（应用数学专业论文）关于非齐次空间上tb定理的一些问题的讨论.pdf

摘要 摘要 本文主要研究由非齐次空间上乃定理的必要条件所引出的几个问题， 首先对非齐次空间上t b 定理所对应的两种b m o 空间，分别是b m o ；( ) 空间 和r 醐o ( 卢) 空间做了说明，其次对有一般核k 的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子r 在非齐次空间上乃定理条件下定义在光滑函数上和定义在l i p s c h i t z 函 数上的双线性形式作了介绍，并分别指出了在上述两种情况下非齐次空间 上乃定理所对应的两种b m o 空间j 对乃定理来说实质是等价的。最后， 本文证明了在上述条件下若码e8 m o l o ) ，则对r 的单边截断算子疋来说 有铂b m o i ( u ) 对占 o 一致成立，其中a 为大于五的某个数。 关键词：非齐次空间；t b 定理；b 啪：以) ；l c b m o ) ：单边截断算子 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw em a i n l yd i s c u s ss e v e r a lq 删o n sr e s u l t e df r o mt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n o ft b - t h e o r e mo nn o n - h o m o g e n e o u ss p a c e s ：a tf i r s tw eg i v et w ok i n d so fb m o s p a c e s w h i c ha r eu s e di nt h et b - t h e o r e m o n ei sat w op a r a m e t e rf a m i l yo fs p a c e sb m o ：( 0 t h eo t h e ri sr e g u l a rb m o s p a c er b m o ( p ) i nt h es e c o n dw eg i v et h eb i l i n e a rf o r m so f c a l d e r o n - z y g m u n do p e r a t o rtw i t hg e n e r a lk e r n e lw h i c ha r er e s p e c t i v e l yd e f i n e do n l i p s c h i t zf u n c t i o n sa n dd e f i n e df o rs m o o t hf u n c t i o n s t h e nw es h o wt h a tt h ea b o v eb m o s p a c e sa r ee q u i v a l e n tt ot h et b t h e o r e m a tl a s tw ed r a wac o n c l u s i o nt h a tu n d e rt h es a n e a s s u m p t i o n s 碣b m o i x ( a ) i m p l i e s 疋6 les m 0 10 ) ( f o rs o m ea 五) f o ra l l t r u n c a t e do p e r a t o r sw i t hu n i f o r me s t i m a t e so i lb m on o r m s k e yw o r d s ：n o m 。h o m o g e n e o u ss p a c e s ；t b - t h e o r e m ；b m o ：0 ) ；r b m o 似) ； b i l i n e a rf o r m ；t r u n c a t e do p e r a t o r 瓦 青岛大学硕士学位论文 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上已 属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名貉毅 3 0 日期：2 0 1 7 7 年6 月gh 青岛大学硕士学位论文 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校后 发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为青岛 大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密翻。