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浙江大学硕士论文基于区域活动轮廓模犁的图像分割 摘要 图像分割是根据某种图像特征将图像划分为互不重叠的子区域的过程，在同一子区 域内所有的像素点有相似的特征，而不同子区域的像素点则持有不同的特征，这种特征 可以是图像的颜色、灰度值或纹理。基于区域的分段常数m u m f o r d s h a h 模型已经成为 目前最流行的图像分割方法之一，这种模型不需要利用图像的梯度信息，可以实现对图 像的实时分割和平滑，并且它对初始活动轮廓曲线的位置要求比较低，初始活动轮廓曲 线可以设置在图像域内的任何地方。虽然这种模型已经取得了很大的发展，但是它自身 还是存在着一些不足：第一，它不能鲁棒地分割强度分布不均匀的图像；第二，它不能 鲁棒地分割含高噪声的图像。 本论文主要针对基于区域的分段常数m u m f o r d 。s h a h 模型的不足提出了一种新的数 值方法和一种新的基于区域的分割模型。论文主要的贡献如下： 一、提出了一种基于散乱点的区域图像分割算法。在这种方法中，我们的问题域 是用散乱点来描述的，也就是说问题域中没有传统的固定网格或三角网格。问题域中的 散乱点是根据图像的特征自适应分布的，所以我们可以很方便地通过添加或减少计算域 中的点数来提高或降低局部曲线计算的精度。在论文中，我们先将这种方法应用到了单 通道的分段常数m u m f o r d s h a h 模型，用于灰度图像的分割。随后，结合g a b o r 滤波器 的纹理提取，我们又将它应用到多通道的分段常数m u m f o r d s h a h 模型中，进行纹理图 像的分割。 二、提出了一种新颖的邻域约束的区域活动轮廓模型。在这个模型中，我们假设图 像中的每一个像素点都会受到它的影响域内的其他像素点的约束。这种方法的基本思想 是充分利用我们感兴趣像素点的影响域内其它点的信息，这样可以让我们更好地理解图 像区域内的局部信息。从实验结果可以看到，这种模型能够很好地分割强度分布不均匀 的图像，并且能够鲁棒地分割含高噪声的图像。 关键词：活动轮廓，m u m f o r d s h a h 模型，无网格，g a b o r 滤波器，图像分割，纹理 分割，水平集 浙江大学硕- 上论文基于区域活动轮廓模型的图像分割 a b s t r a c t i m a g es e g m e n t a t i o ni sap r o c e s so fp a r t i t i o n i n ga ni m a g ei n t os u b - r e g i o n s e a c hs u b r e g i o nh a sac o n s i s t e n tt r a i tt h r o u g h o u tt h a ti sd i f f e r e n tf r o mo t h e rs u b - r e g i o n si nt h ei m a g e s u c ht r a i t sc a nb ei n t e n s i t y ，c o l o r ，o rt e x t u r eo ft h ei m a g e t h er e g i o n - b a s e dp i e c e w i s e c o n s t a n tm u m f o r d s h a hm o d e lh a sg a i n e dg r e a tp o p u l a r i t yi ns o l v i n gi m a g es e g m e n t a t i o n p r o b l e m s i t ，w i t h o u tu t i l i z i n gt h eg r a d i e n to ft h ei m a g e ，c a ns e g m e n ta n ds m o o t hi m a g e s s i m u l t a n e o u s l y w h a t sm o r e ，i nt h i sm o d e l ，t h ei n i t i a lc u r v ec a nb ep u ta ta n y w h e r ew i t h i n t h ei m a g ed o m a i n e v e nt h r o u g ht h ep i e c e w i s ec o n s t a n tm u m f o r d s h a hm o d e li s v e r y p r o m i s i n g i ts t i l lh a ss o m ed r a w b a c k s ：f i r s t , i ti su n a b l et od e a lw i t hi m a g e sw i mi n t e n s i t y i n h o m o g e n e i t y s e c o n d ，i ti sn o tr o b u s te n o u g ht os e