（固体力学专业论文）公路桥梁在行车荷载作用下的振动研究.pdf

摘要 摘要 随着经济建设的迅猛发展，公路交通运输在国民经济生活中的地位显得越来越重 要。由于现代桥梁结构向着高墩大跨、薄轻细长的方向发展，所以对于由车辆荷载引起 的公路桥梁振动响应问题的研究，就变得尤为突出，已经成为当前重要的课题。在这方 面虽然已经进行了大量的理论研究和试验分析，但还是存在一些问题。本文在对以往前 人得出的理论研究成果进行总结的基础上，对公路桥梁的振动响应问题进行了更深入的 研究。主要工作和创新点如下： 1 综述了解决桥梁车致振动问题的早期计算方法( 由于在其理论范围内，计算方 法简便，并具有一定的精确度，目前仍在使用) 和现代有限元理论方法。指出目前所使 用的方法在数学模型的建立和计算效率方面的不足。对文中所要用到的大型有限单元计 算软件a n s y s 进行了简要介绍。重点讲述了它的瞬态动力学分析模块，以及在求解离 散化结构振动微分方程时所采用的n e w m a k 法。 2 在考虑桥面平整度和车辆行驶速度两种因素的共同作用下，将桥梁一车辆系统 简化为梁一移动荷载模型，应用达朗贝尔原理，推导出耦合振动的方程，对桥梁的车致 振动位移响应的问题进行了讨论分析，并指出这种方法的局限性。 3 应用逐步积分法理论，基于大型有限元计算软件a n s y s ，提出了一种解决车桥 耦合振动问题的新的计算方法。采用不同的单元类型、荷载步长和计算模型进行计算， 并与目前所采用的计算方法进行对比。结果表明这种新耦合法精度可靠，在求解大型桥 梁的车桥耦合振动问题时，计算速度更快。 4 采用本文提出的车桥耦合计算方法，研究了一实际的连续刚构桥的车桥耦合振 动，对不同的车辆荷载组合通过桥梁的情况，进行位移响应的分析。并在计算过程中， 对结果有影响的因素进行讨论，得出了一些有价值的结论。 关键词：车致振动位移响应a n s y s 新耦合方法 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h ee c o n o m i cf a s t d e v e l o p m e n t ，h i g h w a yt r a n s p o r t a t i o n i sm o r ea n dm o r e i m p o r t a n ti nn a t i o n a le c o n o m ya n dl i f e b e c a u s em o d e mb r i d g e s s t r u c t u r e sa r ed e v e l o p i n g o nh i g hp i e r , l o n gs p a n ，t h i na n dl i g h ts t r u c t u r e ，i ti so u t s t a n d i n gt h a tt h es t u d yo nv i b r a t i o n r e s p o n s eo ft h eh i g h w a yb r i d g ec a r r i e db yv e h i c l e i tb e c o m e so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t r e s e a r c h e s i nt h i sa s p e c t ，p e o p l eh a v ea l r e a d yc a r r i e do n ag r e a td e a lo ft h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o na n de m p i r i c a la n a l y s i s ，b u tt h e r ea r es t i l ls o m ep r o b l e m s i nt h i sp a p e r , ad e e p e r s t u d yw i l lb ed o n e ，a f t e rs u m m e du pt h er e s u l to ft h er e s e a r c hf r o mp r e d e c e s s o r s t h em a j o r w o r ka n ds o m en e w a s p e c t sa r ea sf o l l o w s f i r s to fa l l ，t h i sp a p e rg i v e sa no v e r v i e wo fe a r l yc a l c u l a t i o n sa b o u tb r i d g ev i b r a t i o n c a u s e db yv e h i c l e ( b e c a u s et h e s em e t h o d sa r es i m p l ea n da c c u r a t ei nt h e i rt h e o r yc a t e g o r y , t h e ya r es t i l lu s i n gn o w ) a n dm o d e