（应用数学专业论文）半导体器件中一类量子漂移扩散模型的分析.pdf

摘要 本文对半导体器件中两个量予潦移扩散模型傲了分析研究，具体包括 1 单援稳态濑予漂移扩敬模登 v j = 0 删撕- - e 2 n v ( 第= 五 - a 2 a v = n c 痒变换j = n v f , n = 户，定义泛蛹 e 6 ( p ) = s 2 l v 印+ 珞( 矿) + 萼l v 垂沪一c t 2 + p 2 a 垂e - - 矽。 然后利用非线性泛函最小值方法，借助s e h a u d e r 不动点定理以及最大值原理， 证明了模型弱解的存在性在此基础上，还证明了当p l a n k 常数一0 时，模型 鹣释收敛于经典的漂移扩散模型的艇 2 双祆量予潆移扩鼓模垄 n t = d i v ( n v f ) ，p t = d i v o v g ) ， 一2 垒錾+ 0 1 n ( ”) + y ：f 吨2 筹删n c p ) 矿地 一妒矿= 嚣一p 一秽f ) 作变换n = p 2 ，p = 一2 ，依据时间变量将双极量子漂移扩散模型半离散化， 把该模型的瞬时问题转化为一系列椭圆问题然后利厢不动点定理，诚明离 散问题解的存在性，并且做先验估计，证明离散问题锵的一致有界性最詹利 建嵌入定理，接爨嵩数阕题懿鬃皎藏予连续疑题的熬在魏基疆土，逐谖爨 了当p l a n k 常数一0 时泫模型翡半畜典极限 关键词：量子漂移扩散模型；稳态解；瞬时解；单极模擞；双极模型；先验估 计；不动点定理 中鏊分类号：o t 7 5 + 2 9 分类号a m s ( 2 0 0 0 ) ：3 5 j 6 5 ，3 5 k 5 5 i a b s t r a c t t w ok i n d so f q u a n t u md r i f t - d i f f u s i o nm o d e li ns e m i c o n d u c t o rd e v i c e sa r cd i s c u s s e d 1 t h et 1 1 1 i p o l a rs t a t i o n a r ym o d e l v j = 0 。 删+ v r 确v ( 等) = 五 - a 2 a v = r , 一c e m p l o yt r a n s f o r m a t i o n sj = n v f ， 一扩，a n dd i f i n e 酞砖= f f v p l 2 + 耐、七鼍 零孵一c i 。寺l 撬一m ， b a s e do nm a x i m m np r i n c i p l ea n dm i n i m i z a t i o np r o c e d u r e ，t h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n si s p r o v e nw i t hs c h a u d e rf i x e dp o i n ti t e r a t i o n f u r t h e r m o r e , t h es e m i c l a s s i c a ll i m i te _ 0 f r o m q u a n t u md r i f t - d i f f u s i o nm o d e l t ot h ec l a s s i c a ld r i f t - d i f f u s i o nm o d e li sd i s c u s s e d 2 t h eb i p o l a rq u a n t u md r i f t - d i f f u s i o nm o d e l n t = d i v ( n v f ) ，a = d i v ( p v c ) ， 名等堋( 卅y = f ， 喀2 等椭鼢y _ g ， 一天2 a v = 一p g ( e m p l o yt r a n s f o r m a t i o n s ，l = 矿，p 一2 a ni m p l i c i tt i m ed i s c r e t i z a t i o ni se m p l o y e d0 nt h e m o d e lb yab a c k w a r de u l a rs c h e m e ，s ot h ep r o b l e mi sc o