（应用数学专业论文）基于分形理论的pim颗粒表面特性及机理研究.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：二盈羔鼙通p 日期：耳年旦月立日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 导师签名： 日期：五乒年旦月翌日 日期：趟1 年且月坦日 蟑照盟弛 中南大学硕士学位论文摘要 摘要 粉末注射成形是塑料注射成形与粉末冶金技术相结合而发展起 来的一种新型的近净成形技术。本文在综述粉末注射成形的原理、特 点、研究现状及分形理论应用的基础上，利用分形理论对粉末注射成 形中粉末颗粒表面分形特性、热传导、接触载荷及孔隙率进行研究。 首先，分析粉末注射成形过程中颗粒的分形特性，给出粉末注射 成形坯剖面颗粒面积分形维数的计算方法和剖面颗粒的各向异性局 部面积占有率；基于多孔介质热传导的计算公式，推导出粉末颗粒和 粘结剂串并联时粉末注射成形坯各向异性有效导热率的表达式，及其 无量纲有效导热率与剖面颗粒面积分形维数的关系。以铁粉成形坯的 相应参数进行计算，得到成形坯有效导热率随着剖面颗粒面积分形维 数的增大而增大。 其次，用w e i e r s t r a s s m a n d e l b r o t 分形函数表征粉末颗粒表面轮廓的 分形特性，在经典m - b 模型的基础上，根据h e r t z 接触理论，借助于 弹性和塑性临界转化面积，分析粉末注射成形过程中粉末颗粒与模具 以及颗粒间接触时的弹塑性变形过程，进而推导出当颗粒表面发生弹 性、弹塑性、塑性变形等不同接触状态时粉末颗粒表面真实接触面积 和接触载荷的计算公式。 最后，借助多孔介质孔隙结构的分形理论分析了粉末注射成形坯 孔隙结构的分形特性，根据成形坯中孔隙尺寸的分布密度函数，推导 粉末注射成形坯孔隙率的表达式，并且得出粉末注射成形坯的孔隙率 随着孔隙分布分形维数的增加而减小的结论；用粉末注射成形坯的孔 隙体积和总体积求孔隙率的方法，得到带有双重分形维数的粉末注射 成形坯孔隙率的计算公式。 关键词粉末注射成形，分形维数，有效导热率，接触载荷，孔隙率 中南大学硕士学位论文a b s t r a c t a bs t r a c t p o w d e ri n j e c t i o nm o l d i n gi san e wn e a r - n e t - s h a p et e c h n o l o g yo f c o m b i n i n gp l a s t i ci n j e c t i o nm o l d i n ga n dp o w d e rm e t a l l u r g y i nt h i sp a p e r , o nt h eb a s i so ft h eo v e r v i e wo ft h ep r i n c i p l eo f p o w d e ri n j e c t i o nm o l d i n g ， c h a r a c t e r i s t i c s ，r e s e a r c h s t a t u sa n da p p l i c a t i o no ff r a c t a lt h e o r y ，t h e f f a c t a lp r o p e r t i e so fp o w d e rp a r t i c l e ，h e a tc o n d u c t i o n ，c o n t a c tl o a da n d p o r o s i t ya r es t u d i e db yf r a c t a lt h e o r yi np o w d e ri n j e c t i o nm o l d i n g f i r s t l y ，b ya n a l y z i n gt h ef f a c t a lc h a r a c t e r i s t i co fc o m p a c t si np i m ， a l g o r i t h mo ff r a c t a ld i m e n s i o no f i t ss e c t i o np a r t i c l ea r e ai sp r e s e n t e da n d a n i s o t r o p i cl o c a la r e as h a r eo fs e c t i o np a r t i c l ei nc o m p a c t sw i t hf f a c t a l d i m e n s i o ni sc o u n t e d t h e n ，b a s e do nt h ef o r m u l ao ft h e r m a lc o n d u c t i v i t y i n p o r o u sm e d i a ，t h ea n