g m e n ti m a g e sw i t hh i g hn o i s e i nt h i st h e s i s ，f i r s t ，w ep r o p o s e dan e wn u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n gt h ep i e c e w i s e c o n s t a n tm u m f o r d - s h a hm o d e l i n0 1 1 1 m e t h o d ，t h ea n a l y s i sd o m a i ni s s a m p l e db y u n s t r u c t u r e dp o i n tc l o u d ，w h i c hm e a n st h ea n a l y s i sd o m a i ni sg r i d l e s so rm e s h l e s s t h e s e s a m p l i n gp o i n t sa r ea d a p t i v e l yd i s t r i b u t e da c c o r d i n gt h el o c a li n f o r m a t i o no fa ni m a g e ，h e n c e a l l o w se x t r e m e l yc o n v e n i e n te n h a n c e m e n t r e d u c t i o nt h ep r e c i s i o no fc o m p u t a t i o nb ys i m p l y p u t t i n gm o r eo rl e s sp o i n t so nt h ec o m p u t a t i o nd o m a i n l a t e r ，w ea p p l i e dt h en u m e r i c a l m e t h o di ns o l v i n gt h em u l t i - c h a n n e lp i e c e w i s ec o n s t a n tm u m f o r d - s h a hm o d e l ，w h i c hi su s e d f o rt e x t u r es e g m e n t a t i o n ，a n dm u l t i p l eg a b o rt r a n s f o r m so ft h eo r i g i n a li m a g ea r eu s e dt o d i s c r i m i n a t et e x t u r e s s e c o n d ，w ep r o p o s e dan o v e lr e g i o n b a s e dg e o m e t r i ca c t i v ec o n t o u rm o d e lf r a m e w o r k e m p l o y i n gn e i g h b o r i n gi n f o r m a t i o nc o n s t r a i n t s t h ef u n d a m e n t a lp o w e ro ft h i ss t r a t e g y m a k e su s eo ft h ei m a g ei n f o r m a t i o na tt h es u p p o r td o m a i na r o u n de a c hp o i n to fi n t e r e s t ，t h u s e f f e c t i v e l ye n l a r g e st h ec a p t u r er a n g eo f e a c hp o i n tt oh a v eab e t t e rr e g i o n a lu n d e r s t a n d i n go f t h ei n f o r m a t i o nw i t hi t sl o c a ln e i g h b o r h o o d o u rm o d e li sa b l et or o b u s t l ys e g m e n ti m a g e s 、析t hi n t e n s i t yi n h o m o g e n e o u so rh i g hn o i s e k e y w o r d s ：a c t i v ec o n t o u r ，m u m f o r d - s h a hm o d e l ，m e s h l e s s ，g a b o rf i l t e r ，i m a g es e g m e n t a t i o n ， t e x t u r es e g m e n t a t i o n ，l e v e ls e t 浙江大学硕上论文基于区域活动轮廓模型的图像分割 第一章引言弟一早与i 苗 1 1 图像分割的意义及现状 图像分割是根据某种图像特征将图像划分为互不重叠的子区域的过程，在同一个子 区域内所有的像素点有相似的特征，而不同的子区域则持有不同的特征，这种特征可以 是图像的颜色、灰度值或纹理。