（应用数学专业论文）几类非线性微分方程振动性的研究.pdf

， 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文几类非线性微分方程振动性 的研究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立 进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不包含他人已经发表或 撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中已明确的方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：们加日期：朋栅f o 国 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 几类非线性微分方程振动性的研究系本人在曲阜师范大学攻读硕 士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归曲 阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表。本人完 全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授 权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表 论文的全部或部分内容。 作者签名： 导师签名： 可) 垂 j 扣 舟血 莎19 凡 札d 艟哆 疗l鲋鹏 舂谚iozr 少 p 如 w 期 期 r r t r t 摘要 微分方程的振动性理论是微分方程定性理论中一个十分重要的分支， 它具有非常深刻的物理背景和数学模型由g s t u r m 所建立的关于齐次二阶 线性微分方程解的零点分布的比较定理和分离定理，为微分方程振动性理 论的研究奠定了坚实的理论基础。一个半世纪以来，微分方程的振动性理 论得到了迅猛的发展，有大批学者从事于这方面的理论研究，取得了一系 列丰硕的研究成果 微分方程解的振动性也是微分方程解的重要性态之一随着自然科学 与生产技术的不断发展，在许多应用问题中均出现了是否微分方程有振动 解存在或者是否微分方程的一切解均为振动解的问题特别是近几十年，微 分方程解的振动性的研究发展得相当迅速，其中以二阶非线性微分方程最 受人们的关注，因此也被研究得比较深入和广泛，无论是从方程的类型上还 是从研究的方法上均有长足的发展 本文利用广义r i c c a t i 变换，广义变分原理，结合函数的单调性以及巧妙 运用不等式，对几类微分方程的振动性，进行了讨论，得到了一些新的振动 性的判别准则根据内容，本文分为如下四章 第一章概述了本文研究的主要问题及基础理论 第二章研究了一类含强迫项的二阶拟线性微分方程 白( t ) i 茁m ) i a - 1 x 他) ) + q ( t ) l x ( t ) l 卢。x ( t ) = e ( 亡) ，t t o ， 解的振动性，其中p ，q ，e c ( t o ，o o ) ，r ) ，p ( t ) 0 ，且0 0 ，且雪 c ( r ，( 0 ，o 。) ) ，c ( r ，r ) 满足当u 0 时u ，( 钍) 0 本章主要利用了广义l e i g h t o n 变分原理，r i c c a t i 变换，基本不等式将z h a o w e dz h e n g 和s c h e n g 在文【3 6 】中的结论推广和改进，得到了一些新的振动 性准则 第四章研究了一类含强迫项的二阶拟线性微分方程 ( r ( t ) l x ，( t ) i 。t - - 1 x 他) ) + q ( t ) l x ( t ) l t - l x ( t ) - 4 - f ( t ，z ( t ) ，z ( 丁( t ) ) ，z 讹) ，一( 丁( t ) ) ) = e ( t ) ， t t o 0 ，的振动性，其中 ( 五) 0 o ； 慨) f ：【t o ，o o ) r r rxr r 是一个连续函数； ( 厶) 7 ： t o ，0 0 ) - ( 0 ，) 是一个连续函数而且l i m t _ + t ( t ) = o 。 