mf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s o m ep r o b l e m sa r ep o i n t e du pt o s o l v e ，w h i c ha r eb u i l d i n gm a t h e m a t i c a lm o d e la n dc o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c y a n di n t r o d u c e a n s y s ，p a r t i c u l a r l yt r a n s i e n td y n a m i cm o d u l ea n dn e w m a r km e t h o df o rs o l v e dv i b r a t i o n d i f f e r e n t i a lf u n c t i o no fd i s c r e t es t m c t u r e s e c o n d ，t h eb r i d g e - v e h i c l es y s t e mw a sm o d e l e da sb e a m m o v i n gl o a d b ya p p l y i n g d a l e m b e r t sp r i n c i p l e ，t h ec o u p l e dv i b r a t i o nf u n c t i o n sw e r ed e r i v e du n d e rc o n s i d e r i n gt h e e f f e c t so fr o a ds u r f a c er o u 【g h n e s sa n dd i f f e r e n tv e h i c l es p e e d d i s c u s sa n da n a l y z eb r i d g e v i b r a t i o nr e s p o n s e t h e n ，p o i n to u tt h i sm e t h o d sl i m i t a t i o n s t h i r d ，a p p l y i n gs t e pb ys t e pi n t e g r a t i o n ，i n t r o d u c ean e ww a yt os o l v ev e h i c l e b r i d g e c o u p l e ds y s t e mb a s eo na n s y s w i t hc o m p u t i n gd i f f e r e n te l e m e n tm o d e la n dl o a dt i m e ， m a k es u r et h i sw a y sf e a s i b i l i t ya n da c c u r a c y , e s p e c i a l l yl a r g e - s c a l eb r i d g e l a s t ，u s i n gt h i sn e wc o u p l e dm e t h o d ，c o m p u t ea n ds t u d yb r i d g ev i b r a t i o nf r o mar e a l b r i d g e a n a l y z ed i s p l a c e m e n tr e s p o n s ea b o u t t h i sb r i d g e ，w i t hd i f f e r e n tl o a d i n gc o m b i n a t i o n s t h r o u g ht h eb r i d g e a n dd i s c u s ss o m ef a c t o r sw h i c hi n f l u e n c et h er e s u l t s s o m ev a l u a b l e c o n c l u s i o n sa r eg o t k e yw o r d s ：v i b r a t i o nc a u s e db yv e h i c l e ；d i s p l a c e m e n tr e s p o n s e ；a n s y s ；f l e wc o u p l e d m e t h o d 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 在车辆动荷载和个别情况下人群荷载、风力和地震地面运动作用下，桥梁结构产生 的振动，会增大按静力计算的内力和可能引起结构局部疲劳损伤，或会形成影响桥上行 车的舒适与安全的振动变形和加速度，甚至使桥梁完全破坏。故在桥梁的设计计算中都 包含有求车辆荷载动力作用的内容。 公路桥梁车辆引起的振动问题一直是工程界一个十分关注的课题。目前，国内外桥 梁结构有跨径越来越大，材料越来越轻，刚度越来越小的趋势。而桥梁运输量增大，过 桥车辆也是种类繁多，车速也在加快，其中不乏较重或超重的大型工程车辆或运输车辆， 动力响应在桥梁整体响应中所占的比重也在不断增强。