图像分割是计算机视觉和图像处理的基础，分割结果的 好坏直接影响到后续工作( 图像分析、识别、压缩等等) 的开展，所以图像分割已经成 为计算机视觉和图形处理领域一个关键性的问题。由于图像本身的广泛性和多样性，目 前为止还没有一个统一的方法可以分割所有的图像。现有的分割方法都只是针对于某一 类特定图像，如边界泄漏图像、高噪声图像或者强度不均匀分布图像等等。然而，实际 图像中往往包含了各种信息，所以如何正确、有效地从图像中分割出目标物体已经成为 广大计算机视觉和图像处理领域研究者所关注焦点。 目前最流行的图像分割方法是基于活动轮廓模型的方法，这种方法最早是由k a s s 1 】 等人在1 9 8 8 年提出来的。按照驱使活动轮廓曲线逼近目标物体的方式不同，我们可以 将现有的活动轮廓模型大致分成两类：基于边缘和基于区域的活动轮廓模型。基于边缘 的活动轮廓模型一般是利用一个和图像梯度相关的边界检测因子来驱使活动轮廓曲线 向目标物体的边界逼近；而基于区域的活动轮廓模型一般是利用同质区域的相似性来驱 使活动轮廓曲线向目标物体的边界逼近。与基于边缘的活动轮廓模型相比，基于区域的 活动轮廓模型有一些明显的优点：首先，这种模型中不需要利用到图像的梯度信息，所 以就不存在因为边界检测因子的数值有限而引起的图像过分割或欠分割的情况；其次， 在这种模型中不需要添加额外的去除噪声过程，它本身是一个实时分割和去除噪声的模 型；再其次，它对初始活动轮廓曲线的位置要求很低，初始活动轮廓曲线可以设置在图 像域的任何位置；最后，它还能够自动分割出目标物体的内部轮廓。目前比较流行的基 于区域的活动轮廓模型中是由c h a n 8 等人提出的分段常数m u m f o r d s h a h 模型。 1 2 基于区域活动轮廓模型的主要问题 虽然基于区域的分段常数m u m f o r d s h a h 模型比较流行，并且较其他传统的模型有 很多的优点，但它还是存在着一些不足：第一，这种模型不能分割由平均强度值相同， 强度的方差不同的两块区域所组成的图像，因为它是将图像的全局平均强度值作为区分 浙江人学硕士论文基于区域活动轮廓模型的图像分割 区域的唯一标准；第二，这种模型不能分割强度分布不均匀的图像，对于这种图像它容 易陷入局部最小值；第三，虽然这种模型有一定的抵抗噪声能力，但是还是不能鲁棒地 分割有高噪声的图像。 1 3 论文主要贡献 我们深入了解和分析了基于区域的分段常数m u m f o r d s h a h 模型的优点和不足，提 出了一种新的用于求解分段常数m u m f o r d s h a h 模型的数值方法，并将这个方法扩展到 多通道分段常数m u m f o r d s h a h 模型中用于纹理图像分割；另外我们还提出了一种新颖 的邻域约束的区域活动轮廓模型，这种模型能够解决分段常数的m u m f o r d s h a h 模型的 一些不足之处。具体的内容如下： 首先，第三章中提出了一种新的用于求解分段常数m u m f o r d s h a h 模型的数值方法。 不同于传统的有限差分或有限元方法，在我们的方法中，图像的问题域不是建立在的固 定网格或三角网格的基础上，而是建立在散乱点的基础上。这些散乱点是根据图像的梯 度信息来自适应地分布的，梯度高的地方分布的点就多，梯度低的地方分布的点就少。 由于一般目标物体边缘的梯度相对较大，这样就使得在物体的边缘处有很多散乱点，丽 在目标物体内部或者背景上则只有很少的点。这种按照梯度信息来布点方式给我们在 x 域模型的基础上添加了一定量的边界信息，也使得我们可以更加精确地对图像进行分 割。由于我们采用了散乱点的问题域描述方法，传统的有限差分方法已经不能适用，所 以我们采用了在无网格方法中常用的移动最小二乘的方法来计算活动轮廓曲线的演化 过程。随后，我们又将这个方法应用到多通道的分段常数m u m f o r d s h a h 模型中来进行 纹理图像分割。纹理信息的提取是利用一组不同尺度、中心频率和方向的g a b o r 滤波器， 第四章中提出了一种新颖的邻域约束的无边界活动轮廓模型，这种模型可以解决分 段常数m u m f o r d s h a h 模型所遇到的一些问题，如不能处理强度分布不均匀的图像和高 噪声的图像等等。这个模型的核心思想是结合了图像的局部信息，我们假设每一个像素 点都存在一个影响域，这个影响域内的所有像素点对它都存在着一定的约束，也就是说 图像中的每一点不仅受到自身力的影响，同时还要受到周围点对它的力的影响，这样就 有效地扩大了图像中每一点的捕捉范围，使我们能够得到更加精确的分割结果。最后我 们展示了模型对各种合成图像和自然的处理结果，并与分段常数m u m f o r d s h a h 模型进 行了比较。 浙江大学硕士论文基于区域活动轮廓模型的图像分割 1 4 论文组织 第一章：介绍了图像分割的意义和现状，并分析了基于区域活动轮廓模型分割方法 存在的问题。 