a t i r y a k i 在文 4 2 】中得到了如下方程的振动性 ( r ( t ) l z ( t ) i a - - l z ( t ) ) + f ，z ( t ) ，z ( 7 ( t ) ) ，z 7 ( 亡) ，z 7 ( 丁( t ) ) ) = 0 ， t t o 0 2 0 0 7 年，z h a o w e nz h e n g 和f a n w e im e n g 在【4 0 】文中又研究了方程 ( p ( t ) l x 心) l o ( - - 1 z ) ) 7 + q ( t ) l x ( t ) l 卢一1 z ( t ) = e ( ) ，t t o ， 的振动性，其中p ，口，e c ( t o ，o o ) ，r ) ，p ( t ) 0 ，0 0a n d0 0f o r 让0 o 。) ，r ) w i t h p ( t ) 0 ，皿c ( r ，( 0 ，o o ) ) ， t h e p u r p o s eo ft h i sc h a p t e ri st ou s et h eg e n e r a l i z e dl e i g h t o nv a r i a t i o n a lp r i n - c i p l e ，t h er i c c a t it r a n s f o r m a t i o n ，a n dy o u n g si n e q u a l i t i e st os t u d yo s c i l l a t i o n ，w h i c h i m p r o v ea n dg e n e r a l i z et h er e s u l t si n 【3 6 】o fz h a o w e nz h e n ga n ds c h e n g i nc h a p t e r4 ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h eo s c i l l a t i o nf o rt h es e c o n d - o r d e rf o r c e d q u a s i - l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， ( r ( t ) i x 7 ( t ) l a 一1 z ( 亡) ) + q ( t ) l x ( t ) l 卢一1 x ( t ) + f ( t ，z ( t ) ，z ( 丁( t ) ) ，z 7 ( t ) ，z 7 ( 7 ( 亡) ) ) = e ( ) ， f o rt t o 0 ，w h e r e m ) 0 0 ； ( 厶) f ： t o ，o o ) xr xrxrxr - ri sac o n t i n u o u sf u n c t i o n ； ( 厶) 1 - ： t o ，) 一( 0 ，。o ) i sac o n t i n u o u sf u n c t i o na n dl i r a t _ + r ( t ) = o 。 a t i r y a k i 【4 2 】o b t a i n e ds o m en e wi n t e r v a lc r i t e r i af o rt h ee q u a t i o n si nt h ef o r m ( r ( t ) l x 7 ( 亡) l n 一1 z ( ) ) 7 + f ( t ，z ( t ) ，z ( 丁( t ) ) ，z ( t ) ，z ( 7 ( 亡) ) ) = 0 ， l v 曲阜师范大学硕士学位论文 f o rt t o 0 i n2 0 0 7 ，z h a o w e nz h e n ga n df a n w e im e n g 4 0 1s t u d i e dt h eo s c i l l a t i o no ft h e e q u a t i o n ( p 0 ) i z 7 ( t ) l a - - i x 7 ( 亡) ) + q ( o l z ( t ) l z 一1 z ( ) = e ( 亡) ，t t o ， w h e r ep ，q ，e c ( t 0 ，) ，r ) w i t hp ( t ) 0 ，a n d0 q 