（应用数学专业论文）关于酉群的一些基本性质.pdf

摘要 本文主要讨论了高维酉群的一些基本性质，具体安排如下： 在第一章中，主要介绍所研究问题的一些背景，给出了本文得到的主要结果 在第二章中，介绍了有关酉变换群的一些基本概念及性质 在第三章中，讨论了s u ( 1 ，n ；c ) 的一些基本性质 在第四章中，首先给出了收敛群s u o ，n ；c ) 的定义，接着讨论了其性质，主要考虑 了s u ( 1 ，刀；c ) 的极大性质将刃上收敛群的元素的一些性质，推广到了e ”空间上，得到 了于上收敛群的一些性质，并且利用这些性质证明了收敛群中某些子群的一些极大性 质 在第五章中，主要讨论了p u ( 1 ，n ；c ) 上刀维子群的离散准则，这些准则推广了w a b i k o f f 和a h a s s 关于i s o m ( h ”) 的门维子群的一些离散准则 关键词：酉群；离散；收敛：非初等；子群；p u ( 1 ，刀；c ) a b s t r a c t t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si st oi n v e s t i g a t ep r o p e r t i e so f 力一d i m e n s i o n a lu n i t a r y g r o u p t h i st h e s i si sa r r a n g e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1p r o v i d e ss o m eb a c k g r o u n di n f o r m a t i o na b o u tp r o b l e m - r e s e a r c h i n ga n d s t a t e m e n to fo u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t sa n d p r o p e r t i e so fu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n g r o u p s i nc h a p t e r3 ，s o m eb a s i cp r o p e r t i e so fu n i t a r yg r o u ps u ( 1 ，甩；c ) a r eo b t a i n e d i nc h a p t e r4 ，f i r s t l y ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fc o n v e r g e n c eg r o u ps u ( 1 ，l ；c ) ，a n dt h e n i n v e s t i g a t ei t sp r o p e r t i e s ，e s p e c i a l l yd i s c u s si t sm a x i m a lp r o p e r t y s e v e r a lp r o p e r t i e sa b o u t e l e m e n t si nc o n v e r g e n c eg r o u p sa c t i n gi nc ”a r eo b t a i n e d , w h i c ha r eg e n e r a t i o no fp r o p e r t i e s a b o u te l e m e n t si nc o n v e r g e n c eg r o u p sa c t i n gi nr ”b yu s i n go ft h e s ep r o p e r t i e s ，w ep r o v ea k i n do fm a x i m a lp r o p e r t yo fs u b g r o u pi nc ” i n c h a p t e r5 ，w es t u d yt h ed i s c r e t n e s sc d t e r i o u sf