i s o t r o p i ce f f e c t i v et h e r m a lc o n d u c t i v i t yo f c o m p a c t sa n di t sd i m e n s i o n l e s so n e sa r ec a l c u l a t e dw h e np o w d e ra n d b i n d e ra r ei ns e r i e so rp a r a l l e l t h u s ，t a k i n gf ec o m p a c t sf o re x a m p l e ，t h e r e s u l t ss h o wt h a tt h ee f f e c t i v et h e r m a lc o n d u c t i v i t yi se n l a r g e rw i t ht h e i n c r e a s eo ff r a c t a ld i m e n s i o n s e c o n d l y ，t h ef r a c t a lc h a r a c t e r i s t i co fp o w d e rp a r t i c l es u r f a c ei n p o w d e ri n je c t i o nm o l d i n gi sr e p r e s e n t e db yt h ew e i e r s t r a s s - m a n d e l b r o t f r a c t a lf u n c t i o n t h e n ，b a s e do nt h et h e o r yo fc o n t a c tm e c h a n i c s ，t h e p r o c e s so fe l a s t i c p l a s t i cd e f o r m a t i o na sp a r t i c l ec o n t a c t sw i t hp a r t i c l eo r m o l di sa n a l y z e db ym e a n st h ec r i t i c a la r e a so fe l a s t i ca n dp l a s t i c s o ，t h e r e a lc o n t a c ta r e aa n dc o n t a c tl o a df o rp a r t i c l e ss u r f a c ei np o w d e r i n je c t i o n m o l d i n ga r ec a l c u l a t e d ，w h e np o w d e rp a r t i c l e sa r ei ns t a t e so fe l a s t i c ， e l a s t i c p l a s t i ca n dp l a s t i c f i n a l l y ，t h e f r a c t a lc h a r a c t e r i s t i c so fp o r es t r u c t u r ei n p o w d e r i n j e c t i o nm o l d i n ga r ea n a l y z e db yf r a c t a lt h e o r yo ft h e mi np o r o u sm e d i a a c c o r d i n gt ot h ed i s t r i b u t i o nd e n s i t yf u n c t i o no fp o r es i z e ，t h ee q u a t i o n o ft h ep o r o s i t yo fc o m p a c t si np o w d e ri n j e c t i o nm o l d i n gi sg i v e n a n dw e c a ng a i nt h a tt h ep o r o s i t yo fc o m p a c t si sd e c r e a s i n gw i t ht h ei n c r e a s eo f p o r ed i s t r i b u t e df r a c t a ld i m e n s i o n w h i l e ，t h ep o r o s i t yf o r m u l aw i t ha d u a l f i a c t a ld i m e n s i o ni np o w d e ri n j e c t i o nm o l d i n gi sg a i n e du s i n gp o r e v o l u m ea n dt o t a lv o l u m e 文a b s t r a c t