（应用数学专业论文）一类随机微分方程的稳定性分析.pdf

摘要 摘要 本文主要研究了随机时滞h o p f i e l d 神经网络和随机时滞细胞神经网络的指数 稳定性。全文共分为四章。 第一章介绍了随机微分方程的基本概念，包括b r o w n 运动和埘积分的概念， 髓公式，随机微分方程稳定性的概念，以及随机微分方程稳定性的研究方法。 第二章对随机时滞h o p f i e l d 神经网络的稳定性作了系统的研究。利用l y a p u n o v 函数，且6 公式，d i n i 微分以及不等式分析的方法研究了系统的1 指数稳定性 和均方指数稳定性，并利用b u r l ( 1 l o l d e r i d a v i d s g u n d y 不等式以及b o r e l 。c a n t e l l j 引理得到了系统的几乎必然指数稳定性。 第三章对随机时滞细胞神经网络( s d c n n ) 的指数稳定性作了研究。首先利用 与第二章类似的方法对系统的l 一指数稳定性进行了讨论，并将鲁棒控制中常用的 线性矩阵不等式( l m i ) 方法应用到随机微分方程的稳定性分析中，所得到的均方指 数稳定性的条件是时滞细胞神经网络( d c n n ) 全局渐进稳定性条件的推广。 由于随机时滞h o 硼e l d 神经网络和随机时滞细胞神经网络都是典型的随机时 滞r e c u r r 姐t 神经网络，因此第四章利用与第三章类似的方法，得到了随机时滞 r e c u r r e n t 神经网络的均方指数稳定性条件。通过随机时滞r e c u r r e n t 神经网络的 稳定性条件，可以很容易得到随机时滞 i o p 丘e l d 神经网络和随机时滞细胞神经网 络的稳定性。 关键词：脚公式，随机时滞h o p f i e l d 神经网络，随机时滞细胞神经网络，均方 指数稳定性，几乎必然指数稳定性 电子科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h es t a b i l 姆o fs t o c h a s t i cd e l y e dh o p f i e l dn e u r a ln e n o r k s a n ds t o c h a s t i cd e l a y e dc e l i u l a rn e u r a ln e 慨r o r k s t h em e s i sc o n s i s t so f f o u rc h 印t e r s c h a p e r1g i v e sa ni m m d u c t i o nt os o m eb a s i cc d n c e p t so fs t o c h a s t i c d i 疗e r e n t - i a le q u 砸o n s i ta l s oi n 仃o d u c e ss o m ei n v e s t i g a t i o nm e t h o d so n 也es t a b i l 吟a n a l - y s i so fs t o c h a s t i cd i 疏r e j l d a 量e q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，t h es t a b i l 蚵f o rs t o c h a s t i cd e l y e dh o p 矗e l dn e u m ln e m o r k si ss n l d i e d b yl y a p u n o vf l l n c t i o n ，脚sf o m u l a ，b u d 出o l d e r _ d a v i d s - g u n d yi n e q u a l i t ya 1 1 db o r e l - c a m e l i s1 e m m a ，s o m en c wc r i t e r i ao f m e1 一e x p o n e n 廿a ls t a b i l i t y m e a l ls q u a r ee x p o n e n t 试s t a b i l i