o r 力- d i m e n s i o n a ls u b g r o u pi n p u ( 1 ，刀；c ) ，t h e s ec r i t e r i o n sa r eg e n e r a t e db yt h ed i s c r e t e n e s sc r i t e r i o n sf o rn - d i m e n s i o n a l s u b g r o u po fl s o m ( h “) k e y w o r d s ：u n i t a r yg r o u p ；d i s c r e t e n e s s ；c o n v e r g e n c eg r o u p ；n o n - e l e m e n t a r y ； s u b g r o u p ；p u ( 1 ，刀；c ) 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：日期：砌迟年r 月，0 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“一) 作者签名：日期：功心年厂月1 0 日 导师签名：拗一 日期：a 彩年歹月厂夕日 第一章绪论 双曲几何是现代数学领域的一个重要活跃分支，它与数学及物理中的许多学 科诸如复分析、拓扑学、l i e 群、辛几何、超弦理论等有着密切的关联上世纪中 叶t e i c h m u l l e r 、a h l f o r s 等建立的以r e i m a n n 曲面复结构形变为核心的t e i c h m u l l e r 理论及k l e i n i a n 群理论 1 ，2 以及后期t h u r s t o n 、m o s t o w 、s u l l i v a n 、t u k i a 等人 在( 实) 双曲流形及刚性问题上的成果 3 ，4 ，5 ，6 已成为二十世纪数学标志性 工作的重要组成部分 m a r g u l i s 引理和j o r g e n s e n 不等式是研究负曲率空间的两个基本工具例如 利用m a r g u l i s 引理，我们可以证明刀维完备的实双曲流形的体积的正下界的存在 性从几何的观点看，j o r g e n s e n 不等式是m a r g u l i s 引理在实双曲空间的数量化形 式应用j o r g e n s e n 不等式，g e h r i n g 和m a r t i n 给出了实双曲流形的体积的正下界 的估计值 7 1 9 9 1 年，k a m i y a 对含有纯抛物元素的复双曲群建立了s h i m i z u 引 理 8 1 9 9 8 年，b a s m a j i a n 和m i n e r 定义了复双曲群的稳定盆，并建立了由两个 斜驶元素或边界椭圆元素生成的二元复双曲群的j o r g e n s e n 不等式 8 2 0 0 0 年， 蒋月评教授和k a m i y a 、p a r k e r 合作，改进了b a s m a j i a n 和m i n e r 的结果，并对 只含有一个斜驶元素和边界椭圆元素的复双曲群建立了j o r g e n s e n 不等式 9 但 另外情形的复双曲群，到目前为止，还没有讨论其离散性 酉群是双曲几何中一个重要的研究内容，1 9 7 4 年，数学大师陈省生n 町等对 酉群u ( 1 ，刀；c ) 中元素的性质和群的性质做了大量的研究，建立了元素分类等一 些基本理论，为以后的研究奠定了基础自1 9 8 3 年以来，s k a m i y a 对酉群 u ( 1 ，稃；c ) 进行了细致的研究 随着对u ( 1 ，刀；c ) 研究的不断深入，人们发现酉群u ( 1 ，刀；c 5 保持着m 0 b i u s 群 的大部分性质，但是在酉群u ( 1 ，万；c ) 上，还有很多问题还有待解决本文应用近 年来m o b i u s 群的一些新的研究方法，进一步讨论了酉群u ( 1 ，以；c ) 上的一些基本 性质，如其元素的分类、收敛性、离散性等等 在文献 1 1 中，j o h nr p a r k e r 将研中全纯复双曲等距群彳分为以下三类： ( 