第一讲 数的整除(1).doc

第一讲 数的整除(1)【典型例题1】 试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。 解析：我们可设a为大于1的正整数，那么和它相邻的两个整数为a1和a1，这三个数之和为a1aa13a，所以我们可以说三个连续的正整数之和一定能被3整除。【知识点】1、整数和整除的意义整除：整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，就说能被整除；或者说能整除。注意整除的条件： (1)除数、被除数都是整数； (2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。2、自然数和整数零和正整数统称为自然数正整数零和负整数统称为整数.【基本习题限时训练】1、 下列算式中表示整除的算式是（ ）（A）9180.5 （B）623 （C）15433 （D）0.90.33 【解】B2、 下列各组数中，均为自然数的是（ ）（A） 1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C） ， （D） 2，4，6【解】D3、 下列说法正确的是 （ ）（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1 （C）没有最大的负整数 （D）最小的自然数是14、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；（3），则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。【解】（1）不正确。零是整数，也是自然数；（2）正确（3）不正确。应该是32能被4整除；（4）正确5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？【解】 四个数中能被2整除的数有24、88，共两个。6、正整数36能被正整数整除，写出所有符合条件的正整数。【解】可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36.【拓展题】1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。【解】设相邻的三个奇数分别为（n为大于1的正整数），根据题意建立方程，求得方程的解，这三个自然数为101，102，103.点评：此题主要考查的知识点整数的表示方法。此题也可设这三个连续自然数为2、能被3整除的正整数各数位上数的和能被3整除。解析：设这个三位数为，则各个数位之和为，根据题意可设，则所以当一个整数的各个数位上的和能被3整除，那么这个数能被3整除。点评：此题考查了数的整除，也介绍了三位数的表示方法。【典型例题2】能被18整除的数的因数至少有几个？为什么？解析：6个，因为能被18整除的数可以表示为18n(n=1,2,3)，它们的因数至少有1，2，3，6，9，18，18n（n1时），当n=1时因数最少，有6个 点评：此题对应的方法，分析易错点，考查知识点，注意点。【知识点】因数和倍数整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数(也称为约数)【基本习题限时训练】1、 下列说法正确的是 （ ）（A）1没有因数，也没有倍数 （B）一个整数的因数的个数有限(C) 一个整数的倍数的个数有限 （D）6的因数只有2和3【解】B2、 在80以内，24的因数和倍数分别有（ ）（A）2，3，4，6，8，12；48，72 （B）2，3，4，6，8，12，48，72（C）1，2，3，4，6，8，12，24，48，72 （D）1，2，3，4，6，8，12，24; 24，48，72【解】D3、24的因数有（ ）个。（A）6 （B）只有1和本身 （C）无数多个 （D）8【解】D4、100以内(不包括100)5的倍数有（ ）个。（A）10 （B）18 （C）19 （D）【解】D5、一个数既是30的倍数，又是120的因数。下列说法中，正确的是（ ）。（A）这样的数只有一个 （B）这样的数有限个。 （C）这样的数有无数多个 （D）这样的数不存在【解】B6、能被48整除的数一定是下列（ ）的倍数。（A）18 （B）24 （C）36 （D）96 【解】B7、正整数a既是甲的倍数，又是乙的因数。下列说法中，正确的是（ ）。（A）甲乙两数大小相等 （B）甲小于乙 （C）甲是乙的因数 （D）乙是甲的因数【解】C8、填空：50以内7的倍数有 【解】 50以内7的倍数有7、14、21、28、35、42、49。9、对于任意整数m，有没有最大或最小的因数，如果有，它们各是什么数？解析：根据因数的概念我们可以知道整数m的因数是有限个，它存在最大和最小的因数【解】最大m,最小是1。【典型例题3】用0、1、5、6四个数字，按要求排成没有重复数字的四位数：（1）能被3整除，但不能被5整除。（2）能被2整除，但不能被5整除。（3）既能被3整除，又能被5整除。（4） 能同时被2、3、5整除。