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 论文作者签名 导师签名 2 拿级 状正秒 日期：2 。刁年月g 日 日期：伊一7 年月琴日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用) 引言 引言 丸p c a l d e r 6 n 和a z y g m u n d1 9 5 2 年关于奇异积分的奠基性工作，使调和分析的 研究从一元走向多元五十多年来，围绕着奇异积分算子以及有关算子的性质。其中 特别是算予有界性的研究，以及新空间的研究，在多元调和分析中占了非常重要的地 位 c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子的概念是r c o i f m a n 与y m e y e r 于1 9 7 8 年提出的，他们 证明了这种算子的r 有界性保证了f ( 1 p 0 则? 可扩张为r 有界算子的充分必要条件是r6 ie b m o ，t + 6 2 e b m o ，巩具弱有 界性 青岛大学硕士学位论文 其中蝣( ) = t l 紧支集函数，l 厂峙= 匕苇三三j ：；乒必 m ，算子托表示用a 作 乘法。 有了r l 定理和而定理作为工具，使我们对c a l d e r 6 a - 研g 硪u n d 算子的暑或f 有 界性的判定有了一个直接而有效的方法。西l d e r 6 n - z y g m u n d 算子丁在其它空间的有 界性有的也是基于其在f 空间的有界性，比如说丁的交换子在h e r z 型h a r d y 空闻。 h e r z 空间有界性就是如此。由此也可以看出r 1 定理和砀定理对c a l d e r 6 n - z y g m u n d 理论研究的重要性。 有关齐次型空间的理论是由c o i f m a n 和w e i s s 于1 9 7 1 年在研究奇异积分时提出 的，d a v i d j o u r n e s e m m e s 的乃定理可应用于任意的齐次型空间中。而f n a z a r o v ， s t r e i l 和a v o l b e r g 则将硒定理推广到了非齐次空间上，从而完善了非齐次空间上 的c a l d e r 6 n 二z y g m u n d 算子理论 f n a z a r o v ，s t r e i l 和a y o l b e r g 在文献 1 8 中提到了用来表示有标准核k 的 c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子的三种方式。第一种是算子定义在l i p s c h i t z 函数上双线性 形式；第二种是算子定义在光滑函数上的双线性形式；第三种是通过一系列具有良好 性质的核t 的算子c ( 也称为单边截断算子) 或核屯，的算子乙，( 也成为双边截算子) 的一致有界来表示算子的有界性。此外，在f n a z a r o v 。s t r e i l 和a v o l b e r g 的论 文中所用到的b m o 空间并不是在齐次空间上的经典的b m o 空间，在文章中用到了两种 不同而又相互关联的b m o 空问即b 啪；似) 空间，其中l s p 1 和r b m o ( g ) 空间。 而r b - l o ( z 1 空间又称为正则的b m o 空间，它是由x t o l s a 首先提出的，被认为是经典 b m o 空间最自然的推广。在文献 1 8 中乃定理的必要条件是这样陈述的：如果一个 c a l d e r 6 n z y g r m n d 算子丁在p “) ，l o - - t 嫩( 其中瓦为算子r 的单边截算予) 。 第一章基本概念及引理 第一章基本概念及引理 本章介绍了我们所研究的非齐次空间的一些基本概念以及后面证明所必需的 几个引理。 1 1 基本概念 本文所叙述的内容郡是基于非弄次空间的，这个空间是定义在r “上的，实际上 是r ”的一个子集。若是一个r “上的b o r e l 测度若d 是一个正数( 不一定是整 数) 。而且测度满足：( b f x ，r ) ) 一对任何以x 为圆心、以r 为半径的球都成立 一个维数为d 的c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子是一个两个变量的函数满足下列条件： ( 1 ) i k ( s ，叫c 卜，广： ( 2 ) i k ( 蹦) 卅讣小砷啡c 龉，当i , - s 0 1 2 | 蚋l 时 式中a 乱 我们知道，并没有一种标准的方法来表示一般的c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子，不 能单纯的说可( x ) = j k ( x ，y ) ，0 ) d 声( ) ，) ，因为对几乎所有的x 来说，函数k ( 和) 和 k ( ，x ) 都是不可积的，而且不可积点并不是仅仅局限于奇异点的邻域内传统的方 法是假定算子r 的双线性形式( 巧，g ) ( t b 定理时是算子6 2 乃1 ) 是定义在具有良好 性质的函数f ，g ，比方说，g c 苫( 具有紧支撑的c 。