（光学工程专业论文）光通信用有增益光分路器的研究.pdf

摘要 随着光通信技术的迅速发展，光通信用有增益光分路器以其高带宽，高增益， 低损耗，低成本的优势，其研究越来越受到人们的关注。特别在波分复用系统 ( 、a 、e l e n g t h - d i v i s i o n m u l t i p l e x e ds y s t e m ) 中，分路器( 合路器) 有着广泛的应用。 本文首先介绍了用于光分路器仿真计算的有限差分光束传输法( f d的_bpm) 基本原理，以及边界条件的理论。然后作者提出了一种改进的f db p m 算法， 阐述了这种算法与传统算法相比所具有的优点。本文主要借助这种改进的 f db p m 算法，对两种结构的光分路器( 直y 型光分路器，上升正弦型光分路 器) 进行了器件设计的软件仿真，包括对两种结构光分路器传输场进行模拟， 并对两种结构光分路器的重要参数，如波导宽度，分叉角，纵横比，损耗进行 了仿真计算：得到了一些有价值的优化波导结构参数值，根据这些优化值设计 制作了光刻模板。 然后，本文通过计算均匀加宽三能级结构的速率方程和传输方程，对光分路 器的增益放大特性作出了一般的理论分析。在有了以上的理论计算和分析之后， 本文概括地讨论了制作光分路器的材料特性和工艺过程。 在本论文的最后部分着重对分路器器件相关参数的测试方案进行了设计与 研究，需要测试的参数包括输出模斑的模式，分束比，损耗和增益；同时，预 测了可能出现的问题，及解决途径。最后对前面的分析和研究进行了归纳，得 出了有价值的结论。 关键词：集成光学，光分路器，f d - b p m ，损耗，增益 a b s t r a c t s i n c et h es o a r i n gd e v e l o p m e n to fo p t i c a lc o m m u n i c a t o nt e c h n o l o g y ，o p t i c a l s p l i t t e ra p p l i e df o ro p t i c a lc o m m u n i c a t o n ，w i t l lh i g hg a i n ，l o w l o s s ，a n dl o wc o s t ， h a sd r a w nm o r ea n dm o r er e s e a r c h e r s a t t e n t i o n s e s p e c i a l l yi nd w d m ( w a v e l e n g t h d i v i s i o n m u l t i p l e x e ds y s t e m ) a r e a ，0 p t i c a ls p l i t t e r ( o p t i c a lc o m b i n e r ) h a sb e e n a p p l i e du n i v e r s a l l y i nt h i sp a p e r , t h ef o u n d a m e n t a lp r i n c i p l e so f f d _ b p m ( f i n i t e d i f f e r e n c eb e a m p r o p a g a t i o nm e t h o d ) u s e d t os i m u l a t ea n dc a l c u l a t et h ep r o c e s so fb e a m p r o p a g a t i o n i sf i r s ti n t r o d u c e d t h e n ，t h e t h e o r y o f b o u n d a r y c o n d i t i o ni s c a r e f u l l y p r e s e n t e d b a s e d o nt h o s et h e o r i e sm e n t i o n e da b o v e ，an e wk i n do ff d b p m a r i t h m e t i ci sb r o u g h tf o r w a r d c o m p a r e dw i mt h et r a d i t i o n a la r i t h m e t i c t h i so n eh a s m u c hm o r ea d v a n t a g e s i nv i r t u eo f t h en e wa r i t h m e t i c ，a u t h o ra c c o m p l i s h e dt h ew h o l e s i m u l a t i n gd e s i g n sw i t h t w ok i n d so fo p t i c a l s p l i t t e r ( s t r i g h t y - j u n c t i o no p t i c a l s p l i t t e ra n ds i