n v e r t e dt oas e r i e so f p r o b l e m sa b o u tt h e e l l i p s ee q u a t i o n s w i t hf i x e d p o i n tt h e o r e m ，i ti sp r o v e dt h a tt h ed i s c r i t i z e ds y s t e mh a v es o l u t i o n s a te a c ht i m el e v e l t h e nap r i o r ie s t i m a t e sa r et a k e na n dt h eu n i f o r mb o u n d so ft h es o l u t i o n s a r ed e r i v e d f i n a l l y , t h ec o n v e r g e n c eo ft h es o l u t i o n si sp r o v e nw i t ht h ee m b e d d i n gt h e o r e m 。 f u r t h e r m o r e t h es e m i - c l a s s i c a ll i m i ts _ 0f r o mq u a n t u md r i f t - d i f f u s i o nm o d e lt ot h ec l a s s i c a l d r i f t d i f l u s i o nm o d e li sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：q u a n t u md r i f t 。d i f f u s i o nm o d e l ；s t a t i o n a r ys o l u t i o n s ；t r a n s i e n ts o l u t i o n s ；u n i p o l a r m o d e l ；b i p o l a rm o d e l ；ap r i o r ie s t i m a t e s ；f i x e d p o i n tt h e o r e m 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一，学位论文独剖憔声鹾 本人声明所黑交的学位论文是我个人_ 谯导师指导下进行的研究工作及取 褥懿戮究凌栗。尽我掰蠢，狳了文孛特裘麓泼嚣臻霸致游酶逮方癸，论交孛 不包禽其他人已经发表或撰写过的研究成聚，也不包含为获得东南犬学或其 它教育机构的学位戏证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 徽静矮蝣贡麸均已在论文孛终了鹈确懿说骥磐表示了骥慧 = 、美予学位论文傻糟授权蠹孽说明 签名；日期；型坐， 零甫大学、中曜科学技术倍息研究所、围家图书馆肖权保留本人所送交 学霞论文翡复窜诤联毫予文罄，霹浚栗矮影窜、缤露或其缝复裁手羧保存论 文本人电子文档的内容和纸鹰论文的内容稆一致除在保密期内的保密论 文外，允许论文被褥阅和借阅，可以公布( 包插刊登) 论文的全部或部分内容 论文的公蠢泡括魏蹩) 授权东麓大学磅究生琏办理 签名： 名：耳啉刨 第一章绪论 1 1 纛洋漂移扩散模型概况 随着科技进步特别是纳米披术的不断发展，半导体器件的设计变得越来 越耱缨，量子效应瞧愈发疆显嚣攫：，褒在对手半导俸方程戆骚究缀多都要缝 合量子现象考虑 总体上讲，爨乎半导体模趔可以分为两类：微观蹩子模型和窳观量子 摸型。微观模型包括量子动力紫方程，例如w i g n e r - ( p o i s s o n - ) f o k k e r - p l a n k 模型和 s c h r s d i n g c r - p o i s s o n 系统毒于徽溪模登静逮赛条件毙较豫魏理疆及其数篷篌菝 相当昂贵甚至在高维空间里是不可行的，所以目前研究成果都集中在宏观 模型摄子流体力学模型即为宏观量子模烈，可以由w i g n e r - b o l t z m a n n 方程或 s c h r 6 d i n g e r 方翟逶避麓宪露接导擞来，垂予这个模型不爨骞皴怒攘鍪惫述戆嚣 大缺陷，从而更易于研究 究金单极量子流体力学模缎有如下形式f 2o 】( 边界条件和初始条件省略) ： 魄一5 口d i v j = 0 ， g t 一扩d i v ( 掣) 一v r ( n ) - - n v ( v q ) ：一j e t - d i v ( d 2 等+ i z j + x v 刁“v ( v q ) + o f ， 。 