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东北大学硕士学位论文 摘要 冲击载荷作用下复合材料层板层间短纤维增韧研究 摘要 近年来，纤维增强复合材料在许多重要结构中得到了应用，比强度高、比刚度大和 材料性能可设计的特点，使纤维增强复合材料成为最具有发展前途的新型结构材料之 一。层合复合材料的层间性能低，严重的制约了该种材料的发展。分层是层合复合材料 破坏的主要形式，如何提高层合复合材料的层间韧性和抗分层能力已经成为各国学者关 注的焦点。因此，研究层合复合材料的层间增韧方式、增韧性机理及抗分层能力，具有 重要的理论意义和应用价值。虽然对该问题进行了大量的研究，但是至今仍然没有十分 满意的解决方法。实验表明层问加入适量的韧性短纤维，具有明显的层问增韧效果，但 其增韧机理有待于进一步研究。本文通过理论分析和数值模拟研究了冲击载荷作用下短 纤维的层间增韧机理，得到一些有意义的结果。 本文以复合材料力学及断裂力学为基本理论，对a n s y s 软件进行了二次开发，编 制了具有分析纤维增强复合材料层间性能的软件。 使用增广拉格朗日方法计算接触问题，在裂纹处增加了接触单元，用来模拟材料的 不可穿透性。使用n e w m a r k 方法求解动力学平衡方程，在每个子步中对计算结果进行 修正。 使用离散裂纹模型对裂纹进行建模，在裂纹处使用节点双编号的方法，采用节点分 离法模拟裂纹的动态扩展。在计算过程中首先计算能量释放率，当能量释放率达极限值 时，解除该节点的约束，并引入短纤维桥联力。采用一种双向弹簧单元模拟层间短纤维， 通过改变弹簧刚度修正短纤维桥联力，避免了复杂的迭代计算过程。 采用断裂力学的方法，研究了不同铺层形式下的能量释放率及应力分布，并与不存 在层间短纤维的纤维增强复合材料进行了对比。结果表明，层间短纤维能够减小能量释 放率曲线中的尖峰值，有效的提高的层间韧性。 关键词：复合材料；层间短纤维i 桥联；韧性；冲击；能量释放率 东北大学硕士学位论文 i m p a c tl o a d i n d u c e di n t e r l a m i n a rs h o r t f i b e r r e i n f o r c e dc o m p o s i t el a m i n a t e s t o u g h e n i n g r e s e a r c h a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，c o n 6 n u o u sf i b e r r e i n f o r c e dc o m p o s i t el a m i n a t e sh a v eb e e nu s e di nm a n y i m p o r t a n ts t r u c t u r e s t h ep r o p e r t i e so fh i g hr a t i os t r e n g t ha n dm o d u l u st ow e i g h tm a k ei t b e c o m eo n eo ft h em o s te v a l u a t i v ep o t e n t i a lm a t e r i a l s b u tt h es t r e n g t ho fl a m i n a t e si n d i r e c t i o na l o n gt h i c k n e s si sm u c hl o w e rt h a nt h a ta l o n gf i b r e s t h i sd i s a d v a n t a g eh a s s e r i o u s l yl i m i ti t sd e v e l o p m e n td e l a m i r l a t i o ni sam a i nf a i l u r em o d ea n das e r i o u sh i d d e n d a n g e ro ft h ec o m p o s i t e s h o wt oi m p r o v ei t st o u g h n e s sa n da n t i d e l a n l i n a t i o nc a p a b i l i t y h a v eb e e nar e s e a r c hf o c u sa m o n gs c h o l a r sa l lo v e rt h ew o r l ds o ，t h er e s e a r c ho fi m p r o v i n g i t st o u g h n e s sa n da n t i - d e l a m i n a t i o nc a p a b i l i t yw i l lb em o r es i g n i f i c a t i o na n dv a l u a b l eh e n c e ， t h em e t h o d sf o rc h a r a c t e r i z