n e t y p eo p t i c a ls p l i t t e r ) ，i n c l u d i n gp r o p a g a t i o nf i e l ds i m u l a t i n g ，v i t a l p a r a m e t e rc a l c u l a t i n g ，a c q u i r e ds o m eo p t i m i z e dw a v e g u i d ep a r a m e t e r s ，a n d f i n i s h e d t h et e m p l a t e b y t h o s er e s u l t sa tl a s t a f t e rt h a t ，t h i sp a p e rb r i e f l yi n t r o d u c e dt h eo p t i c a ls p l i t t e rsc h a r a c t e r i s t i c so f a m p l i c a t i o nb yc a l c u l a t eau n i f o r m l yw i d e nt h r e ee n e r g yl e v e lr a t i oe q u a t i o na n d t r a n s m i s s i o ne q u a t i o n s i n c ep r o v i d i n gt h e s et h e o r i e sa n dr e s u l t s ，t h i sp a p e rb e g a nt o d i s c u s so nt h em a t e r i a lc h a r a c t e r i s t i ca n dt h ew h o l ec r a f tp r o c e s si ns h o r t a tt h ee n do ft h i s p a p e r , s o m et e s t i n g s c h e m e sa r ed e s i g n e dd e l i c a t e l ya n d r e s e a r c h e d c a r e f u l l y t h e r e a r es o m e p a r a m e t e r si n c l u d i n g t h en u m b e ro ft h e m o d e ，s p l i t t e i n gr a t i o ，l o s sa n dg a i nn e e d e d t ob et e s t e d a tt h es a m e t i m e ，a n yp o s s i b l e p r o b l e m s a r e a n t i c i p a t e d a n dt h ef o l l o ws e t t l e m e n t sa r ea l s o g i v e n b y a l lt h o s e r e s e a r c h sa b o v e ，t h ep a p e rd r o ws o m ev a l u a b l ec o n c l u s i o n se v e n t u a l l y k e yw o r d s ：i n t e g r a t e do p t i c ，o p t i c a ls p l i t t e r , f d _ b p m ，l o s s ，g a i n i i 独创性声明 本人声明所星交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 签名：列垂日期：z 。j 年岁月辱日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后 签名：嫒 日期：二加3 年弓月铲日 电子科技大学硕士学位论文 第一章引言 本章介绍了集成光学及光分路器的发展历史及最近国内外发展动态。然后 简要介绍了本论文的主要工作 1 1 集成光学及光分路器的发展概况 光分路器是伴随着集成光学的发展而发展的，所以，要了解光分路器先要从 集成光学的诞生和发展说起。早在1 8 5 4 年，j t y d a l l 就观察到光在水与空气分界 面上做全内反射以致产生了光随水流而弯曲的现象”。，这大概就是后来人们称之 为波导的原型。可是对电磁波在这种“波导”中传播的理论研究则直到本世纪 初才开始。对于平面介质光波导的研究则始予1 9 6 3 年，就是在这一年，y a r i v 与l e i t e r 等人报道了半导体激光器中的p - n 结平面层有导波作用；1 9 6 4 年， o s t e r b e r g 与s m i t h 在模片上成功地进行了导光试验，同年n e l s o n 与r e i h a r t 报道 了p n 结平面的导波作用有助于利用电光效应来实现光调制：1 9 6 5 年，a d e r s o n 等将微波概念和微电子光刻技术结合起来，成功地制作出了近红外薄膜波导“。