一a 2 a v 一一g ( 。) 。 其中n 袭示电子密魇，表示电流密度，e 裟示能量密度，y 表示静电势。t 表示电子温度，张嫩积j p j 的第诅个元素为磊 能量密度由下式缭出； e = n ( 嚣+ 互3 下“( t - o ) 一妄蛐吣 且西一一老( 譬+ 2 3 n ( t 萨- t o ) ，、，q = e 2 筹模型中标浪化常数有：器件平均 塞峦祆发帮典壅长度豹跑率蠢髹礁亿戆蓄朗宠常数s ，d e b y e 长度 ，羲缀较薤时 间印，能量松弛时间，及外界濑魔口r ( n ) 表示压强函数，掺杂浓度c ( x ) 模拟的 则是网定背景电荷热传导项一一v t 来自于封闭条件 农舆捧情提了，我搬也可以哭研究壶这个完整的模塑接导出约一些筒 亿量子流体力学模溅在等温或等熵酶债况下，温度只依赖于粒予密度，郎 t = t ( n ) = ，1 1 ，等温时7 = i 我们可以不考虑能量项，从而得到简化的量 东南大学碛士攀馥论文第一章缝谂 2 子流体力学模溅( q h d ) ： 毗铲d i v d ；0 ， 渡一j 2 d 呱孚) 一v 咖m v ( v 划一一只 o a 2 ) 一妒a v = # g f 善， 进一步， 漂移扩散方程 在( 1 1 2 ) 中作变换一t 舻，并且令5 0 ，就可以得到下面的蘸子 n t v j = 0 瓣v + v r ( 妒鼬筹 1 1 t 3 ) _ a 2 a v = n 一氆 对于粒子的流动，我们考虑其势流形式，即假设粒子流量密度可以写成 i ，= n v f ，其中f 为量子拟费米势这就意味着粒予的流动是无旋的滕强函 数r ( n ) 只与粒子密度和外界湿度有奖等温对，r ( 札) 一o n ；等熵时，r ( 珏) 一# ， 萼l 透薅丞数 | l ( 。) ；：，“型d 。， ( “) 2 ；j i 半如， 则有v r ( n ) = n v ( o h ( n ) ) 并且有，等濑时， ( n ) = i nn ；等熵时，| i l ( n ) = ；七( 矿 1 ) 依照上述讨谂，方程组( 1 t 。3 ) w 以改写为( 已令积分常数为零，并取外界 激度0 = 1 ) n t = v ( n v f ) ， f = y 十 ( 旷e 2 等， ( 1 - 1 4 ) _ a 2 a v 。n c 把 l 。1 1 3 ) 转识为瞳1 4 ) ，其最大貔优点就在于降低了方程组中豹最麓微分 次数。莰秀也裁辩低了解决难度，方便我霞爵宠。 双极量子漂移扩散模型为f 2 l n t = v 厶，- - p t = v j 口， 勰y 姗( 竹) - e 2 n v ( 等) l | l - 5 ) 尹v y v r 国十毒2 p 审( 垒v 善n 竺) = 西， - a 2 a v = 一p e 扛) 垄壅奎叁查望；耋! ! 嫩塞：= 篓三塞堡矍 3 其中p 分别袭看专电子浓度和空穴浓度，厶，易分别袭示电子电流密度和空穴 电流密度，f 袭承电子的有效质擞芍空穴的有效质檄乏比 类似于对 l _ 1 3 ) 鲍转化，令如一n v f , 易= 一p v g ，其中只g 为量子拟赞米 势我褒可以褥裁 m = d i v ( n v f ) ， 魏= d i v ( p v g ) ， 。等( 卅y = f 吨2 筹+ 触) 一g ， o 6 - a 2 a v = n 一尹g f 站。 1 2 圉髓已有的工作 关于量予漂移扩散模型，a j i i n g e l ；穆1r p i n n a u 在 2 5 中讨论了一绦鹬檄模 型耱对解翦存农性，嚣鑫又在【2 翻审接广囊7 三维以斑豹情形 在1 2 6 孛，俸者铮辩模垄 7 t t = d i v ( n v 乒i ) q 2 等删咖) + y = e - a 2 a v ；n 一秽( j ， 托( z ，o j = 站o ( 茹) ，i 矬鸵， l + 2 1 ) ”2 k ，f = 鼢，y = 场! 蟹d ， 瓦o n ：瓦o v ：i o f 。oo n r ， z 鸯幸粪浚用 丽。