第二型曲线积分与曲面积分的计算方法.doc

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2 第二型曲线积分例1 求，其中a，b为正的常数，L为从点A（2a，0）沿曲线y=到点（0，0） 的弧.方法一：利用格林公式法，P(x，y)，Q（x，y）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L是域D的边界曲线，L是按正向取定的.解：添加从点（0，0）沿y=0到点A（2a,0）的有向直线段, 记为 ， 则由格林公式得： 其中D为所围成的半圆域，直接计算,因为在时，所以=0因而： ，从而 方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解（1） 若 （与路径无关的条件）， 则 （2） 是起点 是终点 解： 记为 , 对于，积分与路径无关，所以 对于，取L的参数方程，t从0到，得 从而 对于空间第二曲线一般的解题过程为： 若L闭合，P,Q,R对各元偏导数连续 若L非闭，其参数方程为 其中： ，分别为L的起点，终点参数值. 例2 计算空间曲线积分I=，其中曲线L为圆柱面与平面的交线，从X轴正向看，曲线是逆时针方向.方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用上三角函数的正交性. 解： 令 ， 则 于是I=方法二：解 ： 3 第二型曲面积分例3 计算曲面积分，其中为旋转抛物面 介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.方法一：利用两类曲面积分的联系 其中是有向曲面上点（x，y，z）处的法向量的方向余弦. 解： ， 方法二：分面投影法 如果由给出，则 如果由给出，则 如果由给出，则 等式右端的符号这样规定：如果积分曲面是由方程 所给出的曲面上（前，右）侧，应取“”，否则取“”. 解： 所以 方法三 ：合一投影法 前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐. 事实上，如果的方程， ，（是在面上的投影区域），函数在上连续时，则单位法向量为 由于投影元素 ， ，于是得到所以 等式右端的符号这样确定：如果是由方程所给出的曲面上侧，取“”，否则取“”. 当可用显示方程或表示时，只需注意到此时的法向 量为或，可得相应公式. 上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法. 解：，在面上的投影区域：=，又的下侧，故由上式可得： 方法四：高斯公式 解：曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，应补面的上侧，则用高斯公式 所以 又 所以 4 小结 从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且吻合于通用教材教学中的难点重点，虽然考试题目千变万化，但教材的内容相对稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动.过本文的分析，希望对大家有一定的指导作用. （指导教师：吕国亮）参考文献1 华东师大数学系. 数学分析(下)M，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231.2 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)M，第四版. 高等教育出版社，2003， 375-388.3 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南M. 北京大学出版社，2001，338-362.4 陈文灯. 数学复习指南M. 世界图书出版社，2000，276-287.5 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析M. 机械工业出版社，2002，175-188.6 华中科技大学数学系.考研特别快车数学M.华中科技大学出版社，2001. 204-212. 7 孙一生. 第二型曲线与曲面积分计算的基