； 1 9 6 9 年，m i l l e r 提出了“集成光学”这一全新概念，宣布了这一学科的诞生。 1 9 7 3 年，n a k a u u r a 等人制成了分布式反馈( d f b ) 半导体激光器，从而为集成 光学提供了一种重要的光源；同年，集成光学声光频谱分析仪“1 ( i o s a ) 试验 成功。 集成光学得以快速发展则是近十年来的事，主要原因是光纤通信对集成光学 器件的大量需求。光纤通信在整个七十年代主要是多模的，集成光学则是单模 的，两者之间不匹配，从而造成集成光学在这期间长期处于停留式的试验阶段。 但令人高兴的是，由于8 0 年代初低损耗、高带宽单模光纤和半导体激光器的大 量发展和应用，再加上集成光器件在光纤传感器，频谱分析仪等非通信领域的 广泛应用，使得集成光学的研究和发展呈现出一派兴旺的景象。 当前集成光学研究主要还围绕光纤通信、光电信息处理领域进行的，这方面 的进步也是相当巨大的：如高效、低串音集成开关、高速时分调制、解调器， 波长合成和分波器，以及极化控制器等。所用的材料为i n g a a s ，g a a i a s ， i n g a a s p ，i n p 以及现在颇为流行的l i n b 0 3 ”1 。 集成光学是研究有关光在介质薄膜、波导中受到制约，并在其中传播的科学。 电子科技大学硕士学位论文 基于集成光学原理，将薄膜、波导加工成适当的结构和形状，制成各种器件， 可以实现需要的功能( 常常还需要加上调制电压) 。集成光学器件具有体积小、 低功耗、可靠性高、调制速率高等特点。 从集成光学诞生之日起，人们就开始研究各种结构的光分路器，包括光纤的 分路器，光波导的分路器等：可以说光分路器是集成光学器件的基本单元之一。 它的功能是将光功率按预定的比例分配给两个或两个以上的输出设备：反过来， 它又可以作为合路器使用，可以将不同的信号光合束，所以，它在光纤通信系 统中有着广泛而重要的应用。 1 2 光分路器的最新发展动态 随着光通信技术的迅速发展，光通信用有增益光分路器以其高带宽，高增 益，低损耗，低成本的优势，其研究越来越受到人们的关注。在通信骨干网上 中应用广泛的光中继和光交换”。，有增益光分路器模块扮演着重要角色；特别在 波分复用系统( w a v e l e n g t h d i v i s i o n m u l t i p l e x e ds y s t e m ) 和光纤电视( c a t v ) 领域， 分路器( 合路器) 的应用发展更为迅猛，所以，这种光通信器件有着广阔的应用前 景。 国内做这方面研究的单位也有不少，如长春光机所，大连理工大学，重庆 4 4 所等，但没有制作出合格器件的公开报导；国内可参考的文献也非常有限。 在国际上，则有一些成功的研究和报导。在e c a m y 等人的一篇有关e r - y b 共掺 的无损分路器。的文章中给出了如下的一种1 2 的分路器结构： s u b s t r o t e口 强譬2 p l a n a r lx 2 l 瓣k 船印l l l j 盯 图i - ie r - y b 共掺无损分路器结构图 它把有源区( 放大器区) 和无源区( 分路器区) 做在了同一个衬底( 磷 酸盐玻璃) 上，并给出了尺寸参数。这个器件在9 8 0 n m 波长泵浦源1 3 0 m w 功率 2 电子科技大学硕士学位论文 的作用下可以对1 5 3 7 n m 波长的信号光提供9 d b 的净增益。这种结构设计的好处 是结构简单，在工艺上容易制作；但e c a m y 也在文章中提到由于在实际情况中 两个分支难以达到完全相同，从而使9 8 0 泵浦光无法对两个分支提供相同的增 益，会造成分束比有比较大的误差。但因为教研室的工艺水平所限，我在设计 中仍准备采用这种结构。 法国t e e mp h o t o n i c s 公司d b a r b i e r e b r u n o 等人利用二次离子交换技术已 实现在1 5 3 1 15 4 6 n m 光波段做出1 8 的掺e r - y b 有增益光分路器合路器。的 集成模块。当9 8 0 n m 泵浦源功率达到1 2 0 m w 时，在1 5 3 5 n m 波长可提供单位厘 米的小信号净增益最大为+ 4 5 d b 。下图是该公司的掺e r y b 有增益光分路器 合路器的集成模块的结构示意图： 嘴：p 枷r s p i l l e r u a t 5 艘6 f i g 1 a m p l i f y i n 9 8 w 州c 喝西c o m b l n e r 叫l m r p l m w 蛔崦旷i 耐m o d o t 图卜2 掺e r y b 有增益光分路器合路器集成模块示意图 它的前半部分是有源区( 衬底是磷酸盐玻璃) ，后半部分是无源区( 衬底是硅酸 盐玻璃) ；两部分用u v 胶水进行粘合；在器件的两端分别用v 形槽与光纤耦合。 相对于前一种结构这种有源区和无源区分立的结构对于提高器件的性能很有好 处，但制作工艺要求比较高：就目前教研室的工艺条件而言还难以达到。