1 ) 若4 只在a 磁上有两个不动点，贝j j 4 为斜驶元素； ( 2 ) 若彳仅在a i - i $ 上有一个不动点，则彳为抛物元素； ( 3 ) 若彳在研内至少有一个不动点，则4 为椭圆元素 特别地，椭圆元素又分为边界椭圆元素与正则椭圆元素，若么在a i - i $ 上有两个不 动点则彳为边界椭圆元素，否则4 为正则椭圆元素 并且从考虑s u o ，2 ；c ) 中的矩阵的特征向量和特征值的角度得n y 以下定 理： 定理， 设么是s u ( 1 ，2 ；c ) 中的矩阵则有下列三种情况之一成立： ( 1 ) 若彳有两个零型特征向量其所对应的特征值分别为五和矛1 且h 1 ， 则么为斜驶元素； ( 2 ) 若彳有一个模等于1 的重复特征值，且它的向量空间是由零型特征向 量生成的，则么为抛物元素； ( 3 ) 若彳有一个负定型向量空间，则么为椭圆元素 在第三章中我们把定理，推广到n 维，研究了高维酉群的结构，得到了 s u ( 1 ，以；c ) 的分类元素的性质： 定理3 1 1 设4 是s u ( 1 ，刀；c ) 中的矩阵，则有下列三种情况之一成立： ( 1 ) 若么有两个零型特征向量其所对应的特征值分别为名和矛1 且h 1 ，则 彳为斜驶元素； ( 2 ) 若彳有一个模等于1 的重复特征值，且它的向量空间是由零型特征向 量生成的，则么为抛物元素； ( 3 ) 若彳有一个负定型特征向量，则彳为椭圆元素 文 7 中，ew g e h r i n g 和qj m a r t i n 从有限维m o b i u s 群和拟共形映射的一 条拓扑性质出发，提出了收敛群的概念，即文中的定义2 3 因为酉群s u ( i ，拧；c ) 是同胚映射，所以酉群s u ( 1 ，万；c ) 是收敛群在第四章 中，我们首先给出了收敛群s u ( 1 ，以；c ) 的定义，接着研究了其性质，主要考虑了 2 s u o ，刀；c ) 的极大性质将力上收敛群的元素的一些性质，推广到了于空间上， 得到了于上收敛群的一些性质，并且利用这些性质证明了收敛群中某些子群的 一些极大性质，得到了： 性质4 2 1g 是定义4 2 1 中的椭圆、抛物、斜驶元素，当且仅当由g 生 成的群 是离散收敛群且g 分别是 中的椭圆、抛物、斜驶元素 性质4 2 2 若g g ，且g 是收敛的，则 是抛物的( 或是斜驶的) 当 且仅当9 7 也是抛物的( 或是斜驶的) ( 其中是非零正整数) 性质4 2 3 若g g ，且g 是收敛的，如果g 是抛物的，则血( g ) = ) ， 如果g 是斜驶的，则似g ) = x o ，y o ) 性质4 2 4 若g 是斜驶的，则存在碗， o 及整数，使得 g 晦( 而，r ) 】cb p ( x o ， ， 性质4 2 5 若g g ，g 是收敛的，且存在而雹，及，i 0 ，使得 g b p ( x o ，) 】cb p ( x o ， ， 则g 是斜驶的 在1 9 7 6 年，t j o 玛e n s e n 1 2 证明了s l ( 2 ，c ) 中二元生成非初等子群离散的必 要条件，这就是j o r g e n s e n 不等式并且利用它得到了如下离散准则： 定理彳设g 是m ( 豆2 ) 中的非初等群，则g 是离散的当且仅当对于任意的 厂，g g ， 是离散的 作为对j o r g e n s e n 不等式的应用，j o r g e n s e n 又证明了以下一些离散准则： 定理 n 幻s l ( 2 ，c ) 中的非初等子群g 是离散的当且仅当g 中任意二元生成 子群是离散的 定理五n 3 1 乩( 2 ，尺) 中的非初等子群g 是离散的当且仅当g 中任意一元生成 子群是离散的 3 j o r g e n s e n 不等式在靠维双曲空间上的几种推广形式见文献 1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ， 1 8 ，1 9 ，2 0 之后，j g i l m a n 2 1 和n a i s o c h e n k o 2 2 得到： 定理曰设g 是p s l ( 2 ，c ) 中的非初等子群，则g 是离散的当且仅当对于任 意的斜驶元素厂，g g ， 