函数) 。也就是说双线性形 式( 可，g ) 被很好的定义以及连续的( 关于c 芋的拓扑) 对厂，g c 芋当积分被很好 的定义时，r 是具有核k 的可积算子通常指的是( 见文献 1 8 ) ( 可，g ) = 肛( 圳k ( x ) f ( y ) d a ( 工) 咖( y ) ， 其中f ，g 是有不相交的紧支撑的函数 4 青岛大学硕士学位论文 f n a z a r o v ，s t r e i l 和a v o l b e r g 在文献 1 8 中提到了用来表示有标准核k 的c a l d e r d n - z y g m u n d 算子的三种方式。第一种是算子定义在光滑函数上的双线性 形式；第二种是算予定义在l i p s c h i t z 函数上的双线性形式；第三种是通过一系列 具有良好性质的核t 的算子t ( 也称为单边截断算子) 或核屯，的算子c ，( 也成为 双边截断算子) 的一致有界来表示算子的有界性。我们的主要结果是基于前两种形 式的 接下来我们需要对文中用到的不同的b m o 空间作一下说明： 我们知道经典的b m o 空间的测度是定义在r ”上的n 维l e b e s g u e 测度这里需 要指出的是，如果把下面所介绍的两种b m 0 空间的测度换成l e b e s g u e 测度，则这 两种空间的定义实质上是与经典b m o 空间是等价的 首先介绍一下b m o ；0 ) 空间： 对参数l - p l ，称一个似) 函数，属于b m o ；( p ) ，如果对任意的方体q ， 存在一个常数c 口满足( e l 一白1 9 d ) 石s c o ( 徊) 形，其中参数c 不依赖于q 。最 佳的常数c 被称为厂的叫o ：“) 范数与经典的b m o 空间类似，以将定义中的常数 c 口用矗( 厂在q 上的平均) 代替 b 湘：( ) 空间有以下性质： 1 如果a l ，则空间没有变化 2 如果用a ( 1 o 6 青岛大学硕士学位论文 ff ( | 工一而l 矽( x ) f ( 占) 占4 + d f ( f y “1 d t j 和一扛活 。 特别的，对f ( f ) = ，一“，我们有 工h 4 4 嘶) s ( 纠铲 扎s ， 球一- 睁 “7 由以上引理可推出下面引理： 引理1 3 设矿= 哟是一个其支集在方体q 上的函数，且满足l 卵= o r 是 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，则对方体外的一个自变量x ，有 ( 牡器僦 n t ， 此结论对截断算子r 也是成立的 7 第二章c z 算子的双线性形式定义在光滑函数上时的结果 第二章c - z 算子的双线性形式定义在光滑函数上时的结果 这一章我们主要给出了当c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的双线性形式定义在光滑函数 上时的一些结论。 2 1 预备知识 定义在光滑函数上的双线性形式：对光滑的紧支集函数厂和g 。c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子r 的双线性形式在r 1 定理时是( 驴，g ) ；而对乃定理来说是( 6 i 乃i 厂，g ) 而与之相对应的弱有界性满足下列条件： 给定一个定义在【o ，o 。) 上的c 。函数仃，满足o 盯l ，在【o ，口】( o 形 l 的数字替换。 算予m b 表示用b 作乘法；一个函数6 被称为是扇形的指的是如果6 三膏，则有 一个常数f c ，矧= 1 满足r e 善b 万 o 2 2 主要结果 定理2 1 设r 是c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子，算子坞孙炳的双线性形式( 乃l 厂，如g ) 是被紧支集的光滑( c 。) 函数，g 所定义，且对函数龟f 和扇形函数6 2 ，不等式 ( 2 1 ) 对任意的球成立。