但不 能否认这种结构代表了目前国际上光分路器发展的一种趋势。 下图是这种1 8 光路器模块的输出近场图： f i g 棚咖附加o l o 口m j ， 矿o u t l m a w a l a 恤s 玎j 8 j i f 料 图l 一31 8 光分路器输出近场图 电子科技大学硕士学位论文 1 3 本论文的主要内容及工作 本论文工作是在集成光波导放大器课题的基础上探索研究有增益的光分路 器。工作的目标是能设计制作出适用的有增益光分路器器件。工作的重点包括 软件的仿真部分和器件设计制作部分。具体为： 1 在查阅大量文献的基础上，阐述了f d - b 蹦算法的基本理论。并推导了算 法公式。 2 讨论了边界条件对软件仿真的影响，介绍了本论文所采用的透明边界条件 ( t r a n s p a r e n cb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t s c ) 的基本原理， 3 提出了一种改进的f db p m 算法，并用相关数据和结果证明其与传统算法 相比的优越性，基于研究这种算法的论文“一种该进的f d 算法?已被核_bpm 心期刊“光宅子，激光”收录，待发表。然后将这种算法应用于设计两种结构 的光分路( 直y 型光分路器上升正铉型光分路器) 。根据仿真结果，可得到两 种结构光分路器的优化结构参数，包括波导宽度，分叉角，纵横比，损耗等： 同时比较了两种结构光分路器各自具有的优势，研究这两种光分路器的论文“两 种结构集成光学光分路器的研究”已被核心期刊“光电工程”收录，待发表。 4 对增益放大理论的介绍。通过计算均匀加宽三能级结构的速率方程和传输 方程，对光分路器的增益放大特性作出了一般的理论分析。 5 、分路嚣的设诗与笼2 作。首先根据较伴仿真与甥关计算得出的傥化参数设计 光刻掩膜模板，目前该模板已经制作成功。然后开始器件的制作：由于该分路 器的放大器区( a m p l i f y i n gs e c t i o n ) 的制作和无源区( p a s s i v es e c t i o n ) 的制作都在一 块基片上，所以，基片材料采用一块掺铒的磷酸盐玻璃。制作过程包括以下的 几个步骤，即基片清洗，蒸馏，铝掩膜光刻，离子交抉等几个工序。 6 最后对器件参数的测试方案进行了设计；预溅了可能出现的问题和提出了 解决方法。测试分初测和终测两个阶段：初测主要钡0 波导的通光情况；终测则 要测出分路嚣的一些羹要参数，包藩模式，分索毖。增益，损耗等。 本论文的创新之处在于： 一提出了一种改进的f db p m 算法，提高了仿真的可靠程度。 二，同时研究了两种结构的光分路嚣。有利于对制作出的器件做对比研究。 4 电子科技大学硕士学位论文 第二章f d b p m 算法的基本理论 本章详细介绍了b p m 算法的发展概况，各种b p m 算法的优缺点及其应用，重 点介绍了f d b p m 算法公式的推导，分析了边界条件对计算的影响。 2 1 b p m 算法的发展概况 b p m 最早是f 1 e c k 等人在1 9 7 8 年研究大气激光束传输的光场时提出的。最 先的b p m 是以f f t ( 快速傅立叶变换，f a s t - f o u r i e rt r a n s f o r m ，f f t ) 为数学手段 实现的，所以可称为f f t - b p m “1 。f f t b p m 比较简单，在处理平板波导时，精度 足够，速度也比较快。但是由于f f t b p m 源于标量波方程，只能得到标量场( 即 只能处理一个极化分量) ，不能分辨出场的不同极化( t e 模或t m 模) 以及场之 间的耦合。并且由于f f t b p m 所采用的网格是等间距的，所以在处理劈形、弯 曲波导时，不是很适合。若采用这种方法，则要求网格数足够多，才能达到一 定的精度要求。f f t b p m 由于在处理复杂波导时，效率低、精度差，因此，这方 面应用现在很少，还在研究之中。 由于f f t b p m 存在以上这些缺点，为了解决这些问题，1 9 8 9 年d y e v i c k 等 人提出了一种新方法一有限差分光束传输法( f i n i t e d i f f e r e n c e b e a m p r o p a g a t i o nm e t h o d ，f d b p m ) ”。这种方法已被成功的应用到分析y 型波导及s 型弯曲波导中的光波传输，且对损耗”得到了准确的结果；f d b p m 还被用于分 析条形波导。、三维弯曲波导”、二阶非线形效应“”以及有源器件，得到了对 每一种掺杂方法的最优波导结构设计”。在f d - b p m 中，传播就是解有限差分方 程，由于x ，y 极化的边界条件可以被合并到f d - b 雕方程中，f d - b p m 可以是半矢 量的( 即可以处理一个极化分量与纵向分量) 。在处理极化问题上，它比f f t b p m 好，可以分辨出t e 、t m 模。在处理弯曲波导时，为了模拟光波的传播，可以用 二维圆柱坐标的标量场来分析。