i n ga n di m p r o v i n gi t st o u g h n e s sh a v eb e e nd i s c u s s e di nag r e a t a n a o u n to f l i t e r a t u r e si nr e c e n ty e a r so w i n gt ot h ec o m p l e xn a t u r e so f t h e s ep r o b l e m s ，t h o u g h s o m ew o r k sh a v eb e e nd o n et oi m p r o v ei n t e r l a m i n a rt o u g h n e s s ，f i f f t h e rs t u d yh a sb e e ns t i l l n e e d e dn l ln o w as i m p l ea n dl o w - c o s ti n t e r l a m i n a rt o u g h e n i n gm e t h o du s i n gs p a r s e l y d i s t r i b u t e dc h o p p e df i b e r so r i g i n a l l yd e v e l o p e db ys o h na n dh um a yp o t e n t i a l l yp r o v i d ea s a t i s f a c t o r ya n s w e rt ot h ea b o v eq u e s t i o n i nt h i sp a p e rs e v e r a lm a j o rp r o b l e m sa b o u tt h e t o u g h n e s sb yb r i d g i n gf i b e rw i t hi m p a c tl o a dh a v eb e e ns t u d i e dt h o r o u g h l yi nt h e o r e t i c a la n d n u m e r i c a la n a l y s i ss o m ev a l u a b l ec o n c l u s i o n sh a v e b e e ng a i n e d i nt h i sp a p e r , b a s eo nc o m p o u n dm a t e r i a lm e c h a n i c sa n df r a c t u r em e c h a n i c st h e o r y ，a n o n l i n e a rt h f i t ee l e m e n tp r o g r a mi sd e v e l o p e dt os t u d yi n t e r l a m i n a rs h o r t - f i b e rt o u g h n e s sb y t h em o d eo fs e c o n d a r yd e v e l o p m e n to fa n s y ss o f t w a r et h ep r a c t i c ep r o v e s ，t h i sm e t h o di s f e a s i b l e t h ea u g m e n t sl a g r a n g em e t h o di su s e dt oc o m p u t ec o n t a c tq u e s t i o n ，i nt h ec r a c kp l a c e a d dc o n t a c te l e m e n t ，u s e df o rt os i m u l a t et h em a t e r i a lc a nn o tp e n e t r a t ew i t he a c ho t h e r t h e n e w m a r km e t h o di su s e dt os o l v ed y n a m i c se q u a t i o n ，i ne a c hs t e pr e v i s et h ec o m p u t e dr e s u l t t h ei m p a c tp r o c e s sb e t w e e nt h ei m p a c to b j e c ta n dc o m p o s i t e sl a m i n a t e si ss t u d i e d r e s u l t si n d i c a t e ，i m p a c tp r o c e s si si n t e r r u p t e d ，i ne a c hp r o c e s s ，t h ei m p a c tt i m ei sv e r ys h o r t ， t h ei m p a c tf o r c ei sv e r yb i g d i s c r e t ec r