第四节 对面积的曲面积分.doc

第四节 对面积的曲面积分4.1 学习目标了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量.4.2 内容提要1.定义 设函数在光滑曲面上有界，将曲面任意分成n小块（也表示第小块曲面的面积），在上任取一点，作乘积（），并作和，记各小曲面直径的最大值为，如果对曲面的任一分法和点的任意取法，当时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 【注】定义中的“”是面积元素，因此，2.性质关于曲面具有可加性，若，且与没有公共的内点，则；当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面的面积 ，即 3.对面积的曲面积分的计算 设曲面由给出，在面上的投影区域为， 函数在上具有连续偏导数，被积函数在上连续，则同样地，4.对面积的曲面积分的应用设曲面上任意一点处的面密度是，则曲面的质量曲面的质心，曲面的转动惯量 ，4.3 典型例题与方法基本题型I：计算对面积的曲面积分例1 填空题设，则解 由积分区域的对称性知，于是而积分在上进行，代入上式得，故应填 例2 选择题设，为在第一卦限中的部分，则有（ ）（A）；（B）；（C）；（D）解 因为曲面是上半球面，关于面对称且被积函数，都是变量的奇函数，于是类似地，关于面对称且是变量的奇函数，于是 而，故应选（C）事实上，由对称性，（C）正确【方法点击】在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧：（1）利用对称性，但要注意，曲面关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可（2）利用积分曲面的方程化简被积函数例3 计算曲面积分，其中是平面被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.解法一 .在平面上的投影是三角形，记为.解法二 .【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.例4 计算,为立体的边界.【分析】根据积分曲面的方程，确定投影区域，计算曲面面积微元，将曲面积分转化为投影区域上的二重积分进行计算解 设,为锥面,，在上，=，图 4-1为上部分，在上，在面的投影区域为，所以+ .例 5 计算，其中为介于之间的部分.【分析】 积分曲面如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面关于面，面对称，被积函数是偶函数，则有=，故可利用对称性解之.解 设, 其在面的投影域为， =4.zyxo 图 4-2【注】该题不能将积分曲面向面作投影，因为投影为曲线，不是区域.基本题型II：对面积的曲面积分的应用例6 求物质曲面的质量，其面密度.解 在平面上的投影区域.于是，所求质量为 例7 试求半径为的上半球壳的质心，已知其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离解 以球心为原点，铅锤直径为轴建立直角坐标系，则球面方程为，且任意点处的密度为设球壳的质心坐标为，由对称性知，其中为上半球面，于是球壳的质量为其中为在面上的投影域：利用极坐标计算上述二重积分，得而故，于是半球壳的质心坐标为4.4 教材习题解答1. 有一个分布着质量的曲面，在点处它的面密度，用对面积的曲面积分表示这曲面对于轴转动惯量。解：假设在曲面上连续，应用元素法，在曲面上任取一直径很小的曲面块，设使曲面块内的一点，则由曲面块很小，的连续性可知，曲面块的质量近似等于，这部分质量可近似看作集中在点上，该点到轴的距离等于，于是曲面对于轴的转动惯量为：，所以转动惯量为：2按对面积的曲面积分的定义证明公式 ，其中由和组成证明：因为在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面时，可以永远把和的边界曲线作为分割线，从而保证整个位于上，于是上的积分和等于上的积分和加上上的积分和，即令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：3. 当时面内的一个闭区域时，曲面积分和二重积分有什么关系。解：当时面内的一个闭区域时，在上的投影区域即为，上的恒为，并且，所以，即曲面积分与二重积分相等。4. 计算曲面积分，其中为抛物面在面上方的部分，分别如下：（2）; （3）解 （2）=，其中为在面上的投影区域，即.于是=.（3）=. 5. 计算，其中是：（1）锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.（2）锥面被平面和所截部分。 解 （1） 设中属于锥面部分为，上底面部分为，而与在面上的投影区域均为 ，所以 = （2）所截的锥面为：， 所以6.计算下列对面积的曲面积分：（1），其中为平面在第一卦限中的部分.解 ，（2），其中为平面在第一卦限中的