t ya r l da l m o s ts u r e 坶e x p o n e n t i a ls t a b m t yf o r 也es y s t e ma r eo b t a i n e d c h a p t e r3s 托d i e st h eo x p o n e n t i a ls t a b i i 匆s t o c h a s t i cd o l a y e dc e j l u 】a rn e 蕊ln 略 w o r k s f i s u y ，t i l e1 一e x p o n e 蚯a ls t a b i l 埘f o rt h es y s 妇ni si n v e s t i g a t e dw i t ht kf 孤i l i a r m e t l l o da si nc h 印t e r2 t h el i n e a rm a t r i xe q u a l i t y ( u ) m e t h o d ，f r e q u e n t l yu s e di n r o b u s tc o n 仃d 1 ，i sa p p l i e dt ot h es t a b i l i t ya n a l y s i so fg t o c h a s t i cd i 仃e r e n t i a le q u a t i o n s ， a n ds o m eu s e m ls t a b i l “yc r i t e r i a 甜ec o n c l u d e dv i al m im e t h o d s i n c et h eh o p 如e 】dn e u r a ld e t w o r k s8 】1 dc e m 】1 a rn e u r a 】n e t w o r k sa r er e p r e s e 力1 a t i v e r e c u e n tn e u r a in e t 、v o r k s ，i nc h a p t e r4 ，t h es 协b i l 够o f 山es t o c h a s t i cd e l a y e dr e c u r r e n t n e u r a ln e t w o r k si si n v e s t i g a t e dw i t l lt h ef a m i l i a rm e m o da si nc h a p t e r3 a c c o f d i n gt o t h es t a b i l i t yc r i t e r i ao b t a i n e di nt h i sc h a p t e r ，t 1 1 es t a b i l i t yf o rs t o c h a s t i cd e l y e dh o p f i e l d n e u r a ln e t w o r k sa n ds t o c h a s t i cd e l a y e dc e h u l a rn e u r a ln e 讯，o r k sc a nb ee a s i l yd e r i v e d k 仍刑o r d ： 肺sf b m m l a ，s t o c h a s t i cd e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t 、o r k ，s t o c h a s t i c d e i a y e dc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k ，m e a l ls q u a r ee x p o n e r n i a ls t a b i l i t y ， a l m o s ts u 转e x p o n e n t i a l 虹b i l i 哆 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：辩 日期：。