a c km o d e li su s e dt os i m u l a t ec r a c ka n du s i n gt h em e t h o do f n o d e sc o u p l i n gt o s i m u l a t ec r a c ks p r e a df i r s tc a l c u l a t e st h ee n e r g yr e l e a s ed u r i n gn u m e r i c a la n a l y s i s w h e ni t a c h i e v e sad e f i n i t ev a l u er e l e a s e ，t h en o d e sc o u p l i n gc o n s t r a i na n da d ds h o r t f i b e rb r i d g i n g f o r c e f r a c t u r em e c h a n i c sm e t h o di su s e dt oa n a l y z ee n e r g yr e l e a s er a t ei nd i f f e r e n tl a y e rf o r m i i i 东北大学硕士学位论文 e n e r g yr e l e a s er a t ei sc a l c u l a t e dm dc o n t r a s tw i t ht h a tn o th a si n t e r l a m i n a rs h n r t f i b e r r e s u l t i n d i c a t e ss h o r t i f i b e rc a l lr e d u c ee n e r g yr e l e a s er a t ei nc u r v ep e a ks h o r t - f i b e rc a ne f f e c t i v e l y e n h a n c ei n t e r l a m i n a rt o u g h n e s s k e yw o r d s ：c o m p o s i t e ；i n t e r l a m i n a rs h o r t f i b e r ；b r i d g i n g ；t o u g h n e s s ；i m p a c t ；e n e r g yr e l e a s e r a t e i v 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：事j 渗 日期：2 晒6 ； 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名 签字日期： 导师签名： 签字目期： 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 复合材料简介 组成材料 2 】，即连续体和离散体( 图1 1 ) 。连续体是构成复合材料的基本形态，也称为基 复合奉| 料 离散体广。连续体 广上 r 土 。t 。l t _ j 区蘸匮匿 表1 1 部分常用增强纤维的典型力学性能 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 复合材料具有较高的比强度和比刚度。材料的强度除以密度称为比强度，材料的刚 度除以密度称为比刚度。这两个参量是衡量材料承载能力的重要指标。比强度和比刚度 较高说明材料重量轻，而强度和刚度大。这是结构设计，特别是航空、航天结构设计对 材料的重要要求。现代飞机、导弹和卫星等机体结构正逐渐扩大使用纤维增强复合材料 的比例。表1 2 说明了复合材料与其它材料在力学性能方面的差异。 表12 材料力学性能比较 t a b l e12m a t e r i a lm e c h a n i c sc a p a b i l i t yc o n t r a s t 连续纤维增强复合材料是目前应用晟广的复合材料之一，具有强度高、比刚度大、 耐疲劳、减振性能好等特点，广泛应用于航空、航天、化工、机械等主要工业及民用领 域。连续纤维增强复合材料的主要缺点是层问性能低，层间的力学性能远低于纤维方向 的性能，在使用过程上容易产生层间损伤及分层，制约了该材料的应用，该材料的分层 机理、层间增韧及抗分层强度是目前研究的热点问题之一。 1 2 层间增韧研究现状 在纤维增强复合材料中，纤维比较均匀地分散在基体中，在纤维方向增强基体，起 主要的承载作用。基体的作用是把纤维粘结成一个整体，保持纤维问的相对位置，使纤 维能协同工作，保护纤维免受化学腐蚀和机械损伤，并减小环境的不利影响，承受和传 递剪应力以及在垂直纤维方向承受拉、压应力。由于垂直于纤维方向( 横向) 的材料性能 主要取决于基体，而基体与纤维相比，其强度和模量都低，因此这种复合材料常常被设 计成多角度铺设的层合结构口】，使得在横向上也能充分发挥纤维的承载作用，但是层间 方向强度低的问题仍然没有得到解决。 层间性能低是连续纤维增强复合材料的主要缺点之一，在使用过程中容易出现层间 损伤的分层。