对立。世界究竟是偶然还是必然的? 围绕 着这样的哲学命题的争论，同样牵动着科学家和哲学家的思绪。混沌理论的形成 和发展，正逐渐消除这两个对立描述体系之间的鸿沟。混沌是确定性系统的内在 随机性，是确定性与随机性的辩证统一。 混沌究竟有何应用前景? 这是摆在当今世界面前的重大课题。由于混沌的奇 异特性( 奇怪吸引子) ，特别是对初始条件极其微小变化的高度敏感性和不稳定性， 即所谓的“差之毫厘，失之千里”的缘故，使得长期以来人们总是认为混沌是不可 靠和不可控的，因而是无法应用的怪物，在应用及工程领域以往总是采取回避和 抵制的态度。例如，人们在电子系统的分析和设计中总是想方设法避免混沌的出 现，力求系统的稳定性和可靠性。这种对混沌的片面认识与思维模式长期以来制 约了混沌理论的发展与应用。但是随着人们对混沌进一步的认识，特别是上个世 纪九十年代以来，混沌的控制及同步理论取得了突破性进展，由此激发起来的理 广东工业大学工学硕士学位论文 论与应用研究得到迅速发展，使得混沌的应用与发展出现了契机。特别值得一提 的是1 9 9 0 年混沌同步及混沌控制方法的提出1 2 】，使得混沌在通信领域中的应用成 为可能，被誉为混沌理论与应用的一个新的里程碑，从此揭开了混沌同步通信的 新篇章，极大地鼓舞了科研工作者对混沌保密通信的研究。如近年来已成为混沌 应用研究热点的基于混沌加密技术。它最早是由英国数学家m a t t h e w s 在1 9 8 9 年提 出的 3 1 ，从此各国学者开始了混沌加密的研究。自1 9 9 0 年混沌同步理论的提出至 今，混沌加密研究在短短十多年时间里取得了不少的研究成果 4 4 1 。在2 0 0 0 年和 2 0 0 1 年，国际著名刊物i e e et r a n s a c t i o nc i r c u i t ss y s t e m si 出版了两本关于混沌安 全通信的专辑【9 ，1 0 1 。 混沌研究的主要内容是非线性系统的时间演化行为，即非线性动力系统研究。 它对非线性动力学的发展起着全局性，本质性的影响。非线性动力系统主要研究 来自于实际问题，因而大量的课题侧重于应用研究。而混沌电路是观察和分析混 沌现象，验证混沌理论及推动其应用研究发展的有力工具。自然界与人类社会中 许多服从确定非线性常微分方程的混沌现象均可用混沌电路来加以模拟，并用计 算机进行数值分析和仿真。各种混沌现象的性态( 动力学性态、拓扑结构与特征信 息等) 均可在混沌电路中加以观察与分析。最完美的有关周期分岔与混沌的结果是 在非线性电路中观察到的。近年来，开展对混沌系统的动态特性和机理的研究越 来越受到重视，如以非线性方程参数作为密钥来设计混沌保密通讯技术；研究新 型神经网络的混沌系统预测与辨识方法；开发混沌系统的智能控制方法；以及混 沌神经网络的复杂非线性系统的全局优化和噪声控制中的应用研究，都具有重要 的理论意义和实际应用价值。因此深入对混沌现象及其本质的研究有着极其重要 的实际研究意义。 综上所述，开展混沌及以混沌理论为基础的应用技术的研究是非常必要的， 一方面开展混沌理论的研究，促进了各学科的发展，改变了人们的自然观和思维 方式，具有深远的科学和哲学意义。另一方面，混沌物理实现方法的探索，是混 沌从理论研究走向实际应用的一块试金石，具有重要的意义。 1 2 课题研究的国内外现状 由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性( 确定性系统 2 第一章绪论 的内在随机性) ，在许多实际系统中，混沌是一种有害的运动形式，它可能导致系 统失控，使系统彻底崩溃。例如：混沌是所有激光器中都普遍存在的现象，无论电 子运动，还是光场混沌都对激光器十分有害；电路中的混沌运动会带来类噪声现 象等等。因此，在实践中人们常常希望能够自动有效地影响混沌系统，使之转化 为应用所需要的状态。