l 一纷7 月7 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：盘导师签名：垒左童丝 日期：如6 年f 月7 日 引言 引言 稳定性的概念曾被拉普拉斯、拉格朗日、马克斯威尔、汤姆逊和德特、庞加 莱等人采用过，但都没有精确的数学定义。达朗贝尔、拉格朗日、马克斯威尔、 魏施涅格特斯基、茹可夫斯基及斯图多等采用过一次近似方法研究稳定性，但也 没有从数学上严格证明其合理性。直到1 8 9 2 年俄国数学力学家李雅普诺夫院士在 他著名的博士论文“运动稳定性的一般性问题”中，将p e a l l o ，b e n d i x s o n 和d a r b o u 】【 等人建立的微分方程解对初值和参数的连续依赖性这一概念，由自变量( 时间) 在 有限区间上变化拓宽到无穷区间上，从而给出了运动稳定性严格、精确的数学定 义，一举奠定了稳定性理论的基础。 李雅普诺夫首创的运动稳定性理论受到了各国学者的高度重视，苏联控制论 专家列托夫、数学家马尔金先后在他们的专著序言中说到：“无论现代控制以何种 方法描述，总是建立在李雅普诺夫运动稳定性的牢固基础上”，美国数学家l a s a l i e 也说过：“稳定性理论在吸引着全世界数学家的注意，李雅普诺夫直接法得到了工 程师们的广泛赞赏，稳定性理论在美国正迅速变成训练控制论方面的工程师们的 一个标准部分”。我国著名科学家钱学森、宋健在工程控制论中写到：“对于 控制系统的第一个要求是稳定性，从物理意义上讲，就是要求控制系统能稳妥地 保持预定的工作状况，在各种不利因素的影响下不至于动摇不定，不昕指挥” 这些足以说明了稳定性具有普遍意义，事实上，在经典控制中，稳定性是唯一的 要求，即使在现代控制中，它仍然是主要的性能指标。 近十余年来，人工神经网络的理论和应用的研究，形成了世界性的热潮，其 中稳定性扮演着重要的角色，利用动力系统的吸引子和电子电路的实现来完成某 些智能优化计算、联想记忆、学习算法。从而，对稳定性理论感兴趣的已远远不 止数学、力学、自动控制专业的学者。 随着科学技术的飞速发展，要求对实际问题的描述越来越精确，随机因素对 系统的影响日益受到人们的重视，于是对某些实际过程的分析也就有必要从通常 的确定性观点转到随机观点，从而对这些实际系统的描述，也就自然地从确定性 的常微分方程转到随机常微分方程，简称随机微分方程( r a n d o md i 虢r e n t i a l e q u a t i o n s ) 。自伊藤于1 9 6 1 年首次发表“论随机微分方程”一文以来，作为概率 论与常微分方程相结合发展而成的随机微分方程这边缘学科，已经得到了蓬勃 电子科技大学硕士学位论文 发展，并得到了广大理论科学工作者和实际应用科技人员的重视，特别是近十年来 已发展成为概率论中一个重要分支。当前，随机微分方程已飞速、广泛地渗透于 自然科学、工程技术的很多领域中，例如分子物理学、原子物理学、化学动力学、 固态扩展、结构稳定性和群体遗传学等多个方面。在这一边缘领域中，随机微分 方程稳定性理论，在确定性常微分方程稳定性理论与随机过程理论的基础上发展 特别迅猛，而且应用也越来越广泛。 对于随机微分方程的稳定性理论的研究与应用已经越来越受到人们的重视， 但是由于其理论严谨，基础深厚，使得人们在学习、掌握、推广和应用这门学科 时受到了一定的限制，这门学科在国内的发展也还是近几年的事情。因此，本文 将对随机微分方程稳定性的理论作简单的介绍，对一些典型的随机微分方程模型 的稳定性作一些讨论，使得大家对这门新兴学科有更多的认识，也便于进行进一 步的研究。 第一章随机微分方程的稳定性问题 第一章随机微分方程的稳定性问题 随机微分方程是概率论、随机过程与常微分方程相结合发展而成的一门边缘 学科，涉及的知识面很广，理论严谨，基础深厚。因此，在研究随机微分方程的 稳定性之前，我们将对它的基本概念以及随机微分方程稳定性的研究方法作一简 单介绍。 1 1 随机微分方程的概念 1 1 1 概述 随机微分方程的研究，是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速 发展起来的。然而早在随机过程的严格数学理论建立之前二十年，就已经提出了 微分系统的随机积分问题。1 9 0 2 年g i b b s 【l 】讨论了统计力学问题，研究了保守力 学系统的h a 衄i l t o n j a c o b i 微分方程组的积分，初始状态是随机的，这是最早提 出的随机微分方程问题。