是离散的 在复双曲空间上，k a m i y a 2 3 证明了： 定理k 若g 是p u o ，刀；c ) 中的一个非初等的、有限生成子群，则g 是离散 的当且仅当对g 中的每个厂和g ，群 是离散的 d a ie c t 2 4 将定理k 进行了推广，即： 定理砸 厂若g 是p u o ，以；c ) 中的一个非初等子群且满足条件么，则g 是 离散的当且仅当对g 中的每个厂和g ，群 是离散的 条件彳的定义如下： 称g 满足条件么，如果g 不包含这样的序列塘， ，使得各毋是互不相同的 有限阶元素，满足c 口耐( 似g 埘= o ol z lg ，_ i o - o o ) ，其中 肛( g j ) = 伽o h c ：毋( 功= 刁 在文 1 4 中，w a b i k o 行和a h a s s 举了一个例子证明了对于刀4 ，存在 l s o m ( h “) 的非初等子群是非离散的但是有限生成子群是离散的，这意味着定理a 不能推广到空间，他们证明了： 定理峭f 是1 s o m ( h 4 ) 的刀维子群，则r 是离散的当且仅当r 中任意二 元生成子群是离散的 定理嗽若f 是i s o m ( h “) 的疗维子群且设以为偶数，则r 是离散的当且仅 当r 中任意一元生成子群是离散的 在文 2 5 中，c a ow e n s h e n g 和w a n gx i a n t a o 讨论了p u ( 1 ，刀；c ) 中子群的离 散准则，并且得到： 定理c 设g c p u ( 1 ，以；c ) 是非初等的，则g 是离散的当且仅当w ( o ) 是 4 离散的( 即有限的) 且由g 中任意两个斜驶元素生成的非初等子群是离散的其中 矿( g ) = n ( 力 f g n g ) 而j i l ( g ) 是g 中所有斜驶元素所组成的集合， ( ，) = g g ：肛( 力cf i x ( g ) ， 定理c 设g c p u ( 1 ，力；c ) 是非初等的，_ i | d i r n ( m ( g ) ) 为偶数，则g 是离 散的当且仅当w ( a ) 是有限的且g 的任意一元生成子群是离散的 这里m ( g ) 表示最小的完全测地子流形且在g 的作用下不变 在第五章中，我们继续讨论了e u o ，刀；c ) 上n 维子群的离散准则，得到： 定理5 2 1 若g 是e u o ，力；o 上的刀维子群，n g 是离散的当且仅当g 中 任意两个元素生成的子群是离散的 定理5 2 2 若g 是p u o ，以；o 上的疗维子群，1 3 , _ d i m m ( g ) 为偶数，n g 是 离散的当且仅当g 中任意一个元素生成的子群是离散的 5 第二章酉变换群的基本知识 设c 为复数域且v = 一( c ) ( n 1 ) 表示具有如下h e r m i t i a n 型的向量空间 c ”+ 1 ： 其中 o ( z ，矿) = 磊+ 乏w l + + 乏 z = ( z o ，z 1 ，z n ) ，矿= ( w o ，m ，) 对空间y 到y 的线性双射g ，若对任意的z ，形v 均有 ( g ( z ) ，g ( 形) ) = o ( z ，形) 则称g 为酉变换( u m t 缸yt r a n s f o r m a t i o n ) ，所有酉变换构成的群记为酉群 u ( 1 ，刀；0 我们将着重研究其中满足条件d e t a = l 的那些矩阵所组成的子群 s u ( 1 ，万；0 记 设 = z y i o ( z ，z ) = o ) k = z 矿l o ( z ，z ) o ) e = z y i o ( z ，z ) 丢窆i _ l ) 厶j = 2 若z = ( z o ，互，z 矗) 矿，由 一蚶+ 窆h 2 o 知s 0 ，我们以孝= ( 缶，色，磊) 表示日“( c ) 上的点，即 。