时的振动性准则1 7 第四章一类含强迫项的二阶非线性微分方程的振动性6 m o ooeo o e 2 0 4 1 引言20 4 2 由三元辅助函数得到的振动性2 1 4 3 由二元辅助函数得到的振动性o o o i dqo ooo000 2 8 参考文献 ooo00 i 3 3 攻读硕士学位期间发表和完成的主要学术论文3 9 致谢4 0 第一章绪论 随着自然科学与生产技术的不断发展，特别是，在数学、物理学、化 学、生物学等科学领域，不断涌现出大量的非线性问题需要人们去研究、解 决，一方面，这推进了微分方程以及差分方程理论的研究；另一方面，微分方 程以及差分方程理论的不断发展完善可以更好的解决上述实际问题在许 多实际的应用问题中均出现了是否微分方程有振动解存在或者是否微分方 程的一切解均为振动解的问题 微分方程的振动性理论是微分方程定性理论中一个十分重要的分支， 它具有非常深刻的物理背景和数学模型由g s t u r m 所建立的关于齐次二 阶线性微分方程解的零点分布的比较定理和分离定理，为微分方程振动性 理论的研究奠定了坚实的理论基础一个半世纪以来，微分方程的振动性 理论得到了迅猛的发展，有大批学者从事于这方面的理论研究，取得了一系 列丰硕的研究成果微分方程解的振动性也是微分方程解的重要性态之一 特别是近几十年，微分方程解的振动性的研究发展得相当迅速，其中以 二阶非线性微分方程最受人们的关注，因此也被研究得比较深入和广泛，无 论是从方程的类型上还是从研究的方法上均有长足的发展( 部分结果可参 见文【1 】【2 9 】) 本文主要研究几类二阶非线性微分方程的振动性，共分为四章： 在第一章中，着重介绍了微分方程振动性理论的发展历程以及研究现 状，介绍本文的整体结构和主要研究内容 在第二章中，研究了一类含强迫项的二阶拟线性微分方程 白( t ) i 。7 ) l 口一1 2 7 ( 亡) ) + 口( t ) i z ( t ) i 卢一1 z ( t ) = e ( 亡) ，t t o ， 解的振动性，其中p ，q ，e c ( t o ，o o ) ，r ) ，p ( t ) 0 ，l q o 0 ，且雪 c ( a ，( 0 ，o o ) ) ，c c r ，r ) 满足当u o 吼f ( u ) 0 本章主要利用了广义 l e i g h t o n 变分原理，r i c c a t i 变换，基本不等式将z h a o w e nz h e n g 和s c h e n g 在文【3 6 】 中的结论推广和改进，得到了一些新的振动性准则 在第四章中，研究了一类含强迫项的二阶拟线性微分方程 ( r ( t ) l z 7 ( t ) i q 一1 2 7 ( t ) ) + q ( t ) l x ( t ) l 卢一1 z ( 亡) + f ( t ，z ( t ) ，z ( 丁( t ) ) ，z 7 ( t ) ，z 7 ( 7 ( t ) ) ) = e ( t ) ， t t o 0 ，的振动性，其中 m ) 0 o ； ( j 1 3 ) f ： t o ，o o ) xr rx rxr r 是一个连续函数； m ) 1 ： t o ，o o ) - ( 0 ，0 0 ) 是一个连续函数而且l i m t _ + o 。7 ( t ) = o o a t i r y a k i 在文 4 2 】中得到了如下方程的振动性 ( r o ) i z 7 ( t ) i o l - 1 x ( t ) ) 7 + f ( t ，z ( t ) ，z ( 丁( t ) ) ，z 7 ( t ) ，z 7 ( 7 ( 亡) ) ) = 0 ， t t o 0 2 0 0 7 年，z h a o w e nz h e n g 和f a n w e im e n g 在【4 0 】文中又研究了方程 ( p ( t ) l x 心) i a - 1 一( t ) ) 7 + q ( t ) l z ( t ) l 卢一1 z ( t ) = e ( t ) ，t t o ， 的振动性，其中p ，口，e c ( 【t o ，o o ) ，r ) ，p ( t ) 0 ，0 0 方程的所有非平凡解z ( t ) 称为是振动的，如果它有任意大的零 点；否则，称之为非振动的若方程的所有解都是振动的，则称此方程是振 动的 3 第二章一类含强迫项的二阶拟线性微分方程 解的振动性 2 1 