若确s m o ；o , ) ( 某个p ，l p ) 则有碱r b m o ( ) 为证明e 述定理，需要以下引理： 3 青岛大学硕士学位论文 引理2 2 若算子r 对任意的b 满足i ( r ，o 2 。) i - c u ( 3 b ) ，则对同心球且c 岛 ( 其半径分别为，r ，且形2 ) ，成宴如下不等式 砜，) l 缈( 邢咖砌) h 身 证明设而为球旦，岛的中心令q ，2 # ，：妒- _ - - 0 2 焉，妒# 卜9 因为蚂= 矿，则 有 ，乃) = ，力+ ( 飘，慨) 由已知条件可立即得出k z q ，9 ) | o f ( j 蜀) 下面估计( r q ，峨) ，由标准核足的性质可得 咖水器2 卷簖 由于当卜一i 1 8 r 时有；f ，( 工) = o ，从而可得 飘删l j 。上高黯。奠陋嚣 卿( 且) l i i 李， 将两项估计相加，得证 ： 引理2 3 设r 是一个c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子，岛r ，屯是一个扇形函数，不 等式i ( r c r 2 。6 i ，6 2 ) | c ( 3 占) 对任意的同心球bc f 成立，且满足码s u o ：( 4 ， a 2 对某个p ，l p o o 则对一个球口，不等式e f 碣1 9 咖s 印( b ) 成宴，此时 b = ( 2 a ) b 9 第二章c z 算子的双线性形式定义在光滑函数上时的结果 证明设g 是一个支集在球b 上得光滑函数，i k i i f ( 一= 1 ，吉+ 吉= 1 下一步我们将估计 i ( 碣屁，屯g ) i 选取一个常数满足 c i 。c r 2 。如础= i s b 2 9 d u ，即f ( b 2 9 - c b 2 c r 2 。) d u = 0 ， 由于6 2 是扇形的，所以i 。c r 2 。6 2 础i 印( 曰) 从而 扣i j _ 1 ( b ) - 1 i 如g p s 6 1 ( 曰) 1 l l b , u 。l l g l l f ( ，) 声( 口) - 1 = j 一1 1 1 6 20 。( b ) i - i 又因为i c r 2 。l s l ，也是扇形的， j i c r 2 。1 9 d z j | c r 2 。眇i n 如舡i 另一方面我们知道， l d | 。吒如和l - 恒6 2 酬i 地o g ( 曰) ；= l 地( b ) i l 结合以上对h 的估计，可得 | c 肛。1 9 咖1 扩i i c l a 一- l 扛。6 2 舡b 0 ( b 厂4 一( b 声：c ! q 即慨一6 2 0 口( c 设q y = g c 吼。，则0 硎矿( ，) c + 1 且胁咖= o 于是( 确，鸱) = p ( 1 一a r b ) 6 l ，鸱) + ( 砀1 ，6 2 妒) 由于伊和l c r b 的支集是不相交的，根据式子( 1 3 ) 和( 1 4 ) ，易得： 1 0 童鱼盔堂堡主堂堡堡壅 ( r ( 1 一c r b ) 6 l ，鹏) 曼c 州印( 口声= c ( 口) 形 又确酬( ) ，因此 ( 碣，i ) ls c p ( 2 五口) 形删b ( ，) ( 妒的支集在2 占上) 从而i ( 码c r b ，鹏) l印( 2 a 曰) 卸妒0 口 由引理2 2 知i ( 确a r b ，6 2 ) 1 c u 0 b ) o 一致成立，a = 1 4 2 证明固定一个球丑当2 0 1 d i a m ( b 1 时，有 瓦岛筋。( 圳s ；( 2 b ) c ， 因此 重鱼奎竺堡主竺垡堡壅 i , i t , b , z ：。1 2 d g c ( 口) 设支集在b 上的函数伊，满足i o d l t = 0 根据式子( 1 3 ) 和( 1 4 ) 易得 ( 2 2 ) k 瓦( 1 一a ，2 。) ，妒) l c 8 妒0 。s c ( 曰) 咒l l 叫l p ( 2 3 ) 联立( 2 2 ) ，( 2 3 ) 两式，我们有 即聃b m 0 2 , “) i ( 确，力| c 8 纠l p ( 曰卢， 当s o 1 d i a m ( b ) 时，定义玩7 口，b # 2 a 岛= a b 实际上只须证明 i t , t w , 1 2 和sc ( b ) 因为我们知道对支集在b 上，满足p 舡= o 的函数伊有下式成立 l ( c ( 1 一局) ，妒) i c 龇印( 曰卢0 m ( 设工e b ，考虑一列球四= 口( 膏，) ，5 = 2 占令一_ ( b 7 ) 设疗是满足以2 - 3 。以 或b c 矿的最小正整数 令r = ，：，- j = r 1 占下面估计差值 i t 岛o b 】( x ) 一区。6 l o - b 】( x ) l fi 足( x ，y ) b t ( y ) t r a ( y ) ld ( y ) ，、， c i k ( 五) ，枷( y ) = 1 ， - i 矿、 i s l 由标准核的性质可知k ( x ，y ) l a l x 一) ，r ，从而 第二章c z 算子的双线性形式定义在光滑函数上时的结果 ，鲥鲁= k - ，玑 由定义知以s 【2 3 。