c a p ( z ) ) = z , z 0 1o = l ，2 ，刀) + 如此则日4 ( c ) 等同于复球 b = b “( c ) = 孝= ( 磊，磊，) c 一：l 磊i 为： z ，协= 一z o 厩+ 毛羁+ + 乙一l 吃一l + 乞呒 其中z = ( z o ，毛，乙) c l 一，w = ( w o ，m ，) c b 若 出，彳”= ( z ，”，则称彳 为酉矩阵其中a = ( ) 是七，阶复矩阵，a = ( 乃) 若么= a ，则彳为h e r m i t i a n 矩阵 若z c 1 ”，9 l l j 是实数，因此定义c 1 一的子集r - ，瑶和晖： v g = 臼c l l 0 ) 若向量z 分别属于贮，瑶和k ，则我们称z c 1 ”分别是负定型向量、零型向量 和正定型向量 一 根据不动点个数的位置，对酉元素有如下的分类： 定义2 1 设彳是s u ( 1 ，力；c ) 中的非平凡元素，则称 ( 1 ) 彳为椭圆的，若a 在琊内至少有一个不动点； ( 2 ) a 为抛物的，若4 只有一个不动点且位于a 哦上； ( 3 ) 彳为斜驶的，若彳只有两个不动点且位于a 磁上 若a s u o ，n ；c ) ，则彳以彳= 以，其中 , 1 1 = 一l0 0 l 00： 手l。卜。“， 且以是有疗个正特征值和一个负特征值的非退化o + 1 ) ( 行+ 1 ) 阶h e r r n i t i a n 矩 阵 定义2 2 设名为椭圆元素的特征值，称名为正定型( 负定型) ，若相应的特 征向量在嘭( 贮) 上 引理2 1 s u ( 1 ，刀；c ) 中有以个正定型和一个负定型的特征值 文 7 中，f wg e h r i n g 和gj m a r t i n 从有限维m o b i u s 群和拟共形映射的一 条拓扑性质出发，提出了收敛群的概念紧h a u s d o r f f 空间x 上的收敛群定义如 下： 定义2 3 m设g 是由x 上同胚组成的群，称g 是收敛群，如果 g i g ( i = 1 ，2 ，) 各不相同，且存在子列 & ) ，满足下列两条件之一： 即或者存在x 上的同胚映射g 使得 g ，jg 在x 上一致成立； 或者存在a ，b x 使得 g ix 鼢- - - ) a 和lx 徊) j 6 在x 6 和x 和) 中的紧子集上一致成立 设变换g 和群g 作用于集合x 上，则g 和g 在x 上的不动点集记为： x ( g ) = x x ；g ( x ) = x ) 。似g ) = n 血( g ) g c - g 对任意的g s u o ，以；c ) 作用于p ( 矿) 上保日“( c ) 不变，由b r o u w c r 不动点理论知 其于日”( c ) 上必有不动点，也即 血( g ) = 缸日”( c ) ：g ( 功= 对1 2 j s o = d i a g ( - 1 ，l ) ，则u ( i ，n ；o 在矿上其作用可表为s o ( o = 一善，我们 称是关于0 点的对称显然0 点是其唯一的不动点且s o 保持0 点的任一测地线 不变对任意的善，存在gu ( 1 ，捍；c ) 使得g ( 0 ) = 孝，则= g s 。g - 1 是关于孝的 对称 矿上的子流形膨称为完全测地子流形，若对任意的f m ，对称鼍保持m 不变 依照此定义知日”似) 或日”( o 沏一) 是h ”( o 中的完全测地子流形，特别 地日1 俾) 是日4 ( c ) 中的一条测地线，其在解4 ( c ) 上的两端点分别为 甄= ( 1 ，0 ，o ，0 ) 和一吼= ( o ，1 ，0 ，o ) 引理2 2 跏若g u ( 1 ，刀；c ) 且g 保持吼和飞不变，则g 汀1 ( r ) = 俾) 命题2 1 伽 ( 1 ) 所有的测地线可在u ( 1 ，力；c ) 作用下等价于日1 ( 尺) ； ( 2 ) 对任意的p ，q 日“( r ) ，则有连接p ，q 的唯一测地线 定义2 4 设g 是尸u ( 1 ，露；o 的子群，p 琊，g 的极限集三( g ) 定义为 l ( g ) = g ( p ) n o h c 9 定义2 5 设g 是u ( 1 ，n ；c ) 的子群，g 被称为是初等的，如果g 是纯椭圆群 或者肛( g ) f 2 j 或者l ( g ) 2 ；否则称g 是非初等的 记m ( g ) 表示最小的完全测地子流形且在g 的作用下不变 引理2 3 瞳力设厂，g u ( 1 ，捍；c ) ，若满足下列条件之一，则厂和g 可交换： ( 1 ) 是斜驶的，g 是斜驶的或椭圆元素且满f ( f i , x ( g ) ) c 血( g ) ； ( 2 ) f 是抛物的，g 是边界椭圆元素且满足f ( f i x ( g ) ) c 肛( g ) ； ( 3 ) 厂，g 是抛物的，且厂( 血( g ) ) c 血( g ) 或者它们有相同的不变轴或者其中 之一共轭于纯垂直平移； ( 4 ) 厂，g 是椭圆的且保一正交链不变 定义2 6 设g 是p u ( 1 ，玎；c ) 的一个子群，称g 是刀维的，如果g 保持毋中 的一个不动点或琊中的一个完全测地子流形不动 根据文献 1 0 ，设g 是p u ( 1 ，万；c ) 的一维子群，如果g 的椭圆元素不收敛于 ，则g 是离散的一个直接的结论就是：不包含椭圆元素的p u ( 1 ，以；c ) 的以维 子群是离散的 定义2 7 群g 是幂零的，如果存在m 0 ，使得g 肘= u ) 而g 1 = g ，g 】， g = 【g 卜n ，g 】m 的最小值称为g 的幂零指数 i o 3 一引言 第三章s u ( 1 ，刀；c ) 的一些基本性质 2 0 0 3 年，j o h nr p a r k e r 在文 1 1 中从考虑s t r o ，2 ；c ) 中的矩阵的特征向量 和特征值的角度得到了以下定理： 定理- ， 设彳是s u ( 1 ，2 ；c ) 中的矩阵则有下列三种情况之一成立： ( 1 ) 若彳有两个零型特征向量其所对应的特征值分别为五和x - 1 且1 ，则 彳为斜驶元素； ( 2 ) 若么有一个单位模等于1 的重复特征值，且它的向量空间是由零型向 量生成的，则么为抛物元素； ( 3 ) 若彳有一个负定型特征向量，则么为椭圆元素 本文主要是将定理，推广到, 维复空间中，得到如下定理： 定理3 1 1设彳是s u o ，刀；c ) 中的矩阵则有下列三种情况之一成立： ( 1 ) 若彳有两个零型特征向量其所对应的特征值分别为名和i - 1 且圳1 ，则 彳为斜驶元素； ( 2 ) 若彳有一个模等于1 的重复特征值，且它的向量空间是由零型向量生 成的，则彳为抛物元素； ( 3 ) 若彳有一个负定型特征向量，则彳为椭圆元素 3 2 主要结果的证明 为了证明定理，我们首先证明以下一些引理 引理3 2 1 设彳s u ( 1 ，以；c ) 且彳是彳的一个特征值，则i - 1t g 是, 4 的特征 值，其中名c 证明：因为a s u ( 1 ，刀；c ) ，我们可以设彳是保持h e r m i f i a n 内积( ， 的酉矩 阵，则 其中 故 以= a j | a = 3l 一1o o1 0 o坝删 a - - 4 , - 1 ( 彳) 。1 以 因而彳与( 彳) 。1 有相同的特征值 由 d e t ( 2 一i a ) = d e t ( m 一彳) = d e t ( m - a ) 知万是a 的特征值因此，矛1 是似) 。1 和彳的特征值 引理3 2 2 设名，是a s u ( 1 ，刀；o 的特征值，且1 ，w 分别是名，所对 应的特征向量，则有：( 1 ) h = l 或者( 1 ， = o ；( 2 ) 硒= 1 或者( v ，w ) = o 证明：( 1 ) 由 ( v ，v = ( 彳1 ，a v ) = ( a v ，力吩= 允旯 = i 旯1 2 ( v ，v 得 h = 1 或者 ( 2 ) 由 得 或者 = 0 ，w ) = - - = 旯仄v ，计 印= 1 = 0 1 2 引理3 2 3 若1 ，w c h 一 o ) 且 v ，d 0 ， 的一组标准基，则 所以有 一 = = = 2 = 0 ，f j ，f ，j = 0 ，l ，万 1 ，2 e o + m q + + 屹- l 巳- l + 屹巳 w 2 w b + m 气+ + 一l - l + 因此，w o 都是非零的 假设 即 故v 允c ，有 令 ，1 ，) 0 ， 嵋”0 坩+ - + h 1 2 + i 1 2 - i v o l 2 + + i 嵋_ 1 2 + 1 - 1 2 1 - 0 1 2 i v , 一五m 1 2 + i 吃一a 1 2 + + 1 一五1 2 名= 1 ，o w o 则 因此 故 则 l m a 1 2 + i v j 一名w 2 1 2 + + i v j 一旯1 2 = o h 一彳= 屹一2 w 2 = = 一2 w , = o v = 2 0 9 引理3 2 4 设a s u ( 1 ，以；o 的特征值各不相同，且它们的模都等于1 ，并 设它们的特征向量分别为，q ，则 ( i ，“j ) = 0 ，i j f ，f ，_ ，= o ，1 ，栉 r ( u 。