丽3 两刈竺1 1 ， 一“1 令尹= 再，如一佤，p o = n 函势露魏下覆没 ( a d q c r 爿f = l ，2 ，3 ) 是寿莽酝域，勰c 1 一，为r 上单位补法向蟹 撇是f d 和r 的不相交并，f d 怒半导体器件的欧姆联结，r 表示边界的绝 缘部分，场的n 一1 维l e b e s g u e 测艨大于0 ，r 是闭麟域 垄蜜态堂堡主堂堡墼塞 篁三塞冀篁 4 a 2 ) 翅逸基条转涨是 肋矾n ”掣肋 。，鲁一。n r 鼢c 2 , a ( 甄) ，f d 一f f d ，v d c 2 ，。( n ) ， p o h 2 ( n ) ，e 氛妒，8 s 霹， 其中n ( 0 ，j 1 ) ) 如果8 秽o 】p 灏) 筘( 0 ，1 ) ，n 垒 0 ，则孝在常数k 一嚣( n ，r d ，r ，8 ， 国 取使褥辩于任意f c o , 8 ( 碜，u d c 2 , 9 瓦) ，方稷 d i v ( n v ) 一，“一u d 础( n u r s ) 存在麓簦萨器霹滚足 i g ：4 ( 丽) k ( i l u d i i c 口，p ( 确+ i i f i l c 叩( 丽) ) 锹据辩窝变量将l + 2 1 ) 半凑数识，转纯秀一系襄攥疆超题 科1 靠2 一虞一1 ) = d i v ( p 2 k v f k ) ， _ 等+ 0 1 n ( 确+ 玩；f k ， 一妒磙= 瑶一 ，f 1 2 萄 p k = 、口五，f k = f d ，一v do n f d ， 莨o p k ：婴。禁：。 魏融两 “ 然后利用s c h a u d c r 不动点定理证明了；若( a 1 ) - ( a 3 ) 成立，则( 1 2 2 ) 存在解p k ，f k ，v k c 2 , a ( 丽) ，且在n 中p k c k 0 农坟“嘲，蠢1 上令矿一璐，对手l 。2 1 ) 夔近觳鼹( 矿，f ，v 7 ) ，影者券先验 估计褥出结论：若( a 1 ) ( a 3 ) 成立，则( p r ，f r ，v ) 存在收敛予列( 仍记为( 矿，f 7 ，v 7 ) ) ， 使得嬲r 一0 时 妒o 妒 p op f 7 _ f y _ 矿 w e a k l yi nl 2 ( o ，f ；嚣2 f 氆) s t r o n g l yi nc o o ，t ；c o , a ( 稻) s t r o n g l yi nc o ( o ，t ；日1 ( q ) ) s t r o n g l yi nc o ( o ，t ；c 2 , a ( 弼) 壅查奎兰堡圭堂璧撬塞 塞三耋矍鎏 5 其中( p ，f v ) 是( 1 2 1 ) 的弱解 文献【2 6 】采用的方法很有技巧性，可惜条件较为严格 目前对于双极模型的研究则较少n b a b d a l l a h 鞠a u n t e r r e i t e r 分攒了含 垒凌复合矮懿双极爨子瀑移扩散镶慧懿稳态情形i l l ，獒搭模壅鸯 矗= t l , , , n v f , 矗= 一踟p v g i ， f = y 州小s 2 等， g y + 一 e 2 筹，( 1 2 国 v j = 蜀毫珏，彩怒( 曩g ) ， v j r o ( m p ) r 1 ( f g ) ， 一a 2 a v = 一p a 英孛1 2 0 ，r l 为生成簸合顼 文献嘲绘掰了模壅1 2 3 ) 在一定条律下弱褥存在经貔详缰涯臻。 本文的烹嚣工作之一就是把双极量子漂移扩散横氆的稳态情形攘广副瞬 时情形 l 。3 本文工作概况 本文主要磷突攀穰量子漂移扩散篌登黪稳态鼹晕拜救板量子漂移扩散挨鳖 的瞬时解 第二章研究单极量子漂移扩散模型稳态解的存磁性针对方程组( 旗中已 在( 1 1 4 ) 中令何一力 v 矿v f ) 一0 ， 2 a p = p ( v 十a ( 矿) 一f ， - a 2 a v p 2 一a 定义泛函 e d p ) = 附v p + f+ 譬加圣铲一c t 2 十媲一黟 然后帮露菲线谯泛函最小值方法，储助s c h a u d e r 不魂赢定理以及最大德联璞， 证明了模型弱解的存在性 束南大学硕学豫论文 第一章缝论 6 在此基础上，还证明了当p l a n k 常数一0 时，模融的解收敛于缀熊的漂 移扩散模型的解 第三章我们讨论了双极量子瀑移扩散模型的瓣时解，在等湿豹条 牛下分 耩帮讨论该模黧农舞啄馕嚣下织的存在往。