这势必加强了车桥耦合振动在桥 梁动力性能方面的影响，使它变的越来越突出。全面了解车桥系统振动的特性，能大大 提高桥梁结构的安全及使用性能。 车辆动荷载对桥梁结构引起的振动，由于铁路上蒸汽机车已逐渐被内燃机车和电力 机车所取代，前者推动轮上平衡中产生的周期性锤击作用问题已经不存在，同时桥上又 多己避免钢轨接缝，所以铁路桥的竖向车辆强迫振动问题已不如过去突出。而在公路上， 车辆荷载却日益增大，同时公路桥的桥道与主梁的布置和构造形式多样，并且日趋轻薄 型，所以公路桥的车辆动荷载产生的竖向振动，成了需要给予更多注意的问题。由于电 子计算机的发展，在这方面的现代理论和分析方法，已从古典的将车辆当作一个质点在 桥上移动的模式，发展到将车辆本身作为一个多质点与弹簧的系统和桥梁形成一个整体 系统来考虑，同时考虑路面不平整产生的影响。 1 2 车桥耦合振动研究发展的状况 桥梁车辆振动问题的研究始于铁路桥梁，人类自1 8 2 5 年建成第一条铁路以来，便开 始了对列车下桥梁相互作用研究探索的历史过程。它的理论发展大致经历了两个阶段： 古典理论和现代理论。 1 9 0 5 年，俄国学者k r y l o v 首先研究了在匀速常量力作用下简支梁的振动问题i 。 第1 章绪论 1 9 2 2 年，t i m o s h e n k o 研究了一个匀速移动的简谐力通过简支梁的情况【1 1 。1 9 5 4 年，b i g g s 在i n g l i s 所发展的理论基础上研究了更为接近实际的车辆模型，即讨论了一个匀速移动 的弹簧上质量对简支梁桥的作用，并得出了便于计算的近似解【”。随着数学、力学理论 研究的进展和计算机技术的发展与逐步普及应用，1 1 1 7 0 年代起，现代车辆振动分析理论 考虑更加接近真实的车辆模型和将桥梁理想化为多质量的有限元或有限条模型。国内有 关科研院校从7 0 年代末、8 0 年代初开始对车桥耦合振动理论进行较系统的研究是在“八 五”和“九五”计划期间，随着铁路提速以及高速铁路的修建提上议事同程，关于车桥 耦合振动的研究取得了巨大发展。 相对铁路桥梁振动问题的研究，对公路桥梁荷载动力效应的系统研究开始于1 9 3 0 年。在3 0 年代，乌曼斯基对连续和铰接体系浮桥的自由振动进行过初步分析。吉洛夫将 浮桥看作为无阻尼的弹性地基梁，把附加质量作为常数并计及移动荷载质量进行动力分 析，求出了连续体系浮桥在若干典型情况下的封闭解。1 9 3 1 年英国土木工程师协会根据 一系列的简支梁桥的实测数据制定了最早的公路桥梁荷载冲击系数规范。1 9 4 1 年李国豪 继i n g l i s 之后研究了悬索桥在铁路列车荷载作用下的强迫振动问题，此后又研究了拱桥 的车辆振动问题。v i r c h i s 分别在1 9 7 9 年和1 9 8 3 年用r u n g e k u t t a 法，对履带式和轮式车 辆通过简支梁的动力效应进行数值计算，考虑了车辆的初始状态，车速变化及车辆和桥 面脱离等情况，并研究了车辆在进出口状态和桥梁进口桥坡斜率对动力效应的影响。8 0 年代，我国项海帆教授指导他的博士生，对我国公路桥梁的冲击系数做了很有价值的研 究。9 0 年代w a n gt i 彳h u a n gd z 将车辆和桥梁模拟为空间结构，路面竖向的不平顺假设 为一平稳各态历经的随机过程，研究了多梁式桥、斜拉桥、刚架桥、曲线桥、斜桥及箱 梁桥的车辆振动问题，得到了不少重要结论【2 】1 3 】【4 】。 近年来，公路桥梁车致振动的研究成果越来越丰富。c h a t t e r i e e 和d a t t a 把桥理想化 为正交各向异性板和集中质量分布模拟的梁，分析简支梁桥上车辆刹车和其初始弹力的 影响 5 1 。后来的研究者对连续梁桥进行了一些深入分析，已有弹簧支撑质量和无弹簧支 撑质量等代车辆，桥面不规则变形通过静态随机过程来模拟，用特定的功率谱密度函数 来计算【6 i 。陈言等通过用正弦波模拟桥面的不平，在e u l e r b e r n o u l l i 梁理论的基础上建立 了车桥系统的耦合振动模型，利用模态分析法和r u n g e k u t t a 法对模型进行数值求解， 研究了车桥耦合振动的共振曲线【7 1 。严志刚，盛洪飞和陈彦江由路面平整度能量谱密度 函数得到桥面平整度步规则形状烟纵向分布函数，在建立有限元模型时，将车辆的动力 2 第1 章绪论 性能与桥面平整度对桥梁的影响加入到外荷载中，研究分析了大跨度钢管混凝土拱桥的 车致振动问题1 8 l 。张庆、史家钧等考虑了连续梁桥的振动情况，并尝试性地讨论了行车 舒适度的问题，即对车辆的振动情况进行了分析【”。z h e n g d y ，c h e u n g y k ，a u ，c h e n g y s 以h a n m i t o n 原理为基础，研究了多跨变截面梁在移动力作用下的振动情况，用h e r m i t e 多项式做为插值函数，提出了连续梁桥的振型函数的形式f l o l 。在后来的研究中又给出 了预应力桥梁的车桥耦合计算中的考虑预应力时的计算方法l “1 。李小珍，强士中则对 大跨度的公铁两用斜拉桥借助空间杆系有限元方法，用等效格子梁来模拟公路与铁路正 交异性板钢桥面【1 2 1 。