这种方法不仅体现了在靠近介质界面处的极化 特性，而且很准确的模拟了在半径很小的情况下的波传播，可以很准确的估计 散射损耗与传播损耗，优化波导结构。f d b p m 对网格并不是要求一定是等间距 的，因此在处理劈形波导( t a p e r ) 时，要比f f t b p m 有效的多。他可以在不同 z ( 传输轴) 坐标处，采用不同大小的网格，再采用正投影法( c o n f o r m a lm a p p i n g m e t h o d ，又称等效波导法) ”“，则可将不等距网格x 空间映射成等距规则网格1 l r 电子科技大学硕士学位论文 空问1 3 ，即将弯曲波导等效成平板波导，然后再用f d - b p m 法进行求解。因此，其 计算精度提高了很多。但是由于f d b p m 使用的是方形网格，因此，再处理弯曲 曲面的时，其计算量大，效率不高，描述粗略。 1 9 9 0 年k o c h e r 将有限元法( f e ) 用于表示横向场，从而提出了一种新的b p m 方法一有限元光束传输法( f e b p m ) ”。f e b p m 采用的是不规则的节点元，这 样在处理复杂几何曲面( 如弯曲波导、劈形波导) 时，它比f f t - b p m 或f d - b p m 所采用的方格有效的多。在z 变换结构( 波导结构或折射率沿传输方向有变化) 中，使用f e b p m 在芯区与覆盖层之间不会引入量化误差，f e b p m 的一个优点 时在设置分析元的大小及形状时很方便；并且，由于计算矩阵的维数小，所以， 计算时间少。f e b p m 在p a d 6 近似1 下，即使在大角度光线传输下，也可以不增 加计算量，而得到很准确的结果。尽管f e - b p m 有这么多优点，但还是很少有人 用矢量f e b p m 来计算三维波导，主要原因是很难得到f e - b p m 矢量公式。要得 到f e b p m 矢量公式，主要限制是在两种介质晃面处两个不同元间的介电常数的 推导。 由以上分析可以看出，f d b p m 由于其算法简单，不受材料及波导形状的限 制，具有通用性，实用于作通用的软件仿真。而且，f d b p m 算法是现在研究的 比较成熟的方法，很容易根据算法编写程序。所以，本文就采用了f d b p m 算法 作为仿真的基础。下面介绍f d b p m 算法的理论推导。 2 2f d - b p m 算法推导 在弱导条件下。可以得到亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程： v 2 + ”2 e = 0 ( 2 1 ) 其中，e ( x ，弘z ) 是电场分布，n ( x ，y ，z ) 是波导折射率分布，为真空中的波 数。令 e ( x ，y ，z ) = u ( x ，y ，z ) e x p ( i m e ) e x p ( i k ，z ) ( 2 - 2 ) 其中口为光频，k ，为任意常数，要求它的选择使u ( x ，弘z ) 为z 的缓变函数， k r 通常取值等于k o n 衬屐。令k ( x ，y ，z ) = k o n ( x ，y ，z ) ，k ( x ，y ，z ) 为依赖于空间坐标 的波数。 6 电子科技大学硕士学位论文 将( 2 - 2 ) 代入( 2 - 1 ) 中，忽略“关于：的二阶偏导数，可以得到旁轴近似的标 量j l e l m h o l z 方程 2 i k ，2 ，：+ “。+ “。，+ ( 女2 一七；) “= 0 ( 2 3 ) 其中2 ，：和“。及“。分别是关于：的一阶偏导和关于x 与y 的二阶偏导。下 面分别对二维与三维下波动方程的差分格式进行推导。 2 2 1 两维标量波动方程的差分格式 首先考虑二维偏导情况下的差分格式，此时 “。= 0 因此( 2 - 3 ) 式可简化为 2 i k ，“：+ 1 4 。+ ( 2 一女：) = 0 ( 2 4 ) 为了求得式( 4 ) 的差分格式，计为 “：= a ( x ，z ) u 。+ b ( x ，z ) u ( 2 - 5 ) 其中：a = i 2 k ，b = f ( 女2 一k ；) z k ，。对在x 方向进行离散化处理，用s 代表x 方向离散点，用，代表z 方向离散点，则记 ”：= u ( x ，z ，) 。 x ，= a + s x d x ，s = 0 ，| v ，为节点数，d x = ( b a ) n 为横向步长，( 口，b ) 为横 向计算窗口范围：z ，= r d z ，r = o ，1 ，斑为纵向步长。采用绝对稳定的类 c r a n k - n i c h o l s o n 隐式格式，它是无条件稳定的，适用于初边值问题或者满足周 期条件的问题，其主要优点是纵向步长可以取得较大，这对于某些长达数厘米 的传播过程减少了运算量。 在点( s ，+ 1 2 ) 处用差分代替微分，令： “：寸( “y c ) a z a u 工r l 2 “二一l 一2 u ：+ 越二1 ) x 2 + ( 甜爿一2 ，r + l + “爿) x 2 ) 彳：卅门 口“- 1 2 ( u ：+ “，) 彤“” ( 2 6 ) 将( 6 ) 式代入( 5 ) 式，令h = z ，p = x z x x 2 ，可以得到： 口，“卜r + l t + 6 ，材：“+ c ，“爿；t s = 1 , 2 ，n 一1 电子科技大学硕士学位论文 日。