分层出现以后，层板的局部刚度降低，承载能力下降，极易引发屈曲，以 至于分层进一步扩展，最终导致结构破坏。为了便于理论上研究，人们将分层简化为： 一维贯穿分层f 图1 2 ) ，二维浅埋或深埋圆形和椭圆形分层( 图1 3 ) ；单分层和多分层等。 图14 为几种常见的分层模形，维分层在几何上比较简单，经常用于理论和实际研究， 一2 一 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 也是本文分析的主要形式 一 图1 2 贯穿分层模形图图13 深埋、浅埋分层模形圈 f i g1 2l m p e n e t r a t ed e l a m i n a t i o nm o d e lf i g13d e e po rs h a l l o wb u r i e dd e l a m i n a t i o nm o d e ( a ) 薄膜分层( b ) 多重分层( c ) 单层分层 图1 4 分层截面图 f i g 1 4d e l a m i n a t i o ns e c t i o n 韧性是用来表征材料吸收能量特性的，其定义为：使材料断裂单位体积或单位质量 所需要的能量【4 】。韧性是衡量材料性能的重要参数，韧性高则表示断裂单位体积或单位 质量所需要的能量高，材料不易断裂，反之则容易断裂。 层间增韧问题的研究始于本世纪6 0 年代，为了提高复合材料抗冲击损伤的能力， 人们口1 发展了各种方法以增强复合材料的层间性能。 纤维增强复合材料由基体和增强纤维组成，因此人们最早使用的层间增韧方法是基 体增韧，即通过增强基体的韧性来提高层合板的层间韧性，但是并没有达到预期的效果。 大多数基体材料在增强后，断裂韧性g ：提高了近2 0 倍而由其组成复合材料的i 型层间 断裂韧性g 诂最多只提高了8 倍嘲。k i m l 7 等人研究了g ；随g ：的变化规律，b r a d l e y 8 1 得到了g 盈与g ：之间的变化关系，他们的研究结果证实上述观点。基体增韧方法降低 了复合材料的弹性模量、湿热压缩强度等其它重要的力学性能口j 。因此在使用这种方法 时，还要进行全匠的衡量。 复合材料层合板容易在自由边缘处产生分层，为了抑制这种分层，人们将延展性好 的柔性胶层插入易分层处，由此出现了复合材料层间插入技术”1 。插入法可以使复合材 料的层间断裂韧性g ；和g 蔷大幅度提高。s e l a 等人僦层间插入韧性胶膜对复合材 一3 一 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 料层间断裂韧性的影响进行了研究，层问插入柔性条能够减少纤维复合材料层合板等结 构的冲击损伤面积，提高c a i ( 冲击后压缩强度) 值，从而改善复合材料的冲击性能及损 伤容限能力 1 “，插入层有效的控制了铺层内横向裂纹的扩展，或转变为层问裂纹。 m a s t e r 等人 1 1 , 1 3 1 研究了层间插入对冲击损伤面积以及c a i 值的影响，证明了该方法的 有效性。然而，层间插入法降低了复合材料的面内强度和刚度。 纤维吸收应变能的能力是复合材料抗冲击性能的重要参量之一，研究发现非均匀混 杂结构比均匀混杂结构具有更强的能量吸收能力，能够承受更大的冲击载荷，将具有高 破坏应变的纤维与炭纤维混杂使用，能够提高复合材料的抗冲击能力和损伤容限，因此 出现了混杂纤维增韧性技术1 4 , 1 5 3 。j a n g 1 ”、p e i j s 1 ”、p r e v o r s e 18 1 等人对不同铺层顺序的 混杂纤维层合板进行了研究，讨论了铺层顺序对混杂纤维复合材料层台板吸收冲击能量 的影响。 二维编织也是一种较好的层间增韧性方法，能够大幅度提高层间韧性 1 9 , 2 0 1 。编织复 合材料具较高的损伤容限，一般不会出现沿纤维方向劈裂的损伤形式，只是个别铺层内 会有少量纤维拉伸断裂m j 。 为了阻止或减少层合板内的分层损伤，人们发展了缝纫技术。随着工艺的改进缝纫 技术得到了很大的发展，被认为是提高复合材料层间韧性和损伤容限非常有效的方法 2 13 。由于厚度方向纤维约束的存在，缝纫层合板比一般的二维层合板具有一些独特的优 点。缝纫可以使复合材料的g 。，成倍提高，有的甚至达到2 倍以上阻2 2 2 ，g ，。可提高 2 0 - - 3 0 2 ”。缝纫增强了复合材料层间剪切强度，使层闻的损伤机理发生了改变，由 原来的剪切破坏变成拉伸破坏”。 目前使用的层问增韧方法，一般都带有某种负面影响，如缝纫能使层板的g ，成倍 提高，但工艺复杂、成本高且质量得不到保证，因此不适合工业应用。s o h n 和h u l 2 ” 通过实验发现在传统的纤维树脂层板铺层中将少量的短纤维加入其间，使层间形成一种 杂乱分布的短纤维夹层细观结构，分层扩展时短纤维桥联可以产生明显的增韧效果， o ，可以提高l 倍以上。由于增韧效果明显，而且工艺与传统层板基本相同，具有成本 低的优点，因此该方法是一种有广泛应用前景的增韧途径o j 。 