r “”以。y = 0 ，n - 1 因此 n - - 1月一l ，n - i i ，一争彳2 3 。2 爿，2 3 d ，；ij ；l7 j _ l ，- l 而i 。_ u 一、”， 啵一岛】( x ) 一( 工) = e 、即川6 i 【丁冷】d ( ) ) 1 4 青岛大学硕士学位论文 一$ - i 胁融( 1 一强枷) ) v 一8 - 1 胁【乃1 铂，州o b d = 工、聊砷6 1 旷( 正一s 一1 盯b d d t , ( y ) 一s 。胁【码强棚) 知咖 又j t s 一1 仃6 2 d = o ，因此对第一项有估计 l n 越，j 哪a 【r ( 瓯一s 。a 6 2 】谚卢( j ，) c i s | 一h o - b = f l r ( ，) c 对第二项，由引理2 2 可得 $ - if 啦【码- 氲j 。) o , a a o 满足不等式 ( q ) “k 6 0 ) 咖o ) l ，也可以说i 叫，一乱e ( b ) 取函数矿满足：扩( f ) 2 l 当o ，l 一占：扩( f ) = 一 h ，当l - e o ：工锄，令 ( 童) 净扩( 岛( 工) ) ， 互曼丕堂堡主堂竺丝苎 对所有的方体q ，即某个l ，不等式码，6 2 ) 怿印( a q ) 对f 和q 一致成立 3 2 主要结果 定理3 1 t 是c a l d e r 6 n z y g 叫n d 算子，算子峨删龟的双线性形式( 码，6 2 9 ) 是被紧支集的l i p s c h i t z 函数，g 所定义，且它的弱有界性满足条件( a ) 和( b ) ，若 r b , b m o ；( i t ) ( 某个p ，l o ，设r 满足r rs 1 2 r ，则对所有的s o 有 碣 6 2 啦。) j s c p ( 口瓴，触) ) ， 其中艿暑矿1 ，a = m a x ( 1 2 五7 ，3 ) ，参数c 与占无关 证明由于尬删岛是弱有界的，所以 码6 氛 ) ，6 2 嗲 ) ) l ( ( 曰( 而，五r ) ) ( ( 曰( 而，a 屁) ) 我们要估计 ( 码( 哆氓埘一瞄啪) ) ，6 2 蓝飞 ) ) = ( r 旧，鸱) ， 其中妒_ 毛k ，一) 一k ) ，缈- 0 ) - 令( f ) 2 1 ，当f r + 哦时：( f ) 2 。，当f r 时；( f ) 2 瓦1 ( f r ) ，当 rs f s r + 哦时 令= 妒一，则 1 7 第三章c z 算子的双线性形式定义在l i p s c h i t z 函数上时的结果 ( 码，6 2 伊) = ( 乃l ，6 2 力+ ( 乃l 缈：，6 2 矿) 由于0 纠l 1 ，4 i ls l ，且函数伊和的支集分别是口( 而，民) 和占( 而，3 尺) 、曰( ，r ) ， 根据文献 1 8 中的引理2 9 ，有 i ( 码，6 2 妒) isl ：- ( b ( ，3 r ) ) 而由弱有界性中的条件( a ) 可得 i ( 码，6 2 缈) b c ，壶，r + ( 缸：d i s t ( 五氏) s r ) ) ， 其中氏= 缸：卜一而i - r ) 注意到d i a m ( s u p p ( a ) - 2 r o ，的支集在圆环 x ：d i s t ( x , s ) s r o 内根据文献【1 8 中引理2 8 ，有 ( 缸：d i s t ( 而氏) ) ) 占( 曰( 矗，3 震) ) 因此i ( 码，6 2 缈) l c - p ( 3 尺) ) 综上所述，命题得证 目l z l 3 3 设丁是c a l d e r 6 n z y g m u n d 鼾j m ，算子慨删b 的双线性形式( 码，也g ) 是被紧支集的l i p s c h i t z 函数厂，g 所定义，且它的弱有界性满足条件( a ) 和( b ) 令 6 i r ，魄是一个弱增长函数，若码删0 ) ( g e p ，l p 1 ) ，则对 任意的方体q 有 i 码筋口 r d z o - - 致成立，a = 1 4 2 证明首先我们令艿- 矿”，并且注意前面提到的关于r ”上严范数的定义： h - m 瓤0 鼻l ：1 后) ，在此范数下球实际上和方体是等价的 青岛大学硕士学位论文 固定一个球口当占2 0 1 d i a m ( b ) 时，有 因此 i ( 铂筋。( 圳芳( 2 口) c ， j l 乙6 l 筋。1 2 d s ( 强( 艿) 设支集在占上的函数伊，满足j 弘咖= o ， 根据式子( 1 3 ) 和( i 4 ) 易得： ( 3 3 ) l ( r o - x ：a 矿) 怿c 龇s 印( 口) 必例 ( 3 4 ) 联立( 3 3 ) ，( 3 4 ) 两式，我们有 i ( t 6 i ，力i c 0 纠i f ( ，) ( 占) ，即五6 l z t f 谚( ) 当s l - a ( 工l - t r , 。