第二章：介绍了活动轮廓模型的分类和l e v e ls e t 方法。 第三章：介绍了基于散乱点的图像分割方法，分为灰度图像的分割和纹理图像分割， 并给出了相应的数值解法和实验结果。 第四章：介绍了新颖的邻域约束的无边界轮廓模型，并给出了相应的数值解法和实 验结果。 第五章是总结与展望。 浙江大学硕士论文基于区域活动轮廓模型的图像分割 第二章基于活动轮廓模型的图像分割 目前最流行的图像分割方法是基于活动轮廓模型的方法，活动轮廓模型是将图像分 割过程转化为一个与图像特征相关的能量函数最小化的过程。它的基本思想是：我们先 在图像域内定义一个初始轮廓曲线，再根据图像的特征建立一个适当目标能量函数，活 动轮廓曲线随着目标能量函数的不断减小逐渐向目标物体边缘逼近，等到目标能量函数 达到最小值时，活动轮廓曲线到达目标物体边界，即分割完成。早期的活动轮廓模型存 在着一定的限制，它对初始活动轮廓曲线的位置比较敏感，而且不具备自动拓扑结构变 化的能力。l e v e ls e t 方法是将活动轮廓曲线看成为高一维的演化曲线，运用l e v e ls e t 方法的活动轮廓曲线能够在演化过程中能够自动发生拓扑结构的变化，因此结合l e v e l s e t 方法的活动轮廓模型被广泛地应用于图像处理和计算机视觉领域。 2 1 活动轮廓模型方法的概述 活动轮廓模型最早来自于k a s s 等人在1 9 8 8 年发表的一篇文章 1 】，在这篇文章中他 们提出了一种s n a k e 模型，即活动轮廓模型。s n a k e 模型可以用下面的式子来表示： e ( c ) = 口i c o ) 1 2 d s + p ：l c 。( s ) 1 2 凼一五f i v 厶( c ( s ) ) 1 2 d s ( 2 - 1 ) 这里，c ( s ) 是表示在二维平面上的一条闭合曲线，参数s 【0 ，1 】，口，兄是三个正 数，分别用于控制这三项的权重。方程右边的第一、二项被称之为活动轮廓模型的内能， 它们用来控制曲线在运动过程中的平滑度和正则性；第三项被称之为活动轮廓曲线的外 能，用来驱使活动轮廓曲线向目标物体的边界逼近。从式( 2 1 ) 中我们可以发现曲线 所在区域的梯度越大，那么这个能量函数的值就越小。一般情况下，图像中梯度最大的 区域往往出现在不同物体之间的分界处或者物体和背景的分界处，因此当活动轮廓曲线 到达目标物体的边界时，目标能量函数达到最小值，活动轮廓曲线也停止运动。 虽然s n a k e 模型比传统的方法已经有了很大的优势，但是它自身还是存在的一些不 足。首先，它要求初始轮廓曲线离目标物体的真实边界比较近，否则活动轮廓曲线就会 发生收敛错误；其次，s n a k e 模型无法分割有深度凹陷的目标物体。后来有很多研究人 员对这一模型进行了改进，比如针对它无法分割有深度凹陷的目标物体，x u 5 等人提 出了一种g v f ( g r a d i e n tv e c t o rf l o 啪的s n a k e 模型，g v f 是一种外力场，这种力场的作 浙江大学硕士论文 基于区域活动轮廓模型的图像分割 用范围比传统的s n a k e 模型要大，能够促使活动轮廓曲线进入目标物体的凹陷部分，从 而解决了传统s n a k e 无法分割有深度凹陷的物体的问题。经过二十年左右的发展，活动 轮廓模型已经被广泛地应用于计算机视觉和图像处理的各个领域，如模式识别、运动跟 踪、形状复原，图像分割等等。 2 2 活动轮廓模型的分类 2 2 1 参数式与几何式的活动轮廓模型 根据活动轮廓曲线表示方式的不同，我们可以将现有的活动轮廓模型划分为参数式 活动轮廓模型和几何式活动轮廓模型。在参数式活动轮廓模型中，活动轮廓曲线被显性 地描述为在拉格朗日的框架下的参数化曲线，比如s n a k e 模型等。后来，c a s e l l e s 3 和 m a l l a d i 2 分别提出了一种基于l e v e ls e t 方法的活动轮廓模型，在他们的模型中，将活 动轮廓曲线描述为高一维的隐函数，即l e v e ls e t 函数，这类模型后来被称之为几何式 活动轮廓模型。与参数式活动轮廓模型相比，几何式活动轮廓模型有如下几点好处：第 一，活动轮廓曲线在演化过程中不需要进行重新参数化；第二，因为l e v e ls e t 函数在 演化过程中始终为一个有效的函数，所以曲线在演化过程中能自动进行拓扑结构变化； 第三，因为曲线演化过程的计算全部建立在规则网格的基础上，所以曲线的几何特征计 算很方便，如曲率，法向矢量等等。下面是几种典型的几何式活动轮廓模型： c a s e l l e s 3 提出来的模型可以表示成如下的形式： 警_ g ( i v u oi ) 1v 矽i ( a i v ( 尚) ( 2 - 2 ) 这里是l e v e ls e t 函数，表示演化过程中的曲线。g ( i v u o1 ) 是一个边界检测因子，它是 一个严格单调递减的函数，当i v u oi 等于0 时，它的值为1 ；等i v i 等于无穷大时，它 的值为0 。