赵青等采用无限自由度桥梁模型对其在多辆移动荷载作用下的强 迫振动问题进行了分析【1 3 1 。沈火明，肖新标结合微分方程数值求解的r u n g e k u r a 法， 编制了基于m a t l a b 内部函数o d e 函数求解系统运动方程的二次开发函数【1 4 1 。z i b d e h 和r a c k w i t z 推导出移动荷载作用下，一般边界条件的梁的振动方程，研究了移动荷载在 加速、减速、匀速情况下的振动响应【1 9 】。w a n gr t 用模态法计算分析了多跨t i m o s h e n k o 梁在移动力作用下的振动，研究了梁截面回转半径对第一阶振型模态的影响，并与多跨 e u l e r - b e m o u l l i 梁进行了比较 2 0 l 。f o d a ，a b d u l j a b b a r 将振动g r e e n 方程应用于简支的 e u l e r b e m o u l l i 梁在移动质量下的动响应研究，这种方法推导出一个简单的矩阵，用它 表达梁的位移响应1 2 ”。x u 等对大跨、变截面的有限弹性梁在移动质量作用下的变化进 行了研究，应用h a m i l t o n 原理，发展了梁的非线形耦合微分方程，用结合了一个扰动技 术的独特方法解决有关边界的问题，指出移动力和移动质量对梁振动响应的不同影响结 果1 翻。z i b d e h 解决了弹性简支梁在受到随时问改变的移动荷载时的随机振动情况，应用 e u l e r b e r n o u l l i 梁理论和随机方法，将这一问题模拟为一个偏微分方程 2 5 1 。t a n ，b r a m e l d 和t h a m b i r a t n a m 发展了考虑车辆桥梁相互作用的耦合分析方法，将桥梁上部结构理想化 为一个二维的网格，同时将三维车辆模拟为具有7 个自由度的体系，将两部分拟合为一 个耦合整体进行计算 2 6 1 。l a w 和z h u 将桥面不平整度和车辆的制动因素引入到桥梁的振 动响应计算中，将车辆荷载简化为一系列移动的力，用能量法推导出耦合方程，分析了 这两种因素对多跨连续梁的振动响应的影响 3 2 1 。盛国刚，彭献，李传习将作用在桥上 的车辆荷载简化为与实际情况接近的移动振动系统模型，将简支梁桥简化为平面梁模 型，当车辆参数变化到特定情况，系统可简化为两种模型( 移动力和移动质量) ，并比 较了三种模型在不同车辆参数情况的结果，分析讨论了跨径和移动速度变化时冲击系数 的变化规律【矧。肖新标，沈火明应用达朗贝尔原理，采用e u l e r - b e m o u l l i 梁假设，建立 3 第1 章绪论 简支梁在移动荷载作用下的车桥耦合振动力学模型，从系统仿真的角度出发，建立车桥 耦合振动作用下的简支梁动态响应的仿真模型，进而实现了移动荷载作用下桥梁的系统 仿真 3 4 1 。杨孚衡，黎志光介绍了一种新的高精度非线形悬链线索单元以及如何如何用 来求解单根绳索受端点运动激励时的非线形动力响应问题，并用绳索参数共振的一个例 子来说明了该方法的有效性【3 5 】。程保荣，周玉勋对车和桥均进行有限元离散，建立耦 合系统模型，移动质量和移动阻尼使整体系统矩阵不对称并且具有时变性，引入模念综 合技术有效降低耦合系统自由度，减少计算量【3 8 1 。王解军基于随机轨道粗糙度和车桥 耦合单元，提出了大跨桥梁车辆荷载作用下随机振动的计算模式，采用功率谱密度函数 生成随机的轨道粗糙度，考虑桥梁的几何非线形，对一座实际大跨度斜拉桥的冲击效应 进行了研究，并分析了随机样本数目、阻尼及车辆速度的影响【3 9 】。赵发章等考虑不同 的阻尼参数及车辆速度，对一座实际大跨度斜拉桥的动力反应与冲击效应进行了分析研 究1 4 1 1 。夏禾等通过建立随机激励下的车桥耦合系统的空间动力模型，研究了提速条件 下上承式钢板梁的加固问题，根据实测的轮对加速度，由时间序列自回归模型生成随机 激励作为系统的输入，对列车通过桥梁的全程进行了计算机模拟，得到桥梁的动力响应， 并对计算结果进行了统计分析1 4 5 1 。严志刚等根据随机硬化理论和钢管混凝土组合材料 恢复模型，提出了复杂应力状态下钢管混凝土组合材料的弹塑性应力应变关系，采用非 线形有限元法，对一钢管混凝土拱桥进行移动车辆荷载作用下车桥系统的动力响应分 析，并进一步研究钢管混凝土组合材料进入塑性后对体系振动的影响i 。张军等将车 辆和桥梁系统看成一个整体耦合运动力学系统的两个分支，并引入模态综合法来分析其 动力响应1 4 7 】。等等。 1 3 本文的主要工作 综上所述，经过几十年的理论及试验的发展，有关桥梁车致振动的问题已经有了很 多的研究成果，但在某些方面还存在一定的问题： c a ) 数学模型：一般的简化计算，即是将桥梁模拟为二维简支或连续梁，由于桥 梁是三维空间形式，其结构上的每一个点对于车辆荷载作用时的反应都不相同；即使用 有限元模型，也应该考虑如何建立数学模型，使之与实际情况较符合，又利于计算。所 以对于桥梁采用何种模型，车辆又采用何种模型进行计算，仍是主要问题； ( b ) 计算方法：由于计算机及有限元方法的发展，使计算效率大大增强，但是在 4 第1 章绪论 应用这些软件时，也牵涉到一些方法的选择和简化，车辆的荷载效应计算尤为突出。