p o w d e ri n j e c t i o nm o l d i n g ，f r a c t a ld i m e n s i o n ，e f f e c t i v e v i t y , c o n t a c tl o a d ，p o r o s i t y 中南大学硕士学位论文目录 目录 摘要i a b s t r a c t 目录i 第一章绪论1 1 1 粉末注射成形的原理l 1 2 粉末注射成形的特点2 1 3 国内外研究现状3 1 4 本文研究内容及意义4 第二章分形理论及其应用6 2 1 分形理论的发展6 2 2 分形的定义及特性6 2 3 分形维数及测定方法8 2 3 1 分形维数定义8 2 3 2 计盒维数法9 2 4 分形理论的应用1 0 2 4 1 分形理论在多孔介质中的应用1 0 2 4 2 分形理论在粉末注射成形过程中的应用1 l 2 5 本章小结1 2 第三章粉末注射成形坯的分形特征及其导热率的计算公式1 3 3 1 粉末注射成形坯剖面颗粒分形维数的计算1 3 3 2 粉末注射成形坯导热率的计算1 4 3 2 1 多孔介质导热率的分形模型1 4 3 2 2 粉末注射成形坯各向异性导热率的计算公式1 6 3 3 有效导热率与剖面颗粒分形维数关系分析1 7 3 4 粉末注射成形坯有效导热率的其他影响因素分析1 9 3 5 本章小结2 0 第四章p i m 粉末颗粒表面接触的分形特性研究2 1 4 1 引言2 l 4 2 粉末颗粒表面的分形特性2 l 4 2 1w e i e r s t r a s s m a n d e l b r o t 函数2 2 中南大学硕士学位论文目录 4 2 2 颗粒表面分形参数的计算2 2 4 3 粉末颗粒真实接触面积的计算2 3 4 4 颗粒表面接触载荷的计算2 5 4 5 本章小结2 6 第五章粉末注射成形坯孔隙率的分形特性研究2 7 5 1 孔隙度的一般测定方法2 7 5 2 表征粉末注射成形坯孔隙结构的分形维数2 8 5 2 1 孔隙分布分形维数2 9 5 2 2 孔隙曲度分维2 9 5 2 3 孔隙面积分维3 0 5 2 4 孔隙谱维数3 0 5 3 粉末注射成形坯孔隙率的计算3 0 5 3 1 粉末注射成形坯孔隙率的计算公式3 0 5 3 2 成形坯孔隙率与孔隙分布分形维数的关系3 1 5 4 粉末注射成形坯孔隙率与双重分形维数的关系3 2 5 5 本章小结3 3 第六章总结与展望3 4 6 1 总结3 4 6 2 展望3 4 参考文献3 6 致谢4 1 攻读学位期间主要的研究成果4 2 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 粉末注射成形的原理 第一章绪论 粉末注射成形( p o w d e ri n j e c t i o nm o l d i n g ，简记为p i m ) 是塑料注射成形与粉 末冶金技术相结合而发展起来的一种新型的近净成形技术【l 】。对于金属称为金属 粉末注射成形( m e t a li n j e c t i o nm o l d i n g ，m i m ) ；对于陶瓷则称为陶瓷粉末注射成 形( c e r a m i ci n j e c t i o nm o l d i n g ，c i m ) 。由于其在制作几何形状复杂、组织结构均 匀、高性能的近净产品方面具有独特的技术和经济优势而倍受瞩目。p i m 适用于 各种能制成细粉的金属和陶瓷材料，例如纯铁、低合金钢、不锈钢、工具钢、高 温合金、难容合金、有色金属、硬质合金、高密度合金、金属陶瓷、金属间化合 物、磁性材料和钦合金等，产品广泛地用于航空航天、汽车、电子、军工、医疗、 日用品及机械领域 2 1 。自2 0 世纪7 0 年代初问世以来，p i m 技术获得迅速发展， 并很快进入产业化阶段，已成为粉末冶金领域最热门的工艺技术。 p i m 的基本工艺过程【3 】是将细小的金属或陶瓷粉末与1 5 一5 0 的有机粘结 剂在一定温度下混炼成均匀的喂料，经制粒后在加热熔融状态下( 1 0 0 c - - 1 8 0 c ) 用注射机将其注入模具型腔中得预成形坯，然后再采用化学或热分解的方法完全 脱去成形坯中的有机粘结剂，最后经烧结致密化及后处理得到最终产品。具体的 工艺过程如图1 1 所示。 念念 删蛐 瞻萎雕椭 图1 - 1p i g 工艺基本流程图 中南大学硕士学位论文第一章绪论 粉末注射成形的工艺过程可分为四个基本阶段【4 】，即喂料制备、注射成形、 脱脂、烧结。第一阶段喂料制备包括几个独立的步骤，即原料粉末的预混合、粘 结剂的制备、粉末粘结剂喂料的混炼、喂料制粒。这一阶段p i m 工艺与传统塑 料注射成形工艺最大的区别在于采用金属或陶瓷粉末作为原料，由于粉末本身的 流动性不好，所以需要加入大量粘结剂来增强流动性，带动粉末成形。原料粉末 一般分为两种，元素粉和预合金粉。元素粉末毫无疑问需要进行预混合，就是预 合金粉末一般也加入部分表面活性剂进行预混合。