因此控制和驾驭混沌就成为混沌应用的关键环节，成为我 们必然要深入研究的问题。非线性电路中的混沌现象是最早引起人们关注的现象 之一。迄今为止，最好的混沌实验结果也是在非线性电路中得到的。电路实验有 许多优点，如方程比较容易实现，实验条件可以精确控制，数据精确度较高，因 此，非线性电路的实验能够给出较好的定量结果，观察到比较单纯的、接近理论 模式的分岔和混沌行为。电路系统与其对应的数学模型具有很好的吻合性，使电 路模型能够方便地模拟各种非电学混沌系统，并能够很好地复现各种复杂的非线 性现象。因此，在混沌系统的理论探索和应用探索中，电路实验研究充当一个非 常重要的角色。 目前己知的混沌电路多以低阶为主，其中以蔡氏电路最为著名。时至今日， i e e e 关于蔡氏电路己出了两百多篇论文，两本专集，一个w o r k s h o p 和一本专著，蔡 氏电路的集成芯片也己被制成。目前该方向研究以美国水平最高，美国海军实验 室、加利福尼亚大学和佐治亚工学院都已将该项研究推进到了实用的边缘。而我 国这方面近年来并没有实质性的进步和突破，仍处在不断提出方法和低层次的实 验水平。国内学者在进行混沌理论分析和应用研究时虽然提出了各种混沌电路的 实现方法但很少对混沌电路进行过完整而深入的研究，大多数仅依赖计算机软件 仿真。但软件仿真仅能作为研究实际电路的辅助方法，实际电路中存在的许多随 机因素( 如元件精度问题及微扰问题) 是很难进行模拟的，因此混沌电路具有的复 杂性和随机性等优势得不到充分利用，其结果的可信度也不高。而且电路实验研 究的落后必将限制混沌理论向实用化方向发展，所以混沌电路研究是混沌学研究 中不可绕过的一个重要环节。 在过去4 0 多年里，混沌已经在数学、通信等科学和工程领域得到了深入的研 究【l ”。近2 0 年来，国内外在这一领域的研究已经取得了许多相关的成果，并提出 了能产生混沌与超混沌吸引子的多种方法【1 2 - 1 4 1 。更为重要的是，人们还进一步研 究了多维多涡卷混沌吸引子的产生问题，提出了分段线性函数、阶梯波、正弦函 数、时滞函数、三角波函数、锯齿波函数等各种方法来产生多涡卷混沌吸引子【1 2 ”j 。 广东工业大学工学硕士学位论文 在此基础上，人们在硬件电路实现上也提出了不同类型的混沌振荡器的设计方法， 取得了许多新的进展。例如文献 1 4 报道了利用三角波和锯齿波函数从j e r k 系统 中获得了3 1 2 个可以灵活调节涡卷大小、形状的实验结果。此外，文献e 1 5 还报 道了从模拟硬件电路中获取三维1 0 x1 0 1 0 个涡卷的实验结果。值得一提的是， 文献 1 7 报道了利用f p g a 从蔡氏系统中获得了3 4 个涡卷的实验结果，打破了传 统的由模拟器件来产生混沌信号的局面，为混沌的硬件实现开辟了新的途径。 在我国，对于非线性科学和复杂性科学的研究，被列为国家重大研究基础发 展规划项目，并己取得一定成就。香港城市大学的陈关荣教授在混沌控制和分岔 分析的理论与应用中做出了奠基性的工作，中国大陆的郝柏林、罗晓曙、方锦清、 吕金虎、彭建华等人都长期从事混沌的研究并在混沌同步和混沌控制领域都取得 了令人瞩目的成果。 目前，人们对混沌控制的广义认识是：( 1 ) 混沌运动有害时，成功抑制混沌； ( 2 ) 在混沌有用时，产生所需要的具有某些特定性质的混沌运动，甚至产生出特定 的混沌轨道；( 3 ) 在系统处于混沌状态时，通过控制产生人们所需要的各种输出。 1 3 课题研究的主要内容和创新点 混沌系统根据系统处理时间的不同可划分为离散系统和连续系统，而根据动 力学方程中变量的个数又可划分为低维系统和高维系统。低维离散的混沌系统由 于易于控制和实现，在混沌加密研究中采用较多1 8 - 2 3 ，但近年的研究结果发现， 该类系统用于加密设计安全性较差，己有多个方案被破解【2 4 也蚋。