在 选择计算方法时也应考虑到效率和计算机资源利用方面的因素。 考虑到以上问题的解决，本文的主要研究内容包括以下几个方面： 第一，综合论述解决桥梁车致振动问题的早期计算方法和现代有限元理论方法，指 出目i i i 所使用的方法存在的不足。掌握大型有限单元计算软件a n s y s 的分析计算方法， 重点是它的瞬态动力学分析模块，以及在求解离散化结构振动微分方程时所采用的 n e w m a k 法。 第二，在考虑桥面平整度和车辆行驶速度两种因素的共同作用下，将桥梁一车辆系 统简化为梁一移动荷载模型，应用达朗贝尔原理，推导耦合振动的方程，对桥梁的车致 振动位移响应的问题进行讨论分析，并指出这种方法的局限性。 第三，应用逐步积分法理论，基于大型有限元计算软件a n s y s ，提出一种解决车 桥耦合振动问题的新的计算方法。采用不同的单元类型、荷载步长和计算模型进行计算， 并与目前所采用的计算方法比较，对精确度和可行性进行评估。 第四，采用本文提出的车桥耦合计算方法，研究一实际的连续刚构桥的车桥耦合振 动，通过对不同的车辆荷载组合通过桥梁的多种工况进行位移响应的分析，研究各种对 计算结果有影响的因素，并进行讨论。 第2 章公路桥梁车致振动的理论简介 第2 章公路桥梁车致振动的理论简介 2 1 公路桥梁车致振动理论研究的发展1 1 求解桥梁车致振动位移响应的计算方法，经过百年发展，已有了巨大的进步，但在 目前的研究中所用到的理论，有些还是依附于下述理论发展的结果。 ( 1 ) 匀速移动常量力的作用 1 9 0 5 年，俄国学者p h i o 首先研究了在匀速常量力作用下的简支梁振动问题。图2 - 1 表示以匀速v 向右运动的常量力，假设在时白j t 一0 时，常量力f 位于右边支撑处；在 时间t 时，移动到距离左边支撑w 处。 图2 - 1 匀速移动常量力作用在简支梁上 f i g 2 - 1t h em o v i n gf o r c ew i t hu n i f o r m v e l o c i t yo nt h es u p p o r t e db e a m 简支梁在外荷载的作用下的微分振动方程可表示为 日立# x 4 + m 睾。盹d 式中e ，一梁的抗弯刚度，假定为常数； 肟一梁单位长度上的质量，假定亦为常数。 设强迫振动的移动位移) ，o ，0 可表示为振型函数的级数形式 y ( x ，f ) 一4 ( f ) 纯o ) 代入上式2 - 2 中，并利用振型的正交性，可得到解耦的强迫振动方程为 互+ 4 l 三凳筹詈， “d 2 ， 式中 6 2 1 2 2 2 3 第2 章公路桥梁乍毁振动的理论简介 砰。譬， ( ，l = 1 2 ) 2 - 4 ( 2 ) 匀速移动简谐力的作用 1 9 2 2 年，t i m o s h e n k o 研究了一个匀速移动的简谐力通过简支梁的情况。图2 2 表 示简谐力e c o s q ，t 以匀速v 通过简支梁的情况。 l _ 上一 图2 - 2 匀速移动简谐力作用在简支粱上 f i g 2 - 2t h em o v i n gh a r m o n i cf o r c ew i t hu n i f o r m v e l o c i t yo l lt h es u p p o r t e db e a m 此时，一阶振型的强迫振动的方程为 五+张一萼cosqptsinq。f一墨【sin(t2p+q。弘“n(qp-mlm l 哦m ( 厅= 1 2 a t ) 2 5 式中 q ，与移动速度有关的各阶广义频率； q 。简谐力的扰动频率； 简支梁的各阶固有频率。 方程的解可以通过将右边两个正弦项的解相加而得到 y 阶嘉耋南【s j n 阶吣一旦学s i n 刚 一干赤砑胁( q p - f j , , y 一旦皆咖刚 s i n 罕2 6 ( 3 ) 匀速移动的质量的作用 1 9 3 7 年，s c h a l l e n k a m p 第一次提出了考虑移动荷载本身质量惯性力影响的简支梁 桥的动力响应问题，得出了比较精确的解答。如果荷载质量与桥梁的质量相比很小，前 面( 2 ) 所讨论的移动常量力的解就是一个近似解。图2 - 3 所示移动质量在简支梁上匀 速通过的情况。 7 第2 章公路桥梁乍毁振动的理论简介 在任一时间t ，荷载对梁的作用力等于其重力减去质量的惯性力，即 f 一脚，g m 。兑 图2 - 3 速移动质量作用在简支梁上 f i g 2 - 3t h em o v m gm a s sw i t hu n i f o r m v e l o c i t yo nt h es u p p o a e db e a m 2 7 假设荷载的质量在移动过程中始终与梁保持接触，则觅也是质量作用点处梁的加速 度。将式的，代入，各阶振型的强迫振动方程可表示为 z + 斫以萼( g 一兑) s i n n ”。v t ，( 行= 1 2 ) 2 - 8 m ll 代入或= 耋五s i n 写堡得 五+ 唔咖罕) 耄私n 罕+ 4 i 一警咖罕 2 9 如果仅考虑一阶振型，并令咒- 4 ( 咒为跨中挠度) ，则上式简化为 兑呼m l + 珊v sn 2 孚) + 华虬。坐i2-10sin m v g s l i ty c 呼棚了) + 彳虬 一 上式括号中得第二项就是移动质量得效应。