预混合好的粉末需要与粘结剂 在一定温度下混炼成均匀的、具有流动性的喂料，然后像塑料行业中一样制成大 小均一的颗粒便于作为原料喂入注射成形机。第二阶段为注射成形，这一阶段完 全不同于传统粉末冶金的压制成形，而是类似于塑料工业中的成形工艺，在一定 压力和温度下将喂料以流体形式注入模腔一次成形出三维精细复杂形状和结构。 第三阶段为脱脂，这一阶段属于粉末注射成形工艺独有的步骤，因为在这一阶段 要从坯块中脱除约3 0 - - - - 5 0 v 0 1 的粘结剂，完全不同于传统粉末冶金压制工艺中 极少量的表面活性剂的脱除。最后一阶段为烧结，此阶段类似于传统粉末冶金中 的烧结，但也有一些区别。传统粉末冶金压坯在烧结前一般都已有9 0 以上的相 对密度，要达到全致密化只须消除约1 0 的孔隙即可。而粉末注射成形坯在脱脂 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 表1 - 1m i m 和精密铸造成形能力的比较 通过对国内外的研究状况和生产情况的分析和归纳，p l m 工艺的特点可以用 综合图1 - 2 来表示。 m a t e r ；a l f l e x 。i b iii t y p r e c i s i o n ，、l o wc o s t 啪知i 8 咛、，唧r o d u c t i o n t pim ) ， 、一 h i g h s h a p e p r o p e r t i e sc o m p l e x i t y 图1 - 2 应用p i m 工艺的五个主要优势 基于以上特点，粉末注射成形是应用最广泛最热门的零部件成形技术。 1 3 国内外研究现状 粉末注射成形是传统粉末冶金技术与现代塑料注射成形技术相结合而产生 的一门零部件近净成形技术。其产品广泛应用于电子、医疗器械、航空航天、汽 车、军械、日用品及机械制造等行业【5 1 。粉末注射成形技术最大的特点是可以从 金属或陶瓷粉末直接制备出具有最终形状和尺寸的零件，它把粉末冶金技术成形 复杂形状零件的能力提高到了前所未及的高度，而且产品的尺寸精度高、组织结 构均匀、性能优异，已成为近年来粉末冶金学科和工业领域发展最迅猛的一项高 新技术【”】。美国已将粉末注射成形技术列入对国家的经济繁荣和持久安全起至 关重要作用的“国家关键技术 。 由于p m 是源于塑料注射成形的新型粉末冶金技术，传统的研究只是从宏 3 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 观的角度对p i m 中动量守恒、能量守恒、颗粒模型等问题进行研究，但是对于 粉末颗粒装载后所成散体空间结构以及成形坯的分形特征的研究进展不大，对 p i m 机理的研究还有待完善。 近年来，国内外在材料表界面研究中应用分形理论的文章屡见不鲜。分形理 论在材料的微观形貌同宏观性能之间搭起了一座桥梁，使得用微观形貌描述宏观 性能从定性的说明到定量的分析成为可能。分形理论的引入可为研究粉末注射成 形提供更准确的定量描述原料特征的方法，为粉末注射成形过程的控制提供了更 精确的工艺参数。用分形几何语言来更准确地描述粉末空间复杂性特征和混合喂 料的流变学特性，通过数值模拟来分析混合喂料参数与工艺参数的微小变化对粉 末注射成形过程的影响，探索粉末注射成形制品缺陷形成的机理与规律。实际上， 粉末颗粒的表面特征及粉末颗粒装载后所成散体空间结构对p i m 过程中颗粒的 内摩擦、系统能量的耗散、粉末的致密度、粉末颗粒的摩擦功率与温升以及散体 空间的热传导有重要的影响。2 0 0 5 年中南大学郑洲顺教授、李金萍等【8 - l l 】对单个 粉末颗粒表面及边界的分形特征及分形维数进行了研究，表明粉末颗粒表面具有 分形特征，粉末颗粒注射所成的空间结构也具有分形特征。 1 4 本文研究内容及意义 在粉末注射成形过程中，粉末装载后所形成的散体空间以及成形坯的结构特 性对零部件的密度有重大影响，但目前大多数是对粉末颗粒边界、颗粒表面、颗 粒形状等性质的研究。由于粉末散体空间中粉末颗粒的形状及排列不规则，经常 存在着大小颗粒团聚或粘结效应、颗粒大小不均匀等问题，因此精确描述粉末成 形坯的结构特性是相当困难的。分形理论作为目前国际上处理复杂而形状不规则 对象的新方法，被引入到注射成形过程中，并且在粉末颗粒的研究中已取得了一 定的成果。但是，对于粉末散体空间结构以及注射成形坯的研究进展不大。 本文应用分形理论首先给出粉末注射成形中粉末颗粒表面分形维数的计算 方法，然后分析粉末注射成形坯的热传导、粉末颗粒间的真实接触面积及接触载 荷和成形坯孔隙率等与分形参数的关系。