6 i 磊】( x ) l j lk ( z ，y ) 6 i ( y ) 磊( ) ，) id ( ，) i t 、， 2 1 第三章c z 算子的双线性形式定义在l i p s c h i t z 函数上时的结果 c 窆ji k ( 训) 鼬( y ) = 芝i ， l = i 矿、r o ，i i 由标准核的性质可知陋( x ，y ) l - d i a m b 2 ，在此情况下有 l 巧。6 l 磊】( 工) l c ；若以兰2 3 。以一也就是说此时测度满足双倍情况 令4 磊( 扎：。) ，则在b ”= 曰( 工，r ) 上万；1 令s ：= i b 2 5 d p ，矿( x ) ：- ( z ) 暑s “f6 l 研乃l 磊f 由于6 2 是弱增的，s 2 彬p ( x ，胄) ) ，则 ( 小万d 南k 。，1 6 i 珂码磊】咖 糕吣露确磊 s ，2 3 49 6 2 k 庸l 码名l ( b ( 工，1 2 r ) 匕鼠) ， 青岛大学硕士学位论文 此处露是在r “) 上有界的极大算子( 见文献 1 1 ) 【e 以】( 工) 一o ) = l 、州，。哪6 i 以【r 正f 声( j ，) 一s “j 鸥盼( 1 一铂圳) 磊 一s 。j 醍融钿 。) 以 = l 、叫，j 肿6 l 以【r ( 疋一s 鼬l p ( y ) 一s 。照呱钿删以】d p 又j 8 - s 一8 b # u = o ，因此对第一项有估计 l 、嘶j 砷6 l 以旷( 疋一s 一动i f ) c l s l 。4 川d ，) 茎 对第二项，由引理3 3 可得 拿。1 f 鸥【码j 粕。) 8 b i a s _ s c ( 口( 1 2 2 r ) ) s c ( 口( j ，3 尺) ) s - i c 2 3 。( 占( 五且) ) 万- i c 2 3 4 综上所述，对x b 得到估计 i z 6 1 名】( 工) isc i + g 露1 2 k 乃l 以1 由引理3 3 可得对p - - 2 有 k 码磊8 2 2 s 印( b ) 又府是在叠以) 上有界的极大算子，则l i 确磊| 2 d k t o 一致成立，a = 1 4 a 。 3 设丁是c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，算子坞n 玛的双线性形式( 码厂，6 2 9 ) 是被紧 支集的l i p s e h i t z 函数，g 所定义，且它的弱有界性满足条件( a ) ，( b ) 若 码e 删0 ) ( 某个p ，l l 。则有 eb m 0 1 0 ) 对占 o 一致成立，a = 1 4 a 在今后的工作中，以下问题还有待于我们进一步研究： 能否使通过弱有界性条件的改变，使非齐次型赐定理的充分条件进一步弱化；此 外，我们所研究的几个结果都是关于在非齐次空间下c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子理论的， 青岛大学硕士学位论文 那么我们是不是可以把这些理论做进一步的推广，把它们推广到定义测度的抽象距离 空间，这些工作都是很有意义的。 青岛大学硕士学位论文 参考文献 1 r r c o i f m a na n dg w e i s s ，a n a l y s eh a r m o n i q u en o n - c o m m u t a t i v es u rc e r t a i n s e s p a c e sh o m o g f i e s ，l e c t n o t e si nm a t h ，2 4 2 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 7 1 2 g d a v i d ，o p 6 r a t e u r si n t 6 9 r a u xs i n g u l i e r ss u rc e r t a i n sc o u r b e sd up l a n c o m p l e x e ，a n n s c i e c o l en o r m s u p n 0 4 1 7 ( 1 9 8 4 ) p 1 5 7 1 8 9 3 g d a v i da n dj l j o u r n 6 ab o u n d e d n e s sc r i t e r i o nf o rg e n e r a l i z e d c a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a