这是一个带变系数得方程，因而只能用 数值方法求解。若令m y 一0 ，m 。g - f ，即为匀速移动常量力得强迫振动方程式。 ( 4 ) 匀速移动的弹簧上质量的作用 1 9 5 4 年，b i g g s 在i n # i s 所发展的理论基础上研究了更为接近实际的车辆模型，即 讨论了一个匀速移动的弹簧上质量的简支梁桥的作用，并得出了便于计算的近似解。主 要假设如下： a 只考虑简支梁桥的第一阶振型。这样，桥梁模型可简化为一个单自由度系统。 b 车辆模型也处理成单自由度系统。 8 第2 章公路桥梁车致振动的理论简介 c 桥梁和车辆都假定具有粘性阻尼。 车辆模型由两个质量组成，一个由刚度为k 的弹簧支撑着的跳动质量j 】l 凡和一个假 定与梁始终接触的不跳动的质量| l l ，如图2 - 4 所示。 j 一 图2 - 4 匀速移动的弹簧上的质量作用在简支梁上 f i g 2 - 4t h em o v i n gn i a s s s p r i n gw i t hu n i f o r mv e l o c i t yo n t h es u p p o r t e db e a m 此时，车辆对梁的作用力可表示为 f m 。( g j ；，) + 晔，( z 一) i ) + 肘。g 】 2 - 1 1 其中z 一弹簧上质量m 。的绝对位移，从中性位置算起； y v 一弹簧下质量 的位移，也是梁的位移。 式2 1 1 中第一项与前面式2 7 相同，第二项是弹簧上质量项。把上式代入桥梁各阶振 型的强迫振动方程式，并令 y ，一耄4s 讥罕，兑一羹私n 罕 即得 警z + 似“n 罕蓬私n 罕+ m 2 1 w 。2 4 l 一眠域) g + 柞一薹倒n 罕) 】s i i l 罕 o = 1 ，2 a 朋 从上式中可以看出，对应于每一个振型有一个方程，共有n 个方程。但是， 的自由度z 还需要一个附加方程，即弹簧上质量的动力平衡方程 吨( 卜耋倒n 午一。 式2 1 2 和式2 1 3 共提供m 1 个方程，可通讨数信方法求解。 9 2 1 2 对于附加 2 1 3 第2 章公路桥粱下致振动的理论简介 2 2 桥梁车致振动分析的现代有限元理论 2 2 1 有限元理论 元内任意点的位移函数u ( 毛y ，z ) ，v ( x ，y ，z ) ，w ( 石，y ，z ) 。利用节点处的边界条件，写出 q t 一阻，o ) ，k ( f ) ，j ( f ) j r ，矿一【q l ，吼，吼】r ，( f 一1 ，2 ，以) 扣麟1 根据单元位移插值函数，由弹性力学给出的应变和位移关系，计算出应变f b q ， 式中b 为应变矩阵。相应的变分为拈一口向。，再根据物理关系，得应变与应力的关系 为o r d e d b q ，式中d 为弹性矩阵。 1 0 第2 章公路桥梁车致振动的理论简介 由虚位移原理降7 0 d v * ( 匈。) 7 ，得到单元节点力和位移之间的关系，= k 。q 。， 节 式中k 。是单元特性，即刚度矩阵，并可表示为k 。t 阳7 d b d v 。 够 i 单元组集 把各单元按节点组集成与原结构相似的整体结构，得到整体结构的节点力和节点位 移的关系，即整体结构平衡方程组厂一k a ，式中k 为整体结构的刚度矩阵，q 为整体 结构所有节点的位移阵列，为总的荷载矩阵。 解有限元方程 可采用不同的计算方法求解有限元方程，得出各节点的位移。在解题之前，必须对 结构平衡方程组进行边界条件处理，然后再解出节点位移q 。 v 计算应力 若要求计算应力，则在计算出各单元的节点位移目。后，自st b q 。和仃一d e d b q 。 即可求得相应的节点应力。 2 2 2a n s y s 软件的介绍 a n s y s 软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分 析软件。由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国a n s y s 开发，它能与多数 c a d 软件接口，实现数据的共享和交换，如p r o e n g i n e e r ，n a s t r a n ，a l o g o r ，i - - d e a s ， a u t o c a d 等，是现代产品设计中的高级c a d 工具之一。软件主要包括三个部分：前处 理模块，分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划 分工具，用户可以方便地构造有限元模型；分析计算模块包括结构分析( 可进行线性分 析、非线性分析和高度非线性分析) 、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电 分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优 化分析能力；后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子 流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示( 可看到结构内部) 等图形方式显示出来， 也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。