因此，本课题主要从以下方面对粉末散 体空间及p i m 的机理进行研究： ( 1 ) 分析粉末注射成形坯的分形特性，给出其剖面颗粒面积分形维数的一 般计算方法； ( 2 ) 利用剖面颗粒表面分形维数，将粉末注射成形坯视为一种多孔介质， 研究粉末注射成形坯各向异性有效导热率，以铁粉成形坯为例分析有效导热系数 与分形维数的关系； ( 3 ) 结合接触力学理论，描述p i m 中粉末颗粒接触时的弹塑性变形过程， 4 中南大学硕士学位论文第一章绪论 建立颗粒表面接触发生弹性、弹塑性、塑性变形时粉末颗粒表面真实接触面积的 分形模型，进而给出在不同接触状态下颗粒表面接触载荷的分形公式； ( 4 ) 分析粉末注射成形坯孔隙结构的分形特性，推导粉末注射成形坯孔隙 率的分形模型，并给出带有双重分形维数的成形坯孔隙率的计算公式。 该论文将分形混沌理论应用于p i m 的研究，探讨粉末分形特征参数的扰动 对p i m 过程的影响。所作研究可能有利于分析粉末特性对流动过程的影响、更 准确地预测或解决粉末注射成形特有的粉末密度分布和粉末一粘结剂两相分离、 粉末聚集等粉末注射成形的特殊现象。 中南大学硕士学位论文第二章分形理论及其应用 第二章分形理论及其应用 本章阐述了分形几何学的产生、发展及基本理论，介绍了常用分形维数的定 义，最后综述了分形几何在多孔介质和粉末成形等方面的应用现状。 2 1 分形理论的发展 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，它的研究对象是自然界 和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体，分形理论的数学基础是分形 几何学。 1 9 7 3 年，美籍法国数学家m a n d e l b r o t 创立了分形几何理论。他的专著分 形：形，机遇和维数( f r a c t a l ：f o r m ，c h a n c ea n dd i m e n s i o n ) t 1 2 】于1 9 7 5 年出版， 标志着分形理论的正式诞生。1 9 8 2 年，m a n d e l b r o t 出版了著名的专著大自然 的分形几何学( t h ef r a c t a lg e o m e t r yo fn a t u r e ) 1 3 】，至此分形理论初步形成。 m a n d e l b r o t 提出了分形的三要素：构型、机遇和维数，并指出分形是研究自然界 中没有特征长度而又有自相似性的形状和现象。由于分形能反映自然界存在的大 量非线性现象和几何形状的客观规律，因此立即引起了各国科学家的重视。 从1 9 8 1 1 9 8 7 年是分形理论发展的黄金时代。分形几何理论为描述物体内部 复杂结构和空间分布提供了一种新的行之有效的手段，从而为精确研究复杂结构 内发生的各种物理化学过程开辟了一条新的途径。随后，这一新兴科学在数学、 物理、化学、地理、生物、医学、粉末冶金诸学科中已达到广泛发展。由于非线 形数学工具的匮乏，科学家逐渐认识到分形理论自身存在的缺陷，但是仍有许多 科学家孜孜不倦地将分形理论用于其自身的研究领域内，并获得了很大的成功。 2 2 分形的定义及特性 分形是一门几何学，它研究的对象是欧氏空间的一类子集，这类子集的结构 较为复杂，用欧氏几何很难对其进行描述【1 4 1 。起初，m a n d e l b r o t 曾给分形下过两 个定义，但经过理论与应用的检验，人们发现这两种简单的定义很难包括分形如 此丰富的内容，因此这两个定义也逐渐的不被提及f 1 5 】。之后，人们做了各种各 样的努力企图给分形一个严格的数学定义，但是这些定义都很难适用于一般的情 形。于是人们就联想到了用生物中对生命定义的方法来处理，即对分形并不给其 一个严格和明确的定义，而是列出其一系列的性质来加以区分。 6 中南大学硕士学位论文第二章分形理论及其应用 一般地，称集f 是分形，即认为它具有以下一些典型的几何性质【1 6 1 7 】： ( 1 ) f 具有精细的结构，即具有任意小比例的细节； ( 2 ) f 是如此的不规则以至于它的整体和局部都不能用传统的欧式几何语言来 描述； ( 3 ) f 通常具有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的； ( 4 ) 一般地，f 的“分形维数 ( 以某种方式定义) 大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，f 以非常简单的方法定义，可能由迭代产 生。 对于各种不同的分形，有的可能同时具有上述的全部性质，有的可能只有其 中的大部分性质，而对某个性质有例外，但这并不影响我们把这个集合称为分形。 为了让大家对分形的自相似性及构造过程有个直观的了解，下面给出经典分 形k o c h 曲线的构造过程，如图2 1 所示，并简单说明其构造原理。k o c h 曲线， 是h e l g ey o nk o c h 于1 9 0 4 年构造的。其构造步骤为：首先，将一单位线段三 等分，并截去中间的1 3 部分，代之以边长为1 3 的6 0 。角；然后，再对每一 条1 3 长的线段重复上述过程，直至无穷，所得曲线即为k o c h 曲线。k o c h 曲 线是包含于有界区域内的无限长曲线，它是数学领域中处处连续、处处不可微曲 线的典型代表。 