= c = 一肛4 j 7 2 b ，= 2 ( 1 + 卢坨) 一厅b ：“心 d 。= 2 0 一卢4 ：“坨) + b j 门】：+ 卢4 ：卅门( ”三- l + l g ，r 。1 ) ( ! 一7 ) 式就是二维绝对稳定的类c r a n k n i c h 0 1 s o n 隐式格式。 下的矩阵来表示： ( 2 - 7 ) ( 2 - 7 ) 式可以用以 a u = d( 2 8 ) 其中：u = u 。，“。虬“。r ，d = k ，矾d ，巩】r ，其中，r 代表矩阵转 置，l t o l v ，d o ，d 是由边界条件给定，另外 hi = j 1 _ ，= b ，i = _ ，( 2 - 9 ) 1 0 其它 由( 2 8 ) 式表达的差分矩阵方程正好可以用追赶法侧( 关于追赶法在下一节详细 说明) 求解，只要知道了u 以及边界条件“，”i “，就可以求得差分方程的解 u ”。这样在给定初始场及边界条件的情况下，就可以从r 步得到r + l 步的解， 这样就可以一步一步地求出整个波导中的传播场。 2 2 2 三维标量波动方程的差分格式 为了求得( 2 - 3 ) 式的差分格式，将( 2 - 3 ) 式改写为： “：= a ( x ，y ，z ) ( “。+ “ ) + b ( x ，y ，z ) “ ( 2 1 0 ) 其中：a = i l k ，b = i ( k2 一k ：, ) 2 k ，。对“在x ，y 方向进行离散化处理，用m 代表 x 方向离散点，用”代表y 方向离散点，用r 代表z 方向离散点，则记 “：。= u ( x 川，y 。，：，) 。x 。= 口，+ r e x d r ，聊= 0 ，n x ，以为工方向的总节点数， d x = ( 6 ，一口，) i n ，为x 方向的总节点数，砂= ( 6 ，一口，) n y 为x 方向步长，( 口。b ，) 为x 方向计算窗口范围：y 。= 口，+ 竹砂，行= o ，n ，n ，为y 方向的总节点数， 电子科技大学硕士学位论文 ( a ，6 ，) 为y 方向计算窗口范围：，= ，d z ，r = 0 ，1 ，出为纵向步长。 ( 2 一1 0 ) 式类似于二维热扩散方程，通常的隐式差分格式尽管容易写出，却 因为所得到矩阵方程求解困难而难于实现。但是交替方向隐式格式( p - r 格式) 的每一个纵向步( z ，斗：) 分成两小步完成( z ，+ ：f2 寸2 ，1 ) ，每一小步仅对 一个横向空间方向( x 或y ) 采用隐式，这样每- - 4 , 步得到的矩阵方程均是易于 求解的三对角形，即用二次追赶法就可以完成一个纵向步的计算。定义算子： “：。= “ 。一2 “：。+ ”。 j ；“：。= “：。“一2 ：。+ “：。一l 用差分格式替代的微分方程如下： 訾= 吾( 霹“怠7 2 + ”。- ) + 丢b 焉，2 ( 甜。+ “= 簪= 帚( 嘞2 嚣；“嚣丢b = ，2 ( r + 。1 r + l ，2 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) 值得注意的是( 2 - l o ) 式中b ( x ，y ，z 如项的离散，从r 到r + l 这一步中只用占二! ：” 来代替b ( x ，y ，：) ，只是因为关于稳定性的分析表明非此式不能保证格式的无条件 稳定。对于折射率不随z 轴变化的问题，这当然不影响解的精度，而对于折射率 随z 轴变化的问题，它限制了步长不能取的太大。在( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 式中，每半 步均可用效率极高的追赶法求解一个三对角方程，这样在给定初始值与边界条 件的时候，就可以一步一步地求得传播场。而无条件稳定的隐式格式，又可以 使步长取的e e 较大。 2 3 追赶法 在一些实际的问题中，例如解常微分方程边值问题，解热传导方程等，都会 要求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程，对于这种比较特殊的主对角占优 的三对角矩阵方程，如果采用传统的求逆矩阵的方法求解，由于需要多次作初 等变换求逆，会使计算变的十分麻烦，而且不利于编程。对于这样的矩阵，现 在有一种方便的处理办法，可以回避上面提到的一些问题，只需要三次简单的 循环迭代运算就可以求出矩阵方程的解，这就是下面要介绍的“追赶法”。 9 电子科技大学硕士学位论文 h 1q 。：b 2 口，b ，c ， 口”lb n lc n 一 口。b 。 ： ： ， 其中，口，= 0 ，当i i 一p 1 时， ( 口) lb ，p 旧p 0 ： ( b ) ib ，l 口，j + lc ，i ，口，c ，o ，( f = 2 , 3 ，疗一1 ) 简记为a x = 厂。 ( 2 1 5 ) ( c ) ib 。l 】口。