引言 本章研究一类含强迫项的二阶拟线性微分方程 ( p ( t ) i z 他) i a - 1 x ) ) + q ( t ) l z ( t ) l 卢1 x ( t ) = e ( t ) ，t t o ，( 2 1 1 ) 其中p ，q ，e c ( t o ，o 。) ，r e ) ，p ( t ) 0 ，且0 o t 卢是常数 我们注意到当0 o l = p 时，方程( 2 1 1 ) 化为半线性微分方程 ( p ( t ) l x 俅) i a - i ：c ，( t ) ) + q ( t ) l z ( t ) l a - 1 x ( t ) = e ( t ) ，t t o ，( 2 1 2 ) 当0 o t 卢时，方程( 2 1 1 ) 是超半线性微分方程 方程( 2 1 2 ) 的振动性及它的特殊形式( 不含强迫项) ( p ( t ) t z ，( t ) i a - - 1 x 印) ) + q ( t ) l x ( t ) l a - 1 x ( t ) = 0 ，t t o ，( 2 1 3 ) 被很多学者广泛研究过例如w i n t n e r 【5 5 】，l e i g h t o n 【5 1 ，k a m e n e v 【4 】，k o n g 5 2 等等在这种类型的方程的振动性方面( 包括含积分系数的方程) 作出了大 量研究成果 半线性微分方程和线性微分方程具有相似的性质，例如，s t u r m 的比较 定理和分离定理( 详见e l b e r t 1 】，j j a r o s 【4 9 ，l i 和y 出【2 4 ) 对方程( 2 1 2 ) 也是 成立的特别的，r i c c a t i 型的方程 伽7 + q ( t ) + a p 一1 a ( t ) 1 w lc q + 1 ) q = 0 ，( 2 1 4 ) 和( n + 1 ) 次泛函 i ( y ) ：= 【q ( t ) l y l 时1 一p ( t ) l y 7 i a + 1 】d t ， ( 2 1 5 ) 在线性振动理论中与经典的r i c c a t i 方程和二次泛函起到了相同的作用( ( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 之间的相关性证明可参阅文【4 9 】) 当o t = 1 时，方程( 2 1 2 ) 退化为含强迫项的线性微分方程 p ( t ) ( 亡) ) + q ( t ) x ( t ) = 0 ，t t o ，( 2 1 6 ) 在文 3 1 】中，w o n g 对方程( 2 1 6 ) 证明了下列结论 4 曲阜师范大学硕士学位论文 定理2 1 1 假设对于任意的t t o ，则存在t 8 1 1 的情形z h a o w e nz h e n g 和f a a w e im e n g 3 4 】改进 了文 3 2 】的振动性判定，得到的振动性判定定理与( 2 1 5 ) 中的( q + 1 ) 次泛函 有关 在这儿我们列出z h a o w e nz h e n g 和f a n w e im e n g 的主要结论 定理2 1 2 假设对于任意的t t o ，则存在t s 1 1 ， ( 2 2 1 ) 等式成立当且仅 - 3 x = y 现在。我们给出我们的主要结论 定理2 2 1 假设对于任意的t 如，则存在t 8 l 8 1 ，使得e ( t ) o 在区间 s l ，t 1 】上成立对于t 矗， 令f ( z ) = g ( t ) z 卢一掣，我们有f ，( 矿) = o ，f ，( z + ) 0 ，其中z = 确 1 伊， 所以f ( z ) 可以获得最小值矿和 f ( z ) f ) = q 。 ) ( 2 2 7 ) 由( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 可得，t l j ( 亡) 满足 艄e ( t ) t o ，我们定义如( 2 2 5 ) 的r i c c a t i 变换；同理可得( 2 2 6 ) 这种情况下，取t 2 8 2 t o ，使得在区间尼= 【8 2 ，t 2 】上， e ( t ) 0 当t j 1 2 时，令f ( z ) = q ( t ) 扩一一缈z a ；我们有f ( z ) f ( 矿) = q ( o 其 余的证明和上述证明一样，我们可得i = 2 时定理成立证毕 推论2 2 1 在定理2 2 1 中，设( ) 三1 ，而且偿2 3 ，式，由下式替换 q t ( 曲：厂t q e ( o g t 心( t ) ) 一p ( t ) i o ( t ) i a + 1 d t o ， q t ( 曲：2z ； q e 舯) ) 一删删叶1 出 o ， i = 1 ，2 ，则方程俾i j ) 是振动的 注1 推论2 2 f 与广义变分形式俾1 9j 密切相关，所以定理2 2 1 ，推论2 幺j 是定理2 j j 和定理2 j 2 的推广伽果我们在推论2 2 1 中，选择g 1 ( u ) = g 2 ( u ) = u a + 1 ，则我们可以获得文章m 中的推论2 砂，并且当o o 是常数，g ( t ) = t e x p ( 3 s i n t ) ，t 【2 彻。，( 2 n + 1 ) 7 r ) ，且g ( 亡) = t a e x p ( 一3 s i n t ) ，t 【( 2 n + 1 ) 万，( 2 n + 2 ) 丌) ，n o 是整数在定理幺2 1 中，选取q = 1 ， 9 曲阜师范大学硕士学位论文 卢= 3 ，由于q 卢，因而在f s 2 中定理f 牙口定理2 j 这种情况不适用然而 我们利用定理2 2 1 ，可以获得方程2 2 2 的振动性事实上，易证q 。( t ) = 2 影孔一a s e x p ( s i n t ) s i n 2 t ，t 【2 m r ，( 2 n 十1 ) 丌) 成立，而且当t 【( 2 n + 1 ) 7 r ，( 2 n + 2 ) 7 r ) 时， q 。( 亡) = ；拖一, x 3 e x p ( 一s i n t ) s i n 2 t 成立对任意t 1 ，我们取足够大的扎使 得n 7 r = 2 k t r t 成立当8 1 = 2 k l r 和t l = ( 2 k + 1 ) 7 r 时，我们选取u ( t ) = s i n t 0 ， g 1 ( t ) = u 2e x p ( 一u ) ，俄们注意到当u o 时有( a l ( u ) ) 2s4 g l ( 钍) j ，咖( t ) = t x 3 ， 则可得 f 1 绯) q e ( 幻g 。( ) ) 出= 兰扼z ：“加8 t n 4 t d t = 妻扼z 霄8 一亡出= 罢讵， 小加卜卅譬渊卜 一 t ，f 。七( 2 霄k + 1 丌i c 0 8t i + a l s i nt l e x p 2 ( 3 s i n t 2 ) j l 2 d t 1 e ”丌( 1 + t a e 3 2 ) 2 d r = 7 ( 1 + 学厅 所以当o 0 ， 在o 7 丽糯时，成立所以利用定理2 2 j ，当o 0 近几年，许多学者对非线性非齐次微分方程( 3 1 1 ) 及它的一些特殊 形式的振动性和渐进性做了大量的工作。使用变分法，j s w w o n g 在文f 3 1 1 中给出了含强迫项的线性微分方程的振动性，w t l i 和s s c h e n g 在文f 3 2 1 中 给出了含强迫项的半线性微分方程的振动性，还有z h a o w e nz h e n g 和f a n w e i m e n g 在文【3 4 】中对含强迫项的拟线性微分方程振动性的研究，以及c a k m a k 和 t i r y a k i 在 3 3 】文中，z h a o w e nz h e n g 和s s c h e n g 在【3 6 】文中都对含强追项的非 线性微分方程的振动性进行了研究 同时，在文【3 5 】中，k o m k o v 给出了广义变分原理( 详见定理2 1 3 ) 并且利 用该原理给出了新的振动性准则 本章的主要目的是在第二章的基础上，使用广义的变分原理来讨论方 程( 3 1 1 ) 的振动性，所得到的新的振动性判定与广义变分形式( 2 1 9 ) 密切 相关，并且推广和改进了上述论文的结果 我们本章的主要内容中将要用到的三个条件在此列出： ( s 1 ) 0 0f o ru 0 ； ( s 2 面赢7 o f o r u o ；1、归( 缸) l ，( t ) p 1 1 卢一 。 