7 中南大学硕士学位论文 第二章分形理论及其应用 图2 - ik o c h 曲线的构造过程 分形几何和欧氏几何的区别在于维数方面。欧氏几何认为空间的维数是整 数。分形几何的维数随对象的几何特征而定，并认为：对于任何一个有确定维数 的几何体，若用相同维数的“尺”去度量，则可得到一确定的数值n ；若用低于 它维数的“尺一去度量，则其结果为无穷大；若用高于它维数的“尺”去度量， 其结果为零【8 1 8 】。其数学表达式为： n ( l ) p 式中，l 是度量尺度；n ( l ) 可以是长度、面积、体积等；d 是分形维数，既可以 是整数，也可以是非整数。 分形的特点是自相似性。所谓自相似性是某种结构或过程的特征从不同的空 间尺度或时间尺度来看都是相似的。自然界的分形分两大类：一大类是无规分形； 另一大类是有规分形。有规分形是具有严格自相似性的分形，而无规分形是统计 自相似的分形。粉末颗粒表面形貌具有自相似性，用不同放大倍数观察颗粒表面， 可以发现表面形貌结构具有相似的细部特征，表现为无穷多的层次潜逃，从任何 尺度看都具有更小尺度上的精细结构，但是这种局部放大的形貌与原来的形貌并 不是简单地完全重合相似，而是存在一定的尺度伸缩性，一般是近似的或同级意 义上的相似性，即在一定局域范围内成立，它属于无规分形。 2 3 分形维数及测定方法 2 3 1 分形维数定义 维数是几何学和空间理论的基本概念。分维大都是非整数，所以又称分数维。 对于分数维的引入我们可以这样理解：我们在测量一个几何形体时，需要选择基 本单位，只有这个单位的维数与所测量形体的维数一致时，才能够得到确定的值。 例如我们用单位长度的线段去测量直线的长度( 二者的拓扑维数均为1 ) ，或者用 单位面积的正方形测量一个区域的面积( 二者的拓扑维数均为2 ) ，如果反过来， 用线段去测量区域的面积，所得的结果将是无穷大，说明所用的尺度太“细 ； 8 中南大学硕士学位论文第二章分形理论及其应用 如若用单位正方形去测量线段的面积，结果必为零，说明所用的尺度太“粗”。 同样的道理，当我们用一维的单位线段去测量k o c h 曲线的长度时，其结果是无 穷大，如果用二维的单位面积来度量其结果又是零。如果想要得到确定的度量值， 必须以维数介于l 和2 之间的尺度来测量，因此，k o c h 曲线是分维数介于1 和2 之间的几何对象。分维值反映了分形集的复杂程度，体现了分形所占据的空间大 小，维数越高的分形集填充的空间越多。 对维数的认识在数学史上经历了相当长的发展过程，1 9 1 4 年c a r a t h e o d o r y 提出了用集合的覆盖来定义测度的思想，1 9 1 9 年f h a u s d o r f f 用这种方法定义 了以他名字命名的测度和维数，以此为基础，数学家们发展出了若干种不同的维 数，包括拓扑维、豪斯道夫维、相似维、盒子维、容量维等等。其中常用的是相 似维和盒子维。 相似维数是利用分形的自相似性来求得的分维值。我们可以这样理解：把一 个物体的边长分成r 等份，结果得到与原物形状相同的n 个小物体，用d 表示相 应物体的维数，则有n = ，d ，写成对数的形式则有d = l o g ( n ) l o g ( r ) 。对于线段、 正方形和立方体来说，很容易得出它们的维数分别为l 、2 、3 。对于实际的物体， 由于l o g ( n ) l o g ( r ) 不一定为整数，因此就会出现分数维的情况。用这种方法很容 易求得k o c h 曲线和s i e r p i n s k i 地毯的分维值。 对于给定的对象，用很小的单元块s 填充它，填充完毕所用的单元块数目为 n 。改变占的大小，自然会得到不同的n 值。占越小，得到的n 越大；s 越大，得 到的h 就越小。把不同的g 和n 在双对数坐标系下标出，往往会得到一条直线， 这条直线斜率的绝对值就是给定对象的维数。这种计算维数的方法称为计盒维数 法，得到的分维值叫做计盒维数或盒子维。由于其易于用计算机求得，计盒维数 法是迄今为止在各个学科中求分维时应用最为广泛的一种方法。 2 3 2 计盒维数法 对r ”的一个非空有界子集e ，设，( e ) 是覆盖e 的直径为，的集合的最少个 数，则e 的上、下盒维数可定义为： 一d i m 口e ：l i m s u p 蝴 r - - o + 一l o g r d i m r e ：l i mi n fl o gn ，( e ) 。 ，剐+ 一l o g r 如果他们的值相等，则称这个相等的值为e 的盒维数，记为 9 中南大学硕士学位论文 第二章分形理论及其应用 渤b e = ，l 州i r a 等 ，+ u 一l n 口， 如图2 2 所示，如果将表面轮廓曲线用一边长等于1 的方盒子覆盖，将此方盒 分割成含有? 