p0 ： 由系数彳的特点，可以将a 分解为两个三角阵的乘积 a = l u( 2 1 6 ) 其中，l 为下三角阵，u 为单位上三角阵。经过推导，可以得到求解a x = f 等 价于求解两个三角性方程组： ( 1 ) l y = 厂，求y ；( 2 ) u x = y ，求工， 经过推导可以得到解三对角线方程组的追赶法公式： 1 计算 屈) 的推导公式 届= c 1 b l ， ，= c ，( b ，一口，f 1 )( i = 2 ，3 ， 一1 ) ； 2 懈z y = f y l = 一b 1 ， y ，= ( ，一a , y 一1 ) “6 ，一日，屈1 ) ( i = 2 ，3 ，聆) ： 3 解u x = y 0 耳屯；“ l卜iiioiiijji卜ij 电子科技大学硕士学位论文 x ，= j ，一p x ，+ l ( i = 一l ，”2 ，2 ，1 ) 将计算系数届_ 屈- 一叶成一。及y 。一y ：_ _ y 。的过程称为追的过程， 将计算方程组的解x 。- x 。_ 工，的过程称为赶的过程。 可以看出，用了追赶法后，将原来的常规算法( 先求逆矩阵再求矩阵相乘) 变成现在的只用三个简单的循环就可以得到同样的结果了，计算效率提高了很 多。而且从编程这方面来说，也变得简单了，因为求逆矩阵本身就是个非常麻 烦的算法，而这三个循环的关系又是非常明确的。在相同的条件下，用矩阵求 逆再相乘需要1 5 分钟，改用追赶法以后，只用4 分钟就可以得到结果了。在精 度上，矩阵的求逆还会由于算法问题而导致一定的误差，追赶法就不存在这个 问题了。 2 4 边界条件分析 根据导波理论，导模在衬底、覆盖层的消逝场沿着光传播垂直方向可以延伸 到无穷。但在仿真计算中，计算窗口是有大小的，即是说是存在边界的：如果 不小心的处理这个边界，消逝场将会在边界产生反射，从而导致对整个传输场 的扰动，使仿真结果产生极大的误差，这不是我们希望看到。可以采用吸收边 界条件，解决这个问题，通过在计算窗口周围引入一个人造的复杂折射率分布， 用以产生一个有损耗的边界。这样一来就可以将辐射场在到达窗口边缘之前吸 收掉。但是吸收系数有一个变化范围，吸收区的宽度以及形状函数必须仔细选 定。对于不同的光波导结构，必须设置不同的吸收区，且易引起反射，这是个 困难且费时的工作，即使吸收区的设置恰当，也会由于计算窗口的加大，对计 算时间和内存需求方面带来弊端。本文采用的是一种简单实用的边界条件一透 明边界条件( t r a n s p a r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n 。t b c ) ”。它认为光场在边界条 件附近近似满足平面波方程，并设场解形式为e = 毛e x p o k ，力。只要保证t ，的 实部为正，则散射能量只能脱离计算区。不会出现反射。从理论上来看，导模 在衬底、覆盖层的场分布呈衰减分布( 如阶跃平板波导在衬底、覆盖层的场呈指 电于科技大学硕士学位论文 数衰减分和) ，由此可以看出t b c 与理论更符合。t b c 还有一个优点是它相对独 立于波导结构，因而比吸收边界条件实用面更广。而且t b c 与c r a n k - n i c h o l s o n 差分格式可以很好的融合在一起。 在二维时，窗口一边第r + 1 步有： = “裂le x p ( i k ，a x )( 2 一i7 ) 其中，k ，可由前一步( 第r 步) 的结果中得到 “；“r l = ：一i ”：一2 = e x p ( i k ，d x ) ( 2 1 8 ) 对于窗口的另一边也有类似的关系。应用过程中，应令k ，的实部为正数，以 保证场是向外辐射的。 对于三维情况下，假设每- d , 步中平面波波矢仅具有一个横向分量。假设第 一步对x 坐标采用隐式格式，那么在x 方向窗口一边有： “蹦2 = “z 1 _ 1 1 2 。e x p ( i k ，出) ( 2 1 9 ) 其中，k ，可由上一小步的结果得到： “：“：，吐。= “；，- l 。“；，- 2 。= e x p ( i k ，出) ( 2 2 0 ) 对于窗口的另一边也有类似的关系。应用过程中，应令k ，的实部为正数，以 保证场是向外辐射的。 第- d , 步对y 采用隐式格式，同样可以得到： “。r + l ，= “。r + l 。一le x p ( i k ，a y ) ( 2 2 1 ) “删r + l ，2 “。r + l ，2 = “州r + l 。2 u 则r + l ，2 = e x p ( i k y 咖) ( 2 2 2 ) 图2 一l 是在同样条件下，即在其他的计算参数及波导参数完全一致的情况下 未处理边界条件得到的结果与使用透明边界条件得到的结果的比较。 ( a ) 是不处理边界条件时得到的场分布。由于在计算边界条件上没有消除辐 射，辐射场在边界上反射回来，产生寄生的场分布，所以在边界上又很多小波 峰，同时这些小波峰的存在也影响了整个波导中的场分布，使得场分布得不到 收敛： ( b ) 是用t b c 边界条件时得到的场分布，由于已经消除了反射，所以场分布 电子科技大学硕士学位论文 就比较平滑了，而且很快就收敛成了本征场分布从计算方法上分析，在边界 产生波的反射主要原因是计算窗口的有限截断引起的。