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( s 3 ) 0 5 0 f o ru 0 ( 3 1 4 ) 这里，m ，k 0 ，0 0 均为常数易知，( 3 1 2 ) 推出( 3 1 3 ) ，反之 不成立 1 1 曲阜师范大学硕士学位论文 3 2卢= q 时的振动性准则 本节中我们需要用到第二章的引理2 2 1 ，下面，给出主要结果 定理3 2 1 假设例成立叉设对任意的t t o ，存在t s 1 t 1 8 2 t 2 使 得 ， e 。c 3 2 2 ， i = 1 ，2 则方程似j j 夕是振动的 证明： ( 用反证法) 1 段设方程( 3 1 1 ) 存在一个非平凡非振动解z ( 亡) 我们进 一步假设对于某些而t o ，在 t o ，。o ) 上，a c t ) 0 令 泖) = 业鲤制辩，t 狐 ( 3 2 3 ) 对( 3 2 3 ) 两边求微分，利用方程( 3 1 1 ) ，可得当t 如时 一础) g ( 卅粼+ 错朴而嬲端貅( 3 2 4 ) 由已知，当i = 1 ，2 时，s ，t i t o 当z ( t ) o 时，选取区间 = 8 1 , t 1 】，s l t 1 ， 则e ( t ) 0 ，或则当z ( t ) o 时，取区间如= 【s 2 ，t 2 】，s 2 t 2 ，则e ( t ) 0 在区间 和1 21 - ，由( 3 1 3 ) 式和( 4 2 1 4 ) 式，叫( t ) 满足如下不等式 以) q ( d 。， i = 1 ，2 ，则方程p 1 j ，是振动的 ( 3 2 8 ) 定理3 2 2 假设俐成立进而假设t t o ，存在t 8 1 t 1 s 2 。， ( 3 2 9 ) i = 1 ，2 则方程p j jj 是振动的 证明： ( 用反证法) 假设方程( 3 1 1 ) 存在一个非平凡非振动解z ( t ) 我们进 一步假设对于某此- - t o t o ，在 t o ，o 。) 上，z ( t ) 0 令 邮) = 趔端辨筹塑，t 狐 ( 3 2 加) 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 对( 3 2 1 0 ) 式两边同时求微分，由方程( 3 1 1 ) 和( s 3 ) 式，当t 时，可得 州= 鬻+ 嵩+ 帮一q 蒜龋 剑口( t m 卅紫+ 揣 q i 叫( t ) i ( q + 1 ) a ( 3 2 1 1 ) 由已知，当z = 1 ，2 时，8 i ，t i t o 当z ( t ) o 是，选取区间 = 【s 1 ，t l 】，8 l 2 e ( 1 + 害) 2 时，方程p 2 1 3 夕是振动的 事实上，因为强迫项一s i n t 的零点是彻，式p 1 3j 中的常数，y 取q ，i e ， 7 = 口对任意的t 1 ，我们取足够大的n ，使得佗7 r = 2 栅t ，8 1 = 2 七7 r 和t l = ( 2 k + 1 ) 7 r 再选轧( t ) = s i n t 0 ，g 1 ( 让) = i t 2 e x p ( 一u ) 俄们注意到 当u o 时，( g i ( t 1 ) ) 2 4 g 1 ( 让) ，p ( t ) = t a ，则有 厂“p ( t ) q ( t ) g l ( u ( t ) ) d t ：广抖”霄一k t a ( s i nt ) 2e x p ( - s i nt ) d t= t “ a2 j 8 1j 2 七 r = k ( s i n t ) 2e x p ( 一s i n t ) d t 斯半毗 k 丽 5 百， 1 5 曲阜师范大学硕士学位论文 p c t ) ( 号) a p c 亡，( f 札， ，l + 帮) a + 1 d 亡 = 。丌一( 三) 口矿( l + a s i n t e x p ( - i - - t ) ) 2 出 2 e ( 1 + 窘) 2 时，我们可得钟( u ) 0 同样当s 2 ：( 2 k + 1 ) 7 r ， t 2 = ( 2 k + 2 ) 7 r 时，我们取当u ( t ) = s i n t o 时，g 2 ( 钍) = u 2 e x p ( u ) ，仍然注意到 当让o 时，( 咣( 乱) ) 2 4 g 2 ( u ) 易证当k 2 e ( 1 + 叁) 2 时，积分不等式铹( t ) 0 成立所以由定理舅2 j 可知，当k 2 e ( 1 + 