当曲线到达目标物体边界是，此时iv u ol 的值达到最大，边界检测因子的值 为零，这样曲线停止演化； y 是一个正常数，用来控制曲线运动的速度；d i v ( ! 尘、表示 v 妒i 曲线的曲率。 m a l l a d i 2 等人提出的一个类似的几何活动轮廓模型可以表示成： 浙江大学硕士论文基于区域活动轮廓模型的图像分割 警制卜志( 阻i 一鸩) ) 协3 ) 这里瓯表示标准差为仃的一个高斯函数，v 瓯木u o 表示用高斯函数对原图像做卷积。 m ，m 2 分别表示卷积做得图像的梯度模的最大值和最小值。我们可以看到当活动轮廓 曲线运动到目标物体边界时，l v q 幸u o i 的值为m i ，这样模型的速度项就变为零，活动 轮廓曲线停止运动。 在1 9 9 7 年，c a s e l l e s 4 等人又提出了一种称之为测地线的活动轮廓模型，它的模型可以 表示成如下： ，( c ) = 2 f ic ( 驯g ( iv u o ( c ( j ) i ) 凼 ( 2 4 ) 它的基本原理是将求图像域内的能量最小化问题转化为求在黎曼空间的一条测地线的 最短长度，模型的l e v e ls e t 表达形式如下： 警书巾( g ( i v 枷甜酬v 枷 ( 2 5 ) 现在的图像分割方法多数都采用几何式的活动轮廓模型，所以在我们后面的内容中 也是讨论基于l e v e ls e t 方法的活动轮廓模型。 2 2 2基于区域与基于边缘的活动轮廓模型 根据活动轮廓曲线逼近目标物体的准则不同，我们又可以将活动轮廓模型划分为基 于边缘的活动轮廓模型【1 、2 、3 、4 】和基于区域的活动轮廓模型【6 、7 、8 】。基于边缘的 活动轮廓模型是由一个与图像梯度相关的边界检测因子来驱使轮廓曲线向目标物体逼 近，边界检测因子一般是一个关于图像梯度的单调递减函数，在目标物体的边缘处函数 值为零，在其它地方函数值为正。早期的活动轮廓模型大多是基于边缘的模型，如我们 上面所列举的四种模型，在它们式子中都有一项与图像的梯度信息相关。虽然基于边缘 的活动轮廓模型被广泛地应用在各种领域，但是它还是存在着明显的不足：首先，由于 我们在计算过程中都是一般都是采用数值离散化的方法，所以在物体边界上梯度值有一 定的上限，这就造成了边界检测因子在目标物体边界时并不为零，所以容易发生图像的 过分割；其次，有些图像并没有明显的物体边界或者只有很弱的边界，这个时候基于边 缘的模型将无法正常地分割；最后，利用基于边缘的活动轮廓模型来处理噪声图像时一 浙江大学硕上论文基于区域活动轮廓模型的图像分割 般需要增加额外的一个滤波过程，这个过程在去除噪声的同时也会弱化目标物体边缘的 一些细节，从而使分割结果发生偏差。 不同于基于边缘的模型，基于区域的活动轮廓模型是利用同质区域的相似性原则来 驱使活动曲线向着目标物体边界逼近的，它能够克服基于边缘的活动轮廓模型所遇到的 一些困难。首先，这种模型中不需要利用到图像的梯度信息，所以就不存在因为边界检 测因子的值有限而引起的图像过分割或欠分割的情况；其次，它对初始活动轮廓曲线的 位置要求很低，初始活动轮廓曲线可以设置在图像域的任何位置。目前最常用的基于区 域的模型是m u m f o r d s h a h 模型【7 】。我们假设q 表示一个开的有界的二维子空间，厶表 示我们观察到的原始图像。m u m f o r d s h a h 模型的能量方程可以用下面的式子表示： f m s ( ，c ) 2 i 厶一耶d x + 兄k i w l 2 d x + 比l e n g t h ( c ) ( 2 6 ) 在上式中j 表示最终的结果图像，而c 表示活动的边界，和五是两个正数，用于 控制各项能量的权重。上式中的第一项是数据保真项，为了使结果图像尽可能地接近于 原始图像；第二项是平滑控制项，使结果图像内的各个区域保持平滑；第三项是演化曲 线的长度项，使活动轮廓曲线在演化过程中始终保持平滑。m u m f o r d s h a h 模型的演化 过程实际上就是它的能量方程求最小化的过程。理论上，如果我们直接将式( 2 6 ) 关 于j 求最小化，那么我们将得到一个分段平滑的结果图像，。但事实上，我们直接对式 子( 2 6 ) 求最小值并不容易，因为这个方程还存在这一个低维的未知量c ，并且这个 能量方程本身不是一个凸性的。 在【8 】中，c h a n 等人提出了一个简化的m u m f o r d s h a h 模型，他们假设所要得到的 结果图像j 被闭合边界c 划分为两个强度分别为。和c ，的区域。这时模型的能量函数 就可以表示成如下形式： f w = a l 胁( c ) i 厶( x ) 一c 11 2 出+ 五l 鼬( c ) iz o ( 石) 一c 21 2 d x + g 。l e n g t h ( c ) ( 2 - 7 ) 这里a 和厶是两个固定常数，用来控制曲线内部和外部能量的权重。这样问题就简化 成区域最优划分的问题，我们将上面的( 2 7 ) 式称之为分段常数的m u m f o r d s h a h 模型。 这种模型能够实现图像的实时分割和去噪，并且可以分割出图像的内部轮廓。