吴薅方稷缀淇孛已在臻1 妨申令 办= p ，西= 盯) 如下： ( 矿) t = d i v ( p 2 v f ) ，( 0 2 ) 产d i v ( a 2 v g ) 。等+ 0 t n ( 矿) + v = 只 唯2 等+ 0 1 如2 ) 一v = g ， 一) 2 a v = 矿一f 2 一g ( z ) 针对这个问题，我们通过以f 几个步骤来解决： 1 首先依据时间变量将双极嫩子漂移扩散模型举离散化，把该模烈的瞬 时弱题转化为热下的一系剜糖薅瓣鼷； 去( 簇一虞一1 ) = d i v ( p l v f k ) ， 去( a 2 一扩= d i v 扣2 v f k ) ， 一e 2 垒+ 0 1 n ( 建) + 皈：民， p k 一2 垒曼+ 0 1 n 砖) 一磙；g k ， a k 一a 2 峨一壤一靠一g ( z ) 2 利用不动点定理，讨论离散问题解的存在性 3 季# 先验镳诗，诞明离散闻鼷勰的一致有雾性掰劐结论 l 矿| | 三( 目，) + | 拶7 | | 工( 嚣- ) 十t i v 7 l 五f 辩t ) + | | ，v f 7 l 2 ( 2 ) + l 盯7 v g 彳i i l z ( 舻) c ， 然后根据嵌入定理，由有界性推出收敛性，从而证明离散问题的解收教于连 续问题的解 第二章单极量子漂移扩散模型稳态解的存在性 2 1 引言 蠡准毙豹纂檄量子漂移扩数摸懋为 ”f v t j = 0 ， 删+ v r m ) - e 2 n v ( 等 ( 2 - “) - - a 2 a v ；n a 其中未知函数为；电子浓度电溅密度t 静电势y 豢参数，a 分别代袋标准 琵鳕p l a n c k 豢数，弦准铯夔d e b y e 长爱r ( n ) 是压强舔数，e 弱是掺杂浓麓 设qcr ( 一1 ，2 ，3 ) 是有界酝域，0 f l c o , 1 假定撇是p d 和h 的不相 交并，r d 是半姆体器件的欧姆联络，i n 表示边界的绝缘部分，r d 的n 一1 维l e b e s g u e 测度大于0 ，r , n 是闭区域 本章讨论豫态模垄 飞3 = 0 。3 = n v f ， f = y 州旷s 2 等， ( 2 1 2 ) - - , x 2 a v n c 边雾条箨为 # = n d ，v v v ，f = 场o n p p ， 尝：娑。娑：0 。 8 矾趴 ” 其中1 为r _ 上单位外法向量 为了方便研究，本章假定： ( a 1 ；# d ，；幻，j 汤，c l 。( g t ) i 3 h 1 ( q ，i n f n o o ； ( a 2 ) 熵酗数 ( s ) ( s 0 ) 单诞递增，局部l i p s c h i t z 遂续，并置满足 。1 i m o + ( s ) ；一o 。，。里嚣。 ( 8 ) 4 十。 7 奎查奎冀塑主兰堡篁塞 篁三塞整堡兰兰墨矍篓照堡型塞童堡璧您壅些8 2 2 主要结论 引进变量p = 而，( 2 1 2 ) 可化为 v ( p 2 v 妁= 0 ， 2 a 尹：反矿+ 是少) 一f ， f 2 2 ，) 一妒v p 2 一d 边界条件为 矿2 船，v = v d ，f = f d 雌勋 ( 2 2 2 ) _ o p ：彳o v ；r o f ：0 o nr ”7 狮却却 一 萁中p d 一西 定理2 2 1 若1 ) ，( a 2 ) 成立，则2 2 1 ) ，( 2 。2 2 ) 存a t q - f , ，v , f 畦乞”( n 露1 ( 2 囊定理的证明 对佟意，h l ( f 1 ) 。设垂l o 。( a ) m h l ( 啦怒方程- a 2 a 蚤一，满足逡界条俘 圣：oo nr d 箬一o0 n f 懿睡一鹬定义垂溺。零，壹定义耪帮垂翻关予，是线毪欧磐 设母。工o o ( q ) n 1 ( n ) 是方稷一吼= o 满足边界条件 垂。：v d 一 警一o o nr n 的唯一躲 界条件 取定p 驴( n ) ，剜y 一垂函2 一g l + 甄是方程一a z a v = 矿一秽满足边 矿：场。n r 。，两o v o o nr 懿唯一解。 令b 。 ，l 2 ( 1 2 ) l i n f e d ，s u p f 口 ，取定f b ，对侄意p l 2 ( n ) ，定义 琢：s 。互| 可妇十互蕊( 矿) 妇+ 萼互 v 垂扩。铲d 。