1 9 0 8 年，l a n g e v i n 【2 在研究b r o w n 运动时就得到形如 聊妾：一肛+ y ( f ) 聊石2 一x + y 的微分方程。其中，工表示液体微粒在某一方向的运动速度，一刀j 表示介质对微 粒的影响，即为摩擦力作用项，y ( f ) 表示介质中分子运动对微粒的碰撞构成的随 机作用力。这种形式的方程称为l a l l g e v 浊方程。在具体的物理问题的研究中，虽 然经常遇到l a l l g e v i n 方程，然而对它缺乏确切而又严格的数学描述，直到1 9 5 1 年脚【3 j 首先提出并研究了下述瞄型随机微分方程的理论 西c o ) = 6 ( x o ) ，f ) 衍+ 仃( x o ) ，f ) 撕o ) ， x ( f o ) = 其中w ( f ) 为w i e n e r 过程，出为朋意义下的随机微分。此后，随机微分方程得到 了很快的发展。 且6 方程是目前随机微分方程研究的一个十分重要的方面，因为它的解过程是 m a r k o v 过程，因此它对随机过程理论和控制理论的应用都具有重大的意义。通常 一般文献中以“s t o c h a s t i cd i 恐r e n t i a le q u a t i o n s ”指瞄型方程( 仍译作随机微分方 程) 。埘随机微分方程也是本文主要研究的对象。 电子科技大学硕士学位论文 1 1 2b r o w n 运动和w le n e r 过程 1 8 2 7 年，英国生物学家布朗( b m w n ) 首先注意到浸入液体中的胶体微粒或质 点的永不停歇的不规则运动，这就是著名的布朗( b r o w n ) 运动。b r o w n 运动的起因 是粒子受到周围液体分子不平衡的碰撞，由于分子极微小，因此粒予每秒钟所受 到的碰撞次数很多，达到1 0 2 1 次，碰撞又极不规则，故而微粒的精确路径不能详 细得到，但能进行统计描述，可以认为粒子因受到很多微小的随机力的作用而作 随机运动。 b m w n 运动在物理方面的理论及应用发展迅速，但是在数学方面由于精确描 述困难而进展缓慢，直到1 9 1 8 年才由美国数学家维纳( w j i r 蛐对这一现象在理论 上作出了精确的数学描述。以w ( f ) 表示它在f 时所在位置的一个坐标，若( ，) 与 ( f 3 ，) 不相交，则位移矿q ) 一 ) 与矿 ) 一如) 相互独立，由于也) 一肜“) 是 许多的小位移之和，由中心极限定理知( ) 一矿( f 1 ) 服从正态分布。设液体是均 匀的，则e ( 乞) 一矿“) = o ，d 缈也) 一矽( ) ) = 盯2 k 一j ，其中盯 o 是仅依赖 于液体性质的常数。由b r o w n 运动的数学模型产生以下定义。 定义1 1 【4 】若一个随机过程 矽) ，o 满足 ( i )矽( o ) = o ； ( i i ) ( f ) 是独立增量过程，即对任意0 岛 乙，随机变量 ( 气) 一肜( i 一。) ( 1 七s ”) 相互独立； ( i i i ) 若o 兰j f ，则矽( f ) 一矽( j ) 口( o j ) ，仃2 0 j ) ) 则称 o ) ，o ) 为b r o w n 运动，也称为w j e n e r 过程。常数称为偏移系数， 盯2 称为过程的强度。 若= o ，盯2 = 1 ，则称 肜( ) ，0 ) 为标准b r o w n 运动。今后我们只考虑标准 b r o w n 运动，并把它简称为b r o w n 运动。 1 1 3 肺积分与脚公式 在1 j 。1 中我们对肪随机微分方程已经有了初步的认识，为此我们要研究如 下形式的积分 ，o ) = r 巾) 咖( f ) 第一章随机微分方程的稳定性闯题 性质1 8 p 1 如果函数( f ) m ： 冈，则有 e r 朋) 州f ) = o e l r ，( f ) 撇) 降r m ) 出 现在我们已经有了脚积分的定义，那么它是怎样计算的呢? 通常直接利用 确积分的定义来进行计算是非常困难的，因此，接下来我们将介绍肺积分的 个重要法则一酗公式。它可以看作是与通常微积分中的复合函数求微分相对应的 法则，但朋公式与通常的复合函数求导法则在形式上有很大不同。 