同时，他 们运用了l e v e ls e t 的方法，使得曲线在演化过程中能够自动进行拓扑结构的变化，因 此这个模型得到了广泛的应用。 虽然分段常数的m u m f o r d s h a h 模型有这些好处，但是这种模型的也存在这不足： 浙江大学硕士论文基于区域活动轮廓模型的图像分割 例如，不能处理强度分布不均匀的图像，也不能处理噪声很大的图像，当图像的内外区 域的均值相近而只是方差不同是也无法分割。造成这些缺点的主要的原因是模型本身假 设结果图像只是由两种不同强度的区域所组成，强度的全局均值成为了它区分区域的唯 一标准，但是用这种假设描述的图像太过于简单，在绝大多数的自然图像或是医学图像 中并不成立，这也导致了该模型在这一类图像上的失败。后来，又有不少研究者提出了 一些新的区域模型来克服分段常数m u m f o r d s h a h 模型的不足。 例如，r o u s s o n 1 0 等人从概率角度出来提出了一种基于区域的模型，在他们的模型 中不仅考虑了区域的均值，同时也考虑的区域的方差。分段常数的m u m f o r d s h a h 模型 只是他们模型中当两块区域方差相等时候的一种特殊情况。在这种模型中他们能够将两 块强度均值相同当方差不同的区域分割开来。 v e s e 9 和t s a i 2 8 等人提出了一种分段平滑的m u m f o r d s h a h 模型【，这种模型是对 他们分段常数的m u m f o r d s h a h 模型的直接改进，他们假设得到的结果图像由两块各自 平滑的区域所做成，分别是轮廓曲线的内部u + 和外部甜一，这样结果图像可以表示成如 下的函数形式： 甜( x ， ，) ：j 甜+ ( x ，y ) i f 矽( x ，y ) o ( 2 8 ) 甜( x ，y 2 1 “一( x ，y ) i f 痧( x ，y ) o 。z 。芍 如图2 1 所示： 图2 - 1 用l e v e ls e t 函数对图像的划分，这里的曲线是z e r ol e v e ls e t 函数，表示图像区域 的边界。 - 8 - 浙江大学硕士论文 基于区域活动轮廓模型的图像分割 这样分段平滑的模型就是求下面能量函数的最小值： 。+ i n ，f ，f ( 甜+ ，甜- - ，力= 妒一“。阳扔螂+ 驴一”o | 2 ( 1 一删) 姗 ( 2 9 ) + , u l iv u + 1 2 h ( # ) d x d y + , u lv u - 1 2 ( 1 一h ( c t ) ) d x d y + yl iv 日( 矽) i 虽然上面的模型能够处理强度分布不均匀的图像，但是这这种模型在执行上面比较 麻烦。如果我们将式( 2 9 ) 对l e v e ls e t 函数求变分，我们可以发现的定义域是整个 图像域，但是甜+ 和甜一这两个函数都是定义在部分区域内，所以在执行曲线的演化过程 中必须添加的一步是将这两个函数扩展到整个图像区域中，这样不仅仅增加了执行难 度，同时也降低了执行的有效性。同时，我们可以看到他需要添加额外的图像平滑项， 这样也会增加计算量。 最近，g u o 2 5 等人提出了一种基于局部统计特性的实时分割和去除噪声的模型， 该模型在一定程度上能够很好地处理强度分布不均匀或者高噪声的图像；l i 2 6 等人也 提出了一种基于局部二值拟合能量的区域活动轮廓模型，在文中，作者用一个核函数描 述了中心像素点和它周围像素点之间的关系，该模型对强度分布不均匀图像和噪声图像 有较好的分割结果。 2 3l e v els e t 方法 l e v e ls e t 方法【1 l 】是o s h e r 和s e t h i a n 在1 9 8 8 年提出来应用在流体力学领域上的， 后来它又被广泛地应用于计算机图形图、材料科学等领域。c a s e l l e s 3 并1 m a l l a d i 2 最先 将它引入到图像处理领域，之后，l e v e ls e t 方法在图像处理领域取得了巨大的成功。它 的基本思想是将沿着法线方向运动的曲线i 隐性的描述为为高一维的零水平集函数。 f = x l 矽( x ( f ) ，f ) = 0 ( 2 1 0 ) 对式子( 2 1 0 ) 的两边关于时间f 求导，可以得到： 谚+ v 矽( x ( ，) ，f ) x ( r ) = 0 ( 2 1 1 ) 因为曲线是沿着它的法线方向运动的，所以曲线上每一点的受力方向可以认为是沿着外 法线方向的。我们可以知道x t ( ，) 刀= ，而单位法向量又等于刀= 高刍，所以我们可以 将( 2 2 ) 表示成如下形式： 谚+ f l v 矽| - 0 ( 2 1 2 ) 浙江大学硕上论文基于区域活动轮廓模裂的图像分割 这就是我们平时所说的l e v e ls e t 方程。在图像分割过程中，这个f 与图像自身的信息 和运动中的曲线西有关。 我们通常利用时间域有限差分的方法来求解上面的方程： 争叫v 矽i ( 2 - 1 3 ) 当我们考虑三维的图像域时： v _ 掣，娑，娑】 ( 2 1 4 ) o xo vo z v l = ( 尝) 2 + ( 考) 2 + ( 鬈) 2 ( 2 - 1 5 ) 我们定义( x ，f = 0 ) = d ，这里d 表示图像域内的点x 到闭合曲线( 曲面) 上的符号距 离，如果点位于曲线( 曲面) 的内部，则取负号；如果在曲线( 曲面) 的外部，则取正 号。