第二节 刚体转动的动能定理.doc

3.2 刚体转动的动能定理一、力矩的功1 力矩的定义若作用的质点上的力为F,则将rF定义为力F对O点的力矩，记为M。oz M、F、r三者的方向构成右手螺旋关系。 M大小：方向：右手法则or2 力矩的功设：；转盘上的微小质量元m在力F作用下以R为半径绕O轴转动，在dt时间内转过角度dq，对应位移dr,路程ds,此时F所做的元功为or则总功为二、转动惯量设初速为零，质量元m 的动能为转盘的总动能1 定义：为物体的转动惯量。意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。描述转动的惯性。例：一头粗，一头细的杆以不同端作轴转动是，其转动惯量不同。单位：SI制 kg m22 定轴转动物体转动惯量的计算质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。Rm转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。例1 求小球m的转动惯量。 解：m看作质点 I = m R2 例2 质量为m的细圆环，求I。 解：把环分成无限多个质量为dm的小段，对每个dm有 dmR dJ = R2对整个环有 I = R2dm = mR2例3质量m，半径 R的薄圆盘，求I。解：把盘分成无限多个环。取其中的一个环(半径r，宽dr，质量 dm)， 其转动惯量 dI = r2dmdrdmdSrR 整个盘的转动惯量 例4 长为L、质量为m的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为 rm / L。以杆中心O点为转轴，在距o点为r处取微小质量元dm =rdr, 杆的转动惯量为LmOO例5 转轴垂直于细杆且通过杆的一端 以杆中心O/点为转轴，同上3 几种典型的匀质刚体的转动惯量刚体转轴位置转动惯量J细棒（质量为m，长为l）过中心与棒垂直细棒（质量为m，长为l）过一点与棒垂直细环（质量为m，半径为R）过中心对称轴与环面垂直细环（质量为m，半径为R）直径圆盘（质量为m，半径为R）过中心与盘面垂直圆盘（质量为m，半径为R）直径球体（质量为m，半径为R）过球心薄球壳（质量为m，半径为R）过球心4 影响转动惯量的三个因素 (1)刚体自身的性质如质量、大小和形状；(2)质量的分布； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大)(3)转轴的位置。（同一个刚体对不同的轴转动惯量不同）5 平行轴定理和转动惯量的可加性1） 平行轴定理ozDmicdrcirio设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I，则可以证明I与Ic之间有下列关系 2）转动惯量的可加性对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和等于整个物体的转动惯量。例6质量m，长为l的均匀细棒，求对于通过质心的垂直轴的转动惯量Jc和通过端点a的垂直轴的转动惯量J.解：建立如图坐标Ox，在棒上取一小段dx，则cdxOAxcdxxAO由平行轴定理有 如果刚体偏心转动，转轴通过半径的中点且垂直于盘面。求盘对此轴的转动惯量I。 解：题给两平行轴之间的距离 得刚体绕偏心轴的转动惯量 由平行轴定理COd例 3-2 如图所示，一圆盘状刚体的半径为 R，质量为 m ，且均匀分布。它对过质心并且垂直于盘面的转轴的转动惯量用Ic表示。 例3-3 如图所示，某装置由均质细杆和均质圆盘构成。杆的质量为 ，长 L。杆对O 轴的转动惯量 圆盘质量是 ，半径为R。，得知它对过质心C 且垂直于盘面的转轴的转动惯量为 求此装置对轴O的转动惯量I。 解：已知杆对轴O的转动惯量 RCOLm1m2盘对轴C的转动惯量 由平行轴定理得盘对轴O的转动惯量 由转动惯量的可加性，得整个装置对轴 O 的转动惯量 三、刚体绕定轴转动的动能定理1 刚体绕定轴转动的转动动能2 动能定理 由于刚体的大小、形状不变，