定义1 9 网设随机过程 x ( f ) ，f 0 ) ，对所有的0 屯 f o ，3 占= 占( 毛，龟，岛) ，使得当i k 【| j ，有 p l x o ，f o ，) f 2 0 ，使 得当j | 磊时，有 叫脚x ( f ，r 0 ，) = o ) 1 一叩 ( 1 - 5 ) 则称( 1 - 3 ) 式的零解是随机渐近稳定的或依概率渐近稳定的。 定义1 。1 4 7 1 若，有 加昱恐8 u p 1 9 ，f o ，) i ： o 黜 ( 1 - 6 ) 则称( 1 3 ) 式的零解是几乎必然指数稳定的。其中五称为( 1 - 3 ) 式的解的l y a p 眦o v 指 数。 定义1 1 5 7 1 若存在正常数丑，c 和p 使得( 1 3 ) 式的解满足 e ( k ( f ，) i ，) c i i 。e “。v r ” ( 1 7 ) 即 物s u p 扣( e b ，) l 。) o ( 1 - 8 ) 则称( 】一3 ) 式的零解是1 一指数稳定的。 定义1 1 6 刀若存在正常数z ，c 和p 使得( 1 3 ) 式的解满足 e ( 1 x ( f ，岛，) i ：2 ) c i 1 2 2p 一呻一。1 b r “( 1 9 ) 即 憋s u p 1 9 ( e f 0 ，) b 0 及世。 o ，使得 广1旦卫 p 。居 ( 且f ) ? 】e 【( 蟛) 9 】c 。e 【( 肘) ? 对一切材m 及一切停时f 成立( 若其中一项为无穷，则其他项为无穷) 。其中 m 。表示初值为。的局部鞅的全体，m 。= m ：。表示局部鞅全体，m 。表示初 值为0 的连续局部鞅的全体。 第二章随机时滞h 0 p n c l d 神经网络的稳定性 代入( 2 6 ) 式可得 又 吗一誓0 + e q q b 协o 1 2 l p 朗e 矿( x ( ，) ) q 矿( x ( 丁) ) c _ 血l ( r ) = c 。l x ( 丁) l _ l 其中。2 吣如) ，从而有 e i 工( 碱生。一一 ”“ 从而定理得证。 取q = d ：= = = 1 ，我们可以得到如下推论： 推论2 7 若系统( 2 1 ) 满足 t j 嘞b u = 1 ，2 ，功 则系统( 2 1 ) 的任意解1 指数稳定。 接下来我们利用二次l y a p u n o v 函数来证明系统的均方指数稳定性。 定理2 8 对系统( 2 - 1 ) ，假设存在存在“，鸬 0 使得 疗曰c e 仃7 ( x ，y ) 盯( 工，y ) hj 石j ：2 + ，如j g ( y ) j ：2 又设存在正定矩阵g 使得 一2 瓦。( g b ) + 五。( g “7 g 7 ) + h 气。( g ) + 屈。2 ( 1 + 鸬厶。( g ) ) o 满足下式 积。( g ) 一2 。( g b ) + 屯。( g 儿r g 7 ) + h 瓦。( g ) + 尾。2 ( 1 + 乜九。( g ) 弘8 一= o 电子科技大学硕士学位论文 从而有 8 “e y ( z o ) ) 吒 又 y ( x ( 丁) ) 缸。( g ) ) f ：2 其中屯。( g ) 是g 的最小特征值，从而有 e 俐z 2 s 瓦赫。“ ( 2 - 】2 ) 故系统( 2 1 ) 的解是均方指数稳定的， 把条件( 2 7 ) 放宽，利用类似的方法可以得到如下定理： 定理2 9 对系统( 2 一1 ) ，假设存在存在“，鸬，鸬 o 使得 打球c e 仃7 ( x ，y ) 仃( x ，y ) 】“i x i ：2 + 2 l g ( _ y ) i ：2 十 b i y l ：2 又设存在正定矩阵g 使得 - 2 五( g 丑) + 气。( g 纵7 g 7 ) + k ( g ) + 鸬) + 力k 2 ( 1 + 鸬丸。( 回) 0 使得 e 陋) i 。2 k8 婴e 陋+ 吼2 ( 2 1 3 ) 一f s 目f 0 一 则系统( 2 i ) 的解几乎必然指数稳定。 证：对系统( 2 - 1 ) 的分量形式( 2 - 4 ) 两边从r 积到f + 得 t ( “ ) = 薯( ，) 十f ”卜6 l 毛。) + 妻吩毋( _ 。 