+ 2 圣e d x - - f n f 矿d z 其中日 ( 8 ) ；一 ，h 6 ( u ) i ；a x h ( t h 6 ( u ) d u m a x h ( u ) ， ( d ) j 。 其中曰d ( 8 ) ； ，h 6 ( u ) = ， u ) * j 1 设m 一( q ) n h i ( n ) 满足m p d0 1 1 r d ，您义z = 班+ h o b ( n ) 叁查查冀望圭兰堡篁塞萋三塞整垫曼至塞堡基墼堡型塞奎堡塑囊童竺 9 霉| 理2 3 1 给定f 照若珞泐鑫上存在最小经点鼬记v = 零驴一q + 垂。列 出是方糕9 2 p = p ( v 十( 矿) 一f ) 满足边器条件 p = p d0 1 1 r d宴：0 。r 们 鲢弱鼹 证明；对任意妒硼( n ) ，p z ，s e 鼗满足p + s 妒x ，有 毋( p + s 妒) 一e 5 ( p ) 一2 ( 互l v p 十s 审妒 2 d x - 上l 审毋d 0 + z ( 魏+ s 轳囝一舔痨2 ) d 嚣 + 等“v m 【( p + s 妒) 2 d x c l l 2 一i v 母扩一q 1 2 ) d 霹 + ( 互+ s 谚2 圣e d z z 矿圣e d 。) + ( 互f + s 妒) 2 d 茹一互f 矿d 0 一i l + 屯+ 3 十厶+ 5 由微分中值定理可得 i t = ：嘲嗽 利用分部积分以及垂【，】关予 热= 萼z 零i ( p + s 妒严一q 萼z 绯m _ q ( 峄一譬) 妇 + 萼上嘞卅鳓芝曲 = 萼( z 辔伊一q 等妇+ 如) ) + 萼上圣伊 = 萼( 刍z 由驴一g p s t p d x + o ( s ) ) = 27 圣铲e 】尹s ￥，d 。+ o ( $ ) j n 简单计算，可得 矗= 272 v p s v 妒d x 十o ( 8 ) j n l t = b 沁e d x + o ( 心 拓= f 2 p s c p f d x + o ( s ) g 2 p s t p + 。s 2 9 ：2 d 霉 奎堕垄堂塑圭兰篁垒塞苎三塞整堡! 兰曼堡篓墼堡型堡奎堡塑建塞堡 1 0 综纛霹褥 懿( p + s 妒) 一岛( 力= 2 ( 上s 2 v p s v 硼z + 五p ( h 6 + v - f ) s z ) + 如) 若挪是最加在z 上的最小德点，刚当s 一0 时 骂5 ( p # 十s 妒) 一e d ( p d ) = 。( 上s 2 v 舶s v 妒d 茹+ 上椰( k 十v 一固s 州z ) 十。( s ) 。 分鬃令s o + ，s 一0 一，掰褥 上s 2 v p v 州茹+ 上p ( h 6 + v - f ) 硼z = o 雩l 瑾褥诞 引理2 3 2 僧凸t - 等铷对任意s ( 0 ，1 ) ，p l ，p 2 l 2 ( q ) ，当l p l l 阮i 时，下面的不 等式恒成立： 琢# 瘥+ ( 1 一s ) 瘗) s e 6 ( m ) + ( 1 一s ) 琢或 证明：令p = 、s 店十( 1 一s ) 厦，则有 v p = s ，p 。w 。p 1 + ( t - s ，) 。m 。v 。m p 因此有 s i v m l 2 + l s ) i v 硝t | 等v 时与竽v 龙| 2 = 丛l 吾丝v m l 2 + 丛蔓吾堕蕉i v m | 2 - 2 s ( 1 一s ) p ，l p 2 v p l v m = s ( 1 - s ) l 譬- v 圹譬v 艘| 2 独 由此可褥 l 审州2 se v p l 】2 + ( 1 一s ) b v m l 2 ， 下霜 差耀对强感x 0 q ，臻( 矿( 粕) ) 臻( 废( 鞠) ) + 舔溺粕) ) i 首先证明 z 9 2 2 。 a ( “) d u 、sf 1 9 7 _ 。( u ) d ”+ ( 1 一s ) 9 5 ”蚝( “) d u 壅堕态冀堡圭兰堡垒塞 苎三塞整堡曼兰堡堡篓墼堡型塞查璧戆塞壅篁 ll 其霉谖骥 | 恶h a ( u ) d u 啦! 