然而这些复杂的 系统大多是连续系统，用模拟器件实现存在着一定的困难：一方面，这些系统的 硬件电路设计没有一个统一的方法，不同的系统设计方法不一致；另一方面，由 于模拟器件的动态范围、稳定性等因素导致高维复杂混沌系统难以实现。本文针 对这两个方面的问题做了一些研究工作，主要工作包括： 一、介绍了混沌动力学的基本知识和分析混沌系统的基本方法。针对目前国 内外在混沌的硬件实现方面的研究现状和存在的一些瓶颈问题，作了深入的分 析。 二、介绍一种新的混沌电路硬件设计方法。蔡氏电路是目前众多混沌电路中 最具代表性的一种，其典型的电路结构已成为了理论和实验研究混沌的一个范例。 4 第一章绪论 然而，从目前已有的文献报道来看，尽管人们在试图改进和探索一类新型蔡氏电 路的过程中取得了一系列研究成果，但始终都是遵循一种典型的蔡氏电路模型， 即用电容、电感、电阻和蔡氏二极管来构建蔡氏电路。本文从蔡氏电路着手，介 绍了一种有别于典型蔡氏电路的设计方法，从仿真和硬件实验上验证了该方法的 可行性。同时，进一步推广到其它连续混沌系统的电路设计，该方法具有普适性。 三、连续混沌系统的数字化实现新方法。目前，大多数高维的性态复杂的混 沌系统都是连续系统，但是，如此复杂的连续系统在硬件实现上存在着瓶颈( 如 器件动态范围较小、运算精度较低等) ，导致难以实现。特别是多维多涡卷系统， 对物理器件的要求更高，因此，这样就会限制混沌系统在实际中的应用。而数字 器件有着模拟器件难以比拟的运算精度可控且较高的优势，所以能否用数字器件 来实现连续混沌系统成为一个重要的研究内容。 本文的创新点有两个方面：1 、提出了一种具有普适性的混沌硬件实现方法。 该方法基于变量比例压缩变换、微分一积分转换和时间尺度变换，设计了一种新 型的三涡卷蔡氏混沌电路，实现了硬件电路设计的模块化。实验证明，该方法具 有一定的普适性。2 、介绍了连续混沌系统的数字化实现方法。该方法具有实现方 便、参数调节灵活的优点。该方法的提出为混沌系统的物理实现开辟了一条新的 途径，同时，也为混沌的数字化通信提供了一条选择的道路。 1 4 本论文的结构安排 本文共分为四章，其结构和内容安排如下： 第一章介绍了课题的研究背景、国内外现状、论文研究的主要内容和创新点。 第二章介绍了本文需要用到的相关知识，包括混沌理论概念、混沌系统的一 般分析方法、混沌的基本特性和d s p 基础理论。 第三章介绍了一种具有普适性的连续混沌系统的硬件电路设计方法。首先介 绍了传统的蔡氏电路的组成，接着对三涡卷蔡氏电路的形成机理做了 分析。在此基础上介绍了一种连续混沌系统的硬件电路设计方法，同 时给出了硬件电路实验结果。实验证明，该方法存在着设计简单、直 观性强、调试方便灵活等特点。 第四章首先介绍了连续混沌系统的数字化实现的基本原理，然后对多涡卷 广东工业大学工学硕士学位论文 j e r k 系统的产生机理做了详细分析，并以此系统为例，介绍了连续系 统的数字化实现的方法，同时分别给出了模拟电路和数字电路实现的 实验结果。最后，将这种方法推广到其它几个经典的连续混沌系统， 进一步证实了该方法的可行性。 结论对课题的研究进行了总结。 6 第二章论文涉及的相关知识 第二章论文涉及的相关知识 本文主要涉及到混沌理论和d s p 数字信号处理的相关知识。为便于读者阅读， 在此列出论文所用到的几个基本概念。 2 1 混沌理论的概念库 十九世纪末，法国数学家和物理学家庞卡莱首次发现三体运动中的混沌运动。 二十世纪六十年代初，美国气象学家洛仑兹发现大气运动中的混沌现象。1 9 6 1 年冬，洛仑兹通过计算他的大气仿真模型发现了混沌系统对初始条件具有高度敏 感性这一重要事实，1 9 7 9 年，他在华盛顿科学进步协会的一次大会报告中把这种 现象取名为“蝴蝶效应”。对初始条件的高度敏感性使得两个混沌系统只要存在初 始条件的微小差异，将导致其轨道演化很快变得互不相关。