j = l 。) ) 协+ r 芝呀( x ( s ) ，耳。) ) 毗( s ) = j 两边平方，则有 2 0 + 砷3 再2 + 2 f ”( 岛2 薯2 ( s ) + 3 骞吩2 岛2 2 。一一) + f “善嘞( x ( n 乓。) ) d 吩( 咖2 ) 第三毳瞪霾时褰霄塑誊嘲瞪 蠹萋錾霎蒌鼗霪疆鬣鬓羹霉藿冀塑旃 邓 妻葡“旺丝羹，磊i ；j 。； 订譬 i 莓i 罄；l i 叫m 6 凛n i 荔；镪囊譬秦蒜授嚣h j 妊丽囊巧 b 薹j j ；枣；差暑琶；毒_ = ：；= 二j j 萋；二：i 霉妻窭季一主麓娄薹嘉誊j 姜一交攀尹【 馨霎= 霉鬻一蓐鏊耋琴喜蠢雾每擎孚鏊冀彳；u 察霎毒肇a 蓬一擎毳手l ；i ! ；：； 摹受誉琵蠢一善娶一錾嚣囊j 哺珏n 盆西芷寥：习啜肇锋。熊驯婴鲠漪l 矛【氆 崔邂毽剧噔攀 塑羹。篱荔霎蓬磊斛肇印篓超警蠢蠹薹霎篓躞黼i 笞第鲶r l 篓 羚题赢謇翥塑添嚣薹薹二爹蠡；篓翳善冀臻荔嚣篓羹萋冀嚣警盟羚簿墓眇蓉曩引 涔曦l 彳写奄季囊篷薹= 鬟撵鞴琵羔荭势b 薷嚣独嗣霸一要臀些攀i 囊蘸兰囊磐 冀雾垮型疆；妻主i i l l i 墓耋鍪戴舔嚣妻l 鬟锚l ，藤疆摹箩莲差薹：蓉重量跫琶了；j | | # j 霉霞鬟j j j 蔓i 毒：季箬垂囊薹辇甍翼耋二t = _ = 毫耋囊爹i ：茹瓣囊冀蓊酽竞囊 鸶薹薹鬈善二瑟霉雾；譬蓍i 疆繁蠢不萄是鬻d 嚣薹篓鋈雾餮登襄囊再擎式| 荐荐蛋漏，萋萋；曼l 季i 喜毒 ? 备疆童 雾苎 x 菇二章随机时滞h o 凹e l d 神经网络的稳定性 燕；h 俐，一j 础 即系统( 2 - 1 ) 是几乎必然指数稳定的。 电子科技大学硕士学位论文 第三章随机时滞细胞神经网络的稳定性 细胞神经网络( c e l l u l a rn e u r a ln e 柳o r k ，简称c n n ) 是由美国加州大学伯克利分 校的c h u al 0 和gl 【3 8 3 9 j 于1 9 8 8 年提出的一类神经网络模型。和般神经网 络一样，它是一个大规模非线性模拟模拟电路，其基本单元称为一个细胞( c e l l ) 。 每个细胞是个非线性电路，通常由线性电阻，线性电容，独立源以及线性和非 线性压控电流源组成。细胞神经网络最基本的特性是局域连结性，即每个细胞仅 与它的邻域细胞相连接。此外，它还具有输出信号函数是分段线性的和信号处理 是连续实时的等特点，从而使细胞神经网络的每一个模块的连接线少( 便于实现大 规模集成电路( v l s i ) ) ，能高速并行处理( 计算) 、提高运行速度，能够进行双值输出。 c h u al 0 ，和y a n gl 提出的初始网络并未考虑时滞的存在，可是时滞是现实存 在并且有时是不可避免的，例如，在动态图像处理时需要引入细胞间信号传递的 时间延迟。因此1 9 9 2 年，c h u al 0 彳日r o s k at | 引入了具有时滞的细胞神经网络 ( d e l a y e dc e l l u l a r x 第三章随机时滞细胞神经网络的稳定性 3 1 系统的描述 本章我们将考虑如f 的s d c n n 模型： 凌( f ) = 卜e k 0 ) + 4 厂( x ( f ) ) + 驴( 善0 一f ) ) 盛：+ 盯0 ，x ( f ) ，x g 一呦如p )( 3 一1 ) 其中x ( r ) = ( ( f ) ，屯( ，) ，( f ) ) 7 月”是状态向量，d = ( 吐，吐，巩) 7 ，每 o ( f = 1 ，2 ，”) ，4 = ( 嘞) r “”表示反馈矩阵，b = ( ) 。r 表示时滞反馈矩阵， f o 是时滞，( x ) = ( 石( _ ) ，五( 屯) ， ( ) ) 7 我们假定神经元的输出，( 江1 ，2 ，疗) 与其状态满足如下关系： ( h ) j ( ( f - 1 ，2 ，n ) 在月上有界； ( ) 对于z ( f _ 1 ，2 ，竹) 以及任意“，v 胄，必存在常数麒 o 使得 l z ) 一z ( v ) i “卜一v i 由( 心) 易知z 是r 上的连续函数。特别地，我们取z 为如下的分段线性函数： z ( x ) = 去( i x + 1 i 一卜一1 i ) 即 胁，：f ? 