解析：因为能够被2整除的数的个位上是0，2，4，6，8，能够被5整除的数的个位是0或5，若一个数各数位上的数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除结合上述特点归纳得到满足条件的数。解：（1）满足条件的数的个位数字是1或6；（2）满足条件的数的个位数字是6；（3）满足条件的数的个位数字是0或5；（4）满足条件的数的个位数字是0。【拓展题】分别很久的两位老朋友相遇了，其中一个说：他有三个孩子，他们年龄的积等于36，而他们的年龄的和是相遇地点所在房子的窗户数；第二人说，他还不能确定这几个孩子的年龄，于是第一人又补充说他的第二个和第三个孩子是双胞胎，第二人立刻说出了孩子的年龄，试问每个孩子的年龄各是多少？解析 我们先把36分解质因数，然后找出所有的可能，由于其中有两人是双胞胎，因此在所有的可能中再找出有相等数的情况，其次房子的窗户数第二人是知道的，这意味着知道了年龄之和，但第二个人还不能确定孩子的年龄，可见至少有两组年龄和是一样的，然后把筛选出的这些可能的数相加，最后根据年龄小的是双胞胎确定孩子的年龄解 把36化成三个因数相乘的形式，其中有两个因数必须相同，有以下几种情况36=1136=229=166=334又因为房子的窗户数第二人是知道的，这意味着知道了年龄之和，但第二个人还不能确定孩子的年龄，可见其中有两组数的和是一样的，它们是2，2，9和1，6，6，由此可知，年龄和和房子的窗户数都是13因为双胞胎的年龄小，所以三个孩子的年龄分别为2岁、2岁、9岁答：他们的年龄分别为9岁、2岁、2岁【知识点】1. 奇数和偶数能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数2. 能被2、5整除的数的特征个位上是0，2，4，6，8的数都能被2整除个位上是0或者5的数都能被5整除【基本习题限时训练】1、一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（）（A） 120个 （B） 90个 （C） 60个 （D） 30个解析：能同时被2、5整除的数是10的倍数，即10、20、30，又要考虑到同时能被3、4整除（提示：若一个数各数位上的数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除）【解】 C2、20以内的自然数中，奇数共有（ ）（A）7个 （B）8个 （C）9个 （D）10个【解】D3、下列说法正确的是（ ）（A）奇数不可能被2整除 （B）5不可能整除偶数（C）25.5的末位数是5，故它能被2整除 （D）0.420.2，没有余数，所以0.4是偶数【解】A4、下列个数中既能被2整除又能被5整除的数是（ ）（A）120 (B) 45 （C）16 （D）24【解】A5、下列说法正确的是（ ）（A）只有末位数是5的整数才能被5整除 （B）不能被2除尽的数是奇数（C）偶数能被2整除 （D）偶数不可能被5整除【解】C6、既能被2整除又能被5整除的最大的三位数是（ ）（A）900 （B）990 （C）995 （D）998 【解】B7、下列说法正确的是（ ）（A）两个偶数之和为奇数 （B）两个奇数之和为奇数（C）偶数一定能被2整除 （D）两个奇数与奇数之积为偶数【解】C8、 下列说法中错误的是（ ）（A）任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数；（B）一个正整数，不是奇数就是偶数；（C）任何一个奇数加上1之后，得到的都是一个偶数；（D）偶数不能被任何一个奇数整除【解】D9、3569加上（ ）就能被2、3、5整除。（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【解】B10、既能被2又能被5整除，但不能被3整除的最大的二位数是（ ）。（A）95 （B）90 （C）85 （D）80 【解】D11、三个连续的偶数中，最大的是a，最小是（ ）解析相邻的偶数相差2【解】a-4【拓展题】1、找出50以内能被6整除，且被5整除余2的数解析：先找出50以内能被6整除的数（6，12，18，24，30，36，42，48）第二步骤找出被5整除余2的数（12，42）2、一个两位数，它的两个数位上的数之差是2，且能同时被2，3整除，这个两位数最小是多少？最大是多少？解析 能同时被2，3整除的数个位上是偶数，而且个位和十位上的数字之和能被3整除解因为它的两个数位上的数之差是2，且能被2整除，所以当十位数为2时有以下几种情况：当个位是4时，24能被3整除，因此42也成立；当十位数为6时，64或68都不能被3整除。因此这个两位数最小是24，最大是42点评：上述各题考查的知识点是整除的定义，同时也考查了被2，3，5整数的数的特征，在方法上，运用列举法和分析法去分解条件。3、228减去一个数后，能同时被2，3，5整除，减去的这个数最小的是几？解析：能同时被2，3，5整除的数是30的倍数，在228以内满足条件有（30，60，90，120，150，180，210） 所以228-210=18的