对于纤维增强复合材料的增韧基理有两种主要的理论，m e g a r r y 和m a n d e l l 认为复 台材料中对增韧最主要的贡献来自于裂纹尖端破坏区拉断纤维所需的功，而基体、纤维 脱黏或分离以及纤维拔出对韧性的贡献都可忽略不计 2 7 1 。o u t w a t e r 和m u r p h y 则认为脱 黏过程是最主要的因素口”，并得到了多数学者的赞同。 c o o k 和g o r d o n 的研究工作证明了脱黏的纤维能弹性延伸，随后基体相对于纤维发 4 东北大学硕士学桩论文 第一章绪论 生滑移的过程中裂纹进一步张开，在这个过程中需要消耗一定的能量”。r o m u a l d i 和 b a t s o n 认为裂纹可能绕过大量纤维而不使纤维断开，对给定的纤维基体界面体系可以 达成一种平衡状态，其中有稳定数量的桥联纤维继续承担部分载荷，从而改变了裂纹扩 展的热为学驱动力【3 。这种纤维桥联被认为是一种更进一步的增韧机制。 t r u s s 等人证实，非连续纤维增强复合材料中短纤维的杂乱排列增加了纤维桥联的 效果，对层间与层内裂纹的产生和增长都可以增加断裂韧性p ”。 s o h n 和h u 口”通过实验证明，在传统的纤维树脂层板铺层中加入少量的短纤维，分 层扩展时短纤维桥联( 图1 5 ) 可以产生明显的增韧效果，但是对层问短纤维的增韧机理 的研究仍然不够充分，特别是对于冲击载荷作用下层间短纤维的增韧机理研究的还较 少，本文对这种情况作了研究。 z z 图15 短纤维桥联 f i g ，1 5s h o r t f i b e r b r i d g i n g 桥联的概念是由d u g d a l e 3 2 】和b n b y l 3 ”等人首先提出的，后来又有许多发展h 3 53 “， 但多限于纤维垂直于裂纹面或倾斜角度不太大的情况。对于层问短纤维与裂纹面成大角 度时f 几乎平行) ，其桥联应力与张开位移之间的关系的研究仍不够充分h ”。 崔崧，黄宝宗【3 7 1 等考虑基体剥落与纤维拉出的完全耦合，基于刚体的支承刚度和破 坏条件，利用杆件非线性弯曲模型和有限元法，分析了具有大倾斜角的层问短纤维的桥 联力与层问裂纹张开位移的关系。数值计算表明，桥联纤维的弯曲变形是局部的，主要 是拉伸，在基体剥落与纤维拉出的影响下，韧性较好的芳纶短纤维桥联张开位移较大， 可以在桥联中产生较大的能量耗散和增韧作用。 李英梅，刘军p8 j 等考虑短纤维在层间杂乱分布特点，建立了层问短纤维夹层的桥联 增韧模型和解法，讨论了短纤维长度和模量的影响。研究结果表明，在纤维间相互干扰 下，拉出过程中产生的能量耗散使层间断裂韧性明显提高，中等界面摩擦、较长的纤维 长度和较高的模量有利于提高a g 。 崔崧，黄宝宗 3 9 1 等建立了一个层间短纤维桥联模型，分析短纤维的层间增韧机理和 5 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 主要影响因素。计算结果表明，纤维界面性质对a g ，。有重要影响，纤维杂乱分布引起 的相互干扰及纤维初始弯曲，使层间断裂韧性显著增加。 对于层间短纤维的增韧机理已经有学者作过研究，并给出了一些有意义的结果，但 是他们的研究大多是静载条件下给出的，冲击载荷作用下层间短纤维的增韧机理还没有 文献报导，本文对这种情况做了研究。 1 3 本文研究的内容 本文利用断裂力学及复合材料的基本理论，通过有限单元法，研究了低速冲击载荷 作用下含贯穿分层的纤维增强复合材料分层扩展及层问韧性，对层间短纤维的增韧性机 理进行了研究。本文的主要工作如下： f 1 ) 建立有限元分析模型 由于三维分析的工作量巨大，因此，在复合材料层间性能的研究中多采用二维以及 准三维的分析模型1 的模型。本文使用a n s y s 软件作为有限元分析的基本工具，由于该 软件中提供的复台材料单元都是层合单元，无法使用该单元考虑层间短纤维的增韧问 题，在a n s y s 软件中使用哪种单元类型，如何利用这类单元模拟含层间短纤维的裂纹 扩展问题是这部分的主要内容。 f 2 ) 编制相应的分析软件 虽然本文使用a n s y s 软件作为基本的分析工具，但是由于层间短纤维问题比较复 杂，不能够直接利用现有的单元计算，在裂纹的动态扩展问题上也需要加入相关断裂判 据，对于动态的裂纹扩展问题还要输出很多中间结果，如能量释放率、裂纹尖端对应节 点的相对位移及节点力等，这些都需要通过编程实现。 本文以a p d l 语言为基础，结合c + + 语言和f o r t r a n 语言对a n s y s 软件进行了二 次开发。利用面向对象的c + + 语言对a p d l 语言进行了封装，提高了编程效率，解决 了a p d l 程序调试难的问题，为后处理部分编写了f o r t r a n 程序，并将其连接到a n s y s 程序中。 ( 3 ) 对层间短纤维的增韧效果进行分析 利用前面编写的软件，对层间短纤维增强复合材料进行建模，利用a n s y s 软件的 中断技术在指定时间点输出计算结果。使用离散裂纹模型对裂纹进行建模，在裂纹处采 用节点双编号的方法，使用节点分离法模拟裂纹的动态扩展。在计算过程中首先计算能 量释放率，当能量释放率达到一定值时，解除该节点的约束，并引入短纤维桥联力。采 用种双向弹簧单元模拟层问短纤维，通过改变弹簧刚度修正短纤维桥联力。