，蚝) ( i = 0 , 1 ，刀) 中有刀个是正的而另一个是负的 故 证明：因为a 的每个特征值都不相同，即 则由引理3 2 2 ( 2 ) 有： 气a 五 以。乃1 ，o ，i , j = 0 , 1 ，刀) ( 吩，“) = 0 ，i j ，f ，_ ，= 0 ，1 ，n 又由引理3 2 3 ，知( 吩，) 中至多只有一个是非正的又h e r m i t i a n 内积 是非 退化且不定的，故 蚝，蚝) 都是非零的且至少有一个是负的 引理3 2 5 设a s u ( 1 ，n ；c ) 有一个k ( k = 2 ，力一1 ) 重特征值e 谚，并设 e 徊的特征空间是由 ，生成的，那么( u d = 0 证明：因p 诏是么的k ( k = 2 ，力一1 ) 重特征值，因此存在一个向量“，使得 材和，线性无关，且 1 4 因为 故 又 则 所以 a u = e i o u + 加 a u e i o u 名o = ( “，叻+ 庇一加 v ，d ( ”，v ) = = 0 ， 0 且g 阳的特征空间是二维的 证明：因1 ，也是不相同的且模不等于1 的特征值所对应的特征向量，故 是非退化的，故 ( 叶，w j ) 0 ，则有 ( 1 ) e 阳的特征空间是由v 生成的r ( v ，1 ， = 0 成立，或者 ( 2 ) e t o 的特征空间是二维的且特征空间中的向量是不定的 证明：( 1 ) 显然，由引理3 2 5 知 ，1 ， = 0 ( 2 ) 设存在e 埘的两个线性无关的特征向量，和甜，有 a v = e i 8 ，a u = p 徊“ 不失一般性，我们设 = 0v ，” 2 因 p 一p 叻1 ，u = 1 ，2 ，刀一1 ) 故 ( “，w j = ( v ，w j ) = 0 所以v ，”，m 是线性无关的，因此它们组成c 1 一的一组基 设 z 贮= 伫c 1 戽l ( 乙z + l 口：1 2 ( v ，v + l 口。1 2 ( ，m ) + + l 口。+ 。1 2 ( 嵋一。，q ) 0 贝t j ( u ，材 ， 中至少有一个小于0 ，得证 引理3 2 8 设a s w o ，n ；c ) 只有一个特征值，则么是j 的数量倍或者彳的 特征空间是由零向量生成的 证明：a 的特征空间可以是1 维的，2 维的，n + l 维的 若特征空间是刀+ 1 维的，显然4 是j 的数量倍 若特征空间是i 维的，则由引理3 2 5 知特征空间是由一零向量生成的，因此我 们只需证_ ，维u = 2 ，刀) 的情况 当- ，= 2 时，设存在非平凡的，线性无关的向量v ，w c h ，使得 a v = p 坩1 ，a w = p 徊w 则 p ，”= 0 如果必要取v 与w 的线性组合，由引理3 2 3 ，我们反设 ，d 0 ，( w 计0 设n l 是与，w ，h e r m i f i a n 正交的向量，故 = 0 ，( w ”= 0 同理可证当j f = 3 , 4 ，5 9 1 9 以维时，彳的特征空间是由零型向量生成的 下面我们完成定理的证明 证明：( 1 ) 因彳的一个固定点在职内还是在a 磁上对应于相应矩阵的特征 向量分别属于贮和瑶设彳s u ( 1 ，刀；c ) 有一个特征值见，且h 1 ，其相应的一 个特征向量为u ，则由引理3 2 1 知矛1 也是彳的特征值，设它对应的一个特征 向量为1 ，因h 1 ，则由引理3 2 2 ，得到 似，” = 0 ， = 0 故 “瑶，1 ，瑶 因此彳只在阳；上有两个不动点，故彳为斜驶元素 ( 2 ) 考虑所有特征值的模等于l 的情况 情况l ：若设a s u ( 1 ，力；c ) 的特征值为e 坩，e 阳，p 池，e ，设e 徊所 对应的特征向量为，p 叻( ，= 1 , 2 9 1 9 刀一1 ) 所对应的特征向量为w j ，若 0 0w ，w ， 则有e 谚的特征空间是一维的，则由引理3 2 5 知 ( ，) = 0 即 v 瑶 故彳为抛物元素 情况2 ：若a s u o ，玎；c ) 的月+ 1 个特征值是相同的，则由引理3 2 8 知么是 ，的纯量倍或者么的特征空间是由零型向量生成的，故 ( 1 ，d = 0 即 ，瑶 故彳为抛物元素 ( 3 ) 情况1 ：设a s u o ，矧。