软件提供了1 0 0 种以上的单元类型，用 来模拟工程中的各种结构和材料。该软件有多种不同版本，可以运行在从个人机到大型 机的多种计算机设备上。 1 1 第2 章公路桥梁车致振动的理论简介 随着社会经济和科学技术的快速发展，造桥技术不断进步，桥梁结构逐步向轻巧、 纤细方面发展。与此同时桥梁的载重、跨径和桥面宽却不断增长，结构型式不断变化， 传统的桥梁平面杆系结构程序已越来越不能满足设计要求，这就迫切需要功能齐全、性 能可靠的综合分析程序来求解桥梁在各种因素作用下的力学特性，a n s y s 正是这种综 合程序的代表。a n s y s 可以模拟桥梁预应力钢筋的松弛、混凝士的徐变、开裂、压溃 以及结构温度应力( 年温差、同照温差、混凝土水化热) 等因素对桥梁的影响，同时也 可以方便地计算出箱梁的畸变应力、剪力滞效应以及桥梁构件与支撑部位的接触状态。 a n s y s 具有丰富的单元库及材料库，可以对任何结构形式的桥梁进行全桥仿真分析，如 梁式桥、拱桥、刚架桥、悬索桥、斜拉桥等等。全桥仿真可以通过对各种载荷工况的组 合，较为精确地反映出桥梁在各种因素作用下的综合特征，如桥梁的应力分布、变形情 况、自振频率、振形、地震响应特征、失稳特征等等，尽量使桥梁既经济美观又安全可 靠。 本文所解决的问题是有关公路桥梁在行车荷载作用下的振动研究，故必然要应用 a n s y s 中的结构动力学分析，现将这部分内容作以简要介绍f ”1 。 结构动力学属于结构分析的范畴，在a n s y s 7 0 的版本中，结构动力学可以在 a n s y sm u l t i p h y s i e s 、a n s y ss t r u c t u r a l 和a n s y sp r o f e s s i o n a lp r o g r a m s 这几个单元中 使用。本文在以后的计算是在a n s y s s t r u c t u r a l 单元中进行。结构动力学主要包括模态 分析、谐响应分析、瞬态动力学分析和谱分析。其中瞬态动力学分析是用于测定结构对 于随时间任意变化荷载的响应，并且所有在静态分析中提到的非线性特性都可以在其中 得到实现。下面的计算中主要运用的是瞬态动力学分析。 瞬态动力学分析，亦称时间历程分析，是用于确定承受任意的随时间变化的荷载的 结构动力学相应的一种方法。荷载和时自的相关性使得惯性力和阻尼作用比较重要。在 进行瞬态动力学分析中，可以采用3 种方法即f u l l ( 完全) 法、r e d u c e d ( 缩减) 法以 及m o d es u p e r p o s i t i o n ( 模态叠加) 法。f u l l 法采用完整的系统矩阵计算瞬态响应，三 种方法中，它的功能最强，允许包括各种非线性特性；r e d u c e d 法采用主自由度及缩减 矩阵来压缩问题的规模，在主自由度上的位移被计算出来后，a n s y s 可降解扩展到初 始的完整自由度集上；m o d es u p e r p o s i t i o n 法将模态分析得到的振型乘上参与因子，并 利用求和来计算结构的响应，此方法是a n s y s l i n e a rp l u s 程序中位移能够使用的瞬态 动力学分析方法。有关瞬态动力学的分析步骤为： 第2 章公路桥梁车致振动的理论简介 1 构建有限元模型 2 设置初始条件 3 选择分析类型和求解方法 4 设置求解控制 5 施加荷载 6 保存荷载步文件 7 对每个荷载步重复步骤4 6 8 求解 9 提取分析结果 根据定义，瞬态动力学分析包括数值为时间函数的荷载。要指定这样的荷载函数， 图2 - 5 荷载时间关系曲线示意图 f i g 2 - 5l o a d - v e r s u s - t i m ec u r v e s 需要将荷载对时间的关系曲线划分成适当的荷载步。在荷载时间曲线上的每一个“拐 角”都应该作为一个荷载步，如图2 5 所示。第一个荷载步通常被用来建立初始条件， 然后要指定后续的瞬态荷载步以及荷载步选项。对于每一个荷载步，都需要指定荷载值 和时间值，同时需要指定其他的荷载步选项。最后将每一个荷载步写入文件。 2 2 3a n s y s 中结构振动微分方程的解法 利用a n s y s 软件计算，对于求解瞬态动力学问题其内部程序采用的是n c w m a k 法，以下是对这种方法的简单介绍。 i 建立振动微分方程 对于一个实际结构，由有限元法离散处理后，应用瞬时最小势能原理导出的振动微 第2 章公路桥粱下敛振动的理论简介 分方程如下所示 其中 【j | l ，l 傅 + 【c 】伽 + 【k 】仁 = 【f 】 【肘卜一结构质量矩阵； 【c 】结构阻尼矩阵； 卜一结构剐度矩阵 2 1 4 嘲节点加速度向量； 衅】节点速度向量； 阻卜一节点位移向量 【f 卜一荷载向量 2 基本假设 对于节点在一个时间步内，其速度、加速度和位移向量有如下假设： 忙) ，+ 。一埘 。“( 1 6 ) 砸) ，+ d 协) 。】缸 2 1 5 恤l + 。伽l + 伪 f a t “已一a ) 傅 f + 口 ，+ 。】f z 2 - 1 6 其中口和6 是按积分的精度和稳定性要求可以调整的参数。