换言之，混沌系统的 状态长期不可预测，即所谓的“差之毫厘，失之千里”，天气预报就是一个非常典 型的例子。 七十年代中期，混沌科学正式创立，混沌英文一词( c h a o s ) i e 式出现在科技文 献中。1 9 7 5 年1 2 月，美国马里兰大学的数学家李天岩和他的导师约克在美国 数学月刊发表了他们题为“周期3 意味着混沌”的文章，从此，混沌( c h a o s ) - - 词 成为了非线性动力学中的一个学术术语。 混沌理论作为非线性科学的重要分支，具有丰富的内涵和广博的外延空间。 混沌理论有几百个概念【l 】，本节主要介绍本文用到的几个基本概念和混沌的动力 学基础及分析混沌的方法。 2 1 1 常见的几个混沌概念 1 吸引子，a t t r a c t o r 。在一个耗散系统中，不属于任何更大极限集，且无轨 道。由其发出的极限集，通常包括定常吸引子、周期吸引子、拟周期吸引子和混 沌吸引子【2 9 】。 广东工业大学工学硕士学位论文 2 洛伦兹吸引子，l o r e n z a t t r a c t o r 。这是奇怪吸引子的一种，以“混沌之父” 美国气象学家l o r e n z e n 命名。在时间演化中包括一个不稳定的固定点，其形态 犹如蝴蝶开翼。 3 超混沌，h y p e r c h a o s 。系统的李雅普诺夫指数为正数的个数至少有两个或 以上【3 0 1 。 4 蝴蝶效应，b u t t e r f l ye f f e c t 。某个动力系统状态的一个微小改变所引起的 后续状态与没有微小改变时的后续状态明星不同的现象，即敏感依赖性。洛伦兹 在研究天气预报过程中发现的蝴蝶效应发表在 j o u r n a lo ft h ea t m o s p h e r i c s c i e n c e v 0 1 2 0 ( 1 9 6 3 ) 1 - 3 ”。“蝴蝶”一词由洛伦兹于1 9 7 9 年1 2 月2 9 日，在华盛顿 召开的美国科学促进会上，曾提出的预言性问题“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在 得克萨斯引起龙卷风吗? ”而得。 5 分岔，b i f u r c a t i o n 。若一动力系统依赖于某参数，当该参数通过一特定值 时，系统的定性行为发生变化。这种定性行为的变化称为分岔p 2 】。 6 倍周期，p e d o d d o u b l i n g 。由一个具有周期性的典型轨道的系统向另一个 也具有周期性的典型轨道但其周期长度却增加了一倍的系统分岔网。 7 李雅普诺夫指数，l y a p u n o vc h a r a c t e r i s t i ce x p o n e n t 。描述运动轨线散开或 靠拢的程度的一组特征量【3 3 】。 8 分维，f r a c t i o n a ld i m e n s i o n 。分维是分形的定量表征，反映耗散系统奇怪 吸引子的结构或描述该吸引子演化所必需的状态变量的最小数目。自然界中更多 的是一些不规则、不光滑的体形，描述它们的坐标位置需要把物体和几何图形的 维数扩展至分数维。若动力系统已给出数学描述，变量数量已知则可由分维规律 求出吸引子的分数维；若是时间序列，要想找出反映在该序列中的吸引子的结构 和分数维，则需要重建相空间等一系列步骤【3 2 1 。 2 1 2 混沌的动力学知识 1 平衡态和相平面 考察如下非线性动力系统： x = f ( x ，x ) 8 ( 2 1 ) 第二章论文涉及的相关知识 式中，x 表示质点的位置，主= 拿表示其速度，；表示加速度，f ( x ，工) 是作 讲 用于单位质点上的力。( 2 1 ) 式中的x ，x 表征了该系统任一时刻的t 的运动状态， 称之为相。工和x 的数值则对应着平面( x ，功上的一个点，并把平面( x ，x ) 称之为 相平面。