个小方盒的网格集，小方盒的边长为2 一，用这个网格集覆盖轮廓 曲线，统计出与轮廓相交的小盒子数量m 伽) ，则曲线的分形维数 d ：l i m l o g m ( n ) 逞“2 暑一0 , 4w 1v “魄 葺 v o ，气卅 t i h 盂一l 8 l 7 7 v v v 呷 o o j o 2o 3乱 m5 嗣_ - 曲- - - - 2 4 分形理论的应用 图2 - 2 盒维数法 自从m a n d l b r o t 在7 0 年代提出分形思想并逐步形成分形几何理论体系以来， 分形理论引起了国内外广泛的关注。近年来，分形理论在国内外的发展非常快， 已逐渐地深入到了自然科学、社会科学的各个领域【1 9 - 3 4 1 。2 0 世纪8 0 年代初期， 分形的概念开始被研究者们用来研究多孔介质内的各种传递现象。大量的实验和 计算分析证明，对于自然界实际的多孔介质，基质、孔隙、孔隙表面甚至孔隙结 构中的某些传递现象都具有分形结构特征，多孔介质的输运性质有可能通过采用 分形理论与方法来获得其分析解。分形概念的引入为多孔介质传热传质研究提供 了新的方法和手段，从而有可能更深刻地揭示多孔介质内热质传递过程中的现象 和规律。 2 4 1 分形理论在多孔介质中的应用 目前，国内外诸多学者在这方面做了比较深入的研究。 陈永平和施明恒 3 5 - 3 8 1 根据分形理论，计算了土壤剖面面积分布分形维数，并 利用热阻法假定热量在土壤中的传导路线是一种分形结构，提出了一个简化的并 联通道分形热模型，并求出了基于分形理论的土壤有效导热系数表达式，把有效 导热系数表达为介质的各相热导率、尺度、颗粒面积以及分形维数的函数关系。 1 0 中南大学硕士学位论文第二章分形理论及其应用 施明恒和樊荟【3 9 】运用三次k o c h 曲线来近似模拟多孔介质中热流的导通路 径，假设热量是通过平行的多股相同k o c h 曲线在多孔介质中传导的，即多孔介 质固体骨架是近似按照三次k o c h 曲线连接而成。假定热量在多孔介质中的传导 路线也是一种分形结构，提出了一个简化的多孔介质并联通道分形导热模型，求 出了多孔介质有效导热系数表达式。虽然这个假设主观色彩较浓，但它为深入研 究复杂多孔介质材料传热传质开辟了一条新路。 王唯威、淮秀兰m 】基于分形理论构造了不同类型的分形结构来模拟多孔介 质，采用有限容积法对其导热问题进行了数值模拟问题，结果发现有效导热系数 与基质导热系数、孔隙流体导热系数大致分别成幂函数关系，与孔隙率大致成指 数函数关系。 分形在摩擦学领域的应用主要涉及粗糙表面的表征、表面接触、摩擦磨损、 摩擦表面温度分布等问题的分形研究。首先在1 9 8 6 年，t r t h o m a s 和a e t h o m a s 通过对粗糙表面的研究，指出工程粗糙表面具有分形性质。从而开创了 分形理论用于粗糙表面研究的先河。m a j u m d a ra 和b h u s h a nb 4 1 1 基于分形几何 理论提出全新概念的粗糙表面弹塑：生接触模型( m b 模型) ，为定量描述摩擦表面 形貌及其与材料摩擦磨损特性的关系提供了新的途径。王新华，张嗣伟等【4 2 】在 对m b 接触分形模型改进的基础上，根据a r c h a r d 粘着磨损理论导出了基于分 形参数的粘着磨损模型，该模型揭示了磨损率与分形维数，接触面积等参数的关 系。 k a t z 等【4 3 】把分形理论用来分析多孔介质内部的几何结构，研究表明：多孔 介质孔隙空间和孔隙界面都具有分形结果，并具有相同的分形维数，并可以用分 形维数来预测多孔介质的孔隙度。郁伯铭附】根据分形基本理论推导出双重多孔 介质的渗透率分形模型，并说明了模型成立的条件。t h o m p s o n 和k a t z 4 5 】已经证 明了多孔介质的微观孔隙结构具有分形特征，并测定了其分形维数。2 0 0 6 年刘 俊亮等【4 6 j 验证了多孔介质孔隙微结构参数的分维关系。 2 4 2 分形理论在粉末注射成形过程中的应用 在粉末注射成形过程中，对颗粒的边界进行定量表征是颗粒微观形貌研究的 基础。郑洲顺、李金萍【黏1 1 】等已经对p i m 粉末颗粒形状的分形特性做了研究。以 传统盒子计数法和周长面积法为基础，提出了固定码尺为象素，以粉体颗粒氢氧 化铝为例，得到颗粒边界分形维数的计算方法。并通过实验数据说明分维是描述 颗粒边界和表面微观形貌复杂程度的更加精细的定量表征参数。 赵晓彤和杨善让【4 7 】等以分形理论为工具，采用填充率、散体颗粒直径等宏 观易测参数来描述颗粒散体的集合结构，研究了粒径均匀散体导热系数的分形描 述。 中南大学硕士学位论文第二章分形理论及其应用 作为一种新兴的理论和研究方法，分形理论为描述物体内部结构的复杂程度 和空间分布提供了一种全新的行之有效的手段。随着研究的不断深入，分形几何 在多孔介质输运性能的研究中将日趋成熟，将对粉末成形中机理的研究提供理论 参考。 2 5 本章小结 本章首先介绍了分形理论的发展、定义与特性、分形维数的定义与计盒维数 法，然后综述了分形理论在多孔介质的传热，摩擦学，孔隙等方面以及粉末注射 成形过程中的应用，为下面运用分形理论研究粉末注射成形过程中的粉末特征及 粉末注射成形的机理提供了理论基础。 