利用上述 方法研究了层间短纤维对能量释放率的影响，给出了不同铺层形式下的能量释放率的特 一6 一 堂查兰塑主兰堡丝圭 堑二主竺堕 点，讨论了能量释放率的不同组成部分对总能量释放率的影响，分析了层间短纤维对裂 纹尖端节点的相对位移及节点力变化规律。 7 东北大学硕士擎位论文 第= 章基本理论 第二章基本理论 复合材料层合板受外物冲击的计算过程比较复杂，层合板在冲击过程中会表现出明 显的几何非线性行为，冲击物与层合板接触后会产生接触非线性。此外，还需要考虑复 合材料的各向异性。本章将给出以上问题的求解过程中涉及到的基本关系，包括动力学 方程及其解法、非线性问题及其解法、平面问题简化及其基本理论、接触问题及其解法、 分层扩展判据等。 2 1 动力学方程及其解法h 0 1 结构在动载荷的作用下，结构的内部质点会产生相应的运动。这些运动可以用位移、 应力、速度、加速度、频率等物理量描述，统称为结构动力响应。在动力学问题中，位 移x 是时间t 的函数，记童和i 为速度和加速度矢量，则动力学方程可写为 m t + c i + k x = f ( 2 1 ) 式中m ，c 是分别是质量矩阵和阻尼矩阵，f 是载荷矢量。 动力的响应主要有以下三类求解方法：时域方法、频域方法和响应谱方法。其中时 域方法根据解法的不同又可以分为直接积分法、模态叠加法和状态空间法。直接积分法 又可分为中心差分法( 显式) 、h o u b o l t 法( 隐式) 、w i l s o n 0 法( 隐式) 以及n e w r n a r k 法( 隐式) 等。a n s y s 软件中可以使用n e w m a r k 方法、中一i l , 差分法及弧长法，本文在计算过程中 使用了n e w m a r k 方法。 n e w m a r k 方法是由n e w m a r k 于1 9 5 9 年提出的，在n e w m a r k 方法中采用如下的的 速度、加速度表达式： i “1 = 妒+ l ( 1 6 ) 妒+ 占重“1l m ( 2 2 ) x k + l ：x t + i * “+ l ( ；一a ) i + 口t 。“i ( 2 3 ) 式中：口和d 是按积分的精度和稳定性要求可调整的参数。 当j = 1 2 口= 1 6 时，n e w m a r k 方法退化为线性加速度法。当6 = 1 1 2 ，口= 1 4 时， n e w m a r k 方法退化为平均加速度法，是目前用得很广泛的逐步积分方法。 由式( 2 2 ) 及式( 2 3 ) 可以求出， 护1 = 壶( x k + l _ _ x k ) 一壶妒一( 去一) 妒 ( 2 4 ) i 。“：! ) _ ( x 女“x ) + ( 1 一生) i 。+ ( 1 + 生) i 。 ( 25 ) n a t 口z 口 r 一 东北大学硕士学位论文 第= 章基本理论 代入式( 2 1 ) 中，整理后得 式中 定x t + i ：f f 26 ) 霞：k + 当m + 上c ( 2 7 ) 融a a t k i = f k 1 + m b l 扣卜 蠹x q 扣叩1 仁s ， 求解方程即可得到+ ，时刻的位移，代入式( 2 4 ) 和式( 2 5 ) 式即可求得“。时刻的速度 和加速度。 数值稳定性分析表明，当占0 5 、d o2 5 ( 0 5 + j 2 ) 时，n e w m a r k 方法是无条件稳 定的。在实际应用中，当d 不取05 时，n e w m a r k 法将引入虚假阻尼，且与( j o5 ) 成 比例。当6 0 5 时， 导致阻尼，使得响应幅值衰减。即使取j = 05 、a = 02 5 ，在频响应分析中也可能会导 致较大的截断误差，从而使多自由度系统的响应峰值不准确。 对于非线性动力学问题，求解时往往在一个时间步内采用n e w t o n r a p h s o n 法或修 正的的n e w t o n r a p h s o n 方法进行迭代分析。当一个时间步内刚度矩阵变化不大时，每 个时间步一般只需要修正一次刚度矩阵。 2 2 非线性问题及其解法 工程中的所有问题都是非线性的，为适应工程问题的需要在解决某些具体问题时， 可以忽略一些次要因素，将它们近似地作为线性问题处理。从本质上讲，所有固体力学 问题都是非线性的，很少有解析解，线性弹性力学问题只是实际问题的一种简化假定。 在有限元分析中，线性化假设通常包含以下内容：第一，节点位移为微小量：第二，材 料是线性弹性的；第三，物体运动或变形过程中，边界条件的性质保持不变。上述三个 假设中任何一个不满足，都属于非线性问题。有鉴于此，我们通常把固体力学非线性问 题分成三大类，即材料非线性、几何非线性和边界条件非线性。 材料非线性是指材料的物理定律是非线性的，简单的说，就是材料的应力应变关系 是非线性的。这类问题主要表现为非线性弹性、弹塑性、蠕变以及非线性粘性等。通常 位移分量仍然假设为无限小量，即应变位移间满足线性关系。 几何非线性问题一般是大位移问题，或者结构内部的应变较大，或者结构经历了较 大的刚体位移( 如平动或转动) 但应变分量仍假设为微小量，此时假定应力- 应变关系 9 东北大学硕士学位论文 第：章基拳理论 仍然是线性的。 