研究相平面上( z ，x ) 随时间的轨道的几何性质，可以定性地了解电路的概 况。由于非线性微分方程一般不容易用解析方法解出，因此定性分析有很大的意 义。相平面是研究非线性电路的重要工具。 令y = 石，则式( 2 1 ) 更为一般的形式为 工2 f ( w )( 2 2 ) 【y = 6 ( x ，力 由于f 和g 中不显含时间t ，故称为自治系统，否则称为非自治系统。 当动力系统其速度x 和加速度y 为零时，物理学中的质点处于静止状态( 记 此时质点的坐标为x o 和y o ) 即( 2 2 ) 式右端为零时，方程组变为 i 舷力= o 1 们：o ( 2 3 ) 【舷力= o 式中，( 而，) 称为平衡点( 平衡态) 或奇点。 在奇点处，方程组( 2 1 3 ) 的解是与时间无关的常数x = 而，y = ，称为定 常状态解。显然，它不能给出一条随时间变化的轨线，也就是说没有轨线经过奇 点。除奇点外，通过相平面上的每一点也只能有一条轨线，即轨线不能相交。在 相平面中，若存在着两进两出的四条轨线的奇点称为鞍点。结点是以奇点作为极 限点的。当时间趋向于正无穷大时，轨线被奇点吸引而聚汇的，称为稳定的结点。 当时间趋向于负无穷大时，轨线似被奇点排斥而发散的，称为不稳定的结点。焦 点附近的轨线是盘旋逼近的，缠开的是不稳定的焦点，缠紧的是稳定的焦点。中 心点附近的轨线是类似一些同心圆【3 3 1 。 2 雅可比( j a c o b i ) 矩阵及非线性动力方程在乎衡点处的线性化 广东工业大学工学硕士学位论文 考察胛阶非线性微分方程 鲁吲楠，) 鲁咧一一矗，一警锁柳 眩4 ， 争讹妒 它在平衡点处的屁6 f j 琶阵为 ，( x q ) = 筋锁 嘲 够够 o x , 既锐 o x , 则，非线性微分方程组( 2 4 ) 式可以表示成 百d x = 厂( x ) = ，( ) z ( 2 6 ) 从而实现非线性微分方程转化为平衡点处的线性微分方程。设j a c o b i 矩阵有h 个 互不相同的特征值为五，五则( 2 6 ) 式的解可以表为 j ( r ) = c l p 却看+ c 2 e a ：磊+ + c n e a a 善，看，三称为特征矢量。 下面以一个具有实际意义的三阶系统为例，一种典型的情况是j a c o b i 矩阵具 有一个实的特征值y 和一对复共轭特征值盯弘，则在平衡点处线性方程的解可 以表示为：工( f ) = c + e p “【c o s ( 研+ 欢) 磊+ s i l l ( r + 疙) 玩】，式中弓为实的特 征值，所对应的特征向量，磊，玩为复共轭特征值仃问所对应的特征平面，这样 就由鼻，磊，玩张成了一个三维空间。 若上式中的雅可比矩阵的三个特征值的实部均是负值时，该平衡点就叫做吸 引子。当三个特征值的实部均为正值时，平衡点就叫做排斥子。在三个特征值中， 称实部有正有负的平衡点为鞍点。其中把有正实部的特征值的个数叫做指标 ( i n d e x ) ，因此，吸引子的指标显然为0 ，排斥子的指标为3 ，鞍点的指标可以为l 或2 1 3 4 。 1 0 5z 、111i。lll，；i啦 识一现一瓯 矾一 第二章论文涉及的相关知识 2 2 混沌系统的分析方法 2 2 1 混沌系统的基本特征 虽然混沌作为一个学术术语已经有几十年的历史了，然而迄今为止，混沌一 词还没有一个公认的普遍适用的数学定义【3 5 】。目前有关混沌的定义有l i - y o r k e ， s m a l e 马蹄、横截同宿点、拓扑混合以及符号动力系统等定义，总而言之，混沌 的定义在不同的文献不尽相同。大量的研究表明，一般而论，混沌的主要特征包 括以下几个主要特征：对初始条件的敏感性；确定性系统的内在随机性；具有正 的李氏指数i 具有宽带谱、类噪声和冲击式的相关特性。 1 、确定性系统中的内在随机性 线性系统中不会产生混沌运动，只有非线性系统中才会产生混沌运动，而实 际的物理系统在本质上是非线性的，因此，混沌运动是一种基本的运动形态。