曲 慧h a ( u ) d u f( 一s ) 卜 j 店( z o )j 砖l # o ) 不妨假设p 1 ( 功) 舶( z o ) ，根据微分中值定邂，存在f 1e ( 砖( z o ) ，矿( z o ) ) ， 矿( 。) ，砖( 孙臻捷褥 ，鹾( 知 ( 1 8 ) fh 6 ( u ) d u j 衍( ) = ( 1 一s ) ( p 2 ( x o ) 一叠黝) ) 瓠( 1 ) + ( 1 一s ) 建( x o ) 一p 2 ( z 。) ) 幻( 勃) ( 1 8 ) ( 鹰( x o ) 一者( x o ) ) h d 6 ) = ( 矿( z o ) 一者【z o ) ) h 6 ( 1 ) t p ：( x o ) = | ( u ) d u j 衍( 翱) 爵幽l m l l p 2 | t 即可得到协( 矿( 。o ) ) o j 使得对任意6 ( o ，a o ) ， ( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 存在解峙l o o ( n ) n h l ( n ) ，廊h 1 ( n ) ，且满足加 cc 0 与6 无 美。 证明：设 ( s o ) = 0 ，由熵函数联s ) 的单调性可以知道，对任意6 ( o ，s o ) 有 ，矿 fh 6 ( u ) d u 0 。 从薅可以褥劐 h 6 ( p 2 ) = j ( 矿 d ( “) d u z ” 6 ( “) d “( s 。一1 ) 6 ( 1 ) ( s 。一1 ) ( 1 ) 嚣鲍蠹e 6 ( p ) 豹定义霹麓，舔农z 主美擎5 一致露下界苁蘑有 i p 6 1 1 h ( n ) e l ， c 1 0 与6 觅关 由弦3 。1 ) 豹第二个方程即可得到l l 硌j l 静f n ) c 2 ，c 2 0 舄6 无关 对( 2 3 1 ) 的第一个方程麓洒一c ) 一= m i n 0 ，m c ) ( c 0 符怒，虽满鼹 c i n f p d ) 做试验函数，有 s 2j i v ( p 6 一c ) 一| 2 d x = p 6 ( v 6 + k ( 砖) 一f ) ( 一( 椰c ) 一) d 墨 fm ( 十( c 2 ) f ) ( 一( 肼一c ) 一) d ， 由差南s ) = 一。，鄄聱存在e 。，酌 岛 姨当g 5 鹣薅 s 2 i v ( p a c ) 一1 2 d x 0 壅堕查堂壁圭兰堡垒塞堡三塞苎堡! 至墨堡篓墼堡型塑奎堡鲤壅壅竺 1 3 蠹筑可翔，当0 6 南畦，p 6 e 驭子= 瞳8 岛， ，烈当5 q 能： n 时，f y 一 ( p 2 ) 0 使得对僚意 o 裔蛎k 殇在”( n ) 上关予s 一致有界 a 4 ) 当一0 时，略一 r t d ，埯一场，殇一勤在h 1 n ) 上强收敛。 定瑾2 4 1 若溶1 ) 一( 翩) 威立，戴下列方程缀 v ( n v f ) = 0 ， f v + 1 n ( n ) ， 0 ，m c o ) ，这一点是可以做到的，作变 换f f + a ，g h g + a ，v h 矿+ 8 即可 h 3 ) f d ，g d ，翰在勋酶每今部分关予茹鄂是常数。 定义3 1 1 ( p ，m ， e v ) 称为( 3 1 4 ) 一( 3 1 1 1 ) 的解，如果 ( 1 ) p ，仉f g v l 2 ( o ，t ；h 1 ( q ) ) ，并且满足初始条件和边界条件( 3 1 9 ) 一 3 1 。1 1 ) ? ( 2 ) 令q r = 0 ( o ，。对于任意带( q r ) ，妒c 铲( 螂考 | p 2 c k t d x d t ；| p 2 v f v 4 x t x d t 。 f ，a 2 t d ：r d t 一7a 2 v g v c d x d t ， q rs 2 v p v 州州t + 乞，矽l n ( 矿) 蛐z d t + z q r v p 阳z d t 一厶，p 删z d t ，( 3 1 1 2 ) f q t e 2 v a v 觯z 船+ 厶甜t 矬 ) 粥础+ 厶粥础一厶，掣蛾 a 2 v v v t p d x = ( p 2 一2 c p ) ) 移d 飘 我靛得到的主凝结论为： 定理3 1 1 假定谬1 ) ( 牙3 ) 成立，戴当0 0 充分夫醇，( 3 1 ，4 一( 3 1 1 1 ) 存在解 3 2 解的存在性证明 3 2 1 半嵩鼗纯 莆先把原问磁关于时间t 半离散化分割时间段 o ，研，取分割点 “： = 0 ，1 ，) ，0 一t o t l 3 夔褥霉。w 1 粕( q ) ，扶两v k w 1 釉) 蔺理可涯( 3 2 8 ) 存在解民，g k w 1 巾t ) ( p l 是莱个火于3 的常数) 。