在我们不关心任何数值方法的基础下，一般的l e v e ls e t 方法过程可以表示成如下 几步： 1 将图像域内的每一点初始化为关于零水平集函数的符号距离函数。 2 计算速度项f 和梯度模i v i 。 3 利用已知的，f ，iv 矽i ，根据式( 2 - 1 3 ) 计算出“。 4 然后重新找到z e r ol e v e ls e t 函数。 5 重新初始化，使图像域内的每一点始终保持关于零水平集函数的符号距离函数。 6 用一定的判断准则判断函数是否收敛，如果是，则停止迭代；否则，继续迭代。 2 3 1 重新初始化 在利用l e v e ls e t 方法中很重要的一个步骤是重新初始化。为了方便数值方法的执 行，我们在实际中常将水平集函数设定为符号距离函数，因为这时候图像域内的每一个 点上的iv 矽i = l ，方程2 4 可以简化为： 盟：f ( 2 - 1 6 ) 浙江大学硕士论文基于区域活动轮廓模型的图像分割 但是在实际的曲线演化过程中，由于时间域有限差分方法而产生一定的误差，西坩并不 是始终保持符号距离函数，此时iv 矽i l 不再满足，那么很多基于这个条件基础的简化 运算都会产生错误。根据【4 5 我们知道，造成这个的原因是方程( 2 - 1 2 ) 中的解矽并不 是一个真正的符号距离函数。为了计算的方便和精确，我们需要对方程的解矽进行重新 初始化操作，使矽始终近似保持符号距离函数，所以符号距离函数可以被看作是l e v e l s e t 方法的一个修补方法。 现在常用的重新初始化方法主要有三种，他们都是为了使图像中的点都满足相对于 零水平集函数是符号距离函数： 1 先找出零水平集曲线上的所有点，然后计算图像域中剩余的其它点到这些点 的最近距离，这个最近距离就是所测点到零水平集曲线的距离。然后再判断 这个点是在曲线内部还是外部，如果是内部，则距离为负号：如果是外部， 则距离是正号。这样就完成了重新初始化。 2 因为符号距离函数的特征是梯度模iv 矽i 始终保持数值上为1 ，所以我们可以 利用方程迭代的方法将图像域中的每一点的lv 矽i 尽可能地逼近于l 。 3 f a s tm a t c h i n g 的方法。 我们这里主要讨论前面两种。在二维图像中，第一种方法比较直接，根据 3 8 ，4 0 ， 利用公式( 2 1 7 ) 我们可以直接提取到零水平集上的所有点： n x 一湍 协 z 。= x - ( x ) n 。 在公式( 2 1 7 ) 中，1 1 。表示点x 处的单位法向矢量，而z 。就是根据x 点所找到的 零水平集上的点。这样根据这些找到的零水平集上的点就可以实现我们的重新初始化过 程。 第二种方法的主要目的就是使图像域中的每一点的梯度模的值始终保持为1 ，所以 我们可以通过下面的方程来实现： i 坼= s i g n ( 矽( x ) ) ( 1 一i v 沙1 ) 【y ( o ，) = ( f ，) ( 2 1 8 ) 浙江人学硕上论文基于区域活动轮廓模裂的图像分割 这里痧( x ) 是我们根据前面的曲线演化所得到的水平集函数值，而y 是我们想的到的 关于零水平集函数的符号距离函数。 而 咄咖，= 戮 我们可以用梯度下降法来求解上面的方程 坐a r t = s i g n ( 矽( x ) ) ( 1 一iv 少i ) 等到上面的方程得到稳定的状态时，缈将近似于符号距离函数。 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 浙江大学硕士论文基于区域活动轮廓模型的图像分割 第三章基于散乱点的区域图像分割算法 传统基于区域活动轮廓模型的图像分割方法都是用固定网格来描述问题域的，这种 问题域描述方式的好处是便于计算活动轮廓曲线的一些几何特征，比如，曲线的曲率和 单位法线等等。在这种方法中，问题域中采样点的分布情况与信息量的分布无关，整个 图像域中的采样率都是一样的。而事实上，图像中的信息量分布是不均匀的，目标物体 边缘上的信息量往往要大于图像中其他的区域，图像梯度值大或曲线曲率大的地方信息 量相对要大一些。在均匀采样的方法中，如果我们要提高计算的精度，那么就必须提高 整个图像区域的采样率，这样势必会增加计算量；反之，如果要加快计算过程我们必须 降低采样率，但是这样就会降低计算的精度。在 1 4 】中，作者提出了一种自适应的局部 网格划分方法，在需要提高精度的地方进行网格细化，这样的局部细化方案相对与上面 的全局细化方案有了一些改进，但是由于它在数据结构上面操作较为复杂，所以就增加 了实际操作的难度。在 1 5 中，作者提出了一种自适应移动网格的方法，在信息量高的 地方，周围的网格线向此处移动以提高局部的采样率，这种方法在一定程度上提高了局 部采样率，但是由于整个图像的网格总数是有限的，所以局部的采样率还是有一个上限。 