边界非线性问题是由于边界条件随物体的运动发生变化所引起的。其中最典型的例 子是接触问题和可动边界问题。 到目前为止，对于非线性问题尚未找到一种理论上能够精确求解的方法，现在均采 用近似解法，其中数值解法是采用最多，应用最广的一种。非线性问题的数值解法具有 以下特征 4 1 】； ( 1 ) 非线性问题的解不一定是唯一的。 ( 2 ) 解的收敛性事前不一定能够得到保证，还有可能出现不稳定状态，如振荡现象， 甚至于发散。 ( 3 ) 非线性问题的求解过程比线性问题更加复杂和困难，结果的处理也更为复杂。 目前，数值解法己成为解决工程问题的最重要方法之一。其中有限单元法由于方法 可靠、理论简明、应用简便、适用面广，现已被广大工程技术人员接受和应用。 b e s s e l i n g 于1 9 6 3 年将有限单元法和传统的里兹法皿i t z ) 法比较后指出，有限单元法 是里兹法的另一种形式，其势函数就是分片插值函数，在单元上解析，在整个域上仅满 足连续的条件1 4 “。势函数的这一项改进，使有限单元法比普通的里兹法更灵活，适应性 更强。 非线性方程组般不可以直接求解，通常以一系列线性代数方程组的形式去逼近所 考察的非线性方程组，这种近似的方法需要求解一系列的线性方程组，因此比线性问题 要复杂许多。因此求解要复杂、耗时的多，特别是对于动力学问题更是如此。 由于近似线性方程组建立的方法可以各不相同，因而形成了非线性方程组的各种解 法。对于小变形非线性弹性问题可以使用直接迭代法、切线刚度法、应力转移法、初应 力及初应变法等5 0 l 进行求解。对于小变形弹塑性问题一般采用增量法进行求解，如无迭 代增量法、n e w t o n 迭代增量法及修正n e w t o n 迭代增量法。 对于工程问题一般都使用迭代法进行求解，常用的迭代方法有：直接迭代法f 也称 为n e w t o n - r a p h s o n 法或切线刚度法，简称n - r 法) 、修正的牛顿法( 简称m n - r 法) 、拟 牛顿法、载荷向量法和弧长法。 直接迭代法是种最简单、最直观的方法。由于存在收敛速度慢、迭代过程不稳定、 严重依赖于初值的选取等缺点，因此直接迭代法在实际应用中很少采用。牛顿法求解非 线性方程组具有收敛速度快的特点，修正的牛顿法和拟牛顿法则提高了计算效率。弧长 法克服了牛顿法不能越过极值点的缺点，比较适台分析结构软化问题。牛顿法( 又称牛 顿拉斐逊方法) 是本文求解过程中应用的主要方法。 1 0 东北大学硕士学位论文 第= 章基本理论 在有限单元法中，对于线性和非线性问题，最后都归结为求解一个形如式f 2 1 2 1 的 方程组。不同的是线性问题中k 是常数矩阵，非线性问题中k 矩阵是位移的函数，即 k = k ( x ) 。 k x = f ( 2 1 2 ) 为描述方便，将式f 21 2 ) 改写成 m ( x ) 2 k ( x ) - f = 0( 21 3 ) 设巾( x ) 为具有一阶导数的连续函数，初始近似值为x o ，第1 1 次迭代的近似值为x ( 。 把m ( x ) 在x ”处泰勒展开，保留线性性项，忽略高阶项得 中( x ”) + k ? ( x x ”) “0 求解上式得到z 的一个新的近似值x ( ”， x ”1 = x “+ ( k ? ) 。m ( x “)( 21 4 ) 式中，k = 罢l ：( 。) ，在位移法有限元分析中代表结构的切线刚度矩阵，它由相 应的单元切线刚度矩阵组集而成。通过与上一迭代步得到的结果进行相对误差比较，可 以控制收敛过程。单自由度问题的迭代过程如图2 1 所示。 幽2 1 牛顿迭代法不意图 f i g 21n e w t o ni t e r a t i o ns k e t c hm a p n e w t o n 法求解步骤为： ( 1 ) 设初始值x ，令 = 0 ； ( 2 ) 计算切线刚度矩阵， k 妒：丝l 。 缸k w ( 3 ) 计算不平衡量， 1 一 东北大学硕士擘位论文 第= 章基本理论 m ”= q b ( x ”1 = k ( x i ”、x ( 一f ( 4 ) 解方程组 k 缈x ( ”) = 一m ( ”) a x i “) ：一f k ? 1 。m ( ”) ( 5 ) 计算n + 1 次迭近似值 x ( ”+ 1 ) = x ( ”) + x ( ”) ( 6 ) 判断是否收敛，如果收敛，迭代结束，否则令m = h + 1 ，转求解步骤( 2 ) 。 可以证明，牛顿法求解方程单个根时的收敛阶不小于2 ，一般情况具有很快的收敛 速度。但有些非线性问题( 理想弹塑性问题、结构软化问题) 中，由于切线刚度矩阵可能 奇异或是病态，矩阵求逆有一定困难，此时可以通过引入阻尼因子的方法进行修正，以 减弱切线刚度矩阵的病态性质。 2 3 平面问题简化及其基本理论 本文对含有层间短纤维的纤维增强复合材料冲击韧性进行了研究，涉及到几何非线 性、接触非线性等问题，由于这些非线性因素的存在，使得三维模型计算过程中存在着 极大的困难，因此本文采用了二维计算模型。对于贯穿分层的情况，沿分层贯穿方向的 应力场可以认为不变，所以可以简化为平面应变问题。 