取，p t 中最小的一个即可完成证明 引理3 2 2 假设似1 ) 一( a 3 ) 成立对任意k 1 2 一 ，筹舰“o k 一1 h 1 ( n ) n 。q ) ，鬟唾当# 0 竞分大舞，方程组( 3 2 。1 ) 一( 3 2 ，7 ；存在解艇，o k h 1 ( f 1 ) n 三o o ( n ) ，张，g k ，磙g ( 话) 证明：令x 垒 ，l 2 ( f 1 ) ：m ，mi n q ) ，m ，m 是两个待定的正常数给定 ，“x ，讨论方爨筑 d i v ( w 2 v 最) = ( 2 一虞一1 ) ， ( 3 2 1 0 ) d i v ( u 2 v 瓯) = 当( t 2 一1 ) ， ( 3 2 11 ) e a a p = p ( 0 1 n ( w 2 ) + 砭一最) ，3 2 ，1 2 ) e 2 七= 盯七( 口l n ( u 2 ) + v k g ) ，( 3 2 1 3 ) 一a 2 a 嫉= w 2 一u 2 一c ( z ) 3 知w 1 ，”( n ) 可嵌入到e ( 丽) ，从而最，瓯，g ( 两 垄冀叁堂堡圭堂竺篁塞 篡兰塞垩堡兰萋堡垒竺墼堡翼墼堡堕堡 2 1 下嚣分两步寒诞瞑； 第一爹 设p k h 1 ( f 1 ) 魁( 3 2 1 2 ) 满足边界条件 触= 细幼o a f 。，警= o o n r ， 的唯一解 取m 1 孵p dc x ，t k ) ，对( 3 2 1 2 ) 用( p k m 1 ) 一= r a i n ( 0 ，p k m 1 ) 作试验函数，有 l v 融一m t ) 一1 2 d = 7p k ( 一( p k m 1 ) 一) ( 0 1 n ( w 2 ) + 礁f k ) d z f 3 2 1 5 ) j f lj f l 则由欺，皈c ( f i ) w 知，当0 0 充分大时，( 3 2 1 5 ) 右端小于等于0 ，从而有 p k m 1 类似施，取螈s u p p d ( x ，t 蠹) ，瓣( 3 2 1 2 ) 臻f p k m 1 ) + 一m a x ( 0 ，p k 一溉) 作试 验函数，有 互 v ( p k 一撼翔2 d xf a p k ( p k m i ) + 壤一琢- - 0 1 n ( 舻) ) 妇， ( 3 f 2 1 婶 则由段，k g ( 丽) w 知，当0 0 充分大时，( 3 2 1 6 ) 右端小于等于o ，从而有 p k m 霆毽霹毅臻定靴，m 2 ，笈褥瓣3 2 。1 3 ) 劳黧漩廷边秀条终 驴a 。( x , t k ) 。nr d ，等= oo n r m 的唯一辩f f k 趣( ，满足m 2 o k m 2 。 第二梦 利用不动点定理完成证明 令m = r a i n m 1 ，m 2 ，m = m a x m 1 ， 定义映射 ，：x 2 一x 2 ，( ，“) = p k ，懿) 。 由第一步可以知谴，该定义是合理的 由，n 在2 ( q ) 上的有界髅可以得到只g 在h 1 ( n ) 上的有界性，因此p k ，钆 在封1 ( 妨上有器，褥鑫嚣1 f 磷紧嵌入到l 2 ( f 1 ) 霹浚看鑫，? 是紧浃瓣 我们可以把映射t 看作两个映射的乘积；t = 噩o 妁其中 t 1 ( 甜，“) = 汹，“，k e g ) ，乃( w ，“，k 只g ) 一( m ，d 曲 奎童查慧至圭兰堡壅奎 菱三塞鍪墼兰兰曼冀篓墼塞冀鳖墅墼丝 2 2 噩，憝的遴续性易诞，因戴r 连续剩用s c h a u d e r 不动点定理，即知t 存在 不动点从而( 3 2 d - o 2 j 7 ) 存在解, o k ，h 1 ) n 三”) ，屁，吼，磙c ( - ) 引耀褥证。 利用引理( 3 2 2 ) ，我们可以定义原问题的避似勰 定义3 2 1 对任意t ( 瑶- 1 ，】，令 矿眩) = 璐z ) ，眩t ) 一靠z ) t 溉 ) 一磊( 嚣) ，萨( ，t ) = g k 嚣x v 7 编螃= 壤( 。) 剐( p r ，f 7 ，g r ，v 7 ) 就是( 3 1 4 ) ( 3 1 i i ) 的近似解 3 2 2 近似解的一致肖界性 孽l 理3 2 3 | 3 3 ( g r o n w a u ；l ：等旬若非蠡函数a ( o 在i o ，钧土连续可窳， o ) 一键 且对t 【0 ，卅，臂 d a 夏( 一t ) 以 ) + 嚣( ) ，2 1 7 ) 其中c 0 为常数，b ( t )