1 2 中南大学硕士学位论文第三章粉末注射成形坯的分形特性及其导热率的计算公式 第三章粉末注射成形坯的分形特征及其导热率的计算公式 成形过程是注射成形工艺极为重要的一步，分析研究粉末注射成形坯的导热 率，对粉末注射成形过程中的脱脂等后续工艺的优化控制具有重要意义。目前， 国内外在对多孔介质颗粒分形特性描述的基础上，已经利用分形理论对多孔介质 中的传热传质过程进行了大量的理论和实验研究。但是没有考虑多孔介质导热率 的各向异性。本章将基于分形理论，把粉末注射成形坯的导热系数与其内部微空 间结构联系起来，给出剖面颗粒面积分形维数的计算方法以及剖面颗粒的各向异 性局部面积占有率；将注射喂料或生坯视为一种多孔介质，利用多孔介质导热率 的分形模型，对粉末注射成形坯的各向异性有效导热率进行分析和计算，利用分 形导热系数较真实地反映粉末注射成形坯内部的导热过程。 3 1 粉末注射成形坯剖面颗粒分形维数的计算 粉末特性是控制粉末注射成形工艺的一个关键【3 】。当颗粒形状不规则时，成 形坯在脱脂后能较好地保持其形状。粉末特性与粉末制造方法等许多因素相关， 颗粒的复杂几何形貌是影响散装密度、粒间摩擦和混合喂料粘度等的重要因素。 粉末注射成形坯中粉末颗粒的形状及排列不规则，经常存在着大小颗粒团聚或粘 结效应、颗粒大小不均匀等问题。因此，精确描述粉末成形坯的结构特性是相当 困难的。郑洲顺、李金萍等已经对p i m 粉末颗粒形状的分形特性做了研究降1 1 j 。 在粉末注射成形过程中，粉末颗粒在模具中注射形成自然堆积散体结构，因此粉 末注射成形坯是一种具有分形特性的典型的多孔介质【4 列。 为了具体计算粉末注射成形坯的剖面颗 粒面积分形维数，对如图3 1 所示的铁粉成形 坯进行剖面研究。由于多孔介质中某处的导热 过程与该处的一领域的结构有关，因此取剖面 中一较小颗粒的剖面面积d 2 为最小度量尺 度，同时假设该颗粒的导热作用仅受其相邻颗 粒影响，故取剖面中一能同时包容四个方向上 相邻颗粒群的面积4 2 为确定剖面面积分形维 数的最大度量尺度。因此对于d 2 专彳2 范围内 图3 - 1 铁粉成形坯s e m 照片 中南大学硕士学位论文第三章粉末注射成形坯的分形特性及其导热率的计算公式 不同的度量尺度x ，所测得的剖面颗粒相的面积平均值s 满足如下关系式 s ( x 、) 一x d 则该结构具有统计意义上的自相似性，d 即为成形坯剖面颗粒面积分形维 数。一些相关研究表明【i l 】，分形维数越大，颗粒表面越粗糙，烧结性越好。求解 剖面颗粒面积分形维数d 的步骤如下【3 6 】： ( 1 ) 在面积元d 2 一彳2 范围内选取面积度量尺度x ； ( 2 ) 使度量区x 在剖面范围内，任取成形坯剖面上的一点作为度量区中心， 测量度量区中所包含的剖面颗粒的面积； ( 3 ) 多次执行步骤( 2 ) ，使度量区均匀地扫描过成形坯剖面中每一区域， 求剖面颗粒面积平均值s ； ( 4 ) 在面积元d 2 专彳2 范围内再取多组互不相同的度量尺度，重复按步骤 ( 2 ) 、( 3 ) 计算面积平均值； ( 5 ) 对所得到的多组x 和s 值分别取对数，并对这些对数值进行直线拟合。 则x 和s 值满足 i n ( s ) = i n c + d i n ( x ) 式中，c 是一个比例常数，通过实验所得数据作图，求出拟合直线的斜率即 为所求的剖面颗粒面积分形维数d 。 由于在注射过程中注射方向和垂直注射方向粉末的受力不同，从而使得粉末 注射成形坯剖面颗粒的分形维数具有各向异性，因此设在沿注射方向x 和垂直注 射方向y 的剖面颗粒面积分形维数为碣o = x ，力。根据分形原理，在不同的方向x 和y ，取相同的特征尺度厶，剖面颗粒面积应当满足分形表达式墨= g 瑶， ( f = x , y ) 。式中，墨对应于p i m 中沿方向i 的剖面颗粒面积，e o = 毛j ，) 是比例 系数。 剖面颗粒在剖面不同方向上的局部面积占有率为： = 墨嚣= g 学，i = x ，y ( 3 - 1 ) 3 2 粉末注射成形坯导热率的计算 3 2 1 多孔介质导热率的分形模型 现有的多孔介质传热传质理论和模型，大多是直接或间接地把新研究的多孔 1 4 中南大学硕士学位论文第三章粉末注射成形坯的分形特性及其导热率的计算公式 介质看作是一种在大尺度上均匀分布的虚拟连续介质，在数学建模时，用假想包 含固、液、气相的连续介质代替多相多孔介质。这种处理方法尽管与多孔介质的 实质微观状态存在一定的差别，但在一定程度上仍能满足工程设计的需要。在研 究中采用“容积平均”的基本方法，即采用平均物性和空隙的平均几何分布来进 行过程的研究，显然与实际多孔介质内部状态存在着很大的差异。因此现有的理 论只能近似的在大尺度范围内描述多孔介质中的传递过程而无法揭示局部和整 体之间的本质联系，所得结果与实际测量有较大的偏差【4 8 】。 对于多孔介质内的传热过程，它包括固体骨架( 颗粒) 之间相互接触及空隙 中流体的导热过程；空隙中流体的对流换热；固体骨架( 颗粒) 或气体间的