害1 2 时，方程佃2 1 3j 是振动的 例3 2 2 考虑下列含强迫项的半线性微分方程： f ( 2 + c 础) t 一入l x ( o l 口- l x ( t ) 17 + k t a e x p ( s i n t ) l z ( t ) r l z ( t ) ：一s i n t ，( 3 2 1 4 ) t 1 ，其中k ，a 0 是常数，且口= 1 应用定理7 2 1 ，我们可以证明，当k 3 ( 1 + a ) 2 时，方程p 2 “j 是振动的 事实上，因为强迫项一s i n t 的零点是n 7 r ，式p j 3j 中的常数7 取q ，i e ， 7 = q 对任意的t 1 ，我们取足够大的n 使得n 7 r = 2 k t r t ，8 1 = 2 k t r 和亡1 = ( 2 k + 1 ) 7 r 再选取缸( t ) = s i n t 0 ，g 1 ( 让) = t t 2 e x p ( 一让) 俄们注意到 - 3 u o 时，( 研( u ) ) 2 4 g 1 ( u ) ，p ( t ) = t ，则有 f t x ，( 2 七十1 ) 霄 p ( t ) g ( t ) g 1 ( u ( t ) ) 疵= r 。t x k t 以( s i nt ) 2e x p ( 一s i nt ) d t = k ( s i n t ) 2e x p ( s i n t s i n t ) d t k z 丌半出 k 霄 2 t ， 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 珈，( 加小他卅篱) 出 = h 矿ac 2 矿a | + 学卜 3 ( 1 + 入) 2 时，我们可得q f ( 钍) 0 同样当s 2 = ( 2 k + 1 ) 丌，t 2 = ( 2 k + 2 ) 7 r 时，我们取让( t ) = s i n t 0 ，g 2 ( u ) = t 2 e x p ( u ) ，仍然注意到当t i o 时，( g ：( 札) ) 2 4 g 2 ( u ) 易证- ：l l g 3 ( 1 + a ) 2 时，积分不等式q 5 ( 钍) 0 成立 所以由定理舅2 j 可知，当k 3 ( 1 + 入) 2 时，方程阻2 j 彳夕是振动的 3 3卢 o 时的振动性准则 定理3 3 1 假设俐成立进而假设对任意的t t o ，存在t 8 1 s l t o ，使得在区间 = 【8 1 ，t l 】上，e ( t ) s0 当t ，令f ( y ) = 幻( t ) 可卢一一笋，n - i 得f 7 ( 旷) = o ，f ，( y ) o ，其中旷= 丽焉 1 伊所以f ( 可) 在旷处取得最小值，而且有 f ( y ) f ( y + ) = q 。( t ) ( 3 3 1 9 ) 由( 3 3 1 8 ) 和( 3 3 1 9 ) 可知加( 亡) 满足 郇m ) 0 时，与( 3 3 1 5 ) 式相矛盾另一方面，如果当t t o t o 时，z ( t ) 是负解，我们定义r i c c a t i 变 换( 3 3 1 7 ) 得至l j ( 3 3 1 8 ) 此时，我们选择t 2 s 2 t o ，使得在区间j l z = 【8 2 ，t 2 】 上，e ( t ) 0 当t 如时，令f ( 暑) = 6 q ( t ) y 卢一一笋，我们可得f ( 可) 芝f ( y ) = q 。( t ) 其余证明类似于定理3 2 1 的证明证毕 推论3 3 1 在定理p 3 中4 p ( t ) 兰1 ，且p 3 1 5 ，式替换如下 色( 牡) ：厂厶 。( t ) g i ( u ( t ) ) 一 i l u ( t ) l qm p ( t ) l u ( t ) l 州 d t 0 ，( 3 3 2 1 ) 色( 牡) ：= 。