一，塞， i 一1z o 使得对所有的 o ，x ，y ) 置r ”r ”，有： 护a c p 【盯7 ( f ，z ，y ) a ( ，x ，y ) 】“i x i ：2 + 卢：i y i ，2 ( 3 4 ) 电子科技大学硕士学位论文 由文献【3 3 】可知，系统( 3 1 ) 存在唯一的全局解，记作x ( j ) = 善( j ) ，一f f 0 ， 孝盔( 一f ，o ，彤) ，其中毫( 卜r ，o 】，丑”) 是彤值的随机过程。 为叙述方便，我们记盯= 口p ，x ( r ) ，x p 一曲) ，吩= ( f ，x ( ，) ，x ( f t ) ) 3 2 预备知识 3 2 1 算子工y 考虑f 面的肺随机微分方程 黧i o + g ( f ) ，o 撇) f 强 ( 3 - 5 ) 【x ( f 0 ) = 、 记c 2 ，1 ( 吖，叫r ”；r ) 表示定义在卜f ，叫r “上的非负函数矿( 屯石) 的全体， 矿( f ，x ) 关于0 ，x ) 分别具有连续的一阶和二阶导数。 对于c 2 1 ( 卜r ，】掣，q ) 中的函数矿，定义与系统( 3 5 ) 相关的从墨c ( 卜r ，o 】， 彤) 映射到月上的算子上矿如下： 三矿( f ，工) = k ( r ，工) + k ( f ，x ) ，o ，x ) + ；，阳c 口【9 7 ( ，x ) p ：( f ，x ) g ( f ，x ) 】( 3 6 ) 其中 哪：掣娑，吃) ：( 冬婴k 。哪：( 半! ，笔塑笔盟) 。l d x 。礅，呶、d x ，瓠。 3 2 2 预备的结论 在证明脚随机微分方程的均方指数稳定性的时候，可以利用l y a p u n o v 函数 和脚公式，根据定义进行证明，也可以根据下面的引理进行证明，证明过程会更 简单。 引理3 1 7 1 对于系统( 3 - 5 ) ，若存在函数y ( ，曲c u 【岛，+ 。) r “，疋 及正常数 c l ，c 2 ，c 3 ，使得 q x j ：2s 矿p ，力乞f z f ：2 ( 3 7 ) 和 第三章随机时滞细胞神经网络的稳定性 三y o ，x ) s 一岛l x l ：2 成立，则有 ( 3 - 8 ) 晰枞2 ) s 弘弦驰嘲酣 ( 3 - 9 ) 则( 3 5 ) 式得零解是均方指数稳定的。 3 2 3 线性矩阵不等式( l m i ) 方法 近十年来，随着鲁棒控制理论的不断发展，线性矩阵不等式( l m i ) 也取得了很 大的发展，被广泛应用于系统的分析、设计和系统辨识【5 0 _ 5 1 l 中。随着解决线性矩 阵不等式的内点法【5 2 】的提出，m a l l a b 软件中l m i 工具箱的推出，线性矩阵不等式 这一工具越来越受到人们的注意和重视，应用l m i 来解决系统与控制问题已经成 为这些领域中的一大研究热点。 一个线性矩阵不等式就是具有如下形式5 3 】： f ( x ) = f o + 而f i + 恐f 2 + 十b f ， o( 3 1 0 ) 的一个表达式。其中誓( f = 1 ，2 ，朋) 是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式( 3 1 0 ) 的决策变量。x = ( 毛，吐，) 7 月“是由决策变量构成的向量，称为决策向量，f 。= f ，7 r ( f = 0 ，1 ，历) 是一组给定的实对称矩阵，( 3 一1 0 ) 式中的不等号“ ”指的是矩 阵f ( z ) 是负定的，即对所有的非零向量z 月“，z 7 f ( 芹) z 0 ，或者f ( r ) 的最大特 征值小于零。 在许多系统与控制问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的，例如l y a p u n o v 矩阵不等式： f ( x ) = a 。x + x a + q 0( 3 1 1 ) 其中a ，q e 露”是给定的常数矩阵，且q 是对称的，x 月“”是对称的未知矩阵变 量，因此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设e ，e ：，e 。是实对称矩阵集 = m ：m = m 7 r “”) 中的一组基，则对任意对称矩阵x