从本质上来说，问题域的描述形式仅仅是提供了一个计算的平台，采用固定网格来 描述问题域，我们就可以用有限差分方法来进行相应的计算；同样我们也可以采用三角 网格的方法来描述问题域，然后采用有限元来进行计算。但是有限差分和有限元这两种 方法都需要一个网格生成的过程，而且有时候还需要进行局部网格细化等复杂过程。所 以我们这里采用了一种完全脱离网格的问题域描述方法：散乱点方法。 在这种方法中，问题域描述不需要传统的固定网格或者是三角形网格，而是完全建 立在点的基础上。这些点是根据图像的特征和活动轮廓曲线的几何特征来分布的，在图 像梯度大或者曲线几何形状复杂的地方多分布一些点，在图像梯度小或者曲线几何形状 比较简单的地方少分布点，因此图像中不同区域的点数就直接反应出了该区域的信息 量。此外，我们还可以很方便地通过增加或减少布点数来达到提高或降低计算精度的目 的。 浙汀人。、倾j 沦文 3 1问题域的散乱点描述 阁3 1图像域散乱点的描述图 如图3 1 f e l ，这是我们用散乱点方法描述问题域后的最终结果，这是幅由白色物 体和灰色背景所组成的图像，从图像中我们可以看到在物体的边缘处布了很多采样点， 而在背景或物体内部则只有少量的点，这样f ：同区域上采样点数正好反应了该区域信息 量。下面我们将详细介绍如何根据图像的信息量来分布采样点。这里我们t 要讨论如何 根据图像的梯度信息米布点，实际l ：十t 4 据活动轮廓曲线的几何信息和一些先验的信息 ( 形状，纹理等) 来布点也是类似的一个过程。 图3 1 ( a 1 是原图像。凶j , j 我们要分剖出的目标物体是中间的白色物体，所以白色物 体的边缘必定包含1 广最多的信息，而物体边缘的梯度也要较其它区域要人。为提取信息 我们先对原始图像求梯度，得到图像的梯度图，如图3 1 ( b ) 所示。得到梯度图之后我们 需要对图像进行布点，布点的原则是让点密度与图像的梯度成正比： p ( x ) 0 2f ( x ) f3 1 ) 这里p ( x ) 表示在点x 处的布点数密度，而( x ) 表示在点x 处的梯度值。由j ：我们所采 用的网形影响域( 后面详细介绍) ，所以我们可以将 ：面式子的关系进一步阐述为影响 域的半径和梯度之间的关系。 丽n = 彤( x ) ( 3 - 2 ) 这鹗是一个常量值，表示每点它的影响域内的总点数，r ( x ) 表示点x 处的影n 向域 的半径，7 是一个正比例系数，在我们的实验中均取为正常数1 。我们可以通过改变n 值来改变单位梯度上的布点数。 布点过程是一个循环过程，所以我们首先在图像l 按照一定的问隔均匀布i ：初始 点，类似传统的规则网格形式，如图3 1 ( c ) 其次为了尽可能在高梯度( 信息多的地方) 浙江大学硕士论文 基于区域活动轮廓模犁的图像分割 多布点，在梯度值大于图像平均梯度的地方也布上一些点，如图3 1 ( d ) 所示。 这些点布好以后我们依次遍历图中的每一个点首先，确定的值，这个值一般 取值在8 1 6 之间，在试验中我们均取为1 0 ；其次，根据图像中每一点的梯度和值计 算出每一点的影响域半径， ) ；然后，对每一点做判断，计算出每一点它的影响域内的 布点数为q ( x ) ，比较q ( x ) 与n 值的大小：如果q ( x ) 小于n ，则从数据结构中去掉这点， 并在它的影响域内加入( n q ( x ) ) 个新的点，如果q ( x ) 大于，则缩小影响域半径( 为 了保持图像的平滑，影响域半径不能小于r m i n = 1 ) ，按照这种规则依次判断图中的每 一个点，遍历完原有的点之后再判断新加入的点，这样直到图中所有的点都满足在影响 域内有个点( 在点数密集的地方，可能会出现影响域内多域个点，因为考虑到图 像的平滑，取最小影响域半径为1 ) ，算法结束。程序的伪代码如下： g u r r l i s t 一b a s en o d es e t n o d e s e l b a s eh o d es e t w h i l e ( c u r r l i s ti sn o te m p t 9 ) r a n d o m i z et h eo r d e ro fn o d ei nc u r r l i s t h e x t l i s t 4 - - e m p t v f o re u e r pn o d exi nc u r r l i s t r x h a x ( s q r t ( h ，( p i * f ( x ) ) ，r m i n ) q ( x ) 一n u m b e ro fn o d e sw i t h i nr xc i r c l e i f ( q ( x ) 运用高斯积分方法来计算c l ( 矽”) 乞( ”) 。 - 2 l - 通过方程( 3 1 2 ) 求解来得到”1 。 重新初始化莎”1 。 检查解法是甭达到稳定，如果没有，朋= n + l ，重复第二步。 3 2 3实验结果 这里我们给出了基于散乱点的区域分割算法的实验结果。 图3 3 是两个相同强度的物体从门色背景巾分离出来的过程。我们可以看到活动轮廓曲 线很好地将物体从背景中分离出来。由于利用了l e v e ls e t 的方法，曲线能够