( t ) g i ( u ( t ) ) 一 n + 1 ，( 3 j 基 i = 1 ，2 则方程p 1 1 夕是振动的 下面我们举例证明定理的有效性 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 例3 3 1 考虑下列含强迫项的拟线性微分方程j ( 7 矿3 z 他) ) 7 + 矿i z ( 1 31 2 z ( t ) = 一s i n 3t ，t 1 ， ( 3 3 2 2 ) 其中7 ，a 0 是常数在定理p 舅砂中，由m ( 也) 兰1 ，可得m = 1 ，q = 1 ， 和p = 3 因为a 卢，定理舅2 1 不适用但是，利用定理p 3 i j ，我们可以得到 方程似舅2 2 ，的振动性对任意的t 1 ，选取充分大的佗，使得n 7 r = 2 k t r t ， 8 1 = 2 k t r 和t l = ( 2 k + 1 ) 7 r 取u ( t ) = s i n t 0 ，g l ( u ) = t 2 e x p ( 一t | ) 陋意到 当札0 时，( g i ( u ) ) 2 4 g i ( u ) ，p ( t ) = t a 事实上，易知， q e ( t ) = 石v 3z ta 3 s i n 2 t ，( 3 3 2 3 ) 厂“q e ：厂( 2 k + 1 ) i r x _ 3 2 i - s i n ( t ) q ( t ) g l ( u ( t ) ) d t s i n t 4e x p ( - s i n t ) d t l q e= 1 ，s 1j 2 k l r 一 = 兰扼小叫4 e x p ( - s i n t ) 如 堕7 r ，1 6 e 。7 ：1p 。，( 号) 口m ，( i c t ，i + 姆) 口+ 1 出 = f s t l x a ( i c o s t l + - x sintexp(-警)3 2 t 2 出 7 ( 1 + 游 因此，t = 1 的情况，当o 一y 捣时，p 3 1 5 ，式成立同理，当s 2 = ( 2 k + 1 ) 7 r 秕2 = ( 2 k + 2 ) 7 r 时，我们可得i = 2 的情况，阻3 1 5 ，7 式也成立所 以由定理只3 j ，当o ，y 0 方程( 4 1 1 ) 的所有非平凡解z ( t ) 称为是振动的，如果它有任意 大的零点；否则，称之为非振动的若方程( 4 1 1 ) 的所有解都是振动的，则 称方程( 4 1 1 ) 是振动的 近年来，对于二阶拟线性微分方程的振动性的研究已经取得了相当丰 富的成果，其中一些成果可以看参考文献 1 6 】- 3 0 】，最近，a t i r y a k i 4 2 】对如 下方程 ( r ( t ) l x 7 ( 0 1 , , - - i x 7 ( t ) ) 7 + f ( 亡，z ( t ) ，z ( 下( t ) ) ，z ( t ) ，z 7 ( 7 _ ( t ) ) ) = 0 ，t t o ， 建立了新的区间振动性判定准则 2 0 0 7 年，z h a o w e nz h e n g s g l f a n w e im e n g 4 0 】得到了方程 ( p ( o l y 7 ( 0 1 a - l y 他) ) + q ( o l y ( o i 卢一1 u ( t ) = e ( t ) ，t t o ， ( 其中p ，q ，e c o ，o o ) ，r ) ，p ( o 0 ，0 q 卢是常数) 的振动性判别准则 曲阜师范大学硕士学位论文 本文在上述论文的基础上，研究了一类更为广泛的二阶非线性方程，主 要讨论f 在三种不同条件下方程解的振动性，其中前两种情况，我们的判定 方法不再严格要求y ( t ) 和，( ) 的符号以往的文章均对时滞型丁( t ) t 和超 前型7 ( t ) t 两种情况下的振动性分开来考虑，本文中丁( t ) 的情况并不影响 我们的振动性结论对于方程( 4 1 1 ) ，本章采用两种方法去讨论，得到了一 些新的振动性判定 4 2由三元辅助函数得到的振动性 本章我们主要引入y 类函数族来研究方程( 4 1 1 ) 的振动性若函数虫= 圣( 亡，s ，z ) 属于y 类函数族，记作西y ，如果西( e ，r ) ，其中e = ( t ，s ，2 ) ：t os ：8 t o o ，并且满足o c t ，t ，z ) = 0 ，圣( t ，f ，1 ) = 0 ，圣( t ，s ，z ) 0 ，z 8 t ，且 在e 上有偏微分o o l o s ，使得对于变量8 e ，# o 8 s 是局部可积的 定义算子： b i g ；2 ，t 】- 西n ( ，s ，z ) 夕( s ) d s ， ( 4 2 2 ) 其中t 8 z 之t o ，且g ( 8 ) c t o ，o o ) ，n