t b c 由于本身的定义，已 经保证了场是向外辐射的，所以不会造成边界反射。 ( a ) 为处理边界条件下光波导中的场分布( b ) t b c 条件下光波导中的场分布 图2 - 1 非t b c 边界条件与t b c 边界条件的比较 综上所述，本论文在处理边界条件时，为了消除计算窗口的有限截断引起的 边界上波的反射，采用了简单高效的透明边界条件( t b c ) 加以处理，即在边界 处采用平面波近似的方法计算，使导模在对底，覆盖层的消逝场能量只能脱离 计算区，从而消除了反射。 电子科技大学硕士学位论文 第三章光分路器的仿真计算与设计 作者根据传统的有限差分光束传播法( f d _ b p m ) ，提出了一种新的基于近似 传播常数3 的f d b p m 。然后根据这种算法对两种结构的光分路器进行了仿真， 得到了优化的结构参数。最后介绍了光分路器模板的设计过程 3 1 改进的f d - b p m 算法 传统的f d _ b p m 算法由于采用了些粗略的近似，使应用这种算法所得到的 结果在精度上让人难以满意。在第二章对于第( 2 3 ) 式 e ( x ，y ：) = u ( x ，y ，z ) e x p ( i 刃t ) e x p ( i k ，z ) 的处理中，传统的f d b p m 算法采用了让 k ，= k 。打。的近似简化处理：但通过本文后面的对比分析会发现这种近似的计 算误差是比较大的。精确的算法是令七，= k ox ，。疗，是导模的模折射率，但要 在傍轴近似的标量h e l m h o l z 方程中直接确定”，是有难度的。不过考虑到在傍轴 近似条件下，u ( x ，y ，z ) 为z 的缓变函数，此时“_ 0 ，可将( 2 3 ) 式近似简化为 通用的标量波方程的一般形式 “。+ u + ( 七2 一砰) “= 0 对于( 3 1 ) 式，可以采用通用的有限差分格式作离散化处理。 一个特征值方程 ( 3 1 ) 化简后，可以得到 a u = 厅u( 3 - 2 ) a 是与横向折射率分布有关的系数矩阵。采用q r 方法伸1 结合反乘幂法d b 可 得到月，和u ，其中模折射率疗，是方程的特征值，易求得传播常数，= k ox ，。经 验证，该结果和传播常数的精确值相比误差小于1 0 。特征向量u 是模折射率以 对应的本征场解。在本文后面的论述中，将利用该本征场分布和模拟传播场计 算得到的输出场分布作比较，可较直观的反映出新方法的精确性。将求解得到 的k ，作为传播常数的近似解代入( 2 - a ) 式方程，后面的处理方法不变，可以参祥 第二章的相关内容这里就不再重复介绍。 3 2 模拟计算与比较 下面对传统的f d b p m 和改进的f d _ b p m 算法作相关的验证比较。以考察改进 1 4 电子科技大学硕士学位论文 算法的稳定性和精确性。先以条波导为例( 波导条宽为8 m ，长2 c m ”村睦= 1 5 ，a n = 0 0 0 5 ，”，= 1 5 0 3 7 ，五= 1 5 5 z m ) 。 如果将两种方法得到的输出场与本征场作比较，可得到下面两图： 图3 - 1 用传统f d _ b p m 得到的输出场 图3 - 2 用改进f d _ b p m 得到的输出场 和本征场的对比图和与本征场的对比图 从上面左图采用衬底折射率近似的传播常数计算得到的结果可以看出，归一 化场“3 分布曲线与本征场相比较，场曲线基本吻合一致，但在消逝场部分存在一 定的振荡，总体来看精度还是比较高的，这说明传统f d - b p m 算法采用这种近似 方法也有它的合理之处。而第二幅图采用改进的f d _ b p m 方法计算得到的归一化 场与本征场几乎完全吻合，说明改进的f db p m 算法的精度非常的高。 下面再以y 型分路器为例作进一步的验证：( 该器件的波导条宽8 _ m ，分叉 角l 度，长2 c m ，月* b = 1 5 ，a n = o 0 1 ，, ，= 1 5 0 8 3 ，五= 1 5 5 a c n ) 。以下是用两种 方法得到的输出场和本征场的对比图： 图3 3 用传统f d - b p m 得到的输出场 和本征场的对比图 ； 图3 - 4 用改进f d _ b p m 得到的输出场 与本征场的对比图 从左图同样可以看出，采用传统衬底折射率近似的方法在消逝场区由于近 。 一， 电子科技大学硕士学位论文 似误差产生了扳荡。丽在采用改进算法后得到的右图中，计算输出场与本征场 的吻合程度明显更高，中间少许的不一致是由于迭代误差引起的，这一点f db p m 算法本身较难克服，但可通过减小传输步长控制误差范围。 3 3 应用改进的f d j p m 仿真两种结构的光分路器 我们要讨论的两种分路器分别是直y 型分路器和上升正弦型分路器，上升正 弦的函数曲线是y = a 一口s i n o r b x ) ( b ：口为纵横比) ，它们的结构如下图 3 5 ，3 6 所示： 图3 - 5 直y 型分路器图3 6 上升正弦型分路器 两图中波导的条宽均是8