复合材料的优点之是可以在任意需要的方向上设鼍纤维以满足特定的性能要求， 所以复合材料很少以单层板的形式使用。为了计算多层层合板的性能，首先要知道单向 层的弹性性能随方向角度的变化，因此在使用平面应变计算时需要考虑工程常数的转 化。 纤维增强层合复合栩料单层可作为正交各向异性板，层板沿材料主方向可以表示为 一1 2 f 2 15 ) 矾西以西以巩 o o o o o & o o o o & o o o o o o & o o o & o o o o 0 o s p f 苎苎苎型兰塑兰丝i 堕 苎三主垄查堡笙 d 1 1d l ：d l ， d 2 。d 2 ：d 2 ， d 3 。d 3 2d 3 3 00 0 0o0 0 00 000 000 00 0 d 4 4 00 0 b ，0 00 d 6 。 f 2 1 6 ) 其中邑和岛( f ，= 1 , 2 ，6 ，为材料主方向) 分别为材料的线性柔度系数和刚度系数。 用工程常数可以表示为 b = l 置 一u 2 巨 v 1 3 局 o 0 o 一屹l 岛一屿l 岛0 00 17 e 2一o n e 1 0 00 一屹3 e 21 与0 00 00 1 g 2 3 00 0 00 1 ，g 3 1 0 00 00 1 g 1 2 ( 2 ，1 7 ) 这里用x , q = 1 ，2 ，3 ) 来表示材料主坐标；互为一方向的弹模量；为仅有q 作用时引起， 方向横向应变的泊松比= 詈：q 为i _ 平面内剪切模量。由于柔度矩阵的对称性， 即西= t ，可以得到如下关系 3 ( 吲，“= l ，2 ，3 ) ( 21 8 ) 所以，式( 21 7 ) 中独立的弹性常数只有9 个。 当参考坐标系方向与材料的主轴方向不一致时，必须对式( 2 15 ) 和( 21 6 ) 进行坐标变 换。 图2 2 中一( 1 ，2 ，3 ) 为材料主方向坐标；z ( x ，y ，z ) 为参考坐标；口为纤维方向与x 轴 的夹角。 鸶 图2 2 单层板的坐标 f i g2 2c o o r d i n a t eo fs i n g l ec o m p o s i t el a m i n a t e 1 3 一 函既融西8靠 历西矶西啡 东北大学硕士学位论文第= 章基本理论 两坐标系之间的刚度转换关系为 西 = t 】 d 】 t 】1 ( 2 1 9 ) 其中 西】、 d 】和 t 分别为参考坐标系，材料坐标系下刚度矩阵和转换矩阵。 t 】的 表达式为 t = c o s 2 0 s i n 2 0000- 2 s i n 0 c o s 0 s i n 2 0c o s 2 0 0002s i n 0 c o s 0 00l000 000c o s 口sin目0 0 00 一s i n 目c o s 00 s i n 0 c o s 0 一s i n 0 c o s 目00 0c o s 2 0 一s i n 2 0 在参考坐标系下材料的本构关系为 d l ，q ：口， d 1 2d 2 ：b ， d 3 q ：d 3 ， 00 0 000 oo0 000 0 0 0 000 b 4 00 0 d 5 5 0 00 域6 将式( 2 2 0 ) 、( 22 1 ) 代入( 2 1 9 ) q 6 可得 乓 p t k 比 r 2 2 0 ) ( 22 1 ) 巨l = 日ic o s 4 护+ 2 ( 4 2 + 2 吨6 ) s i n 2 0 c o s 2 口+ 吃2s i n 4 0 巨2 = ( 雹l + 吐2 4 吨6 ) s i n 2 0 c o s 2 0 + 4 2 ( s i n 4 0 + c o s 4 口) d 1 3 = 西3c o s 2 0 + d 2 3 s i n 2 0 臣2 = 吐ls i n 4 0 + 2 ( 4 2 + 2 以6 ) s i n 2 0 c o s 2 0 + 吐2 c o s 4 臼 巨3 = 吐3s i n 2 目+ d 2 3c o s 2 0 ( 2 2 2 ) 历，= 如 或4 = 或4c o s 2 口+ 以5s i n 2 0 d 5 5 = d 4 4s i n 2 0 + 以5 c o s 2 目 瓦= ( 吐l + 吐2 2 吐2 2 吨6 ) s i n 2 0 c o s 2 口+ 吨6 ( s i n 4 0 + c o s 4 臼) 式( 22 1 ) 可以转换应变- 应力关系，记 f 粤2 【旦 a )( 2 2 3 ) i s - d 】 通过计算可以发现在 司中没有零元素，因此，剪应力会引起下应变，正应力也会 引起剪应变，这个种效应称为拉一剪耦合。 1 4 m 西以和巧砌 堡! ! 查堂堡主兰竺堡墨 苎三主叁查垩堡 根据工程常数的定义，柔度系数可用工程常数表示 矗= “ e s j 2 一号2 墨，一i ，z x = 赢：一1 “e ， 瓦：i v z y ： 瓦；了1 品。= u x ” 墨，：= _ 1 u 瓦。：_ 1 u z ” 根据式( 22 2 ) 、( 2 - 2 3 ) 及( 2 2 4 ) ，可求得工程常数。 r 22 4 ) e = 警+ ( 壶+ 百2 v ：z ) s i n 2 0 c o s 2 8 + 百c o s 4