确 定性系统中的“内在随机性”指的是，一个完全确定性的方程会产生随机解。而高 斯白噪声等随机信号则体现出一种“外在随机性”，它是由随机系统或随机项所引 起的，是一种完全无序或完全无规则的运动，因而体现出一种“外在的随机性”。“内 在随机性”与“外在随机性”在本质上是不同的，噪声等没有任何规律，而混沌仍有 规律可循，存在普适常数等。因此，“内在随机性”与“外在随机性”是区别混沌 运动与随机运动的本质特征。 2 、对初始条件的高度敏感性 动力学系统的行为或运动取决于两个因素：一个是系统的运行演化规律，在 数学上就是动力学方程；另一个是系统现在的状态，数学上称为初始条件。对于 一个确定性系统，如果动力学方程和初始条件给定后，这个系统就完全被确定了， 按经典力学的观点，轨道对初值的依赖是不敏感的，这就是说，从两个相邻的初 值引出的两条轨道始终相互按近，彼此在相空间中偕游并行。设缈( ) 代表从初值 矗出发的轨道，缸为初值的一个小改变量，对应的轨道为妒( 毛+ a x ) ，那么，只 要心足够小，两条轨道的偏离量i y ( 矗+ 缸) 一妒( 而) i 也将足够小，即确定性系统对 初值的依赖是不敏感的。但对于混沌系统来说，情况就不一样了，处在混沌状态 的系统，运动轨道将敏感地依赖于初始条件。从两个极其邻近的初值出发的两条 广东工业大学工学硕士学位论文 轨道，在短时间内似乎相差不大，但经过较长时间后，必然呈现出显著的差异来。 从长期行为来看，初值的小改变在运动过程中不断被放大，导致轨道发生巨大偏 差，这就是混沌系统长期行为对初值的敏感依赖性。 3 、正的l y a p u n o v 指数 如上所述，混沌的一个最基本的特征是在有界的条件下对初始条件的高度敏 感性，即两个很靠近的不同初值所产生的两条轨道，随着时间的推移将以指数方 式分离，l y a p u n o v 指数就是用来定量描述这一现象的特征量。 设两个具有不同初始值的方程为 f k 。= 八x ) k 。= ) 2 m 设其初始值x o 与儿之间有一微小误差i x o 一儿i ，经过一次迭代后，可得 i 葺一m 吲厂c ，一厂c 虬，l = l 羞l 一虬i 由上式可见，系统对初始扰动的敏感程度由吼k ，显然， l t 一咒i = i 妻l i ix l - y , l = l a - 耋f l 羞f 、一虬f i _ 一y 。i = l i 0 譬a x l l i z 。一y 。i l 一。 麟i 。i ( 2 8 ) 酬与初 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 在混沌系统中，轨道分离的程度通常用l y 印u n o v 指数五来表示，五定义为平 均分离量的对数，即 第二章论文涉及的相关知识 纠鲫蚓姐l i m 。- 刮l 到旺 基于l y a p u n o v 指数五，相空间内初始时刻两点毛与之间的距离将随时间( 即迭 代次数) 作指数分离，即 i 一y ni ix o y o g “ ( 2 1 3 ) 注意到混沌是一种拉伸与折迭的变换，当混沌轨道分离到一定程度后，由于 折迭变换的结果，使得混沌吸引子的轨迹在相空间中是有界的。 目前，人们将混沌分为两大类：低维混沌与超混沌系统，不管它属于哪一类， 其基本特征是具有正的李氏指数，只具有一个正的李氏指数的混沌系统为低维混 沌系统，而具有多个正的李氏指数的混沌系统称之为超混沌系统。 4 、混沌信号具有宽带谱、类噪声和冲击式的相关特性 混沌信号是非周期信号，相轨迹永不闭合，因此，混沌信号具有宽带谱、类 噪声和冲击式的相关特性，可在保密通信中获得应用。 2 2 2 常见的几种分析混沌的方法 3 , 1 1 混沌运动来自于系统的非线性性质，但非线性只是产生混沌的必要条件而非 充分条件。