有n + 1 个不相同的特征值，且它们的模都等于1 ， 并设它们的特征向量分别为 ，蚝，, u s - l ， 则由引理3 2 4 有 ( u i , “ = 0 ，i ，f ，_ ，= 0 ；l ，刀 且，鸭，“。中有刀个是正定型向量而另一个是负定型向量则彳为正则椭 圆元素 情况2 ：设a s u ( 1 ，刀；c ) 的特征值为 e 坩，e 徊，e 确，e i 1 9 设p 徊所对应的特征向量为1 ，p 嘶u = l ，2 ，一1 ) 所对应的特征向量为吩 1 。若 则由引理3 2 6 有 ( 叶，m ) 0 叶，m ) 0 ，( 1 ，w j ) = 0 ， 0 则p 乃的特征空间是一维的，那么 则彳为正则椭圆元素 2 4 若 o 及整数j ，使得 9 7 易( x o ，) 】c 屏( 而， ， 髟( ，) = 磁；从x ，x o ) 0 ，使得 g j b p c x 0 力】c 嘭( 而拿 其中乃( 而，r ) c u 性质4 2 5 若g g ，g 是收敛的，且存在峨，及， 0 ，使得 g b ：( x o ，) 】c 吃( ，i r ) 则g 是斜驶的 证明：( i ) 先证g 是无穷阶的，若j 玎，s 友g ”= ，则 b p ( x o , r ) = 9 1 易( 而，) 】c 易( ，r 矛盾! ( 2 ) 再证由g 生成的群 是离散的反设 是不离散的，故存在 中 的无穷序列 ) ，使得 乃- i ( j 一) 于是对于充分大的j ，均有； , w , ( x o ，r ) s p ( x o ，0 ， 由条件知，一定存在自然数f ，使得 矿 易( ，) 】易( 而，r = o 。 且 f i = g 矛盾 于是 是离散的收敛群，由性质4 2 1 知g 是斜驶的 由性质4 2 4 、性质4 2 5 得到以下推论： 推论4 2 1 若g g j ig 是收敛的，则g 是斜驶的当且仅当存在而犀， ， o 及整数j f ，使得 g 。【易( ，) 】c 易( 而， ， 4 3 抛物群 s u ( 1 ，珂；o 中的子群g 是抛物的，如果g 是不含斜驶元素的无穷群 对而犀，定义： v x o ) = 矿g ，f 不是斜驶的且( 而) = 而 对于抛物群，我们得到下面一些定理： 定理4 3 1 g c s v o ，n ；c ) ，g x o ) 只有3 种可能： ( 1 ) g = ，； ( 2 ) 6 x o ) 只含椭圆元素和单位元素； ( 3 ) c x o ) 是只含抛物元素的抛物群 定理4 3 2 对gc s u ( 1 ，行；o ，若g l 是g 中的抛物群，且存在n c ，使 得g x o ) cg l ，同时g ) 属定义4 2 1 中的( 3 ) 类，则a x o ) = g 1 定理4 3 3 如果g 是离散的，对g 中的抛物子群g l 和g x o ) ，若g lf q g x o ) 含有抛物元素，则g l = g 4 4 斜驶群 s u ( 1 ，以；c ) 中的子群g 是斜驶的，如果g 是不含抛物元素的无穷群 对犀，定义： s t a b x o ，y o ) = k f s u ( 1 ，竹；o = f x o ，y o = x o ，乩 a x o ，y o = g n s t a b x o ，y o 对于斜驶群，我们得到下面一些定理： 定理4 4 1 g c s u ( 1 ，拧；c ) ，g x o ，y o 只有3 种可能： ( 1 ) g ， ；，； ( 2 ) g ，) 只含椭圆元素和单位元素； ( 3 ) g x o ，y o 是只含斜驶元素的斜驶群 定理4 4 2 如果g 是离散的初等群，若6 x o ，y o = g ，r g x o ，) 含有斜 驶元素，n a = a x o ，y o 5 1 引言 第五章p u ( 1 ，甩；c ) 上子群的离散准则 本章主要讨论了尸u ( 1