n e w m a k 法最初提出作为无 条件稳定的一种积分格式是常平均加速度法。研究表明，当j 0 5 0 ；a 之0 2 5 ( o 5 + d 1 2 时，n e w m a k 方法是无条件稳定的。 3 求解步骤 a 初始计算 ( 1 ) 形成结构的刚度矩阵【x 】，质量矩阵【m 】和阻尼矩阵【c 】。 ( 2 ) 给定位移、速度和加速度的初始值忸) 。，埘) 。和何 。 ( 3 ) 选择时间步长缸，参数口和6 ，并计算积分常数： d 0 5 0 ； a 0 2 5 ( 0 5 + 6 ) 2 ； 一l；4一-去；n：-去；口，tlao a a t z缸一，；a 4t ! v 一，；4 ，- 等专一刁； 一5 4 l 。面。4 24 面5 口3 。缸。口- 1 。4 5 。i 吉一2 ) 。 1 4 第2 章公路桥梁车致振动的理论简介 a 6 一a t ( 1 - a ) ；a 7 - 6 a t ( 4 ) 形成有效刚度矩阵 【k 】= 【k 】+ a o 【 f 】+ 口。【c 】 2 1 7 b 对每一时间步计算 ( 1 ) 计算t + 垃时刻的有效荷载 f ) ，+ _ 一 f ，+ f + 【膨】0 0 和 ，+ a 2 伽l + 口3 埘 f ) + 【c 0 l 忸l + 口4 协 ，+ 口5 傅) 。) 2 1 8 ( 2 ) 求解t + 缸时刻的位移 【k 】恤) ，+ 。一 f ) 。 2 - 1 9 ( 3 ) 计算t + f 时刻的加速度和速度 。- a o ( 仁 ，+ 6 | 一协 ，) 一口：仁l a 3 以， 2 - 2 0 西) ，+ 皿- 似) 。+ 口6 豇) ，+ 4 7 打 ，+ 皿 2 2 1 2 3 本章小结 本章对桥梁车致振动的理论研究发展过程进行了简单总结，并对现代理论研究成果 有限元方法的概念和对于弹性力学问题的求解步骤做了说明，介绍了大型有限元软件 a n s y s 及其功能之一的瞬态动力学分析模块。并简要阐述了a n s y s 中用于解决瞬态 动力学分析的积分方法n e w m a k 法。 第3 帝求解桥梁车致振动位移i 向廊的研究 第3 章求解桥梁车致振动位移响应的研究 3 1 桥面不平对公路桥梁车致振动的影响 相对于古典理论，现代计算方法大都考虑了车辆振动的惯性力作用，由于要兼顾计 算方法和运算效率，一般的简化计算都是将桥模拟成简支或连续的e u l a r - b e r n o u l l i 梁， 或者考虑剪切和扭转变形的t i m o s i n k o 梁，通过l a g r a n g e 方程 要浮) 一要+ 孚一譬。孚， ( f ；1 , 2 ，) 3 - 1 m 、a 4 i ：a q i8 q ia q t8 q i 、 一。 或是达朗贝尔原理，在考虑影响桥梁一车辆系统耦合振动的多方面因素条件下，建立车 辆和桥梁的耦合方程。上式中丁为结构动能，从职和职分别为结构体系中由于广义 坐标的微小改变量所产生的外力功、阻尼力功和结构内部的变形能。 求解方程通常采用n e w m a r k 或是r u n g e k u t t a 法。实例计算如下。 3 1 1 车桥耦合模型的建立 将桥梁简化为等刚度的二维e u l e r - b e r n o u l l i 简支梁，车辆采用两轴模型如图3 - 1 所 示。考虑桥面不平的影响，由达朗贝尔原理得到车桥耦合的振动方程 图3 - 1 车桥耦合振动系统运动模型 f i g 3 1t h em o d e lo fv e h i c l e - - b r i d g es y s t e m 日窘+ 詈+ p 警唧。训删 训 3 2 m 3 毛+ ( 乞一毛一三扫) + k b t ( z 3 一z 1 一三一) + 气z ( 毛一之+ 三舀) + 屯：( z 3 一乞+ 三日) 一o 3 3 1 6 第3 章求解桥梁车致振动位移响心的研究 一a 2 c ，瓴一2 1 一三扫) 一j a 屯t 瓴一乙一三口) + 三气z ( 之一2 ：+ 乏百) - a 2 k e ：心- z 2 + 2 0 ) 一o 3 4 乏+ 气- ( 毛一之一三扫) + k b ，( 毛一乞一j a 疗) + 巳，( 矗+ 只一啊) + 屯t ( 气+ _ ) ，一嵋) = o 3 5 胁：之+ 气：( 2 ：一毛+ 号舀) + k b ：o ：一乃+ 号p ) + c 4 ：o ：+ 夕：一吃) + 屯：( z 24 - ) ，：一) 一o 3 6 式中e 、口、p 和l 分别是桥的抗弯刚度、阻尼、单位长度质量和桥长。车辆简 化模型如图3 - 1 所示，m 3 ，1 3 ，七b ，c b 分别是车体质量、转动惯量、弹性系数和阻尼， m l ，m 2 ，c 。分别是两侧车架和车轮的质量、弹性系数和阻尼，w 为桥面平整度的竖 向不规则形状，a 为两车轴之间的距离。 设桥的位移响应为_ ) ，o ，f ) 一艺玑 k ( f ) ，振型函数为u g ) = 芝j 两s i n ( i 石x l ) 。 把q o ) 代入式3 - 2 中，两边同乘以f 丽s i n ( 玩x l ) ，并在【o ，纠上积分，利用振型 函数的正交性和d 函数的性质可得 4 i + 2 s i p 矗t +