混沌研究中，人们关心如下几个基本问题： ( 1 ) 、能否断言一个给定的系统将展示确定性的混沌运动? ( 2 ) 、能否用数学语言说明混沌运动并对它作一些定量的刻画? ( 3 ) 、混沌运动的存在，说明对某些非线性系统作长期预报时不可能的，那 么能否从混沌信号中得到一些有用的信息? 本节将给出几种定性和定量的分析混沌的方法。 1 、直接观测法 这种方法是根据动力学系统的数值运算结果，画出相空间中相轨迹随时间的 变化图，以及状态变量随时间的历程图。通过对比、分析和综合以确定解的分叉 和混沌现象。在相空间中，周期运动对应于封闭曲线，混沌运动对应于一定区域 内随机分离的永不封闭的轨迹( 奇怪吸引子) 。利用这种方法可确定分叉点和普适 广东工业大学工学硕士学位论文 常数。 2 、分频采样法 对周期外力作用下的非线性振子，研究其倍周期分叉和混沌现象，可采用频 闪采样法。该方法是试验物理学中闪烁采样法的推广。为避免复杂运动在相空间 中轨迹的混乱不清，可以只限于观察隔一定时间间隔( 称为采样周期) 在相空间 的代表点( 称为采样点) ，这样原来在相空间的连续轨迹就被一系列离散点所代表。 分频采样法目前是辨认长周期混沌带的最有效的方法。 3 、庞卡莱截面法 利用相图的方法可以简化复杂运动系统，但是对有些非常复杂的系统，研究 其轨道是极其困难的。例如有些倍周期运动的倍数是很高的，其轨道看起来似乎 可能很混乱，很难与非周期运动相区别，这时就要用庞卡莱截面方法来研究。它 不仅容易区别周期和非周期，而且也能清楚地反映出动力系统在庞卡莱截面上的 相应结构。 庞卡莱截面是1 9 世纪末提出的一种方法，它对于分析多变量的自治系统的运 动很有效。在多维相空间中适当选取一截面，并称为庞卡莱截面。这样，我们可 以通过计算机画出庞卡莱截面上的截点，然后观察截点的分布，从而可得知运动 的性质。根据混沌研究结果表明：当庞卡莱截面上是一封闭曲线时，运动是准周 期的；当庞卡莱截面上只有一个不动点或少数离散点时，运动是周期的；当庞卡 莱截面上是一些成片的密集点时，就是混沌运动。 4 、李雅普诺夫特征指数 对于一个最简单的线性常微分方程出出= a x 其解为x = x o e - i 巾，它是以指数 规律增减的。设有初始时刻相邻的两条轨道，当a 0 时，它们之间的距离在下一 时刻以指数e “分离。当a 0 。当 0 时，二极管d 1 截止，d 2 导通，砘= q ，得= - - 4 + 2 u = q 0 。综合上述两种情况，得n o = h 。 由图3 7 ( b ) ，并考虑到乘法器的增益为o 1 ，可得多项式信号产生器的输入 输出关系为 蛳，= ( 老 l f + - o ，鲁弘叫+ o o 冬，3 c s 舯 由此可得多项式的三个系数分别为：a t 焉r , b l k = - - 0 1 焉，焉， c k 2 = o 0 1 r r , ，其中k - - = l 。当r 固定不变时，调节图3 - 7 ( b ) 中的各个电阻兄， r 和r ，可分别独立调节多项式板“) 的三个参数a 、b k 和c i ：，互不影响。 第三章混沌电路的模块化实现方法 一v m “) 一甜 v w v 图3 7 用多项式产生三涡卷混沌吸引子的蔡氏电路图 f i g 3 7c i r c u i td i a g r a m0 f r e a l i z i n gc h u a sc i r c u i t 根据图3 7 ，可得电路的状态方程为 “= 志以毋= 击f 鲁一扣子 v = 志肛毋= 击j 一鲁c 一卜i r rv 一卺叶 c s 舯， w = 志胁去幡+ 广东工业大学工学硕士学位论文 进一步对( 3 1 0 ) 式作时间尺度变换，令f = t l c e , o c 。) ，其中i p 、0 c o 为时间尺 度变换因子，同时也是图3 - 7 中积分器的积分常数。