t o r s ，a n n o fm a t h 1 2 0 ( 1 9 8 4 ) p 3 7 1 3 9 7 4 g d a v i da n dj l j o u r n 6 ，s s e m m e s ，o p 6 r a t e u rd ec a l d e r 6 n z y g m u n d ， f o n c t i o n sp a r a a c c r e t i v ee ti n t e r p o l a t i o n r e v m a t i b e r o a m e r 1 ( 1 9 8 5 ) p 1 - 5 6 5 t m u r a iar e a lv a r i a b l em e t h o df o rt h ec a u c h yt r a n s f o r m , a n da n a l y t i c c a p a c i t yl e c t n o t e si nm a t h 1 3 0 7 ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n 。1 9 8 8 6 m c h r i s t ，l e c t u r e so ns i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r s ，c b m sr e g i o n a l c o n f e r e n c es e r i e si nm a t h e m a t i c s ，n o 7 7 ，a m e r m a t h s o c 1 9 9 0 p 1 1 3 2 7 m c h r i s t ，at ( b ) t h e o r e mw i t hr e m a r k so na n a l y t i cc a p a c i t ya n dt h ec a u c h y i n t e g r a l ，c o l l o q m a t h ，6 0 6 1 ( 1 9 9 0 ) ，p 6 0 1 6 2 8 8 g d a v i d ，w a v e l e t sa n ds i n g u l a ri n t e g r a l so nc u r v e sa n ds u r f a c e s ，l e c t n o t e si nm a t h 1 4 6 5 s p r i n g e r v e r l a g ，b e r li n ，1 9 9 1 e 9 f n a z a r o va n ds t r e i l ，t h eh u n tf o rab e l l m a nf u n c t i o n ：a p p l i c a t i o n st o e s t i m a t e so fs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sa n dt oo t h e rc l a s s i c a lp r o b l e m si n h a r m o n i ca n a l y s i s s t p e t e r s b u r gm a t h e m a t i c a lj o u r n a l 8 ( 1 9 9 6 ) ，n o5 3 2 - 1 6 2 1 0 f n a z a r o va n ds t r e i l ， a n d a v o l b e r g ，c a u c h y i n t e g r a l a n d c a l d e r 6 n z y g m u n do p e r a t o r so nn o n h o m o g e n e o u ss p a c e s i n t e r n a t i o n a lm a t h r e s e a r c hn o t i c e s ，1 9 9 7 ，n o1 5 ，1 0 3 7 2 6 【1 1 f n a z a r o va n ds t r e i l ，a n da v o l b e r g ，w e a kt y p ee s t i m a t e sa n dc o t l a r i n e q u a l i t i e sf o rc a l d e r 6 n z y g m u n do p e r a t o r s o n n o n h o m o g e n e o u ss p a c e s i n t e r n a t i o n a lm a t h r e s e a r c hn o t i c e s ， 1 9 9 8