根据实际需要，通过改变 鼬或c o 的大小，从而可改变混沌信号的频谱分布范围。当鼬或c o 减小时，可 使混沌信号的频谱分布范围搬到高频端，而当r o 或c 0 增加时，可使混沌信号的 频谱分布范围搬到低频端。因此，可通过调节积分电阻鼬或积分电容c o 的大小 来改变混沌信号的频谱分布范围，便于实际应用。与典型的蔡氏电路相比，这种 电路设计方法具有便于调节频谱分布范围的特点。因为对于典型的蔡氏电路来 说，由于电路中的电容和电感都是固定不变的，因此，不便于调节其频谱分布范 围。 基于时间尺度变换，令f = t ( r o c o ) ，可将( 3 1 0 ) 表示为无量纲状态方程的 形式 “= j 一砉c 叫一卺坂“小t v = j 一去c w 卜乏v 一老c w , l 出 c s ， - ，= 幅十r 比较( 3 8 ) 式和( 3 1 1 ) 式，得系统参数与电路参数之间的对应关系分别为： a i l = 墨，焉l ，a 1 2 = r r t 2 ，a 2 1 = r ，恐1 a 篮= r ，r 丝，a = 吩冗对，码1 等吩焉i 取r ，= l o o k ，焉i = 7 8 k ，r t 2 = 7 8 k ，如l = 1 0 0 k ，r 篮= 1 0 0 k ，r 2 3 = 1 0 0 k ，马l = 5 3 k ， 可得：a l i = 1 2 8 ，a 1 2 = 1 2 8 ，4 2 l = 1 ，4 = 1 ，口= 1 ，口3 i = 1 9 i 。由于采用了反相 加法器模块，当r ，固定不变时，通过调节电路中的各个电阻焉( f ，= 1 , 2 ，3 ) ，可独 立调节蔡氏电路中的各个参数“j = 1 ，2 ，3 ) ，互不影响，它也是采用这种模块化设 计电路的特点之一。 3 2 硬件电路实验结果 根据图3 7 进行硬件电路实验，可产生三涡卷蔡氏混沌吸引子，实验结果如 图3 8 图3 - 1 3 所示。 第三章混沌电路的模块化实现方法 图3 8 混沌吸引子在珈v 平面上的相图 f i g 3 8p h a s ep o r t r a i t si nu - v p l a n e s 图3 - 9 混沌吸引子在“w 平面上的相图 f i g 3 9 p h a s e p o r t r a i t si nu - w p l a n e s 图3 1 0 混沌吸引子在v - w 平面上的相图 f i g 3 1 0 p h a s ep o r t r a i t si n v - w p l a n e s - 2 9 - 广东工业大学工学硕士学位论文 图3 1 1 变量u 的时域波形 f i g 3 1 1t u n e f i e l dw a v eo f u 图3 1 2 变量v 的时域波形 f i g 3 1 2t i m e f i e l dw a v eo f v 图3 - 1 3 变量w 的时域波形 f i g 3 - 1 3t i m e f i e l dw a v eo f w 第三章混沌电路的模块化实现方法 其中图3 8 为混沌吸引子在“- v 平面上的相图，图3 - 9 为混沌吸引子在珈1 i ， 平面上的相图，图3 1 0 为混沌吸引子在v w 平面上的相图，图3 1 1 为图3 7 中 运算放大器o p 3 输出的变量“的时域波形，图3 1 2 为图3 7 中运算放大器o p 6 输出的变量v 的时域波形，图3 1 3 为图3 7 中运算放大器o p 9 输出的变量w 的 时域波形。显而易见，电路实验结果与计算机模拟结果完全吻合，证明了该方法 是可行的。 3 3 本章小结 本章首先介绍了传统蔡氏电路的组成设计方法，接着对文献 4 8 】提出的用多 项式产生三涡卷混沌吸引子的形成机理做了分析。在此基础上介绍了一种连续混 沌系统的硬件电路设计方法并设计了相应的硬件电路。基于变量比例压缩变换、 微分一积分转换和